BÀI TẬP ÔN HÌNH TRỤ HÌNH NÓN THI THPT QG

Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
TAEducation
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2018
Môn: Toán
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY
Câu 1:

Cho hình nón  N  có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng qua trục của  N  cắt

N

được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Tính thể tích

V của khối nón  N  .
A. V  3 3 .

B. V  9 .

C. V  3 .

D. V  9 3 .

Câu 2:

Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm , độ dài đường sinh bằng 26 cm . Tính thể tích V của
khối nón tương ứng.
1600
800
cm 3 .
cm 3 .

A. V  800 cm 3 .
B. V  1600 cm 3 .
C. V 
D. V 
3
3

Câu 3:

Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích
bằng 2 ?
A. S  2 2

B. S  4

C. S  2

D. S  4 2

4
và diện tích xung quanh bằng 2 5 . Một mặt phẳng chứa trục
3
của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
A. S  2
B. S  3
C. S  4
D. S  5

Câu 4:

Một hình nón có thể tích là

Câu 5:

Cho mặt cầu tâm O , bán kính R  a . Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là
đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H
3a
sao cho SH 
. Độ dài đường sinh của hình nón bằng:
2
A.

Câu 6:

Câu 7:

B.

a 2

C.

a 3

D.

 2a

Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước
1

vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng
3
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược
phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng
chiều cao của phễu là 15cm.
A. 0,188(cm)
B. 0,216(cm)
C. 0,3(cm)
D. 0,5 (cm)




Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 2a . Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập
phương ABCD.ABCD bằng
A.

Câu 8:

a

 a3
.
2

B. 8 a 3 .

C. 4 a 3 .

D. 2 a 3 .

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2πa 2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh
của hình trụ đã cho bằng
a
A. 2a .
B. .
C. a .
D. 2a .
2

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 1/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Câu 9:

(Đề minh họa lần 1 THPTQG năm 2017): Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
AB  1 và AD  2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó
xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8

Câu 10: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng, ta được một  H  như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là
một elip có độ dài trục lớn bằng 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện
gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần
lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ). Tính thể tích của  H  .

A. V  176
C. V  192

B. V  275
D. V  704

Câu 11:Cho một hình vuông xếp chồng lên một hình tròn có bán kính R  2 sao cho một
cạnh của hình vuông là đường kính của hình tròn. Cho hình phẳng thu được xoay đều
quanh trục đối xứng của nó được một vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
40
64
28
A. V 
B. V 
C. V 
D. V  8
3
3
3
Câu 12:Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.EFGH . Tính tỉ số k giữa thể tích khối trụ
ngoại tiếp và thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ trên.
A. k  2.

B. k  2.

C. k  2 2.

D. k  4.

V1  R 2 h  R 


   2.
V2  r 2 h  r 
AB
AC AB 2
Với R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; r 
là bán kính đường
2
2
2
tròn nội tiếp đáy. Chọn B.
2

Lời giải: Hai khối trụ có chung đường cao nên k 

AD
 a. Quay hình thang và miền
2
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

Câu 13:Cho hình thang ABCD vuông A và B với AB  BC 

7 a 3
4 a 3
5 a 3
.
.
.
B. V 

C. V 
D. V   a 3 .
3
3
3
Lời giải: Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích hình trụ có bán kính đáy AB và
đường sinh AD trừ đi phần thể tích hình nón có bán kính đáy OD  AB và đường cao

A. V 

1
1 2
5 a 3
2
2
.
OC  AD  BC. Vậy V   AB . AD   OD .OC   a .2a   a .a 
3
3
3
2

Câu 14:Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA và SB , biết tam
giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a 2 . Góc tạo bởi giữa trục SO và mặt
phẳng  SAB  bằng 300. Đường cao h của hình nón bằng
A. h  a 2.

B. h  a 3.

a 3

a 6
D. h 
.
.
2
4
Lời giải: Gọi E là trung điểm AB. Tam giác SAB vuông cân tại S nên AB  2SE.
1
1
Ta có S SAB  . AB.SE  4a 2  .2 SE.SE  SE  2a. Dễ dàng xác định được: 300  SO,  SAB   OSE.
2
2
C. h 

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 2/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Tam giác vuông SOE , có SO  SE.cos OSE  a 3. Chọn B.
Câu 15:Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau
theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành
khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD
(xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7, 2 cm;
đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm.
Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình
cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào
trong các giá trị sau
A. 132 dm3 .

B. 170 dm3 .
C. 293 dm3 .
D. 954 dm3 .
Lời giải: Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm:
• Thể tích của hình nón cụt có lớn R  3, 2 cm, r  0,8 cm và h  7, 2 cm.
1
2
• Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R  3, 2 cm. Suy ra V   h  R 2  Rr  r 2    R 3  170 cm3 .
3
3
3
3
3
Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là: 170.10 cm  170 dm . Chọn B.

Câu 16:Từ một tấm tôn hình chữ nhật người ta cuộn thành một chiếc thùng
hình trụ không đáy (như hình vẽ). Biết tâm tôn có chu vi bằng 120 cm.
Để chiếc thùng có thể tích lớn nhất thì chiều dài, rộng của mảnh tôn lần
lượt là
A. 35 cm; 25 cm.
B. 30 cm; 30 cm.
C. 40 cm; 20 cm.

D. 50 cm; 10 cm.

Lời giải: Gọi chiều dài tấm tôn là x  cm   0  x  60  . Suy ra chiều rộng: 60  x  cm  .
Giả sử quấn cạnh có chiều dài là x  bán kính đáy r 

x
và chiều cao h  60  x.

2

 x3  60 x 2 x.x. 120  2 x  Cosi  x  x  120  2 x  8000
Khi đó V   r h 



cm3  .

