Điều kiện cần và đủ cho nghiệm của bài toán cân bằng vectơ qua dưới vi phân suy rộng (tt)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆●
✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼
✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖

❚❘❺◆ ❚❍➚ ▼❆■

✣■➋❯ ❑■➏◆ ❈❺◆ ❱⑨ ✣Õ ❈❍❖ ◆●❍■➏▼
❍Ú❯ ❍■➏❯ ❈Õ❆ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❈❹◆ ❇➀◆● ❱❊❈❚❒
◗❯❆ ❉×❰■ ❱■ P❍❹◆ ❙❯❨ ❘❐◆●

❚➶▼ ❚➁❚ ▲❯❾◆ ⑩◆ ❚■➌◆ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾


❈æ♥❣ tr➻♥❤ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ t↕✐✿
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ●❙✳❚❙✳ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✶✿✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✷✿✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳
P❤↔♥ ❜✐➺♥ ✸✿✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳✳

▲✉➟♥ →♥ s➩ ✤÷ñ❝ ❜↔♦ ✈➺ tr÷î❝ ❍ë✐ ✤ç♥❣ ❝❤➜♠ ❧✉➟♥ →♥ ❝➜♣ tr÷í♥❣ ❤å♣ t↕✐✿
❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✲ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳
❱➔♦ ❤ç✐ ✳✳✳✳✳ ❣✐í ✳✳✳✳✳ ♥❣➔② ✳✳✳✳✳ t❤→♥❣ ✳✳✳✳✳ ♥➠♠ ✷✵✶✾

❈â t❤➸ t➻♠ ❤✐➸✉ ❧✉➟♥ →♥ t↕✐ t❤÷ ✈✐➺♥✿✿
✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ ◗✉è❝ ❣✐❛ ❱✐➺t ◆❛♠❀

✲ ❚r✉♥❣ t➙♠ ❤å❝ ❧✐➺✉ ✕ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥❀
✲ ❚❤÷ ✈✐➺♥ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠ ✕ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳


▼ð ✤➛✉

❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✭❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♣r♦❜❧❡♠✮ ✤÷ñ❝ ❊✳ ❇❧✉♠ ✈➔ ❲✳ ❖❡tt❧✐ ✤÷❛
r❛ ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➔♦ ♥➠♠ ✶✾✾✹ ✈➔ ♥❤❛♥❤ ❝❤â♥❣ ❤➜♣ ❞➝♥ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❞♦ ♣❤↕♠ ✈✐ ù♥❣ ❞ö♥❣ rë♥❣ ❧î♥ ❝õ❛ ♥â✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì
✤â♥❣ ♠ët ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ♣❤✐ t✉②➳♥✱ ♥â ❝❤♦ t❛ ♠ët ♠æ ❤➻♥❤
t♦→♥ ❤å❝ ❤ñ♣ ♥❤➜t ❜❛♦ ❣ç♠ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ♥❤÷✿ ❇➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣
t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì❀ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì❀ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣❀ ❇➔✐
t♦→♥ ❜ò ✈❡❝tì❀ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ◆❛s❤ ✈❡❝tì✱✳✳✳✳ ❈→❝ ❧➽♥❤ ✈ü❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❜❛♦ ❣ç♠✿ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉❀ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠❀ ❚❤✉➟t
t♦→♥❀ ❚➼♥❤ ❝❤➜t t➟♣ ♥❣❤✐➺♠❀ ❚➼♥❤ ê♥ ✤à♥❤ ♥❣❤✐➺♠❀ ✣ë ♥❤↕② ♥❣❤✐➺♠✱✳ ✳ ✳
❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ♥❤✐➲✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤ ❦❤æ♥❣ trì♥ ✤➣
t➟♣ tr✉♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ❝→❝ ❧♦↕✐ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❈→❝ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❧➔
♥❤ú♥❣ ❝æ♥❣ ❝ö tèt ✤➸ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤æ♥❣ trì♥✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈î✐ ❝→❝
❞ú ❧✐➺✉ ❦❤æ♥❣ trì♥ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ♣❤→t tr✐➸♥ ♠↕♥❤ ♠➩ ❞÷î✐ ❝→❝ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❞÷î✐ ✈✐
♣❤➙♥ ❤➔♠ ❧ç✐✱ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡✱ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t✱ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤✱ ❚r❡✐♠❛♥
✈➔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ✭❝♦♥✈❡①✐❢✐❝❛t♦r✮
❧➔ ♠ët ❝æ♥❣ ❝ö tèt ✤➸ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❦❤æ♥❣ trì♥✳ ❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❞÷î✐
✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ❧ç✐✱ ❝♦♠♣❛❝t ❧➛♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✤÷ñ❝ ✤÷❛ r❛ ❜ð✐ ❱✳❋✳ ❉❡♠②❛♥♦✈
✭✶✾✾✹✮✳ ❱✳ ❏❡②❛❦✉♠❛r ✈➔ ❉✳❚✳ ▲✉❝ ✭✶✾✾✾✮ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
s✉② rë♥❣ ✤â♥❣✱ ❦❤æ♥❣ ❧ç✐ ❝❤♦ ❤➔♠ ✈æ ❤÷î♥❣ ✈➔ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ①➜♣ ①➾ ❝❤♦ ❤➔♠ ✈❡❝tì✳
❑❤→✐ ♥✐➺♠ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❞÷î✐
✈✐ ♣❤➙♥ ✤➣ ❜✐➳t ♥❤÷ ❝→❝ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡✱ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t✱ ▼♦r❞✉❦❤♦✈✐❝❤✱
❚r❡✐♠❛♥✱✳ ✳ ✳ ✳ ▼ët sè ❝→❝ ♥❤➔ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❱✐➺t ◆❛♠ ✤➣ ❝â ♥❤ú♥❣ ✤â♥❣ ❣â♣ ✤→♥❣

