CD21 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 120 129

Phát triển tư duy Hình học 7

Chuyên đề 21. CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG

CÙNG ĐI QUA MỘT ĐIỂM (ĐỒNG QUY)
A. Kiến thức cần nhớ
Trong các chuyên đề trước ta gặp một số bài toán về chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Phương pháp giải các bài toán này là vận dụng định lý về các đường đồng quy của tam giác:
 Ba đường trung tuyến của một tam giác đồng quy;
 Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy;
 Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy;
 Ba đường cao của một tam giác đồng quy.
• Nếu ba đường thẳng

minh

đã cho không phải là các đường chủ yếu của tam giác thì để chứng

đồng quy, ta có thể gọi giao điểm của

và

là

rồi chứng minh đường thẳng

đi qua
hay chứng minh
nằm trên đường thẳng
• Một số trường hợp có thể đưa bài toán chứng minh 3 đường đồng quy về chứng minh ba điểm
thẳng hàng.

B. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho tam giác
của

và

góc

cắt

tù. Vẽ các đường thẳng

heo thứ tự tại

rằng các đường thẳng

và

và

và

Vẽ tia phân giác

lần lượt là đường trung trực
của góc

Chứng minh

đồng quy.

Giải (h.21.1)

- Tìm cách giải:
Gọi

là giao điểm của

và

Ta phải chứng minh tia

đi qua

. Muốn vậy phải chứng minh

.
- Trình bày lời giải:
Gọi

là giao điểm của hai đường thẳng

và

.

Ta có:
Hình 21.1

. Suy ra
. Suy ra

Mặt khác
Do đó

(vì

cân tại

là tia phân giác của góc

Suy ra ba đường thẳng

và

) nên

.

.
đồng quy tại

.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 1


Phát triển tư duy Hình học 7

Ví dụ 2. Cho tam giác

cho

cân tại

. Trên các cạnh

. Gọi M là trung điểm của

Chứng minh rằng ba đường

lần lượt lấy các điểm

và

sao

.
đồng quy.
Giải (h.21.2)

- Tìm cách giải:
Gọi là giao điểm của
điểm

và

Ta phải chứng minh tia

đi qua

tức là phải chứng minh ba

thẳng hàng.

- Trình bày lời giải:
Ta có

, suy ra

.

.
Gọi

là giao điểm của

Vì

cân tại

Mặt khác

và

nên

.
. (1)

(giả thiết) (2)

Hình 21.2

và

(giả thiết) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ba điểm

thằng hàng

(vì cùng nằm trên đường trung trực của
Do đó ba đường thẳng
Ví dụ 3. Cho tam giác
nằm trong góc

đồng quy.
. Các đường phân giác các góc ngoài của tam giác cắt nhau tại
nằm trong góc

a) Chứng minh rằng các đường thẳng
b) Điểm

).

,

nằm trong góc

).

đồng quy tại một điểm

.

có vị trí như thế nào đối với tam giác ?
Giải (h.21.3)

- Tìm cách giải:

21.3
“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười Hình
biếng”

Page. 2


Phát triển tư duy Hình học 7

Từ giả thiết các đường phân giác ngoài cắt nhau ta nghĩ đến định lí ba đường phân giác của tam giác
đồng quy. Vì vậy để chứng
phân giác của tam giác

đồng quy ta chỉ cần chứng minh

là ba đường

.

- Trình bày lời giải:
Xét tam giác

, các đường phân giác ngoài đỉnh

đường phân giác trong đỉnh

Xét

đồng quy tại một điểm

thẳng hàng, ba điểm
có

.

thẳng hàng, ba điểm

thẳng hàng.

(hai đường phân giác của hai góc kề bù).
nên

tâm của tam giác

là ba đường cao gặp nhau tại

. Do đó

là trực

.

Ví dụ 4. Cho tam giác
và

là

của tam giác

Tương tự

cận tại

. Suy ra

lần lượt là các đường

Do đó ba đường thẳng
b) Ba điểm

cắt nhau tại

.

Chứng minh tương tự ta được
phân giác trong tại đỉnh

và đỉnh

. Vẽ

có

. Vẽ ra ngoài ta giác này các tam giác

. Chứng minh rằng ba đường

vuông

đồng quy.

