Dãy số và ứng dụng vào các bài toán vật lý

DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ
By: Lê Đại Nam
Nhớ lại một bài thi tuyển sinh lớp 10 của trường PTNK, có một năm đã ra một mạch điện thế này

Mỗi đoạn dây có điện trở là R. Tính điện trở tương đương của 2 đầu AB. R
AB
= ?
Liệu với hình vuông nxn thì điện trở tương đương
n
R
bằng bao nhiêu?
Kiến thức về dãy số sẽ giúp ta giải quyết vấn đề này
1.Dãy số:
Nhớ lại định nghĩ trong SGK: một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương
*
Ν
được gọi là một
dãy số vô hạn hay gọi tắt là dãy số.
Chính từ định nghĩa này, một số người đã nghĩ rằng, trong vật lý, các thông số vật lý thường là hàm xác
định trên tập hợp số thực R nên giữa dãy số và các bài toán vật lý không có mối quan hệ.
Tuy nhiên, thực tế vẫn có những bài toán vật lý, một vài thông số là hàm xác định trên tập
*
Ν
.
Dãy số được cho bởi các cách sau đây:
Cách 1: cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát
(
)
*
n
u f n n N

= ∀ ∈
Ví dụ :
*
1 2 3
: ; ; ;
1 2 3 4
n
n
u n N u
n
= ∀ ∈ ⇒
+

Cách 2: cho dãy số bởi hệ thức truy hồi
Hệ thức truy hồi của một dãy số là một hệ thức cho phép ta xác định một số hạng của dãy số nếu ta biết một,
hai hay nhiều số hạng đứng trước nó.
Ví dụ: dãy Fibonacci
*
2 1
1 2
1
n n n
u u u n N
u u
+ +

= + ∀ ∈

= =


Dãy số đơn điệu:
Tính đơn điệu của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính đơn điệu của dãy số xác định bởi
hàm số đó. Ta thường dùng tính chất cơ bản sau
Cho dãy số
{
}
n
u
được xác định theo công thức
(
)
1
2
n n
u f u n
−
= ∀ ≥
.
Giả sử
[
]
,
n
u a b n N
∈ ∀ ∈
và
f
đồng biến trên
[

]
,
a b
thì
a) Nếu x
1
< x
2
thì dãy là đơn điệu tăng
b) Nếu x
1
> x
2
thì dãy là đơn điệu giảm
2. Một vài dãy số cơ bản:
1. Cấp số cộng :
Một cấp số cộng được xác định theo 2 yếu tố: số hạng thứ nhất
1
u
và công sai d
Theo định nghĩa
(
)
n
u
là cấp số cộng
1
2
n n
u u d n

−
⇔ = + ∀ ≥

Do đó, một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng một hệ thức truy hồi sau
1
1
, ons
2
n n
u d c t
u u d n
−
=


= + ∀ ≥


Hay bằng một công thức cho số hạng tổng quát như sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )

1 1 2 2 3 2 1 1 1
*
1
1
1
n n n n n n n
n
u u u u u u u u u u u n d
u u n d n N
− − − − −
= − + − + − + + − + = + −
⇒ = + − ∀ ∈

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:
( )
( )
(
)
1 1
1 1
1
1
2
n n
n i
i i
n n
S u u i d nu d
= =
−

= = + − = +
∑ ∑

2. Biến thể của cấp số cộng:
Biến thể của một cấp số cộng là một dãy số
n
u
nào dó, mà tồn tại một hàm
f
sao cho
(
)
n n
a f u
= là một cấp số cộng.
Để xác định được dãy
(
)
n
a
thì cần xác định được hàm
f
. Thông thường dãy
(
)
n
u
được biểu diễn theo công
thức truy hồi.
Ví dụ:

Ta có một ví dụ đơn giải sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 1
1
1 1 2 1 1 2
1
n n n n n n
u u u u u u n
u
− − −
 + − + = + + ∀ ≥


=



Để giải dãy này, trước hết ta có nhận xét.
Nếu
(
)
(
)

(
)
(
)
1 1 1
1 1 0 1 1 1 2
n n n n n n
u u u u u u n
− − −
+ + = ⇔ + = + ⇔ = = − ∀ ≥
thì vô lý, vì
1
1
u
=

Vậy
(
)
(
)
1
1 1 0
n n
u u
−
+ + ≠

Từ công thức truy hồi, ta có:
( ) ( )

1
1
1
2 2
1 1
1
n n
n n
u u
n
u u
u
−
−

− = ∀ ≥

+ +


=


Đặt
1
1
2
1
1
2

n n
n
n
n
a a
u
a
u
a
−
− =


= ⇒

+
=


thấy ngay
(
)
n
a
là cấp số cộng có
1
1
2
a
=

và công sai d = 2
( )
1 3
2 1 2
2 2
n
a n n
⇒ = − + = −

Giải ra
4 3
1 4 5
n
n
n
a
n
u
a n
−
= = −
− −

3. Cấp số nhân:
Một cấp số nhân được xác định theo 2 yếu tố: số hạng thứ nhất
1
u
và công bội q
Theo định nghĩa
(

)
n
u
là cấp số nhân
1
2
n n
u qu n
−
⇔ = ∀ ≥

Do đó, một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng một hệ thức truy hồi sau
1
1
, ons
2
n n
u d c t
u qu n
−
=