❦➸ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝

✶


❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ♥❤÷ ❝→❝ ❣✐→♦ s÷ ❍♦➔♥❣ ❚ö②✱ ✣✐♥❤ ❚❤➳ ▲ö❝✱ P❤❛♥ ◗✉è❝ ❑❤→♥❤✱
P❤↕♠ ❍ú✉ ❙→❝❤✱ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉✱ ▲➯ ❉ô♥❣ ▼÷✉✱ ◆❣✉②➵♥ ✣æ♥❣ ❨➯♥ ✈➔ ♥❤✐➲✉
❣✐→♦ s÷ ❦❤→❝✳
✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❋✳ ●✐❛♥♥❡ss✐✱
●✳ ▼❛str♦❡♥✐ ✈➔ ▲✳ P❡❧❧❡❣r✐♥✐ ✭✷✵✵✵✮ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ❈→❝
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ tr♦♥❣ ✭❨❛♥❣ ✈➔ ❩❡♥❣ ✭✷✵✵✽✮✱ ❨❛♥❣ ✭✶✾✾✸✮✮ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤
❜➡♥❣ ❝→❝❤ t❤✐➳t ❧➟♣ sü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❣✐ú❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥
❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì✳ ✣➣ ❝â r➜t ♥❤✐➲✉ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❣✐↔✐
q✉②➳t ❝→❝ ✈➜♥ ✤➲ tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❧♦↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì✳ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭✷✵✶✵✮ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❞÷î✐
♥❣æ♥ ♥❣ú ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡ ✈➔ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ①➜♣ ①➾ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉
❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣✱ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉
t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ❳✳❍✳ ●♦♥❣ ✭✷✵✶✷✮ ✤➣
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♥â♥ ✈î✐ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t✳
❳✳❳✳ ▲♦♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❝ë♥❣ sü ✭✷✵✶✶✮ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦
♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì
❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♥â♥✱ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ❦✐➸✉ C ✲❞÷î✐ ❣➛♥ ❧ç✐ ✭♥❡❛r❧② C ✲
s✉❜❝♦♥✈❡①❧✐❦❡✮✳ ❈❤ó þ r➡♥❣✱ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❧➔ ♠ët ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
s✉② rë♥❣✳ ❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉
❍❡♥✐❣ ✈➔ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ q✉❛ ❞÷î✐
✈✐ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❧➔ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➔ ✤➙② ❧➔ ♠ët ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷ñ❝
♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥✳

❨✳ ❋❡♥❣ ✈➔ ◗✳ ◗✉✐ ✭✷✵✶✹✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥
❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❉✳❱✳ ▲✉✉ ✈➔ ❉✳❉✳
❍❛♥❣ ✭✷✵✶✹✮ ✤➣ ❞➝♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉✱ ♥❣❤✐➺♠
❤ú✉ ❤✐➺✉✱ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ t♦➔♥ ❝ö❝ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
✈❡❝tì ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠
▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡✱ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t✳
❉✳❱✳ ▲✉✉ ✈➔ ❉✳❉✳ ❍❛♥❣ ✭✷✵✶✺✮ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉

✷


❦✐➺♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝
❝➙♥ ❜➡♥❣ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❈❧❛r❦❡✳ ❈❤ó þ r➡♥❣✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ✈❡❝tì ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì✳
❉♦ ✤â✱ ✈✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì ❦❤æ♥❣ trì♥ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♥â♥✱ r➔♥❣ ❜✉ë❝
✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥
t❤✐➳t ✈➔ ✤➙② ❧➔ ♠ët ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥✳
❚r♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ♥➠♠ ❣➛♥ ✤➙②✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤æ♥❣
trì♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ q✉❛ ❝→❝ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✤➣
✤↕t ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ✤➭♣ ✈➔ s➙✉ s➢❝✳ ❑❤✐ ❝→❝ ❤➺ sè ❝õ❛ ❤➔♠ ♠ö❝ t✐➯✉ ✈➔ ❝→❝
❤➔♠ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♥❤➟♥ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà
❦❤♦↔♥❣✳ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✈➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❣✐→ trà
❦❤♦↔♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳ ❍✳❈✳ ❲✉ ✭✷✵✵✽✮ ✤➣ ❞➝♥ ❝→❝
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❣✐→ trà
❦❤♦↔♥❣ ❦❤↔ ✈✐ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉ ❤↕♥
❝❤✐➲✉✳ ❏❛②s✇❛❧ ✈➔ ❝ë♥❣ sü ✭✷✵✶✻✮ ✤➣ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤
❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ❜➜t
✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❤ú✉
❤↕♥ ❝❤✐➲✉✳ ❱✐➺❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ✈➔ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r

❝ò♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉ ✈➔ ♠↕♥❤ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ✈➔ ❦✐➸✉ ❲♦❧❢❡
❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❞÷î✐ ♥❣æ♥ ♥❣ú ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉②
rë♥❣ ❧➔ ♠ët ✈➜♥ ✤➲ ❝➛♥ t❤✐➳t ✈➔ ✤➙② ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ♥ë✐ ❞✉♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
tr♦♥❣ ❧✉➟♥ →♥✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❧➔ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥
❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ q✉❛
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t✱ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ ❝õ❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣❀
❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì ✈î✐ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♥â♥✱ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣
q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣❀ t❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ✈➔ ❑❛r✉s❤✕
❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ✈➔
❦✐➸✉ ❲♦❧❢❡ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ✤÷ñ❝ t❤✐➳t ❧➟♣✳

