LUẬN văn một số PHƯƠNG TRÌNH hàm với cặp BIẾN tự DO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Nguyễn Xuân Toàn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VỚI CẶP BIẾN TỰ DO

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ CÔNG TRÌNH

Bình Định - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

Nguyễn Xuân Toàn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VỚI CẶP BIẾN TỰ DO

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:
TS. LÊ CÔNG TRÌNH

Bình Định - 2012


Mục lục

Mở đầu

1

1 Một số phương trình hàm cổ điển với cặp biến tự do

3

2

1.1

Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Phương trình hàm Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Phương trình hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Phương trình mũ Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5

Phương trình hàm Pexider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.6

Phương trình hàm Vincze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

Phương trình hàm D’Alembert

17

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Phương trình hàm đặc trưng cho các đa thức bậc hai và bậc
ba

22

2.1

Phương trình hàm cảm sinh từ khai triển Taylor . . . . . . . .

22

2.2

Phương trình hàm đặc trưng cho các đa thức bậc hai . . . . . .

26

2.3

Phương trình hàm đặc trưng cho các đa thức bậc ba . . . . . .

30

Phụ lục A Một số bài toán về phương trình hàm với cặp biến tự
do

37

Kết luận

70

Tài liệu tham khảo

71

0


1

Mở đầu
Phương trình hàm là một trong những chủ đề được nghiên cứu lâu đời nhất
trong Giải tích toán học. Phương trình hàm xuất hiện và được ứng dụng trong
rất nhiều lĩnh vực, từ Khoa học ứng dụng cho đến Khoa học xã hội, Kinh tế,
Kỹ thuật,...D’Alembert (1769), Euler (1768), Cauchy (1821), Abel (1823),...và
nhiều nhà Toán học nổi tiếng khác đã quan tâm đến các phương trình hàm
và việc giải chúng. Những năm gần đây, vấn đề giải các bài toán có liên quan
đến phương trình hàm là một trong nhiều nội dung xuất hiện thường xuyên
trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, các kì thi Olympic Toán cấp khu
vực và quốc tế. Lời giải của các phương trình hàm thường đưa về các phương
trình hàm cổ điển, như phương trình hàm Cauchy, Jensen, Pexider, Vincze,
D’Alembert,..., những phương trình hàm với cặp biến tự do. Do đó, luận văn
chúng tôi tập trung nghiên cứu vấn đề "Một số phương trình hàm với cặp biến
tự do".
Mục đích nghiên cứu đầu tiên của luận văn là hệ thống một số vấn đề có
liên quan đến các phương trình hàm cổ điển như phương trình hàm Cauchy,

Jensen, Pexider, Vincze, D’Alembert. Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số
phương trình hàm với cặp biến tự do có liên quan, trong đó có phương trình
hàm cảm sinh từ khai triển Taylor và một số phương trình hàm đặc trưng cho
các đa thức bậc hai, bậc ba.
Nội dung của luận văn bao gồm hai chương và một phụ lục.
Chương 1 trình bày một số phương trình hàm cổ điển với cặp biến tự do,
bao gồm phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm Jensen, phương trình
hàm Pexider, phương trình hàm Vincze và phương trình hàm d’Alembert.
Chương 2 trình bày phương trình hàm cảm sinh từ khai triển Taylor và
các lớp phương trình hàm đặc trưng cho các đa thức bậc hai, bậc ba.
Phụ lục trình bày một số bài toán về phương trình hàm với cặp biến

|f (x) − f (y)| ≤ K(x − y)2 .

(3.81)

Chứng minh rằng f là hàm hằng.
Lời giải. Giả sử b > a và đặt e = (b−a)/n, n ∈ Z+ . Đặt x0 = a và xi = a+ie,
với i = 1, 2, ..., n. Khi đó ta có f (a) = f (x0 ), f (b) = f (xn ), và
n

|f (a) − f (b)| = |f (x0 ) − f (xn )| ≤

|f (xi ) − f (xi−1 )|.
i=1


66
Suy ra

n
2

2

n−2 K(b − a) = n−1 K(b − a) .

|f (a) − f (b)| ≤
i=1
−1

Cho n → ∞, chúng ta có n K(b − a)2 → 0. Do đó f (a) = f (b), ∀b > a. Vậy

f là hàm số hằng.
Bài toán A.0.34. Xác định tất cả các hàm f : Q → Q thỏa mãn điều kiện

f (x + f (y)) = f (x)f (y).

