Bài toán Cauchy cho phương trình Elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.41 MB, 82 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
HỒ DUY BÌNH
BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TỰA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM
CẤP KHÔNG NGUYÊN
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã ngành: 60460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ
TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2019
CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐHQG - HCM
Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN HUY TUAN.
Cán bộ chấm nhận xét 1: TS. NGUYỄN BÁ THI
Cán bộ chấm nhận xét 2: TS. NGUYỄN MINH QUÂN
Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.
HCM ngày 20 tháng 7 năm 2019.
Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:
1. Chủ tịch: PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY.
2. Thư ký: TS.NGUYỄN TIEN DŨNG.
3. Phản biện 1: TS. NGUYỄN BÁ THI.
4. Phản biện 2: TS. NGUYỄN MINH QUÂN.
5. ủy viên: TS. NGUYỄN MINH TÙNG.
Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên
ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có).
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRUỞNG KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS. TS. TRUONG TÍCH THIỆN
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
Độc lập - Tự do - Hạnh Phúc
NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ
Họ tên học viên: Hồ DUY BÌNH
Ngày, tháng, năm sinh: 27/10/1983
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số học viên: 1770487
Nơi sinh: Quảng Ngãi
Mã số: 60460112
I. TÊN ĐỀ TÀI: BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
ELLIPTIC TỰA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG
NGUYÊN
II. NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:
- Kiến thức nền tảng.
- Nghiên cứu tính không chỉnh của bài toán Cauchy cho phương trình
elliptic tuyến tính với đạo hàm cấp không nguyên và chỉnh hóa nghiệm
trong C 2 ,H P băng phương pháp chặt cụt.
- Nghiên cứu tính không chỉnh của bài toán Cauchy cho phương trình
elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không và chỉnh hóa nghiệm trong
£2 băng phương pháp chặt cụt.
III. NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 11 - 02 - 2019.
IV. NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 02 - 6 - 2019.
V.
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS. NGUYỄN HUY TUẤN.
Tp. HCM, Ngày .......tháng ....... năm ..........
CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG
PGS.TS. NGUYỄN HUY TUẤN
TS. NGUYỄN TIẾN DŨNG
TRƯỞNG KHOA
PGS. TS. TRƯƠNG TÍCH THIỆN
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn khoa
học PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh. Thầy đã trực tiếp hướng dẫn, truyền đạt kiến thức,
cung cấp đề tài và nguồn tài liệu quí báu cho tôi trong suốt quá trình làm luận
văn. Đồng thời định hướng và truyền đạt ý tưởng, tháo gỡ những khó khăn
trong quá trình tiếp cận và nghiên cứu khi thực hiện luận văn. Luận văn sẽ
không thực hiện được nếu không có sự hướng dẫn tận tình của Thầy.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy, Cô trong Hội đồng
chấm Luận văn Thạc sĩ Trường Đại học Bách Khoa đã dành thời gian để đọc
kỹ luận văn này và cho tôi những lời khuyên, những nhận xét, đánh giá và bình
luận bổ ích để tôi hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đến quý Thầy cô bộ môn Toán ững dụng, Khoa
Khoa học ững dụng, Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa
Tp.HCM, đã tổ chức lớp học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá
trình học tập. Cuối cùng, trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi
những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý của quý Thầy, Cô và bạn đọc để
bổ sung và hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Tp.Hồ Chí Minh, Ngày 13 tháng 8 năm 2019
Hồ Duy Bình
1
TÓM TẮT LUẬN VĂN
Chúng tôi trình bày trong luận văn gồm 5 chương. Chương 1: nêu một số
kiến thức chuẩn bị như giới thiệu một số không gian hàm, khái niệm về tính
chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard, một số phép biến đổi tích phân và
các bất đẳng thức thường dùng trong luận văn. Chương 2: nghiên cứu tính
không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình
elliptic với đạo hàm cấp không nguyên tuyến tính thuần nhất trường hợp hàm
nguồn F = 0. Chương 3: nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm
của bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính không thuần nhất với
đạo hàm cấp không nguyên trường hợp hàm nguồn F = F(x,t). Chương 4:
nghiên cứu tính không chỉnh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán Cauchy cho
phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trường hợp
hàm nguồn F = F(x,t,u(x,t)). Theo một số giả định cho trước về nghiệm,
chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa và đánh giá sự ổn định nghiệm bằng phương
pháp chỉnh hóa chặt cụt. Chương 5: Trình bày ví dụ số minh họa.
