Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa co suy rộng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

▲➊ ✣➐◆❍ ◗❯Ý◆❍

✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈Õ❆ ⑩◆❍ ❳❸ ◆Û❆ ❚Ü❆ ❈❖
❙❯❨ ❘❐◆● ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆

❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

▲➊ ✣➐◆❍ ◗❯Ý◆❍
✣➚◆❍ ▲Þ ✣■➎▼ ❇❻❚ ✣❐◆● ❈Õ❆ ⑩◆❍ ❳❸ ◆Û❆ ❚Ü❆ ❈❖
❙❯❨ ❘❐◆● ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆●
◆❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✽✹✻✵✶✵✷

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈
◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❇Ò■ ❚❍➌ ❍Ò◆●

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ✷✵✶✾

▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♠å✐
sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣
t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾

◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥

▲➯ ✣➻♥❤ ◗✉ý♥❤
❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ tr÷ð♥❣ ❦❤♦❛ ❚♦→♥

❳→❝ ♥❤➟♥
❝õ❛ ♥❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ❇ò✐ ❚❤➳ ❍ò♥❣

✐


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tæ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚❙✳ ❇ò✐ ❚❤➳ ❍ò♥❣✱ ♥❣÷í✐ t❤➛② t➟♥ t➻♥❤ ❤÷î♥❣ ❞➝♥
tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✤➸ tæ✐ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥
♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ❦❤♦❛ ❚♦→♥ ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸
❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ tr÷í♥❣ ✣❍❙P ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ tr✉②➲♥ t❤ö ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣
❦✐➳♥ t❤ù❝ q✉❛♥ trå♥❣✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥ ❧ñ✐ ✈➔ ❝❤♦ tæ✐ ♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣
❣â♣ q✉þ ❜→✉ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❇↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ s➩ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ ❦❤✐➳♠ ❦❤✉②➳t ✈➻

✈➟② r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ sü ✤â♥❣ ❣â♣ þ ❦✐➳♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❣✐→♦ ✈➔ ❝→❝
❜↕♥ ❤å❝ ✈✐➯♥ ✤➸ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ ❝❤➾♥❤ ❤ì♥✳
❈✉è✐ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ ✈➔ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥✱ ❦❤➼❝❤ ❧➺ tæ✐
tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾

❚→❝ ❣✐↔

▲➯ ✣➻♥❤ ◗✉ý♥❤

✐✐


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳

✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✷✳ ❙ü ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✹✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐
✐✐
✐✈
✶

✸
✸
✹
✻
✻

❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♥û❛ tü❛ ❝♦ s✉②
rë♥❣ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺
✷✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ t❤❡♦ q✉ÿ ✤↕♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tü❛ ❝♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✸✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tü❛ ❝♦ s✉② rë♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✹✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ♥û❛ tü❛ ❝♦ s✉② rë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✺✳ Ù♥❣ ❞ö♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✺
✶✻
✷✶
✷✺
✸✶

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✹
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

✐✐✐


▼ët sè ❦þ ❤✐➺✉ ✈➔ ✈✐➳t t➢t
N
N∗
R

R+
C

{xn }
∅
A∪B
A×B
(X, d)
O(x; ∞)
B(S)
✷

t➟♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥
t➟♣ ❝→❝ sè tü ♥❤✐➯♥ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣
t➟♣ ❝→❝ sè t❤ü❝
t➟♣ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠
t➟♣ ❝→❝ sè ♣❤ù❝
❞➣② sè
t➟♣ ré♥❣
❤ñ♣ ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B
t➼❝❤ ❉❡s❝❛rt❡s ❝õ❛ ❤❛✐ t➟♣ ❤ñ♣ A ✈➔ B
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝
q✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T t↕✐ ✤✐➸♠ x
t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❤➔♠ t❤ü❝ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ S ✈î✐ ❝❤✉➞♥ s✉♣r❡♠✉♠
❦➳t t❤ó❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