✸


◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ❜❛♦ ❣ç♠✿
❛✮ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉
❍❡♥✐❣ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣
✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈î✐ ❝→❝ ❤➔♠ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❦✐➸✉
❆❜❛❞✐❡ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❝ò♥❣ ✈î✐ ✈➼ ❞ö ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❦➳t q✉↔
t❤✉ ✤÷ñ❝✳
❜✮ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ✈➔ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦
♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì ❦❤æ♥❣ trì♥
❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ♥â♥ ❧ç✐ ✤❛ ❞✐➺♥ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ q✉❛ ❞÷î✐
✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣✳ ❱î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤➼♥❤ q✉② ❦✐➸✉ ▼❛♥❣❛s❛r✐❛♥✕❋r♦♠♦✈✐t③✱ tø
✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❑❛r✉s❤✕
❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ✈î✐ ❝→❝ ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✳ ❈→❝

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✈î✐ ♥❤ú♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✈➲ t➼♥❤ ❧ç✐ s✉② rë♥❣ ❝❤♦
❞ú ❧✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✳
❝✮ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❋r✐t③ ❏♦❤♥ ✈➔ ❑❛r✉s❤✕❑✉❤♥✕❚✉❝❦❡r ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠
▲❯✲tè✐ ÷✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ✈î✐ ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝
✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔ r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q✉❛
❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ✈î✐ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ■♦❢❢❡ ✭✶✾✼✾✮✳
❱î✐ ❣✐↔ t❤✐➳t ✈➲ t➼♥❤ ❧ç✐ s✉② rë♥❣✱ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ▲❯✲tè✐ ÷✉
✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤✐➳t ❧➟♣ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ♠↕♥❤ ✈➔ ②➳✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐
t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ✈➔ ❦✐➸✉ ❲♦❧❢❡✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✤÷ñ❝ ❝✉♥❣ ❝➜♣
✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝✳
▲✉➟♥ →♥ ❜❛♦ ❣ç♠ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❜è♥ ❝❤÷ì♥❣✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ❝❤✉♥❣✱ ❞❛♥❤ ♠ö❝
❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥ ✈➔ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝
t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳

❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❧✉➟♥ →♥ ✤÷ñ❝ ❜→♦ ❝→♦ t↕✐✿
✲ ❙❡♠✐♥❛r ❚è✐ ÷✉✱ ❱✐➺♥ ❚♦→♥ ❤å❝ ✈➔ ❑❤♦❛ ❤å❝ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣✱ ❑❤♦❛
❚♦→♥ ✲ ❚✐♥✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤➠♥❣ ▲♦♥❣✱ ❍➔ ◆ë✐❀
✲ ❙❡♠✐♥❛r ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s✐♥❤ ❝õ❛ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ ♣❤↕♠✱ ✣↕✐
❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳

✹


❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì sð
✣➸ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ✈➔ ❝→❝ ✤à♥❤ ❧þ
✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❦❤æ♥❣ trì♥✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝➛♥ sû ❞ö♥❣ ❦❤→✐
♥✐➺♠✱ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ✈➔ ♠ët sè ❝æ♥❣ ❝ö ❝➛♥ t❤✐➳t ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣
❈❤÷ì♥❣ ✶✱ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❜ê trñ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ ❝→❝ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉ ❝õ❛

❧✉➟♥ →♥✳

• ▼ö❝ ✶✳✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì✱ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✈❡❝tì ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì✳

• ▼ö❝ ✶✳✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ♠ët sè ❞÷î✐ ✈✐
♣❤➙♥ ✈➔ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ❝❤ó♥❣✳

• ▼ö❝ ✶✳✸✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈æ ❤÷î♥❣ ❤â❛ ❝õ❛ ●♦♥❣ ✭✷✵✶✵✮✳
• ▼ö❝ ✶✳✹✿ ▼ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝õ❛ ❤➔♠ ❧ç✐ s✉② rë♥❣ ✤÷ñ❝ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ✤➸ t❤✐➳t
❧➟♣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❝➛♥ ✤õ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥✳

✺


ữỡ

tố ữ t
tỡ q ữợ
Pt
r ữỡ tố ữ ỳ
s ỳ ữỡ ừ t tỡ õ r
ở ợ st ữỡ ữợ ổ ỳ ữợ
Pt ữủ tt ứ t q ừ ữỡ ú tổ s r ữủ ởt
số t q tr ũ ở sỹ
ở ừ ữỡ ữủ tr ỹ tr ở ừ
[A2 ] tr ử ổ tr ổ ố
q tr t r t ss

tt

tố ữ ỳ ữỡ
s ỳ ữỡ



tố ữ ỳ ữỡ

X ổ tỹ ợ C t rộ tr X

Q S ữủt õ ỗ tr Rr Rm F : X ì X Rr ởt
s tỡ g : X Rm h : X R r ở sỷ ợ t
K = x C : gi (x) 0, ợ ồ i I; hj (x) = 0, ợ ồ j L ,
ợ gi , hj (i I := {1, 2, . . . , m} , j L := {1, 2, . . . , }) số tỹ
tr X tỡ F = (F1 , F2 , . . . , Fr )
t Fx (y) := F (x, y), Fk,x (y) = Fk (x, y), ợ ồ k {1, 2, . . . , r} t t




