tóm tắt KIẾN THỨC TOÁN 11

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />Lưu hành nội bộ
/>Điều chỉnh, bổ sung năm 2011

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

MỤC LỤC
/> />CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .................................................................... 4
1. Độ và radian .......................................................................................... 4
/>2. Các hệ thức cơ bản ................................................................................. 4
3. Các hệ quả cần nhớ ................................................................................ 4
/>4. Các cung liên kết ................................................................................... 5
5. Các công thức biến đổi ........................................................................... 6
/>HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ............................................................................ 8
1. Các hàm số lượng giác ........................................................................... 8
/>2. Tập xác định của hàm số ........................................................................ 9
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ..................................... 9
/>4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ................................................................... 9
PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................................... 10
/>1. Phương trình lượng giác cơ bản............................................................ 10
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ............................ 12
/>3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ........................................... 12
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx .............................. 13
/>5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng ................................................. 13
6. Phương trình lượng giác khác............................................................... 13

/>ĐẠI SỐ TỔ HỢP ....................................................................................... 14
1. Phép đếm ............................................................................................. 14
/>2. Hoán vị ................................................................................................ 14
/>3. Chỉnh hợp ............................................................................................ 14
4. Tổ hợp ................................................................................................. 15
/>5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ...................................................... 15
NHỊ THỨC NEWTON .............................................................................. 15
/>1.
Khai triển nhị thức Newton .................................................................. 15
2. Tam giác Pascal ................................................................................... 15
3. />Giải phương trình................................................................................. 16
XÁC SUẤT................................................................................................. 16
/>DÃY
SỐ...................................................................................................... 17
1. Tính đơn điệu của dãy số ..................................................................... 17
2. />Tính bị chặn của dãy số ........................................................................ 17
CẤP SỐ CỘNG.......................................................................................... 18
/>1. Định nghĩa ........................................................................................... 18
2. />Tính chất.............................................................................................. 18
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng .............................................. 18
CẤP />SỐ NHÂN .......................................................................................... 18
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
1
: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

2. Tính chất.............................................................................................. 18
/>3. Tổng n số hạng đầu tiên ....................................................................... 18
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................... 19
/>1. Định nghĩa ........................................................................................... 19
/>2. Tính chất.............................................................................................. 19
3. Một số giới hạn cơ bản ......................................................................... 19
/>4. Cách tìm giới hạn ................................................................................. 19
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 20
/>HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................. 22
1. Xét tính liên tục của hàm số y  f ( x ) tại x ........................................ 22
/>2. Tìm m để hàm số y  f ( x ) liên tục tại điểm đã chỉ ra .......................... 22
3. Chứng minh phương trình có nghiệm ................................................... 22
/>ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ........................................................................ 22
/>1. Bảng các đạo hàm ................................................................................ 22
2. Các qui tắc tính đạo hàm ...................................................................... 23
/>3. Đạo hàm cấp cao.................................................................................. 23
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG........................................................ 23
/>CÁC
PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG.................................... 26
I. Các phép biến hình ............................................................................... 26
/>II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình ............................................. 27
III. Tìm phương trình của ảnh .................................................................. 27
/>ĐƯỜNG
THẲNG VÀ MẶT PHẲNG........................................................ 28
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ........................................................ 28
/>2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ............................. 28
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng............................................................ 28
/>4. Tìm thiết diện ...................................................................................... 29

QUAN
HỆ SONG SONG ........................................................................... 29
/>I. Các định nghĩa...................................................................................... 29
II.
Các tính chất ....................................................................................... 29
/>III. Chứng minh hai đường thẳng song song ............................................. 30
IV.
Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ................................. 30
/>V. Chứng minh hai mặt phẳng song song ................................................. 31
VI.
Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ............................................ 31
/>QUAN HỆ VUÔNG GÓC.......................................................................... 31
I. />Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ............................................... 31
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng .................................. 32
III. />Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ............................................... 32
GÓC ........................................................................................................... 33
/>1. Góc
 giữa hai đường thẳng a, b ......................................................... 33
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
2
0

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

2. Góc  giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)........................................ 33
/>3. Góc  giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)................................................... 33
/>KHOẢNG CÁCH ...................................................................................... 33
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a .......................................... 33
/>2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)........................................... 33
3. Khoảng cách giữa đường thẳng a // (P) ................................................. 34
/>4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) // (Q) ........................................... 34
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...................................... 34
/>HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ............................................... 34
1. Định lí cô sin ....................................................................................... 34
/>2. Định lí sin ............................................................................................ 35
3. Công thức tính diện tích tam giác ......................................................... 35
/>4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông .............................................. 36
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
3
: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/> /> />CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
/>1. Độ và radian:
/> 180 