4
8
8 .27

Dấu "  " xảy ra  x  120  2 x  x  40  cm  . Chọn C.
3

2

Câu 17:Cắt một miếng tôn hình vuông cạnh 1 m thành hai
hình chữ nhật, trong đó một hình có chiều rộng x  m  ,
gọi miếng tôn này là miếng tôn thứ nhất. Người ta gò
miếng tôn thứ nhất thành một lăng trụ tam giác đều,
miếng còn lại gò thành một hình trụ (như hình vẽ). Tìm
x để tổng thể tích khối lăng trụ và khối trụ thu được là nhỏ nhất.
9
9
1
1
.
.

.
.
A. x 
B. x 
C. x 
D. x 
9  3
3  9
3 3  1
 3
Lời giải: Chu vi tam giác đáy của lăng trụ là x, mà đáy của lăng trụ là tam giác đều nên có diện tích
bằng

1 x
x2 3
.
. Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Suy ra 2 r  1  x  r 
2
36

2
 3 1
x2 3
 1 x 
.1



Tổng thể tích của hai khối:


 .1  
36
36
4
 2 


 2 1
1
x
 f  x.
 x 
2

4



LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 3/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389

 9 
Đây là hàm bậc hai nên f  x   f 
 , x   0;1 . Chọn A.
 3  9 
Câu 18:Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên

đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.
Mặt phẳng  ABCD  tạo với đáy hình trụ góc 45 như hình vẽ. Thể tích khối trụ
bằng

 a3
.
A.
16

B.

2 a3
.
16

3 a 3
.
C.
16

3 2 a3
D.
.
16
a
Lời giải: Tam giác IOM vuông cân có IM  ,
2
Suy ra IO  OM 

a

2 2

 OO 

a

a
OM 
. Tam giác cân OAB, có: 
2 2
2
 AB  a


3 2 a3
a 6
2
2

Vậy
V   R h   OA .OO 
. Chọn D.
 OA  OB 
.
16
4
Câu 19:Một thùng hình trụ có chiều cao h  3m, bán kính đường tròn đáy R  1m chứa một lượng
nước. Biết rằng nếu đặt thùng nằm ngang ta được chiều cao mực nước trong thùng là d  0,5m. Hỏi
thể tích lượng nước có trong thùng gần nhất với kết quả nào sau đây ?
A. 1, 75m3 .

B. 1,8m3 .
C. 1,85m 3 .
D. 1,9m 3 .
Lời giải: Xét mặt cắt vuông góc với trục của hình trụ và kí hiệu như hình vẽ.
OH R  d 1

  HOB  600  AOB  1200.
Ta có cos HOB 
OB
R
2
1
1
Suy ra Squat AOB  hình tròn đáy   .
3
3

1
3
Suy ra diện phần gạch sọc bằng: S  Squat AOB  SAOB   
.
3
4
Vậy thể tích lượng nước trong thùng: V  S .h   

3 3
 1,84m3 . Chọn C.
4

Câu 20:Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón

có chiều cao 10 cm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa
đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ
nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn
5 cm . Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển
(độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như
không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0, 01 cm ).
A. 9, 09  cm  .

B. 9,18  cm  .

C. 9,56  cm  .

D. 9,57  cm  .

Lời giải: Gọi r1 , r2 và r3 theo thứ tự là bán kính của chiếc ly, bán kính
của khối chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất và bán kính của khối chất

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 4/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
lỏng trong ly thứ hai (sau khi chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ hai). Ta có
và

r2 1
r
 
 r2  1

r1 2
2

r3 h
rh
 
 r3  1 .
r1 10
10

Thể tích của khối chất lỏng được chuyển từ ly thứ nhất sang ly thứ hai là
1
35
V    r12 .10  r22 .5    r12 .
1
3
12
2

1
1  rh 
1
Mặt khác, ta có V   r32 h    1  h 
 r12 h3 .
 2
3
3  10 
300
1
35

 r12 h3   r12  h3  875  h  9,56  cm  . Chọn C.
Từ 1 và  2  , ta có
300
12
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1:

(Sở GD và ĐT TP HCM) Một người dùng một cái ca hình bán
cầu có bán kính là 3cm để múc nước đổ vào trong một thùng
hình trụ chiều cao 10cm và bán kính đáy bằng 6cm . Hỏi người
ấy sau bao nhiêu lần đổ nước thì đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ,
nước trong ca luôn đầy).
A. 24 lần
B. 10 lần
C. 12 lần

D. 20 lần

Câu 2: Cho hình nón có thể tích bằng 12 , bán kính đáy là 3. Diện tích toàn phần của hình nón là?
A. S  12
B. S  24
C. S  15
D. S  21
Câu 3: Cho tam giác đều có cạnh bằng a . Cho tam giác xoay đều quanh một cạnh của nó ta thu được
khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
A. V 

 a3
4

B. V 

 a3 3
12

C. V 

 a3
8

D. V 

Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R lấy các điểm A, B sao cho góc
7
AOB   trong đó cos    . Hình quạt được tô màu như hình vẽ
25
bên khi xoay đều quanh trục đối xứng của nó cho ta một khối tròn xoay
có thể tích là bao nhiêu?
2 R 3
V

A.
15

C. V 

4 R 3
5

24

A

O

4 R 3
V

B.
15

D. V 

 a3 3

5 R 3
9

B

Câu 5: Một hình nón có bán kính đáy R  2cm . Một mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với
trục của hình nón cắt hình nón theo thiết diện có diện tích là bao nhiêu?
1
A. S  2
B. S  4
C. S  
D. S  
4
Câu 6: Hình nón có đường sinh
A. 4 a 2

 2a và hợp với đáy góc 60 0 . Stp của hình nón bằng:
B. 3 a 2

C. 2 a 2

D.  a 2

Câu 7: Chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy góc 60 0 và độ dài cạnh đáy là a . Tính thể tích khối
nón ngoại tiếp hình chóp đã cho.
LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 5/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389

 a3 3

 a3 2

 a3 6

 a3 6

B. V 
C. V 
D. V 
12
4
3

3
Câu 8: Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một hình nón. Thể tích khối nón bằng
3 a3
3 a3
6 a3
6 a3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
27
9
27
9
A. V 

Câu 9: Hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  b . Quay hình chữ nhật quanh đường thẳng AB được
hình trụ có thể tích là V1 . Quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng AD được hình trụ có diện
tích thể tích là V2 . Phát biểu nào sau đây là đúng?
A.