I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} , ❣✐↔ sû Fx (x) = 0✳
❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ✭❈❱❊P✮ ✤÷ñ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉
♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ✈❡❝tì x ∈ K s❛♦ ❝❤♦

/ −Q\ {0} (∀y ∈ K).
F (x, y) ∈

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳ ❱❡❝tì x ∈ K ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❍❡♥✐❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥

✭❈❱❊P✮ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❧ç✐ ♠ð t✉②➺t ✤è✐ U ❝õ❛ 0 ✈î✐ U ⊆ VB
t❤ä❛ ♠➣♥
❝♦♥❡F (x, K) ∩ (−✐♥tQU (B)) = ∅,
tr♦♥❣ ✤â✱ Q (B) = y ∗ ∈ Q# : ∃t > 0 t❤ä❛ ♠➣♥ y ∗ , b ≥ t, ∀b ∈ B ✈➔

Q# = {y ∗ ∈ Y ∗ : y ∗ , y > 0, ∀y ∈ Q\ {0}} ;
Q∗ = {y ∗ ∈ Y : y ∗ , y ≥ 0, ∀y ∈ Q} .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❱❡❝tì x ∈ K ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✐➯✉ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
✭❈❱❊P✮ ♥➳✉ ✈î✐ ♠é✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ V ❝õ❛ 0✱ tç♥ t↕✐ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ U ❝õ❛ 0
s❛♦ ❝❤♦
❝♦♥❡F (x, K) ∩ (U − Q) ⊆ V.

●✐↔ t❤✐➳t ✷✳✶✳ ❈→❝ ❤➔♠ Fx , gi (∀i ∈ I(x)) ❧➔ ▲✐♣s❝❤✐t③ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ t↕✐ x, hj
(∀j ∈ L) ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x ✈➔ ♥â♥ Q ❝â ❝ì sð ❧➔ B ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✸✳ ✣↕♦ ❤➔♠ t❤❡♦ ♣❤÷ì♥❣ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x t❤❡♦
♣❤÷ì♥❣ υ ∈ X ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❜ð✐

f ♦ (x; υ) = sup lim sup
w∈X

t↓0

f (x + t(υ + w)) − f (x + tw)
.
t

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳ ❉÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ ▼✐❝❤❡❧✕P❡♥♦t ❝õ❛ ❤➔♠ f t↕✐ x ✤÷ñ❝ ✤à♥❤
♥❣❤➽❛ ❜ð✐ ∂ M P f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f ♦ (x, υ) ≥ x∗ , υ , ∀υ ∈ X}.

◆➳✉ f ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t t↕✐ x ✈î✐ ✤↕♦ ❤➔♠ ❋r➨❝❤❡t ∇f (x)✳ ❑❤✐ ✤â✱

∂ M P f (x) = {∇f (x)}.
❳➨t ❝→❝ t➟♣ s❛✉✿

C(K; x) =

v ∈ T (C; x) : gi♦ (x, v)

0 (∀i ∈ I(x)),

∇hj (x), v = 0 (∀j ∈ L) ,

✼


ài M P gi (x) +

H(x) =

vj hj (x)
j=1

iI(x)

+N (C; x) : ài 0 (i I(x)), vj R (j L) .
ự tố ữ rsr t
P ú tổ ữ q s

C(K; x) T (K; x).

ởt tố ữ rsr ỳ
ữỡ ừ t P ữủ t ữ s

ỵ sỷ x ỳ ữỡ ừ P
Fx (x) = 0 H(x) t õ ọ tt
q õ tỗ t ài 0 (i I(x)) v j R (j L)
tử t t ữỡ tr Y tọ

() y2 y1 Q\ {0} t (y1 ) < (y2 );
() tỗ t 0 > 0 s (b) 0 , ợ ồ b B


0 M P ( Fx )(x) +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

r trữớ ủ X, Y ổ ỳ ỵ ữủ t
ữ s

ỵ sỷ X = Rn , Y = Rp x ỳ
ữỡ ừ t P tọ tt ừ ỵ
õ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

ài M P gi (x) +

0 J Fx (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ .
r trữớ ủ Fx t ỳ
ữỡ ữủ t ữ s




ỵ x ỳ ữỡ ừ t
P tọ tt ừ ỵ sỷ Fx t ợ
t Ds Fx (x) õ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

0 [Ds Fx (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ , tr

õ tQ tr ừ Q t tổổ ừ Y .
ỵ ừ ỳ ữủ t ữ s

ỵ sỷ x K tọ tt ỳ tỗ t
Q (B) ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s
0 M P ( Fx )(x) +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

ỡ ỳ sỷ C ỗ Fx M P ỗ t x tr C

gi (i I(x)) M P tỹ ỗ t x tr C h1 , . . . , h tỹ t
t t x tr C õ tỡ x ỳ ừ P
ỵ s ữủ t tr trữớ ủ X, Y ổ ỳ


ỵ sỷ X = Rn , Y = Rp x K tọ tt
ỡ ỳ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

ài M P gi (x) +

0 J Fx (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

t C ỗ Fx C ỗ t x tr C gi (i I(x))

M P tỹ ỗ t x tr C h1 , . . . , h tỹ t t t x tr

C õ x ỳ ừ P
ợ X, Y ổ ổ F t t õ ỵ
s

ỵ x K sỷ Fx t t x gi (i I(x))
st ữỡ t x hj (j L) rt t x




tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

0 [Ds Fx (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

t C ỗ Fx ỗ t x tr C gi (i I(x))