1 
(rad); 1(rad )  
180    (rad ) ;


/>180
  
2. Các hệ thức cơ bản:
/>sin 
cos
* tan  
* cot  
/> cos  0  ;
 sin   0 
cos
sin 
* sin   cos   1,  ;
/>

1

/>* 1  tan  
    k , k  Z 
2
cos  

/>1
* 1  cot  
(  k , k  Z)
sin

/>

k

* tan  .cot   1   
, k  Z .
/>2


3. />Các hệ quả cần nhớ:
sin(  k 2 )  sin  ;
cos(  k 2 )  cos
/>tan(  k )  tan  ;
cot(  k )  cot 
/>
tan  xác định khi    k , k  Z
2
/>cot  xác định khi   k , k  Z
/>1  sin   1
1  cos  1
/>1
* sin x  cos x  1  sin 2 x
/>2
3
/>* sin x  cos x  1  sin 2 x
4
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
4
0

0

2

0

2

2

2

2

2

4

4

2

6

6

2

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

Dấu các giá trị lượng giác:
/>Góc phần tư
I
II
III
IV
/>GTLG
+
+
–
–
sin
/>+
–
–
+
cos
+
–
+
–
tan
/>+
–
+
–
cot
4.

Các
cung
liên
kết:
/>a. Cung đối:  và 
/>cos( )  cos  ;
sin( )   sin 
/>tan( )   tan  ;
cot( )   cot 
b. Cung bù:  và   
/>sin(   )  sin  ;
cos(   )   cos
/>tan(   )   tan  ;
cot(   )   cot 
/>
c. Cung phụ:  và  
2
/>



sin      cos ;
cos      sin 
/>2

2






/>tan      cot  ;
cot      tan 
2

2

/> />d. Cung hơn kém nhau  :  và   
tan(   )  tan  ;
cot(   )  cot 
/>sin(   )   sin  ;
cos(   )   cos 
/>

e. Cung hơn kém nhau :  và  
/>2
2




/>sin      cos ;
cos       sin 
2

2

/>




tan       cot  ;
cot       tan 
2

2

/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
5
: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

5. Các công thức biến đổi:
/>a. Công thức cộng:
/> sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb
/> cos(a  b) = cosa cosb  sina sinb
tan a  tan b
/> tan(a  b) =
1  tan a tan b
/>1  tan a tan b
 cot(a  b) =
/>tan a  tan b
b. Công thức nhân đôi:
/> sin2a = 2 sina.cosa
/> cos2a = cos a – sin a = 2cos a – 1 = 1 – 2sin a

/>2 tan a
cot a  1
 tan2a =
; cot2a =
2 cot a
1  tan a
/>x
* Công thức tính theo t  tan
/>2
2t
2t
1 t
/>tan x 
;sin x 
;cos x 
1 t
1 t
1 t
/>c. Công thức hạ bậc:
1  cos2 a
1  cos2 a
1  cos2a
/>cos a =
;
sin a =
;
tan a =
2
2
1  cos2 a

/>Lưu ý:
x
/>* 1  cos x  2 cos
2
/>x
* 1  cos x  2sin
2
/>d. Công thức biến đổi tích về tổng:
/> /> /> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
6
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>1
sina.cosb = [sin(a  b)  sin(a  b)]
2
/>1
cosa.cosb = [cos(a  b)  cos(a  b)]
/>2
1
/>sina.sinb =  [cos(a  b)  cos(a  b)]
2
/>e. Công thức biến đổi tổng về tích:
/> />AB
AB

 sinA + sinB = 2sin
cos
2
2
/>AB
AB
 sinA – sinB= 2cos
sin
/>2
2
AB
AB
/> cosA + cosB = 2cos
cos
2
2
/>AB
AB
 cosA – cosB = –2sin
sin
2
2
/>
sin(   ) 

 tan  tan =
/>  ;    k , k  Z 
cos .cos  
2


/>Chú ý:
/>



* sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  
4
4
/>





* sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x  
/>4
4


/> /> /> /> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
7
: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

f. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt:

