5 0 lý THUYẾT CHUNG VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Khảo sát một số hàm đa thức và hàm phân thức
y  ax 3  bx 2  cx  d  a �0 
1.1. Hàm số bậc ba
TRƯỜNG HỢP
a0
/
Phương trình y  0 có

a0

2 nghiệm phân biệt

/
Phương trình y  0 có
nghiệm kép

/
Phương trình y  0 vô
nghiệm

1.2. Hàm số trùng phương

y '  4ax  2bx  2 x  2ax  b 
3

+) Đạo hàm:

y  ax 4  bx 2  c
2

,

 a �0 
x0
�
y' 0 � � 2
2ax  b  0
�

ab  0
+) Để hàm số có 3 cực trị:
a0
�
�
b0
�
- Nếu
hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu
a0
�
�
b0
�
- Nếu
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
ab �0

+) Để hàm số có 1 cực trị

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 1


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

- Nếu

- Nếu
a0
�
�
b �0
�

a0
�
�
b �0
�

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

hàm số có 1 cực tiểu và không có cực đại

hàm số có 1 cực đại và không có cực tiểu

a0

TRƯỜNG HỢP
/
Phương trình y  0

a0

có
3 nghiệm phân biệt
(ab<0)

/
Phương trình y  0
có
1 nghiệm.

ax  b
cx  d
1.3. Hàm số nhất biến
�d�
D  R \ � �
�c
+) Tập xác định:
y

y
+) Đạo hàm:

 c �0, ad  bc �0 

ad  bc

 cx  d 

2

- Nếu ad  bc  0 hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 2 và 4.
- Nếu ad  bc  0 hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Đồ thị nằm góc phần tư 1 và 3.
d
a
y
c và TCN:
c
+) Đồ thị hàm số có: TCĐ:
�d a�
I�
 ; �
+) Đồ thị có tâm đối xứng: � c c �
x

D  ad  bc  0

D  ad  bc  0

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

2. Một số phép biến đổi đồ thị
2.1. Dạng 1
:y f  x.
 C  : y  f  x  suy ra đồ thị  C �
Từ đồ thị
�f  x  khi x �0
�
y f  x �
�f   x  khi x  0
Ta có:
y f  x
 C�
 nhận Oy làm trục đối xứng.
và
là hàm chẵn nên đồ thị
 C�
 từ  C  :
*8 Cách vẽ
 C  : y  f  x .
 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
 C  , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.
 Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của

 C  : y  f  x   x3  3x suy
Ví dụ: Từ đồ thị
3

C�
: y  x 3 x


ra đồ thị
.
 C :
Biến đổi
 C  bên trái Oy,
 Bỏ phần đồ thị của
 C  bên phải Oy.
giữ nguyên
 Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ
qua Oy .

 C  : y  x3  3x

 C � : y  x

3

 3x

2.2. Dạng 2

 : y  f  x
 C  : y  f  x  suy ra đồ thị  C �
khi f  x  �0
�
�f  x 

y  f  x  �
 f  x  khi f  x   0
�
Ta có:
 C�
 từ  C  :
* Cách vẽ
Từ đồ thị

.

y  f  x
 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):
.
 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Ví dụ: Từ đồ thị
y  x3  3x
thị
.
 C :
Biến đổi



 C  : y  f  x   x3  3x

suy ra đồ

 C�
:y

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm
x3  3 x

 C : y  x

3

 3x

 C  dưới Ox, giữ
Bỏ phần đồ thị của
 C  phía trên Ox.
nguyên
Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .

3
�
y  dạng:
x  3 yx f  x  ta lần lượt biến đổi 2 đồ thị y  f  x  và y  f  x 
 C�
 ý: với
Chú

 C  : y  f  x   x3  3x suy ra đồ
Ví dụ: Từ đồ thị
3

 C  để được đồ thị
thị
. Biến đổi
3
3
 C�
 : y  x  3 x . Biến đổi  C �
 : y  x  3 x ta
3
�
 C�
 : y  x 3 x
được đồ thị
.
y  x 3 x

2.3. Dạng 3

 : y  u  x  .v  x  .
 C  : y  u  x  .v  x  suy ra đồ thị  C �
u  x  .v  x   f  x 
khi u  x  �0
�
�
y  u  x  .v  x   �
u  x  .v  x   f  x  khi u  x   0

�
Ta có:
 C�
 từ  C  :
* Cách vẽ
Từ đồ thị

u  x  �0
 C  : y  f  x .
 Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
của đồ thị
u  x  0
 C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
 Bỏ phần đồ thị trên miền
của
Ví dụ
x
 C  : y  f  x   2 x3  3x 2  1 suy ra đồ
 C  : y  f  x 
a) Từ đồ thị
x  1 suy ra đồ thị
b) Từ đồ thị
C�
: y  x  1  2 x 2  x  1


thị
x
 C�
:y

x 1
�
�f  x  khi x �1
y  x  1  2 x 2  x  1  �
 f  x  khi x  1
�
Đồ thị (C’):
 Giữ nguyên (C) với x �1 .
 Bỏ (C) với x  1 . Lấy đối xứng phần đồ
thị bị bỏ qua Ox.

�x
khi x � 1; �
�
x
�x  1
y
�
.
x 1 � x

khi x � �;1
� x 1
Đồ
thị
(C’):
 C  với x  1, giữ
 Bỏ phần đồ thị của
 C  với x  1.
nguyên

 Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Hàm Số Và Ứng Dụng Đạo Hàm

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy đối
xứng các đường tiệm cận để thực hiện phép suy
Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ thị đồ thị một cách tương đối chính xác.
nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C): giao
điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

File Word liên hệ: 0978064165 - Email:
Facebook: />
Trang 5