toàn bộ công thức toán cấp 3

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.74 MB, 38 trang )

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )

b
ĐẦY ĐỦ CÔNG THỨC TOÁN 10 S = x + x = −
a  “Tổng bà, tích ca”

c
11-12
 P = x .x =

a
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
4.Các trường hợp đặc biệt của phương
I.Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
trình bậc 2:
1. ( a + b) = a + 2ab + b
4. ( a + b) = a + 3a b + 3ab + b
2. ( a − b) = a − 2ab + b
5. ( a − b) = a − 3a b + 3ab − b
✓ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có
1

2

1

2

2

2

3

3

2

2

3

2

2

2

3

3

2

2

3

3. a2 − b2 = (a + b)( a − b)

6. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 )

nghiệm:

7. a − b = ( a − b)(a + ab + b )
3

3

2

2

2

 x1 = 1

x = c
 2 a

II.Phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0(a  0)
✓ Nếu a − b + c = 0 thì phương trình có
1.Công thức nghiệm của phương trình
 x = −1

nghiệm:
x = − c
bậc hai:  = b − 4ac

a

✓   0 : Phương trình vô nghiệm.
5.Dấu của nghiệm số: ax + bx + c = 0(a  0)
✓  = 0 : Phương trình có nghiệm kép:
✓ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b
2

1

2

2

2

x1 = x2 = −

✓

x1  0  x2  P  0

2a

: Phương trình có 2 nghiệm phân
biệt:
−b − 
x =
; x = −b 2+a 
2a
0

1

✓ Phương trình có 2 nghiệm dương
phân biệt 0  x  x
1

  0

 P  0
S  0


2

2.Công thức nghiệm thu gọn của
phương trình bậc hai:
Nếu “b chẵn” (ví dụ b = 4;2 3;2m; −2(m + 1);... ) ta
dùng công thức nghiệm thu gọn.

✓ Phương trình có 2 nghiệm âm phân
biệt x  x  0
1

2

  0

 P  0
S  0




b
 ' = b'2 − ac  b ' = 
2



✓
✓

III.Dấu của đa thức:
: Phương trình vô nghiệm.
1.Dấu của nhị thức bậc nhất:
 ' = 0 : Phương trình có nghiệm kép:
'  0

x1 = x2 = −

✓

2

b'
a

f ( x) = ax + b(a  0)

: Phương trình có 2 nghiệm phân

biệt:
− b '−  '
x =
; x = −b'+a  '
a
'  0

−

x

−

b
a

+

trái dấu a0 cùng dấu a
“Phải cùng, trái trái”
 Chú ý: ax + bx + c = 0 = a( x − x )( x − x ) với x , x là 2.Dấu của tam thức bậc hai:
hai nghiệm của phương trình bậc f ( x) = ax + bx + c(a  0)
2: ax + bx + c = 0
ax + b

1

1

2

1

2

1

2

2

2

3.Định lí Viet: Nếu phương trình bậc 2
ax + bx + c = 0 có 2 nghiệm x , x thì:

0

x
f ( x)

+

−

cùng dấu a

2

1

2

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
−

=0

−

b
2a

+

✓

x
f ( x)

cùng dấu a 0

 A  −B
A B 
A  B

cùng dấu a
✓

0

x

−

x1

x2

 A  −B
A B 
A  B

+

A  B  A2  B2  A2 − B2  0  ( A − B)( A + B)  0
A  B  A2  B2  A2 − B2  0

0
VI.Phương
trình và bất phương trình
chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai
1.Phương trình:
“Trong trái, ngoài cùng”
✓ A = B  BA = 0B

3.Dấu của đa thức bậc  3: Bắt đầu từ ô

B  0)
bên phải cùng dấu với hệ số a của số mũ
✓ A = B   AA = 0(
B

cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua
2.Bất phương trình:
nghiệm kép không đổi dấu.
B  0

IV.Điều kiện để tam thức không đổi dấu
✓ A  B  BA  00
 
trên R .
  A  B
Cho
tam
thức
bậc
hai:
B  0
f ( x)

cùng dấu a 0 trái dấu a
cùng dấu a

2

2


 A  0
AB 

  B  0
  A  B2

f ( x) = ax2 + bx + c (a  0)
a  0
f ( x)  0x  R  
  0

a  0
f ( x)  0x  R  
  0

a  0
f ( x)  0x  R  
  0

a  0
f ( x)  0x  R  
  0

✓

V.Phương trình và bất phương trình
chứa trị tuyệt đối

A 0
1.Phương trình : A = −AA ,, khi
khi A  0

A  0

A  B  B  0
 A  B2




✓

 A  0

A = B
A = B  

 A  0
 − A = B

✓

B  0

A = B   A = B
 A = −B


✓

A = B
A = B 
 A = −B

A  0

A  B  B  0
 A  B2


✓

A  0
A B
A  B
A  0
A B
A  B

VII. LƯỢNG GIÁC
1.Định nghĩa giá trị lượng giác:

2.Bất phương trình:
✓ A  B   AA  B−B


A  B
A B

 A  −B

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
1
 cos(a − b) + cos(a + b)
2
1
sin asin b =  cos(a − b) − cos(a + b) 
2
1
sin a cosb = sin(a − b) + sin(a + b) 
2
cosa cosb =

9.Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin = OK
cos = OH
tan = AT
cot  = BS

2.Các công thức lượng giác cơ bản:
sin
cos
cos
2)cot  =

sin

1)tan =

3)sin2  + cos2  = 1
4)1 + tan2  =

1
cos2 

5)1 + cot 2  =

a+ b
a− b
cos
2
2
a+ b a− b
cosa − cosb = −2sin
sin
2
2
a+ b
a− b
sin a + sin b = 2sin
cos
2
2
a+ b a− b
sin a − sin b = 2cos

sin
2
2
cosa + cosb = 2cos

1
sin2 

6)tan .cot  = 1

3.Các giá trị lượng giác đặc biệt:

10.Cung liên kết: Sin – bù; cos – đối;
phụ – chéo; hơn kém  - tan, cot.
✓ Hai cung bù nhau:  và  − 
sin( −  )
cos( −  )
tan( −  )
cot( −  )

= sin
= − cos
= − tan
= − cot 

✓ Hai cung đối nhau:  và
cos(− )
sin(− )
tan(− )
cot(− )

✓ Hai cung phụ nhau:  và
4.Công thức cộng:

sin2a = 2sin a cosa
2tan a
1 − tan2 a

✓ Hai cung hơn kém  :  và
sin (   )

cos(   )

Hệ quả: sin x.cosx = 21 sin2x

tan (   )
cot (   )

6.Công thức hạ bậc:
sin2 x =

1 − cos2x
1 + cos2x
1 − cos2x
;cos2 x =
;tan2 x =
2
2
1 + cos2x

2

−



tan  −   = cot 
2




cot  −   = tan
2


5.Công thức nhân đôi:
tan2a =





sin  −   = cos
2




cos −   = sin

2



cos(a + b) = cosa cosb − sin asin b ;sin( a + b) = sin a cosb + sin b cosa
cos(a − b) = cosa cosb + sin asin b ;sin( a − b) = sin a cosb − sin b cosa
tan a − tan b
tan a + tan b
tan(a − b) =
;tan(a + b) =
1 + tan a tan b
1 − tan a tan b

cos2a = cos2 a − sin2 a = 2cos2 a − 1 = 1 − 2sin2 a

−

= cos
= − sin
= − tan
= − cot 

= − sin
= − cos
= tan
= cot 

Hệ quả:

7.Công thức nhân ba:

sin3a = 3sin a − 4sin3 a;cos3a = 4cos3 a − 3cosa

8.Công thức biến đổi tích thành tổng:
☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

 