ABSTRACT
Thesis is divided into 5 chapters. Chapter 1: we prepare some preliminaries
including some needed function spaces, concepts of well-posedness, illposedness in the sense of Hadamard, some integral transformations and
inequalities which will be used throughout the thesis. Chapter 2: studying the
well-posedness and constructing the regularized the solution of the Cauchy
problem for a homogeneous linear fractional elliptic equations in the case of
the source function F = 0. Chapter 3: studying the well- posedness and
constructing the regularized solution of the Cauchy problem for a
inhomogeneous linear fractional elliptic equations in the case of the source
function F = F(x.t). Chapter 4: studying the well-posedness
11
and constructing the regularized solution of the Cauchy problem for a
semilinear fractional elliptic equations in the case of the general source
function F = F(x.t,u(x,t)). Under an a-priori assumption on the solution, we
introduce the regularized solution and propose the Fourier truncation method
for stabilizing the solution. Chapper 5: we provide a numerical example to
illustrate the theoretical results.
iii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi tên là Hồ Duy Bình, mã số học viên: 1770487, học viên cao học chuyên
ngành Toán ững Dụng, Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM, khóa 2017 2019. Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình
khác như đã ghi rõ trong luận văn, các nội dung được trình bày trong luận văn
này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Huy
Tuấn và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm về tính trung thực của đề tài nghiên cứu
này.
Tp. Hồ Chí Minh, Ngày 13 tháng 8 năm
2019 Học viên thực hiện
Hồ Duy Bình
IV
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU
Ký hiệu
Ý nghĩa
R
Tập hợp số thực.
Rd
Không gian Euclide d chiều
C([0,T],£2(íì))
Không gian các hàm liên tục từ [0,T] vào £2(íi)
{v
3 =1
Hịm
£P{Ũ)
Không gian các hàm khả tích bậc p trên ft
C(c 2 m
Ơ{[ữ-,T\,X)
Không gian các hàm khả tích £2(íi) —> £2(íi)
/ rp \ Vp
j«:[0;T]—>x Ị / ||u(í)Hx dt 1 < 00 ; 1 < p < 001
w{ft)
r oo N
Không gian ịv e £2(íi) 0j)2 < °°|
A
Toán tử elliptic
dĩ
Đạo hàm cấp không nguyên Oi theo biến t
(v >
Tích vô hương trong £2(íi)
\\'\\x
Chuẩn trong không gian X
LỜI MỞ ĐẦU
Phương trình vi phân với đạo hàm cấp không nguyên xuất hiện trong nhiều
lĩnh vực khoa học và kỹ thuật ([5j) và hầu hết các nghiên cứu trước đây đã được
dành cho phương trình khuếch tán và phương trình sóng (ỊH 14]) với đạo hàm
cấp không nguyên. Hơn nữa, gần đây phương trình elliptic với đạo hàm cấp
không nguyên đã trở thành điểm đáng chú ý của một số nghiên cứu nổi tiếng
([4, 11]) và bài báo hiện tại nhằm đóng góp vào việc mở rộng hiểu biết tổng
thể về bài toán ngược liên quan đến phương trình loại này. Trong bài báo này,
chúng tôi xem xét vấn đề giá trị biên cho phương trình elliptic tựa phi tuyến
tính với đạo hàm cấp không nguyên
dịU + Au = F(x, í, u(x, í)), (x, t) e n
X
(0, T) =: Q T 1 (1)
với các điều kiện ban đầu và điều kiện biên như sau
(x, t) E dũ
u(x,í) =0,
u(x,0)
|
X
(0, T),
= /(x), X e 0,
Wí(x,0) = g(x), xe Ũ,
trong đó, 0 c Rd, (d = 1, 2,3) là một miền bị giới hạn với đường biên
trơn dft và một số T > 0. Trong phương trình (ỊTỊ), a E (1, 2) là cấp đạo
hàm không nguyên và 0“ là đạo hàm Caputo cấp không nguyên đối với
t (xem [15, 6j), được định nghĩa bởi
t
1
f
CJU
d?u(x, t) := r^2 _ j (t - s)1_a^(®, s)ds, (x, t) e Q T , (3)
0
VI
(2 )
+0C
trong đó, r(a) = / e_íí“_1dí là hàm Gamma.
