Tóm tắt Luận án Tiến sỹ ngành Kỹ thuật cơ khí và cơ kỹ thuật: Dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi trường nhiệt độ chịu tải trọng di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

BÙI VĂN TUYỂN

DAO ĐỘNG CỦA DẦM FGM CÓ LỖ RỖNG VI MÔ TRONG
MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ CHỊU TẢI TRỌNG DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật
Mã số

: 9520101

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SỸ
NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT

Hà nội – 2018


Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên
Người hướng dẫn khoa học 2: TS. Trần Thanh Hải

Phản biện 1: GS.TS. Hoàng Xuân Lượng
Phản biện 2: PGS.TS. Trần Minh Tú

Phản biện 3: PGS.TS. Phan Bùi Khôi

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp
Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ..’, ngày … tháng
… năm 2018

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ
- Thư viện Quốc gia Việt Nam


1
MỞ ĐẦU
1. Tính thời sự của đề tài luận án
Ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô (porosities) sinh ra trong quá trình
chế tạo FGM tới các đặc trưng dao động của dầm FGM được một số
tác giả nghiên cứu trong thời gian gần đây [16, 17, 18, 19]. Do dầm
FGM thường được sử dụng trong môi trường có nhiệt độ cao, nghiên
cứu về ảnh hưởng của nhiệt độ tới dao động tự do cũng được một số
tác giả nghiên cứu [20, 21]. Với bài toán dao động cưỡng bức của
dầm FGM chỉu tải trọng di động, theo hiểu biết của tác giả, mới chỉ
có nghiên cứu Wang và Wu [22], trong đáp ứng động lực học của
dầm dầm FGM nằm trong môi trường nhiệt độ tăng đều, chịu tải
trọng di động điều hòa được tính toán bằng phương pháp Lagrange.
Cần nhấn mạnh rằng, trong [22] các tác giả chỉ xét dầm FGM hoàn
hảo (không có lỗ rỗng vi mô), có cơ tính biến đổi dọc và trường nhiệt
độ được giả định tăng đều. Về mặt toán học, trường nhiệt độ tăng
đều là trường hợp riêng của trường nhiệt độ phi tuyến và khá đơn
giản về mặt tính toán. Nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ

rỗng vi mô, chịu tải trọng di động trong môi trường nhiệt độ cao, vì
thế có tính khoa học và có tính thực tế cao.
2. Mục tiêu của luận án
Luận án nhằm phát triển mô hình phần tử hữu hạn dùng trong
nghiên cứu dao động của dầm FGM có lỗ rỗng vi mô trong môi
trường nhiệt độ chịu tác dụng của tải trọng di động.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận án tập trung nghiên cứu dầm FGM hai pha là gốm và kim
loại với cơ tính biến đổi theo chiều cao dầm. Tải trọng tác động lên
dầm là các lực tập trung hoặc lực điều hòa di động trên dầm với vận
tốc không thay đổi.
4. Phương pháp nghiên cứu
Luận án sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử
hữu hạn, trong đó phương pháp giải tích dùng để xây dựng các
phương trình vi phân chuyển động của dầm, phương pháp phần tử
hữu hạn được sử dụng để giải phương trình chuyển động và tính toán
các đặc trưng động lực học của dầm.


2
5. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm phần mở đầu, bốn chương, phần kết luận và danh
mục các công trình của tác giả liên quan tới nội dung luận án. Các
các tài liệu tham khảo được liệt kê ở cuối luận án.
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN
1.1. Dầm FGM
FGM có thể xem như là vật liệu composite mới, được tạo từ hai
hay một vài vật liệu thành phần với tỷ lệ thể tích thay đổi liên tục
theo một hoặc vài hướng không gian. So với vật liệu composite
truyền thống, FGM có nhiều ưu điểm như độ bền phá hủy cao hơn,

hệ số cường độ tập trung ứng suất giảm, cải thiện được sự phân bố
của ứng suất dư, không làm mất tính liên tục của ứng suất, vì thế
tránh được các vấn đề liên quan tới hiện tượng tách lớp thường gặp
trong các vật liệu composite truyền thống. Với các ưu điểm nêu trên,
FGM có tiềm năng ứng dụng trong các ngành công nghệ cao như
công nghệ hàng không, vũ trụ, lĩnh vực quân sự, công nghệ hạt nhân,
công nghệ năng lượng và cơ khí chính xác [24].
Dầm FGM, đối tượng quan tâm nghiên cứu trong Luận án này,
thường được tạo từ hai pha vật liệu thành phần là pha gốm và pha
kim loại. Tỷ lệ thể tích của các pha thành phần thay đổi theo hàm số
mũ của một tọa độ không gian, chẳng hạn theo chiều cao của dầm
theo quy luật [3]
n

h
h
 z 1
Vc     ,   z  , Vc  Vm  1
(1.1)
2
2
h 2
trong đó Vc, Vm tương ứng là tỉ lệ thể tích của pha gốm và pha kim
loại, z là tọa độ theo chiều cao dầm, chỉ số mũ n là tham số vật liệu
xác định tỷ lệ và sự phân bố thể tích của vật liệu thành phần. Ngoài
quy luật (1.1), một số tác giả cũng nghiên cứu dầm có cơ tính biến
đổi theo trục dầm và dầm có cơ tính biến đổi theo cả hai phương.
1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới
1.2.1. Ứng xử cơ học của dầm FGM
Phương pháp giải tích truyền thống, đặc biệt phương pháp

Galerkin, được một số tác giả sử dụng trong nghiên cứu ứng xử cơ
học của dầm FGM [35-41]. Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM)


