ung dung tinh don dieu _LTĐH

Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949
…………………………………………………………………………………………………………………..
Ứng Dụng Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
(phần 1)
I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

Ví dụ 1:
Giải phương trình 3
x
= 4 - x.
Bài giải:
Tập xác định D= R. Phương trình tương đương với 3
x
+ x - 4 = 0.
Xét hàm số f(x ) = 3
x
+ x - 4 . Hàm số xác định và liên tục trên R
f’(x) = 3
x
.ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R. Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
⇒
phương trình (1) có không quá một
nghiệm . mà f(1) = 0 ; vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
ví dụ 2 :
giải phương trình :
2
4 1 4 1 1x x− + − =

bài giải :
điều kiện :
2

4 1 0
1
2
4 1 0
x
x
x
− ≥

⇔ ≥

− ≥


xét hàm số
2
( ) 4 1 4 1f x x x= − + −
xác định và liên tục trong nửa đoạn
1
;
2
 
+∞
÷

 
ta có
2
2 4
'( ) 0

4 1
4 1
x
f x
x
x
= + ≥
−
−
với mọi
1
2
x∀ ≥
; vậy hàm số đồng biến trên nửa đoạn
1
;
2
 
+∞
÷

 

⇒

phương trình (1) không có quá một nghiệm . mặt khác
1 1
( ) 1
2 2
f = ⇒

là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3:
Giải bất phương trình sau :
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − < −
(1)
Bài giải :
(1)
⇔

2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 0x x x x x+ + − + + − − + <

Đặt
t =
2 2
7 7 7 6 14 2 49 7 42x x t x x x+ + − ⇒ = + + −

( 0)t ≥
Phương trình trở thành :
2
182 0 14 13t t t+ − < ⇔ − < <
kết hợp điều kiện
( 0)t ≥

ta được :
0 13 (1) 7 7 7 6 1t x x≤ ≤ ⇒ ⇔ + + − <
3 (2) ; điều kiện
6
;

7
x
 
∈ +∞
÷

 
http:chuyentoan.wordpress.com
1) Định lí 1:
Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một
nghiệm
D∈
Chứng minh:
Giả sử phương trình f(x) = m có nghiệm x =
0
x
nghĩa là
0
( )f x m=
Nếu
0
x x>
thì
0
( ) ( )f x f x m> =

⇒
phương trình vô nghiệm.
Nếu
0

x x<
thì
0
( ) ( )f x f x m< =

⇒
phương trình vô nghiệm
Chú ý :
Nếu hàm số
( )f x
luôn nghịch biến và liên tục trên D thì phương trình f(x) = m không có quá một
nghiệm
D∈
Cách chứng minh hoàn toàn giống với định lí được phát biểu ở trên
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949
…………………………………………………………………………………………………………………..
xét hàm :
( ) 7 7 7 6f x x x= + + −
; hàm số xác định và liên tục trên
6
;
7
x
 
∈ +∞
÷

 
ta có
1 1 6

'( ) 0 ; ( ; )
7
2 7 7 2 7 6
f x x
x x
= + > ∀ ∈ +∞
+ −
hàm số đồng biến trên
6
;
7
x
 
∈ +∞
÷

 
; mặt khác
(6) 13f =
nên
( ) 13 6f x x< ⇔ <
vậy nghiệm của bất phương trình là
6
6
7
x≤ ≤
hay
6
.6
7

x
 
∈
÷

 
Ví dụ 4:
giải bất phương trình
6 7 1x x+ − − ≥
bài giải:
Tập xác định D = [- 6; 7] . Xét hàm số f(x) =
6 7x x+ − −
.
Ta có f’(x) =
1 1
0
2 6 2 7x x
+ >
+ −
∀ x ∈ (- 6; 7).
Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7]
Mặt khác f(3) = 1. Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ≥ f(3) ⇔ x ≥ 3.
Bài Tập áp dụng
bài tập 1: Giải phương trình
1 2 3x x− + + =
bài tập 2: Giải phương trình :
3
1 4 5x x x− = − − +
bài tập3: Giải phương trình:
log 11x x= −