V1
1
V2

B.

V1 a

V2 b

C.

V1 b

V2 a

D.

V1  a 
 
V2  b 

2

Câu 10:Tính thể tích khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a .

 a3
A. V 
4

B. V 

 a3
2

C. V 

 a3
3

D. V 

 a3
2 2

Câu 11:Cho hình trụ có hai đường tròn đáy  O; 2cm  và  O '; 2cm  . Một mặt phẳng vuông góc với

OO ' và cắt đoạn thẳng OO ' theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi là?
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 6, 28 cm
Câu 12:Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là  O; R  và  O '; R  , OO '  h . Gọi  P  là mặt phẳng chứa

OO ' . Thiết diện tạo bởi hình trụ với mặt phẳng đó có chu vi là?
A. h  2R
B. 2h  2R
C. h  4R

D. 2h  4R

Câu 13:Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện
tích toàn phần của hình trụ là?
1
2

2
3
A.
B.
C.
D.
5
3
4
2
Câu 14:Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích của mặt cầu nội tiếp hình trụ?
1
1
1
A. 1
B.
C.
D.
2
4
2
Câu 15:Tính diện tích xung quanh khối trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chu vi bằng
chu vi của đường tròn đáy và diện tích bằng 2   2  .
2

A. S xq  2   2 

2

B. S xq  2 2   2  C. S xq  2   2 

D. S xq     2 

2

Câu 16:Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt (như hình vẽ) có kích thước bán kính R  5 và chu vi
của hình quạt là P  8  10, người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
Cách 1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu.

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 6/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Cách 2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi
gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu. Gọi V1 là thể tích
của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở
cách thứ hai. Tỉ số
A.

V1 2
 .
V2 7

V1
bằng
V2
B.

V1 2 2

.
V2
7

C.

V1
21

.
V2
7

Lời giải: Chu vi của hình quạt  độ dài cung  2 R. Suy ra độ dài cung tròn
Cách 1: Chu vi đường tròn đáy của cái phễu là 8 .
1
Ta có 2 r1  8  r1  4  h1  R 2  r12  3  V1   .42.3  16 .
3
Cách 2: Chu vi đường tròn đáy của mỗi phễu nhỏ là 4 .

D.

V1 2 21

.
V2
7

 8 .

V 2 21
1
 8 21
Ta có 2 r2  4  r2  2  h2  R 2  r22  21  V2  2    .22. 21  
 . Vậy 1 
.
V2
7
3
3

Câu 17:Bé Bách có một tấm bìa có chiều dài 20 cm; chiều rộng
1 cm. Bé muốn gấp một cái hộp nhỏ xinh để bỏ kẹp tóc vào

hộp đó tặng quà cho mẹ ngày 20 tháng 10. Anh Siêu đã chỉ cho
bé hai cách gấp hộp. Cách thứ nhất là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có hai đáy
có thể tích V1. Cách thứ hai là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có thể tích V2 có các kích
thước như hình vẽ. Hãy tìm tỉ số thể tích của hai hộp để biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích
lớn hơn.
V 4
V 
V 1
V
A. 1  .
B. 1  .
C. 1  .
D. 1  4.
V2 

V2 4
V2 4
V2
Lời giải: Chiều dài của tấm bìa là 20 cm, suy ra
• 20  2 .R  R 

10



( R là bán kính đường tròn đáy hình trụ).

• Theo đề bài thì hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (hình vẽ) nên cạnh của hình vuông bằng
Khi đó

20
 5.
4

V1 S1.1 S1  R 2 4


 2  . Chọn A.
V2 S2 .1 S2
5


Câu 18:Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài 4m, chiều rộng 1m. Một người thợ muốn cắt tấm tôn
này thành hai phần như hình vẽ. Người thợ gò phần 1 thành hình trụ có đáy hình vuông và phần 2
thành hình trụ có đáy hình tròn. Tìm x để tổng thể tích của hai khối trụ là nhỏ nhất.

4
.
 4

16
.
 4
4 x
.
Lời giải: Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Suy ra 2 r  4  x  r 
2

A. x 

B. x 

8
.
 4

C. x 

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

D. x 

16
.
 4

Trang 7/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389

1  2 2
4
 x
 4 x
1
Tổng thể tích của hai khối:   .1   
 .1   
 x  x   f  x.


4
 2 
 16 4 
 16 
Đây là hàm bậc hai nên f  x   f 
 , x   0; 4  . Chọn C.
 4  
2

2

Câu 19:Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào
trong một chiếc thùng hình trụ có chiều cao h  2m, bán kính đường tròn đáy bằng
1

thể tích khối trụ. Sau khi thả
8
khối cầu đá vào khối trụ người ta đo được mực nước trong khối trụ cao gấp ba lần
mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu. Hỏi diện tích xung quanh của khối cầu gần
bằng kết quả nào được cho dưới đây ?
A. 1,5m 2 .
B. 1, 7m 2 .
C. 2, 6m 2 .
D. 3, 4m2 .
R  0,5m và chứa một lượng nước có thể tích bằng

1
V
1
Lời giải: Thể tích khối trụ V   R 2 h   . Suy ra thể tích lượng nước V     .
2
8 16

4 3
1
3
 2   
 RCau  3 .
Từ giả thiết suy ra thể tích khối cầu: VCau  2V    RCau
3
16
32
2
Vậy diện tích xung quanh của khối cầu là S  4 RCau
 2,6m2 . Chọn C.