0
Lưu ý rằng phương trình khi (ỊTỊ), đã được thay đổi thành phương trình
dfu — Au = F(x, í, u(x, í)), (x, t) E n X (0, T) =: Q T 1 (4)
được gọi là phương trình sóng tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên,
theo các điều kiện (Ị2Ị) đã được nghiên cứu trong [15].
Trong trường hợp ữ \j 1, bài toán (ỊTỊ) trở thành một bài toán không chỉnh
ngược thời gian cho phương trình nhiệt parabolic [8j, trong trường hợp a /n 2,
bài toán (ỊTỊ) trở thành một bài toán ngược elliptic cổ điển (gọi là bài toán
Cauchy cho phương trình Laplace [12]). Ta đã biết bài toán thứ hai này là
không chỉnh theo nghĩa của Hadamard và các kết quả chỉnh hóa đã thu được
trong [9j. Một câu hỏi tự nhiên là liệu bài toán Cauchy đối với phương trình
elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên ([!]) cũng là không chỉnh.
Hơn nữa, trái ngược với phương trình elliptic cổ điển, ngay cả phương trình
elliptic tuyến tính với đạo hàm cấp không nguyên cũng không được nghiên cứu
nhiều. Trong [2j, các tác giả đã chú ý đến tính không chỉnh (mặc dù không có
sự chỉnh hóa nào được giải quyết) của bài toán (ỊTỊ)-(Ị2Ị) trong trường hợp đơn
giản hơn đó là trường hợp tuyến tính thuần nhất F = 0. Theo hiểu biết tốt nhất
của các tác giả, không có ấn phẩm về bài toán Cauchy cho phương trình elliptic
tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên (Ịp cho hàm nguồn F tổng quát.
Luận văn trình bày dựa trên kết quả chính trong bài báo [10] là đưa ra công
thức nghiệm, chứng minh tính không chinh và chỉnh hóa nghiệm của bài toán
Cauchy cho phương trình elliptic tựa phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên.
Ngoài ra chúng tôi cụ thể hóa nội dung bài báo bằng cách chỉnh hóa nghiệm
trường hợp tuyến tính.
trong £2(Q) và
Theo đó bố cục luận văn được trình bày gồm năm chương.
vii
Chương 1 KIẾN THỨC CHUAN BỊ
Trình bày các kiến thức được sử dụng trong luận văn, gồm các kiến thức
về phương trình đạo hàm riêng, giải tích hàm, đạo hàm cấp không nguyên,
bài toán chỉnh, không chỉnh theo nghĩa Hadamard.
Chương 2 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH THUẦN NHAT
VỚI ĐẠO HÀM
CẤP
KHÔNG NGUYÊN
2.1 Nghiệm của bài toán.
2.2 Tính không chỉnh của bài toán.
2.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán.
2.4 Chứng minh các kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán.
Chương 3 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH KHÔNG THUAN NHAT VỚI ĐẠO HÀM
CẤP KHÔNG NGUYÊN
3.1 Nghiệm của bài toán.
3.2 Tính không chỉnh của bài toán.
3.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán.
3.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán.
Chương 4 BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TựA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HÀM CAP KHÔNG
NGUYÊN
4.1 Nghiệm của bài toán.
4.2 Tính không chỉnh của bài toán .
4.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán.
4.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán.