/> />0
30
45
60
90
120
135
150
180




2
3
5
Góc

0
/>6
4
3
2
3
4
6
/>1
1
2
3

3
2
0
0
sin
1
2
2
2
2
2
2
/>–
1
1
3
2
3
1
0
cos
–
2
1
–
/>2
2
2
2
2

2
/>1
1
–
0
1
0
tan
||
1
3
 3
3
3
/>1
1

/>1
0
cot
||
||
1
3
– 3
3
3
/>
/>HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. />Các hàm số lượng giác:

y  cos x
y  sin x
/>- TXĐ: D= 
- TXĐ: D= 
- Là
hàm số lẻ
- Là hàm số chẳn
/>- Hàm tuần hoàn với chu kì 2
- Hàm tuần hoàn với chu kì 2
/>- Tập giá trị: T   1;1
- Tập giá trị: T   1;1
- Hàm
số đồng biến trong
- Hàm số đồng biến trong
/> 


   k 2 ; k 2 
 k 2 ;  k 2 
  />2
 2

- Hàm số nghịch biến trong
- Hàm
số
nghịch
biến
trong
/>


3
 k 2 ;  k 2 
k 2 ;
 k 2 
  />2
2

/> /> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
8
0

0

0

0

0

0

0

0

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3

0

Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>y  tan x
y  cot x




/>- TXĐ: D=  \   k 
- TXĐ: D=  \   k 
2

2

/>- Là hàm số lẻ
- Là hàm số lẻ
- Hàm tuần hoàn với chu kì 
- Hàm tuần hoàn với chu kì 
/>- Tập giá trị: T  
- Tập giá trị: T  
- Hàm số đồng biến trong
- Hàm số nghịch biến trong
/> 


 k ;   k 
   k ;  k 

2
/> 2


- Có các đường tiệm cận x   k
/>- Có các đường tiệm cận x  k
2
/>2. Tập xác định của hàm số:
/>Px
a) y 
xác định khi Q  x   0
/>Q x
b) y  P  x  xác định khi P  x   0
/>Px
/>c) y 
xác định khi Q  x   0
Q x
/>d) y  sin f  x  ; y  cos f  x  xác định khi f  x  xác định.
/>
e) y  tan f  x  xác định khi f  x    k
2
/>f) y  cot f  x  xác định khi f  x   k
/>3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
/>a)
Áp dụng các tính chất của bất đẳng thức, và với mọi x ta có:
1  sin x  1;  1  cos x  1; 0  sin x  1; 0  cos x  1
/>b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  a sin x  b cos x  c
 />x   ta có  a  b  ainx  b cos x  a  b
 c  a  b  a sin x  b cos x  c  c  a  b
/>4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số:

/>Cho hàm số y = f(x) xác định trên D.
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
9
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>x  D   x  D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu 
 f ( x )  f ( x )
/>x  D   x  D
* Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu 
/> f ( x )   f ( x )

/>PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
/>1. Phương trình lượng giác cơ bản:
/>a) Phương trình sin x  m
/>* Điều kiện có nghiệm: m  1
/>* Tìm góc a sao cho sin a  m (sử dụng MTCT: a  sin m ). Ta
được: sin x  sin a và áp dụng công thức:
/>u  v  k 2
sin u  sin v  
/>u    v  k 2  k   
 u  v  k 360
/>Hay
nếu trong phương trình có cho độ.

 u  180  v  k 360
/>* Trường hợp đặc biệt:
 sin u  0  u  k
/>
 sin u  1  u   k 2
/>2

 sin u  1  u    k 2
/>2

*
Nếu
không
phải
là
giá
trị
đặc
biệt thì có thể sử dụng công thức:
/> u  arcsin m  k 2
 

sin u  m  
   arcsin m  
/>2
 u    arcsin m  k 2  2




/>*  sin u  sin  u  ; cos u  sin   u  ;  cos u  sin  u  
2
2


/>b) Phương trình cos x  m
* Điều kiện có nghiệm: m  1
/>* Tìm góc a sao cho cos a  m (sử dụng MTCT: a  cos m ). Ta
/>được: cos x  cos a và áp dụng công thức:
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN

 10 
1

0

0

0

1

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>u  v  k 2
cos u  cos v  
k  
u  v  k 2
/> u  v  k 360
/>Hay
nếu trong phương trình có cho độ.