✐✈

ỵ tt t ở ự ử ỹ ự
ừ t ồ ỹ t út ữủ sỹ q
t ừ rt t ồ tr ữợ ỵ tt t
ở ởt ổ ử q trồ ự tữủ t
t õ õ ự ử tr ỹ ừ
ồ ữ sỹ tỗ t ừ ữỡ tr t ữỡ
tr t t ữỡ tr q õ ừ ở ỹ
ỡ ỳ õ ỏ õ ự ử tr ồ ữ
ồ t ỵ tt ỵ tt trỏ ỡ t ỵ t
s ồ t ỹ t tr ừ ỵ tt t ở
õ t õ t ỗ tứ ỳ ự ử rở r ừ õ
ỵ tr t ừ ỵ tt t ở
tr ổ tr ỹ r ớ ừ ỵ ũ
ợ ự ử ừ õ r sỹ t tr ợ ừ ởt ỵ tt
t ở tr ỵ tt t ở tr t tr ừ t
s rở rở
ỵ t ở t ổ õ trú tữỡ tỹ
ổ tr t ự ử ừ ú ố ợ
rở ừ ú t t ữủ ỳ ợ
t ữủ ữ ừ Pt sr Ps
t Prs s sr
r ự ỵ t ở tỹ tr
ổ tr T ừ t q
tttrt ự ỵ t ở



tỹ s rở tr ổ tr T ừ t q t q
rở t q ừ r Pt ự
ỵ t ở ỷ tỹ s rở tr ổ

tr T ừ t q t q rở t q ừ
r tttrt
ử ừ ợ t ởt số t q ự ừ
t r tttrt Pt
ỵ t ở tỹ tỹ s rở ỷ tỹ
s rở tr ổ tr T ừ t q
ỗ ữỡ ở t
t t
ữỡ ú tổ tr ổ tr
ỵ r ú tổ ỏ tr ởt số rở
ỡ ừ ỵ
ữỡ tr ổ tr
ừ t q ởt số ỵ t ở tỹ tỹ
s rở ỷ tỹ s rở tr ổ tr ừ t
q r ởt ự ử t q ở ụ ữủ
tr tr ữỡ




❈❤÷ì♥❣ ✶
✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
❝♦ ❇❛♥❛❝❤
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♠❡tr✐❝ ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✈➔ ♠ët sè ❜✐➳♥ t❤➸ ❝õ❛ ♥â✳

✶✳✶✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ö
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû X ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ❍➔♠ d : X × X → R

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠❡tr✐❝ tr➯♥ X ♥➳✉ t❤ä❛ ♠➣♥
✭✐✮ d(x, y) ≥ 0 ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X ✈➔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y.
✭✐✐✮ d(x, y) = d(y, x) ✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ X.
✭✐✐✐✮ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ✈î✐ ♠å✐ x, y, z ∈ X.
❑❤✐ ✤â ❝➦♣ (X, d) ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❚r➯♥ C[0,1]✱ ①➨t ❤➔♠ sè d : C[0,1] × C[0,1] → R ❜ð✐
1

|x(t) − y(t)|dt,

d(x, y) =
0

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C[0,1].

❚❛ ❝â
1

|x(t) − y(t)|dt ≥ 0,

d(x, y) =
0

●✐↔ sû

✈î✐ ♠å✐ x, y ∈ C[0,1].

1

|x(t) − y(t)|dt = 0.

d(x, y) =
0

✸


✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
x(t) = y(t),

✈î✐ ♠å✐ t ∈ [0, 1].

✣✐➲✉ ♥➔② ❝❤ù♥❣ tä x = y✳ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❧↕✐ ❝â
1

|x(t) − y(t)|dt

d(x, y) =
0
1

|x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|dt

=
0
1

≤

1

|x(t) − z(t)|dt +
0

|z(t) − y(t)|dt
0

= d(x, z) + d(z, y).