(3.82)

Lời giải. Trước hết chúng ta thấy nếu tồn tại x0 ∈ Q mà f (x0 ) = 0 thì

f (x) = 0, ∀x ∈ Q. Vì vậy, ta giả sử f (x) = 0, ∀x ∈ Q.
Đặt f (0) = a. Thay x = 0 vào (3.82) ta được f (f (y)) = f (0)f (y) hay

f (f (x))] = f (0)f (x).
Từ (3.82) ta cũng có f (f (x) + f (x)) = f (f (x))f (x) = f (0)[f (x)]2 .
Bằng quy nạp, ta có kết quả f (nf (x)) = f (0)[f (x)]n , ∀n ∈ Z.
Để ý rằng f (−a) = f (−f (0)) = f (0)[f (0)]− 1 = 1. Vì vậy

f (x + 1) = f (x + f (−a)) = f (x)f (−a) = f (x).
Suy ra f (m) = a, ∀m ∈ Z.
Giả sử m/n là một giá trị của f với m, n ∈ Z. Do đó, tồn tại một x sao cho

f (x) = m/n. Từ đó chúng ta có thể viết
a = f (m) = f (n
Vì a = f (0) = 0 nên suy ra

m
n

m
m
) = f (nf (x)) = a( )n .
n
n

= ±1. Tuy nhiên, trường hợp

m
n

= −1 không

xảy ra. Thật vậy, giả sử −1 là giá trị của f thì f (x − 1) = f (x)(−1), điều này
trái với kết quả đã suy ra là f (x + 1) = f (x), ∀x.
Kết luận: f (x) = 1, ∀x ∈ Q.
Bài toán A.0.35. Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục và thỏa mãn điều
kiện

f

x2 + y 2 = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.

(3.83)


67
Lời giải. Nhận xét ta thấy f đồng nhất 0 là một nghiệm của phương trình. Giả
sử tồn tại y0 sao cho f (y0 ) = 0. Khi đó ta có

f (x)f (y0 ) = f

x2 + y0 2 = f (−x)f (y0 ).

Trong (3.83) cho x = y = 0, ta được f (0) = f (0)f (0). Vì theo giả sử trên nên
ta suy ra f (0) = 1.
Trong (3.83) cho y = 0, ta được f

√

x2 = f (x)f (0) ⇔ f (|x|) = f (x).

√

Đặt g(x) = f ( x), ∀x ≥ 0. Khi đó

g(x + y) = f

√

x+y =f

√

√
x f ( y) = g(x)g(y), ∀x, y ≥ 0.

Suy ra g thỏa mãn phương trình mũ Cauchy.
Nếu g(0) = 0 thì g(x) = 0, ∀x ≥ 0. Giả sử rằng g(0) = 0 ⇒ g(−x + x) =

g(−x)g(x) = 0, ∀x ≥ 0, suy ra g(x) = 0, ∀x ≥ 0. Mặt khác vì
x
x x
g(x) = g( + ) = [g( )]2
2 2
2
nên g(x) > 0, ∀x ≥ 0.
Để ý rằng g(x) = 0 ⇒ g( x2 ) = 0. Vì vậy, nếu có x ≥ 0 mà g(x) = 0 thì ta có
thể xây dựng được một dãy số x, x/2, x/4, ... hội tụ đến 0 mà hàm g triệt tiêu
trên tất cả các giá trị đó. Tuy nhiên, vì g liên tục nên ta có g(0) = 0, điều này
chúng ta đã xét ở trên nên ta loại trường hợp này.
Với g(x) = 0, ∀x ≥ 0 thì từ g(x) > 0 và g thỏa mãn phương trình hàm mũ

√

Cauchy ta suy ra kết quả g(x) = ax . Mà f ( x) = g(x) hay f (x) = g(x2 ), suy
2

ra f (x) = ax .

2

Thay x = 1 vào kết quả trên, chúng ta được f (1) = a. Vậy f (x) = [f (1)]x .
Bài toán A.0.36. Tìm tất cả các hàm f : R → R liên tục và thỏa mãn điều
kiện
2

f (x + y)f (x − y) = [f (x)f (y)] , ∀x, y ∈ R.