LUYN THI TON 10-11-12 THY CHUNG -LA THNH-H NI
Facebook: Nguyn Vn Chung (toỏn lý húa thy Chung )
sin x
=
sin x
cos x
=
cos x

sin( x + k )
cos( x + k )
tan( x + k )
cot( x + k )

kZ

, k chaỹ
n
, k leỷ

kZ

c bit:

kZ
kZ

cosu = 0 u =

= tan x
= cot x

Hai cung hn kộm 2 : v

sin +
2

cos +
2

tan +
2

= sin

cot +
2

= tan

+

cosu = 1 u = k2

t = tan

2

= cos

= cot

thỡ: sin x = 1 +2tt

x
2

2

;cos x =

1 t2
2t
tan x =
1+ t2
1 t2

12.Mt s cụng thc khỏc:
sin x + cosx = 2sin x + 4 = 2 cos x 4

1 sin2x = (sin x cosx)

sin6 x + cos6 = sin2 x + cos2 x sin4 x sin2 x cos2 x + cos4 x

cot x tan x = 2cot 2x
2

)

2
1
sin4 x + cos4 x = sin2 x + cos2 x 2sin2 x cos2 x = 1 sin2 2x
2

(

)(

)

3
= 1 sin2 2x
4

13.Phng trỡnh lng giỏc c bn
u = v + k2
sin u = sin v
u = v + k2

u = arcsin a + k2
sin u = a
u = arcsin a + k2

c bit:

+ k2

2
sin u = 0 u = k

sin u = 1 u =

tan u = tan v u = v + k

tan u = a u = arctan a + k

cot u = cot v u = v + k

cot u = a u = arccot a + k

Lu ý:
a) Khi gii phng trỡnh lng giỏc ta
phi t iu kin nu gp mt trong hai
trng hp sau:
TH1: Phng trỡnh cú cha hm s
tang hoc cotang (tr phng trỡnh bc
nht v bc hai theo 1 hm s tang hoc
cotang)
Phng trỡnh cú cha tanx : iu
kin x 2 + k
Phng trỡnh cú cha
kin x k
Phng trỡnh cú cha c
: iu kin x k 2

sin x cosx = 2sin x = 2 cos x +
4
4

2
cot x + tan x =
sin2x

(

sin u = 1 u =

2

+ k
2
cosu = 1 u = + k2

Sin gúc ln = cos gúc nh - Cos gúc
ln = tr sin gúc nh
11.Cụng thc tớnh sin x,cosx,tan x theo tan 2x :
Nu t

u = arccosa + k2
cosu = a
u = arccosa + k2

u = v + k2
cosu = cosv
u = v + k2

, k chaỹ
n
, k leỷ

+ k2

cot x

tanx

: iu
v

cot x

TH2: Phng trỡnh cú cha n mu
iu kin: mu 0
sin x 0 x k
cosx 0 x 2 + k

tan x 0 x k
cot x 0 x k

2

2

b)Cỏch chuyn hm:

sin = cos
2

cos = sin
2

tan = cot
2

cot = tan

2

. 0988.451.728-HC L GII TON
c. S 6 Ngỏch 47 Ngừ 318 La Thnh,ng a,H Ni

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
c) Cách loại dấu trừ:

− sin = sin( − )
− tan = tan(− )
− cot  = cot( − )

2

Ngoại lệ: − cos = cos( −  )
14. Phương trình bậc hai theo một hàm
số lượng giác: Là phương trình có dạng
asin2 x + bsin x + c = 0
a cos2 x + b cos x + c = 0
a tan2 x + b tan x + c = 0

 Đặt:
Điều kiện

t = tan x ( t = cot x ) →

Không có điều kiện t.

2

2

a +b

Vì

b

sin x +


a

2
a
+ b2


a +b
2

2

2

 

b
 + 
2
a
+ b2
 

sao cho

2

2


 = 1


c
a +b

2

Điều

kiện

 sin x cos x =

Điều

kiện

t2 − 1
2



t = sin x − cosx = 2sin x −  →
4


✓

− 2t 2
 sin x cos x =

nên tồn tại 1 cung



1− t2
2

VIII.Công thức tính đạo hàm:
(c)' = 0

'

'

'

 u  u ' v − uv '
  =
v2
 v

c

( xn )' = n.xn−1

a +b
2

2

'

cần

'

(un )' = n.un−1.u'
'

 1
1
  = − 2 .v '
v
 v

'
u'
u =
2 u

1

nhớ:

(sin x)' = cosx

(sin u)' = cosu.u'

(cosx)' = − sin x

(cosu)' = − sin u.u'

c
a + b2
2

(uvw) = u' vw + uv' w + uvw'

 1
1
  =− 2
x
 x
'
1

x =
2 x

a2 + b2  c2

sin cos  sin  cos = sin(   )

( uv) = u' v + uv'

( u  v) = u' v'

 sin( x +  ) =

thức

( x)' = 1

(ku)' = k.u'

.

✓ Điều kiện có nghiệm:
✓ Công



2sin  x +  →
4


− 2t 2

2

Khi đó phương trình trở thành:
2

 Đặt :
✓ t = sin x + cosx =

a +b
2


a
 cos =

a2 + b2

b
sin =

a2 + b2


sin x.cos + sin .cos x =

17. Phương trình đối xứng và phản
xứng : là phương trình có dạng

c

cosx =

2

a(sin x  cos x) + bsin x cos x + c = 0

✓ cos2x = 2cos x − 1 = 1− 2sin x
15. Phương trình bậc nhất đối vối sinx
và cosx : Là phương trình có dạng
asin x + b cosx = c .
Chia 2 vế của phương trình cho a + b ta
được:
2

2

 asin2 x + bsin x.cosx + c cos2 x = d(sin2 x + cos2 x)

2
2
sin x = 1 − cos x
sin2 x + cos2 x = 1   2
2
cos x = 1 − sin x

a

TH2: cosx  0 . Chia 2 vế (*) cho cos x ta được

phương trình bậc 2 theo tanx
Lưu
ý:
Phương
trình
asin x + bsin x.cosx + ccos x = d với d  0 có thể
đưa về dạng (*) bằng cách:

−1  t  1

Các công thức cần nhớ:

2

2

asin2 x + bsin x.cosx + c cos2 x = d

t = sin x ( t = cosx ) →

2

2

2

a cot 2 x + b cot x + c = 0

✓

16.Phương trình thuần nhất bậc hai:
là phương trình có dạng
asin x + bsin x.cosx + ccos x = 0 (*)
TH1: cosx = 0  x = 2 + k (sin x = 1) thế vào (*)

( )

( )

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
(tan x)' = 1 + tan2 x =

1
cos2 x

(cot x)' = −(1 + cot 2 x) = −

(tan u)' = (1 + tan2 u).u' =

1
sin2 x

(cot u)' = −

1

.u' = −(1 + cot 2 u).u'
sin2 u

(e ) = e .u'

(e ) = e
x '

1
.u'
cos2 u

x

u '

(a ) = a .ln a
x

(au )' = au .ln a.u'

(ln x)' =

1
x

1
(ln u)' = .u'
u

'

1
x ln a

(loga u)' =

Số
nghi
ệm
của
phư
ơng
trình

1
.u'
u ln a

a b
c d

 ax + b 
ad − cb
=

 =
2
cx
+

d
(
cx
+
d
)
(
cx + d)2


'

 ax + bx + c 
 a' x2 + b' x + c '  =


2

y = ax3 + bx2 + cx + d(a  0)

u

x '

(loga x)' =

 Vẽ đồ thị:
Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba

a b 2

a c
b c
x +2
x+
a' b'
a' c '
b' c '

y' = 0

(a' x2 + b' x + c')2

y' = 0

IX.Các dạng toán về hàm số:
1.Các bước chung khảo sát sự biến
thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)
 Tập xác định:
 Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm
ax + b
phân thức y = cx
)
+d
 Đạo hàm: y '
✓ Đối với hàm bậc 3, bậc 4:
Giải phương trình y ' = 0 tìm
nghiệm.
ax + b
✓ Đối với hàm phân thức y = cx
:

+d
y' =

a b
c d
(cx + d)