✈î✐ ♠å✐ x, y, z ∈ C[0,1]. ❱➟② tr♦♥❣ (C[0,1], d) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳

✶✳✷✳ ❙ü ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ (X, d) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✱ {xn} ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝
♣❤➛♥ tû ❝õ❛ X ✱ t❛ ♥â✐ {xn} ❤ë✐ tö ✤➳♥ z ∈ X ♥➳✉
lim d(xn , z) = 0.

n→∞

❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ n→∞
lim xn = z ❤♦➦❝ xn → z ❦❤✐ n → ∞✳

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✷✳✷✳ ●✐↔ sû (X, d) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❑❤✐ ✤â

✭✐✮ ●✐î✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ✭♥➳✉ ❝â✮ ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳
✭✐✐✮ ◆➳✉ n→∞
lim xn = a; lim yn = b t❤➻ lim d(xn , yn ) = d(a, b)✳
n→∞
n→∞

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✭✐✮ ❚r♦♥❣ X ❣✐↔ sû n→∞
lim xn = a; lim yn = b ✳ ❚❛ ❝â
n→∞
d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b)

✈î✐ ♠å✐ n.

❈❤♦ n → ∞ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ d(a, b) = 0✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ a = b.
✭✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ n t❛ ✤➲✉ ❝â
d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b).
✹


❙✉② r❛
d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).

❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝ô♥❣ ❝â
d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).

❑➳t ❤ñ♣ ❤❛✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ t❛ ✤÷ñ❝
|d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b).

❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ n→∞
lim d(xn , a) = lim d(yn , b) = 0✳ ❚ø ✤â s✉② r❛
n→∞
lim d(xn , yn ) = d(a, b).

n→∞

✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✸✳ ❈❤♦ X = R ❤♦➦❝ C ✈î✐ ♠❡tr✐❝ d(x, y) = |x − y|✱ t❛ ❝â✿
lim xn = a ⇔ lim |xn − a| = 0.

n→∞

n→∞

(k) ∞
n
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✹✳ ❈❤♦ ❞➣② {x(k) = (x(k)
1 , ..., xn )}k=1 tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ R ✈î✐
(0)
❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❊✉❝❧✐❞❡ ✈➔ x(0) = (x(0)
1 , ..., xn ) ∈ R. ❑❤✐ ✤â
n
(k)

lim x

k→∞

=x

(0)

(k)

k→∞

(0)

1

|xi − xi |2 ) 2 = 0

⇔ lim (
i=1

✈î✐ ♠å✐ i = 1, ..., n.
❚❛ t❤÷í♥❣ ❣å✐ sü ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn ❧➔ sü ❤ë✐ tö t❤❡♦ tå❛ ✤ë✳
(k)

(0)

⇔ lim xi = xi ,
k→∞

L
❱➼ ❞ö ✶✳✷✳✺✳ ❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ C[a,b]
, ❞➣② ❤➔♠ sè {xn }∞
n=1 ❤ë✐ tö ✤➳♥ ❤➔♠

sè x0 ∈ C[a,b] ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔

b

|xn (t) − x0 (t)|dt → 0.

d(xn , x0 ) =
a

❙ü ❤ë✐ tö ♥➔② ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tö tr✉♥❣ ❜➻♥❤✳
✺


✶✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✶✳ ●✐↔ sû (X, d) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝✳ ❉➣② {xn} ❝→❝ ♣❤➛♥
tû ❝õ❛ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ✭❝ì ❜↔♥ ✮ ♥➳✉ m,n→∞
lim d(xm , xn ) = 0✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝
✤➛② ✤õ ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ X ✤➲✉ ❤ë✐ tö tr♦♥❣ ♥â✳

❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✸✳ R, C ✈î✐ ♠❡tr✐❝ tü ♥❤✐➯♥ ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ✳
❱➼ ❞ö ✶✳✸✳✹✳ Rn ✈î✐ ♠❡tr✐❝ ❊✉❝❧✐❞❡ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ✳
(k)
●✐↔ sû {x(k) = (x(k)
1 , ..., xn )}, k = 1, 2, .... ❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤②
tr♦♥❣ Rn. ❑❤✐ ✤â m,k→∞
lim d(x(k) , x(m) ) = 0, tù❝ ❧➔

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

n

xi (k) − xi (m)

lim

m,k→∞

2

= 0.

i=1

✣✐➲✉ ♥➔② t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐
lim

m,k→∞

xi (k) − xi (m) = 0

✈î✐ ♠å✐ i ∈ {1, 2, ..., n}.