M P tỹ ỗ t x tr C h1 , . . . , h tỹ t t t x tr
C õ x ỳ ừ P

t Q õ ỡ s B t õ t Q (B)
tr ỵ ỵ õ t ữủ t t Q .



rsr s ỳ
ữỡ

tố ữ s ỳ ữỡ ừ t
P ữủ t q ỵ s

ỵ x s ỳ ữỡ ừ P
sỷ Fx (x) = 0 H(x) t õ tt q
tọ õ tỗ t ài 0 (i I(x)) v j R (j L)
tử t t ữỡ tr Y tọ (), () tr ỵ s


0 M P ( Fx )(x) +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

r trữớ ủ X, Y ổ ỳ t õ ỵ s

ỵ sỷ X = Rn , Y = Rp x s ỳ ữỡ
ừ t P tọ tt ừ ỵ õ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

ài M P gi (x) +

0 J Fx (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ .
ợ X, Y ổ ổ F t t õ
ỵ s

ỵ sỷ x s ỳ ữỡ ừ t
P tt ừ ỵ tọ ỡ ỳ sỷ r Fx




t t x ợ t Ds Fx (x) õ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

0 [Ds Fx (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ , ợ
tQ tr ừ Q t tổổ tr Y .
ỷ ử t q tr ử t ữủ ừ tố
ữ tữỡ ự s ỳ ừ P



ử t t tự tỡ
t tố ữ tỡ

tố ữ ỳ s ỳ
ừ t ữủt ữủ t ữ s

ỵ x ỳ ữỡ s
ỳ ữỡ ừ t sỷ H(x) t õ
tt q tọ õ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

0 [T (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ , tr

õ tQ tr ừ Q t tổổ tr Y .
tố ữ ỳ s ỳ
ừ t P ữủt ữủ t ữ s

ỵ x ỳ ữỡ s
ỳ ữỡ ừ t P sỷ H(x) t õ
tt q tọ tr õ Fx ữủ t
f õ
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) ởt

tử t t ữỡ tr Y tọ (), () tr ỵ s

0 M P ( f )(x) +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

f t t x t tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R

(j J) s
0 [Ds f (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ
X = Rn , Y = Rp tt ừ ỵ tọ t tỗ

t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

ài M P gi (x) +

0 J Fx (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t tQ

ỵ x K Q õ ỡ s B sỷ tỗ t Q (B),

ài 0 (i I(x)), v j R (j J) tọ
0 [T (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

ỡ ỳ t C ỗ gi (i I(x)) M P tỹ ỗ t x tr C
h1 , . . . , h tỹ t t t x tr C õ x ỳ
ừ

q x K sỷ ỡ s B ừ Q t õ
tt ừ ỵ tọ tr õ Q (B) ữủ t t

tQ õ x s ỳ ừ
ởt ừ tố ữ ố ợ ỳ t
P ữủ t ữ s

ỵ sỷ x K B ởt ỡ s ừ Q ỳ tỗ t
Q (B) ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s
0 M P ( f )(x) +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

ỡ ỳ C ỗ f M P ỗ t x tr C gi

(i I(x)) M P tỹ ỗ t x tr C h1 , . . . , h tỹ t
t t x tr C õ x ỳ ừ P
r trữớ ủ f t t x t õ ỵ s




ỵ x K B ởt ỡ s ừ Q sỷ f t
t x tỗ t Q (B) ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

0 [Ds f (x)] +

ài M P gi (x) +

v j hj (x) + NC (x).
jL

iI(x)

ỡ ỳ C ỗ f ỗ t x tr C gi (i I(x))
M P tỹ ỗ t x tr C h1 , . . . , h tỹ t t t x tr

C õ x ỳ ừ P
r trữớ ủ X, Y ổ ỳ t õ ỵ s

ỵ sỷ X = Rn , Y = Rp x K sỷ ỡ s B ừ Q

õ tt tọ ỡ ỳ sỷ r
tỗ t Q (B), ài 0 (i I(x)), v j R (j J) s

ài M P gi (x) +

0 J f (x) +

v j hj (x) + NC (x);
jL

iI(x)

t C ỗ f C ỗ t x tr C gi (i I(x))

M P tỹ ỗ t x tr h1 , . . . , h tỹ t t t x tr C
õ x ỳ ừ P
ỡ ỳ ỡ s B ừ Q t õ t x s
ỳ ừ P




ữỡ

tố ữ t t
tự tỡ q ữợ
s rở
r ữỡ ú tổ tr t q tố ữ
ừ ỳ ừ t t tự tỡ
õ r ở õ ỗ r ở tự r ở t q ữợ

s rở ú ỵ r ỳ ữủ t
ởt õ ỗ õ ồ
ở ừ ữỡ ữủ tr ỹ ở ừ
[A3 ] tr ử ổ tr ổ ố
q tr t r r rt

ss



rt ỳ ừ
t t tự tỡ

sỷ X ổ X ổ tổổ ố ừ
ổ X sỷ C t õ tr X g h tữỡ ự
tứ X Rm Rl õ g = (g1 , ..., gm ), h = (h1 , ..., hl ) ợ

gi , hj (i I := {1, ..., m}, j L := {1, ..., l}) tr tỹ rở
tr X. sỷ g st ữỡ t x C S õ ỗ tr

Rm t t ủ
M = {x C : g(x) S, h(x) = 0}.




