LỜI GIẢI TV IMO 1959

Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

IMO 1959
Câu 1. Chứng minh phân số tối giản với mọi số tự nhiên n.
Giải: Ký hiệu ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương a, b là . Chúng ta sử dụng
thuật toán Euclidean
Do đó, phân số tối giản.
Nguồn:
/>Câu 2. Với giá trị thực nào của x thì biểu thức

nhận giá trị
a.
b.
c.
Ở đây, chỉ những số thực không âm mới có căn bậc hai.
Giải:
Điều kiện để biểu thức A có nghĩa là

. Bình phương hai vế, ta có

Từ đó suy ra kết quả
a.
b. .
c.
Nguồn
/>Câu 3. Cho a, b, c là các số thực. Xét phương trình bậc hai theo
Dùng các số a, b, c này lập phương trình bậc hai theo có cùng nghiệm với phương trình
ban đầu. So sánh hai phương trình khi
Giáo viên: Lê Văn Tho

1


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Giải: Giả sử phương trình thứ nhất có các nghiệm . Chúng ta xây dựng một phương trình
bậc hai với hai nghiệm là .
Rõ ràng, tổng của hai nghiệm này là
và tích của chúng là
Do đó, phương trình cần lập là:
Bây giờ, với , phương trình thứ nhất là
và phương trình thứ hai là
Phương trình thứ nhất suy ra và phương trình thứ hai suy ra được
ra cùng nghiệm x.

Hai kết quả này suy

Nguồn:
/>Câu 4. Dựng tam giác vuông biết độ dài cạnh huyền c và đường trung bình ứng với cạnh
huyền bằng trung bình nhân của hai cạnh góc vuông.
Giải:
C

Chúng ta ký hiệu hai cạnh góc vuông của
tam giác là a và b.

b

A

Vì tam giác ABC vuông nên Theo đề

Ta lại có . Do đó

Giáo viên: Lê Văn Tho

2

H

c

a

2
c

M

B


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

Như vậy, H là giao điểm của đường tròn đường kính AB và đường thẳng song song và
cách đều AB một khoảng c/4. Ta suy ra cách dựng.

Nguồn:
/>Câu 5. Cho một điểm M tùy ý trên đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và
MBEF ở về cùng một phía của đoạn AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại
tiếp hai hình vuông này. Hai đường tròn cắt nhau tại điểm chung thứ hai N. Đường thẳng
AF và BC cắt nhau tại N’.
a. Chứng minh N trùng với N’.
b. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định S không phụ thuộc M.
c. Tìm quỹ tích trung điểm đoạn PQ khi M di chuyển trên đoạn AB.
Giải:

E

F
N
C

D
R

Q

I

T

P
A

H

M L

K

B

S

a. Vì (c.g.c) nên mà nên . Mặt khác, nên B, C, N thẳng hàng hay N trùng với N’.
b. Ta thấy (g.g) nên
Giáo viên: Lê Văn Tho

3


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

mà

Nên

và do đó NM là phân giác của góc . Dựng đường tròn đường kính AB thì đường tròn này
xác định và đi qua N (vì vuông). Gọi S là điểm chính giữa cung AB (như hình vẽ) thì S
cố định và MN đi qua S (vì NM là đường phân giác theo chứng minh trên).
c. Gọi I là trung điểm của PQ, gọi H, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của P, Q, I lên
đoạn AB. Ta có

Suy ra điểm I nằm trên đường thẳng d song song với đường AB và cách AB một khoảng

AB/4 (phần chứa các hình vuông).
Giới hạn: Gọi R, T là giao điểm của đường thẳng d lần lượt với các đường thẳng vuông
góc với AB dựng tại A, B. Ta thấy khi M chạy tới A thì I chạy tới R và khi M chạy tới B
thì I chạy tới T.
Kết luận: Khi M chạy trên đoạn AB (trừ hai điểm A, B) thì I chạy trên đoạn RT (trừ hai
điểm R và T).
Nguồn:
/>Câu 6. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) giao nhau theo đường thẳng p. Điểm A nằm trên
(P), và điểm C nằm trên (Q) mà cả hai đều không nằm trên p. Dựng hình thang cân
ABCD ngoại tiếp được đường tròn có B thuộc (P) và D thuộc (Q).
Giải:

Giáo viên: Lê Văn Tho

4


Trường THPT Đinh Tiên Hoàng

Tổng hợp đề thi và đáp án IMO 1959-2016

B' a

B

A

p

P

Q
c
D

A'

D'

C

Nhận thấy . Trong (P) ta dựng đường thẳng a qua A và song song với p, trong (Q), ta
dựng đường thẳng c qua C và song song với p. Vì ABCD là hình thang cân ngoại tiếp
được đường tròn nên

Trong mặt phẳng (R) chứa hai đường thẳng song song a và c, ta hạ AA’ vuông góc với c
tại A’ thì được nên suy ra . Trong (R), dựng đường tròn (C; CA) cắt a tại điểm B, (A, CA)
cắt b tại điểm D.
Nhận xét: Tùy theo số giao điểm của đường tròn (C; CA) và đường thẳng a mà ta có số
nghiệm hình là 0, 1 hoặc 2.
Nguồn:
/>
Giáo viên: Lê Văn Tho

5