Các số đại số và ứng dụng vào giải phương trình diophantine

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

-------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC HOA

CÁC SỐ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Hà Nội, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

-------------------------

NGUYỄN THỊ NGỌC HOA

CÁC SỐ ĐẠI SỐ VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
DIOPHANTINE
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS. Lê Quý Thường

Hà Nội, 2019


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝↔♠ ì♥

✷

▲í✐ ♥â✐ ✤➛✉

✹

✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✻

✶✳✶

❱➔♥❤ ✈➔ tr÷í♥❣

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷

❱➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❤â❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✸

▼æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✷ ❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè

✶✷

✷✳✶

❙è ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✷✳✷

❇❛♦ ✤â♥❣ ♥❣✉②➯♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✷✳✸

▼ð rë♥❣ ✤↕✐ sè ❝õ❛ ♠ët tr÷í♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✹

▲✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr➯♥ tr÷í♥❣

✷✳✺

❈→❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè

✷✳✻

K

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✷

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✸

❈→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✸ ❙è ✤↕✐ sè ✈➔ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡

✸✸

✸✳✶

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡

x2 − 2y 2 = ±1

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

✸✳✷

P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡

x2 − my 2 = 1 ✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✼

✸✳✸

▼ët sè tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✈æ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡

y 2 − x3 = k
✸✳✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

y 2 − x3 = k

✹✸

●✐↔✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❉✐♦♣❤❛♥t✐♥❡

✶

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳


✷

❑➳t ❧✉➟♥

✹✻

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✼


▲í✐ ❝↔♠ ì♥
❚r÷î❝ ❦❤✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣
❝↔♠ ì♥ tî✐ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ❦❤♦❛ ❚♦→♥✱ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❍å❝ ❙÷ P❤↕♠ ❍➔ ◆ë✐ ✷✱
❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ tê ❜ë ♠æ♥ ✣↕✐ sè ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛② ❝æ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣
❞↕② ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ♥❤ú♥❣ tr✐ t❤ù❝ q✉þ ❜→✉ ✈➔ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ t❤✉➟♥
❧ñ✐ ✤➸ ❡♠ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ tèt ♥❤✐➺♠ ✈ö ❦❤â❛ ❤å❝ ✈➔ ❦❤â❛ ❧✉➟♥✳

✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❡♠ ①✐♥ ❜➔② tä sü ❦➼♥❤ trå♥❣ ✈➔ ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tî✐ ❚❙✳
▲➯ ◗✉þ ❚❤÷í♥❣✱ ♥❣÷í✐ ✤➣ trü❝ t✐➳♣ ❤÷î♥❣ ❞➝♥✱ ❝❤➾ ❜↔♦ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï
✤➸ ❡♠ ❝â t❤➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ♥➔②✳

❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥✱ ♥➠♥❣ ❧ü❝ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜↔♥ t❤➙♥ ❝á♥ ❤↕♥ ❝❤➳ ♥➯♥ ❜↔♥ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ t❤➸ tr→♥❤ ❦❤ä✐ ♥❤ú♥❣ s❛✐ sât✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ r➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝
♥❤ú♥❣ þ ❦✐➳♥ ❣â♣ þ q✉þ ❜→✉ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣å❝ ❍♦❛

✸


ớ õ
Pữỡ tr ữỡ tr ữủ tr t ủ
số ởt ở q trồ ừ t ồ sỷ
ữỡ tr ởt ở tr
ố ợ ỳ t t ồ ồ ữớ ỏ ợ
t rt ợ t ồ t t ữ r ớ trồ
t t rt õ ởt tr
ộ ữỡ tr t t ởt
t ồ ữớ ổ số r t tự ữớ
ự ữỡ tr ự trữợ ởt ổ
tr ữỡ tr ừ t ởt ọ
ổ ổ ữủ t r õ tt t tt ữỡ
tr t tỹ ởt õ ố
ợ ởt số ợ ữỡ tr t t õ t ữủ
ử số số ú t õ t sỷ ử tự ừ số

số ữỡ tr t ởt số ợ t
ữ t qt ọ ú tổ ỹ ồ ừ


số số ự ử ữỡ tr t

ở ừ õ ỗ ữỡ
ữỡ tự ữỡ ởt số tự
ỡ trữớ ổ t ở
ừ ữỡ t t






ữỡ ỡ ữủ số số ú tổ tr ở
số số tự q trồ ú qt
t ừ ữỡ s
ữỡ ố số Pữỡ tr t ữỡ
trồ t ừ õ r ữỡ ú tổ ử
tự ữỡ trữợ ự sỹ tỗ t
ởt số ợ ữỡ tr t
tớ ỹ ỏ õ ổ
t tr ọ ỳ t sõt qỵ t ổ õ õ
õ ỵ qỵ õ ừ ú tổ õ t t ỡ
r trồ


❈❤÷ì♥❣ ✶

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ✤➣ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ✈➔♥❤✱ ✐✤➯❛♥✱
♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ tr÷í♥❣✱ ✈➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ❤â❛ ✈➔ ♠æ✤✉♥✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦
❝❤➼♥❤ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❧➔ ❬✶❪✳