= ∀ ≥


Hay bằng một công thức cho số hạng tổng quát như sau:
(
)
(

)
(
)
(
)
1
1 1 2 2 3 2 1 1 1
1 *
1

n
n n n n n n n
n
n
u u u u u u u u u u u q
u u q n N
−
− − − − −
−
= =
⇒ = ∀ ∈

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:
( )
1
1 1
1 1
1
1
n

n n
i
n i
i i
q
S u u q u
q
−
= =
−
= = =
−
∑ ∑

4. Biến thể của cấp số nhân:
Biến thể của một cấp số cộng là một dãy số
n
u
nào dó, mà tồn tại một hàm
f
sao cho
(
)
n n
a f u
= là một cấp số nhân.
Để xác định được dãy
(
)
n

a
thì cần xác định được hàm
f
. Thông thường dãy
(
)
n
u
được biểu diễn theo công
thức truy hồi.
Ví dụ:
Ta cũng có một ví dụ đơn giản như sau:
1
1
9 27 2 2
1
n n
u u n
u
−
− = ∀ ≥


=


Ta sẽ giải dãy số này như:
(
)
1 1

1
1
9 27 2 2 9 1 3 9 1 2
1
1
n n n n
u u n u u n
u
u
− −
− = ∀ ≥  + = + ∀ ≥


⇔
 
=
=




Đặt
1
1
3.
9 1
10
n n
n n
a a

a u
a
−
=

= + ⇒

=

thấy ngay
(
)
n
a
là cấp số nhân có
1
10
a
=
và công bội q = 3
1
10.3
n
n
a
−
⇒ =
Giải ra ta được
3
1

1
10.3
9 9
n
n
n
a
u
−
−
= = −

5. Cấp số điều hoà
Ngoài 2 cấp số trên, còn có cấp số điều hoà. Cấp số điều hoà được định nghĩa là dãy số
{
}
n
u
với
0
n
u n N
≠ ∀ ∈
thoả mãn điều kiện
*
1 1
1 1
2
n n
n

n n
u u
u n N
u u
− +
− +
= ∀ ∈
+

Từ điều kiện trên, ta thấy bản chất của cấp số điều hoà là một biến thể của một cấp số cộng
thật vậy
*
1 1
1 1 1 1 1 1
2
2 1 1 1 1 1 1
n n
n
n n n n n n n n n
u u
u n N
u u u u u u u u u
− +
− + − + + −
= ∀ ∈ ⇔ = + ⇔ − = −
+

Tức là nếu
{
}

n
u
là một cấp số điều hoà thì
1
n
u
 
 
 
là một cấp số cộng
6. Mỗi liên hệ giữa cấp số cộng , cấp số nhân và cấp số điều hoà
1. Xét dãy số sau:
1
1
0 2
ons
n n
Au Bu C n
u c t
−
+ + = ∀ ≥


=

Với A,B,C là hằng số và A khác 0
Nếu A + B = 0 thì dãy trên là một cấp số cộng.
Nếu C = 0 thì dãy trên là một cấp số nhân
Nếu A + B , C đều khác 0 thì ta có:
1

1
1
1
1
1
0 2
ons
0 2
ons
2
ons
n n
n n
n n
Au Bu C n
u c t
B C
u u n
A A
u c t
C B
u u n
A A
u c t
−
−
−
+ + = ∀ ≥



=


+ + = ∀ ≥

⇔


=


+ = − ∀ ≥

⇔


=


Chọn
1 2
C C C
+ =
thoả
1 1
1
2
n n
C CB
u u n

A A A
−
 
+ = − + ∀ ≥
 
 
tức
1 2
1
1 2
2
A
C C C
C C
A B
C C
B
B
C C
A A A
A B

+ =
=


 
+
⇔
 

=
 
=


 +

Đặt
1
n n
C
a u
A
= +
thì dãy
(
)
n
a
là cấp số nhân với công bội
B
q
A
−
= và
1
1 1
C
a u
A

= +

Dãy trên được gọi là cấp số suy rộng
Dạng này cũng thường gặp trong các bài toán về dãy số. Đôi khi giải quyết các bài toán vật lý, ta cũng dùng
đến chúng.
2. Nếu dãy
{
}
n
u
là một cấp số cộng thì dãy
{
}
n
v
với
, 0
n
u
n
v a n N a
= ∀ ∈ >
sẽ lập thành cấp số nhân
Nếu dãy
{
}
n
u
là một cấp số nhân thì dãy
{

}
n
v
với
log ,0 1
n a n
v u n N a
= ∀ ∈ < ≠
sẽ lập thành cấp số cộng
3. Nếu ta có hàm số
(
)
f x
thoả mãn điều kiện
( )
(
)
(
)
, 0
2
f x f y
f xy x y
+
= ∀ >
và một cấp số nhân dương
{
}
n
a

thì dãy
(
)
{
}
n
f a
là một cấp số cộng
Nếu ta có hàm số :
f R R
+
→ thoả mãn điều kiện
( ) ( )
,
2
x y
f f x f y x y R
+
 
= ∀ ∈
 
 
và một cấp số cộng
{
}
n
a
thì dãy
(
)

{
}
n
f a
là một cấp số nhân
Nếu ta có một cấp số nhân dương
{
}
n
a
và một hàm :
f R R
+ +
→ thoả
( )
(
)
(
)
( ) ( )
2
,
f x f y
f xy x y R
f x f y
+
= ∀ ∈
+
thì dãy
(

)
{
}
n
f a
là một cấp số điều hoà
7. Dãy Lucas
Chắc hẳn các bạn đã quen thuộc với dãy Fibonacci rồi chứ nhỉ
Mình xin nói sơ về dãy Fibonacci
Công thức truy hồi của dãy là
*
2 1
1 2
1
n n n
u u u n N
u u
+ +

