Định lý giá trị trung bình trong không gian định chuẩn và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o———————

NGUYỄN ÁNH DUNG

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hà Nội, tháng 5 năm 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
——————–o0o———————

NGUYỄN ÁNH DUNG

ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Hướng dẫn khoa học:
TS. HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội, tháng 5 năm 2019


LỜI CẢM ƠN

Sau quá trình nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ, động viên từ các thầy giáo,
cô giáo cùng với các bạn sinh viên trường đại học sư phạm Hà Nội 2 đến nay
bài khóa luận của em đã được hoàn thành.
Đặc biệt cho em xin được gửi lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn sâu sắc
nhất tới thầy Hoàng Ngọc Tuấn - người đã trực tiếp quan tâm và hướng dẫn
em thực hiện đề tài nghiên cứu này. Qua đây em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ
của thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ giải tích đã tạo điều kiện tốt
nhất cho em trong suốt quá trình em thực hiện khóa luận.
Dù bản thân đã rất cố gắng trong suốt quá trình nhưng do đây là lần đầu
tiên được tiếp xúc với một bài nghiên cứu khoa học, hơn nữa do điều kiện về
thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên phần trình bày của em không
tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các
thầy cô cùng với các bạn sinh viên để bài khóa luận của em được hoàn thiện
hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Ánh Dung
1


LỜI CAM ĐOAN

Bài khóa luận là kết quả trung thực, khách quan dựa trên kiến thức trong
suốt quá trình học tập, tìm hiểu của bản thân em cùng với sự hướng dẫn, chỉ
bảo tận tình của TS. Hoàng Ngọc Tuấn.
Trong quá trình thực hiện bài nghiên cứu của mình em có tham khảo một
số tài liệu và đã được nêu trong mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan bài khóa luận: “Định lý giá trị trung bình trong
không gian định chuẩn và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của riêng
em, những kết quả thu được trong đề tài không trùng với bất kì tác giả nào
khác.
Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2019
Sinh viên

Nguyễn Ánh Dung

2


MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Mở đầu

5

1 Một số kiến thức chuẩn bị

7

1.1

1.2

Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.2

Giới hạn và tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Tập đóng, tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4

Tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.5

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1

Đạo hàm có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2

Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Định lý giá trị trung bình và ứng dụng

19

2.1

Định lý giá trị trung bình mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3

Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4

Phép tính vi phân dưới dấu tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận chung

36

3


Tài liệu tham khảo

37

4


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Định lý giá trị trung bình là định lý đóng vai trò vô cùng quan trọng trong

toán học. Nó là một đề tài thường xuyên được khai thác trong các kì thi học
sinh giỏi và Olympic toán học. Nhờ nó mà ta có thể giải các bài toán liên quan
đến sự tồn tại nghiệm của phương trình, vấn đề cực trị của hàm số, lý thuyết
giải tích số. . . một cách dễ dàng hơn. Từ đó có thể giải quyết được các bài toán
liên quan một cách nhanh chóng và thuận tiện nhất.
Chính vì tầm quan trọng của định lý giá trị trung bình và được sự hướng
dẫn của TS. Hoàng Ngọc Tuấn, em đã chọn đề tài “Định lý giá trị trung bình
trong không gian định chuẩn và ứng dụng” để hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về định lý giá trị trung bình và ứng dụng của nó. Từ đó cung
cấp thêm tư liệu toán học giúp người đọc có thêm thông tin phục vụ việc học
tập và giảng dạy của mình.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về định lý giá trị trung bình.
- Đưa ra một vài ứng dụng của định lý trong toán học.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: định lý giá trị trung bình.
- Phạm vi: Toán cao cấp, Topo - độ đo - tích phân. Giải tích hàm.
5. Phương pháp nghiên cứu
5


- Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp hệ thống lại các kiến
thức có liên quan.
- Hỏi ý kiến các chuyên gia.

6

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

1.1. Không gian định chuẩn
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử rằng tất cả các không gian vectơ là thực. Cho E là một không gian
vectơ. Một ánh xạ . : E → R được gọi là một chuẩn nếu ∀x, y ∈ E, λ ∈ R ta có
1.

x ≥ 0;

2. x = 0 ⇔ x = 0 ;
3. λx = |λ| x ;
4. x + y ≤ x + y .
Cặp (E, . ) được gọi là một không gian định chuẩn và ta nói x là một
chuẩn của x. Tính chất thứ tư là bất đẳng thức tam giác trong không gian định
chuẩn.
Nếu không có sự nhầm lẫn, ta viết đơn giản là E cho một không gian định
chuẩn. Để phân biệt các chuẩn trên các không gian định chuẩn E và F , ta có
thể viết .