✶✳✶ ❱➔♥❤ ✈➔ tr÷í♥❣
▼æt

✈➔♥❤

❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣

R=∅

✤÷ñ❝ tr❛♥❣ ❜à ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❤❛✐ ♥❣æ✐

•

P❤➨♣ ❝ë♥❣✿

+ : R × R → R✱ (x, y) → x + y ✱

•

P❤➨♣ ♥❤➙♥✿

· : R × R → R✱ (x, y) → x · y = xy ✱

t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿
✭❛✮

(R, +)

❧➔ ♠æt ♥❤â♠ ❛❜❡❧❀

✭❜✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ❦➳t ❤ñ♣❀
✭❝✮ P❤➨♣ ♥❤➙♥ ♣❤➙♥ ♣❤è✐ ✈➲ ❤❛✐ ♣❤➼❛ ✤è✐ ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣✿

(x + y)z = xz + yz,
✈î✐ ♠å✐

x, y, z

t❤✉ë❝

R✳

✻

z(x + y) = zx + zy


tự

ữỡ


ồ

R

ữủ ồ

õ ỡ





R

ữủ

ừ õ õ ỡ tự tỗ t ởt

tỷ

1R

1 ã x = x ã 1 = x



ổ õ ữợ ừ ổ

s

x

ợ ồ

xy = 0

tở

R



x=0



R

ữủ ồ

y = 0



ởt õ ỡ ổ õ ữợ ừ ổ ữủ ồ
ởt

ởt ồ tỷ ổ

ữủ ồ ởt

trữớ

ủ số

Z

ợ ở tổ tữớ

ởt t ủ

Q R



ợ ở

C

tổ tữớ trữớ
ủ

Z/n

ợ ỗ ữ số

[x] + [y] := [x + y] [x][y] := [xy]

t

õ ỳ tỷ õ ữủ ồ

số n

ởt

Z/n

õ ởt trữớ

n

ũ ợ

ởt õ ỡ

Z/n

ủ tự

n

n

ởt số tố ỡ ỳ

ợ số tr ởt

R

ũ ợ

ở tự tổ tữớ t ởt ữủ ồ
tự
t
ởt

n

ữủ

R[x1 , . . . , xn ]

ởt t ừ

tr

ừ

R

tử ố ợ tứ tr tự

a I

ởt

ừ

R

ợ tứ tự

ừ

R

R

ởt

ra I

ởt

ar I



R

R õ ố ợ

ởt

ợ ồ

ứ ởt tr ứ ởt ừ





ụ ởt

ừ ởt R

ở ởt

R[x1 , . . . , xn ]

I

ợ ồ

õ t

r R



õ t tử ố

rR

R

I



a I



I

t õ ữủ ồ ởt

ởt t

tr trũ


S

ởt t ừ

R

ởt

I

ữủ ồ

s


tự

ữỡ

S

I = (S)



ữỡ

(S)

S = {a} a R



ừ

ữủ ồ ởt

ợ

n

Z

R

ọ t ự

t t t

R

S



t t

ởt ồ ừ

tự õ tr

S

ỗ

({a})

ồ

K[X]

K[X]

ợ

K

õ

Z

õ

ởt trữớ ụ ởt

(f (X))

s ởt

K[X]

tố



M

R

ởt

t ởt

I

ừ

(a)

(n) = nZ

ởt õ ỡ õ ởt

ữủ ồ

y P

(a)

ự

ởt tữỡ

ởt ồ

ởt số tỹ

sỷ

R

S



ồ ừ

R

I



ừ tt ừ

ởt tỷ
ởt



ừ

P =R



ữủ ồ

xy P

ỹ



M =R

P

xP

ừ



ổ tỗ

R s I = M I = R M I R ú ỵ r

ồ ỹ tố ữủ õ ổ ú
ữ õ ú ợ

R



Z

K[X]

ợ

K

ởt trữớ

R ởt õ ỡ I ởt
ừ R õ
I tố R/I ởt
I ỹ R/I ởt trữớ
ử tự

(X 2 + 1)


K

tr

R[X]

ổ õ tỹ

ởt tố ừ

R/(X 2 + 1)

X2 + 1

ợ

C

R[X]

ụ ỹ

ởt trữớ

ởt trữớ ỳ õ õ t t q trồ s

K ởt trữớ ỳ õ tỗ t ởt số
tố p ởt số tỹ n s |K| = pn
t ỹ ởt trữớ õ

pn

tỷ õ t tỹ ữủ ớ

t t tự

(Z/p)[X]

ỹ ởt

tự

ữỡ

f (X)

tự



n

tr



(Z/p)[X]

tự t ỡ tr

(Z/p)[X]

ừ

pn

õ

ổ t t t t ừ

(Z/p)[X] õ (f (X)) ởt ỹ

õ t

tỷ ử t tự

õ

(f (X))

(Z/p)[X]/(f (X))

f (X) = X 2 + bX + c

ởt trữớ

tr

(Z/3)[X]