= + ∀ ∈

= =


Và công thức tổng quát của nó là
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n

u
 
   
+ −
 
= −
   
   
 
   
 
.
Công thức trên được gọi là công thức Binet.
Thông thường, trong số học các nhà toán học thường ký hiệu
n
F
để chỉ số Fibonacci thứ n trong dãy
Fibonacci.
Dãy Fibonacci có nhiều tính chất đặc biệt, tuy nhiên mình không đề cập đến các tính chất này.
Tổng quát hơn dãy Fibonacci là dãy Lucas. Cụ thể mình đề cập đến dãy Lucas đơn giản nhất ^^.
*
2 1
1 2
, ons
n n n
u au bu n N
u u c t
+ +

= + ∀ ∈



trong đó a,b là các hằng số khác 0.
Chúng ta thứ giải dãy Lucas một cách bài bản nhé
Để giải dãy Lucas một cách bài bản, ta có 2 cách sau:
Cách 1:
*
2 1
1 2
, ons
n n n
u au bu n N
u u c t
+ +

= + ∀ ∈



Từ
2 1
n n n
u au bu
+ +
= + ta đặt
1
n n n
a u Au
+
= − . Ta tìm A sao cho

(
)
n
a
là một cấp số nhân.
Khi đó
1
1 1
n
n n n
a Ba a B a
−
+
= ⇒ = với B là hằng số chưa biết.
Suy ra
(
)
(
)
(
)
2 1 1 2 1
n n n n n n n
u Au B u Au u A B u ABu
+ + + + +
− = − ⇔ = + −
Đồng nhất hệ số, ta được
A B a
AB b
+ =



= −

suy ra A và B là nghiệm của phương trình
2
0
r ar b
− − =


Ta có:
(
)
1
1 2 1
n
n n n
a u Au B u Au
−
+
= − = −
Do A, B tương đương nhau nên ta có thể hoán vị A, B để được:
(
)
1
1 2 1
n
n n
u Bu A u Bu

−
+
− = −
Ta được hệ phương trình sau:
(
)
( )
1
1 2 1
1
1 2 1
n
n n
n
n n
u Bu A u Bu
u Au B u Au
−
+
−
+

− = −


− = −



Nếu A = B thì

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1
1 1 2 2 1 1 2 1 1
2 1 2 1
2 1 1 2 1
1
1 1 2
n n n n
n n n n n
n n n n
n
u u Au A u Au A u Au A u n A u Au A u
u n A u Au A u n u A n u A
− − − −
− − −
− − − −
= − + − + + − + = − − +
⇒ = − − + = − − −

Nếu A,B là 2 nghiệm phân biệt thì:

( )
( )
1 1 1 1
1
2 1
1 2 1
1
1 2 1
1 2 1
n n n n
n
n
n n
n n n n n
n n
n
A B A B B A
u u u
u Bu A u Bu
A B A B
u Au B u Au A B A B B A
u u u
A B A B
− − − −
−
+
−
+
+


− −
= −


− = −
 
− −
⇔
 
− = − − −



= −

 − −

Ta có công thức tổng quát của dãy số là
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
2 1 1 2
2 1
2 1 1 2
n n n n
n n
n
n n
n
u Bu Au uA B A B B A

u u u A B
A B A B A B A B
u Bu Au u
u A B
A A B B A B
− − − −
− −
− −− −
= − = +
− − − −
− −
⇒ = +
− −

Cách biễu diễn
n
u
theo
n
A
và
n
B
có một ý nghĩa. Tí nữa chúng ta sẽ biết ở cách giải 2
Với dãy Fibonacci ta thay
1 2
1 5
2
1; 1
1 5

2
A
u u a b
B

+
=


= = = = ⇒

−

=



Ta đựơc
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
+ −
 
= −
   

   
 
   
 

Cách 2:
Cách giải trên có vẻ phức tạp và ra kết quả không được đẹp
Ta thấy dãy Fibonacci có công thức tổng quát là
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
F
 
   
+ −
 
= −
   
   
 
   
 
có dạng
1 1 2 2
n n
n
u C r C r
= +

Vậy ta phỏng đoán với trường hợp tổng quát hơn thì dãy Lucas vẫn có công thức tổng quát tuân theo dạng
trên.
Ta giả sử
1 1 2 2
(1)
n n
n
u C r C r= + với
1 2 1 2
, , ,
r r C C
là hằng số.
Khi đó ta có:
(
)
(
)
( ) ( )
2 2 1 1
2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
2 2
1 1 1 1 2 2 2 2
0(*)
n n n n n n
n n n
n n
u au bu C r C r a C r C r b C r C r
C r r ar b C r r ar b
+ + + +
+ +

= + ⇒ + = + + +
⇔ − − + − − =

Chọn
1 2
,
r r
là nghiệm của phương trình
2
0
r ar b
− − =

Khi đó biểu thức (*) được thoả.
Dựa vào
1 2
,
u u
thay vào (1) ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn bậc nhất, 2 ẩn C
1
và C
2
. Từ đó ta giải ra C
1
và C
2

Cách giải này giúp ta có một cách giải nhanh và gọn các dãy Lucas.
Phương trình
2

0
r ar b
− − =
là phương trình đặc trưng của dãy Lucas.
Từ đó ta rút ra cách giải gọn gàng, dùng để tính dãy Lucas như sau:
- từ hệ thức
2 1
n n n
u au bu
+ +
= + ta rút ra phương trình đặc trưng của dãy Lucas như sau:
Chỉ số chân n nhỏ nhất coi là bậc 0, n+1 ứng với bậc 1 và n+2 ứng với bậc 2. Nghĩa là khi đó
Thay
0 1 2
1 2
; ;
n n n
u r u r u r
+ +
→ → → ta được phương trình đặc trưng
2
0
r ar b
− − =