2

=

ad − bc
0
(cx + d)2

(hoặc

0

)

có 2
nghi
ệm
phâ
n
biệt
y' = 0

có

nghi
ệm
kép
y' = 0

vô
nghi
ệm
Các dạng đồ thị của hàm số bậc bốn
trùng phương y = ax + bx + c(a  0)
4

x  D

a 0

 Bảng biến thiên:
Nhận xét về chiều biến thiên và
cực trị.
 Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm
bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm
ax + b
phân thức y = cx
)
+d

a 0

a 0

y' = 0

có 3
nghi
ệm
phâ
n
biệt

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

2

a 0

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
y' = 0

có 1
nghi
ệm
duy
nhất
Các dạng đồ thị của hàm số phân thức
ax + b
y=
(c  0, ad − bc  0)

cx + d

y'  0

✓ Hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định
 y '  0,x  D  ad − cb  0 (Không có dấu
“=”)
3.Cực trị của hàm số:
✓ Hàm số y = f ( x) đạt cực trị tại x 
0

 y '( x0 ) = 0

 y ''( x0 )  0

✓ Hàm số

y = f ( x)

đạt cực đại tại

x0 

y = f ( x)

đạt cực tiểu tại

x0 

 y '( x0 ) = 0

 y ''( x0 )  0

y'  0

✓ Hàm số
 y '( x0 ) = 0

 y ''( x0 )  0

a.Hàm bậc 3:
2.Tìm điều kiện của tham số m để hàm
số đơn điệu trên từng khoảng xác định:
a.Hàm bậc 3: y = ax + bx + cx + d
Tập xác định D = R .
Đạo hàm y' = 3ax + 2bx + c là 1 tam thức
bậc 2.
✓ Hàm số đồng biến trên R
3

2

2


 y'  0
 y '  0,x  R  
ay '  0

✓ Hàm số nghịch biến trên

Tập xác định
Đạo hàm

y' =

y=

✓ Hàm số có 2 cực trị (cực đại và cực
tiểu)  phương trình y ' = 0 có 2
  0
nghiệm phân biệt  a  0
y'



y'

✓ Hàm số không có cực trị  Phương
trình y ' = 0 vô nghiệm hoặc có
  0
nghiệm kép  a  0
y'



y'

y = ax4 + bx2 + c(a  0)

R

ax + b
cx + d

 d
D = R \ − 
 c

ad − cb
(cx + d )2

 y ' = 3ax2 + 2bx + c

b.Hàm bậc 4 trùng phương:


 y'  0
 y '  0,x  R  
ay '  0

b.Hàm nhất biến:

y = ax3 + bx2 + cx + d(a  0)

có dấu phụ thuộc

vào dấu của tử.
✓ Hàm số đồng biến trên từng khoảng

xác định
 y '  0,x  D  ad − cb  0 (Không có dấu
“=”)

 y ' = 4ax3 + 2bx

Ta có: y' = 0  4ax

3

+ 2bx = 0

 2x(2ax2 + b) = 0

x = 0

2
2ax + b = 0

x = 0
  2 −b
x =

2a

(1)
(2)

✓ Hàm số có 3 cực trị  Phương trình


y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Phương trình (2) có 2 nghiệm phân
biệt khác 0  −2ab  0 .

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
✓ Hàm số có 1 cực trị  Phương trình
y ' = 0 có 1 nghiệm  Phương trình
(2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
bằng 0  −2ab  0 .
4.Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất của hàm số:
a.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số y = f ( x) xác định trên 1 đoạn

✓ Cho hai đồ thị (C ) : y = f ( x) và
(C ) : y = f ( x) .
✓ Phương trình hoành độ giao điểm
của (C ) và (C ) là : f ( x) = f ( x) (*)
✓ (C ) và (C ) cắt nhau tại n điểm phân
biệt khi và chỉ khi phương trình
(*) có n nghiệm phân biệt.
Lưu ý : Trục hoành có phương trình
1

2

2

1

1

1

2

1

2

2

y=0

[ a; b]

7.Dùng đồ thị biện luận theo tham số m
✓ Hàm số liên tục trên đoạn [ a; b]
số nghiệm của phương trình.
✓ Tính đạo hàm y ' .
Cho đồ thị (C) : y = f ( x) . Dùng đồ thị (C), biện
✓ Giải phương trình y ' = 0 . Tìm các
luận theo m số nghiệm của phương trình
nghiệm x  [ a; b](i = 1,2,3...)
h( x, m) = 0 .

✓ Tính y(a) , y(b) , y( x )
✓ Biến đổi phương trình h( x, m) = 0 về
✓ So sánh và kết luận.
b.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
dạng f ( x) = g(m) (*).
✓ Số nghiệm của phương trình (*) là
nhất của hàm số y = f ( x) trên 1 khoảng
số giao điểm của hai đồ thị :
hoặc nửa khoảng (a; b),(a; +),(−; b),[ a; b),(a; b] …
 y = f ( x) (C)

✓ Tìm tập xác định.
 y = g(m) (d)
✓ Tính đạo hàm y '
✓ Bảng kết quả :
✓ Lập bảng biến thiên
Số giao Số
g(m)
m
✓ Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và
điểm
nghiệm
kết luận.
…
…
… …
5.Tìm giao điểm của hai đường.
Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các
✓ Cho hai đồ thị (C ) : y = f ( x) và
giá trị của m để phương trình có

(C ) : y = f ( x) .
đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta
✓ Phương trình hoành độ giao điểm
không cần lập bảng kết quả như
của (C ) và (C ) là : f ( x) = f ( x) (*)
trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường
✓ Giải phương trình (*) ta được
hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy
hoành độ giao điểm, thế vào 1
(C) và (d) cắt nhau tại đúng 3
trong 2 hàm số y = f ( x) hoặc y = f ( x)
điểm, đúng 4 điểm …)
được tung độ giao điểm.
8.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
6.Tìm điều kiện của tham số m để hai
thị hàm số:
đường cong cắt nhau với số điểm cho
trước.
i

i

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là đường
cong (C). Phương trình tiếp tuyến của
đồ thị tại điểm M ( x ; y ) là: y = f '( x )( x − x ) + y
Lưu ý: Ta phải tìm được 3 đại lượng:
0

0

0

0

0

0

 x0

 y0 = f ( x0 )
 f '( x )
0


a0 = 1
a− n =

1
an

am.an = am+ n

am
= am− n
an

(a )

( ab)

m

n

 a
an
  = n
b
 b

n

= am.n

m

0

0

0

0

an = n a

Các tính chất quan trọng:
✓ Nếu a  1 thì a  a    
✓ Nếu 0  a  1 thì a  a    
2. Công thức lôgarit:
1) log 1 = 0
2) log a = 1
3) log b =  log b Đặc biệt: log







a

a



a

a

a

0

y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0

Dạng 2: Viết phương tiếp tuyến khi biết
tung độ tiếp điểm y .
✓ Giải phương trình f ( x ) = y tìm x .
✓ Thay x vào y ' tính f '( x )
✓ Phương
trình
tiếp
tuyến:

0

0

0

0

0

0

1

4)

loga b =

5)

loga (bc) = loga b + loga c



n

b=

1
log b

n a

loga b

(lôgarit của tích
bằng tổng các lôgarit)
6) log bc = log b − log c (lôgarit của thương
a

a

a

bằng hiệu các lôgarit)
b
7) log b = log
(đổi cơ số)
log a
c

a

c

8)

y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0

= an .bn

1

a n = n am



Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến
khi biết hoành độ tiếp điểm x
✓ Tính đạo hàm y '
✓ Thay x vào y tính y
✓ Thay x vào y ' tính f '( x )
✓ Phương
trình
tiếp
tuyến:

n

1
loga b =
logb a

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến
9) log b.log c = log c
khi biết hệ số góc k .
10)
Đặc biệt: a = b
a
=c
✓ Giả sử tiếp điểm là M ( x ; y )

