MỘT số bài TOÁN TÍNH TỔNG tổ hợp

LỚP HỌC TÂN TÂY ĐÔ

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG TỔ HỢP
I. LÝ THUYẾT
1. Nhị thức New-ton:

(a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n1b  ...Cnk a nk b k  ...  Cnn x n   Cnk a nk b k (k  n; k , n  N * )
(Quy ước a  b  1 )
0

0

2. Công thức tổ hợp:

/>
* Công thức tổ hợp: C nk 

n!
.
k!.(n  k )!

* Tính chất : Cnk  Cnk11  Cnk1 ; Cnk  Cnnk .
* Một số công thức khác:

kCnk  nCnk11 (k  n; k , n  N * )
(k  1)Cnk11  (n  1)Cnk (k  n; k , n  N * )
1
1
Cnk 
Cnk11
k 1

n 1

(k  n; k , n  N * )

k 2Cnk  n(n  1)Cnk22  nCnk11

(k  2; k  n; k , n  N )

* Một số trường hợp đặc biệt :

2 n  (1  1) n  C n0  C n1  C n2  ...  C nk  ...  C nn .
0  (1  1) n  C n0  C n1  ...  (1) k .C nk  ...  (1) n .C nn .
II. CÁC BÀI TOÁN.
Với n là số nguyên dương .Ta có các tổng sau:
1
 22 C132  .....  22n1 C22nn11  1.
Công thức 1. S  C130  2C13

Công thức 2. S = C20n  C22n  C24n  ...  C22nk  ...  C22nn = 22 n1 .
Công thức 3. S = Cn1  2.Cn2  3.Cn3  ...  k.C kn ...  n.Cnk = n.2n1 .
Công thức 4. S = Cn1  2.x.Cn2  3.x 2 .Cn3  ....  k.x k 1 .Cnk  ...  n.x n1 .Cnn  n(1  x) n1 .
Công thức 5. S = Cn0  2.Cn1  3.Cn2  ...  ( n  1).Cnn  2n1  n  2  .
Công thức 6. S = 1.2Cn2  2.3.Cn3 .x  3.4.Cn4 .x2  ...  (n  1).n.Cnn .xn2  n  n  11  x 

Nguyễn Chiến 0973.514.674

n 2

( n  3).

LỚP HỌC TÂN TÂY ĐÔ
1
2
2
2
3
2
k
2
n
Công thức 7. S  Cn  2 .Cn  3 .Cn  ...  k .Cn  ...  n .Cn  n(n  1).2 n2 .

Công thức 8. S 

b  a 0 b 2  a 2 1 b3  a 3 2
bn1  a n1 n (1+b)n+1  (1  a)n1
.
Cn 
Cn 
Cn  ... 
Cn 
1
2
3
n 1
n 1

1
1

(1)n n
1
Công thức 9. S  Cn0  .Cn1  .Cn2  ... 
.
.Cn 
2
3
n 1
n 1

Công thức 10. S  Cn0 

22  1 1 23  1 2
2n1  1 n 3n 1  2n 1
.
Cn 
Cn  ... 
Cn =
2
n 1
3
n 1

/>
1
1
1
2n1  1
Công thức 11. S  Cn0  .Cn1  .Cn2  ... 
.

.Cnn 
2
3
n 1
n 1
1 1 1 3 1 5
1 2 n1 22 n  1
Công thức 12. S  C2 n  C2 n  C2 n ...  C2 n =
.
2n  1
2
4
6
2n

Công thức 13. S =

2 n  2  1 2 n1  1
1 0 1 1 1 2
1
1
.

.C n  .C n  .C n  ... 
.C nk  ... 
C nn =
n2
n 1
2
3

4
k 2
n2

Công thức 14. S =

1 1 2 2 3 3
k
n
1
C n  C n  C n  ... 
C nk  ... 
C nn  2n 
2n1  1 .

2
3
4
k 1
n 1
n 1

Công thức 15. S = C n0 .C n1  C n1 .C n2  .....  Cnn1 .C nn 

1 n1
C 2( n1)  C 2nn .
2

Công thức 16. S = n 2 Cn0  (n  1) 2 Cn1  (n  2) 2 Cn2  ...  2 2 Cnn2  12 Cnn1  n(n  1).2 n2 .
Công thức 17. S = Cn0   Cn1   Cn2   ....  Cnn   C2nn

2

2

2

2

Công thức 18. S = C20n1   C21n1   C22n1   ....  (1) 2n1 C22nn11   0 .
2

Nguyễn Chiến 0973.514.674

2

2

2