Câu 20:Một bình đựng nước dạng hình nón không nắp đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình
gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào
16
dm 3 . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón
ra ngoài là
9
và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ). Tính bán
kính đáy R của bình nước.
A. R  2 dm.
B. R  3 dm.
C. R  4 dm.
D. R  5 dm.
Lời giải: Gọi h, h lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ; R , r lần lượt là bán kính đáy của khối
nón và khối trụ. Khi đó h  3R, h  2 R.
Xét phần mặt cắt và gọi các điểm như hình vẽ. Theo giả thiết Vtru   r 2 h 

chuyển Vtru

16
. Ta sẽ
9

h  2 R

theo R. Cụ thể:  r SI h  h 3R  2 R 1
1 .
r  R
 R  SO  h  3R  3 
3

Khi đó Vtru   

R2
16
 2R 

 R  2 dm. Chọn A.
9
9

ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu 1: Cho hình nón  N  có đường sinh tạo với đáy một góc 60 . Mặt phẳng qua trục của  N  cắt

N

được thiết diện là một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2. Tính thể tích V của

khối nón  N  .
A. V  3 3 .

B. V  9 .

C. V  3 .

D. V  9 3 .

Lời giải

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 8/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
S

60
A

O

B

Gọi SAB là thiết diện qua trục của hình nón
3
Ta có SAB đều nên SO  R ,với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp SAB .
2
2
3
SO  2 3 .
 SO  .2  3 ; AB 
2
3
2

1  AB 
Khi đó thể tích khối nón V   
 .SO  3  đvtt  .
3  2 

Câu 2:

Cho khối nón có chiều cao bằng 24 cm , độ dài đường sinh bằng 26 cm . Tính thể tích V của
khối nón tương ứng.
1600
800
cm 3 .
cm 3 .
A. V  800 cm 3 .
B. V  1600 cm 3 .
C. V 
D. V 
3
3
Lời giải
Bán kính đáy của hình nón: R  l 2  h2  10 cm .
1
1
800
Vậy thể tích khối nón tương ứng là: V   R 2 .h   .100.24 
.
3
3
3

Câu 3:

Tính diện tích xung quanh của khối nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân diện tích
bằng 2 ?
A. S  2 2

B. S  4

C. S  2

D. S  4 2

1
Lời giải: Tam giác OAB vuông cân diện tích bằng 2  .OA2  2  OA  OB  2 .
2
AB
AB  22  22  2 2  h  r 
 2.
2

Suy ra: S xq   .2. 2  2 2 .
4
và diện tích xung quanh bằng 2 5 . Một
3
mặt phẳng chứa trục của hình nón cắt hình nón theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?
A. S  2
B. S  3
C. S  4
D. S  5
4
1
Lời giải: R  2, h  2  1  S  .1.4  2
R
2

Câu 4:

Một hình nón có thể tích là

Câu 5: Cho mặt cầu tâm O , bán kính R  a . Một hình nón có đỉnh là S ở trên mặt cầu và đáy là
đường tròn tương giao của mặt cầu đó với mặt phẳng vuông góc với đường thẳng SO tại H sao
3a
cho SH 
. Độ dài đường sinh của hình nón bằng:
2

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 9/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389

a

A.

B.

a 2

C.

a 3

D.

 2a

2

a 3
a
Lời giải: Ta có: R  AO 2  OH 2  a 2    
.
2
2
2

2
 3a   a 3 
Suy ra: l  SH  AH     
 a 3
 2   2 
2

Câu 6:

2

Một cái phễu có dạng hình nón. Người ta đổ một lượng nước
1
vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng
3
chiều cao của phễu. Hỏi nếu bịt kín miệng phễu rồi lộn ngược

phễu lên thì chiều cao của nước bằng bao nhiêu ? Biết rằng
chiều cao của phễu là 15cm.
A. 0,188(cm)
B. 0,216(cm)
C. 0,3(cm)

D. 0,5 (cm)
26
Lời giải: Gọi chiều cao cột nước sau là x. Thể tích phần không chứa nước là V1  V .
27
hx
hx
Khi đó ta có: V1  

 V
h
 h 
3

Câu 7:

3


26
26 
 x  h 1  3
  0,188  cm  . Chọn đáp án A.
27
27 



Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng 2a . Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lập
phương ABCD.ABCD bằng
A.

 a3
.
2

B. 8 a 3 .

C. 4 a 3 .

D. 2 a 3 .

Lời giải: Hình trụ ngoại tiếp hình lập phương ABCD.ABCD có chiều cao h  2a và bán kính đáy
AC
R
 a 2 . Vậy thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình lập phương là:
2





2

V   R 2 h   a 2 .2a  4 a3 .
Câu 8:

Cho hình trụ có diện tích xung quanh bằng 2πa 2 và bán kính đáy bằng a . Độ dài đường sinh
của hình trụ đã cho bằng
a
A. 2a .
B. .
C. a .
D. 2a .
2

Lời giải

S xq  2πrl  l 
Câu 9:

S xq
2πr



2πa 2
 a.
2πa

(Đề minh họa lần 1 THPTQG năm 2017): Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có
AB  1 và AD  2 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Quay hình chữ nhật đó

xung quanh trục MN , ta được một hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
A. 2
B. 3

C. 4
D. 8
Lời giải: R  1, h  1  Stp  2 .11  1  4

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 10/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Câu 10: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng, ta được một  H  như hình vẽ bên. Biết rằng thiết diện là
một elip có độ dài trục lớn bằng 10 , khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện
gần mặt đáy nhất và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy nhất tới mặt đáy lần
lượt là 8 và 14 (xem hình vẽ). Tính thể tích của  H  .
A. V  176
C. V  192

B. V  275
D. V  704
1
 8  14 
Lời giải: Bán kính đáy trụ là: R  . 10 2  6 2  4 . Thể tích của  H  là: V H    .42. 
  176 .
2
 2 
Câu 11:Cho một hình vuông xếp chồng lên một hình tròn có bán kính R  2 sao cho một
cạnh của hình vuông là đường kính của hình tròn. Cho hình phẳng thu được xoay đều
quanh trục đối xứng của nó được một vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
64
28