Các tính chất quan trọng:
✓ Giải phương trình f '( x ) = k tìm x .
✓ Nếu a  1 thì log   log     
✓ Thay x vào y ta tìm được y .
✓ Nếu 0  a  1 thì log   log     
✓ Phương
trình
tiếp
tuyến: XI.Phương trình và bất phương trình
y = f '( x )( x − x ) + y
mũ:
Lưu ý:
1.Phương trình mũ:
✓ Nếu tiếp tuyến song song với
✓ a = b  x = log b
đường thẳng y = ax + b thì f '( x ) = a .
✓ a = b  f ( x) = log b
✓ Nếu tiếp tuyến vuông góc với
✓ a = a  f ( x) = g( x)
y = ax + b(a  0)
đường thẳng
thì
2.Bất phương trình mũ:
1
f '( x ).a = −1  f '( x ) = − .
a
✓ a  b  x  log b nếu a  1
X.Các công thức về lũy thừa và lôgarit:
a
 b  f ( x)  log b nếu a  1

1.Công thức lũy thừa:
✓ a  b  x  log b nếu 0  a  1
a

b

a

logb c

0

0

loga b

logb a

0

0

0

a

a

0

0

a

0

0

0

x

a

0

f ( x)

a

f ( x)

0

g( x )

0

x

a

f ( x)

a

x

a

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

a

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
1
nếu 0  a  1
 sin xdx = − cosx + C
 sin(ax + b)dx = − a .cos(ax + b) + C
✓ a  a  f ( x)  g( x) nếu a  1
1
1
1
 cos (ax + b) dx = a .tan(ax + b) + C
 cos x dx = tan x + C
✓ a  a  f ( x)  g( x) nếu 0  a  1
1

1
1
XII.Phương trình và bất phương trình
 sin x dx = − cot x + C  sin (ax + b) dx = − a .cot(ax + b) + C
1
lôgarit:
 e dx = e + C
 e dx = a .e + C
1.Phương trình lôgarit:
  e dx = −e + C
✓ log x = b  x = a
1 

 dx = .
+C
 dx =
+C


a ln
ln

✓ log f ( x) = b  f ( x) = a
➢ Phương pháp đổi biến số dạng 1:
✓ log f ( x) = log g( x)  f ( x) = g( x)
2.Bất phương trình lôgarit:
I =  f [ t ( x)].t '( x)dx =  f (t )dt
✓ log x  b  x  a nếu a  1
Một số cách đổi biến thường gặp:
log f ( x)  b  f ( x)  a nếu a  1

✓  f (ln x) 1x dx → Đặt t = ln x
✓ log x  b  x  a nếu 0  a  1
log f ( x)  b  f ( x)  a nếu 0  a  1
✓  f (e )e dx → Đặt t = e
✓ log f ( x)  log g( x)  f ( x)  g( x) nếu a  1
✓  f (sin x)cosxdx → Đặt t = sin x
✓ log f ( x)  log g( x)  f ( x)  g( x) nếu 0  a  1
✓  f (cosx)sin xdx → Đặt t = cosx
Lưu ý đặt điều kiện cho phương trình,
✓  f (tan x) cos1 x dx → Đặt t = tan x
bất phương trình mũ và lôgarit:
✓ a → Không có điều kiện.
✓  f (cot x) sin1 x dx → Đặt t = cot x
a f ( x )  b  f ( x)  loga b
f ( x)

g( x )

f ( x)

g( x )

2

2

2

2

x

x

ax + b

ax + b

−x

b

x

a

−x

ax + b

ax + b

x

b

a

a

a

b

t ( b)

a

t ( a)

b

a

b

a

b

a

x

b

x

x

a

a

a

a

a

2

f ( x)

✓

log f ( x ) g( x) →

Điều kiện:

 f ( x)  0

 f ( x)  1
 g( x)  0


✓ Đặt t = a → Điều kiện: t  0
✓ Đặt t = log x → Không có điều kiện t
XIII.Công thức nguyên hàm-tích phân
➢ Công thức nguyên hàm:

Nguyên hàm
Nguyên hàm mở
cơ bản
rộng
x

a

1.dx = x + C
x +1

 a.dx = ax + C
1 (ax + b) +1
dx = .
+C
a
 +1

 x dx =  + 1 + C

 (ax + b)

1
 x dx = ln x + C
1
 x dx = 2 x + C

1
1
 ax + b dx = a .ln ax + b + C

1
1
 ax + b dx = a .2 ax + b + C

1
1
 x2 dx = − x + C

 (ax + b)

 cosxdx = sin x + C

 cos(ax + b)dx = a .sin(ax + b) + C





1

2

1
1
dx = − .
+C
a ax + b

1

2

✓ Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có
chứa A thì đặt t = A
✓ Khi tính tích phân dạng  sin x cos xdx :
n

n

m

n

o Nếu m và n chẵn ta dùng công
thức hạ bậc.
o Nếu m chẵn, n lẻ ta đặt t = sin x .
o Nếu m lẻ, n chẵn ta đặt t = cosx .
➢ Phương pháp đổi biến số dạng 2:
✓ Hàm có chứa a − x thì đặt x = asin t
a
✓ Hàm có chứa x − a thì đặt x =
sin t
✓

Hàm có chứa

2

2

2

2

a2 + x2

hay

thì đặt

a2 + x2

x = atant

➢ Tích phân từng phần:  u.dv = uv −  v.du

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

b

b

b

a

a

a

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
Thứ thự ưu tiên:

sin x 


ln x → P( x) →  cos x 
ex 



➢ Phương pháp tính tích phân của hàm
hữu tỉ:  QP(( xx)) dx
✓

✓

Bậc của P( x)  Bậc của Q( x) : Chia đa
thức tử cho mẫu.
Bậc của P( x)  Bậc của Q( x) : → Phân
tích mẫu thành tích và biến đổi theo
cách sau:
Ñaë
t
P( x)
P( x)
A

B
C
=
=
+
+
2
Q( x) ( x − a) ( x − b) ( x − a)2 x − a x − b

Đặc biệt:

1
1  1
1 
=
−


( x − a)( x − b) a − b  x − a x − b 

➢ Tính diện tích hình phẳng
✓ Loại 1: Hình phẳng (H) giới hạn bởi
đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành, hai
đường thẳng x = a, x = b .
Công thức: S =  f ( x) dx
b

1.Định nghĩa số phức: Số phức là 1 biểu
thức có dạng z = a + bi , trong đó a, b là các số
thực, i = −1 .

a: được gọi là phần thực
b: được gọi là phần ảo
✓ Tập hợp các số phức được ký hiệu
là C
✓ Số phức có phần thực bằng 0 được
gọi là số thuần ảo.
✓ Hai số phức bằng nhau: khi và chỉ
khi có phần thực bằng nhau và phần
ảo bằng nhau. a + bi = a'+ b'i  ab == ab''
2



“Thực bằng thực, ảo bằng ảo”
✓ Môđun của số phức z = a + bi : z = a + b
✓ Số phức liên hợp: của số phức
z = a + bi là z = a − bi
✓ Phép cộng hai số phức:
2

(a + bi ) + (a'+ b' i ) = (a + a') + (b + b')i

✓ Phép

Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi
hai đồ thị đồ thị hàm số y = f ( x), y = g( x) ,
hai đường thẳng x = a, x = b
Công thức: S =  f ( x) − g( x) dx
b

trừ

hai

số

phức:

(a + bi ) − (a'+ b' i ) = (a − a') + (b − b')i

a

✓

2

✓ Phép nhân hai số phức:
(a + bi ).(a'+ b' i ) = (aa'− bb') + ( ab'+ ba')i

✓ Phép chia hai số phức:
z z .z
=
(nhân cả tử và mẫu cho z ).
z
1
2

a

1

2

2

z2 .z2

➢ Tính thể tích vật thể tròn xoay: Cho
✓ Số phưc nghịch đảo của z là: 1z = z
z.z
hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số
2.Giải phương trình bậc hai với hệ số
y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng
thực trên tập số phức:
x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo thành
Cho phương trình bậc hai az + bz + c = 0 (
vật thể tròn xoay có thể tích là:
a, b, c  R và a  0 )
2

b

V =   [ f ( x)]2 dx
a

XIV.Số Phức

 = b2 − 4ac

✓

: Phương trình có 2 nghiệm phức
phân biệt:
0

x1 =

− b + −i
2a

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

;

x2 =

− b − −i
2a

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
✓

: Phương trình có nghiệm kép
thực : x = x = − 2ba
=0

1

✓

2

: Phương trình có 2 nghiệm thực
phân biệt:
−b + 
x =
; x = −b2−a 
2a
0

1

2

Chú ý:
✓ Khi giải phương trình trùng phương
az + bz + c = 0 trên tập số phức C , ta đặt
t = z (không cần điều kiện cho t )
✓ z = −a(a  0)  z =  ai
4