Chương 5 MINH HỌA KET QUẢ CHỈNH HÓA BANG VÍ DỤ SỐ
viii
Mục lục
««
LỜT CẢM ƠN
i
LỜT CAM ĐOAN
iv
DANH MỤC CHỮ VIET TAT VÀ KÍ HIỆU
V
LỜI MỞ ĐẦU
vi
Chướng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1
1.1 Một số khống gian hàm........................
1
1.2 Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier
3
1.3 Các hàm đặc biệt .................................
6
1.4 Các phép biến đỗi tích phân ................
6
1.5 Một số định nghĩa và kết quả cần biết
8
1.6 Một số bất đẳng thường dùng . . . .
11
Chướng 2. BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯỜNG TRÌNH
___________ ELLIPTIC TUYẾN TÍNH THUẦN NHAT VỐI
_________ ĐẠO HẰM CẤP KHỔNG NGUYÊN
12
2.1 Nghiệm của bài toán ......................................................................
13
2.2 Tính không chỉnh của bài toán ......................................................
15
2.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán ........................................
15
2.3.1 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn L'? . . . .
16
2.3.2 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn Ị-i p . . . .
17
2.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán ....................
17
IX
2.4.1 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn £2 .................................
17
2.4.2 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn khống gian "H . .
20
p
Chướng 3. BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
ELLTPTTC TUYẾN TÍNH KHỔNG THUẦN
NHẤT VỚI ĐẠO HẰM CAP KHỔNG NGUYÊN
25
3.1 Nghiệm của bài toán ........................................................................ 26
3.2 Tính khống chỉnh của bài toánỊ ....................................................... 28
3.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán ......................................... 30
3.3.1 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn £2
...
3.3.2 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn T-t p
30
31
3.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán ...................... 32
3.4.1 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn £2 .................................. 32
3.4.2 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn T-t p ............................... 35
Chướng 4. BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
___________ ELLIPTIC TựA PHI TUYẾN VỚI ĐẠO HẰM
_________ CẤP KHỔNG NGUYÊN
41
4.1 Nghiệm của bài toán ................................................
41
4.2 Tính không chỉnh của bài toán .................................
44
4.3 Kết quả chỉnh hóa nghiệm của bài toán trẽn L'?
47
4.4 Chứng minh kết quả chỉnh hóa trẽn L'? ..................
48
X _ ___
?
_ _ 2. _ _ _ _ _ _ '
Chướng 5. MINH HỌA KET QUA CHINH HOA BÀNG
VÍ DỤ SỐ
.
_ «
57
KẾT LUẬN
64
TÀI LIỆU THAM KHẢO
65
Danh sách các hình
5.1 Nghiệm chính xác u e x và nghiệm chỉnh hóa u r e g tại t = 0.3
với ô E {0.1, 0.01, 0.001} ........................................................ 59
5.2 Nghiệm chính xác u e x và nghiệm chỉnh hóa u r e q tại t = 0.6
........................................................ 60
với ô E {0.1, 0.01, 0.001}
5.3 Nghiệm chính xác u e x và nghiệm chỉnh hóa u r e g tại t = 0.9
với ô E {0.1, 0.01, 0.001} ........................................................ 60
XI
Danh sách các bảng
5.1 Đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa
tại các thời điểm ti e {0.3, 0.6, 0.9} với ố e {0.1, 0.01, 0.001}
xii
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BI
1.1
Một số không gian hàm
Định nghĩa 1.1.1 (Không gian c p ( f t ) , 1 < p < 00). Cho f t là một tập đo được
Lebesgue trên M. d và / đo được Lebesgue trên íi với 1 < p < 00. Nếu |/|p khả
tích trên f t ta định nghĩa
\ 1 /p
f(t) dt\ <00, Vp thỏa 1 < p < 00.
Tập hợp tất cả các hàm / thỏa mãn |/|p khả tích trên ft được gọi là không gian
£p(íi).
Định lí 1.1.1. Nếu ll-ll^p^) là chuẩn trong £p(íi) thì £p(íi) là không gian
định chuẩn.