3
cũng được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu dầm FGM. Một số
phần tử hữu hạn đã được đề nghị để phân tích dầm FGM trong thời
gian gần đây [59-64], trong đó phải kể tới các công trình của
Alshorbagy và cộng sự [25] Mohanty và đồng nghiệp [66, 67], Gan
và Nguyễn Đình Kiên [70, 71, 72]. Eltaher và cộng sự [73, 74] xét
tới vị trí thực của trục trung hòa trong xây dựng công thức phần tử
hữu hạn để nghiên cứu dao động tự do của dầm có kích thước
macro/nano làm từ vật liệu FGM. Jin and Wang [76] sử dụng
phương pháp phần tử cầu phương để xây dựng ma trận độ cứng và
ma trận khối lượng cho nghiên cứu dao động tự do của dầm FGM.
Frikha và cùng đồng nghiệp [77] phát triển phần tử dầm hỗn hợp dựa
trên lý thuyết biến dạng trượt bậc cao dùng trong phân tích uốn.
1.2.2. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô
Sự xuất hiện của lỗ rỗng vi mô làm giảm độ cứng của vật liệu,
dẫn tới khả năng chịu tải thấp hơn của các phần tử kết cấu FGM.
Wattanasakulpong và Ungbhakorn [18], Wattanasakulpong và
Chaikittiratana [19] đề nghị mô hình đơn giản, trong đó thể tích của
lỗ rỗng vi mô được chia đều cho cả pha gốm và pha kim loại để
nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng tới dao động tự do của dầm FGM.
Mô hình lỗ rỗng nói trên cũng được Ebrahimi và Zia [79] sử dụng
trong phân tích dao động tự do phi tuyến của dầm Timoshenko làm
từ FGM. Chen và cộng sự [16] đưa ra khái niệm hệ số lỗ rỗng
(porosity coefficient) trong nghiên cứu ứng xử uốn và mất ổn định
của dầm FGM. Mô hình trong [16] được các tác giả mở rộng cho bài
toán dao động phi tuyến của dầm sandwich với lõi là FGM có lỗ

rỗng vi mô [80], dao động tự do và cưỡng bức của dầm Timoshenko
làm từ FGM [81]. Shafiei và Kazemi [82] mở rộng mô hình lỗ rỗng
trong [18, 19] sang trường hợp lỗ rỗng phân bố không đều trong mặt
phẳng thiết diện ngang để nghiên cứu bài toán mất ổn định của dầm
nano/micro làm từ FGM. Mô hình lỗ rỗng phân bố không đều cũng
được sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm 2D- FGM [83].
1.2.3. Dầm FGM trong môi trường nhiệt độ
Chakraborty và cộng sự [84] xây dựng phần tử dầm Timoshenko
để nghiên cứu truyền sóng trong dầm sandwich có lõi FGM với sự
tăng đều của nhiệt độ môi trường. Bhangale và Ganesan [85] dùng
FEM để nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ tới tới tần số dao động


4
riêng và hệ số hao tán của dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu đàn
nhớt. Ching và Yen [86] đư ra lời giải số cho bài toán biến dạng cơnhiệt của dầm FGM. Phương pháp cầu phương vi phân (DQM) được
Xiang và Yang [87] sử dụng trong nghiên cứu dao động của dầm
Timoshenko dự ứng lực do nhiệt độ, làm từ vật liệu FGM phân lớp
có độ dày thay đổi. Pradhan và Murmu [88] nghiên cứu dao động tự
do của dầm sandwich FGM nằm trên nền đàn hồi. DQM được
Malekzadeh [89], Malekzadeh và cộng sự [90] sử dụng trong nghiên
cứu dao động tự do của vòm và dầm cong làm từ FGM trong môi
trường nhiệt độ cao. Esfahani và đồng nghiệp [92] khảo sát ảnh
hưởng của nền đàn hồi và sự tăng nhiệt độ môi trường tới sự mất ổn
định phi tuyến của dầm Timoshenko làm từ FGM bằng DQM tổng
quát. Mahi cùng cộng sự [30] xây dựng phương pháp giải tích để
đánh giá ảnh hưởng của sự tăng nhiệt độ tới tần số dao động riêng
của dầm FGM. Wattanasakulpong và đồng nghiệp [21] xây dựng các
phương trình cơ bản để nghiên cứu bài toán mất ổn định nhiệt và dao
động tự do của dầm FGM. Ma và Lee [95] đưa ra nghiệm giải tích

cho bài toán ứng xử phi tuyến của dầm FGM chịu tải trọng nhiệt.
Phương pháp giải tích cũng được Eroglu sử dụng trong nghiên cứu
bài toán dao động tự do của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ
[96]. Trinh và cộng sự [98] trình bày phương pháp giải tích để
nghiên cứu dao động và mất ổn định của dầm FGM chịu tải trọng cơnhiệt. Với sự trợ giúp của phương pháp Runge-Kutta, Kiani và đồng
nghiệp [99] đã khảo sát ảnh hưởng của nhiệt độ môi trường tới đáp
ứng va đập với vận tốc thấp của dầm FGM. Ghiasian và cộng sự
[100] nghiên cứu bài toán mất ổn định tĩnh và động của dầm EulerBernoulli làm từ FGM chịu tải trọng nhiệt tăng đều. Ebrahimi và
cộng sự [17] thiết lập phương trình chuyển động để nghiên cứu dao
động tự do của dầm Euler-Bernoulli làm từ FGM có lỗ rỗng vi mô,
nằm trong môi trường nhiệt độ cao.
1.2.4. Dầm FGM chịu tải trọng di động
Phương pháp nhân tử Lagrange được Şimşek và cộng sự sử dụng
trong nghiên cứu dao động của dầm FGM chịu các lực di động khác
nhau [4, 5, 6, 8, 10, 11]. Yang và cộng sự [104] nghiên cứu dao động
của dầm có vết nứt với cơ tính biến đổi theo số mũ Euler, chịu kích
động bởi lực di động. Phương pháp Ritz và DQM được Khalili và
đồng nghiệp [105] dung trong nghiên cứu dao động của dầm FGM


5
chịu kích động bởi khối lượng di động. Rajabi và cộng sự [7] sử
dụng phương pháp Petrov–Galerkin để chuyển hệ phương trình vi
phân bậc bốn của bài toán dầm FGM chịu hệ khối lượng-lò xo di
động về hệ phương trình vi phân bậc hai và giải hệ phương trình
bằng phương pháp số Runge-Kutta. Wang và Wu [22] sử dụng
phương pháp Lagrange trong nghiên cứu ảnh hưởng của sự tăng
nhiệt độ đồng nhất tới ứng xử động lực học của dầm Timoshenko
làm từ FGM với cơ tính biết đổi dọc theo chiều dài dầm chịu lực điều
hòa di động. Gan và Nguyễn Đình Kiên [106] xây dựng phần tử dầm

