Toán cho vật lý III lý thuyết nhóm và tenxơ

T R

Ư

Ờ

N

G

Đ

Ạ I

H

Ọ

C

Q

U

Ố

C

G

I A

H

À

N Ộ

I

TRƯỞNG ĐẠI HỌC
KHOA HỌC
Tự■ NHIÊN
■
a

— —______________ __ ....

NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

* LÝ THUYẾT NHÓM
* TENXO
TT TT-TV * ĐHQGHN

530.15
NG-D
2007

1

VV-D5/18364

\_X7

N H À XUẤT B Ả N K H O A H O C V À K Ỹ THUÂT


NGUYÊN ĐÌNH DŨNG

TOÁN CHO VẬT LỶ III
■

.L Ý THUYẾT NHÓM
•TENXƠ

U J
NHÀ X U Ấ T BẢN K H O A HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NỘI - 2 0 0 7


Chịu trách Iihiệm xuất bản:
Biên tập:

PGS. TS. T O Đ A N G H A I
N guyễn Kim Dung, N guyền SI Hiệp

V ẽ bìa:

Hương Lan

N H À XUẤT BẲN K H O A H Ọ C VÀ KỸ T H U Ậ T

70 Trần Hưng Đạo, Hà Nội

In 300 cuốn, khổ 14,5 X 20,5 cm, tại Nhà in Khoa học và công nghệ.
Giấy phép xuất bản s ố : 193-2007/CXB/3-06/KHKT, do Cục xuất
bản cấp ngày 18 tháng 3 năm 2007.
In xong và nộp lưu chiểu tháng 9 năm 2007.


LỜI MỞ ĐẦU
Cuốn sách này được soạn thảo theo chương trình giảng
dạy môn Lý thuyết nhóm và tenxơ cho sinh viên khoa vật lý,
sinh viên hệ cử nhân khoa học tài năng, được Trường Đại học
Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia duyệt.
Cuốn sách này được viết nhằm giúp cho sinh viên, học
viên cao học và nghiên cún sinh nắm được các công cụ toán
học phục vụ cho việc học tập, nghiên cứu các vấn đề của vật
lý hiện đại.
Trong cuốn sách này đã trình bầy các kiến thức cơ bản
của lý thuyết nhóm , lý thuyết biểu diễn nhóm, đại -cương về
nhóm Lie, đại số và giải tích tenxơ, ứng dụng tenxơ trong lý
thuyết tương đối hẹp. Phần bài tập giúp cho việc nắm chắc
kiên thức. Phần phụ lục giúp các học viên hiểu và nắm vững
khái niệm và tính chất cơ bản của không gian tuyến tính các
hàm.
Cuốn sách này được soạn thảo dựa vào các bài giảng về
lý thuyết nhóm và tenxơ m à chúng tôi đã trình bầy trong
những năm gần đây ở Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội.
Chúng tôi cũng tham khảo các sách giáo khoa về lý
thuyết nhóm và tenxơ đã xuất bản ở trong và ngoài nước.

Cuốn sách được viết chủ yếu cho sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh K hoa vật lý Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên nhưng cũng có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh
viên, nghiên cứu sinh các Trường Đại học khác.
3


V ì k i n h n g h i ệ m c ò n ít c h o n ê n c h ắ c c h ắ n c u ố n s á c h n à y

còn nhiều thiếu sót. Chùng tôi chân thành m onạ bạn đọc góp
ý kiến phê bình để cuốn sách ngày m ột hoàn thiện hơn.
rrĩ '

• ?

I ác gia

PGS. TS. N G U Y Ễ N Đ ÌN H DŨNG

4


MỤC
LỤC
m
•

Trang

Lời nói đ ầ u ...........................................................................................................................3

Mục lục.......................................................................................................... 5
Chương I: LÝ THUYẾT NHÓM.......................................................................................... 7
§1. Khái niệm vế nhóm ......................... .............................................................................7
§2.
§3.
§4.
§5.

Một số ví dụ vé nhóm................................................................................................. 10
Các lớp ké của nhóm, nhóm con bất biến...............................................................16
Tính đồng cấu và đẳng cấu giữa hai nhóm............................................................. 18
Nhóm các phép quay trong không gian Euclide thực
hai chiếu SO(2)............................................................................................................ 19
§6. Nhóm các phép quay không gian Euclide ba chiếuSO (3)....................................21
§7. Tích trực tiếp của hai nhóm....................................................................................... 24
§8. Nhóm trực giao ba chiều...........................................................................................26
§9. Nhóm SU(2) các phép biến đổi unita cổ định thứcbằng một trong
không gian Euclide phức hai chỉéu.......................................... ’ ................................ 26
§10. Nhóm đối xứng các phân tử tinh th ể ....................................................................... 32
§11. Khái niệm nhóm điểm tinh th ể ................................................................................. 33
§12. Các nhóm điểm tinh thể học.................................................................................... 37
Chương II: ĐẠI CƯƠNG VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM...................................... 41
§13. Định nghĩa biểu diễn nhóm .......................................................................................41
§14. Một số ví dụ vế biểu diễn nhóm ...............................................................................43
§15. Biểu diện khả quy và biểu diễn bất khả q u y .......................................................... 45
§16. Biểu diễn tương đương, hàm đặc biểu của biểu diễn.............................................49
§17. Biểu diễn unita.......................................................................................................... 53
§18. Các bổ đé Shur.......................................................................................................... 61
§19. Các định lý vé biểu diễn tối giản (các hệ thức trựcgiao), hệ các v é c tơ ............... 65

cơ sở của không gian các hàm trên nhóm.
§20. Các định lý vé hàm đặc biểu của các biểu diễn tốigiản.......................................75
§21. Tích trực tiếp của hai biểu diễn...... .........................................................................80
§22. Biểu diễn iiên hợp (Biểu diễn đối ngẫu)..................................................................84
Chương III: ĐẠI CƯƠNG VẾ NHỎM LIE........................................................................ 87
§23. Các khái niệm vé nhóm Tôpô và nhóm Lie............................................................ 87

5


§24.
§25.
§26.
§27.
§28.
§29.