2

2

2

phần tử ( n  1 ). Mỗi cách sắp thứ tự
n phần tử của tập A được gọi là một
hoán vị của n phần tử đó.
✓ Số hoán vị của n phần tử:
Pn = n! = n(n − 1)...2.1

n!: đọc là “n giai thừa”
2. Chỉnh hợp: Từ n → lấy k → sắp thứ
tự
✓ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n
phần tử ( n  1 ). Lấy ra k phần tử và
sắp xếp chúng theo một thứ tự nào
đó, mỗi kết quả thu được được gọi
là một chỉnh hợp chập k của n phần
tử.
✓ Số chỉnh hợp chập k của n phần
tử:

TỔ HỢP – XÁC SUẤT
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Một công việc được
n!
A =
= n(n − 1)...(n − k + 1) (0  k  n)
hoàn thành bởi một trong hai phương
(n − k)!
án A hoặc B. Nếu có m cách thực hiện
3. Tổ hợp: Từ n → lấy k
phương án A, n cách thực hiện phương
✓ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n

án B thì sẽ có m+n cách hoàn thành
phần tử ( n  1 ). Lấy ra k phần tử, mỗi
công việc.
kết quả thu được được gọi là một
2. Quy tắc nhân: Một công việc được
chỉnh hợp chập k của n phần tử.
thực hiện qua hai hành động liên tiếp A
✓ Số các tổ hợp chập k của n phần
và B. Nếu có m cách thực hiện hành
tử:
n!
động A, n cách thực hiện hành động B
C =
(0  k  n)
k!(n − k)!
thì sẽ có m  n cách hoàn thành công việc.
III.Nhị thức Niu-tơn
Lưu ý: Đối với bài toán thành lập số ta
✓ Công thức nhị thức Niu – tơn:
phải xét hai trường hợp nếu thỏa
( a + b) = C a + C a b + C a b + +
mãn 3 điều kiện sau:
C a b + ... + C ab + C b


= C a b  = C a b 
✓ Đề cho có chữ số 0.


✓ Số cần tìm có các chữ số khác nhau.

✓ Số hạng tổng quát: C a b hoặc
✓ Số cần tìm là số chia hết cho 2 (số
C ab
chẵn) hoặc số chia hết cho 5.
IV.Xác suất
II.Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
✓ Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là
1. Hoán vị: Từ n phần tử → sắp thứ tự
phép thử) là một thí nghiệm, một
✓ Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n
phép đo hay một sự quan sát hiện
k
n

k
n

n

1 n −1
n

0 n
n

n− k

k
n

n

k=0

k
n

2 n− 2 2
n

n −1
n

k

n− k

n −1

n

k

k=0

k
n

k

n n
n

n− k

k
n

k
n

k

n− k

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

n− k

k

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )

✓
✓

✓

✓

tương nào đó mà:
- Kết quả của nó không đoán
trước được.
- Có thể xác định được tập hợp
tất cả các kết quả có thể xảy
ra của phép thử đó.
Không gian mẫu: Tập hợp tất cả
các kết quả có thể xảy ra của một
phép thử. Kí hiệu  (ô-mê-ga).
Biến cố: Là một tập con của không
gian mẫu.
- Biến cố không  là biến cố
không bao giờ xảy ra.
- Biến cố chắc chắn  là biến
cố luôn xảy ra
Phép toán trên các biến cố:
- A  B : Hợp của các biến cố A
và B ( A  B xảy ra  A xảy ra
hoặc B xảy ra).
- A  B (hay A.B ): Giao của các
biến cố A và B ( A  B xảy ra 
A và B đồng thời xảy ra).
- A  B =  thì ta nói A và B là 2
biến cố xung khắc (không
đồng thời xảy ra).
- A =  \ A được gọi là biến cố đối
của biến cố A. (A và A xung

khắc và A  A =  )
Xác suất của biến cố: P( A) = nn((A))

- Nếu A và B xung khắc thì:
P( A  B) = P( A) + P( B)
(công thức
cộng xác suất)
- P( A) = 1 − P( A) , với mọi biến cố A.
HÌNH HỌC PHẲNG
I. Một số công thức thường dùng trong
hình học phẳng:
1. Hệ thức lượng trong tam giác: Cho
ABC , ký hiệu
- a, b, c: độ dài 3 cạnh
- R: bán kính đường tròn ngoại
tiếp
✓ Định lí côsin:
✓ Định lí sin:

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
 2
2
2
b = a + c − 2ac cosB
c2 = a2 + b2 − 2ab cosC


a
b
c

=
=
= 2R
sin A sin B sinC

✓ Công thức tính độ dài trung tuyến:
 2 2b2 + 2c2 − a2
ma =
4

 2 2a2 + 2c2 − b2
mb =
4

 2 2a2 + 2b2 − c2
mc =
4


2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông:
A

B

C

H

 BC = AB + AC (ñònhlí Pitago)
 AB = BH.BC AC = CH.BC

 AH = BH.CH
 AH.BC = AB.AC
 AH1 = AB1 + AC1
2

2

2

2

2

Trong đó:
- n( A) : Số kết quả thuận lợi cho
biến cố A.
- n() : Số phần tử của không
3. Tỉ số lượng giác của góc nhọn:
gian mẫu.
✓ Tính chất của xác suất:
- P() = 0, P() = 1
- 0  P( A)  1 , với mọi biến cố A.
2

2

2

2

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TỐN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (tốn lý hóa thầy Chung )
C

✓
✓
✓

α

B

A
✓

AC
BC
AB
=
BC
AC
=
AB
AB
=
AC

sin

Đố
i
( Đi học)
Huyề
n
Kề
=
( Khó
c hoà
i)
Huyề
n
Đố
i
=
( Đừ
ngkhó
c)
Kề
Kề
=
( Kẹo đâ
y)
Đố
i

=

cos
tan
cot 

Tam giác đều:

S=

cạnh2 . 3
4

Hình vng: S = Cạnh
Hình chữ nhật: S = dài rộng
Hình bình hành: S = đáy  cao hoặc
2

S = AB.AD.sin A

=

✓

Hình thoi: S = đáy  cao hoặc
hoặc
1
S = x tích 2 đường chéo
2

S = AB.AD.sin A

(đá
y lớ
n + đá
y bé
)  cao
✓ Hình thang: S =
2
4. Lưu ý:
✓ Hình tròn: S =  R
✓ Trong tam giác vng, đường trung
tuyến xuất phát từ đỉnh góc vng II.Các đường trong tam giác:
có độ dài bằng ½ cạnh huyền
1.Đường trung tuyến_Trọng tâm
✓ Hình vng có độ dài đường chéo
✓ Xuất phát từ đỉnh
bằng cạnh x 2 .
✓ Qua trung điểm cạnh đối diện
✓ Cạnh huyển của tam giác vng
cân có độ dài bằng
G
cạnh góc vng x 2 .
C
B
2
1
AG = AM; GM = AM
✓ Đường cao của tam giác đều có độ
3
3

dài bằng cạn2h 3 .
* Tính chất:
5.Các cơng thức tính diện tích:
✓ Ba đường trung tuyến trong tam
giác cắt nhau tại một điểm và điểm
✓ Tam giác thường:
này được gọi là trọng tâm của tam
 S = 21 ah = 21 bh = 21 ch ( h , h , h : độ dài 3
giác.
đường cao)
✓ Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh
 S = 21 absinC = 21 acsin B = 21 bcsin A
bằng 23 độ dài đường trung tuyến.
 S = abc
2.Đường cao_Trực tâm
4R
2