◆❤÷ ✈➟②✱ ✈î✐ ♠é✐ i ∈ {1, 2, ..., n}, ❞➣② {x(k)
i } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣
(0)
(0)
(0)
R ♥➯♥ ♥â s➩ ❤ë✐ tö ✈➲ ♠ët ♣❤➛♥ tû xi ∈ R✳ ✣➦t x(0) = (x1 , ..., xn ).
❑❤✐ ✤â x(0) ∈ Rn. ❱➻ sü ❤ë✐ tö tr♦♥❣ Rn ❧➔ ❤ë✐ tö t❤❡♦ tå❛ ✤ë ♥➯♥ t❛ ❝â
lim x(k) = x(0) . ❱➟② Rn ❧➔ ✤➛② ✤õ✳
k→∞

✶✳✹✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳✶✳ ✣✐➸♠ x0 ∈ X ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
T :X→X

♥➳✉ T x0 = x0.

✣à♥❤ ❧þ ❞÷î✐ ✤➙② ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦
❇❛♥❛❝❤ ✭✶✾✷✷✮✳
✻


ỵ sỷ (X, d) ổ tr ừ
T :XX

tọ s

d(T x, T y) rd(x, y),
tr õ

r [0, 1) số õ T

ỡ ỳ ợ ộ

ợ ồ

x, y X,

õ t ở t

x X.

x X, lim T n x = x .
n

x0 X ố ỹ {xn}n1 ổ
tự xn = T xn1 ợ ồ n 1 õ

ự

d(x1 , x2 ) = d(T x0 , T x1 ) rd(x0 , x1 ).
d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) rd(x1 , x2 ) r2 d(x0 , x1 ).

q t ự ữủ
d(xn , xn+1 ) rn d(x0 , x1 )

ợ ồ n 1.

t
d(xn , xn+p ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xn+p1 , xn+p )
rn d(x0 , x1 ) + rn+1 d(x0 , x1 ) + ... + rn+p1 d(x0 , x1 )
(rn + rn+1 + ... + rn+p1 )d(x0 , x1 )
rn
d(x0 , x1 ) 0 n .

1r

ứ õ s r n
lim d(xn , xn+p ) = 0 ợ ồ p.
{xn} tr X X ừ tỗ t ởt
tỷ x X s n
lim xn = x . T tử

x = lim xn+1 = lim T xn = T ( lim xn ) = T x .
n

n

n

x t ở ừ T t tú t s ự x
t t sỷ y ởt t ở ừ T õ t
õ
d(x , y ) = d(T x , T y ) rd(x , y ).

r d(x, y) = 0 x = y



ỵ sỷ (X, d) ổ tr t
T :XX

tọ s

d(T x, T y) < d(x, y),
õ

T

ợ ồ

x, y X, x = y.

x X.

õ t ở t

ợ ộ x0 X t ỹ {xn} X ổ tự
ợ ồ n 1 t dn = d(xn, xn+1). õ

ự

xn = T n x0 ,

dn+1 = d(xn+1 , xn+2 ) = d(T xn , T xn+1 ) d(xn , xn+1 ) = dn .

{dn} ỡ ữợ 0 tỗ t d R s
n
lim dn = d t X t tỗ t {xn }
ừ {xn} x X s i
lim xn = x õ t õ
i

i

d(T xni , T x ) d(xni , x ), i = 1, 2, ....

i
lim d(xn , x ) = 0 lim d(T xn , T x ) = 0 t
i
i

i

lim T xni = T x

n



lim T 2 xni = T 2 x .

n

ứ õ s r
lim d(T xni , xni ) = d(T x , x ),

i

lim d(T 2 xni , T xni ) = d(T 2 x , T x ).

i

ự tọ d(T xn , xn ) = dn d = d(T x, x)(i ).
s ự r T x = x sỷ T x = x õ d = 0 ỡ
ỳ t õ
i

i

i

d = d(T x , x ) > d(T 2 x , T x )

= lim d(T 2 xni , T xni )
i

= lim dni +1
i


=d .