(3.84)


68
Lời giải. Nhận xét thấy rằng hàm f đồng nhất 0 là một nghiệm của phương
trình. Thay y = 0 vào (3.84), chúng ta được

[f (x)]2 = [f (x)]2 [f (0)]2 .
Nếu tồn tại giá trị x sao cho f (x) = 0 thì f (0) = ±1. Tuy nhiên f thỏa mãn
phương trình hàm khi và chỉ khi −f cũng thỏa mãn nên ta chỉ cần xét trường
hợp f (0) = 1.
Thay x = 0 vào (3.84) ta được f (y)f (−y) = [f (y)]2 ⇒ f (−y) = f (y), ∀y ∈
R.
Trong (3.84) thay y = x ta được f (2x)f (0) = [f (x)]4 ⇒ f (2x) = [f (x)]4 .
Từ phương trình hàm trên chúng ta thấy rằng nếu f (x) = 0 với bất kì x nào
đó thì f ( x2 ) = 0. Bằng cách chứng minh tương tự như bài tập trên ta có được

f (x) = 0, ∀x ∈ R. Vì f (x) = [f ( x2 )]4 nên suy ra f (x) > 0, ∀x ∈ R. Bằng quy
2

nạp, ta được f (nx) = [f (x)]n . Thay x =

1
n

2

ta có f (1) = [f ( n1 )]n . Suy ra

1
1
f ( ) = [f (1)] n2 .
n

Do đó
m2
m
1
1 m2
f ( ) = f (m( )) = [f ( )] = [f (1)] n2 .
n
n
n
2

2

Áp dụng tính liên tục, ta có f (x) = [f (1)]x và f (x) = −[f (1)]x là nghiệm
phương trình (3.84).
Bài toán A.0.37. Tìm tất cả các hàm f, g, q : R → R liên tục và thỏa mãn
điều kiện

f (x + y) + g(x − y) = q(xy), ∀x, y ∈ R.
Lời giải. Thay x = y =

t
2

(3.85)

vào (3.85), ta được

t2
f (t) = q
4

− a, ∀x, y ∈ R,

(3.86)


69
trong đó a = g(0).
Thay x = −y =

t
2

vào (3.85), ta được

t2

g(t) = q −
4

− b, ∀x, y ∈ R,

(3.87)

trong đó b = f (0).
Tiếp theo ta thay f (x), g(x) từ (3.86) và (3.87) vào (3.85), chúng ta được
2

q

(x + y)
4

2

(x − y)
−a+q −
4

− b = q(xy), ∀x, y ∈ R.

Đặt h(u) = q(u) − (a + b), khi đó phương trình trên trở thành

h(u + v) = h(u) + h(v), ∀u ≥ 0, v ≤ 0

(3.88)

và h(0) = 0. Do đó (3.88) là phương trình hàm Cauchy có nghiệm là h(u) =

cu, c ∈ R. Từ đó, ta suy ra
cx2
cx2
f (x) =
+ b, g(x) = −
+ a, ∀x ∈ R.
4
4
Vậy ta có kết luận:


f (x) =




cx2
4

+ b,
2

g(x) = − cx4 + a,



 q(x) = cx + a + b,
trong đó a, b, c ∈ R tùy ý.

70

Kết luận
Luận văn đã đạt được một số kết quả sau đây.
1. Trình bày một số phương trình hàm cổ điển như phương trình hàm
Cauchy, Jensen, Pexider, Vincze, D’Alembert.
2. Trình bày một lớp các phương trình hàm đặc trưng cho các đa thức bậc hai
(phương trình hàm E(a, b, c), Hệ quả 2.2.1) và đa thức bậc ba (phương
trình hàm (2.15), Hệ quả 2.2.3).
3. Trình bày một phụ lục gồm một hệ thống bài tập liên quan đến các
phương trình hàm với cặp biến tự do.


Tài liệu tham khảo
[1] Ban tổ chức kì thi (2011), Tuyển tập đề thi Olympic 30 tháng 4, lần thứ
XVII-2011, NXB Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh.
[2] N. V. Mậu (1999), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục.
[3] N. V. Mậu, B. C. Huấn, Đ. H. Thắng, N. H. Ruận (2004), Một số chuyên
đề toán học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Hà Nội.
[4] Aczèl, J., Dhombres, J. G. (1989), Functional Equations in Several Variables,
Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University
Press.
[5] M. Akkouchi (2001), A class of functional equations characterizing polynomials of degree two, Divulgaciones Mátematicas Vol. 9 No. 2,pp. 149-153.
[6] M. Hosszu (1964), On the Fréchet’s functional equation, Bul. Inst. Politech.
Iasi, pp. 27-28.
[7] M. Kuczma (1985), An introduction to the theory of functional equations
and inequalities,Panstwowe Wydawnictwo Naukowe- Uniwersytet Slaski,
Warszawa-Kraków-Katowice.

[8] V. V. Prasolov (2004), Polynomials, Springer.

71


72
[9] P. K. Sahoo (2004), On a functional equation characterizing polynomials of
degree three, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica Vol. 32 No. 1, pp. 35-44.
[10] C. G. Small (2007), Functional equations and how to solve them, Springer.