Các tính chất của nhóm Lie...................................................................................... 90
Các hằng số cấu trúc và các định lý vé nhóm L ie ................................................ 92
Biểu diễn các phần tử của nhóm theo các vi t ử .....................................................98
Đại số Lie của nhóm Lie........................................................................................... 99
Một số ví dụ vé nhóm L ie .....................................................................................100
Nhóm Lie liên thông, nhóm Lorentz tổng q u á t...................................................103

Chương IV: CÁC KHÁI NIỆM VÉ TENXƠ VÀ ĐẠI s ố TENXƠ................................107
§30. Các toạ độ hiệp biến và phản biến của v é c tơ ...................................................107
§31. Hệ toạ độ cong của không gian ba chiếu........................................................... 109
§32. Các phép biến đổi toạ độ tổng quát.....................................................................112
§33. Véctơ phản biến, véctơ hiệp biến........................................................................ 113
(íenxơ phản biến, tenxơ hiệp biến hạng một).

§34. Định nghĩa tenxơ phản biến, tenxơ hiệp biến, tenxơ hỗn hợp........................... 115
§35. Định nghĩa tenxơ đối xứng, lenxơ phản đối xứng.............................................. 117
§36. Đại sốtenxơ........................................................................................................... 118
§37. Vi phân cung đường (khoảng), tenxơ m etric...................................................... 122
§38. Giả tenxơ (tenxơ tương đối với trọng số

T )....................................................... 126

Chương V: GIẢI TÍCH TENXƠ....................................................................................128
§39. Các ký hiệu Christoffel........................................................................................ . 128
§40. Đạo hàm hiệp biến................................................................................................ 132
§41. Dạng tenxơcủa gradient, divergence, rota, Laplacian...................................... 135
§42. Đạo hàm tuyệt đối của tenxơ................................................................................137
§43. Tenxơ độ cong Riemann - Christoffel..................................................................138
Chương VI. ỨNG DỤNG TENXƠ TRONG LÝ THUYẾTTƯƠNG ĐÓI H Ẹ P ............ 141
§44. Nguyên lý tương dối của Einstein........................................................................ 141
§45. Khoảng và thời gian riêng của vật....................................................................... 143
§46. Không gian Minkovski............................................................................................. 146
§47. Các phép biến đổi Lorentz.....................................................................................149
§48. Các phương trinh chuyển động tương đối tín h .....................................................157
§49. Tích phân tác dụng đối với hạt tương đối tính.......................................................164
§50. Phương trinh Lagrange tổng quát, tenxơ năng xung lượng.................................168
§51. Thế bốn chiéu và mật độ dòng bốn chiéu............................................................ 174
§52. Các phương trình trường điện từ dạng bốn chiéu................................................ 176
§53. Các bất biến của trường điện từ ............................................................................ 180
§54. Tenxơ năng xung lượng trường điện t ừ ................................................................ 182
Bài tậ p ..............................................................................................................................184
Phụ lục: Không gian tuyến tính các hám..................................................................... 200
Tài liệu tham khảo........................................................................................................ 208

6


Chưo ng I

LÝ THUYẾT NHÓM
§1. KHÁI N I Ệ M V Ề N H Ó M
1. Đ ịn h nghĩa nhóm
Nếu một tập hợp G, trong đó có xác định một luật hợp thành
trong nào đó, gọi là phép nhân nhóm, cho phép lập từ mỗi cặp hai phần
tử a, b E G một đại lượng xác định, gọi là tích và ký hiệu là ab, thoả
mãn các tiên đề sau:

• Tính kín
a b e G với m ọ i a, b E G.
• Tính kết hợp
a(bc) = (ab)c với mọi a, b, c E G
• T ín h có đơn vị
Có tổn tại m ột phần tử đơn vị e E G sao cho
ea = ae = a với mọi a E G.
• Tính có nghịch đảo
Với mọi phần tử a e G , có tồn tại một phần tử xác định
a " 1e G , sao cho a a ' 1 = a'*a = e, với mọi a e G, thì tập hợp G được gọi
là một nhóm.
N h ó m G được gọi là nhóm giao hoán hay n hóm Abel, nếu với

mọi a, b E G ta có ab ==ba.
2. Đ ịnh n gh ĩa nhóm con
Một tập hợp con E của nhóm G, cũng làm thành một nhóm đối
với phép nhân của n h ó m G, gọi là nhóm con của G.