- Giải phương trình đặc trưng, lưu ý rằng ta nếu biệt thức
0
∆ <
thì ta nhận luôn nghiệm phức.
- Giải hệ phương trình

1 1
1 1 1 2 2
2 2
2 1 1 2 2
u C r C r
u C r C r

= +


= +



- Thay
1 2 1 2
, , ,
r r C C
ta được công thức tổng quát
1 1 2 2
n n
n
u C r C r
= +
*** Lưu ý:
Tổng quát hơn dãy Lucas đã nếu ở trên là các dãy Lucas với phương trình đặc trưng bậc 3.
Dãy Lucas là nghiệm của một quan hệ hồi quy đơn giản.
Ngoài ra, tổng quát hơn nữa là quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng.
Quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng bậc k được định nghĩa là quan hệ có dạng:
(

)
(
)
(
)
(
)
1 2
1 2
k
f n k a f n k a f n k a f n
+ = + − + + − + +
Và dãy Lucas mà ta xét ở trên là nghiệm ứng với bậc k = 2
Ở đây chỉ mang tính chất giới thiệu chứ không giải chi tiết.
3. Nguyên lý quy nạp toán học:
Nguyên lý quy nạp toán học là một nguyên lý giúp ta giải các dãy số theo một phương pháp mới, phương
pháp quy nạp toán học.
Nguyên lý quy nạp toán học được phát biểu như sau:
Giả sử S là một tập hợp nào đó các số nguyên dương, chứa số 1. Khi đó nếu với mọi
n S
∈
, S đều chứa số
n+1 thì S là tập hợp tất cả các số nguyên dương.
Nếu hiểu nôm na, nguyên lý quy nạp toán học cho phép ta mở rộng một tập S ra N nếu thoả điều kiện với
mọi
n S
∈
, S đều chứa số n+1.
Giả sử ta có một mệnh đề, đúng với mọi
n S

∈
, ta hiểu như S là một tập xác định của mệnh đề đó. Nếu với
mọi
n S
∈
, ta chứng minh được n+1 thuộc S thì theo nguyên lý quy nạp toán học, S = N
*
. tức mệnh đề đó
luôn đúng với mọi số nguyên dương. Đó là một phương pháp quy nạp toán học đơn giản.
Dựa vào phương pháp này, ta có thế giải một bài toán dãy số như sau:
- tính ra các giá trị ứng với các giá trị cụ thể của n, thường là 1,2,3
- tìm quy luật chung giữa các giá trị của các số hạng của dãy
- rút ra công thức tổng quát
- chứng minh rằng công thức nêu ra là đúng. Tức nếu đúng với n thì đúng với n+1
Bước thứ 2 là bước khó nhất. Đòi hỏi phải có kinh nghiệm, óc quan sát và một chút cái gọi là may mắn , hay
nói gọn hơn là các tố chất nhạy cảm toán học. Hoặc ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp nếu ta đã nhớ
được công thức tổng quát của dãy số chẳng hạn.
4.Các bài toán vật lý có sử dụng dãy số:
Hy vọng với các phần trên, các bạn đã có một vốn kiến thức kha khá về dãy số.
Ta bước vào phần chính của chuyên đề này: các bài toán vật lý có sử dụng dãy số.
Bài toán 1: Các mạch điện vô hạn
Các bài toán về mạch điện vô hạn quá quen thuộc với các học sinh chuyên lý phổ thông, kể cả cấp 2 lẫn cấp
3. Tuy nhiên, cách giải thông thường là mắc thêm 1 mắc xích và điện trở tương đương không đổi. Vậy liệu
đó có là cách giải duy nhất. Ta có thể nghĩ đến 1 cách giải khác, trâu bò hơn, nhưng cũng không phải là dở.
Nếu điện trở tương đương của mạch được biểu diễn như một dãy số thì sao nhỉ???
Dưới đây là một vài bài tập để ta làm thử.
Bài tập 1:

Mỗi điện trở có giá trị là R. tính điện trở tương đương R
AB

của mạch biết có vô hạn mắc xích.
Giải:

Mỗi mắc xích là 2 điện trở như trên.
Gọi R
n
là điện trở tương đương giữa 2 đầu AB của mạch có n mắc xích.
Xét mạch có n+1 mắc xích. Ta dễ thấy
(
)
1
: / /
n n
R R R ntR
+
nên
1
n
n
n
RR
R R
R R
+
= +
+
.
Và R
1
= 2R.

Ta tìm được cách biểu diễn đệ quy của dãy số (R
n
)
1
1
2
n
n
n
RR
R R n
R R
R R
+

= + ∀

+


=


Bây giờ ta giải dãy số này là giải quyết được vấn đề
Thử với n = 1,2,3,4
Ta được:
2 5 13 34
; ; ;
1 3 8 21
R R R R

. Nhận thấy các số 1 2 3 5 8 13 21 34 là các số Fibonacci 2 3 4 5 6 7 8 9.
Như vậy ta rút ra công thức tổng quát là
2 1
2
n
n
n
F
R R
F
+
= .
Ta cùng chứng minh thử nhé
Thay vào
1
n
n
n
RR
R R
R R
+
= +
+
ta được
2 1
2( 1) 1
2 2 1 2 2 1 2 2
1
2 1