A

M

a

b

c

a

b

c

 S = pr (r: bán kính đường tròn nội
tiếp, p = a + 2b + c : nửa chu vi)

✓

 S = p( p − a)( p − b)( p − c) (Cơng thức Hêrơng)
Tam giác vng: S = 21 x tích 2 cạnh
góc vng

✓ Xuất phát từ đỉnh
✓ Vng góc cạnh đối diện
A

J
H

B

I

* Tính chất:
☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TỐN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

C

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
DB AB
EB AB
✓ Ba đường cao trong tam giác cắt
=
;
=
DC AC
EC AC
nhau tại một điểm và điểm này
5.Đường trung bình
được gọi là trực tâm của tam giác.
✓ Qua trung điểm hai cạnh
3.Đường trung trực_Tâm đường tròn
A
ngoại tiếp
N
M
✓ Qua trung điểm một cạnh
 MN / / BC
B
C 

1
✓ Vuông góc với cạnh đó
 MN = BC


A

* Tính chất:
✓ Song song với cạnh đáy
✓ Có độ dài bằng 21 cạnh đáy

I
B

2

C

III.Các trường hợp bằng nhau của hai
* Tính chất:
tam giác
✓ Ba đường trung trực trong tam giác
✓ Cạnh – Góc – Cạnh
cắt nhau tại một điểm, điểm này
✓ Góc – Cạnh – Góc
cách đều 3 đỉnh của tam giác và đó
✓ Cạnh – Cạnh – Cạnh
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
Nếu là tam giác vuông:
giác.
✓ Cạnh huyền – Góc nhọn
4.Đường phân giác_Tâm đường tròn
✓ Cạnh huyền – Cạnh góc vuông
nội tiếp
IV.Các trường hợp đồng dạng của hai

✓ Xuất phát từ một đỉnh
tam giác
✓ Chia góc ứng với đỉnh đó thành 2
✓ 2 góc bằng nhau
góc bằng nhau
✓ 1 góc bằng nhau xen giữa hai cạnh
* Tính chất:
tỉ lệ
✓ Ba đường phân giác trong tam giác
✓ 3 cạnh tỉ lệ
cắt nhau tại một điểm, điểm này
Nếu là tam giác vuông:
cách đều 3 cạnh của tam giác và đó
✓ 1 góc nhọn bằng nhau
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
✓ 2 cạnh tỉ lệ
A
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
J
I. Quan hệ song song:
B
C
1) Hai đường thẳng song song với nhau
✓ Đường phân giác của tam chia cạnh
nếu chúng đồng phẳng và không có
đối diện thành 2 đoạn tỉ lệ với 2
điểm chung.
cạnh kề 2 đoạn ấy
2) Đường thẳng d song song với mặt
phẳng ( ) nếu d không nằm trong ( )

A

E

B

D

C

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
và d song song với một đường thẳng
d ' nằm trong ( ) .
d
d'



d  ( ) 

d d'   d
d '  ( )

( )

3) Hai mặt phẳng song song với nhau
nếu mặt phẳng này chứa hai đường
thẳng cắt nhau cùng song song với
mặt phẳng kia.
a



Tính chất:
✓ Đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng ( ) thì d sẽ vuông góc với
mọi đường thẳng nằm trong mặt
phẳng ( ) .
✓ (Định lý 3 đường vuông góc) Cho
đường thẳng d không vuông góc
với mặt phẳng ( ) và đường thẳng a
nằm trong mặt phẳng ( ) . Khi đó,
điều kiện cần và đủ để a vuông góc
với d là a vuông góc với hình chiếu
d ' của d trên ( ) .
d

M

b

d'
α

a



a ⊥ d  a ⊥ d'

a, b  ( ) 

a  b = M   ( )
a, b (  ) 

( )

II. Quan hệ vuông góc:
1) Hai đường thẳng d và d ' vuông góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
.
2) Đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng ( ) nếu d vuông góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt
phẳng ( ) .

3) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau
nếu mặt này chứa một đường thẳng
vuông góc với mặt kia.

0

d

α

a
I
b


d⊥a

d⊥b

  d ⊥ ( )
a b = I 
a, b  ( ) 


d



d ⊥ ( ) 
  ( ) ⊥ (  )
d  (  )

Tính chất:
✓ Hai mặt phẳng vuông góc với nhau,
nếu đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với
giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc
với mặt phẳng kia.

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
d
A
β

a

α
O

d

α

d'

H

(d,( )) = (d, d ')


( ) ⊥ (  )

( )  (  ) = d   a ⊥ ( )
a  (  ), a ⊥ d 

✓ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng cũng vuông góc
với mặt phẳng thứ ba đó.
d

α

β

γ

( ) ⊥ ( )



(  ) ⊥ ( )
  d ⊥ ( )
( )  (  ) = d 

Cách tìm góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng ( ) :
✓ Tìm hình chiếu d’ của d trên ( ) .
✓ Khi đó góc giữa d và ( ) bằng góc giữa
d và d’:
Ta có thể trình bày như sau:
- Vì O  ( ) nên hình chiếu của O trên
( ) là O.
- Vì AH ⊥ ( ) nên hình chiếu của A trên

( ) là H.
 Hình chiếu của AO trên là HO
 ( AO,( )) = ( AO, HO) = AOH

III. Góc:
1) Góc giữa hai đường thẳng: Góc
giữa hai đường thẳng a và b là góc
giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và
b’ lần lượt song song (hoặc trùng) với
a và b.

3) Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc
giữa hai đường thẳng lần lượt nằm
trong 2 mặt phẳng, cùng vuông góc
với giao tuyến.


b
d
I


a

b

a'
a

b'

(a, b) = ( a', b')

2) Góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng: Góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng ( ) là góc giữa d và hình
chiếu d’ của d trên ( ) .

( )  (  ) = d 

a  ( ), a ⊥ d   (( ),(  )) = (a, b)
b  (  ), b ⊥ d 


Cách tìm góc giữa hai mặt phẳng ( )
và ( ) :
✓ Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng
( ) và (  )

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
Tìm 2 đường thẳng a và b lần lượt
nằm trong hai mặt phẳng ( ) và ( ) mà
cùng vuông góc với giao tuyến d.
✓ Khi đó góc giữa hai mặt phẳng ( ) và
(  ) bằng góc giữa hai đường thẳng a

và b.
IV. Khoảng cách:
1) Khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phẳng:
✓

góc chung của hai đường thẳng đó.
a
M

N
b

MN được gọi là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng a
và b nếu

A

H
α

Từ A kẻ AH ⊥ ( )  d( A,( )) = AH
Phương pháp tìm đoạn AH:
- Chọn (hoặc dựng) mặt phẳng phụ
(  ) chứa A và vuông góc với mặt
phẳng ( ) theo giao tuyến là đường
thẳng a.
- Trong mặt phẳng ( ) , kẻ AH ⊥ a
 AH ⊥ ( )  d( A,( )) = AH

β
A

a
H

α

✓ Lưu ý: Nếu

AO  ( ) = O

thì

d( A,( )) AO
=
d( I ,( )) IO

A
I
α
O

K

H

2) Khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau:
✓ Cách 1: Bằng độ dài đoạn vuông

M  a

N  b
 MN ⊥ a, MN ⊥ b


✓ Cách 2: Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau bằng
khoảng cách giữa đường thẳng này
với mặt phẳng song song với nó
chứa đường thẳng còn lại.
b

M
α

A
a

C
B

d(a, b) = d(b,( )) = d( M ,( )) = d( M ,( ABC)) =

3VM . ABC
SABC

Trong đó ( ) là mặt phẳng chứa
đường thẳng a và song song

với đường thẳng b và M là điểm
tùy ý trên đường thẳng b.
V. Hình chóp – khối chóp:
Thể tích khối chóp bằng một phần ba
diện tích dáy nhân với chiều cao
1
V = Sñaùy  cao
3

Một số lưu ý khi tính diện tích đa
giác:
✓ Trong tam giác ABC, nếu M là
điểm tùy ý trên cạnh BC ta có:
SABM BM
=
SABC BC

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
✓ Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các
cạnh đều bằng nhau.
2) Hình chóp có một cạnh bên vuông
góc với đáy:

A

B

C

M

✓ Đường trung tuyến của tam giác
chia tam giác thành hai phần có
diện tích bằng nhau.
✓ Hai đường chéo hình bình hành
chia hình bình hành thành 4 phần có
diện tích bằng nhau.
A

D
O

B

C

VI. Các khối hình chóp thường gặp:
1) Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy
là đa giác đều và tất cả các cạnh bên
đều bằng nhau.
S

D

C

O

A

B

Tính chất của hình chóp đều:
✓ Đường cao đi qua tâm của đáy.
✓ Các mặt bên là các tam giác cân
bằng nhau và hợp với đáy các góc
bằng nhau.
✓ Các cạnh bên hợp với đáy các góc
bằng
nhau.