Định lí 1.1.2. Với ft đo được trong Rd, 1 < p < oo. Không gian £ p (ft)
là không gian Banach. Ta kí hiệu (.,.) và ||.|| tương ứng là tích và
chuẩn trong £2(Q). Nghĩa là
(f,9) = Ị f{t)g{t)dt,
và
ll/ll = f f(t) dt
Hồ Duy Bình
1
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Định nghĩa 1.1.2 (Không gian £p([0 ;T],X)). Không gian £p^[0 gồm tất cả
các hàm đo được u: [0 ; T] —> X với chuẩn
( } v/p
IIWIITP([0-T] X )
=
ị / ||w(í)||jr°^ Ị <00, M p thỏa 1 < p < 00. Khi p —> 00
thì ta có
IMUmnx) = esssup||“(t)lhĐịnh nghĩa 1.1.3 (Không gian ơm([0, T], £2(íi))). c m { [0, T] , £2(íi)) là không
gian các hàm liên tục u : [0, T] —> £2(íi) có đạo hàm đến cấp m, có nghĩa là u',
u",..., uí 1 7 1 ) : [0, T] —>■ £2(íi) là các hàm liên tục. Khi đó ơm( [0,T] , £2(íi))
là không gian Banach với chuẩn sau
771
IMIơ ([0,T],£ (fi)) = ^ 2 S^P llw
m
2
Ec
([0,T] , c (íi)).
Không gian c ([0, T] , c 2 (íi)) là không gian các hàm liên tục u : [0, T] —>
£2(íi) với
llwllơ([0,T],>c2(n)) =
llw(í)lln2(n) < °0-
Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Hilbert). X được gọi là không gian tiền Hilbert
(hay không gian Unita), nếu tích vô hướng trên X là ánh xạ (•,•): X
XX
—> M.
thỏa mãn các điều kiện sau
a) ( x , y ) = ( y , x ) , M x , y e X ,
b) ( x + y , z ) = ( x , z ) + ( y , z ) , V x , y , z e X ,
c) ( a x , y ) = a ( x , y ), Vx, y E X , a G M,
d) ( x , x ) > 0, Vx G X , ( x , x ) = 0 ■<=>• X = 0, ( x , x ) = ||x||2.
Không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không gian Hilbert.
Hồ Duy Bình
2
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Định nghĩa 1.1.5 (Không gian Hilbert Scale H p (ft)). Với p > 0, không
gian Hilbert Scale H p (ft) là tập hợp các hàm u & £2(íi) thỏa
00
INI 2 H P = J2 X p j( u ^j) 2 < °03=1
Định nghĩa 1.1.6 (Không gian Hị (fĩ)). Không gian Hị (íi) là không gian các
hàm V E £ 2(í i ) thỏa
\ \v\\ yi = 52
n'0
Aj(u, 0j)2 < +00 và v|sn = 0.
* ___ 1
Định nghĩa 1.1.7 (Hàm liên tục tuyệt đối). Cho / : [a,b] —> M được gọi là
liên tục tuyệt đối trên đoạn [a,b] nếu Ve > 0, 3Ố > 0 sao cho với họ {[afc,
bk]} k = 1
2
rời nhau từng đôi một thỏa mãn
k= 1
- a k) < ỗ thì 1 fi b k) - f{dk)
< e.
fc= 1
Kí hiệu Aịa, b] = A l \a, b] là tập hợp các hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng
[a, b] và
A"[a, &] = {/£ cr- ^a , b ] ị D n - 1 f e A ịa , &]}.
1.2 Toán tử tuyến tính và chuỗi Fourier
Định nghĩa 1.2.1 (Toán tử tuyến tính). Cho hai không gian X, Y là không gian
Hilbert 7Í với chuẩn ||-||^, tích vô hướng (•, •) và một toán tử A: X —> Y là
toán tử tuyến tính trên không gian Hilbert nếu
a) A(/ + g) = Af + Ag V/, g e X ,
b) A(af) = aA/, V/ E X và \/a E M.