7


Tất nhiên phần tử đơn vị e và toàn bộ nhóm G đều là những
nhóm con của G. Hai nhóm con này gọi là nhóm tầm thường. Những
nhóm con không tầm thường là nhóm con thực sự.
3. N hóm hữu hạn, vô hạn và liên tục
- Số phần tử của một nhóm gọi là cấp của nhóm. Nếu cấp của
nhóm là m ộ t số hữu hạn thì n h ó m gọi là hữu hạn. Trong trường hợp
ngược lại, nhóm gọi là vô hạn.
- Nếu mọi phần tử của nhóm vô hạn G đều là một hàm liên tục
của những tham s ố nào đó và hoàn toàn được xác định bởi giá trị của
những tham số này, thì nhóm G gọi là nhóm liên tục. Ta quy ước các
tham số này là các biến số đ ộ c lập.
- Nếu mọi phần tử của nhóm liên tục G đều là hàm khả vi theo

các tham số độc lập, thì nhóm G được gọi là nhóm Lie.
4. Nhóm tuần hoàn (nhóm vòng)
Do tính chất kết hợp của phép nhân nhóm ta có thể ký hiệu
_ =

an

n lần

N hóm hữu hạn được sinh ra bởi m ột phần tử a, nghĩa là gồm các
phần tử có dạng a, a2, a \ ............an = e gọi là nhóm tuần hoàn hay
nhóm vòng.
5. Bảng nhân nhóm

Với các nhóm hữu hạn ta có thể trình bày phép nhân nhóm dưới
dạng bảng nhóm được thiết lạp như các bảng nhân số thực thông
thường, ta có sơ đồ nhân như sau:
G:
e
••
• • fii • •
gl
• - g„
gi
glgl- ■■
glÌ2- • •
glgi- • ■ glgn • • •
gi
gĩgỉ- ■■
gígl- • •
g2gi- • •
gỉgn- • •

8

§J

gjg.

gjg2

gjgi

gjgn

g„

ênêl

ễnỗ2

Snẽi

gngn


Tất n h iê n việc cho bánẹ nhân nhóm là tương đương với định
nghĩa nhóm đó.
Ví dụ: N h ó m quaternion Q

Q:

e

-e

-e
i

i

-i

j

e

-i

i

i

-e

e

-j
k

i

e

-e

-

-i

k

-k

J
-k

-k

k

J

-j

-k

k

-j

-j

j

-j

-k

k

-e

e

i

j
-i

-J
k

J
-k

k

-k

e

-e

- i

i

J

-j

-i

i

-e

e

-k

k

-j

J

i

-i

e

-e

N hó m quaternion là nhóm gồm 8 phần tử e, -e, i, -i, j, -j, k, -k
mà phép nhân kết hợp xác định theo bảng trên.
Trong đại số học người ta thường gọi số quaternion là tổ hợp
tuyến tính
ae + bi + cj + dk; a, b, c, d E R, R là trường số thực.
Tập hợp các số quaternion với phép nhân xác định theo bảng
trên, làm thành m ộ t cấu trúc đại số gọi là thể quaternion.
•

Người ta thường m ở rộng một nhóm để lập ra một đại số. Một
đại số là m ộ t tập hợp các phần tử lập thành một khồng gian tuyến tính
trong đó ngoài phép cộng ra người ta còn định nghĩa một phép nhân
tuân theo các tiên đề của nhóm, chỉ trừ phần tử không của đại số là
không có phần tử nghịch đảo.
6. Đ ịnh nghía phần tử liên hợp
Phần tử a của nhóm G được gọi là liên hợp với phần tử b của

nhóm này nếu có một phần tử Xnào dó thuộc nhóm G mà
x a X-1 = b

(1.3)

Quan hệ liên hợp trên là một quan hệ tương đương vì nó thoả
m ã n ba tính chất

9


• Tính phản xạ:

a liên hợp với a (trong (1.3) cho X = e).

• Tính đối xứng: a liên hợp với b, thì b liên hợp với a.
V ì a = y b y ~ 1 với y = x _1
• Tính bắc cầu:

Nếu c liên hợp với b và b liên hợp với a thì c

liên hợp với a. Quả vậy, từ b = x a x " l , c = z b z " 1 , ta suyra

ngayc = (z x )a (z x )_l.
7. Lớp các phần tử liên hợp
Vì mối quan hệ liên hợp là m ột quan hệ tương đương cho nên tất
cả các phần tử của nhóm G liên hợp với m ột phần tử xác định nào đó
đều liên hợp với nhau và do đó ta có thể chia nhóm G thành các tập
hợp con m à tất cả các phần tử trong mỗi tập hợp đều liên hợp với
nhau. M ôi tập hợp con các phần tử liên hợp với nhau của nhóm G gọi
là một lớp các phần tử liên hợp. Chú ý rằng hai lớp khác nhau không
có một phần tử chung nào cả, nghĩa là k h ô n g giao nhau.
§2. M Ộ T SỐ V Í DỤ V Ể N H Ó M
1. Tập hợp các véctơ trong khồng gian véctơ thực n chiều R" tạo
thành nhóm với phép nhân nhóm ỉà phép cộng các véctơ.
- Tổng của hai véctơ thuộc

R n cũng là véctơ thuộc

R n (tính

kín).
- Phần tử đơn vị là véctơ 0.
- Phần tử nghịch đảo của véctơ X là véctơ - X . N h óm này là
nhóm giao hoán vì nếu X , ỹ e R n thì ta có X + ỷ = ỹ + X .
2. Tập hợp các ma trận vuông n X n chính quy (có m a trận
nghịch đảo) tạo thành nhóm nhân, ký hiệu là GL(n).
Nếu các yếu tố của
yếu tố m a trận là phức thì
là hai m a trận với các yếu
AB là m a trận với các yếu

10

ma trận là thực thì ký hiệu là GL(n, R), các
ký hiệu là GL( n, c ). Ta đã biết nếu A và B
tố m a trận Ajj và Bịj, i, j = 1, 2 , .......... n, thì
tố ma trận.