t T x = x x t ở ừ T
t t ở ừ T



ỵ sỷ (X, d) ổ tr ừ
T :XX

tọ s

d(T x, T y) r(d(T x, x) + d(T y, y)),
tr õ

r [0, 12 ) số õ T

ỡ ỳ ợ ộ

x X

t õ

ợ ồ

x, y X,

õ t ở t

x X

lim T n x = x

n

ợ ộ x0 X t ỹ {xn} X ổ tự
xn = T n x0 ợ ồ n 1 õ t õ

ự

d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn1 )
r(d(T xn , xn ) + d(T xn1 , xn1 ))
= r(d(xn+1 , xn ) + d(xn , xn1 )).

ứ õ s r
d(xn+1 , xn )

r
d(xn , xn1 ) = hd(xn , xn1 ),
1r

h = 1 r r .

ợ m > n t õ
d(xn , xm ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm1 , xm )
(hn + hn+1 + ... + hm1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) 0 n .

1h

r n,m
lim d(xn , xm ) = 0. {xn } tr X X
ừ tỗ t x X s n
lim xn = x t tứ t tự
d(T x , x ) d(T xn , T x ) + d(T xn , x )
r(d(T xn , xn ) + d(T x , x )) + d(xn+1 , x ).

r
d(T x , x )

1
(rd(xn+1 , xn ) + d(xn+1 , x )) 0
1r



n .


t d(T x, x) = 0. ự T x = x x ởt
t ở ừ T
sỷ tỗ t y X s T y = y õ t õ

d(x , y ) = d(T x , T y ) r(d(x , x ) + d(y , y )) = 0.

r x = y x t ở ừ t ừ T

ỵ sỷ (X, d) ổ tr ừ
T :XX

tọ s

d(T x, T y) r(d(T x, y) + d(T y, x)),
tr õ

r [0, 12 ) số õ T

ỡ ỳ ợ ộ

x, y X,

õ t ở t

x X

x X lim T n x = x
n

ợ x0 X t ỹ
ợ ồ n 1. õ t õ

ự

xn = T n x0 ,

ợ ồ

{xn } X

ổ tự

d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn1 )
r(d(T xn , xn1 ) + d(T xn1 , xn ))
= rd(xn+1 , xn1 )
r(d(xn+1 , xn ) + d(xn1 , xn ))

ứ õ s r
d(xn+1 , xn )

r
d(xn , xn1 ) = hd(xn , xn1 ),
1r

h = 1 r r .

ợ m > n t õ
d(xn , xm ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm1 , xm )
(hn + hn+1 + ... + hm1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) 0 n .

1h

r n,m
lim d(xn , xm ) = 0 {xn } tr X X
ừ tỗ t x X s n
lim xn = x . t tứ t tự
d(T x , x ) d(T xn , T x ) + d(T xn , x )
r(d(T xn , x ) + d(T x , xn )) + d(xn+1 , x )
r(d(xn+1 , x ) + d(T x , xn )) + d(xn+1 , x ).

r
d(T x , x )

1
(r(d(T xn , x ) + d(xn+1 , x )) + d(xn+1 , x )).
1r

n t t ữủ d(T x, x) = 0. ự T x = x x ởt
t ở ừ T
sỷ tỗ t y X s T y = y õ t õ
d(x , y ) = d(T x , T y )
r(d(T x , y ) + d(T y , x ))
= 2rd(x , y ).

r [0, 21 ) d(x, y) = 0 t x = y. x
t ở t ừ T

ỵ sỷ (X, d) ổ tr ừ
T :XX

tọ s

d(T x, T y) r max{d(T x, x); d(T y, y)}
tr õ

r [0, 1) số õ T

ỡ ỳ ợ ộ

x X

t õ

ợ ồ

x, y X,

õ t ở t

x X

lim T n x = x

n

ợ ộ x0 X t ỹ {xn} X ổ tự
xn = T n x0 ợ ồ n 1 tỗ t n N s xn+1 = xn t xn
t ở ừ T. sỷ xn+1 = xn ợ ồ n N

ự

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn−1 )
≤ r max{d(T xn , xn ); d(T xn−1 , xn−1 )}
= r max{d(xn+1 , xn ); d(xn , xn−1 )}
= rd(xn , xn−1 ).