bài tập 4: Giải phương trình:
2 2
2 2
9 (13 ).3 9 36 0x
x x
x− − − + =
bài tập 5 :Giải bất phương trình
9 2 4 5x x+ + + >
bài tập 6: Giải bất phương trình
2 2
2 3 6 11 3 1x x x x x x− + − − + > − − −
bài 8 : Giải bất phương Trình
2 1 7x x+ > −
.
Bài tập 9: Giải bất phương trình
3 2
3 6 16 2 3 4x xx x+ + + < + −
Bài tập 10 : Giải bất phương trình
6 8
6
3 2x x
+ <
− −
Ví dụ 1 :
Giải phương trình :
2
2
3
2
3

log 3 2
2 4 5
x
x x
x x
x
 
+ +
= + +
 ÷
+ +
 
Bài giải:
Tập xác định D = R. Phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2
3 3
log ( 3) ( 3) log (2 4 5) (2 4 5)x x x xx x x x+ + + + + = + + + + +
(*)

Định lý 2 : cho hàm số
( )y f t=
; xác định trên D
Nếu
( )y f t=
là hàm luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) , với
,x y D∈
Nếu
( ) ( )x y f x f y> ⇒ >
phương trình
( ) ( )f x f y=

Nếu
( ) ( )x y f x f y< ⇒ <
phương trình
( ) ( )f x f y=

Vậy để
( ) ( )f x f y=
thì
x y=
( khi
( )y f t=
là hàm luôn nghịch biến làm hoàn toàn tương tự)
Luyện thi ĐH chất lượng cao ths . Nguyễn Dương 093 252 8949
…………………………………………………………………………………………………………………..
Xét hàm số f(t) =
3
log t t+
.Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞)
f’(t) =
1
1
.ln 3t
+
> 0 ∀t > 0. Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞)
Phương trình (*) ⇔ f(x
2
+x + 3) = f(2x
2
+ 4x + 5)
⇔ x

2
+x + 3 = 2x
2
+ 4x + 5 ⇔
2
1
3 2 0
2
x
x x
x
= −

+ + = ⇔

= −

Ví dụ 2 :
Giải phương trình :
2
1 2
2 2 ( 1)
x x x
x
− −
− = −
(1)
Bài giải :
(1)
2 2 2

1 2 1 2 1 2
2 2 2 1 2 2 ( ) ( 1) 2 ( 1) 2 ( )
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
− − − − − −
⇔ − = − + ⇔ − = − − − ⇔ + − = + −
xét hàm
trung gian :
( ) 2
t
f t t= +
;
t R
∈


'( ) 2 ln 2 1 0
t
f t t= + > ∀
, vậy
( )f t
là hàm đồng biến
vậy
2 2 2
( 1) ( ) 1 2 1 0 1f x f x x x x x x x x− = − ⇔ − = − ⇔ − + = ⇔ =

Bài Tập Áp Dụng
Bài tập 1: Giải hệ phương trình
3 3
2 2

3 3
4
x
2x
x y y
y

− = −


− =


Bài tập 2: Giải hệ phương trình
3 3
2 2
3 3
1
x
3x
x y y
y

+ = +


+ =


Bài tập 3: Giải hệ phương trình

3 10 5
3 10 5
x y
y x

+ + − =


+ + − =


Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
3 3 2
2 2 2
3 3 2 0
1 3 2 0
xx y y
x x y y m

− + − − =


+ − − − + =


Bài tập 5 : giải phương trình
2 2
sin os
2009 2009 os2x
x c x

c− =

Bài tập 7 : giải và biện luận theo m :
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
Bài tập 8 :Giải hệ Phương Trình
3 3
6 6
3 3
1
x x y y
x y

− = −


+ =


Bài tập 9 : Giả hệ phương trình
3
1 1
2 1
x y
x y

y x

− = −



= +

Bài giảng này gồm tất cả 10 phần trên đây là phần 1 , các phần tiếp theo tôi tiếp tục đăng trên trang web của
tôi để các bạn tham khảo
Nha trang 8/2009