II
( A B ) m - yy ^ j Aj k B kj = A ikB kj

Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp, nhưng nói chung không
giao hoán. Phần tử đơn vị của nhóm là m a trận đơn vị mà các yếu tố
của nó bằng
0 khi i * j

Phần tử nghịch đảo của ma trận A là m a trận A ' 1
A ‘A = A A 1 = I
Chú ý rằng m a trận tích AB có m a trận nghịch đảo là
( A B ) 1 = B '‘A
3.
Tập hợp các ma trận vuông n X n với định thức bằng 1 cũng
tạo thành nhóm nhân, vì rằng : Nếu A có định thức bằng 1 (det A = 1)
thì A ' 1 cũng có định thức bằng: det A ~ ’ =

— = 1
det A

Nếu A và B đều có định thức bằng 1 thì tích AB cũng có định
thức bằng 1:
det (AB) = (det A) (det B) = 1

N hóm các ma trận vuông (n X n) với dịnh thức bằng 1 được ký
hiệu là nhóm SL(n). Nếu các yếu tố của m a trận là thực thì ký hiệu
n h óm là SL(n, R),
Nếu các yếu tố của m a trận là các số phức thì ta ký hiệu nhóm là
SL(n, C).
Các nhóm SL(n) là các nhóm con của n h ó m GL(n).
4.
N hóm O(n) - Tập hợp c á c m a trận t h ự c trực giao (n X n ) . M a
trận vuông thực n X n, ký hiệu là o , có tính chất
o 1o = o o 1 = I
nghĩa là 0 ‘ = O ' 1 được gọi là m a trận trực giao.
Từ đây ta có ngay

11


(C r')T = o = ( O - y
nghĩa là o 1 cũng là m a trận trực giao.
Để chứng tỏ rằng nếu 0 | và 0 2 là hai m a trận trực giao thì tích
0 t0 2 c ũng là m a trận trực giao:
Nếu o / = O í ' , O j = 0 ^

thì

( 0 , 0 2) r = oỊ Oj = O ĩ 10] 1 = ( 0 ,0 2r '
5. N hóm SO(n) - Tập hợp các m a trận trực giao n X n với định
thức bằng 1 (chứng m inh tương tự)
6. N h ó m U(n) - Tập hợp các ma trận unita n X n
M a trận phức n X n, ký hiệu là u , có tính chất
u + u = U Ư + = I nghĩa là ư + = U ' 1, gọi là m a trận unita (n X n).

T ừ đáy có ngay (U ')+ = u = (IT 1)'1, nghĩa là U '1 cũng là m a trận
unita.
Ta dễ nhận thấy nếu ƯJ và ư 2 là hai m a trận unita thì tích U |U 2
. cũng là m a trận unita.
Nếu

= U f ' , \J+
2 = U 2 1 thì

( U , U 2) + = u ; u r = u ^ u r 1 = ( u , u 2 r '
7. N hóm s ư ( n ) - Tập hợp các m a trận unita n X n với định
thức bằng 1 (chứng m inh tương tự). Các n h ó m SU(n) là các nhóm con

của các nhóm Ư(n).
8. N hóm SO(n, m) - Tập hợp các phép biến đối tuyến tính thực
bảo toàn tích vô hướng trong không gian giả Euclide thực (n + m)
chiều.
Tích vô hướng trong không gian giả Euclide thực (n + m) chiều
được định nghĩa như sau:
(a ’ b) ~ ( ^ 1^1 +•••

^n^II ) — (^n + l^n + I

^n + m^n +m )

T heo thuyết tương đối của Einstein không gian vật lý ba chiều
và thời gian là một thể thống nhất và tạo thành khôn? gian giả Euclide
thực 4 chiều Minkovski.

12

• Mỗi véctơ X trong không gian này có ba thành phần không
gian là các toạ độ của véctơ bán kính f và thành phần thời gian ct (c
vận tốc á n h sángo trons<_ chân không).
o '
• Tích vỏ hướng của hai véctơ bốn chiều X = (ct, f ) và x ’ = ( c t \
?') được định nghĩa như sau:

(x, X1) = c2t t' - r. r'
Các phép biến đối tuyến tính không - thời gian bảo toàn tích vô
hướng nói trên gọi là các phép Lorentz và tạo thành nhóm Lorentz. Đó
chính là nhóm s o (1,3)
9. N hóm U(n, m) - Tập hợp các phép biến đổi (phức) tuyến tính
bảo toàn tích vồ hướng trong khồnơ gian giả Euclide phức n + m
chiều.
Tích vồ hướng trong không gian giả Euclide phức n + m chiều
được định nghĩa như sau:
{a,b) = ( a ‘ b, +... + a * b n ) - (a* + 1b n+I + ... + a * +nib n+m )
Nếu ta dặt thêm điều kiện định thức của các phép biến đổi phải
băng 1, thì ta có nhóm SU(n, m), là một nhóm con của nhóm U(n, m).
10. Tập hợp các phép tịnh tiến củ a một không gian thực n chiều
tạo thành nhóm đối với phép nhân nhóm được định nghĩa như sau:
Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến, ta được một phép tịnh tiến gọi là
tích của chúng.
Ký hiệu

Tã và

là hai phép tịnh tiến không gian trong đó

điể m r bất kỳ chuyển thành r + a và r + b,
Tã • f

^ r H" â

T,b : r - > r + b
rì nực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến này, ta có:

Tr.Tr
: r —> r + ã - > r -ỉ- ã + b
a b
Hai phép tịnh tiến này cho kết quả tương đương với phép tịnh
tiến T .
b +á

13


Phần tử dơn vị của nhóm Tỏ = E
Ta dễ dàng thấy rằng T_ã = (T ã ) _1
Các phép tịnh tiến của m ột không gian thực n chiều tạo thành
nhóm tịnh tiến T(n). Đó là một nhóm giao hoán. N h ó m tịnh tiến đảng
cấu với nhóm các véctơ trong không gian m à phép nhân nhóm là phép
cộng các véctơ.