40
A. V 
B. V 
C. V 
D. V  8
3
3
3
Lời giải: Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hinh vuông là: V1   R2 h   .4.4  16
2
16
64
Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi hình tròn là: V2   R 3   ; Vậy: V  V1  V2 
. Chọn A
3
3
3

Câu 12:Cho một hình vuông xếp chồng lên một hình tròn có bán kính R  2 sao cho một
cạnh của hình vuông là đường kính của hình tròn. Cho hình phẳng thu được xoay đều
quanh trục đối xứng của nó được một vật thể tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
64
28
40
A. V 
B. V 
C. V 
D. V  8
3
3

3
Câu 13:Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.EFGH . Tính tỉ số k giữa thể tích khối trụ
ngoại tiếp và thể tích khối trụ nội tiếp hình lăng trụ trên.
A. k  2.

B. k  2.

C. k  2 2.

D. k  4.

V1  R h  R 

   2.
V2  r 2 h  r 
AB
AC AB 2
Với R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; r 
là bán kính đường
2
2
2
tròn nội tiếp đáy. Chọn B.

Lời giải: Hai khối trụ có chung đường cao nên k 

2

2

AD
 a. Quay hình thang và miền
2
trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

Câu 14:Cho hình thang ABCD vuông A và B với AB  BC 

4 a 3
7 a 3
5 a 3
.
.
.
B. V 
C. V 
D. V   a 3 .
3
3
3
Lời giải: Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng thể tích hình trụ có bán kính đáy AB và
đường sinh AD trừ đi phần thể tích hình nón có bán kính đáy OD  AB và đường cao

A. V 

1
1
5 a 3
.
OC  AD  BC. Vậy V   AB 2 . AD   OD 2 .OC   a 2 .2a   a 2 .a 

3
3
3

Câu 15:Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Dựng hai đường sinh SA
và SB , biết tam giác SAB vuông và có diện tích bằng 4a 2 . Góc tạo bởi giữa
trục SO và mặt phẳng  SAB  bằng 300. Đường cao h của hình nón bằng
LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 11/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
A. h  a 2.

B. h  a 3.

a 3
a 6
D. h 
.
.
2
4
Lời giải: Gọi E là trung điểm AB. Tam giác SAB vuông cân tại S nên AB  2SE.
1
1
Ta có S SAB  . AB.SE  4a 2  .2 SE.SE  SE  2a. Dễ dàng xác định được: 300  SO,  SAB   OSE.
2
2

C. h 

Tam giác vuông SOE , có SO  SE.cos OSE  a 3. Chọn B.
Câu 16:Một cơ sở sản xuất kem chuẩn bị làm 1000 chiếc kem giống nhau
theo đơn đặt hàng. Cốc đựng kem có dạng hình tròn xoay được tạo thành
khi quay hình thang ABCD vuông tại A và D xung quanh trục AD
(xem hình vẽ). Chiếc cốc có bề dày không đáng kể, chiều cao 7, 2 cm;
đường kính miệng cốc bằng 6,4 cm; đường kính đáy cốc bằng 1,6 cm.
Kem được đổ đầy cốc và dư ra phía ngoài một lượng có dạng nửa hình
cầu, có bán kính bằng bán kính miệng cốc. Cơ sở đó cần dùng lượng kem gần nhất với giá trị nào
trong các giá trị sau
A. 132 dm3 .
B. 170 dm3 .
C. 293 dm3 .
D. 954 dm3 .
Lời giải: Thể tích của một chiếc kem cần tính bao gồm:
• Thể tích của hình nón cụt có lớn R  3, 2 cm, r  0,8 cm và h  7, 2 cm.
1
2
• Thể tích của nửa khối cầu có bán kính R  3, 2 cm. Suy ra V   h  R 2  Rr  r 2    R 3  170 cm3 .
3
3
3
3
3
Vậy thể tích của 1000 chiếc kem là: 170.10 cm  170 dm . Chọn B.

Câu 17:Từ một tấm tôn hình chữ nhật người ta cuộn thành một chiếc thùng
hình trụ không đáy (như hình vẽ). Biết tâm tôn có chu vi bằng 120 cm.
Để chiếc thùng có thể tích lớn nhất thì chiều dài, rộng của mảnh tôn lần

lượt là
A. 35 cm; 25 cm.
B. 30 cm; 30 cm.
C. 40 cm; 20 cm.

D. 50 cm; 10 cm.

Lời giải: Gọi chiều dài tấm tôn là x  cm   0  x  60  . Suy ra chiều rộng: 60  x  cm  .
Giả sử quấn cạnh có chiều dài là x  bán kính đáy r 

x
và chiều cao h  60  x.
2

 x3  60 x 2 x.x. 120  2 x  Cosi  x  x  120  2 x  8000
Khi đó V   r h 



cm3  .

4
8
8 .27

Dấu "  " xảy ra  x  120  2 x  x  40  cm  . Chọn C.
3

2

Câu 18:Cắt một miếng tôn hình vuông cạnh 1 m thành hai
hình chữ nhật, trong đó một hình có chiều rộng x  m  ,
gọi miếng tôn này là miếng tôn thứ nhất. Người ta gò
miếng tôn thứ nhất thành một lăng trụ tam giác đều,
miếng còn lại gò thành một hình trụ (như hình vẽ). Tìm
x để tổng thể tích khối lăng trụ và khối trụ thu được là nhỏ nhất.
9
9
1
.
.
.
A. x 
B. x 
C. x 
3  9
9  3
3 3  1

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

D. x 

1
.
 3

Trang 12/19

Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Lời giải: Chu vi tam giác đáy của lăng trụ là x, mà đáy của lăng trụ là tam giác đều nên có diện tích
bằng

1 x
x2 3
.
. Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Suy ra 2 r  1  x  r 
2
36

Tổng thể tích của hai khối:

2
 3 1
x2 3
 1 x 
.1   

 .1  
36
36
4
 2 


 2 1
1
x
 f  x.

 x 
2

4



 9 
Đây là hàm bậc hai nên f  x   f 
 , x   0;1 . Chọn A.
 3  9 
Câu 19:Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên
đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ.
Mặt phẳng  ABCD  tạo với đáy hình trụ góc 45 như hình vẽ. Thể tích khối trụ
bằng
A.

 a3
.
16

B.