2 1 2 2 2 2( 1)
2
2
1
1
n
n
n n n n n n
n
n
n n n n n
n
F
F
RR F F F F F
R R R R R R
F
R R F F F F
F
+
+ +
+ + +
+
+
+ + +
 
 
+ +
 
= + = + = = =

+ +
 
+
 
 

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, nhận định của ta là đúng.
Ta có
2 1
2
n
n
n
F
R R
F
+
=
Khi số mắc xinh lớn vô hạn thì
n
→ ∞

Ta có một tính chất khá lý thú của dãy Fibonacci
Từ công thúc Binet
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
F

 
   
+ −
 
= −
   
   
 
   
 
ta chứng minh được tỉ số
1
1 5
2
n
n
F
F
+
+
→
khi
n
→ ∞

Vậy
1 5
2
R R
∞

+
=
Bài tập 2:
Bây giờ ta xét một mạch điện na ná như mạch điện trên

Mỗi điện trở là R. Tính điện trở tương đương R
AB
của mạch có vô hạn mắc xích như trên.
Giải:

Trước hết xin giới thiệu một lời giải trong sách “Một số vấn đề nâng cao trong Vật lý Trung học phổ thông
tập 2” của thầy Phạm Quang Thiều. Ta kí hiệu các cường độ dòng điện và hiệu điện thế như hình vẽ sau:

Lời giải và ký hiệu hiệu điện thế của mình hơi khác trong sách của thầy Thiều một chút để phù hợp hơn với
chuyên đề tuy nhiên vẫn giữ được ý tưởng chính của lời giải gốc.
Ta có
n
n
n
U
R
I
=
Áp dụng định luật Ohm, ta có các hệ thức sau:
1
1 2
1 2 1
1 2
1
1

2
4
2
4
n n n
n n n
n n n
n n n
n
n n
U U I R
U U U
U U I R
I I I
U
I I
R
−
− −
− − −
− −
−
−


= +
= −
 
= + ⇒
 

= −



= +


Ta xét dãy Lucas
1 2
4
n n n
u u u
− −
= − . Phương trình đặc trưng là
2
4 1 0
r r
− + =

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 1
2 3; 2 3
r r= + = −
Ta được
1 1 2 2
n n
n
u C r C r
= +
Áp dụng cho U

n
và I
n
ta được
1 2
1 2
n n
n
n n
n
U Ar Br
I Cr Dr

= +


= +



Giải A,B. Ta có
0 2 1
0
2 1
0 1 1
1 1 2
1 2
U r U
A
U A B

r r
U r U
U Ar Br
B
r r
−

=

= + −


⇒
 
−= +


=

−


Giải C, D Ta có:
( )
( )
0 2 1
2 1
0
0 1 1
1 1 2

1 2
I r I
C
r r
I C D
I r I
I Cr Dr
D
r r
−

=

−
= +


⇒
 
−
= +


=

−


Và nhớ rằng
0 1

1 1 1
0
3
0
U I R
U I R
I
=


=


=

Vì coi như I
0
đi qua giữa 2 đầu U
0
và không khí ☺ nên I
0
= 0.
Ta được kết quả
( )( ) ( )( )
( ) ( )
1
1 2
1
1 2
3 1 2 3 3 1 2 3

2 3
2 3 2 3
2 3
n n
n n
n
n n
n n
n
I R
U Ar Br
I
I Cr Dr

 
= + = + + + − −

 
 


 

= + = + − −
 

 


Ta chia U

n
cho I
n
, tìm được
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
3 1 2 3 3 1 2 3
2 3 2 3
n n
n
n
n n
n
U
R R
I
+ + + − −
= =
+ − −

Để tìm được
R
∞

thì ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
3 1 2 3 3 1 2 3
lim
2 3 2 3
2 3
3 1 3 1
2 3
lim 3 1
2 3
1
2 3
n n
n n
n
n

n
n
n
n
R R
R R
∞
→∞
→∞
+ + + − −
=
+ − −
−
+ + −
+
= = +
−
−
+

Vậy
(
)
3 1
R R
∞
= +

Và đây là một lời giải khác cho bài toán này
Tương tự bài tập 1, ta cũng có: gọi R

n
là điện trở tương đương của mạch AB có n mắc xích.
Khi đó R
n+1
: R nt (R
n
// R)nt R
Nên
1
2
n
n
n
RR
R R
R R
+
= +
+

Và
1
3
R R
= . Ta thấy dãy này khá giống bài tập 1 nên ta sẽ nghĩ đến cách làm sau:
Ta đặt
n
n
n
a

R R
b
= thì khi đó
1
1
3 2
2
1
n
n n n n
n
n n n
n
a
a b a b
a
b a b
b
+
+
+
= + =
+
+

Đồng nhất tử và mẫu ta được
1 2 1 1 1
1 2 1 1 1
3 2 3 2 4
4

n n n n n n n n
n n n n n n n n
a a b a a b a a
b a b b a b b b
+ + + + +
+ + + + +
= + = + = −
 
⇒
 
= + = + = −
 

Như ở cách 1, ta giải dãy Lucas
1 2
4
n n n
u u u
− −
= − được
1 1 2 2
n n
n
u C r C r
= + với
1 1
2 3; 2 3
r r= + = −
Điều kiện ban đầu là
1 1

3
a b
= . Ngoài ra khi n = 0 thì
0
R
= ∞
nên
0
0
b
=

Coi
1
1
0
3
1
1
a
b
a
=

= ⇒

=


Giải dãy {a

n
} và {b
n
} ta được
( ) ( )
( ) ( )
1 3 3 1
2 3 2 3
2 3 2 3
1 1
2 3 2 3
2 3 2 3
n n
n
n n
n
a
b