11. N hóm ^ - N hóm nghịch đáo không gian (nhóm đối xứng
qua gốc toạ độ).
Phép nghịch đảo không gian ta ký hiệu là I thì

Ir = - r
Ị 2 f = r từ đó suy ra I2 = 1 và r 1 = I
Tập hợp ((?y{ 1, IỊ làm thành mọt nhóm nhân giao hoán. N h ó m
này là nhóm hữu hạn có hai phần tử.
Bảng nhân của nhóm này là

1

I

1

1

I

I

I

1

1

12. N hóm

- N hóm đối xứng qua mặt phẳng

Phép phản chiếu qua m ặt phảng ta ký hiệu là c r , ta có
ơ ơ = ơ ~ = 1 => ơ 1 = ơ

Tập hợp r<^s {1, ơ*} làm thành một nhóm nhân giao hoán.
N hóm này có hai phần tử.
Bảng nhân của nhóm này là


n

1

ơ

1

G

1
1
ơ

ơ

1

13. Nhóm hữu hạn D,
D*

:

e

a

b

c

d

f

a

e

d

f

b

c

b

f

e

d

c

a

c

d

f

e

a

b

d

c

a

b

f

e

f

b

c

a

e

d

a

d ' 1= f

b

f = d

c

e là phần tử đơn vị

D , là nhóm nhân hữii hạn gồm 6 phần tử. N hóm này k h ô n ” giao
hoán.
:
14. N hóm các sắp hàng lại của n vật (Nhóm Sn)
N h ó m các sắp hàng lại cùa n vật được gọi là n h ó m đối xứng trên
n vật và ký hiệu là s„.
M ộ t phần tử điển hình c ủ a S5 có thể viết là [ 24153 ], có nghĩa:

đặt vật thứ hai ở chỗ vật thứ nhất, vật thứ tư ở chỗ vật thứ hai, V.V....
Hai p h ầ n tử được nhân với nhau như sau: Trước hết thực hiện sắp hàng
lại ỏ bên phải, sau dó thực hiện sáp hàng lại tiếp.
V í dụ:
[ 24153 ] [51234 ] abcde = [ 24153 ] eabcd = acedb = [ 13542]
abcđe
D o đó:

[ 24153 ] [51234] = Ị 13542]
C ấp của nhóm đối xứng s„ hiển nhiên n!.
M ộ t khái niệm rất có ích đối với nhóm đối xứng s„ là sự phân

15


tích một hoán vị thành các chu trình. Chẳng hạn hoán vị [31254] đạt
vật thứ nhất ở chỗ thứ hai, vật thứ hai ở chỗ thứ ba và vật thứ ba ờ chỗ
thứ nhất; hoán vị đó lập thành m ộ t chu trình ký hiệu (123). Ngoài ra sự
đổi chỗ hai vật thứ tư và thứ năm lại lập thành m ộ t chu trình của hai
vật đó (45), như vậy bằng ký hiệu chu trình hoán vị trên có thể viết là:
[ 3 1 2 5 4 ] = (123) (45)
V í dụ khác :
Hoán vị [ 13542 ] viết theo ký hiệu chu trình là (1) (253) (4).
R õ ràng rằng thứ tự viết các chu trinh khồng quan trọng và các
s ố trong bản thân một chu trình bất kỳ có thể hoán vị vòng quanh cho
nhau.
§3. C Á C L Ớ P KỀ C Ủ A N H Ó M , N H Ó M C O N B Ấ T b i ê n
1. Định nghĩa lớp kề của nhóm
Giả
g0 = e, g|

phần tử a,
nhóm con
n h ó m con

sử nhóm G có m ột nhóm con G| g ồ m những phần tử
, g2... và cho a là phần tử bất kỳ của nhóm G. Tập hợp các
agj , ag2.....thu được bằng cách nhân tất cả các phần tử cùa
G ị với a từ bên trái đlrợc gọi là lớp kề trái của nhóm G theo
Gj và ký hiệu là:

a G , : {agi Ịg, e G, ị
Tương tự như vậy, tập hợp các phần tử a, g,a, g 2a ..........thu được
bằng cách nhân tất cả các phần tử của Gị với a từ bên phải được gọi là
lớp kề phải của nhóm Ci theo n h ó m con G| và ký hiệu là:
G ia : {gi a ig, e G , }
Hai lớp kề trái (phải) hoặc không có một phần tử chung nào,
hoặc hoàn toàn trùng nhau.
T a chứng minh điều trên đối với lớp k ề trái với lớp kề phải có
thể lặp lại lý luận tương tự.
Giả sử hai lớp kề trái aG| và bGị của nhóm G theo n h ó m con Gị

có một phần tử chung, nghĩa là có hai phần tử g| và g2 của nhóm con
G, mà
agi = bg2 -

16

g i . g ỉ e G,

N hân cá hai vẽ cứa hệ thức này với íiị 1 từ bèn phai, ta có
a = b

li/

M ọi phần tử cùa lớp kề trái aG, có dạng
ao.
V1

§ 2 ể i 1 gi

ho-, o

a

p

£= G| cho nên b g .g ^ g ,

(= rì
là một phán tử của lớp ke bGj.