❉♦ S ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐ ✤❛ ❞✐➺♥ tr♦♥❣ Rm ✱ ♥➯♥ S ✤÷ñ❝ ✈✐➳t ❞÷î✐ ❞↕♥❣

S = {y ∈ Rm : ai , y ≥ 0, i = 1, ..., r} (ai ∈ Rm , i = 1, ..., r).

✭✸✳✶✮

✣➦t

gi (x) = − ai , g(x) (i = 1, ..., r).
❚ø ✭✸✳✶✮✱ t❛ ❝â

g(x) ∈ S ⇐⇒ gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r).
❉♦ ✈➟②✱ t➟♣ M ❝â ❞↕♥❣

M = {x ∈ C : gi (x) ≤ 0 (i = 1, ..., r), hj (x) = 0 (j = 1, ..., l)}.
❱î✐ x ∈ M ✱ t❛ ✤➦t

I(x) = {i ∈ {1, ..., r} : gi (x) = 0}.
●✐↔ sû L(X, Rp ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ tø X ✈➔♦ Rp ,
✈➔ T ❧➔ →♥❤ ①↕ tø X ✈➔♦ L(X, Rp )✳ ●✐↔ sû Q ❧➔ ♥â♥ ❧ç✐✱ ✤â♥❣✱ ♥❤å♥ tr♦♥❣ Rp
✈î✐ ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣✳
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭❲❱❱■✮✿ ❚➻♠ x ∈ M s❛♦ ❝❤♦

T (x)(y − x) ∈
/ −✐♥tQ (∀y ∈ M ).

✭✸✳✷✮

❱❡❝tì x ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❲❱❱■✮ ♥➳✉ ✭✸✳✷✮ t❤ä❛
♠➣♥✳ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✐♥t Q = Rp++ ✱ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❣❤✐➺♠ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ②➳✉ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ✭❲❱❱■✮ ❝â ❞↕♥❣✿ ❑❤æ♥❣ tç♥ t↕✐ y ∈ M s❛♦ ❝❤♦

T (x)k (y − x) < 0, ✈î✐ ♠å✐ k ∈ J := {1, . . . , p},
tr♦♥❣ ✤â T (x) = (T (x)1 , . . . , T (x)p ), T (x)k : X → R (∀k ∈ J), Rp++ = ✐♥t Rp+ ✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✸✳✶✳ ✣↕♦ ❤➔♠ ❉✐♥✐ ❞÷î✐ ✭t✳÷✳✱ tr➯♥✮ ❝õ❛ f t↕✐ x ∈ X t❤❡♦
♣❤÷ì♥❣ v ∈ X ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

fd− (x; υ) = lim inf
t↓0

t✳÷✳✱ fd+ (x; υ) = lim sup
t↓0

✶✺

f (x + tυ) − f (x)
,
t
f (x + tυ) − f (x)
.
t


f : X R ữủ ồ õ ữợ s rở tr
f (x) tữ ữợ f (x)) t x f (x) X tữ f (x) X t
õ ợ ồ X,

fd (x, )

x , ,

sup
x f (x)

(tữ fd+ (x, )

x , ).

inf

x

f (x)

õ f (x) X ồ ữợ s rở ừ f t x
õ ứ ữợ s rở tr ứ ữợ s rở ữợ ừ

f t x.

x C ồ q t ừ h
t C tỗ t số K > 0 > 0 s ợ ồ x C B(x; ),

dP (x) K

h(x) h(x) ,

tr õ P := {x C : h(x) = h(x)}, dP (x) tứ x P,

B(x; ) t x

tt h1 , . . . , hl st ữỡ t x ợ ộ j L
|hj | q t r t x ữợ s rở

hj ỷ tử tr t x gi (i I(x)) tử gi (i I(x)) õ ữợ
s rở tr gi (x) t x C ỗ
rt ỳ ừ t
ữủ t ữ s

ỵ sỷ x ỳ ừ t
ỳ x q t ừ h t C tọ tt
õ tỗ t 0 := (1 , . . . , p ) Q \ {0} ài 0 (i I(x)),

j R (j L) s +
0

= 1

ài gi (x) +

k T (x)k +
kJ

iI(x) ài

j hj (x) + NC (x) .
jL

iI(x)

ứ ỵ t s r ữủ ởt t q tr ỵ ừ
t t tự

tố ữ rsr ỳ
ừ t tự tỡ



rsr ừ t t
tự tỡ

q srrt ữủ t
ữ s ỗ t 0 TC (x) số ai > 0 (i I(x)) s
i , 0 ai (i gi (x), i I(x));
j , 0 = 0 (j hj (x), j L).
rsr ỳ ừ t
ữủ t ữ s

ỵ sỷ x ỳ ừ t tọ
tt ừ ỵ q õ
tỗ t = (1 , . . . , p ) Q \ {0}, ài 0 (i I(x)), j R (j L) s


0

ài gi (x) +

k T (x)k +
kJ

j hj (x) + NC (x) .
jL

iI(x)

ứ ỵ t s r ữủ ởt t q tr ỵ ừ
t t tự



ừ ỳ

ỵ sỷ x M
tỗ t = (1 , . . . , p ) Q \ {0} ài 0 (i I(x)), j R (j L)

s

0

ài gi (x) +

k T (x)k +
kJ

j hj (x) + NC (x) ;
jL

iI(x)