Timoshenko có tính tới ảnh hưởng vị trí của mặt trung hòa và ứng
dụng trong phân tích động lực học của dầm FGM đa nhịp. FEM cũng
được Gan và đồng nghiệp sử dụng trong nghiên cứu dầm FGM có cơ
tính biến đổi dọc theo trục dầm [26] chịu lực di động và dầm FGM
có gối tựa đàn hồi [107] chịu tải trọng di động.
1.3. Tình hình nghiên cứu trong nước
Sử dụng phương pháp giải tích, Nguyễn Trung Kiên và cộng sự
[111] nghiên cứu bài toán uốn và dao động của dầm Timoshenko làm
từ FGM chịu lực dọc trục. Bài toán uốn và dao động của dầm FGM
nhưng được Thái Hữu Tài và Võ Phương Thức [112] nghiên cứu
bằng các lý thuyết dầm bậc cao khác nhau. Trên cơ sở lý thuyết biến
dạng trượt bậc ba, Võ Phương Thức và cộng sự [113] xây dựng
phương trình chuyển động cho dầm sandwich FGM có lõi là vật liệu
thuần nhất, sau đó dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính tần số
dao động riêng và các mode dao động. Võ Phương Thức và đồng
nghiệp [34] phát triển mô hình phần tử hữu hạn cho phân tích uốn và
dao động tự do của dầm sandwich. Bài toán dao động và chẩn đoán
vết nứt của dầm FGM được Nguyễn Ngọc Huyên [114], Nguyễn
Ngọc Huyên và Nguyễn Tiến Khiêm [115], Nguyễn Tiến Khiêm và
cộng sự [116, 117] nghiên cứu bằng phương pháp giải tích. Nguyễn
Đình Kiên và cộng sự [118, 119, 120] phát triển các phần tử dầm dựa
trên phương pháp hệ tọa độ đồng hành để nghiên cứu bài toán
chuyển vị lớn của dầm thon làm từ FGM. FEM cũng được Nguyễn
Đình Kiên và đồng nghiệp sử dụng trong phân tích chuyển vị lớn của
khung FGM [121], khung sandwich FGM [33]. Ảnh hưởng của biến
dạng dẻo tới ứng xử mất ổn định và uốn phi tuyến của dầm FGM
được quan tâm nghiên cứu bằng FEM trong thời gian gần đây [122,
123, 124].

6
Dao động của dầm FGM chịu kích động bởi tải trọng di động
được một số tác giả trong nước quan tâm nghiên cứu trong thời gian
gần đây. Phạm Đình Trung [13] phân tích dao động của dầm FGM
dưới tác động của khối lượng hoặc lực điều hòa di động bằng
phương pháp phần tử hữu hạn. Lê Thị Hà và đồng nghiệp xây dựng
mô hình phần tử hữu hạn mới để phân tích dao động của dầm FGM
đa nhịp chịu lực điều hòa di động [14], dầm có mặt cắt ngang thay
đổi chịu nhiều lực di động [15]. Nguyễn Đình Kiên và cộng sự [133]
sử dụng hàm dạng Kosmatka để xây dựng mô hình phần tử hữu hạn
trong nghiên cứu dao động của dầm có mặt cắt ngang không đồng
nhất chịu tải trọng di động với vận tốc thay đổi. Hàm dạng Kosmatka
cũng được Nguyễn Đình Kiên và đồng nghiệp [9] dùng để xây dựng
biểu thức ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho phân tích dầm
2-D FGM chịu lực di động.
1.4. Nhận xét và định hướng nghiên cứu
Nghiên cứu về kết cấu dầm FGM dưới tác dụng của lực di
độngmới chỉ được một số ít tác giả quan tâm nghiên cứu trong thời
gian gần đây. Trong [12], tác giả Lê Thị Hà đã thành công trong việc
xây dựng công thức phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của
dầm FGM chịu tải trọng di động nhưng ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô
và nhiệt độ môi trường chưa được xét tới. Mặc dù một số tác giả đã
nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi trường tới
dao động của dầm FGM, nhưng mới chỉ dừng lại ở bài toán dao động
tự do. Độ cứng và mô-men khối lượng của dầm sẽ thay đổi khi xét
tới ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và vì thế sẽ ảnh hưởng tới giá trị độ
võng và các tham số động lực học của dầm. Thêm vào đó, khi nhiệt
độ môi trường tăng, dầm không chỉ chịu tải trọng dưới dạng ứng suất
nhiệt mà các hệ số đàn hồi của dầm cũng sẽ suy giảm. Các yếu tố
này ảnh hưởng đáng kể tới ứng xử động lực học của dầm và cần

được nghiên cứu. Từ các lý do nêu trên, bài toán dao động của dầm
FGM có lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động được đặt ra và nghiên
cứu trong luận án này.
CHƯƠNG 2. DẦM FGM TRONG MÔI TRƯỜNG NHIỆT ĐỘ

2.1. Dầm FGM chịu tải trọng di động
Hình 2.1 minh họa dầm FGM với chiều dài L, thiết diện ngang là
hình chữ nhật với chiều rộng b và chiều cao h không đổi. Dầm chịu


7
tác động của các lực F1, F2, … FnF, di động từ trái sang phải với vận
tốc không đổi v. Dầm được giả định được làm từ hai vật liệu thành
phần là gốm và kim loại với tỉ lệ thể tích thay đổi theo hàm số lũy
thừa như sau
n

 z 1
Vc     ,Vc  Vm  1
 h 2

(2.1)

trong đó Vc , Vm tương ứng là tỉ lệ thể tích của gốm và kim loại. z là
tọa độ theo chiều cao của dầm; số mũ n (không âm) là tham số vật
liệu, xác định tỷ lệ và sự phân bố của các vật liệu thành phần.
z

MÆt c¾t ngang dÇm

y

F nF

F2

F 1 gèm (Ec, Gc,  c)

x
h
kim lo¹i (Em, Gm,  m)