Vậy mọi phần từ cùa aG| dều thuộc vào lớp bG|, nẹhĩa là aCỈ| d bGj.
Tương tự như vậy bGị c

aCìị .

Hai hệ thức này chứng tỏ ràng hai lớp kề aG| và bCi| phải trùng
nhau aGị = bG | .
Ngược lại, nếu chúng không trùng nhau thì chúng không thể có

phần tử nào chung.
2.

Đ ịnh lý L a g r a n g e

C ấp của nhóm con Gj của nhóm hữu hạn G là ước số của cấp
của nhóm Ci.
Chứng m inh: Ta xét m ột nhóm hữu hạn G cấp n và giả sử 11Ó có
một nhóm con G | cấp nJ. Từ mệnh đề vừa dược chứng minh ờ trên ta
suy ra nhóm G được tách ra thành các lớp kề không giao nhau của
nhóm G theo nhóm con Gj, mỏi lớp đểu có cùng một số phẩn tử bằng
sô phân tử IÌỊ củ a nhóm con G |. Nếu có m lớp kề thì số các phần tử của
nhóm G là n = mnj.
• Hệ quả : Một nhóm hữu hạn có cấp bàng một sô nguyên tố
không thể có những nhóm con thực sự được.
3. Định nghĩa nhóm con bất biến
Nhóm con E của nhóm G dược gọi là nhóm con bất biến nếu với
mọi phần tử a của nhóm G , lớp kề trái aE trùng với lớp kề phải Ea:
aE = Ea.

T a còn viết

a E a '1= E

H ệ thức này chứng tó ràng với mọi phần tứ b của nhóm con E ta
luôn có aba *1 E E với bất kỳ một phần tử a nào cùa nhóm Ci.

17

Vậy, theo định nghĩa, nếu n h ó m con bất biến E chứa m ột phần
tử b nào đó thì nó cũng chứa tất cả các phần tử liên hợp với b. Nói
khác đi, một nhóm con bất biến bao ơjờ c ũ n g chứa sọ n toàn bộ từng
lớp các phần tử liên hợp.
Cho một nhóm G và một n h ó m con bất biến E của nó. Mỗi phần
tử a không thuộc vào E hoàn toàn xác định lớp kề aE và có thể dược
xem là phần tử đại diện của lớp này. Cho hai lớp kề a E và bE đại diện
bời hai phần tử a và b và xét tập hợp các phần tử là tích của m ộ t phần
tử của lớp kề aE và một phần tử c ủ a lớp kề bE. Tập hợp này được ký
hiệu là aEbE. Vì E là nhóm con bất biến c h o nên
Eb = bE , a E b E = a b E E và do đó
aEbE C l a b E
Vậy tất cả các tích đang xét đều là các phần tử của lớp kề abE
mà đại diện là phần tử ab.
4. Định nghĩa nhóm thương
Cho nhóm G và nhóm con bất biến E của nó. Trên tập hợp các
lớp kề của nhóm G theo nhóm con E ta đ ịn h nghĩa phép nhân như sau:
Tích của hai lớp kề a E và bE là lớp kề abE. Phần tử nghịch đảo của lớp
kề aE là lớp kề a'*E. Với phép nhân, phần tử đơn vị và phần tử nghịch
đảo được định nghĩa như vậy, tập h ợ p 'c á c lớp kề của nhóm G theo
nhóm con E tạo thành một nhóm gọi là n h ó m thương G/E của n h ó m G
dối với nhóm con bất biến E. Tính chất kết hợp của phép nhân trên
G/E suy ra vừ tính chất kết hợp củ a phép nhân trên nhóm G.
5. Nhóm dơn
Một nhóm được gọi là nhóm đơn nếu Ĩ1 Ó chỉ chứa các n h ó m con
bất biến tầm thường.
6. Nhóm nửa đơn
Một nhóm được gọi là nh ó m nửa đơn nếu nó khổng có nhóm
con bất biến giao hoán nào, kể cả chính nó.
§4. TÍNH Đ Ồ N G C Ấ U VÀ Đ A N G C Ấ ư g i ữ a h a i n h ó m

Cho hai nhóm G và G \ M ọi ánh xạ f từ G vào G ’ :
g — -— > g' = f ( g ) thoả m ã n điều kiện

18


f(gig2) = í(gi) f(g2) với mọi £|. g2 £ G, gọi là phép đổng cấu từ
G vào c r .
Nếu ánh xạ f

là một SOI12 , ánh (ánh xạ một đối một):

gị <-■> f(g j ) thì phép đ ồ n s cấu gọi là phép dâng cấu và ta ký hiệu
G - ơ

.