ỹ

f ([0]) = [0], f ([1]) = [0], f ([2]) = [0].
ồ

c = [1] b = [0]

t t ữủ

K = (Z/3)[X]/(X 2 + [1])

f (X) = X 2 + [1]
32 = 9

ởt trữớ õ

tr

(Z/3)[X]



tỷ

tỷ õ
ởt ổ ởt tỷ õ ởt ồ
tỷ ừ õ õ t t t t ừ tỷ ổ
t t ữủ ỳ s t r
tỷ õ


ổt

ợ ồ




Z

0

R

ữủ tr

R

tr

tỗ t tỷ

r=0



q, r R

s

(r) < (b)


ởt ố ợ

tr tt ố

ởt trữớ ởt ố ợ

| ã |



ừ tự


ữủ ồ
ợ

a b

tr õ

K[x] ợ K

deg

ợ ồ

ởt

s t t s ữủ tọ

a, b R b = 0

a = qb + r

: R \ {0} N

(ab) (a)


ởt



t q

b R c R)

R ởt P tỷ ổ a R


a

ổ tự

t

ổ t q t ữủ ồ

b

c

q

a = bc

ởt tỷ


ữỡ

tự

ởt số

nZ



tỷ t q ừ

ởt số tố tự

X2 2

ữ õ tỷ q tr
ởt tỷ

a = 0

Z



tỷ t q ừ

n

Q[X]

R[X]

tr ởt

R

ữủ ồ

t

t r tỷ t q a = up1 ã ã ã pm tr õ u ởt
tỷ ừ

R p1 , . . . , p m

tỷ t q ừ

R

õ t ữ

a = up1 ã ã ã pm = vq1 ã ã ã qn ,
ợ

v



q1 , . . . , q n

t q tr

số t õ
tr

R

t

m=n

s ởt

pi = vi qi (i = 1, . . . , m)

ợ

vi

R



ởt

tỷ õ

tr õ ồ tỷ

0



ss

ởt

õ t t r

tỷ t q
ỵ s q trồ tr tỹ

ỵ ộ ởt ộ ởt
tỷ õ

ổ

tr



ởt t ủ

R ởt õ ỡ 1 ởt Rổ

M =



P ổ



P ợ ổ ữợ

ữủ tr t

+ : M ì M M (x, y) x + y

tọ s

ã : R ì M M (, y) ã y = y


❈❤÷ì♥❣ ✶✳

❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✶✶

✭❛✮

(M, +)

✭❜✮

(αβ)x = α(βx)✱

✭❝✮

(α + β)x = αx + βx✱

✈î✐ ♠å✐

α, β ∈ R✱ x ∈ M ✱

✭❞✮

α(x + y) = αx + αy ✱

✈î✐ ♠å✐

α ∈ R✱ x, y ∈ M ✱

✭❡✮

1.x = x.1 = x✱

❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❛❜❡❧✱
✈î✐ ♠å✐

✈î✐ ♠å✐

α, β ∈ R✱ x ∈ M ✱

x ∈ M✳

❱➼ ❞ö✱ ♠é✐ ♥❤â♠ ❛❜❡❧ ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ✭tr→✐✮ tr➯♥ ✈➔♥❤
✤❛ t❤ù❝ ♠ët ❜✐➳♥ ❤➺ sè tr♦♥❣ ♠ët ✈➔♥❤

R

❧➔ ♠ët

Z✳

❚➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝

R✲♠æ✤✉♥

✈î✐ ❝→❝ ♣❤➨♣

t♦→♥ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣✳

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✽✳

▼ët

R✲♠æ✤✉♥ M

♠ët sè ❤ú✉ ❤↕♥ ♣❤➛♥ tû
✤➲✉ ❧➔ ♠ët tê ❤ñ♣

u1 , . . . , un

R✲t✉②➳♥

t➼♥❤ ❝õ❛

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔
❝õ❛

M

α1 , . . . , α n ∈ R ✳

♥➳✉ tç♥ t↕✐

s❛♦ ❝❤♦ ♠å✐ ♣❤➛♥ tû

{u1 , . . . , un }✱

x = α1 u1 + ... + αn un ,
✈î✐

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤
tù❝ ❧➔

x∈M


❈❤÷ì♥❣ ✷
❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tæ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠✱ ✈➼ ❞ö ✈➔ ❦➳t
q✉↔ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè✱ sè ✤↕✐ sè✱ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët sè ✤↕✐ sè✱ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛
♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè ✈➔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè tr➯♥ ♠ët tr÷í♥❣ t♦➔♥ ♣❤÷ì♥❣✳
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❬✸❪✳

✷✳✶ ❙è ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè
❈❤♦ ❤❛✐ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✳
n ∈ N>0

✈➔

A ✈➔ B

P❤➛♥ tû

s❛♦ ❝❤♦

b∈B

a0 , . . . , an−1 ∈ A

A ⊆ B ✳ ❚❛ ❝â ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ s❛✉ ✤➙②✳

✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A

♥➳✉ tç♥ t↕✐

s❛♦ ❝❤♦

bn + an−1 bn−1 + · · · + a1 b + a0 = 0.
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët

A=Z

✈➔

B = C✱

♠é✐ ♣❤➛♥ tû

b∈C

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

Z

sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè✳

√
2 ∈ C ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè ✈➻ 2 ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝
√
1
3
2
❧ã✐ X − 2 tr♦♥❣ Z[x]✱ sè − + i
∈ C ❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè ✈➻ ♥â
2
2
2
❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❝õ❛ ✤❛ t❤ù❝ ❧ã✐ X + X + 1 = 0 tr♦♥❣ Z[x]✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ✤â✱
√

❱➼ ❞ö✱ sè

√1
2

∈C

1
❦❤æ♥❣ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû √

2

✶✷

❧➔ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥

ữỡ

ỡ ữủ số số

số õ tỗ t

tự

a0 , . . . , an1 Z

n

1

2



+ an1

1

2

n1

s

1
+ ã ã ã + a1 + a0 = 0,
2




1 + an1 2 + ã ã ã + a1 ( 2)n1 + a0 ( 2)n = 0.

ứ õ s r



(1 + 2an2 + 22 an4 + ...)
,
2=
an1 + ...

tr ởt số ổ t ởt số ỳ t t ự

1
tọ

2

C



A ởt trữớ A ự tr ởt B

b B

tỷ

ổ số số

tr

A

ữủ ồ ởt

A = Q B = C

trữớ ủ

tỷ số

tỷ số

bC

tr

Q

t ởt

tr

A

r

ữủ ồ ởt

số số
1
ử

2

1


2

ởt số số ũ õ ổ số số

ừ tự


s

Q[X]

tr ởt

A B

m

ừ

B

1
2 tr



A

t t



A = Z B = Z + Z m = {a + b m | a, b Z}

tr

ồ tỷ ừ

B

A B

tr

B tr A

õ

õ

X2

B

ổ ởt số ữỡ õ tỷ tũ ỵ
ừ tự ó

tr

X 2 2aX + a2 mb2

m

tr

Z[X]

A

ổ ởt số ữỡ

ợ ồ tỷ

z =a+

õ



t ởt ử ự t ỡ
tr õ


z =a+b m


b 1+2 m ừ

B

t õ

A = Z B = Z + Z( 1+2 m )

m 1 (mod 4)

õ ố


2z (2a + b) = b m

4z 2 4z(2a + b) + (2a + b)2 mb2 = 0

tứ õ


ữỡ

ỡ ữủ số số





z 2 (2a + b)z + a2 + ab +


m 1 (mod 4) z

1m 2
b = 0.
4

ừ tự ó

f (X) = X 2 (2a + b)X + a2 + ab +
tr

Z[X]

z

tr

A

õ


Z+Z m

1m 2
b
4
tr

Z

ờ A B s A B õ
a A b B tr A t ab tr A

ự



b B tr A tỗ t ởt số tỹ n 1

tỗ t tỷ

a0 , a1 , . . . , an1 A

s

bn + an1 bn1 + ã ã ã + a1 b + a0 = 0.


aAB



ab B

ừ

(2.1)


ợ

an

t õ

(ab)n + an1 a(ab)n1 + ã ã ã + a1 an1 (ab) + a0 an = 0.


ab

ừ tự ó

f (x) = xn + an1 axn1 + ã ã ã + a1 an1 x + a0 an
tr

A[x]

õ

ab

tr

A

A B C õ
z C tr A t z tr B
C tr A t C tr B

ự

ồ tự số tr

õ t ởt tự số tr

A

B

ỵ A B b B õ b
tr A A[b] ởt Aổ ỳ s

ữỡ

ỡ ữủ số số

ự


sỷ

a0 , . . . , an1 A



b tr A õ tỗ t số tỹ n 1

s

bn an1 bn1 ã ã ã a1 b a0 = 0.
õ

bn = an1 bn1 + ã ã ã + a1 b + a0 Abn1 + ã ã ã + Ab + A

s r

bn+1 = an1 bn + an2 bn1 + ã ã ã + a1 b2 + a0 b Abn1 + ã ã ã + Ab + A.
q t õ
ớ ợ ồ

mN

i A

1, b, . . . , bn1

ởt

Aổ

bk Abn1 + ã ã ã + Ab + A
f (b) A[b] f (b)

ợ ồ số tỹ

m
k
k=0 k b ợ

f (b) =

õ

k

f (b) Abn1 + ã ã ã + Ab + A

ự tr

ởt s ỳ ừ

Aổ A[b]

tự

A[b]

ỳ s

ữủ sỷ

A[b]

ởt

Aổ

ởt s ỗ ỳ tỷ

ỳ s õ tỗ t

u1 , . . . , un A[b]

s

A[b] =

Au1 +ã ã ã+Aun ó r u1 , . . . , un ổ ỗ tớ 0 t bui A[b]

ỗ t

aij A

ợ

j = 1, . . . , n

s

bui = ai1 u1 + ... + ain un
ợ ồ



i = 1, . . . , n õ t õ



(a11 b)u1 + a12 u2 + ... + a1n un = 0





a21 u1 + (a22 b)u2 + ... + a2n un = 0


ããã
ããã

ããã





a u + a u + ... + (a b)u = 0.
n1 1
n2 2
nn
n

u1 , . . . , un )

ổ ỗ tớ

a11 b
P (b) =

a21

0



ããã

a1n

a22 b ã ã ã

a2n

a12







an1

an2








ã ã ã ann b

= 0,


ữỡ

tr õ

ỡ ữủ số số



P (X) tự trữ ừ tr (aij )nìn õ tự

f (X) = (1)n P (X) tự ó tở A[X] f (b) = 0 b
tr

A

ỵ A B b B õ tỗ
t ởt C s A[b] C B C ởt Aổ ỳ
s t b tr A A[b] ởt Aổ ỳ s

ự
CB



C

tt tỗ t ởt

ởt

Aổ

C

ỳ s õ tỗ t

s

A[b]

c1 , . . . , c n C

s

C = Ac1 + ã ã ã + Acn .