L

z,w
lç rçng

y

h
b

b

Hình 2.1. Dầm FGM với lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động
2.2. Lỗ rỗng vi mô trong dầm FGM
Với mô hình lỗ rỗng vi mô trong [18, 19], tỷ lệ thể tích lỗ rỗng
V (V<<1), được giả định phân bố đều theo cả hai pha kim loại và
gốm. Khi dầm ở trong môi trường nhiệt độ cao, các tính chất hiệu
dụng của dầm FGM được tính theo công thức

n

z 1
P( z,T )  P (T )  Pm (T )  
h 2
 Pm (T )   Pc (T )  Pm (T ) V
2

 c


 

(2.3)

trong đó Pc và Pm tương ứng là tính chất của gốm và kim loại, phụ
thuộc vào nhiệt độ T (K) của môi trường, Vα là tỷ lệ thể tích của lỗ
rỗng vi mô.
2.3. Trường nhiệt độ trong dầm FGM
Trường nhiệt độ phân bố theo chiều cao của dầm FGM có thể
nhận được từ phương trình truyền nhiệt Fourier [91, 103]


8


d 
dT 
 ( z)   0
dz 

dz 

(2.4)

với các điều kiện biên T = Tc tại z = h/2 và T = Tm tại z = - h/2. Trong
phương trình (2.4), hệ số dẫn nhiệt κ(z) được giả thiết không phụ
thuộc vào nhiệt độ. Giải (2.4) ta thu được trường nhiệt độ phân bố
theo chiều cao của dầm dưới dạng
z

T  Tm  (Tc  Tm )

h/ 2

dz
dz
/ 

 ( z )  h/ 2  ( z )
 h /2

(2.6)

Dễ dàng thấy rằng, khi nhiệt độ mặt trên và mặt dưới dầm bằng
nhau, Tc = Tm thì T = Tc = Tm. Trong trường hợp này nhiệt độ tại mọi
điểm trong dầm là như nhau và được gọi là trường nhiệt độ tăng đều
(UTR). Trường hợp Tc ≠ Tm, nhiệt độ tại mọi điểm trong dầm là hàm
phi tuyến của tọa độ z. Trường nhiệt độ vì thế là trường nhiệt độ tăng
phi tuyến (NLTR). Trong luận án này, giá trị tăng của nhiệt độ T
cho NLTR được định nghĩa theo các nghiên cứu [17, 21], cụ thể là:

T = Tc – Tm = Tc - T0 , với T0 = 300K là nhiệt độ quy chiếu.
2.4. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới tham số vật liệu
Touloukian [130] chỉ ra rằng tính chất P của một vật liệu liên hệ
với nhiệt độ dưới dạng hàm phi tuyến sau
2
3
P  P0 ( P1T 1  1  PT
)
1  P2T  PT
3

(2.18)

trong đó P0, P-1, P1, P2 và P3 là các hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ.
Hình 2.2 và 2.3 minh họa ảnh hưởng của tỷ lệ thể tích lỗ rỗng vi
mô Vα và sự tăng nhiệt độ ΔT tới mô-đun đàn hồi hiệu dụng của dầm
FGM tạo bởi thép không gỉ và ô-xit nhôm cho các giá trị V khác
nhau và ΔT = 500K. Mô-đun đàn hồi giảm rõ rệt khi xét tới ảnh
hưởng của lỗ rỗng vi mô, cho cả UTR và NLTR. So sánh Hình 2.2(b)
với Hình 2.3 ta thấy rằng mô-đun đàn hồi hiệu dụng E của dầm FGM
suy giảm mạnh hơn trong trường nhiệt độ là phân bố đều.
2.5. Các phương trình cơ bản
2.5.1. Trường chuyển vị
Chuyển vị ngang của một điểm bất kỳ trong dầm cho bởi


9
u ( x, z , t )  u0 ( x, t )  z ( x, t )

(2.24)

w( x, z , t )  w0 ( x, t )

trong đó u0(x,t), w0(x,t) tương ứng là chuyển vị dọc trục và
chuyển vị theo phương ngang của điểm nằm trên trục giữa của dầm,
θ(x,t) là góc quay của thiết diện ngang của dầm và t là thời gian.
2.5.2. Trường biến dạng, ứng suất
Từ (2.24) ta nhận được trường biến dạng cho dầm như sau

 xx  u, x  u0, x  z , x

(2.25)

 xz  u, z  w, x  w0, x  

trong biểu thức trên kí hiệu (..),x được dùng để chỉ đạo hàm riêng
theo biến x và (..),z là đạo hàm riêng theo biến z.
Theo định luật Hook, ứng suất pháp và ứng suất trượt tương ứng
với trường biến dạng (2.25) là:

 xx ( z, T )  E ( z, T ) xx  E ( z, T )  u0, x  z, x 

(2.26)

 xz ( z, T )   G( z, T ) xz   G( z, T )  w0, x   

trong đó E(z,T) và G(z,T) tương ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun
trượt hiệu dụng , ψ là hệ số hiệu chỉnh.
340

340

320

320

n=0.1

280

300
n=0.5
E (GPa)

E (GPa)

300

n=1

260
240

n=5

220

180
-0.5

-0.25

n=0.1
n=0.5

260

0
0.25
z/h
(a) T=0 K,V =0

n=1

240
220

n=10

200

280

n=5

200
0.5

180
-0.5

n=10
-0.25

0
0.25
z/h
(b) T=0 K,V =0.1

0.5

Hình 2.2. Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích lỗ rỗng đến mô-đun đàn
hồi hiệu dụng


10
280

280
n=0.1

260
240

200
n=5

180

140

-0.5

-0.25

n=0.5

220
n=1

200
180

n=10

160

n=0.1

240

n=1

220

E( GPa)

E (GPa)

260

n=0.5

0
0.25
z/h
(a) NLTR, T=500 K, V =0.1

n=5

160
0.5

140
-0.5

n=10
-0.25

0
0.25
z/h
(b) UTR, T=500 K, V =0.1

0.5

Hình 2.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến mô-đun đàn hồi hiệu dụng
trong trường nhiệt độ UTR và NLTR
2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi
Năng lượng biến dạng đàn hồi (U ) có thể viết dưới dạng
L