ộ gi tỹ ỗ t t x tr M (i I(x)) ộ hj

tỹ t t t t x tr M (j L) C ỗ
õ x ỳ ừ t




❈❤÷ì♥❣ ✹

✣✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉
❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥
s✉② rë♥❣
▲î♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✈❡❝tì ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❤ñ♣ r✐➯♥❣ q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❧î♣
❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈❡❝tì✳ ❈❤÷ì♥❣ ✹ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tè✐ ÷✉ ❝➛♥ ✈➔
✤õ ❝❤♦ ♥❣❤✐➺♠ ▲❯✕tè✐ ÷✉ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ❝â
r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ q✉❛ ❞÷î✐ ✈✐ ♣❤➙♥ s✉② rë♥❣ ✈î✐ ❝→❝
♥❣❤✐➺♠ ❧➔ ❝❤➼♥❤ q✉② t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ■♦❢❢❡ ✭✶✾✼✾✮✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ❧þ ✤è✐ ♥❣➝✉ ②➳✉ ✈➔
♠↕♥❤ ❦✐➸✉ ▼♦♥❞✕❲❡✐r ✈➔ ❲♦❧❢❡ ✤÷ñ❝ t❤✐➳t ❧➟♣✳
◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷ñ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❞ü❛ ✈➔♦ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❜➔✐ ❜→♦ ❝õ❛ ❉✳ ❱✳
▲✉✉ ✈➔ ❚✳ ❚✳ ▼❛✐ [A1 ] ✭tr♦♥❣ ❞❛♥❤ ♠ö❝ ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ✤➣ ❝æ♥❣ ❜è ❧✐➯♥ q✉❛♥
✤➳♥ ❧✉➟♥ →♥✮ ✤➠♥❣ tr♦♥❣ t↕♣ ❝❤➼ ✹❖❘ ✲ ❆ ◗✉❛rt❡r❧② ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❖♣❡r❛t✐♦♥s

❘❡s❡❛r❝❤✱ ✶✻ ✭✷✵✶✽✮✱ ◆♦ ✸✱ ✸✶✶✲✸✸✼ ✭❙❈■✲❊✮✳

✹✳✶

❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ❝â r➔♥❣ ❜✉ë❝

▼ö❝ ♥➔② ❞➔♥❤ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❜➔✐

t♦→♥ tè✐ ÷✉ ❣✐→ trà ❦❤♦↔♥❣ ❝â ❝→❝ r➔♥❣ ❜✉ë❝ ✤➥♥❣ t❤ù❝✱ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✈➔
r➔♥❣ ❜✉ë❝ t➟♣✳ ●å✐ T ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣ ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ R✳ ❱î✐

A = [a1 , a2 ] ∈ T , B = [b1 , b2 ] ∈ T , q✉❛♥ ❤➺ t❤ù tü ❜ë ♣❤➟♥ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤♦↔♥❣
✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿

A ≤I B ⇐⇒ a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 ,
A
✶✽


sỷ X ổ tỹ X ổ ố tổổ ừ

X F : X T õ ợ ộ x X, F (x) ởt õ
[F1 (x), F2 (x)] R ợ F1 , F2 tr X tọ
F1 (x) F2 (x) sỷ g, h tứ X Rm , R C t õ
tr X õ g = (g1 , . . . , gm ), h = (h1 , . . . , h ), ợ gi , hj
tr tỹ rở tr X (i I := {1, . . . , m}, j J := {1, . . . , })
t M := {x C : gi (x) 0, i I, hj (x) = 0, j L} t t tố ữ
tr õ r ở P
{F (x) : x M }.
ợ x M t t I(x) = {i I : gi (x) = 0}.

tỡ x M ữủ ồ tố ữ ữỡ
ừ P tỗ t > 0 s ổ tỗ t x M B(x; ) tọ

F (x) F (x) I F (x), F (x) = F (x).

tố ữ tố ữ ữỡ



rt tố ữ ữỡ

tt
F1 , F2 , h1 , . . . , h st ữỡ t x gi (i I(x))
tử C ỗ
Fk õ ữợ s rở Fk (x) (k = {1, 2}) gi õ
ữợ s rở tr gi (x)(i I(x)) t x.
|hj |(j L) q t r t x.

ỵ sỷ x tố ữ ữỡ ừ P x
q t ừ h t C ợ ộ j L, hj õ ữợ s
rở hj (x) t x tr ởt ừ x ữợ s rở

F1 , F2 , hj tr ỷ tử tr t x tọ
tt õ tỗ t k 0(k = 1, 2), ài 0 (i I(x)), j R(j L)




s 1 + 2 +

iI(x) ài

= 1

0 1 conv F1 (x) + 2 conv F2 (x)
ài conv gi (x) +

+

j conv hj (x) + NC (x) .
jL

iI(x)

ứ ỵ s r ởt q t P ổ õ r
ở tự

q sỷ x ỳ ữỡ ừ P ổ
õ r ở tự sỷ ữợ s rở F1 , F2 ,
ỷ tử tr t x tt ổ õ h ú õ tỗ
t k 0 (k = 1, 2), ài 0 (i I(x)) s 1 + 2 +

iI(x) ài

= 1

ài gi (x) + NC (x) .