A[b] C

aij A

ợ



b C

j = 1, . . . , n

õ

bci C

ợ ồ

A[b] C



ỗ t

s

bci = ai1 c1 + ai2 c2 + ã ã ã + ain cn ,


i = 1, . . . , n

C = {0}



c1 , . . . , c n

i = 1, . . . , n.

ổ ỗ tớ

0



r

a11 b
P (b) =

tr õ

a21

ããã

a1n

a22 b ã ã ã

a2n

a12







an1

an2

= 0,

ã ã ã ann b

P (X) tự trữ ừ tr (aij )nìn õ tự

f (X) = (1)n P (X) tự ó tở A[X] f (b) = 0 b
tr

A

ỵ

A[b]

ởt

Aổ

ỳ s

ỵ A B sỷ b1, b2 B tr
A õ tỷ b1 + b2 b1 b2 b1 b2 tr A

❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
♠ët

A✲♠æ✤✉♥

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

✶✼

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✺✱ ❞♦
❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❉♦

A[b1 ]✳

b1 ∈ B

b2 ∈ B

❚❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✺✱

♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❉♦ ✤â

A[b1 , b2 ]

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

A

A✲♠æ✤✉♥

A[b1 ]

A ⊆ A[b1 ]

A[b1 , b2 ] = A[b1 ][b2 ]
❧➔ ♠ët

♥➯♥

♥➯♥

❧➔ ♠ët

❧➔

b2

A[b1 ]✲

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❙û

❞ö♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ♥❤à t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

A[b1 +

b2 ] ⊆ A[b1 , b2 ]✳ ❱➻ A[b1 , b2 ] ❧➔ A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤ ♥➯♥ t❤❡♦ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✻✱
b1 + b2
b1 b2

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

A✳

▼ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷ñ❝

b1 − b2

✈➔

A✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✽✳ ❈❤♦ ❝→❝ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ A ⊆ B ✳ ●å✐ AB ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝
♣❤➛♥ tû ❝õ❛ B ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A✳ ❑❤✐ ✤â AB ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥✳ ◆â✐ r✐➯♥❣✱
t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥✳

❍➺ q✉↔ ✷✳✾✳ ❈❤♦ ❝→❝ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ ✈➔ A ⊆ B ✳ ●✐↔ sû b1, ..., bn ∈ B ♥❣✉②➯♥
tr➯♥ A✳ ❑❤✐ ✤â A[b1 , . . . , bn ] ❧➔ ♠ët A✲♠æ✤✉♥ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
A✲♠æ✤✉♥

❚❤❡♦ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝õ❛ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✼ t❛ ❝â

❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱

A[b1 , b2 , b3 ]

❤↕♥ s✐♥❤✳ ❉♦ ✤â✱ ❜➡♥❣ q✉② ♥↕♣✱ t❛ ❝â

❧➔ ♠ët

A[b1 , . . . , bn ]

A[b1 , b2 ]

❧➔ ♠ët

A[b1 , b2 ]✲♠æ✤✉♥

❤ú✉

A✲♠æ✤✉♥

❤ú✉

❧➔ ♠ët

❤↕♥ s✐♥❤✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✵✳ ❈❤♦ ❝→❝ ♠✐➲♥ ♥❣✉②➯♥ A ⊆ B ✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ b1, . . . , bn ∈ B
♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A t❤➻ A[b1 , ..., bn ] ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ A✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

▼å✐ ♣❤➛♥ tû

f ∈ A[b1 , . . . , bn ]

✤➲✉ ❝â ❞↕♥❣

αs bs11 · · · bsnn ,

f=
s=(s1 ,...,sn )∈I
✈î✐

αs ∈ A✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✼✱
tr➯♥

A✱

tr➯♥

A

❳➨t ✤ì♥ t❤ù❝

b2i

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

✈î✐ ♠å✐

✈➔

f

αs bs11 · · · bsnn ✳

bi

❧➔ ♥❣✉②➯♥ tr➯♥ ❆ ♥➯♥ t❤❡♦

A✳ ▲➦♣ ❧↕✐ ❧➟♣ ❧✉➟♥ tr➯♥ t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝ bsi i

♥❣✉②➯♥

αs bs11 · · · bsnn

♥❣✉②➯♥

i = 1, . . . , n✳

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

❱➻

A✳

⑩♣ ❞ö♥❣ ✣à♥❤ ❧þ ✷✳✼✱

❉♦ ✤â

A[b1 , . . . , bn ]