❇➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛ s✉② r❛
d(xn+1 , xn ) ≤ rn d(x1 , x0 ),

✈î✐ ♠å✐ n ∈ N.

❱î✐ m > n t❛ ❝â
d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm−1 , xm )
≤ (rn + rn+1 + ... + rm−1 )d(x1 , x0 )
rn
≤
d(x1 , x0 ) → 0 ❦❤✐ n → ∞.
1−r

❙✉② r❛ n,m→∞
lim d(xn , xm ) = 0. ❱➟② {xn } ❧➔ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ X ✳ ❱➻ X ✤➛②
✤õ✱ tç♥ t↕✐ x∗ ∈ X s❛♦ ❝❤♦ n→∞
lim xn = x∗ ✳ ▼➦t ❦❤→❝ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝
d(T x∗ , x∗ ) ≤ d(T xn , T x∗ ) + d(T xn , x∗ )
≤ r max{d(T xn , xn ); d(T x∗ , x∗ )} + d(xn+1 , x∗ )
= r max{d(xn+1 , xn ); d(T x∗ , x∗ )} + d(xn+1 , x∗ ).

❈❤♦ n → ∞✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
d(T x∗ , x∗ ) ≤ rd(T x∗ , x∗ )

✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ d(T x∗, x∗) = 0. ❚ù❝ ❧➔ T x∗ = x∗✳ ❱➟② x∗ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✳
●✐↔ sû tç♥ t↕✐ y∗ ∈ X s❛♦ ❝❤♦ T y∗ = y∗✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r max{d(T x∗ , x∗ ); d(T y ∗ , y ∗ )} = 0.

❙✉② r❛ x∗ = y∗✳ ❱➟② x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ T ✳
✶✷


ỵ sỷ (X, d) ổ tr ừ
T :XX

tọ s

d(T x, T y) r max{d(T x, y); d(T y, x)}
tr õ

r [0, 21 ) số õ T

ỡ ỳ ợ ộ

x X

t õ

ợ ồ

x, y X,

õ t ở t

x X

lim T n x = x

n

ợ ộ x0 X t ỹ {xn} X ổ tự
xn = T n x0 ợ ồ n 1 õ t õ

ự

d(xn+1 , xn ) = d(T xn , T xn1 )
r max{d(T xn , xn1 ); d(T xn1 , xn )}
= rd(xn1 , xn+1 )
r(d(xn1 , xn ) + d(xn , xn+1 )).

ứ õ s r
d(xn+1 , xn )

r
d(xn , xn1 ) = hd(xn , xn1 ),
1r

h = 1 r r .

q t s r
d(xn+1 , xn ) hn d(x1 , x0 ),

ợ ồ n N.

ợ m > n t õ
d(xn , xm ) d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + ... + d(xm1 , xm )
(hn + hn+1 + ... + hm1 )d(x1 , x0 )
hn
d(x1 , x0 ) 0 n .

1h

r n,m
lim d(xn , xm ) = 0. {xn } tr X X
ừ tỗ t x X s n
lim xn = x t tứ t tự
d(T x , x ) d(T xn , T x ) + d(T xn , x )
r max{d(T xn , x ); d(T x , xn )} + d(xn+1 , x )
= r max{d(xn+1 , x ); d(T x , xn )} + d(xn+1 , x ).



❈❤♦ n → ∞✱ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝
d(T x∗ , x∗ ) ≤ rd(T x∗ , x∗ )

✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ d(T x∗, x∗) = 0. ❚ù❝ ❧➔ T x∗ = x∗✳ ❱➟② x∗ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠
❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✳
●✐↔ sû tç♥ t↕✐ y∗ ∈ X s❛♦ ❝❤♦ T y∗ = y∗✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ r max{d(T x∗ , y ∗ ); d(x∗ , T y ∗ )} = rd(x∗ , y ∗ ).