0 1 F1 (x) + 2 F2 (x) +
iI(x)

ứ ỵ s r ởt q t t ừ t P tr
trữớ ủ X = Rn

rsr tố ữ
ữỡ

q srrt ữủ t
ữ s tỗ t 0 TC (x) số ai > 0 (i I(x)) s
i , 0 ai (i gi (x), i I(x));
j , 0 = 0 (j hj (x), j L).
ởt rsr tố ữ ữỡ
ữủ t ữ s

ỵ sỷ x tố ữ ữỡ ừ P tọ
tt ừ ỵ q õ tỗ
t k 0 (k = 1, 2) ợ 1 + 2 = 1, ài 0 (i I(x)), j R (j L)
s

0 1 conv F1 (x) + 2 conv F2 (x)
ài conv gi (x) +

+
iI(x)

j conv hj (x) + NC (x) .
jL

õ t tự s ừ tỷ r 0 t ữ
q srrt (CQ(s) 2) ỡ ữ s ỗ t

s {1, 2}, 0 TC (x) ai > 0 (i I(x)), bk > 0 (k {1, 2}, k = s) s
tọ ợ ữ s

i , 0 ai (i gi (x), i I(x)); k , 0 bk (k Fk (x),
k {1, 2}, k = s).

ỵ sỷ x tố ữ ữỡ ừ P tọ
tt ừ ỵ q (CQ(s) 2) s = 1, 2
õ tỗ t s > 0 (s = 1, 2), ài 0 (i I(x)), j R (j L) s

ài conv gi (x)

0 1 conv F1 (x) + 2 conv F2 (x) +
iI(x)

+

j conv hj (x) + NC (x) .
jL



ừ tố ữ ữỡ

ỵ sỷ x M s tọ
tỗ t k > 0 (k = 1, 2), ài 0 (i I(x)), j R (j L) s

0 1 F1 (x) + 2 F2 (x) +

ài gi (x)
iI(x)

j hj (x) + NC (x) ;

+
jL

ởt tr ữợ s rở tr Fk (x) (k = 1, 2) q

tr t x F := 1 F1 + 2 F2 ỗ t t x tr M

gi tỹ ỗ t t x tr M (i I(x)) hj tỹ t t t
t x tr M (j L); C ỗ õ x tố ữ ừ t
P



ố



ố r

t ố r P ừ t P ữủ
t ữ s

F (u) = [F1 (u), F2 (u)],
ợ r ở

0 1 F1 (u) + 2 F2 (u) +
+

jL j

iI(u) ài

gi (u)

hj (u) + NC (u) ,

ài gi (u) 0 (i I(u)), j hj (u) = 0 (j L), u C, k > 0 (k = 1, 2),
ài 0 (i I(u)), àr = 0 (r
/ I(u)), j R (j L).
ỵ ố t P t ố P
ữủ t ữ s

ỵ ố sỷ x (u, , à, ) tữỡ ự
ữủ ừ P P tọ s
F1 , F2 , ài gi (i I(u)), j hj (j L) õ ữợ s rở

tr tữỡ ự F1 (u), F2 (u), (ài gi )(u), (j hj )(u) t u ợ F1 (u)
F2 (u) q tr
1 F1 + 2 F2 ỗ t t u C ài gi tỹ ỗ t

t u C (i I(u)) j hj tỹ t t t t u C

(j L) C ỗ õ F (x) F (u)
t ỵ ố t P t ố
P ữủ t ữ s

ỵ ố sỷ x tố ữ ữỡ
ừ t P tọ tt ừ ỵ õ tỗ
t s > 0(s = 1, 2), ài 0 (i I(x)), j R (j L) s (x, , à, )
ữủ ừ t P tr ử t ừ
t P t x P t (x, , à, ) ỡ ỳ
tọ tt ừ ỵ t (x, , à, ) tố ữ
ừ t P

t ỵ ỵ tữỡ ự rở ừ
ỵ ỵ ừ s ở sỹ ố
r






ố

t ố P ừ t P ữủ t
ữ s

m

{F (u) +

j hj(u) },

ài gi (u) +
i=1

j=1

ợ r ở

0 (1 F1 (u) + 2 F2 (u)
+

iI(u) ài

gi (u) +

jL j

hj (u) + NC (u)),

u C, k > 0 (k = 1, 2), 1 + 2 = 1, ài 0 (i I(u)) àr = 0 (r
/ I(u)),
j R (j L).
ỵ ố t P t ố P
ữủ t ữ s

ỵ ố sỷ x (u, , à, ) tữỡ ự
ữủ ừ P P tọ

F1 , F2 , gi (i I(u)) ữủt õ ữợ s rở tr

tữ F1 (u), F2 (u), gi (u) (i I(u)) t u tr õ õ t t ởt
ữợ s rở q tr t u h1 , . . . , h
t ợ t tữ G h1 (u), . . . , G h (u)
1 F1 + 2 F2 +

C õ F (x) I F (u)

iI(u) ài gi +
j=1 j hj ỗ t
+ m
i=1 ài gi (u) +
j=1 j hj (u).

t u t

t ỵ ố t P t ố
P ữủ t ữ s

ỵ ố sỷ x tố ữ ữỡ
ừ P tt ừ ỵ tọ õ tỗ t

s > 0 (s = 1, 2), ài 0 (i I(x)), j R (j L) s (x, , à, )
ữủ ừ t P tr ử t ừ
t P P t x (x, , à, ) tữ ỡ
ỳ tọ tt ừ ỵ t (x, , à, ) tố
ữ ừ t P

t ỵ tữỡ ự rở ừ ỵ

ừ s ở sỹ ố