♥❣✉②➯♥ tr➯♥

A✳


ữỡ

ỡ ữủ số số



ỵ A B

C õ B

tr A c C tr B t c ụ tr A

ự

c



1 , . . . , n B

t

tr

B

tr

s

n1

tỗ t số

cn + i cn1 + ã ã ã + n = 0

c

õ

tỗ


A[1 , . . . , n ] A[1 , . . . , n , c] ởt A[1 , . . . , n ]ổ ỳ

s

A[1 , . . . , n , c]

tr

Aổ

c

ỳ s ỵ

A

õ
q ợ
tỷ ừ

B

tr

õ ừ A tr B



AB

t ủ

A AB B

õ

AB

ữủ ồ

ớ t t ởt trữớ ủ r

A = Z B = Q(i) = {x + iy | x, y Q} r ZQ(i)

ỗ tỷ ừ

Q(i)

tr

ỵ ZQ(i) = Z([i]
ự

rữợ t t ự r

tỷ tở

= m + ni
tự ó

Z[i]
ợ

tr

m, n Z

X 2 2mX + m2 + n2

tt

A ởt t t ữủ

tự ỳ


A B

Z

Z

Z[i] ZQ(i)

Z[i]

sỷ

s r r
tr

Z[X]

õ

õ

tự ồ



õ

ừ

tr

Z

tự

Z[i] ZQ(i)
ớ t s ự
tở

Q(i)

tr

t trữớ ủ

s = 0

Z

ZQ(i) Z[i]
t



sỷ

ữợ

= r + si

r trữớ ủ

g(X) = X 2 2rX + (r2 + s2 )
ừ ởt tự ó

tr

Q[X]



ZQ(i)

ợ

õ



r, s Q

ừ tự

tr

f (X) = X n + a1 X n1 + ... + an

Z

õ

tr

Z[X]


ỡ ữủ số số

ữỡ

ỹ õ ữ

f (X)





g(X)

t õ

f (X) = g(X)q(X) + t(X),
tr õ

q(X)



t(X) = c0 + c1 X

t(X)
t õ

tự tr

Q[X]

deg t(X) < 2

ợ

f (X) = g(X)q(X) + c0 + c1 X



X=

t
t õ

0 = f () = 0 ã q() + c0 + c1 = c0 + c1 .
ứ õ

0 = c0 + c1 (r + si) = (c0 + c1 r) + c1 si


c0 + c1 r = 0


c s = 0.

tự

1



s=0

c1 = c0 = 0

ọ t ừ số ừ
số ừ

q(X)

cg(X)



õ

dq(X)

f (X) = g(X).q(X)

g(X)

c, d Z



õ

d

dq(X)

ồ

c

ở

ở ọ t ừ

cdf (X) = cg(X) ã dq(X)

tự số ồ

ừ tt số ừ
số ừ

tứ õ

c

tr õ

ữợ ợ t

cg(X) ồ d ữợ ợ t ừ tt

õ

c

d
cd
f (X) = g(X) ã q(X).
c
cd
d
c
d
c g(X) tữỡ ự dq(X)
1 t ỵ ss ữợ ợ t ừ số ừ cd
f (X)
cd
cd
ụ 1 f (X) ởt tự ó = 1 tự cd = c
d
cd
ữợ ợ t ừ số ừ

c
f (X) = g(X) ã
c
t

k0 X

c
c g(X)
n2

= h0 X 2 + h1 X + h2 Z[X]

+ k1 X n3 + ã ã ã + kn2 Z[X]

d
q(X).
d
ợ
ợ

(h1 , h2 , h3 ) = 1

d

q(X)
d

(k0 , k1 , . . . , kn2 ) = 1

t số ừ

Xn

k0 = h0 = 1

ổ t tờ qt t õ t sỷ

tr t õ

1 = k0 h0

s r

k0 = h0 = 1

=

ỗ


k0 = h0 = 1




ữỡ

h0 = 1

ỡ ữủ số số

g(X)

số t ừ

g(X) Z[X]

tứ õ

2r, r2 + s2 Z

1



c = c



r 2 + s2 Z

õ


d = d

r

(2r)2 + (2s)2 =

4(r2 + s2 ) Z 2r Z (2s)2 Z 2s Z ú ỵ r 2r 2s
õ ũ t
m, l

Z

t

r =m+

2r

1
2



2s

số

s=l+

2r = 2m + 1 2s = 2l + 1

1
2 õ

r2 + s2 = m2 + l2 + m + l +

1
2

t

1
= (r2 + s2 ) (m2 + l2 + m + l) Z,
2
t 2r 2s số r, s Z = r + si Z[i]
t trữớ ủ

s = 0

tự

g(X) = X r

ữủ

g(X) Z[X]



ZQ(i)

t

õ

= r Q

tự

ừ

ũ ữỡ ữ tr t õ t ự

õ

Z[i]

= r Z Z[i]


ZQ(i) Z[i]

tr ồ trữớ ủ

tứ õ

ZQ(i) = Z[i]

rở số ừ ởt trữớ


K

ởt trữớ ừ

số tr

K

C

r ởt tỷ

tỗ t ởt tự

f (X) K[X]

s

C



f () = 0

t

I (K) = {f (X) K[X] | f () = 0}.
õ

I (K) = {0}



I (K) K[X]