3 a 3
.
16

D.

2 a3

.
16

3 2 a3
.
16
a
Lời giải: Tam giác IOM vuông cân có IM  ,
2
C.

a

OM 
a

 OO 
. Tam giác cân OAB, có: 
Suy ra IO  OM 
2 2
2 2
2
 AB  a

a

3 2 a3
a 6
2
2


. Chọn D.
 OA  OB 
. Vậy V   R h   OA .OO 
16
4
Câu 20:Một thùng hình trụ có chiều cao h  3m, bán kính đường tròn đáy R  1m chứa một lượng
nước. Biết rằng nếu đặt thùng nằm ngang ta được chiều cao mực nước trong thùng là d  0,5m. Hỏi
thể tích lượng nước có trong thùng gần nhất với kết quả nào sau đây ?
A. 1, 75m3 .
B. 1,8m3 .
C. 1,85m 3 .
D. 1,9m 3 .
Lời giải: Xét mặt cắt vuông góc với trục của hình trụ và kí hiệu như hình vẽ.
OH R  d 1

  HOB  600  AOB  1200.
Ta có cos HOB 
OB
R
2
1
1
Suy ra Squat AOB  hình tròn đáy   .
3
3

1
3
Suy ra diện phần gạch sọc bằng: S  Squat AOB  SAOB   

.
3
4
Vậy thể tích lượng nước trong thùng: V  S .h   

3 3
 1,84m3 . Chọn C.
4

Câu 21:Hai chiếc ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, mỗi chiếc có phần chứa chất lỏng là một khối nón
có chiều cao 10 cm (mô tả như hình vẽ). Ban đầu chiếc ly thứ nhất chứa
đầy chất lỏng, chiếc ly thứ hai để rỗng. Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ
nhất sang ly thứ hai sao cho độ cao của cột chất lỏng trong ly thứ nhất còn
5 cm . Tính chiều cao h của cột chất lỏng trong ly thứ hai sau khi chuyển

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 13/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
(độ cao của cột chất lỏng tính từ đỉnh của khối nón đến mặt chất lỏng - lượng chất lỏng coi như
không hao hụt khi chuyển. Tính gần đúng h với sai số không quá 0, 01 cm ).
A. 9, 09  cm  .

B. 9,18  cm  .

C. 9,56  cm  .

D. 9,57  cm  .

Lời giải: Gọi r1 , r2 và r3 theo thứ tự là bán kính của chiếc ly, bán kính
của khối chất lỏng còn lại trong ly thứ nhất và bán kính của khối chất
lỏng trong ly thứ hai (sau khi chuyển chất lỏng từ ly thứ nhất sang ly thứ
r
r 1
rh
r
h
hai). Ta có 2  
 r3  1 .
 r2  1 và 3  
r1 10
10
r1 2
2
Thể tích của khối chất lỏng được chuyển từ ly thứ nhất sang ly thứ hai là
1
35
V    r12 .10  r22 .5    r12 .
1
3
12
2

1
1  rh 
1
Mặt khác, ta có V   r32 h    1  h 
 r12 h3 .

 2
3
3  10 
300
1
35
 r12 h3   r12  h3  875  h  9,56  cm  . Chọn C.
Từ 1 và  2  , ta có
300
12

BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1: (Sở GD và ĐT TP HCM) Một người dùng một cái ca hình bán
cầu có bán kính là 3cm để múc nước đổ vào trong một thùng hình trụ
chiều cao 10cm và bán kính đáy bằng 6cm . Hỏi người ấy sau bao
nhiêu lần đổ nước thì đầy thùng? (Biết mỗi lần đổ, nước trong ca luôn
đầy).
A. 24 lần
B. 10 lần
C. 12 lần
D. 20 lần
1 4
Lời giải: Thể tích cái ca là : Vca  . . .33  18 . Thể tích của cái thùng là: Vthung   .62.10  360 .
2 3
Vậy để đầy thùng cần số lần đổ là: 360 :18  20 (lần)
Câu 2: Cho hình nón có thể tích bằng 12 , bán kính đáy là 3. Diện tích toàn phần của hình nón là?
A. S  12
B. S  24
C. S  15
D. S  21

1
Lời giải: Ta có: V  12   .R 2 .h  h  4  Stp   Rl   .3. 32  4 2  15
3
Câu 3: Cho tam giác đều có cạnh bằng a . Cho tam giác xoay đều quanh một cạnh của nó ta thu được
khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
A. V 

 a3
4

B. V 

 a3 3
12

C. V 

Lời giải: Khối tròn xoay tạo thành bao gồm hai hình nón có R 

 a3
8

D. V 

 a3 3
24

a 3
a
,h  .

2
2

2

1
1  a 3  a a3
Suy ra V  2.  .R 2 .h  2. . . 
.
 . 
3
3  2  2
4

A

O

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 14/19
B


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Câu 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R lấy các điểm A, B sao cho góc

AOB   trong đó

7

. Hình quạt được tô màu như hình vẽ bên khi xoay đều quanh trục đối xứng của nó cho
25
ta một khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?
cos   

A. V 

2 R 3
15

B. V 

4 R 3
15

5 R 3
4 R 3
D. V 
9
5
Lời giải: Hình quạt được tô màu như hình vẽ bên khi xoay đều quanh trục đối xứng của nó sẽ tạo ra khối
tròn xoay bao gồm một hình nón có R  AD  DB, h  OD và một hình chỏm cầu có h  CD .