 u  v  k 360
/>* Trường hợp đặc biệt:


 cos u  0  u   k
/>2

cos
u

1

u

k
2
/> cos u  1  u    k 2
/>* Nếu không phải là giá trị đặc biệt thì có thể sử dụng công thức:
u  arccos m  k 2  

cos u  m  
/>   arcsin m  
2
u   arccos m  k 2  2
/>



*  cos u  cos   u  ; sin u  cos   u  ;  sin u  cos  u  
2
2


/>



c) Phương trình tan x  m  x   k 
/>2


* Tìm góc a sao cho tan a  m (sử dụng MTCT: a  tan m )
/>Ta được: tan x  tan a và áp dụng công thức
/>tan u  tan v  u  v  k
Hay
u  v  k180 nếu trong phương trình có độ.
/>* Đặc biệt:
 tan u  0  u  k
/>
 tan u  1  u    k
/>4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
/> 

tan u  m  u  arctan m  k    arctan m  
2
 2
/>



*  tan u  tan  u  ; cot u  tan   u  ;  cot u  tan   u 
/>2

2


d) />Phương trình cot x  m  x  k 
1
/>* Tìm góc a sao cho cot a  m (sử dụng MTCT: a  tan   )
m
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 11 
0

0

1

0

1

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

Ta được: cot x  cot a và áp dụng công thức
/>cot u  cot v  u  v  k
/>Hay
u  v  k180 nếu trong phương trình có độ.
* Đặc biệt:

/>
 cot u  0  u   k
2
/>
 tan u  1  u    k
/>4
* Nếu m không phải là giá trị đặc biệt có thể sử dụng công thức:
/>cot u  m  u  arccot m  k  0  arccot m   
/>



*  cot u  cot  u  ; tan u  cot   u  ;  tan u  cot   u 
2

2

/>2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
/>Dạng
Đặt
Điều kiện
t = sinx
1  t  1
asin x  b sin x  c  0
/>t = cosx
1  t  1
a cos x  b cos x  c  0
/>
t = tanx
a tan x  b tan x  c  0

x   k ( k  Z )
/>2
x  k ( k  Z )
a cot x  b cot x  c  0
t = cotx
/>Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản.
/>Chú ý:
/> cos 2 x  2 cos x  1  1  2sin x
 sin x  1  cos x
/> cos x  1  sin x
3. Phương
trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
/>a) Dạng phương trình: a sin x  b cos x  c
/>b) Điều kiện có nghiệm: a  b  c
c) />Phương pháp giải:
Chia hai về của phương trình cho a  b
/>a
b
c
Ta được phương trình:
sin x 
cos x 
/>a b
a b
a b
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 12 
0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>a
b
Đặt cos 
 sin  
. Ta được phương trình:
a

b
a

b

/>c
c
sin x cos  sin  cos x 
 sin  x    
(*)
/>a b
a b
(*) là phương trình dạng cơ bản.
/>4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
/>a) Dạng: a.sin x  b.sinx .cosx  c.cos x  d    1
b) Phương pháp giải:
/>* Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?

/>Lưu ý: cosx = 0  x   k  sin x  1  sin x   1.
2
/>* Khi cos x  0 , chia hai vế phương trình (1) cho cos x  0 ta được:
/>a.tan x  b.tan x  c  d (1  tan x)
* Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
/>(a  d )t  b.t  c  d  0
5. />Phương trình đối xứng, phản đối xứng:
a) Dạng: a.(sinx  cosx )  b.sinx.cosx  c  0
/>b) Phương pháp giải:


/>* Đặt: t  cos x  sin x  2.cos  x   ; t  2.

4
/>1
 t  1  2sin x.cos x  sin x.cos x   (t  1).
2

/>* Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t.
/>Giải phương trình này tìm t thỏa t  2. Suy ra x.
Chú ý:
/>



* cos x  sin x  2 cos  x    2 sin  x  

4

4
/>



* cos x  sin x  2 cos  x     2 sin  x  
/>
4

4
6. Phương
trình
lượng
giác
khác:
/>Để giải một phương trình lượng giác chưa phải là các dạng quen thuộc
ta cần />sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng quen
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 13 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

thuộc, có thể phân tích phương trình đã cho về dạng phương trình tích hoặc áp
/>dụng tính chất bất đẳng thức để đưa về hệ phương trình để giải.
Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng:
/>* Biến đổi phương trình đã cho về một trong các dạng phương trình cơ bản
/>đã biết (đưa về cùng một cung hoặc cùng một hàm số lượng giác,...).
A  0
* Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích: A.B  0  
/>B  0
* Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn số phụ (đối xứng, đặt
/>x
t  tan ,…)
/>2