❙✉② r❛ x∗ = y∗✳ ❱➟② x∗ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ T ✳

✶✹


❈❤÷ì♥❣ ✷
✣à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕
♥û❛ tü❛ ❝♦ s✉② rë♥❣ ✈➔ ù♥❣ ❞ö♥❣
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✤à♥❤ ❧þ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛
→♥❤ ①↕ tü❛ ❝♦✱ ♥û❛ tü❛ ❝♦ ✈➔ ♥û❛ tü❛ ❝♦ s✉② rë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝
✤➛② ✤õ t❤❡♦ q✉ÿ ✤↕♦✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ❝á♥ tr➻♥❤ ❜➔② ù♥❣ ❞ö♥❣ ✈➔♦ ❜➔✐
t♦→♥ q✉② ❤♦↕❝❤ ✤ë♥❣✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➼❝❤
tø ❝→❝ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ❬✶❪✱ ❬✷❪ ✈➔ ❬✹❪✳

✷✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ t❤❡♦ q✉ÿ ✤↕♦
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû (X, d) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✈➔ →♥❤ ①↕ T
X → X✳

❱î✐ ♠é✐ x ∈ X ✈➔ n ∈ N✱ t❛ ❦➼ ❤✐➺✉

O(x; n) = {x, T x, ..., T n x}

:

✈➔ O(x; ∞) = {x, T x, ..., T nx, ...}.

❚➟♣ O(x; ∞) ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ q✉ÿ ✤↕♦ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ (X, d)
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ T ✲ ✤➛② ✤õ t❤❡♦ q✉ÿ ✤↕♦ ♥➳✉ ♠å✐ ❞➣② ❈❛✉❝❤② tr♦♥❣ O(x; ∞)
✤➲✉ ❤ë✐ tö tr♦♥❣ X.

◆❤➟♥ ①➨t✳ ▼å✐ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✤➲✉ ❧➔ T ✲ ✤➛② ✤õ t❤❡♦ q✉ÿ ✤↕♦✳
✣✐➲✉ ♥❣÷ñ❝ ❧↕✐ ❦❤æ♥❣ ✤ó♥❣✳ ❱➼ ❞ö s❛✉ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤â✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ ❦❤æ♥❣ ✤➛② ✤õ ✈➔ x0 ∈ X

❝❤♦ tr÷î❝✳ ❳➨t →♥❤ ①↕ T : X → X ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ T x = x0 ✈î✐ ♠å✐ x ∈ X ✳
❑❤✐ ✤â X ❧➔ T ✲ ✤➛② ✤õ t❤❡♦ q✉ÿ ✤↕♦✳
✶✺


ữớ ừ O(xk ; n) ữủ [O(xk ; n)]


[O(xk ; n)] :=

sup

d(x, y).

x,yO(xk ;n)

ỵ t ở ừ tỹ
t q ừ ữủ tr tứ ổ tr
sỷ (X, d) ổ tr õ r
T : X X tỹ tỗ t số r [0; 1) s
d(T x, T y) rM (x, y) ợ ồ x, y X,

M (x, y) = max{d(x, y); d(x, T x); d(y, T y); d(x, T y); d(y, T x)}. ố
r > 0 ọ t tọ ữủ ồ số tỹ ừ T.

ờ sỷ T
ổ tr
ộ

xX

: X X

(X, d)



n

tỹ ợ số

r

tr

số ữỡ trữợ õ ợ

số ữỡ

i, j {1, 2, ..., n}

t ổ õ

d(T i x, T j x) r[O(x; n)].

ú ỵ r T i1x, T ix, T j1x, T j x
i, j {1, 2, ..., n} T tỹ
ự

O(x; n)

ợ ồ

d(T i x, T j x) = d(T T i1 x, T T j1 x)
r max{d(T i1 x, T j1 x); d(T i1 x, T i x); d(T j1 x, T j x);
d(T i1 x, T j x); d(T i x, T j1 x)}
r[O(x; n)].

ờ sỷ T
ổ tr
t

j {1, 2, ..., n}

: X X

(X, d)

tỹ ợ số

õ

[O(x; n)] > 0

s

[O(x; n)] = d(x, T j x).