Định nghĩa 1.2.2 (Toán tử tuyến tính liên hợp). Cho X, Y là hai không gian
Hilbert và A : X —> Y là một toán tử tuyến tính, khi đó A* được gọi là toán tử
tuyến tính liên hợp của A nếu A* : Y —> X và thỏa mãn
(A/,ỡ>y = (f , A*g)x Hồ Duy Bình
3
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Toán tử A được gọi là tự liên hợp nếu A = A*.
Định nghĩa 1.2.1 (Hệ trực giao). Cho không gian Hilbert H . Tập hợp {ộj} gọi
là họ trực giao của ĩi nếu (ội, ệj) = 0 Vỉ Ỷ 3- Đặt
Vj = { 01, 02, • • • , ệ j } -
Ta nói {ộj} là một cơ sở trực giao của ĩi nếu
« = Uu
3=1
Định nghĩa 1.2.2 (Hệ trực chuẩn). Cho không gian Hilbert ĩi với tích vô hướng
(.,.) và chuẩn ll-ll^. Hệ {ệj} c H được gọi là hệ trực chuẩn nếu
/
\ I 1, nếu i = j,
{<Ị>ùệj) n = <
^
. với ỈJe z + .
[ 0, nếu i Ỷ h
,
Định nghĩa 1.2.3 (Khai triển chuỗi Fourier). Cho {ộj} là hệ trực chuẩn trong
%. Với mọi u E ĩỉ ta có khai triển u(t) dưới dạng chuỗi Fourier như sau
00
u{t) = Y^(u{t),ệj)ệj.
3=1
Định lí 1.2.4. Cho {ộj} là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert
H. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương
i) {ộj} là hệ trực chuẩn đầy đủ, nghĩa làx -L ộj(j = 1, 2,...) =>• X =
0,
oo
ii) Mu £ % : u = Y)(u,
(khai triển chuỗi Fourier),
3=1
2 °°
iii) Vu £ % : ||u||^ = Y) với = (u, ậj), (đẳng thức Parseval),
3=1
iv) Vu, v e n : (u, v) = Ễ ZjVj, với £j = (u, ệj),rịj = (v, ệj),
3 =1
v)
Hệ {4>j} trù mật trong H, (nghĩa là L({ậj}) =FL).
Hồ Duy Bình
4
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Định lí 1.2.5 (Xem [7J). Xét toán tử tuyến tính A: D(A) c % —* %, và
ộj & 'Hị{tì) sao cho
ị -Aộj{x) = Xj(ị)j{x), x £ Ũ ,
Ị ệj(x) =0,
X
^
E ôíi,
khi đó mỗi trị riêng Xj là một số thực thỏa mãn
0 < Ai < A2 < A3 < • • • < X j < ■ ■ ■ và X j —> 00 khi j —> 00.
Định lí 1.2.6. Với mọi u e D(A), ta có
00
Au = J2 X AU’Mfa3 =1
Hơn nữa, các mệnh đề sau là tương đương
i) u
ii) £A j ( u , ộj)ộj hội tụ,
3=1
Ui) £ Aj| (u, ệj) |2 < 00.
3=1
Định nghĩa 1.2.7. Toán tử tuyến tính A : X —> Y được gọi là bị chặn nếu
11^11T L ( X , Y ) ~
SUP
{ 11^u \ \ Y ' IMIX — 1^ 00'
Chú ý 1.2.8. Một toán tử tuyến tính bị chặn thì liên tục.
Định nghĩa 1.2.9. Cho Hi, H 2 là hai không gian Hilbert. Toán tử tuyến tính
A: Hi —> H .2 được gọi là toán tử compact nếu ảnh A(£?) của hình cầu đơn
vị B trong Hi là compact tương đối trong H .2 với
B = {x e Hi : llxll^ < 1}.
Nếu A là toán tử compact thì
I|A||L(X,F) = sup ||Ax||y < sup{||y||^2 : y E A(£?)} < 00.
Khi đó, ta suy ra A liên tục.
Hồ Duy Bình
5
Toán ứng dụng
1.3
Luận văn Thạc sĩ
Các hàm đặc biệt
Định nghĩa 1.3.1 (Hàm Gamma). Với z & c và Re(z) >0 thì hàm Gamma được
định nghĩa như sau
Tính chất
i) r(z +1) = zr(z),
ii) r(i) = 1,
iii) r(n + 1) = n\ với n e N.