/>ĐẠI SỐ TỔ HỢP
/>1. Phép đếm:
/>a) Qui tắc cộng:
/>Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta có thể thực hiện qua các trường
hợp A hoặc B hoặc C ... (mỗi trường hợp đều hoàn thành công việc)

/>Nếu A có m cách, B có n cách, C có p cách thì có m  n  p ... cách để
hoàn thành (H).
/>b) Qui tắc nhân:
Giả sử để hoàn thành hành động (H) ta phải qua nhiều công đoạn (bước)
/>A, B, C liên tiếp nhau.
Công đoạn A có m cách, công đoạn B có n cách, công đoạn C có p
/>cách... Khi đó để hoàn thành (H) thì có m.n. p ... cách
2. Hoán
vị:
/>a) Hoán vị:
/>Cho tập A có n phần tử, mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của A gọi là một
hoán vị.
/>b) Số các hoán vị n phần tử: P  n!
/>Chú
ý: Giai thừa
* n!  n.  n  1 ...3.2.1
/>* Qui ước: 0!  1
3. Chỉnh
hợp:
/>a) Chỉnh hợp:
/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 14 
n

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn

 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

Cho tập A có n phần tử, mỗi bộ sắp thứ tự gồm k phần tử lấy trong n
/>phần tử của A ( k  ,0  k  n ) gọi là một chỉnh hợp chập k của n.
/>b) Số các chỉnh hợp chập k của n:
n!
A 
 n.  n  1 ... n  k  1
/> n  k !
/>4. Tổ hợp:
a) Tổ hợp:
/>Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A
( k  ,0  k  n ) gọi là một tổ hợp chập k của n.
/>n!
b) Số các tổ hợp chập k của n: C 
/>k ! n  k !
/>c) Tính chất: C  C  1
C C
C C C
5.
Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp:
/>* Chỉnh hợp có tính đến thứ tự của k phần tử.
/>* Tổ hợp không tính đến thứ tự của k phần tử.

/>NHỊ THỨC NEWTON
/>1. Khai triển nhị thức Newton:
/> b   C a  C a b  C a b  ...  C a b  ...  C ab  C b Số
 a />hạng tổng quát thứ k+1 của khai triển: T  C a b
/>2. Tam giác Pascal: (cho biết giá trị của C )
/>n\k

0
1
2
3
4
5
6
0
1
/>1
1
1
2
1
2
1
/>3
1
3
3
1
/>4
1
4
6
4
1
5
1
5

10
10
5
1
/>6
1
6
15
20
15
6
1
Muốn />tìm C ta tìm số ở dòng n, cột k. Ví dụ: C  20 (dòng 6, cột 3)
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 15 
k
n

k
n

0
n

n

0
n

b

1 n 1
n

n
n

k
n

2
n

n2

n k
n

k
n

k
n

2

nk

k
n

k 1

k 1
n

k

nk

k 1
n 1

n 1
n

n 1

n
n

n

k

k
n

k
n

3
6

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

3. Giải phương trình:
/>Để giải phương trình ta cần đặt điều kiện cho ẩn số và áp dụng công thức
/>hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp đưa về phương trình đại số để giải.
Chú ý chỉ lấy những nghiệm thỏa mãn điều kiện.
/>
/>XÁC SUẤT
/>1. Tập hợp  tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử được gọi là không
gian mẫu.
/>a) Gieo n con súc sắc thì   6
/>b) Gieo n đồng tiền thì   2
/>c) Lấy k viên bi trong hộp có n viên bi thì   C
d) Hộp 1 có m viên bi, hộp 2 có n viên bi. Lấy k viên ở hộp 1 và h viên ở
/>hộp 2 thì   C C
2. />Một biến cố A liên quan tới phép thử T là    . Biến cố A xảy ra khi
và />chỉ khi kết quả của T thuộc  . Mỗi phần tử của  gọi là kết quả thuận
lợi cho A.
3. />Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nếu A, B không đồng thời xảy ra.
4. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biế cố

/>nay
không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.

