phuong phap giai toan BDT-rat hay''''hot2009

Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1. Cho ab 1. Chứng minh:
Giải: Đpcm (đúng)
Bài tập áp dụng:
1.Cho a, b, c 1. Chứng minh
2. Cho a, b, c, d, e 1. Chứng minh
3.Cho Chứng minh
Ví dụ 2. Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng. Chứng minh:
1. (a
m
+ b
m
)(a
n
+ b
n
) 2(a
m+n
+ b
m+n
)
2. a
m
b
n
+ a
n
b
m
a

m+n
+ b
m+n
Giải: Cả hai BĐT trên cùng tơng đơng với BĐT : (a
n
-b
n
)(a
m
-b
m
) 0 (đúng)
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
1) (a + b)(a
2
+ b
2
)(a
3
+ b
3
) 4(a
6
+ b
6
)
2) với mọi n nguyên dơng
3)
4) với abc =1
Ví dụ 3. Với mọi số thực a, b, c. Chứng minh: a

2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b)
2
+(b - c)
2
+ (c - a)
2
0 (đúng).
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh:
1) a
4
+ b
4
+ c
4
abc(a + b + c)
2) (ab + bc + ca)
2
3abc(a + b + c)
1
ab
ba
+

+

+
+
1
2
1
1
1
1
22
0)1()(
2
abba
abc
cba
+

+
+
+
+
+
1
3
1
1
1
1
1
1
333

abcde
edcba
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
55555
5
1
,
4

1
,
3
1
,
2
1
dcba
abcd
dcba
121
4
251
1
161
1
91
1
41
1
2222
+

+
+
+
+
+
+
+

22
nn
n
baba +









+
+ +
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
1
555555

++
+
++
+
++ acca
ac
bccb

bc
abba
ab
Bài tập tự luyện
1) Cho ab>0, c . Chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng. Chứng minh:
a)
b)
II. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1. CMR: với mọi x
1
,x
2
,,x
n
dơng
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
và Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức trên ta đợc
Đpcm. Đẳng thức xảy ra khi x
1
= x
2
== x
n
.
Bài tập áp dụng:
1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh:
2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh:
Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau.
Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng. Chứng minh:

1)
2)
Giải:
1)
Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
2
3
22
3
22
3
22
3
cba
acac
c
cbcb
b
baba
a ++

++
+
++
+
++
2
21
21
)

1
..
11
)(...( n
xxx
xxx
n
n
++++++
n
nn
xxxnxxx ......
2121
+++
n
nn
xxx
n
xxx ...
11
..
11
2121
+++
cbacbacbacba 4
1
4
1
4
1

2
1
2
1
2
1
++
++
+
++
+
++
cbacpbpap
222111
++

+

+

2
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac

b
cb
a
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++

+
+
+
+
+
( )
[ ]
2
3
2
9111
)()(
2
1
)1()1()1(3

+
+
+
+
+
+++++=
+
+
++
+
+++
+
=+
VT
accbba
cacbba
ba
c
ac
b
cb
a
VT
ab
2222

bc
bc
ac
ac
+
+

+
+
3
2
22
3
ba
baba
a

++
2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh
thế. Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta đợc Đpcm.
Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể
sử dụng kết quả của BĐT 1).
Bài tập áp dụng :
1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng và abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
3) Với mọi tam giác ABC chứng minh
Ví dụ 3:
1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh
2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh

Giải:
1)
2)
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y,z dơng và xyz =8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
3
.
4
2
a
cb
cb
a

+
+
+
cba
bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
2
1
2

1
2
1
222222
++
+
+
+
+
+
bcac
ab
cbab
ac
caba
bc
222222
+
+
+
+
+
2
3
33
3
33
3
33
3

+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
2
)())(( xyabybxa +++
3
3
3
)())()(( xyzabczcybxa ++++
VPxyabxyaybxabxybxayabVT =+=+++++=
2
)(2)(
VPxyzabc
xyzxyzabcxyzabcabcxyzcxybzxayzacybcxabzabcVT
=+=
++++++++++=
3
3
3
3
2
3

2
)(
)(3)(3)()(
)1)(1)(1( zyxM +++=












+












+

+=
2
sin
1
1
2
sin
1
1
2
sin
1
1
CBA
P
2
1
1

1
1
1
1

+
+
+
+
+ zyx
8
1
xyz
Ta cũng có thêm 2BĐT tơng tự nh thế. Nhân vế với vế các BĐT đó và thu
gọn ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và
Chứng minh
Ví dụ 5 : Cho x, y dơng, . Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy minS = 5.
Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm min của
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : . Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh vậy.
Công các BĐT đó lại ta đợc . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z = 2. Vậy minA = 6.
4

)1)(1(
2
111
1
1
1
1
1
1
1
zy
yz
z
z
y
y
zyx
++

+
+
+
=

+
+








+

+
3
1
1
1
1
1
1
1
1

+
+
+
+
+
+

+
tzyx
81
1

xyzt
4
5
=+ yx
yx
S
4
14
+=
( ) ( )
525
4
14
425
4
11111
4

++








++++++++
S
yx
yx
yxxxx
yxxxx





=
=
4
1
1
y
x
1
1

1
1
1
1
+
+
+
+
+
=
zyx
P
( ) ( ) ( )
[ ]
4
9
3
9
9
1
1
1
1
1
1
111 =
+++

+
+
+
+
+
+++++
zyx
P
zyx
zyx
3
1
=== zyx
4
9
min =P
111 +
+
+
+
+
=
z
z
y
y

x
x
Q
yx
z
xz
y
zy
x
A
+
+
+
+
+
=
3
3
3
x
zy
zy
x
32
2
3
+
+
+
+

6A
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 8 : Cho x, y, z dơng. Chứng minh:
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: . Ta cũng có 2BĐT t-
ơng tự nh thế. Cộng vế với vế các đẳng thức ta đợc Đpcm
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xy + yz + zx = xyz. Chứng minh :
Ví dụ 9 : Cho x, y, z dơng và 4x + 4y + 4z = 3. Tìm giá trị lớn nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế. Cộng các phân thức đó lại ta đợc A3. Đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi . Vậy maxA = 3.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và 5x+5y+5z +5t= 4. Tìm giá trị lớn nhất
của
Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2. Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y 4. Chứng minh:
5
yx
z
xz
y
zy
x
B
+
+

+
+
+
=
4
4
4
yx
z
xz
y
zy
x
C
+
+
+
+
+
=
222
4))(())(())((
333
zyx
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x

++

++
+
++
+
++
4
3
88))((
3
xzx
yx
zxyx
x

+
+
+
+
++
))(())(())((
333
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
P

++
+
++
+
++
=
4
2
2
2
zyx
xyz
z
zxy
y
yzx
x
++

+
+
+
+
+
3
33
333 xzzyyxA +++++=
3
113
1.1).3(3

33
+++
+=+
yx
yxyx
4
1
z y x ===
4
44
444 xzzyyxB +++++=
4+ yx
2
32
2
4
43
y
y
x
x
M
+
+
+
=
2
9
2
4

4
.
4
.
2
.3
1
.
4
2
244
21
4
3
22
=++
+
+








+++

+=
yy
y
x
x
yxyy
y
x
x
A
2
9
min =A
18
106
32 +++
yx
yx