Định nghĩa 1.3.2 (Hàm Mittag-leffler[5j). Cho z e c, a > 0, ft > 0, khi đó hàm
Mittag-leffler được kí hiệu và xác định như sau
oo
h
Tính chất
i) ^(0) — r(/3) ~ 1’ 13)
ệl — p Z
ii) E^(z) = Erp)_=e
e
’
k—r(fc+i)
1
hi) E ữ ĩ i(z) r(fca+i)’
k—1
iv) £„,2(z) = E
1.4
k=ữ
Các phép biến đổi tích phân
Định nghĩa 1.4.1 (Hàm gốc). Cho hàm / thỏa các điều kiện sau
Hồ Duy Bình
6
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
i) Hàm / là hàm đo được trên (0, oo),
ii) Hàm / không tăng nhanh hơn một hàm mũ khi t —> 00, nghĩa là
> 0,3M > 0, |/(í)| < Me a t , Ví > 0.
Số CKo = ỉnfa, với tất cả a thỏa (ỉỉ) được gọi là chỉ số tăng của / hay hoành
độ khả tổng của /. Lưu ý rằng có thể (ỉỉ) không thỏa với CKo- Hàm / có các
tính chất (i) — (ỉỉ) được gọi là hàm gốc.
Định nghĩa 1.4.2 (Phép biến đổi Laplace). Cho hàm / là hàm gốc với chỉ số
tăng CKo- Hàm phức biến phức F xác định bởi
xác định trên miền Rep > 0, được gọi là phép biến đổi Laplace của f và kí hiệu
là F = £(/).
Định nghĩa 1.4.3 (Phép biến đổi Laplace ngược). Cho hàm gốc f trơn từng khúc
trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t > 0, chỉ số tăng là CUQ. Khi đó
'£+200
1 /ȣ+200
pt
/(í) = £ (F(p)) = -^7 / e F(p)dp, X > a 0 .
-1
£—200
Jx—ioo
Tích phân trên được hiểu theo nghĩa giá trị chính và công thức này có tên là
công thức Mellin.
Định nghĩa 1.4.4 (Tích chập). Tích chập của hai hàm số phức biến thực / và g
trên (0, oo) là một hàm phức được kí hiệu và xác định như sau
(1.2)
Một số tính chất của tích chập
i) f *9 = 9* f,
Hồ Duy Bình
7
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
ii) f * {g * h) = {f * g) * h,
iii) / * (ag + bh) = a(f * g) + b(f * h) trong đó a và b là các hằng số.
Định lí 1.4.1. Nếu £{f(t)) = F(p) và £[g(t)) = G(p) thì
£[af{t) + bgự)] = a£({f{t)) + b£({g{t)) = aF(p) + bG{p), (1.3)
với a, b là các hằng số phức. Ngược lại ta củng có
c- 1 [ a F ( p ) + b G ( p ) ] = aC~ l [ F ( PỸ Ị + bC~ l (G(P))
= af{t) + bg{t).
(1.4)
Định lí 1.4.2 (Định lý Borel). Nếu £(f(t)) = F(p) và £{g{t)) = G{p) thì
G[f{t) * g{t)} = £{f{t)) * £{g{t)) = F(p).G{p),
(1.5)
và
£~ 1 [F(p).G{p)] = £~ l {F{pỴ) * £~ l {G{p)) = f{t) * g(t).