S

D

A

B

C

Chú ý: Giả thiết bài toán có thể cho
một trong hai dạng sau:
✓ SA ⊥ ( ABCD)
✓ (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với

( ABCD )

(SAB) ⊥ ( ABCD )

(SAD ) ⊥ ( ABCD)  SA ⊥ ( ABCD)
(SAB)  (SAD ) = SA


Ta có:

Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng
cắt nhau cùng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba thì giao tuyến của
chúng cũng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba đó”
3) Hình chóp có một mặt bên vuông
góc với đáy: thì đường cao của mặt
bên đó sẽ là đường cao của hình chóp.
S

A

Chú ý:
✓ Tứ giác đều là hình vuông, ta
thường vẽ là hình bình hành có tâm
là giao điểm của 2 đường chéo.
✓ Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác
thường có tâm là giao điểm hai
đường trung tuyến.

D

H

B

C

Chú ý:
✓ Cơ sở là định lý: “Hai mặt phẳng
vuông góc với nhau, nếu đường
thẳng nào nằm trong mặt phẳng
này và vuông góc với giao tuyến thì

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
V
SA' SB '
cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng
=
.
V
SA SB
kia”
✓ C  C '; B  B'
✓ Đường cao SH của SAB chính là

S
đường cao của hình chóp nên vẽ SH
thẳng đứng.
A'
✓ Thường bài toán cho “ SAB là tam
giác đều là nằm trong mặt phẳng
A
C
vuông góc với đáy” ta trình bày như
B
sau:
V
SA'
=
- Gọi H là trung điểm AB
V
SA
- Vì SAB đều  SH là đường cao
của SAB  SH ⊥ AB
VIII. Ứng dụng công thức thể tích để tìm
(SAB) ⊥ ( ABCD )

Ta có: (SAB)  ( ABCD) = AB  SH ⊥ ( ABCD)
khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt
SH  (SAB), SH ⊥ AB

phẳng:
VII. Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối
Ta có: V = 13 S .cao = 13 S .d(S,( ABC))
chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường

3V
 d(S,( ABC)) =
thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’,
S
B’, C’ khác với S.
Tương tự:
S. A ' B ' C '
S. ABC

S. A ' B ' C '
S. ABC

S. ABC

ABC

ABC

S. ABC
ABC

S

d( A,(SBC)) =

3VA.SBC
SSBC

d( B,(SAC)) =

3VB.SAC
SABC

d(C,(SAB)) =

3VC.SAB
SSAB

C'
A'
B'
A

C

B

Trong đó: V = V = V = V
Ta có:
(Công thức nàyIX. Hình lăng trụ - khối lăng trụ:
Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích
chỉ được dùng cho khối chóp tam
đa giác đáy nhân với chiều cao
giác)
A'
C'
Các trường hợp đặc biệt:
B'
✓ C  C'
A.SBC

VS. A ' B ' C ' SA' SB ' SC '
=
.
.
VS. ABC
SA SB SC

S

B.SAC

A
H

C.SAB

S. ABC

C

B

A'

V = Sñaùy  cao
A

B'
C

B

Tính chất của hình lăng trụ:
✓ Các cạnh bên song song và bằng
nhau.

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
✓ Các mặt bên và mặt chéo là các
Mặt cầu cùng với phần không gian bên
hình bình hành.
trong của nó được gọi là khối cầu.
✓ Hai đáy nằm trên hai mặt phẳng
song song, là hai đa giác bằng nhau,
có các cạnh tương ứng song song và
I
bằng nhau.
R
1) Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh
bên vuông góc với đáy.
2) Diện tích mặt cầu và thể tích khối
Đối với hình lăng trụ đứng:
✓ Các cạnh bên cũng là đường cao.
cầu:
✓ Các mặt bên là các hình chữ nhật và

✓ Diện tích mặt cầu: S = 4 R
nằm trong mặt phẳng vuông góc
✓ Thể tích khối cầu: V = 43  R
với đáy.
2) Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng cóXI. Mặt trụ – Hình trụ - Khối trụ:
1) Định nghĩa: Cho hình chữ nhật
đáy là đa giác đều
ABCD quay quanh cạnh AB khi đó
Đối với lăng trụ đều, các mặt bên là
cạnh CD vạch thành một mặt tròn
những hình chữ nhật bằng nhau.
3) Hình hộp:
xoay được gọi là mặt trụ.
✓ Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là
r
hình bình hành.
✓ Hình hộp đứng là hình hộp có cạnh
h
bên vuông góc với đáy.
l
✓ Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng
r
có đáy là hình chữ nhật.
Thể tích hình hộp chữ nhật V = abc (a,
✓ Hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai
b, c: 3 kích thước)
hình tròn bằng nhau, hình tạo thành
✓ Hình lập phương là hình hộp chữ
bởi mặt trụ và hai hình tròn này
nhật có tất cả các cạnh bằng nhau.

được gọi hình trụ. Hai hình tròn
Thể tích hình lập phương V = a (a:
này được gọi là hai đáy của hình
độ dài cạnh)
trụ.
X. Mặt cầu – Khối cầu:
✓ Cạnh CD được gọi là đường sinh
1) Định nghĩa: Mặt cầu tâm I bán kính R
của hình trụ.
được ký hiệu S(I;R) là tập hợp tất cả
✓ Cạnh AB được gọi là trục của hình
các điểm trong không gian cách điểm
trụ.
I cố định một khoảng R không đổi.
✓ Khoảng cách giữa hai đáy được gọi
là chiều cao của hình trụ.
2

3

3

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
✓ Hình trụ cùng với phần không gian
bên trong của nó được gọi là khối

trụ.
2) Diện tích mặt trụ và thể tích khối
trụ:
✓ Diện tích xung quanh mặt trụ:
S = 2 rl ( l : độ dài đường sinh, r : bán
kính đáy )
xq

của hình nón.
✓ Cạnh OI được gọi là trục của hình
nón. Độ dài đoạn OI được gọi là
chiều cao của hình nón.
✓ Điểm O được gọi là đỉnh của hình
nón.
2) Diện tích mặt nón và thể tích khối
nón:
✓ Diện tích xung quanh mặt nón:
S =  rl ( l : độ dài đường sinh, r : bán
kính đáy )
✓ Diện tích toàn phần hình nón:
xq

Stp = Sxq + Sñaùy =  rl +  r 2

✓ Thể tích khối nón:

1
1
V = Sñaùy .cao =  r 2h
3

3

(h

: chiều cao)
✓ Diện tích toàn phần hình trụ:XIII. Cách xác định tâm và bán kính mặt
S = S + 2S = 2 rl + 2 r
cầu ngoại tiếp một số hình chóp
✓ Thể tích khối trụ: V = S .cao =  r h ( h :
thường gặp
chiều cao)
Hình 1: Hình chóp S.ABC có ABC
XII. Mặt nón – Hình nón - Khối nón:
vuông tại B, SA ⊥ ( ABC) .
1) Định nghĩa: Cho tam giác OIM
Cách đặc biệt
vuông tại I quay quanh cạnh IO khi đó
cạnh OM vạch thành một mặt tròn
xoay được gọi là mặt nón.
2

tp

xq

ñaù
y

2

ñaù
y

S

I

C

A

B

h
l
r

✓ Cạnh IM vạch ra một hình tròn,
hình tạo thành bởi mặt nón và hình
tròn này được gọi là hình nón.
Hình tròn này được gọi là mặt đáy
của hình nón.
✓ Cạnh OM được gọi là đường sinh

Gọi I là trung điểm của SC.
SAC vuông tại A  IA = IS = IC (1)
BC ⊥ AB
  BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ SB
BC ⊥ SA 

vuông tại B  IB = IS= IC (2)
Từ (1) và (2)  IA = IB = IC = IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
 SBC

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
Bán kính:

1
R = IS = SC
2

Hình 2: Hình chóp S.ABC có
vuông tại A, SA ⊥ ( ABC) .
S

M

ABC

Δ

d
I



C

A

Qua O dựng đường thẳng  vuông góc
với mp(ABC)   là trục của đường tròn
ngoại tiếp ABC .
Trong mp(SAJ), dựng đường thẳng d là
trung trực của SA.
Gọi I = d  
IA = IS
Ta có: II  d 
 IA = IB = IC
 IA = IB = IC = IS

O
B

Gọi O là trung điểm của BC  O là tâm
đường tròn ngoại tiếp ABC .
Qua O dựng đường thẳng  vuông góc
với mp(ABC)   là trục của đường tròn
ngoại tiếp ABC .
Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là
trung trực của SA.
Gọi I = d  
IA = IS

Ta có: II  d 
 IA = IB = IC

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
2

Bán kính:

2 
R = IA = AO2 + OI 2 =  AJ  + AM 2
3 

Hình 4: Hình chóp đều S.ABC.
S

M
d

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
2

Bán kính:

1

R = IA = AO2 + OI 2 =  BC  + AM 2
2


Hình 3: Hình chóp S.ABC có
tam giác đều, SA ⊥ ( ABC) .
S

ABC

là

Δ

C

A
O



 IA = IB = IC = IS

I

B

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
 SO là trục của đường tròn ngoại tiếp
ABC

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là
trung trực của SA.

Gọi I = d  SO
Ta có: II  dSOIAIA= =ISIB = IC


 IA = IB = IC = IS
M

d

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bán kính: R = IS
Cách tính bán kính:

I

C

A
O
J
B

Gọi J là trung điểm BC.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
(Vì là 2 tam giác vuông có
chung góc S)

SMI # SOA



IS SM
SA.SM
=
 IS =
SA SO
SO

Hình 5: Hình chóp S.ABCD có đáy
ABCD là hình vuông (hoặc hình
chữ nhật), SA ⊥ ( ABCD)
Cách đặc biệt
S

I

D

A

B

C

Gọi I là trung điểm của SC.
SAC vuông tại A  IA = IS = IC (1)
BC ⊥ AB
  BC ⊥ (SAB)  BC ⊥ SB
BC ⊥ SA 

 SBC

vuông tại B

 IB = IS = IC

(2)

CD ⊥ AD 
  CD ⊥ (SAD )  CD ⊥ SD
CD ⊥ SA 

Trong mp(SAO), dựng đường thẳng d là
trung trực của SA.
Gọi I = d  SO
Ta có: II  dSOIAIA= =ISIB = IC = ID


 IA = IB = IC = ID = IS

Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bán kính: R = IS
Cách tính bán kính:
SMI # SOA (Vì là 2 tam giác vuông có
chung góc S)


IS SM
SA.SM
=
 IS =
SA SO
SO

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG
KHÔNG GIAN OXYZ
I.Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz
đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị
lần lượt là: i , j , k

vuông tại D  ID = IS= IC (3)
Từ (1), (2) và (3)  IA = IB = IC = ID = IS
Suy ra: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
Bán kính: R = IS = 21 SC
 SCD

Hình 6: Hình chóp đều S.ABCD.
S

M

d
I

A

D
O

B

C

II.Tọa độ của vectơ: u = ( x; y; z)  u = xi + y j + zk
Đặc biệt: 0 = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1)
III.Tọa độ của điểm: M ( x; y; z)  OM = ( x; y; z) (x :
hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Đặc biệt:
✓ M  (Oxy)  z = 0
M

Gọi O là giao điểm 2 đường chéo  SO
là trục của đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD.

✓

M  (Oyz) 

xM = 0

✓

M  (Oxz) 

yM = 0

✓

M  Ox 

yM = zM = 0

☎️ ☎️ ☎️. 0988.451.728-HỌC LÀ GIỎI TOÁN
Đc. Số 6 Ngách 47 Ngõ 318 La Thành,Đống Đa,Hà Nội

LUYỆN THI TOÁN 10-11-12 THẦY CHUNG -LA THÀNH-HÀ NỘI
Facebook: Nguyễn Văn Chung (toán lý hóa thầy Chung )
M  Oy 

V.Tích vô hướng của hai vectơ:
➢ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:
✓ M  Oz  x = y = 0
Nếu
a = (a ; a ; a ), b = (b ; b ; b ) thì:
Hình chiếu vuông góc của điểm
a.b = a .b + a .b + a .b

“Hoành nhân hoành+
M ( x ; y ; z ) lên:
✓ Trục Ox là: M ( x ;0;0)
tung nhân tung + cao nhân cao”
➢ Ứng dụng:
✓ Trục Oy là: M (0; y ;0)
✓ Độ dài vectơ: Nếu
thì
a = (a ; a ; a )
✓ Trục Oz là: M (0;0; z )
a = a +a +a
✓ mp(Oxy) là: M ( x ; y ;0)
✓ Độ dài đoạn thẳng AB:
✓ mp(Oxz) là: M ( x ;0; z )
✓

xM = zM = 0
M

M

1

M

M

1

M

1

12

M

13

M

23

3

1

2

2
1

M

a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 )

✓

ka = (ka1; ka2; ka3 ), k  R

✓

a1 = b1

a = b  a2 = b2
a = b
3
 3

✓
✓

2
2

3

2
2

AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2

M

Góc giữa hai vectơ:

✓

cos(a, b) =

a.b
a.b

=

a1b1 + a2b2 + a3b3
a + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
2
1

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

✓

a ⊥ b  a.b = 0  a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

“Hoành bằng hoành, VI.Tích có hướng của hai vectơ:

tung bằng tung, cao bằng cao”
a cùng phương b (b  0)  tồn tại một
số k sao cho: a = kb

➢ Định nghĩa: Cho hai vectơ



a, b =  a2

a a a
 1 = 2 = 3 , (b1, b2 , b3  0)

b1 b2 b3

a = (a , a , a )
1
2
3

b = (b1, b2 , b3 )

Tích có hướng của hai vectơ a và
vectơ được xác định như sau:
 b2

b

.

là 1

a3 a3 a1 a1 a2 
;
;
 = ( a2b3 − a3b2; a3b1 − a1b3; a1b2 − a2b1 )
b3 b3 b1 b1 b2 
2

Tọa độ vectơ AB = (x − x ; y − y ; z − z )
Quy tắc: 23-31-12
Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng ➢ Cách tính tích có hướng của hai vectơ


x +x
x =
bằng máy tính
2

1.Máy 570VN PLUS
AB:  y = y +2 y


z +z
✓ ON → MODE → 8 → 1 → 1:
z =
2

Nhập tọa độ Vectơ a
Toạ độ trọng tâm G của tam giác
✓ AC → MODE → 8 → 2 → 1:

x +x +x
Nhập tọa độ Vectơ b
x =
3

✓ AC → SHIFT → 5 → 3 → X →
ABC: y = y + y3 + y
SHIFT → 5 → 4 → =


z +z +z
2.Máy 570ES PLUS