C. V 

Ta có: cos AOB  cos 2 AOC  2 cos 2 AOC  1 
Suy ra cos AOC 

7
3

 cos AOC  .
25
5

OD 3
3R
  hnon  OD 
.
AO 5
5
2

 Vnon

2
3
1 
 3R   3R 16 R
   R2  
.

.

3 
5   5
125




h

 2R 
Ta có: Vcc   .h 2 .  R     . 

3

 5 
Vậy thể tích khối tròn xoay là:

2

2R 


 52 R3
. R  5  
3 
375




52 R 3 16 R 3 4 R 3


.
375
125
15

Câu 5: Một hình nón có bán kính đáy R  2cm . Một mặt phẳng đi qua trung điểm và vuông góc với
trục của hình nón cắt hình nón theo thiết diện có diện tích là bao nhiêu?
1
S 
A. S  2
B. S  4
C.
4
D. S  
2

1 
Lời giải: Ta có: S   .  .2    .
2 

Câu 6: Hình nón có đường sinh

 2a và hợp với đáy góc 60 0 . Stp của hình nón bằng:

A. 4 a 2
B. 3 a 2
C. 2 a 2
Lời giải: Ta có: R  a . Suy ra Stp   Rl   .a.2a  2 a 2 .

D.  a 2

Câu 7: Chóp tứ giác đều có cạnh bên tạo với đáy góc 60 0 và độ dài cạnh đáy là a . Tính thể tích khối
nón ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. V 

 a3 3
4

B. V 

 a3 2
3

C. V 

 a3 6
3

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

D. V 

 a3 6
12

Trang 15/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Lời giải: Ta có: R 

a 2
a 2 a 6
.

, h  tan 60.

2
2
2
2

1  a 2  a 6  a3 6
Suy ra: V  . . 

 .
3  2 
2
12
Câu 8: Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một hình nón. Thể tích khối nón bằng
3 a3
3 a3
6 a3
6 a3
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
27
9
27

9
Lời giải: Ta có: R  BH 

a 6
2
a 3
, h  AH  AB 2  BH 2 
BI 
3
3
3

1
 a3 6
Suy ra V   R 2 h 
.
3
27

Câu 9: Hình chữ nhật ABCD có AB  a, AD  b . Quay hình chữ nhật quanh đường thẳng AB được
hình trụ có thể tích là V1 . Quay hình chữ nhật xung quanh đường thẳng AD được hình trụ có diện
tích thể tích là V2 . Phát biểu nào sau đây là đúng?

V a
B. 1 
V2 b

V
A. 1  1
V2

V b
C. 1 
V2 a

V a
D. 1   
V2  b 

2

Lời giải: Gọi V1 là thể tích hình trụ tạo bởi khi xoay quanh cạnh AB.
V2 là thể tích hình trụ tạo bởi khi xoay quanh cạnh AD.

V2   a2b

Vậy: V1   b2 a ;



V1 b
 . Chọn C
V2 a

Câu 10:Tính thể tích khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a .
A. V 

 a3
4

B. V 

 a3
2

Lời giải: Thiết diện qua trục là hình vuông ABCD  R 

C. V 

 a3
3

D. V 

 a3
2 2

a
a
. Vậy: V   R 2 h 
. Chọn A
2
4
3

Câu 11:Cho hình trụ có hai đường tròn đáy  O; 2cm  và  O '; 2cm  . Một mặt phẳng vuông góc với

OO ' và cắt đoạn thẳng OO ' theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi là?
A. 2 cm
B. 4 cm

C. 6 cm
D. 6, 28 cm
Lời giải: Chu vi của đường tròn giao tuyến là: CV  2 R  2. .2  4 . Chọn B
Câu 12:Cho hình trụ có hai đường tròn đáy là  O; R  và  O '; R  , OO '  h . Gọi  P  là mặt phẳng chứa

OO ' . Thiết diện tạo bởi hình trụ với mặt phẳng đó có chu vi là?
A. h  2R
B. 2h  2R
C. h  4R
Lời giải: Thiết diện tạo bởi hình trụ và mặt phẳng  P  là hình chữ nhật ABCD.

D. 2h  4R

Vậy: CV  2.  h  2 R   2h  4 R. Chọn D
Câu 13:Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện
tích toàn phần của hình trụ là?
LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 16/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
2
2
3
B.
C.
5
3
4

Lời giải: Thiết diện qua trục là hình vuông nên: h  2R ;
Diện tích xung quanh hình của trụ là: Sxq  2 Rh

A.

Diện tích toàn phần của hình trụ là: Stp  2 R.  R  h  ; Vậy:

S xq
Stp

D.



1
2

h
2
 . Chọn A
Rh 3

Câu 14:Tỷ số diện tích xung quanh của hình trụ và diện tích của mặt cầu nội tiếp hình trụ?
1
1
1
A. 1
B.
C.
D.

2
4
2
Lời giải: Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq  2 Rh
Diện tích của mặt cầu nội tiếp hình trụ là: Sc  4 R 2  4 .

S
h2
. Vậy: xq  1 . Chọn A
4
Sc

Câu 15:Tính diện tích xung quanh khối trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có chu vi bằng
chu vi của đường tròn đáy và diện tích bằng 2   2  .
2

A. S xq  2   2 

2

B. S xq  2 2   2  C. S xq  2   2 

D. S xq     2 

2

Lời giải: Gọi thiết diện qua trục là hình chữ nhật ABCD.
Ta có: S ABCD  2   2 

2

  2 
 2Rh  R 
h

2

; 2  2 R  h   2 R  h    2    2  R    2

Vậy: S xq  2 Rh  2   2  . Chọn A
2

Câu 16:Từ cùng một tấm kim loại dẻo hình quạt (như hình vẽ) có kích thước bán kính R  5 và chu vi
của hình quạt là P  8  10, người ta gò tấm kim loại thành những chiếc phễu theo hai cách:
Cách 1. Gò tấm kim loại ban đầu thành mặt xung quanh của một cái phễu.
Cách 2. Chia đôi tấm kim loại thành hai phần bằng nhau rồi
gò thành mặt xung quanh của hai cái phễu. Gọi V1 là thể tích
của cái phễu thứ nhất, V2 là tổng thể tích của hai cái phễu ở
cách thứ hai. Tỉ số
A.