Giải (h.21.4)
- Tìm cách giải:
Trong đề bài có yếu tố góc vuông, có yếu tố đường cao nên ta có thể dùng đinh lí ba đường cao trong
tam giác đồng quy.
- Trình bày lời giải:
Tam giác

vuông cân tại

Tam giác

vuông cân tại

.

Ta có:

, suy ra ba điểm

Chứng minh tương tự ta được ba điểm

Xét tam giác
có
C. Bài tập vận dụng

Hình 21.4
thẳng
hàng.

thẳng hàng.

là ba đường cao nên chúng đồng quy.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 3


Phát triển tư duy Hình học 7
• Đưa chứng minh đồng quy về chứng minh thẳng hàng

21.1. Trong hình 21.5 có
đồng quy.

. Chứng minh ba đường thẳng

21.2. Cho tam giác

vuông tại

sao cho

và đường thẳng

,

. Vẽ điểm
là trung trực của

21.3. Cho tam giác nhọn
nửa mặt phẳng bờ

và

và điểm

không chứa

là trung trực của
và

đồng quy.

nằm trong tam giác sao cho

vẽ các tia

. Trên

sao cho

.

đồng quy.

21.4. Hình 21. 6 có

. Gọi
và

sao cho đường thẳng

. Chứng minh ba đường thẳng

Chứng minh ba đường thẳng

đường thẳng

Hình 21.5
là một điểm ở
trong tam giác

. Gọi

là đường trung trực của

. Chứng minh rằng các

đồng quy.

21.5. Cho tam giác

và một điểm

của các tam giác

ở trong tam giác. Gọi

. Chứng minh ba đường thẳng

lầnHình 21.6lượt là trọng tâm
đồng quy.

• Ba đường phân giác đồng quy

21.7. Trong hình 21.7, hai đường thẳng
thẳng

,

. Vẽ các đường phân giác

. Chứng minh rằng ba đường thẳng

21.9. Cho tam giác nhọn

, đường cao

các đường trung trực của
và

không song song. Chứng minh rằng ba đường

đồng quy.

21.8. Cho tam giác
đường thẳng

và

. Từ

vẽ các

đồng quy.

. Vẽ các điểm

. Gọi giao điểm của

cắt nhau tại

với

sao cho

theo thứ tự là

Hình 21.7
theo thứ tự là

.

Chứng minh rằng ba đường thẳng
• Ba đường cao đồng quy

đồng quy.

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

Page. 4


Phát triển tư duy Hình học 7

21.10. Cho tam giác

vuông ở

, đường cao

đường phân giác của tam giác

. Gọi

. Vẽ

và

lần lượt là giao điểm của các

. Chứng minh rằng các đường thẳng

đồng quy.
21.11. Cho tam giác

, đường

. Trên nửa mặt phẳng bờ là

. Trên nửa mặt phẳng bờ là
và

không chứa

. Chứng minh rằng ba đường thẳng

21.12. Cho tam giác
vuông góc với

vuông tại

, đường phân giác

. Các đường thẳng

lần lượt cắt

không chứa

vẽ đoạn thẳng

vẽ đoạn thẳng

sao cho

đồng quy.
. Từ
tại

vẽ các đường
. Chứng minh rằng ba đường

thẳng
đồng quy.
• Ba đường trung trực đồng quy, ba đường trung tuyến đồng quy.
21.13. Cho tam giác
góc

cắt

vuông tại
tại

. Gọi

, đường cao

là trung điểm của

Chứng minh rằng các đường phân giác trong góc
21.14. Cho tam giác

. Trên cạnh

vuông tại

Cho biết tam giác
quy.

, góc

,

lấy điểm

. Qua

, trên cạnh

, đường cao

và

vẽ đường thẳng

và đường thẳng

lấy điểm

.

đồng quy.

. Trên cạnh

Chứng minh rằng các đường thẳng
21.15. Cho tam giác nhọn

. Vẽ các đường phân giác của góc

lấy điểm

sao cho

sao cho

đồng quy.
, đường phân giác

, đường trung tuyến

là tam giác đều. Chứng minh rằng các đường thẳng

“Trên con đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng”

.
đồng

Page. 5