U

2
1 
A11u0,2 x  2 A12u0, x, x  A22 ,2x  A33  w0, x     dx (2.27)



20

trong đó V là thể tích dầm, A là diện tích thiết diện ngang của dầm;
các đại lượng A11, A12, A22 và A33 tương ứng là độ cứng dọc trục, độ
cứng tương hỗ giữa dọc trục và uốn, độ cứng chống uốn và độ cứng
chống trượt.
2.5.4. Năng lượng biến dạng do ứng suất nhiệt ban đầu
Giả sử dầm không có ứng suất nhiệt khi nhiệt độ bằng nhiệt độ
quy chiếu T0 và chịu ứng suất nhiệt do sự thay đổi nhiệt độ. Ứng suất
nhiệt ban đầu do sự tăng nhiệt độ T được định nghĩa bởi [30, 91]

 xxT   E ( z, T ) ( z, T )T

(2.29)

Năng lượng biến dạng sinh ra do ứng suất nhiệt ban đầu có dạng
[17, 30]
L

UT  

1
1
E ( z, T ) ( z, T )Tw0,2 x dV   NT w0,2 x dx

2V
20

(2.30)

trong đó NT là tổng lực dọc trục sinh ra do ứng suất nhiệt ban đầu.


11
2.5.5. Động năng
Động năng của dầm FGM với lỗ rỗng vi mô dưới dạng sau
 

L

1
 I11 (u0 2  w 0 2 )  2 I12 u0  I 22 2  dx
2 0 

(2.32)

trong đó I11, I12 và I22 tương ứng là các mô-men khối lượng.
2.5.6. Thế năng của lực ngoài
Lực ngoài tác động lên dầm xét trong Luận án là một lực di
động, một lực điều hòa di động hoặc các lực với biên độ không đổi di
động. Thế năng của các lực di động này có thể được biểu diễn dưới

dạng sau
nF

   Fi w0 ( xi , t ) ( xi  vti )

(2.35)

i 1

trong đó nF là số lực, w0(xi,t) là độ võng tại vị trí lực Fi, xi là hoành
độ tính từ đầu trái dầm đến vị trí lực Fi,, ti là thời gian tính từ thời
điểm lực Fi đi vào nút trái của dầm
2.6. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng của dầm
Hình 2.5 minh họa ảnh hưởng của độ cứng chống uốn A22 với ΔT
của dầm với thể tích lỗ rỗng vi mô V = 0.1 trong hai trường hợp
UTR và LNTR.
1.5

T=0K

1.4

T=100K
T=200K

1.4

1.3

T=500K

1.3

1.2

UTR, V =0.1

1.1

1.2
1.1

1

1

0.9

0.9

0.8
0

(a)

2

4

n

6

8

10

T=0K
T=100K
T=200K

A22/A220

A22/A220

1.5

0.8
0
(b)

T=500K

NLTR, V =0.1

2

4

n

6

8

10

Hình2.5. Ảnh hưởng của nhiệt độ tới độ cứng chống uốn của
dầm FGM với Vα = 0.1: (a) UTR, (b) NLTR


12
Với mọi giá trị của tham số vật liệu n, độ cứng chống uốn giảm
dần khi giá trị của ΔT tăng lên. Trường UTR ảnh hưởng tới độ cứng
của dầm mạnh hơn. Thêm vào đó, sự suy giảm độ cứng rõ nét hơn
cho trường hợp dầm có tham số vật liệu n lớn hơn.
2.7. Phương trình chuyển động
Phương trình chuyển động cho dầm được xây dựng từ nguyên lý
biến phân Hamilton có dạng
 I11u0  I12  A11u0, xx  A12, xx  0

nF

0  A33  w0, xx  , x   NT w0, xx   Fi ( xi  vti )
 I11w
i 1

 I   I u  A u  A    A  w     0
12
12 0, xx

22 , xx
33
0, x
 22

(2.44)

2.8. Dầm Euler-Bernoulli
Phương trình vi phân chuyển động cho dầm dựa trên lý thuyết
dầm Euler-Bernoulli có dạng.

 I u  I w
  A11u0, xx  A12 w0, xxx  0
 11 0 12 0, x
0  I12u0, x  I 22 w
0, xx  A22 w0, xxxx  A12 u0, xxx  NT w0, xx
 I11w

nF
   F  ( x  vt )
i
i
i

i 1

(2.48)

CHƯƠNG 3. MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ THUẬT
TOÁN SỐ

3.1. Véc tơ chuyển vị nút
Véc-tơ chuyển vị nút cho một phần tử dầm FGM hai bút (i, j)
thường gồm 6 thành phần
d  {ui wi  i u j w j  j }T

(3.1)


13
trong đó, chỉ số trên ‘T’ được sử dụng để chỉ chuyển vị của một véc
tơ hoặc ma trận. Chuyển vị u0(x), w0(x) và góc quay(x) của tiết diện
ngang cho phần tử dầm được nội suy qua các hàm dạng như sau

u0  Nu d , w0  N wd ,   N d

(3.2)

trong đó Nu, Nw và N tương ứng là các hàm nội suy (hàm dạng) cho
u0(x), w0(x) và (x). Một số phần tử dầm với 6 bậc tự do như trong
phương trình (3.2) sử dụng các các nội suy khác nhau dùng trong
phân tích dao động của dầm FGM đã được một số tác giả đề nghị
trong thời gian gần đây.
3.2. Hàm nội suy thứ bậc
FEM sử dụng các hàm dạng thứ bậc được trình bày chi tiết trong
các tài liệu [132, 133]. Từ phép nội suy bậc nhất cho hàm f(x) trên
miền [0,l ]

f  N1 f1  N 2 f 2 

1   

2

f1 

1   
2

f2

(3.3)

x
với   2  1 là tọa độ tự nhiên, phép nội suy bậc 2 cho hàm f(x) có
l
thể được viết dưới dạng
f  N1 f1  N 2 f 2  N 3 f 3

(3.4)

trong đó N3 là đa thức bậc hai, có dạng
N3  1   2

(3.6)

Tương tự, thêm đa thức bậc ba vào vế phải của (3.4) ta nhận
được phép nội suy bậc 3, với hàm N4 có dạng



N4   1   2



(3.8)