ờ s

ờ I(K) ởt ừ K[X]

t



K[X] ởt I (K) ởt

r tỗ t ởt tự

q(X) tr K[X] s I (K) = (q(X)) ợ q(X)

t s ởt tỷ
tr õ

c

số t ừ

t s

I (K) = (P (X))

q(X)

0

ừ

õ

t

P (X) := 1c q(X)

P (X)

tự ó

K


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✶✹✳
❧➔

✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉

deg(α)✱

✣❛ t❤ù❝ ❧ã✐

✷✶

Pα (X) s❛♦ ❝❤♦ Iα (K) = (Pα (X)) ✤÷ñ❝ ❣å✐

Iα (K)

tr➯♥ tr÷í♥❣

✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ sè

deg Pα (X)✳

❱➼ ❞ö✱ ✈î✐

❝õ❛

K =R

Pi (X) = X 2 + 1✱

✈➔

α = i✱

❜➟❝ ❝õ❛

i

tr➯♥

K ✳ ❇➟❝ ❝õ❛ α tr➯♥ K ✱

✤❛ t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉ ❝õ❛

R

❧➔

i

tr➯♥

R

❦➼ ❤✐➺✉

❧➔ ✤❛ t❤ù❝

deg(i) = 2✳

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✺✳ ❈❤♦ K ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ C✱ α ∈ C ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû
✤↕✐ sè tr➯♥ K ✳ ❑❤✐ ✤â Pα (X) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr♦♥❣ K[X]✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû

t↕✐ ❝→❝ ✤❛ t❤ù❝

r(X), s(X) ∈ K[X]

Pα (X) = r(X)s(X)✳

Pα (X) ❦❤æ♥❣ ❜➜t ❦❤↔ q✉② tr♦♥❣ K[X]✳ ❑❤✐ ✤â tç♥
deg(r) > 0✱ deg(s) > 0

✈î✐

s❛♦ ❝❤♦

❙✉② r❛

deg Pα (X) = deg r(X) + deg s(X) > max(deg r, deg s).
▼➦t ❦❤→❝✱
❧➔

0 = Pα (α) = r(α)s(α) ∈ C✳ ❉♦ ✤â r(α) = 0 ❤♦➦❝ s(α) = 0✱ tù❝

r(X) ∈ Iα (K)

♥➯♥

❤♦➦❝

s(α) ∈ I(α)(K)✳

deg r(X) ≥ deg Pα (X)

Pα (X)

❤♦➦❝

❉♦

deg r(X) > 0, deg s(X) > 0

deg s(X) ≥ Pα (X)✱

♠➙✉ t❤✉➝♥✦ ❱➟②

❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❜➜t ❦❤↔ q✉②✳

❱➼ ❞ö ✷✳✶✻✳

✭❛✮ ❈❤♦

K = Q, α =

1+i
√
2

∈ C✳

❚❛ ❝â

2α2 = (1 + i)2 = 2i✱

4α4 = −4 s✉② r❛ 4(α4 + 1) = 0✳ ❱➟② P (X) := 4(X 4 + 1) ∈ Iα (Q)✳
˜ (X) = X 4 + 1✳ ❚❛ ❝â P˜ (X) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❧ã✐ ✈➔ ❜➜t ❦❤↔ q✉②
✤❛ t❤ù❝ P

s✉② r❛
❳➨t

Pα (X) = P˜ (X) = X 4 + 1✳ ❱➟② deg(α) = 4✳
√

1+i
˜ (X) = X 4 + 1
✭❜✮ ❈❤♦ K = Q( 2) ✈➔ α = √ ∈ C✳ ❚❤❡♦ ✈➼ ❞ö ✭❛✮✱ P
2
√
tr♦♥❣ Q[X] ⊆ Q( 2)[X] ♥❤➟♥ α ❧➔ ♥❣❤✐➺♠✳ ▼➦t ❦❤→❝✱
√
√
X 4 + 1 = X 4 + 2X 2 + 1 − 2X 2 = (X 2 − 2X + 1)(X 2 + 2X + 1).
tr♦♥❣

Q[X]✳

❙✉② r❛

√
P1 (X) = X 2 − 2X + 1✳ ❑✐➸♠ tr❛ t❛ ❝â P1 (α) = 0
√
P1 (X) ∈ Iα (Q( 2))✳ ❱➻ P1 (X) ❧➔ ✤❛ t❤ù❝ ❧ã✐✱ ❜➜t ❦❤↔
√
Pα (X) = P1 (X) = X 2 − 2X + 1✳