+ −
= + + −




= + − −



Từ đó rút ra

(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
3 1 2 3 3 1 2 3
2 3 2 3
n n
n
n
n n
n
U
R R
I
+ + + − −
= =
+ − −

Và
(
)
3 1
R R
∞
= +

Nhận xét
Qua 2 bài tập trên, ta rút ra một tính chất khác của dãy Lucas.
Xét dãy số
1
1
n
n
n
bu
u a n
u c
u
+

= + ∀

+




Ta đặt
n
n
n
x
u
y
= Khi đó

(
)
(
)
1
1
n n n
n
n n n n
a b u ac a b x acy
x
y u c x cy
+
+
+ + + +
= =
+ +

Từ đó ta có thể suy ra
( )
(
)
( )
( )
( )
1
2 1
1
2 1 1
1 2 1

1
2 1 1
n n n
n n n
n n n
n n n
n n n n n n
n n n
n n n
x a b x acy
x a b c x bcx
x a b x acy
x a b x acy
y x cy y a b c y bcy
y x cy
y x cy
+
+ +
+
+ + +
+ + +
+
+ + +
= + +


= + + −
= + +
= + +
  

⇒ ⇒
  
= + = + + −
= +






= +


Vậy ta có thể biểu diễn số hạng tổng quát của dãy
1
1
n
n
n
bu
u a n
u c
u
+

= + ∀

+




bằng một tỉ số của 2 số hạng của 2
dãy Lucas có cùng quan hệ hồi quy dạng
(
)
2 1
n n n
X a b c X bcX
+ +
= + + −
Dãy số
1
1
n
n
n
bu
u a n
u c
u
+

= + ∀

+



cũng hay xuất hiện trong các mạch điện bởi nếu thay
n n

R u R
= thì
1
n
n
n
bR R
R aR
R cR
+
= +
+
và thường xuất hiện dưới dạng b = c. Bởi số hạng
n
n
bR R
R cR
+
khi b = c biểu diễn điện trở
tương đương của R
n
//(bR).
Bài tập 3
Quay lại vấn đề đã nêu ở đầu chuyên đề
Với hình vuông 3x3 thì khá dễ với những ai đã có kinh nghiệm trong việc gỡ nút mạch điện.
Do mạch là đối xứng nên ta gỡ nút như sau:

Khi đó ta dễ dàng tính được
13
7

td
R R
=
Khi mạch điện là một hình vuông 2x2 như hình sau

Thì ta tách nút ở giữa và tính ra được
3
2
td
R R
= và khi mạch điện là một hình vuông 1x1

Thì
td
R R
=

Liệu với hình vuông nxn thì điện trở tương đương
n
R
bằng bao nhiêu?
Ta xét hình vuông (n+1)x(n+1) như hình sau:

Ta tách các nút ở đường chéo AB. Ta được 2 nhánh song song giống hệt nhau nên mỗi nhánh có điện trở là
1
2
n
R
+
.

Mỗi nhánh có hình dạng như sau:

Mạch CD có 2 nhánh, 1 nhánh gồm 2n điện trở R mắc nối tiếp nhau. Nhánh còn lại có hình dạng như sau:

Ta thấy nếu 2 mạch giống như hình trên mắc song song thì ra hình vuông nxn. Do đó điện trở của mạch CD
trên này lả
2
n
R

Ta có:
1 1
2 .2 .
2 2
2 2
n n
n n
n n
R nR nR R
R R R R
R nR R nR
+ +
= + ⇒ = +
+ +

Để đơn giản, ta đặt
1
1
n
n

R
u u
R
= ⇒ =
và
1
1
n
n
n
nu
u
u n
+
= +
+

Dãy số này khác với dạng của dãy số ở 2 bài trên, khi mà b = c = n lại phụ thuộc vào n
Tuy nhiên, ta vẫn thử vận may với việc đặt
n
n
n
a
u
b
=

Khi đó, ta được
(
)

1
1
1
1
1
n n
n n
n
n n n n
n a nb
nu a
u
u n b a nb
+
+
+
+ +
= + ⇒ =
+ +

Suy ra
( )
(
)
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1
2 1

1 2 1 1
2
1 1
2 1
2 1 1
1
2 3 1
1 2 1
2 2
1
n n n
n n n
n n n n n n
n n n n n n
n n n
n n n
a n a nb
a n a n n a
a n a nb a n a n b
b a nb b a nb
b n b n b
b a n b
+
+ +
+ + + +
+ +
+ +
+ + +
= + +


= + − +
= + + = + + +
  
⇒ ⇒
  
= + = +
= + −






= + +


Chọn điều kiện ban đầu
1 1 2 2
1; 1; 3; 2
a b a b
= = = =

Đầu tiên ta xét dãy
(
)
(
)
2 1
1
2

2 3 1
1
3
n n n
a n a n n a
a
a
+ +
= + − +

=


=

và sau đó ta xét dãy
(
)
2
2 1
1
2
2 2
1
2
n n n
b n b n b
b
b
+ +


= + −

=


=


Tuy nhiên 2 dãy trên mình vẫn chưa tìm ra được công thức tổng quát. Mong rằng trong số các bạn đọc có
người tìm ra được công thức tổng quát cho 2 dãy này.
Và trên thực tế, cách biểu diễn truy hồi vẫn xác định một dãy số nên ta vẫn có thể tạm chấp nhận lời giải bài
toán dừng ở đây.