(1.6)
Định lí 1.4.3. Một số công thức biến đổi thường dùng
i) £ ( C ) = — với p > 0 c là hằng số,
và
p *
ii
) £ ( t n ) - p n í i , Vp > 0, Vn e N,
U £ ( t a ) = ^,Va> - l , p > 0,
i)
i v C ( E ,1 ( p n ) với
a
)
\ i u p a \ < 1 : P > 0,
v £(tE
với
< 1 : P > 0,
) c
>■>(/““)) = & \ / i p a \
v i £ ( t a l E a ^ ( ị i t a ) ) - r—, v ớ i \ / i p a \ < l , p >
0. ụ *
) ~
pC
1.5
Một số định nghĩa và kết
quả cần biết
Định nghĩa 1.5.1 (Tich phânRiemann-Liouville). Cho X là một không gian
Banach, / £ L1(0,T, X) và a > 0 Toán tử tích phân Riemann Hồ Duy Bình
8
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Liouville được kí hiệu và xác định như sau
I a u{t)
(1.7)
0
Định nghĩa 1.5.2 (Đạo hàm Caputo). Cho u e ^42 [0, T] và 1 < a < 2. Đạo hàm
Caputo được kí hiệu và xác định như sau
dịU(x, t) =
2 _ a du{x,t)
dt
r(2
W
(í
_ a d 2 u(x,s)
ds. (1.8)
ds 2
_í):
I
i) B(u,v) = /(1 - s) u V x ds =
0
Tính chất
_
b
0
u_1
ii) B a ị,(lí, v) = J(b — s) (s — aỴ^ds = (b — a) u + v ~ l B(u, v),
a
iii) I^d^u = u(x, t) — tu'(x, 0) — u(x, 0) với 1 < /3 < 2.
Định nghĩa 1.5.3 (Tính chỉnh và không chỉnh theo nghĩa Hadamard). Giả sử u,
V là các không gian định chuẩn và một ánh xạ K: u —> V (tuyến tính hoặc
phi tuyến). Bài toán Ku
= V
gọi là chỉnh, nếu thỏa các tính chất sau
i) Tính tồn tại (existence): Với mọi V E V tồn tại u E u sao cho Ku = V ,
ii) Tính duy nhất (uniqueness): Với mọi V E V tồn tại duy nhất u E u sao
cho Ku =
V,
iii) Tính ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào V, nghĩa là với
mọi dãy {u n} c u và Ku n
—> V
thì u n —> u.
Nếu bài toán không thỏa ít nhất một trong ba tính chất trên thì bài toán
đó được gọi là không chỉnh (ill-posed).
Hồ Duy Bình
9
Toán ứng dụng
Luận văn Thạc sĩ
Sự chỉnh hóa, nghĩa là ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (ứng với dữ
liệu chính xác) và nghiệm chỉnh hóa (ứng với dữ liệu "nhiễu"). Một sự chỉnh
hóa được gọi là tốt nếu sai số xấp xỉ càng nhỏ.
Định nghĩa 1.5.4 (Hàm Lipschitz).
a) Hàm /: M. X H —> H được gọi là Lipschitz toàn cục (Globally Lipschitz),
nếu thỏa
\\f{t,w) - f{t,v)II < K\\w - u II, trong đó, K là hằng
số không phụ thuộc vào w,
V
E ĩỉ và t E M.
b) Hàm /: M. X % —> % được gọi là Lipschitz địa phương (Locally Lipschitz),
nếu thỏa
\\f{t,w) - f{t,v)II < K M \\ W - uII,
trong đó, K M là hằng số phụ thuộc vào M với ||it;||, ||u|| < M và t ẽ M.
Định nghĩa 1.5.5 (Điểm bất động và ánh xạ co).
• Cho ánh xạ F : X —> X. Ánh xạ F được gọi là có điểm bất động nếu tồn
tại Xo thuộc X sao cho F ( X Q ) = Xo• Cho (X,d) là không gian metric. Anh xạ F: A —> X được gọi là ánh xạ co
nếu tồn tại số k E [0 ; 1) sao cho d(F(x ),F(y)) < kd(x,y), với mọi X, y
E X.
Định lí 1.5.1 (Nguyên
lý
ánh
xạ CO
Banach). Cho ( x , d ) là không gian
metric đầy đủ và F là một ánh xạ co trong X. Khi đó tồn tại duy
nhất Xo £ X thỏa F(xũ) = Xo- Hơn nữa, với mọi x' E X thì F n (x') = Xo
khi n —> +oo.
Hồ Duy Bình
10