Khái n iệ m dẳng cấu cho phép đồng nhất những nhóm có cấu
trúc Iìhir nhau, m ặc dù các phán tử của các nhóm đó có thế có bản chất
khác nhau (hoán vị, phép quay, số, ma trận...).
Theo đ ịn h nghĩa, các nhóm hữu hạn đ ẳ n s cấu với nhau đều có
cấp như nhau và có bảng nhóm như nhau.
Ví dụ: Các nhóm sau đẳng cấu với nhau:
(/;
(r\

e

I

e

e

I

I

I

c

e

e
ơ

e

ơ

e
G

ơ
e

Về phương diện cấu trúc dại số thì hai nhóm đảng cấu có cấu
trúc dại số g iố n g hệt nhau.
•§5.

NHÓM

CÁC

PHÉP

QUAY

TRONG

KHÔNG

GIAN

E U C L ID E THỰC HAI C H I Ề U SO(2)
Ta xét tập hợp Ci tất cả các phép quay trong mật phảng xoy
quanh trục z:
M
\f

= g(cp) M

M" = g(i|/)M'
/

/

/
/

/ u/ /

M

(> ìk - ___________

Nếu ta thực hiện liên liếp phép quay g((p) sau đó phép quay
g(Vị/) thì ta đưa điểm M đến điểm M ” :
g(VỊ/)g(cp)M = M

(5.1)

19


Ta c ũ n 2 có thể đưa điểm M trực tiếp đến điếm iVT bàng phép
quav với góc cp + \|/ , phép này tất nhiên cĩína thuộc tập G

M" = g((p + \\f) M

(5.2)

So sánh (5.1) và (5.2) ta dược
g(cp + 1|/) = g((p).(\ị/)

(5.3)

Sự thực hiện' liên tiếp hai phép quay gọi là phép nhân phép quay
và kết quả được gọi là tích hai phép quay.
Theo (5.3) thì tích của hai phép quay cũng thuộc tập G, như vậy

tính kín được thoả mãn.
g ( a ) [g(cp)g(VỊ/)] = [ g ( a ) g ( ọ ) ] g ( v | / )

(5.4)

T a có đẳng thức (5.4) vì hai vế của đẳng thức này đều dẫn đến
kết quả như nhau bằng g ( a + (p + \|/) - Tính kết hợp dược thoả mãn.
Tồn tại phẩn tử đơn vị (phép quáy với góc quay bàng không).
g(0) = l
g ( 0 ) g ( c p ) = g((p) g ( 0 ) = g ( 0 + (p) = g(cp)
Tồn tại phép quay ngược (phần tử nghịch đảo)
g ( - ọ ) = g ' 1(cp), g(-cp) g (cp) = g(Tất cả các phép quay giao hoán với nhau cho nên G là nhóm
giao hoán. Các phần tử của nhóm đều hoàn toàn xác định bởi cp thay
dổi từ 0 —> 2ĩí cho nên SO(2) là nhóm liên tục một tham số.
Đế tìm ma trận cùa phép quay trong mặt phảng xoy quanh trục
z, ta xét một phép quay hệ toạ dộ đi một góc (p:
Ta có các véctơ cơ sở mới :
i ’ = i coscp + j sin ọ

j' = - i sin (p + j coscp
hay viết dirới dạng ma trận :

20

-A
ịF 1 T
V
\
\9

V\
\

—

1 .V


/

( i 'j ) = ( i j)

coscp

-

sincp

sincp
coscp,

Ma trân :

í
g(
coscp

^sin(p

được gọi à m a trận của nhóm,

-

s in (p

\

(5.5)

coscp )
det g( cp ) = 1.

Nhóm quay trong không gian Euclide thực hai chiều đảng cấu
với nhóm SO (2). Ta cũng gọi nhóm quay này là nhóm SO(2).
§6.

NI-ÓM C Á C P H É P Ọ U A Y K H Ô N G G IA N E U C L ID E THỰC

BA. C H I Ê U S 0 ( 3 )
Trcng m ục này chúng ta khảo sát chi tiết n h ó m S 0 (3 ) các phép
quay khổig gian Euclide thực ba chiều, vì nó là nhóm đối xứng rất
thường g;p trong nhiều lĩnh vực vật lý: vật lý nguyên tử, hạt nhân, vật
lý hạt cơ >ản.
Ta xét tập hợp tất cả các phép quay trong không gian Euclide
thực ba chiều quanh m ột điếm cố định nào đó, quanh gốc toạ độ o
chang hại. Tất nhiên những phép quay trên có thể xem như là thực
hiện quaih tất cả các trục đi qua gốc o .
Có thể chứng minh rằng tập hợp tất cả các phép quay đó tạo
thành m(t nhóm. Q u ả vậy, với mọi phép quay quanh o thì khoảng

cách r từ ỉiểm M đến o không thay đổi.
r2 = X2 + y2 + z2 = inv
Tỉĩtính chất bất biến này ta thấy rằng tích của hai phép quay (tất
nhiên quinh các trục khác nhau đi qua gốc O) cũng là m ột phép quay
thuộc tậphợp. Tích này có tính chất kết hợp. Ngịch đảo của phép quay
quanh m»t trục nào đó đi một góc (p là phcp quay quanh trục đó đi
một góc <- (p ). Phần tử đơn vị là phép quay đi một góc bằng không.
NhSm các phép quay không gian Euclide thực ba chiều được ký
hiệu là nỉóm SO(3).