Tương tự ta có thể xây dựng được các đa thức bậc cao hơn cho
các hàm dạng thứ bậc.
Sử dụng các hàm nội suy N1, N2, N3, N4 nêu trên, chuyển vị dọc
trục u0, chuyển vị ngang w0 và góc xoay  được nội suy như sau

u0  N1u1  N 2u2 ,   N11  N 2 2  N 33
w0  N1w1  N 2 w2  N3 w3  N4 w4

(3.9)


14
trong đó u1, u2, 1,…, w4 là giá trị của các biến ở các nút và ở trong
phần tử.
3.3. Trường chuyển vị với ràng buộc
Phần tử dầm dùng để phân tích động lực học của kết cấu có thể
được xây dựng từ 9 bậc tự do như trên hình 3.2. Tuy nhiên, phần tử
sẽ hiệu quả hơn khi số bậc tự do ít hơn nhờ ràng buộc biến dạng
trượt là một hằng số [133]. Biến dạng trượt (2.25) nhận được từ phép
nội suy (3.9) có dạng
 6



4

1

1



 xz    w4   3   2   w3  1   2  
2
2 
 l

l

(3.10)

1
1

   w2  w1  2 w4   1   2  2 3  
2
l


Để xz = const, cần có
6
4
1
1
 w4  3  0 , w3  1   2  0

l
l
2
2

(3.11)

Từ (3.11) ta rút ra

l
l
1   2  , w4  3
8
6
Sử dụng công thức (3.12) ta có thể viết lại (3.9) như sau
w3 

u

1    u
2

1



1    u ,  1      1      1   2 
 3
2
1

2
2

1    w  1    w
w
2

(3.12)

1

2

2



2
l 1 2



8

 

1

2

 2  



l 1   2
6



(3.13)

3

Biến dạng trượt có dạng

1
1
2
(3.14)
 w2  w1   1  2   3
l
2
3
Phần tử dầm trong luận án này được xây dựng từ trường chuyển
vị theo công thức (3.13) và biến dạng trượt (3.14). Véc tơ chuyển vị
nút cho một phần tử có 7 bậc tự do.

 xz 

3.4 Ma trận độ cứng phần tử

15
Ma trận độ cứng của dầm được xây dựng từ biểu thức năng
lượng biến dạng cho một phần tử dầm, Ue, có dạng sau
1
U e  dT kd
2
trong đó k là ma trận độ cứng phần tử

(3.18)

k  k uu  k u  k   k 
1

(3.19)

1

k uu 

2
2
NTu , A11Nu , d  , k u    NTu , A12 N , d 

l 1
l 1

k  

2
NT , A22 N , d  ,

l 1

1

(3.20)

1

l 2
2
k    ( NTw,  NT ) A33 ( N w,  N )d
2 1 l
l
Các ma trận trong (3.20) có dạng tường minh sau

k uu

l

1
2

l2
l
2
4


1

1

A 
 A33  2l l 2
 11 
, k  

l  1 1 
l 3
3

 1  l

2

2
l
l
4
 2

2l
3
l2
3
4 2
l
9

2l

3
2
l
3

1
l
2
2l

3


1


l
2

l 
2 

l2 
4 

l2 
3 


l
 
2
2 
l 
4 


16

k 

1 0
A 
16
 22  0
l 
3
 1 0


1

A
0  , k u   12
l


1

0 1
1 0

0 0

 0 1
 1 0

0
0
0
0
0

1
1 0 
0 0

0 1
1 0 
0

(3.21)

Để tương thích trong tính toán ma trận dưới đây, các ma trận độ
cứng trong phương trình (3.21) cần được mở rộng thành ma trận có
kích thước (7x7) bằng cách thêm vào các hàng và cột với các hệ số
bằng 0 tương ứng với các hệ số 0 trong ma trận các hàm dạng.
3.5. Ma trận độ cứng do ứng suất nhiệt ban đầu
Ma trận độ cứng phần tử do ứng suất nhiệt ban đầu được xây

dựng dựa trên năng lượng biến dạng do tăng nhiệt độ phương trình
(2.30) cho một phần tử có dạng

1 T
d kT d
(3.22)
2l
với kT là ma trận độ cứng do tăng nhiệt độ, có dạng tường minh sau
UTe 

0
0
1
0 
1

1 2
1 
0
l
0
0  l2 
12
12 



N
4 2
(3.24)

kT  T  0
0
l
0
0 
l 
45

 1
0
0
1
0 


1 2 
 0  1 l2
0
0
l
12
12 

3.6. Ma trận khối lượng phần tử
Ma trận khối lượng được xây dựng trên các hàm nội suy cho
trường chuyển vị. Vì vậy, ta có thể viết biểu thức động năng cho
phần tử dầm công thức (2.32) dưới dạng sau
1
 e  d T md
2

(3.25)


17
trong đó m = muu + mww + mu + m là ma trận khối lượng của phần
tử dầm, với
1

muu 

1

l
l
NTu I11N u d  , m ww   NTw I11N w d 
2 1
2 1
1

mu

1

l
l
   NTu I12 N d  , m   NT I 22 N d 
2 1
2 1

(3.26)

tương ứng là các ma trận khối lượng sinh ra do chuyển vị theo
phương: dọc trục; phương ngang; tương hỗ giữa chuyển vị dọc trục
và sự quay của tiết diện ngang; sự quay của tiết diện ngang. Dạng
tường minh cho các ma trận này cũng dễ dàng nhận được.
3.7. Phần tử dựa trên các hàm nội suy chính xác
Các hàm dạng chính xác cho phần tử dầm FGM dựa trên lý
thuyết biến dạng trượt bậc nhất được xây dựng trong luận án của Lê
Thị Hà [12]. Các biểu thức cho ma trận độ cứng và ma trận khối
lượng có dạng tương tự như trong [12] ngoại trừ biểu thức cho hệ số
độ cứng và mô-men khối lượng là khác nhau.
3.8. Phần tử dầm Euler-Bernoulli
Ma trận độ cứng và ma trận khối lượng cho phần tử dầm EulerBernoulli có dạng

k  k uu  k uw  k ww

(3.33)

với
l

l

k uu   NTu , x A11N u , x dx , k uw   2  NTu , x A12 N w, xx dx
0

0

l

k ww   N

T
w, xx

(3.34)