Bài toán 2: Hệ cơ vô hạn
Bài tập 1: Máy Atwood
Máy Atwood là một máy cơ đơn giản, gồm vô số ròng rọc như hình vẽ

Khi để hệ ròng rọc thả tự do thì gia tốc của vật nặng trên cùng là bao nhiêu? Biết các vật nặng giống nhau
và có khối lượng m và các ròng rọc rất nhẹ. Gia tốc trọng trường là g.
Giải:
Cách này dựa trên cách giải quyết thông thường của bài toán trên. Ta xét một hệ gồm một ròng rọc và 2
trọng vật m
1
và m
2
như sau:

Ta giữ ròng rọc đứng yên bằng một lực F. Khi đó F = 2T.
Dựa vào định luật 2 Newton, ta suy ra ngay

( )
1 2 2 1
1 2 2 1
1
T m g m g T m m
a g
m m m m
− − −
= = =
+

Từ đó suy ra
2 1 1 2 1 2
1 1 1
2 1 2 1 2 1
2 4m m m m m m
m a T m g T m g g g F g
m m m m m m
 
−
= − ⇒ = + = ⇒ =
 
+ + +
 

Nếu coi hệ ròng rọc trên là một vật nặng thì hệ ròng rọc này có “khối lượng” là
( )
1 2
12
2 1

4
2
m mF
m
g m m
= =
+

Áp dụng kết quả này vào bài toán trên. Ta thấy, gọi N là số ròng rọc, ròng rọc dưới cùng là ròng rọc số 1.
Khi đó, từ (2) ta suy ra
0
1
2
m m
m m
=


=

và
1
1
4
i
i
i
mm
m
m m

−
−
=
+
. Với m
i
là khối lượng của hệ ròng rọc tính đến ròng rọc
thứ i.
Từ (1) ta có ngay
1
1
i
i
i
m m
a g
m m
−
−
−
=
+
là gia tốc của vật nặng mắc qua ròng rọc thứ i đối với ròng rọc thứ i. Ta
chỉ cần giải ra dãy {m
i
} thì tìm ra dãy {a
i
}
Ta có
1

1 1
4
1 1 1 1
4
i
i
i i i
mm
m
m m m m m
−
− −
 
= ⇒ = +
 
+
 
đây là một dạng cấp số suy rộng. Giải ra ta được:
0
1 1 1 1 1 3.4
3 3 4 4 2
i
i
i
i
i
m m
m m m m
 
 

= + − ⇒ =
 
 
+
 
 

Từ đó tìm ra gia tốc
1
1
4 1
2.4 1
i
i
i
a g
−
−
+
=
+
. Đối với hệ N ròng rọc thì gia tốc của vật nặng trên cùng là
1
1
4 1
2.4 1
N
N
N
a g

−
−
+
=
+

Khi số ròng rọc là vô hạn thì
1
1
4 1
lim lim
2.4 1 2
N
N
N
N N
g
a a g
−
−
→∞ →∞
 
+
= = =
 
+
 

Bài tập 2: Hình dạng treo của sợi dây xích
Giả sử ta có một sợi dây xích như hình vẽ, gồm 2N+1 vật nặng được nối mới các dây nhỏ dài d. Dây được

treo cố định trên 2 đầu A , B với AB nằm ngang cách nhau một đoạn a . Tìm hình dạng của dây xích lúc
này. Biết các vật nặng có kích thước nhỏ, không đáng kể và có khối lượng m.

Giải:
Nhận xét: hình dạng của dây xích và các vật nặng phải ở vị trí đối xứng nhau. Khi đó ta đặt thứ tự của các
vật nặng như hình vẽ. Trục tọa độ Oxy có Ox nằm ngang, Oy nằm trên trục đối xứng và O nằm ở điểm thấp
nhất của dây.


Lực căng dây
i
T

giúp giữa cho 2N – 2i + 3 quả nặng ở phía dưới cân bằng.
Do đó
(
)
2 sin 2 2 3
i i
T N i mg
θ
= − +
Xét vật nặng thứ i cân bằng.
Khi đó
( )
( )
1 1
1 1
os os 1
3

sin 2
2
1
sin
2
i i i i
i i
i i
T c T c
T N i mg
T N i mg
θ θ
θ
θ
+ +
+ +


=


 
= − +

 
 


 
= − +


 
 


( )
( )
( )
( )( ) ( )
2 2
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1
2 2 2 2
1 1
1
2 2 2 2
1 1
2 2 2
1
3 1
2 2
2 1
2 1
2 1
1 2 2 3
i i
i i
i

i
k
i
i
T T N i N i m g
T T N i m g
T T N k m g
T T m g i N i
T T m g i N i
+
+
+
=
+
 
   
⇒ − = − + − − +
 
   
   
 
 
⇔ − = − − +
 
⇔ = + − − +
 
⇔ = − + −
⇔ = − − + −
∑

Từ (2) và (3) suy ra
(
)
( )( )
( )
2
1
2 2 3
sin 4
2 1 2 2
i
N i
T
i N i
mg
θ
− +
=
 
− − + −
 
 

Và
( )( )
( )
2
2
1
2

1
1
2
os 5
1 2 2
i
T
N
mg
c
T
i N i
mg
θ
 
 
− +
 
 
 
 
=
 
− − + −
 
 

Tọa độ của 2 quả nặng thứ i là:
(
)

(
)
, à ,
i i i i
x y v x y
− với
( ) ( )
1 1
, cos , sin 6
i i
i i i i
j N j N
x y d
θ θ
= + = +
 
=
 
 
∑ ∑

Thay (4),(5) vào (6) ta tìm được:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1