✣➦t

t❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝
q✉② ♥➯♥ t❛ ❝â


❈❤÷ì♥❣ ✷✳

❙ì ❧÷ñ❝ ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ ✤↕✐ sè

✷✷

✷✳✹ ▲✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr➯♥ tr÷í♥❣ K
❈❤♦

K✳

K

♣❤➛♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣

❑❤✐ ✤â ❝→❝

t❤ù❝ tè✐ t✐➸✉

Pα (X) = X 4 + 1✳
❝õ❛

−1✱

❝õ❛

α

tr➯♥

K

❧➔ ❝→❝ ♥❣❤✐➺♠ ♣❤ù❝ ❝õ❛ ✤❛

Pα (X)✳

❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ✈î✐

4

C✳ ❈❤♦ α ∈ C ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ✤↕✐ sè tr➯♥

❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛

K = Q

✈➔

α =

1+i
√
2

∈ C✱

t❤❡♦ ❱➼ ❞ö ✷✳✶✻ ✭❛✮ t❛ ❝â

❉♦ ✤â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛

α

❧➔ t➜t ❝↔ ❝→❝ ❝➠♥ ❜➟❝

±1±i
√ ✳
2

tù❝ ❧➔

√
√ ∈ C✱ tø ❱➼
K = Q( 2) ✈➔ α = 1+i
2
√
2
Pα (X) = X − 2X + 1✳ ❙✉② r❛ ❝→❝ ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ α ❧➔
❚r÷í♥❣ ❤ñ♣

❞ö ✷✳✶✻ ✭❜✮ t❛ ❝â

1±i
√ ✳
2

✣à♥❤ ❧þ ✷✳✶✼✳ ❈❤♦ ❑ ❧➔ ♠ët tr÷í♥❣ ❝♦♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ C✳ ❈❤♦ α ∈ C ❧➔
♣❤➛♥ tû ✤↕✐ sè tr➯♥ K ✳ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❧✐➯♥ ❤ñ♣ ❝õ❛ α tr➯♥ K ❧➔ rí✐
♥❤❛✉✳ ◆â✐ ❝→❝❤ ❦❤→❝ Pα (X) ❦❤æ♥❣ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❜ë✐ ❧î♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ ✷✳

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐↔ sû

Pα (X)

Pα (X) = (X − β)2 q(X)✱

❝â ♥❣❤✐➺♠

tr♦♥❣ ✤â

β ∈ C

q(X) ∈ C[X]✳

✈î✐ ❜ë✐

≥ 2✳

❑❤✐ ✤â

✣↕♦ ❤➔♠ ❤❛✐ ✈➳ t❤❡♦

X✱

t❛ t❤✉ ✤÷ñ❝

Pα (X) = 2(X − β)q(X) + (X − β)2 q (X).
❙✉② r❛

Pα (α) = 2(α − β)q(α) + (α − β)2 q (α).
❉♦ ✤â

Pα (β) = 0✱

tù❝ ❧➔

Pα (X) = Pβ (X)s(X)
deg s(X) ≥ 1

t❤➻

s(X) = c ∈ K ∗ ✱
❧➔

Pβ (α) = 0✳

Pα (X)

✈➔

❉♦

✈î✐

Pα (X) ∈ Iβ (K)
s(X)

✈➔

Pα (X) ∈ Iβ (K)✳

❧➔ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ ♥➔♦ ✤â tr♦♥❣

❙✉② r❛

K[X]✳

◆➳✉

❦❤æ♥❣ ❜➜t ❦❤↔ q✉②✱ ❞➝♥ ✤➳♥ ✈æ ❧þ✳ ❱➟② t❛ s✉② r❛

Pα (X) = cPβ (X)✳

Pα (X) ∈ Iβ (K)

♠ët ✤❛ t❤ù❝ ♥➔♦ ✤â tr♦♥❣

K[X]✱

◆❤÷ ✈➟②✱

♥➯♥

0 = Pα (α) = cPβ (α)✱

Pα (X) = Pβ (X)t(X)

❤❛②

Pα (α) = Pβ (α)t(α) = 0 · t(α) = 0.

✈î✐

tù❝

t(X)

❧➔


ữỡ

r
ỵ

ỡ ữủ số số

P (X) I (K)



P (X)

tự

t

P (X)

ổ

deg P (X) 1

ủ ừ số số

ỵ C ởt số số tự ởt
tỷ tr Z t ủ ừ õ tr Q ụ số
số

ự
tự
t



ởt số số õ tỗ t ởt

f (X) = X n + a1 X n1 + ã ã ã + an
P (X) I (Q)

f (X) I (Q)


sỷ



tr

tự tố t ừ

õ tỗ t

q(X) Q[X]

ởt tỷ ủ ừ





Z[X]
tr

s

tr

f () = P ()q() = 0 ã q() = 0 ữ

Q

s

Q



f () = 0

f () = 0

f (X) = P (X)q(X)

t

P () = 0

tr

Z tự

r






ởt số số

ỵ C ởt số số t P(X) Z[X]
ự 1 = 2, . . . , n
Q
ồ



tự

1 , . . . , n



tt ủ tr

tt ừ

P (X)

ừ

r

P (X) = (X 1 )(X 2 ) ã ã ã (X n )
= X n (1 + ã ã ã + n )X n1 +
(i j )X n2 + ã ã ã + (1)n 1 ã ã ã n .

+
i

P (X) Q[X]

ỵ

1 , . . . , n

1 + ã ã ã + n Q

Q



số số q t tt

tỷ tở

1 + ã ã ã + n

i
C

tr

Z

t ởt

i