5. />Xác suất của A là P  A  

/>6. A , A ,..., A là các biến cố đôi một xung khắc thì
/>P  A  A  ...  A   P  A   P  A   ...  P  A 
7. A />, A ,..., A là các biến cố độc lập thì
P  A A ...A   P  A  P  A  ...P  A 
/>8. A là biến cố đối của biến cố A thì: P  A   1  P  A 
/>9. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là  x , x ,..., x 
/>a) Kỳ vọng của X là E  X    x p với p  P  X  x  , i  1,2,3,..., n
/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 16 
n

n

k
n

k
m

h
n

A

A

A

A

1

k

2

1

1

1

k

2

k

2

1

k

2

2

k

1

k

2

1

n

2

n

i

i

i

i

i 1

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>b) Phương sai của X là V  X     x    p hay
/>V  X    x p   trong đó p  P  X  x  , i  1,2,..., n và   E  X 
/>c) Độ lệch chuẩn:   X   E  X 
/>
/>DÃY SỐ
/>1. Tính đơn điệu của dãy số:
/>a) Định nghĩa: Cho dãy số  u  nếu n   * ta có:
/>* u  u thì dãy số  u  là dãy số tăng.
/>* u  u thì dãy số  u  là dãy số giảm.
* Một dãy tăng (hay giảm) gọi là dãy số đơn điệu.
/>b) Cách xét tính đơn điệu của dãy số:
Để xét tính đơn điệu của một dãy số ta có thể áp dụng tính chất bất đẳng
/>thức để suy trực tiếp. Hoặc xét hiệu T  u  u
/>* Nếu T  0, n   * thì  u  là dãy số tăng.
/>* Nếu T  0, n   * thì  u  là dãy số giảm.
u
/>Nếu u  0, n   ta có thể xét
u
/>u
*
 1 thì  u  là dãy số giảm.
u
/>u

/>*
 1 thì  u  là dãy số tăng.
u
/>2. Tính
bị chặn của dãy số:
a) />Định nghĩa: Cho dãy số  u  nếu n   * ta có:
* M : u  M thì dãy số  u  bị chặn trên.
/>* m : u  m thì dãy số  u  bị chặn dưới.
/>* Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy số bị chặn.
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 17 
n

2

i

i

i 1

n

2

2

i

i

i

i 1

n

n

n 1

n

n

n 1

n

n 1

n

n
n

n

n

n 1

n

n

n 1
n

n

n 1

n

n

n

n

n

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa:
/> u  là một cấp số cộng nếu n   * tồn tại số d sao cho u  u  d
/>d: công sai
/>u : số hạng tổng quát thứ n.
2. Tính chất:
/>a) Số hạng tổng quát thứ n: u  u   n  1 d
/>b)  u  là cấp số cộng  u  u  2u , n  1
/>3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng:
/>n  u  u  n  2u   n  1 d 
S 

2
2
/>
/>CẤP SỐ NHÂN
/>1. Định nghĩa:
/> u  là một cấp số nhân nếu n   * tồn tại số q sao cho u  u .q
q: công bội
/>u : số hạng tổng quát thứ n.
/>2. Tính
chất:
a) Số hạng tổng quát: u  u .q
/>b)
 u  là cấp số nhân  u .u  u  , n  1
/>3. Tổng n số hạng đầu tiên:
/>* q  1 thì S  n.u
/>q 1
* q  1 thì S  u .

q 1
/>u
* CSN
lùi vô hạn là CSN có công bội q  1 có tổng S 
/>1 q

/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 18 
n

n 1

n

n 1

n

n

n

1

n 1

n

1

n 1

n

1

n

n

n

n

n 1

n

1

2

n 1

n

n

n 1

n

1

n

n

1

1

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa:
/>a) lim u  0  n, u nhỏ hơn một số dương cho trước nhỏ tùy ý kể từ
/>một số hạng nào đó trở đi.
/>b) lim u  L    lim  u  L   0
c) lim u    n, u lớn hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một
/>số hạng nào đó trở đi.
/>d) lim u    n, u nhỏ hơn một số dương cho trước tùy ý kể từ một
số hạng nào đó trở đi.
/>2. Tính chất:

/>a) lim  u  v   lim u  lim v
b) lim  u .v   lim u .lim v
/>u
lim u
c) lim  k .u   k .lim u
d) lim 
 lim v  0 
v
lim
v
/>e) lim u  L    lim u  L ;lim u  L (L  0)
/>u  v 
f)
  lim u  0
/>lim v  0 
3. />Một số giới hạn cơ bản:
1
/>a) lim
0
b) lim n      
n
/> 0,
q 1
1
0
c) lim q  
e) lim
n
q 1
/> ,

4. Cách tìm giới hạn:
/>a) Đặt thừa số chung n lũy thừa cao nhất trong cả tử số và mẫu số, sau đó
đơn />giản thừa số chung đó rồi áp dụng các tính chất và các giới hạn cơ bản để
tính.
b) />Khi trong giới hạn có căn thức ta có thể nhân chia cho biểu thức liên
hợp.
/>
/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 19 
n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

3

n

n

n

3

n

n

n

n

n



*



n

3

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
/>1. lim  u  v   lim u lim v
/>2. lim  u.v   lim u .lim v
/> u  lim u
3. lim   
 lim v  0
v  lim v

/>4. lim u  lim u  lim u  0 
/>g( x )  f ( x)  h( x)
/>5. 
 lim f ( x )  L
lim g( x )  lim h( x )  L
/>1
6. lim f ( x )    lim
0
f ( x)
/>7. Qui tắc tính giới hạn:
/> lim f ( x )  

 lim  f ( x ).g( x )   ( ) (tùy theo dấu của lim f ( x )

/> lim g( x )  L
và L .
/>8. Hàm số liên tục:
Hàm số y  f ( x ) liên tục tại a  lim f ( x )  f (a)
/>9. Hàm số y  f ( x ) liên tục trong (a; b) và f (a). f (b)  0 thì phương trình
/>f ( x )  0 có nghiệm trong (a; b) .
10. />Giới hạn một bên:

a) lim f ( x )  x  a;
lim f ( x )  x  a
/>b) Giới hạn vô cực:
/>f ( x)
f ( x)
f ( x)
lim
khi f (a)  0, g(a)  0 . Phân tích

.
g( x )
g( x ) ( x  a).g ( x )
/>f (a )
f ( x)
Tính M 
. Ta có: lim
 M .()
/>g( a )
g( x )
11. Một số dạng vô định:
/>0
a) Dạng vô định
0
/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 20 
xa

xa

xa

xa

x a

x a

xa

xa

xa

xa

xa

xa

xa

xa

xa

x a

xa

xa

xa

x a

xa

xa

xa

x  a

x  a

x a

1

x  a

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cp website www.tailieupro.com nhn thờm nhiu ti liu hn
GIO KHOA & PP GII TON 11

/>f (x)

Phng phỏp: Tỡm lim
m f (a) g(a) 0
g( x )
/>Phõn tớch t s v mu s thnh cỏc tha s trong ú cú cha ( x a)
sau
ú
n gin t v mu cho ( x a) .
/>Chỳ ý:
/>* Phng trỡnh ax bx c 0 cú nghim x thỡ

c
/>ax bx c x x ax

x

/>* Cng cú th thc hin phộp chia a thc cho ( x x )
/>* Khi trong gii hn cú cn thc ta cú th nhõn chia cho biu thc liờn
hp.
/>
b) Dng vụ nh

/>Phng phỏp: p dng cỏc cụng thc
1
/>* lim x
* lim
0
x
/> neỏu n chaỹn
* lim x
/> neỏu n leỷ

* Nu tớnh gii hn dng hu t ta t nhõn t x ly tha cao nht c
/>t s v mu s, n gin v ỏp dng cỏc cụng thc trờn.
Chỳ ý:
/>
b c
khi x
x. a
/>x x