2
2
1 1
1
1
1
2 2 3
2
, , 7
1 2 2
2 1 2 2
i i
i i
j N j N
T
N
N j
mg
x y d d
T
T
j N j
j N j
mg
mg
= + = +
 
 
 
 

− +
 
 
 
− +
 
 
=
 
 
 
 
− − + −
− − + −
 
 
 
 
 
 
∑ ∑

Thay i = 1 thì
2
i
a
x
=
ta sẽ tìm ra được
1

T
mg
. Công thức (7) giúp ta xác định được hình dạng của dây xích.
Từ công thức (7), ta thấy rằng đối với một dây đồng chất, tiết diện đều thì có thể coi như , 0 à m d v N
→ →∞
.
Gọi chiều dài và khối lượng sợi dây là L và M.
Ta có à
2 1 2 1
M L
m v d
N N
= =
+ +
, chiều dài từ giữa dây tới mắc xích i là
(
)
2
l N i d
= + −
Ta xem
d dl l
=
≪
là một vi phân.
Thay vào (7) ta được:
2
2
2
1

1
2
2
1
2
2
2
0
1
1
2
2 2
2
1 1
2
2
2
0
1
2
1
1
4
4
1
ln
4
1
1
4

4
1 1
4 4
1
4
l
l
T
l l
T
L Mg L
Mg
Tl
x L d L
L Mg
T l
T
Mg L
Mg
l l
d
T T
l
L L
y L L
Mg L Mg
T l
Mg L

 

 
 

 
+ − +
−
 
 
 
 
 
 
 
= = −
 
 
 
 
 
 
 
 
− +
−
 
 
 
 
 
 

⇒

 
 
 
   
 
 
= = − + − −
   
 
   
 
 
− +
 
 
∫
∫














Khi thì
2 2
L a
l x
= =
, thay vào ta tìm được
1
T
mg
.
Khử tham số
l
để tìm hình dạng của sợi dây.
2 2 2
2
1 1 1
2
2 2
1 1
2 2
2
1 1
2
2
1
1
1 1 1
exp sinh

4 4 4
1 1
4 4
1 1
cosh
4 4
1
4
T T Tx l l l x
Mg L Mg L L Mg
T T
L L
Mg Mg
T Tl x
Mg L Mg
T
L
Mg
T
y L
Mg
   
 
 
 
 
     
− − = − + ⇔ = −
 
 

     
     
 
 
   
− −
 
 
   
   
   
 
 
 
   
⇔ − + = −
 
   
   
 
 
−
 
 
 
 

⇔ =
2
2

1
1
cosh 1
4
1
4
x
T
L
Mg
 
 
 
 
 
 

− −
 
 
 
 
 
 
 
−
 
 
 
 

 
 
 

Như vậy hình dạng của một sợi dây nắm tự do ở 2 đầu là một hình cosh.
Thật ra, để tìm ra phương trình này, ta có thể sử dụng cách giải đơn giản hơn. Ở đây, tôi đưa ra cách giải
này để cho thấy những sợi dây xích dài cũng có hình dạng tương tự, do số mắc xích tương đối lớn của
chúng. Dạng hình cosh này thoạt nhìn rất giống parabol nhưng không phải. Đó là lý do khiến nhiều người
tưởng nhầm hình dạng của sợi dây xích được treo 2 đầu là hình parabol.
Bài toán 3: Chứng minh công thức tính năng lượng của một tụ điện
Thoạt nghe, ta thấy việc chứng minh công thức
2
W
2
U
C= của một tụ điện có vẻ như không liên quan đến
chủ đề của chúng ta – dãy số. Tuy nhiên, khi tôi được học đến phần này, thầy tôi đã đưa ra một lời giải khá
hay để chứng minh công thức trên. Với ý tưởng đó, cộng với kiến thức sơ đẳng về dãy số của mình, tôi xin
trình bày lời giải ấy để bạn đọc tham khảo.
Ý tưởng khá đơn giản: bạn hãy tưởng tượng bạn có một thiết bị đặt biệt có thể gắp các electron của bản
dương cho bản ẩm! Khi đó, công do bạn sinh ra chính là năng lượng bạn đã tích cho tụ.


Giả sử sau khi gắp n electron từ bản dương qua bản âm. Khi đó hiệu điện thế giữa 2 bản của tụ điện là
U
n
ne
C
= . Khi ta gắp electron thứ n+1 ra khỏi bản dương thì hiện điện thế giữa 2 bản trở thành
(

)
*
2 1
U
2
n
n e
C
+
= . Công ta gắp electron thứ n+1 này tới bản âm là
(
)
2
*
1
2 1
A U
2
n n
n e
e
C
+
+
= =
Công ta gắp N electron từ bản dương qua bản âm là
(
)
2
2 2 2 2

1 1
1
0 0
2 1
A A
2 2 2 2
N N
n
n n
n e
N e Q CU
C C C
− −
+
= =
+
= = = = =
∑ ∑

Như vậy, chỉ cần biết rằng tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 bằng bình phương số ở giữa, ta đã chứng minh được
một công thức quan trọng trong điện học.
Các bạn cũng có thể chứng minh công thức trên bằng cách lắp một mạch điện gồm điện trở - tụ điện và
nguồn. Khi đấy, công của nguồn làm nóng điện trở và tích lũy năng lượng cho tụ. Từ đó, ta cũng chứng
minh được rằng
2
W
2
U
C= . Đối với các mạch không có điện trở, phần nhiệt do điện trở được bù đắp bởi
năng lượng bức xạ điện từ do dòng điện biến đổi gây ra. Và dù mạch điện thế nào thì năng lượng mà tụ tích

lũy vẫn là
2
W
2
U
C= .