ợ

n N

r

tr

t tỗ


ự

ờ ợ x X 1 i, j n t õ
d(T i x, T j x) r[O(x; n)],

[O(x; n)] = max{d(T ix, T j x) : 0 i, j n} ứ [O(x; n)]
0 r < 1 tỗ t j {1, 2, ..., n} s

>0



d(x, T j x) = [O(x; n)].

ờ ữủ ự

ờ sỷ T
ổ tr

(X, d)

: X X


[O(x; )]
ự

tỹ ợ số

[O(x; n)] > 0
1
d(x, T x)
1r

ợ ồ

ợ ồ

n N

r

tr

õ

x X.

x X tũ ỵ [O(x; 1)] [O(x; 2)] ...
[O(x; )] = sup [O(x; n)].
n1

ờ ợ ộ n ữỡ tỗ t k {1, 2, ..., n} s

d(x, T k x) = [O(x; n)].

t t ờ t õ
d(x, T k x) d(x, T x) + d(T x, T k x)
d(x, T x) + r[O(x; n)]
= d(x, T x) + rd(x, T k x).

õ
[O(x; n)] = d(x, T k x)

1
d(x, T x)
1r

ợ ồ n N.

ứ õ s r
[O(x; )]

1

d(x, T x)
1r



ợ ồ x X.


ỵ sỷ (X, d) ổ tr T ừ t q


T :XX

tỹ ợ số

r

õ

T õ t ở t z X
n
lim T n x = z ợ ồ x X
r
d(x, T x) ợ ồ x X n N
d(T nx, z) 1r
n

ợ x X, tỗ t n N s [O(x; n)] = 0 t
x = T x. ự tọ x t ở ừ T.
t trữớ ủ [O(x; n)] > 0 ợ ồ n N ợ m > n tũ ỵ t

ờ t õ
ự

d(T n x, T m x) = d(T T n1 x, T mn+1 T n1 x)
r[O(T n1 x; m n + 1)].



ờ t õ t ồ số ữỡ k {1, 2, ..., m n + 1}
s
[O(T n1 x; m n + 1)] = d(T n1 x, T k T n1 x).



ỷ ử ờ ởt ỳ t t ữủ
d(T n1 x, T k T n1 x) = d(T T n2 x, T k+1 T n2 x)
r[O(T n2 x; k + 1)]
r[O(T n2 x; m n + 2)].



ứ t ữủ
d(T n x, T m x) r2 [O(T n2 x; m n + 2)].

tr tr ự t t t t ữủ
d(T n x, T m x) rn [O(x; m)]

ợ m > n.

t tự ờ t

d(T n x, T m x)

rn
d(x, T x)
1r


ợ m > n.




r [0, 1)

rn
d(x, T x) = 0.
n 1 r
lim

ứ õ s r

lim d(T n x, T m x) = 0.

n,m

{T nx} tr X X T ừ t q
tỗ t z X s n
lim T n x = z. ự z = T z t t
õ
d(z, T z) d(z, T n+1 x) + d(T T n x, T z)

d(z, T n+1 x) + r max{d(T n x, z); d(T n x, T n+1 x); d(z, T z);
d(T n x, T z); d(T n+1 x, z)}
d(z, T n+1 x) + r[d(T n x, z) + d(T n x, T n+1 x) + d(z, T z)
+ d(T n+1 x, z)],

ợ ồ n N ứ õ s r
d(z, T z)

1
[(1 + r)d(z, T n+1 x) + rd(z, T n x) + rd(T n x, T n+1 x)],
1r

ợ ồ n N n t t ữủ z = T z z t ở
ừ T ớ sỷ w t ở ừ T T tỹ
d(T w, T z) r max{d(w, z), d(w, T w), d(z, T z), d(w, T z), d(z, T w)}.

t d(w, z) rd(w, z) ứ õ s r w = z T õ
t ở t ứ t tự
rn
d(T x, T x)
d(x, T x)
1r
n

m

m t t ữủ
d(T n x, z)

rn

d(x, T x).
1r