Nu a 0 thỡ ax bx c
b c

/> x. a x x khi x

/>c)
Dng vụ nh v 0.
0

Phng phỏp: Thc hin phộp bin i a v dng
hoc
/>0


/> /> /> /> GV: NGUYN THANH NHN
21
xa

2

0

2

0

0

0

*



x

x



n

x

2

2

2

: 0987. 503.911

Cm n quớ giỏo viờn ó cho ra i nhng ti liu tuyt vi <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>HÀM SỐ LIÊN TỤC
/>1. Xét tính liên tục của hàm số y  f ( x ) tại x
/>* Tính f ( x ) (nếu f ( x ) không tồn tại thì hàm số không liên tục)
* Tìm lim f ( x ) , khi cần có thể tính giới hạn 1 bên.
/>* So sánh f ( x ) và lim f ( x ) để kết luận.
/>2. Tìm m để hàm số y  f ( x ) liên tục tại điểm đã chỉ ra
/>Phương pháp:
/>* Tính f (a) và tìm lim f ( x )
/>* Hàm số liên tục tại x  a  lim f ( x )  f (a) . Từ điều kiện này tìm m,
khi
cần có thể tìm giới hạn 1 bên.
/>3. Chứng minh phương trình có nghiệm:
/>Phương pháp:
* Đặt f ( x ) là vế trái của phương trình, f ( x ) liên tục trong D.
/>* Tìm hai số a, b  D sao cho f (a). f (b)  0 thì phương trình có nghiệm
x /> (a; b)

/>ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ
/>1. Bảng các đạo hàm:
/>Hàm số y  f ( x )
Hàm số hợp y  f (u), u  g( x )
/>(C )'  0 C: hằng số
y  y .u

( x ) />1
 x />  2 1x
 u   2u 'u
/>1
1
1
u'

  />  
x
u
x
u
 
 
  .x
 x  /> u    .u .u '
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 22 
0

0

0

x  x0

0

x  x0

xa

xa

/

/

x

/

u

x

/

/

/

/

/

2



/

 1

2



/

 1

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

Hàm số y  f ( x )
Hàm số hợp y  f (u), u  g( x )
/> sin x   cos x
 sin u   u '.cos u
/> cos x    sin x
 cos u   u '.sin u
/> tan x   cos1 x  1  tan x
 tan u   cosu ' u
/> /> cot x    sin1 x

 cot u   sinu 'u
/>2. Các qui tắc tính đạo hàm:
/>Cho các hàm số u, v, w lần lượt có đạo hàm u , v , w . Ta có:
a)  u  v  w   u  v  w
/>b)  u.v   u v  uv Hệ quả:  C.u   C .u (C: hằng số)
/> u  u v  uv
/>c)   
v
v
/>d) u  u( x ) có đạo hàm theo x là u , y  f (u) có đạo hàm theo u là y thì
hàm
số y  f [u( x )] có đạo hàm theo x là y  y .u
/>3. Đạo hàm cấp cao:
/>* Đạo hàm của y gọi là đạo hàm cấp 2, kí hiệu y
/>* Đạo hàm của y gọi là đạo hàm cấp 3, kí hiệu y
* Đạo hàm của đạo hàm cấp  n  1 gọi là đạo hàm cấp n, kí hiệu y
/>4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
/>- Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến
/>của đồ thị hàm số đó tại điểm M  x ; y  .
- />Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm tại điểm x thì tiếp tuyến của đồ thị
hàm />số tại điểm M  x ; y  có phương trình là:
/>y  y  f '  x  x  x 

/> /> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 23 
/

/

/

/

/

/

2

2

2

/

/

2

2

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

2

/
x

/
u

/

x

/
u

/
x

/

//

//

///

(n)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3


Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu hơn
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11

/>TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG
/>Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y  f  x  :
/>Có 7 dạng sau:
Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm M  x ; y    C  (với y  f  x  )
/>Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  y  f '  x  x  x 
/>Dạng 2: Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x  x thuộc (C)
/>- Tìm y  f  x  và f '  x 
- Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y  y  f '  x  x  x 
/>Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
/>(C) và trục tung thì x  0
/>Dạng
3: Tiếp tuyến tại điểm có tung độ y  y thuộc (C)

- Giải phương trình f  x   y tìm x  x
/>- Tìm f '  x 
/>- Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y  y  f '  x  x  x 
/>Chú
ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của
(C) và trục hoành thì y  0
/>Dạng 4: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
/>- Tính y '  f '  x  . Giải phương trình f '  x   k tìm nghiệm x  x
- Tính y  f  x 
/>- Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y  y  f '  x  x  x 
/>Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  ax  b
/>- Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc k của tiếp
tuyến bằng a (tức là k  a , viết như dạng 4)
/>Dạng 6: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y  ax  b
1
/>- Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên k .a  1  k  
a
/>(viết như dạng 4)
Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y  ax  b một góc
/> , 0    90
/> GV: NGUYỄN THANH NHÀN
 24 
0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

tt

tt

tt

: 0987. 503.911

Cảm ơn quí giáo viên đã cho ra đời những tài liệu tuyệt vời <3