V1 2
 .
V2 7

V1
bằng
V2
B.

V1 2 2

.
V2
7

C.

V1
21

.
V2
7

Lời giải: Chu vi của hình quạt  độ dài cung  2 R. Suy ra độ dài cung tròn

D.

V1 2 21

.
V2
7

 8 .

Cách 1: Chu vi đường tròn đáy của cái phễu là 8 .
1
Ta có 2 r1  8  r1  4  h1  R 2  r12  3  V1   .42.3  16 .

3
Cách 2: Chu vi đường tròn đáy của mỗi phễu nhỏ là 4 .

V 2 21
1
 8 21
Ta có 2 r2  4  r2  2  h2  R 2  r22  21  V2  2    .22. 21  
 . Vậy 1 
.
V2
7
3
3

Câu 17:Bé Bách có một tấm bìa có chiều dài 20 cm; chiều rộng 1 cm. Bé muốn gấp một cái hộp nhỏ
xinh để bỏ kẹp tóc vào hộp đó tặng quà cho mẹ ngày 20 tháng 10. Anh Siêu đã chỉ cho bé hai cách
gấp hộp. Cách thứ nhất là bé cuốn tấm bìa thành một cái hộp hình trụ không có hai đáy có thể tích
LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 17/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
V1. Cách thứ hai là bé gập tấm bìa một hình hộp chữ nhật có

thể tích V2 có các kích thước như hình vẽ. Hãy tìm tỉ số thể tích
của hai hộp để biết được gấp theo cách nào sẽ có thể tích lớn
hơn.
V 4
V 

V 1
A. 1  .
B. 1  .
C. 1  .
V2 
V2 4
V2 4

D.

V1
 4.
V2

Lời giải: Chiều dài của tấm bìa là 20 cm, suy ra
• 20  2 .R  R 

10



( R là bán kính đường tròn đáy hình trụ).

• Theo đề bài thì hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông (hình vẽ) nên cạnh của hình vuông bằng
Khi đó

20
 5.
4

V1 S1.1 S1  R 2 4


 2  . Chọn A.
V2 S2 .1 S2
5


Câu 18:Một tấm tôn hình chữ nhật có chiều dài 4m, chiều rộng 1m. Một người thợ muốn cắt tấm tôn
này thành hai phần như hình vẽ. Người thợ gò phần 1 thành hình trụ có đáy hình vuông và phần 2
thành hình trụ có đáy hình tròn. Tìm x để tổng thể tích của hai khối trụ là nhỏ nhất.

4
.
 4

16
.
 4
4 x
.
Lời giải: Gọi r là bán kính đáy của hình trụ. Suy ra 2 r  4  x  r 
2

A. x 

B. x 

8
.

 4

C. x 

D. x 

16
.
 4

1  2 2
4
 x
 4 x
1
Tổng thể tích của hai khối:   .1   
 .1   
 x  x   f  x.


4
 2 
 16 4 
 16 
Đây là hàm bậc hai nên f  x   f 
 , x   0; 4  . Chọn C.
 4  
2

2

Câu 19:Để tính diện tích xung quanh của một khối cầu bằng đá, người ta thả nó vào
trong một chiếc thùng hình trụ có chiều cao h  2m, bán kính đường tròn đáy bằng
1
thể tích khối trụ. Sau khi thả
8
khối cầu đá vào khối trụ người ta đo được mực nước trong khối trụ cao gấp ba lần
mực nước ban đầu khi chưa thả khối cầu. Hỏi diện tích xung quanh của khối cầu gần
bằng kết quả nào được cho dưới đây ?
A. 1,5m 2 .
B. 1, 7m 2 .
C. 2, 6m 2 .
D. 3, 4m2 .
R  0,5m và chứa một lượng nước có thể tích bằng

V
1
1
Lời giải: Thể tích khối trụ V   R 2 h   . Suy ra thể tích lượng nước V     .
8 16
2

4 3
1
3
 2   
 RCau  3 .
Từ giả thiết suy ra thể tích khối cầu: VCau  2V    RCau
3
16

32
2
Vậy diện tích xung quanh của khối cầu là S  4 RCau
 2,6m2 . Chọn C.

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 18/19


Biên soạn: Đội ngũ giáo viên TAEducation – Điện thoại: 0902.920.389
Câu 20:Một bình đựng nước dạng hình nón không nắp đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình
gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào bình đó một khối trụ và đo được thể tích nước trào
16
dm 3 . Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón
ra ngoài là
9
và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón (như hình vẽ). Tính bán
kính đáy R của bình nước.
A. R  2 dm.
B. R  3 dm.
C. R  4 dm.
D. R  5 dm.
Lời giải: Gọi h, h lần lượt là chiều cao của khối nón và khối trụ; R , r lần lượt là bán kính đáy của khối
nón và khối trụ. Khi đó h  3R, h  2 R.
Xét phần mặt cắt và gọi các điểm như hình vẽ. Theo giả thiết Vtru   r 2 h 

chuyển Vtru

16

. Ta sẽ
9

h  2 R

theo R. Cụ thể:  r SI h  h 3R  2 R 1
1 .
r  R
 R  SO  h  3R  3 
3

Khi đó Vtru   

R2
16
 2R 

 R  2 dm. Chọn A.
9
9

LUYỆN TOÁN TỰ LUẬN – TRẮC NGHIỆM ÔN THI THPT QUỐC GIA

Trang 19/19