A22 N w, xx dx

0

với Nu là ma trận các hàm dạng tuyến tính và Nw là ma trận các hàm
Hermite.
Ma trận khối lượng phần tử cũng có dạng tương tự như ma trận
độ cứng, m = muu + mww + mu + m , trong đó


18
l

l

m uu   NTu I11Nu dx, m ww   NTw I11N w dx
0

0

l

l

m u    N I N w, x dx, m   N
0

T
u 12

0

(3.36)

T
w, x 22

I N w, x dx

3.9. Phương trình chuyển động rời rạc
Bỏ qua ảnh hưởng cản của vật liệu dầm, phương trình chuyển
động cho dầm FGM có lỗ rỗng vi mô chịu tải trọng di động có thể
viết dưới dạng ngôn ngữ phần tử hữu hạn như sau

  (K  K )D  Fex
MD
B
T

(3.37)

 tương ứng là các véc-tơ chuyển vị và gia tốc tổng thể

trong đó D , D
tại các điểm nút; K B , K T , M , F ex tương ứng là các ma trận độ
cứng, ma trận khối lượng và véc - tơ tải trọng nút tổng thể.

3.10. Thuật toán Newmark
Phương trình (3.37) có thể giải bằng phương pháp tích phân trực
tiếp. Phương pháp gia tốc trung bình không đổi với khả năng ổn định
số không điều kiện được sử dụng trong luận án này.
CHƯƠNG 4. KẾT QUẢ SỐ VÀ THẢO LUẬN
4.1. Kiểm nghiệm mô hình phần tử và chương trình số
Bảng 4.4 so sánh tham số độ võng không thứ nguyên nhất tại
giữa dầm cho trường hợp V = 0 và T = 0K của dầm FGM chịu một
lực di động. Với mọi giá trị của tham số vật liệu và vận tốc lực di
động, như ta thấy từ Bảng 4.4, độ võng lớn nhất tại giữa dầm nhận
được trong Luận án rất sát với các giá trị sử dụng phương pháp bán
giải tích của Şimşek và Kocaturk trong [4], và phương pháp cầu
phương vi phân của Khalili và cộng sự trong [105].


19
Bảng 4.4. So sánh tham số độ võng không thứ nguyên lớn nhất
tại giữa dầm (V = 0, T = 0)
Al2O3

n = 0.2

n = 0.5

n=1

n=2

(252 m/s)*

(222m/s)

(198m/s)

(179m/s)

(164m/s)

TBHi

0.9382

1.0307

1.1509

1.2569

1.3450

TBEx

0.9380

1.0402

1.1505

1.2566

1.3446

EBB

0.9329

1.0346

1.1445

1.2504

1.3377

TL [4]

0.9328

1.0344

1.1444

1.2503

1.3376

TL [105]

0.9317

1.0333

1.1429

1.2486

1.3359

Nguồn

4.3. Đáp ứng động lực học
4.3.1. Ảnh hưởng của nhiệt độ và lỗ rỗng vi mô
Hình 4.3 minh họa mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của
độ võng tại giữa dầm với giá trị không thứ nguyên của thời gian cho
trường hợp n = 0.5, Vα = 0.1 và các giá trị khác nhau ΔT của NLTR
và hai giá trị của vận tốc lực di động, v = 30 m/s và v = 60 m/s. Với
cả hai giá trị của vận tốc lực di động, độ võng ở giữa dầm lớn hơn
khi giá trị của sự tăng nhiệt độ ∆T cao hơn trong phần lớn thời gian
lực di động trên dầm.
1.5

1.5
(b) v = 60 m/s

1

w0L/2,t)/wst

w0(L/2,t)/wst

(a) v = 30 m/s

0.5

0
0






0.2

T=0
T = 50K
T = 100K
T = 150K
0.4
0.6
0.8
t/ T*

1

1

0.5

0





0

0.2

0.4

T=
T=
T=
T=

0
50K
100K
150K
0.6

0.8

1

t/ T*

Hình 4.3. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng ở
giữa dầm theo thời gian cho các giá trị ∆T khác nhau của NLTR
(n=0.5, V = 0.1)


20
Hình 4.5 minh họa mối liên hệ giữa độ võng trực chuẩn lớn nhất
ở giữa dầm với vận tốc của lực di động v với các giá trị khác nhau
của ∆T và Vα cho trường hợp trường nhiệt độ phân bố phi tuyến và n
= 1.
2.5

2.5

(b)

2

max(w0(L/2,t)/wst)

max(w0(L/2,t)/wst)

(a)

1.5
T=0
T=50K
T=100K

T=150K

1
0.8
0

100

200
v (m/s)

2

1.5
V=0
V=0.1
V=0.15
V=0.2

1
300

0.8
0

100

200

300

v (m/s)

Hình 4.5. Mối liên hệ giữa giá trị không thứ nguyên của độ võng lớn
nhất ở giữa dầm với vận tốc v cho trường hợp n = 1 và NLTR:
(a)V=0.1, T thay đổi, (b) T = 150K, V thay đổi.
Hình 4.5 cho thấy giá trị lớn nhất của độ võng ở giữa dầm tăng lên
khi các giá trị ∆T và Vα tăng lên, bất kể giá trị của vận tốc lực di
động. Thêm vào đó, như ta thấy từ Hình 4.5(a), giá trị cực trị của độ
võng ở giữa dầm có khung hướng đạt được ở vận tốc nhỏ hơn khi giá
trị của sự tăng nhiệt độ ∆T cao hơn. Điều ngược lại xảy ra với tỷ lệ
thể tích lỗ rỗng, như thấy từ Hình 4.5(b), mặc dù không rõ nét như
trên Hình 4.5(a).
Sự phân bố của ứng suất pháp theo chiều cao của thiết diện tại
giữa dầm được minh họa trên Hình 4.6 cho trường hợp NLTR với v
= 20 m/s, n = 0.5 và các giá trị khác nhau của ∆T và Vα. Biên độ của
của ứng suất pháp trên Hình 4.6(a) tăng lên khi ∆T tăng.