21


Ta có thể ký hiệu phép quay trong không gian bời trục quay k
và góc quay (p hay bằng véctơ quay (p , dặt trẽn trục quay và có độ
lớn bằng góc quay (p .
ơ = g k(iD

(6.1)

ở đó cp i, (p 2 , (p , là các hình chiếu cùa véctơ (p xuống các trục
X, y, z. Chúng chính là các góc quay tương ứng xung quanh các trục X,
y, z. Các thành phần (p „ 9 2 . (p ? gọi là các tham số của n hóm SO(3).
N hóm SO(3) là nhóm liên tục, không giao hoán, có ba tham số và
nhặn nhóm SO(2) là nhóm con.
Các phép quay mặt phảng xoy xung quanh gốc toạ độ o đồng
thời cũng là phép quay của không gian ba chiều quanh trục oz. Ký
hiệu các véctơ đơn vị cơ sở của không gian Euclide ba chiều là
i , j , k , ký hiệu phép quay quanh trục oz đi m ột góc cp, là g(0, 0, cp,).

Phép quay này chuyên các véctơ đơn vị cơ sở nói trên thành các véctơ
đơn vị cơ sở mới sau:
i'

= icoscp,

+ j sin cp3

j' = - ĩ s i n c p ,

+ j cos
(6.2)

k' = k
Do đó m a trận cùa phép quay g(0, 0, cp,) có dạng:
-sincp3

0 '

coscp,

0

0

(6.3)

1/,

Tương tự như vậy, ma trận của các phép quay quanh các trục ox
và oy ký hiệu g(q>j, 0, 0) và g(0,

/
g(cp, , 0 , 0 )

22

=

0
0

cos(pI

v 0

sin(p,

0
-sincp,
c o s ( p ly

(6.4)


cos(p'2
g ( 0 , (p: , 0 )

=

0

0

-sin (p 2

1

-sin cp 2

( 6.5)

0

0

cos(p2

Phần tử đơn vị của nóm SO(3) tương ứng với các giá trị tham số

(Pj = cp2 = q>3 = 0. Tức là m a trận đơn vị

1

0

0

1

0

0

Đ ịnh thức của các m a trận trên đều bằng 1.
Xét nhóm quay trong không gian ba chiều SO(3). Mọi phép
quay không gian ba chiều quanh gốc toạ độ đều có thể thực hiện dưới
dạng tổ hợp của ba phép quay liên tiếp theo ba góc Euler sau đây:
Phép quay quanh trục z đi một góc (p chuyển các trục toạ độ ox và oy
thành o x ’ và o y \ phép quay quanh trục m ới o x ’ đi một góc 0 chuyến
trục o y ’ và oz thành oy" và oz’\ phép quay quanh trục oz” đi một góc
VF. Ma trận của phép quay này là tích c ùa ba m a trận tương ứng các
phép quay quanh trục oz, o x ’ và oz’\ cụ thể là:
O(v|/.0,cp) = g2.(vị;) g x.(0) g z(cp) =
co sụ

sin Vị/ cosiị/
0

0^ í ì

—sin Vị/
0

0
1

0

0

0

COS0

0

sin0

N / C0S(p

-sinG

sincp

-sin(p
coscp

cosG^ \ 0

0

c o s v Ị / c o s ọ - s i n I|/ c o s 0 s i n cp - c o s v ] / s i n ( p - s i n Vị/cos0cosq)
sinvị/coscp +COSI|/COS0SÌ!1(P

vsin0sincp

- s i n v|/sincp + c o s v | / c o s 0 c o s ( p

sinGcosq)

0 x
0

y
sin Vị/ sin 0
-COSVỊ/Sin0

cosG

( 6.6 )

Các góc \ự và (p thay đổi từ 0 đến 2 n . còn góc 0 thay đổi từ 0
đến n . N hóm SO(3) là nhóm Lie ba tham số.
* Các vi tử của n h ó m SO(3).

23


Trong giải tích toán học, chúng ta biẻt rằng đè nghiên cứu các
hàm liên tục. có thể dùng khái niệm đạo hàm. Ở đáy cũng th ế do các
phân tư m a trận cùa n h ó m SO(3) (và của nhóm liên tục nói chung) là
các hàm liên tục của các tham số, dể nghiên cứu nhóm liên tục chúng
ta cũng có thể dùng khái niệm dạo hàm các m a trận. Cụ thể ta hãy lấy
đạo hàm củ a các m a trận theo các tham số, sau đó cho các tham so
bằng 0:
o

o

o s

dg(cpỊ ,0 ,0 )
0

0

v°

1

—

ổcp

0

( 6 .7 )

tpị =0

1

0

0

0

0

n

ỡ g ((p , , 0 , 0 )

ôẹ2

(pi =0

0

- 1
'

-1

=

—

ỡq>3

<|>, =0

0 ,

0

-- 1

1

0

0

0

0

0 ,

ỡ g (0 ,0 ,c p ,)
I,

( 6 .8 )

0 N
( 6 .9 )

Cắc đại lượng I „ I2, I, gọi là các vi tử của nhóm SO(3). Dề dàng
thấy rằng các giao hoán tử của các vi tử đó bằng:
Í I „ I 2] = I,I2 - I 2I 1 = I,
[I2, I , ] = I| ,

[I.„I,] = I2

hay viết dưới dạng:
[Ij, Ij] — e ljk Ik

(6 ] 0)

ơ đ ó c ijk là tenxơ hoàn toàn phàn đối xứng hạng ba trong khổng
gian ba chiểu.
= 1.
§7.

T Í C H T R Ự C T I Ế P C Ủ A HAI N H Ó M
1. Đ ịn h nghĩa 1

M ột n h ó m G gọi là tích trực tiếp của hai nhóm con k h ác nhau
G | và G , của nó nếu:

24