21
0.5

0.5

(b)

(a)
0.25
z/h

z/h

0.25

0

-0.25

-0.25

T=0
T=50K
T=150K

-0.5
-50 -40

-20

*

0

0

20

40

xx

-0.5
-50 -40

V=0
V=0.1
V=0.2

-20

*

0

20

40

xx

Hình 4.6. Phân bố của ứng suất pháp theo chiều cao thiết diện ngang
giữa dầm: (a) V = 0.1, ∆T thay đổi, (b) ∆T = 100K, Vα thay đổi
4.3.2. Ảnh hưởng của tần số lực kích động
Hình 4.8 biểu diễn mối liên hệ giữa độ võng không thứ nguyên ở
giữa dầm theo thời gian của dầm FGM chịu lực điều hòa di động với
các giá trị  khác nhau và với n = 1, Vα = 0.1, v = 30 m/s.
2

 = 10 rad/s
 = 15 rad/s

 = 20 rad/s

w0(L/2,t)/wst

w0(L/2,t)/wst

1

0

-1

6
4
2
0
-2

(a)
-2

0

(b)
0.2

0.4
t/ T*

0.6

0.8

1

-4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t/ T*

Hình 4.8. Mối liên hệ giữa các độ võng không thứ nguyên ở giữa
dầm theo thời gian cho các giá trị khác nhau của tần số lực kích
động: (a) NLTR, (b) UTR (n = 1, Vα=0.1, v = 30 m/s)
Với cả hai trường nhiệt độ phân bố, tần số lực kích động làm
thay đổi rõ nét giá trị lớn nhất của độ võng ở giữa dầm. Đặc biệt,
trong trường hợp UTR, độ võng tại giữa dầm ứng với tần số  = 20
rad/s lớn hơn nhiều so với độ võng với tần số  = 10 rad/s và  = 15

22
rad/s. Sự tăng của độ võng có thể được giải thích bởi hiện tượng
cộng hưởng khi tần số lực kích động tiến gần tới tần số dao động cơ
bản của dầm.
4.3.3. Ảnh hưởng của số lượng lực di động
Hình 4.9 minh họa ảnh hưởng của số lực di động nF và khoảng
cách giữa các lực d tới mối liên giữa độ võng không thứ nguyên ở
giữa dầm theo thời gian cho trường hợp n = 3, Vα = 0.1, v = 30 m/s
và ∆T = 100K. Trên Hình 4.9, ∆T* là tổng thời gian cần thiết để một
lực đi hết chiều dài dầm. Dầm thực hiện nhiều chu trình dao động
hơn và giá trị của độ võng lớn nhất tại giữa dầm lớn hơn khi dầm
chịu tác động của nhiều lực di động hơn. Khi số lượng lực nhiều hơn,
thời điểm tại đó độ võng tại giữa dầm đạt giá trị cực đại có khuynh
hướng tăng lên. Giá trị của độ võng lớn nhất tại giữa dầm giảm rõ rệt
khi khoảng cách giữa các lực tăng lên.
4

2
1

2
1
0

0
-1
0

d=L/8
d=L/5

d=L/3
d=L/2

(b)

3

w(L/2,t)/wst

3

w(L/2,t)/wst

4

nF=1
nF=2
nF=3
nF=4

(a)

0.5

1

t/T*

1.5

2

-1
0

0.5

1

1.5

2

t/T*

Hình 4.9. Ảnh hưởng của số lực di động và khoảng các giữa các
lực tới mối liên hệ giữa độ không thứ nguyên ở giữa dầm theo thời
gian cho trường hợp n = 3, Vα= 0.1, v = 30 m/s, ∆T = 100K: (a) d =
L/4 và nF khác nhau, (b) nF = 3 và d khác nhau.


23
6

6

(a)

5

4
3
T=0
T=50K
T=100K
T=150K

2
1
0

100

200
v (m/s)

300

400

max(w0(L/2,t)/wst)

max(w0(L/2,t)/wst)

5

(b)

4
3

d=L/8
d=L/5
d=L/4
d=L/2

2
1
0

100

200
v (m/s)

300

400

Hình 4.10. Mối liên hệ giữa độ võng lớn nhất không thứ nguyên tại
giữa dầm với vận tốc của lực di động cho trường hợp nF = 3, n = 1
và Vα = 0.1: (a) d = L/4 và ∆T thay đổi, (b) ∆T = 100K và d thay đổi.
Ứng xử động lực học của dầm FGM trong môi trường nhiệt độ
cao chịu nhiều lực di động có thể nhận thấy từ Hình 4.10. Tương tự
trường hợp dầm chịu một lực di động, giá trị lớn nhất của độ võng ở
giữa dầm tăng lên khi ∆T tăng. Khi khoảng cách giữa các lực di động
đủ lớn, giá trị cực trị của đường cong trở nên bất thường. Chẳng hạn,
đường cong tương ứng với trường hợp d = L/2 trên Hình 4.10(b) đạt
giá trị lớn nhất ngay khi vận tốc của lực di động còn tương đối nhỏ.
KẾT LUẬN
Một số kết luận chính của luận án có thể tóm lược dưới đây:

1) Đã nghiên cứu ảnh hưởng của lỗ rỗng vi mô và nhiệt độ môi
trường tới dao động của dầm FGM với cơ tính biến đổi ngang
theo quy luật hàm số lũy thừa bằng FEM. Các tính chất của vật
liệu dầm được giả định tuân theo quy luật hàm số lũy thừa và phụ
thuộc vào nhiệt độ. Ảnh hưởng của hai trường nhiệt độ là UTR và
NLTR tới tần số dao động cơ bản và đáp ứng động lực học của
dầm được khảo sát chi tiết trong luận án.
2) Xây dựng được các mô hình phần tử hữu hạn dùng trong nghiên
cứu đáp ứng động lực học của dầm FGM có tính tới ảnh hưởng
của nhiệt độ và lỗ rông vi mô. Mô hình phần tử mới TBHi xây
dựng từ các hàm dạng thứ bậc với ràng buộc cho biến dạng trượt
có tốc độ hội tụ nhanh, có thể đánh giá tốt các đặc trưng dao động