E

với chuẩn trên E và .

với chuẩn trên F . Những chuẩn thông

F

dụng nhất trên Rn được định nghĩa như sau:
x

1

= |x1 | + · · · + |xn |,

x

2

=

x21 + · · · + x2n ,

= max|x1 |, ..., |xn |.
1
n
p
Cho p > 1 và với x ∈ Rn ta đặt x p =
|xi |p
.
x

Mệnh đề 1.1. x

p

∞

là một chuẩn trên

i=1
Rn .

7


1.1.2. Giới hạn và tính liên tục
Bây giờ ta xét dãy trong không gian định chuẩn. Nếu (xn )n∈N là một dãy
trong không gian định chuẩn E và có một phần tử l ∈ E sao cho limn→∞ xn − l =
0 thì ta nói rằng dãy đó là hội tụ. Dễ dàng thấy phần tử l phải là duy nhất. Ta

gọi l là giới hạn của dãy và viết limn→∞ xn = l. Ta sẽ viết gọn (xn )n∈N thành
(xn ) và limn→∞ xn = l thành lim xn = l .

Mệnh đề 1.2. Nếu (xn ) và (yn ) là dãy hội tụ trong E , với lim xn = l1 và
lim yn = l2 , λ ∈ R thì
lim (xn + yn ) = l1 + l2 và lim (λxn ) = λl1 .

Giả sử bây giờ có hai không gian định chuẩn, (E, .

E)

và (F, .

F ).

Cho A là

một tập con của E , f là ánh xạ đi từ A đến F và a ∈ A. Ta nói rằng f là liên
tục tại a nếu điều kiện sau thỏa mãn: Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho nếu

x ∈ A và x − a

E

< δ thì f (x) − f (a) < ε.

Nếu f là liên tục tại mọi điểm a ∈ A thì ta nói f là liên tục trên A. Cuối cùng,
nếu A ⊂ E, B ⊂ F và f : A → B là liên tục sao cho ánh xạ nghịch đảo f −1 cũng
liên tục thì ta nói f là phép đồng phôi.
Mệnh đề 1.3. Chuẩn trên một không gian định chuẩn là một hàm số liên tục.
Mệnh đề 1.4. Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈ A, f và g
là ánh xạ đi từ E đến F và λ ∈ R
1. Nếu f và g là liên tục tại a thì f + g cũng liên tục tại a.
2. Nếu f là liên tục tại a thì λf cũng liên tục tại a.
3. Nếu α là một hàm số thực xác định trên E , cả f và α đều liên tục tại a thì
ta cũng có αf liên tục tại a.
Hệ quả 1.1. Hàm số f : E → F liên tục tại a có dạng một không gian vectơ.
8


Bây giờ ta xét tích đề-các của các không gian định chuẩn. Cho
E1 , .

E1

, ..., Ep , .

Ep

là không gian định chuẩn. Tích đề-các E1 × ... × Ep là

một không gian vectơ. Với (x1 , ..., xp ) ∈ E1 × ... × Ep ta đặt
(x1 , ..., xp )

S

= x1

E1

+ ... + xp

Ep

và
(x1 , ..., xp )

Dễ dàng thấy .

S

và .

M

M

= max

x1

E1

, ..., xp

Ep

.

là chuẩn tương đương trên E1 × ... × Ep . Tổng quát,

ta sẽ sử dụng chuẩn thứ hai như là chuẩn thông thường. Nếu E1 = ... = Ep = R
và .

Ei

= |.| với mọi i thì .

S

= .

1

và .

M

= .

∞.

Mệnh đề 1.5. Cho (E, . ) là không gian định chuẩn.
1. Ánh xạ f : E × E → E, (x, y) → x + y là liên tục.
2. Ánh xạ g : R × E → E, (λ, x) → λx là liên tục.
Mệnh đề 1.6. Cho E , F , G là các không gian định chuẩn, A ⊂ E, B ⊂ F ,
f : A → F và g : B → G. Nếu f (A) ⊂ B , f là liên tục tại a ∈ A và g liên tục tại
f (a) thì g◦ f là liên tục tại a.

Hệ quả 1.2. Nếu A ⊂ E và f : A → R là liên tục và khác không trên A thì hàm
số g =

1
f

là liên tục trên A.

Định lý 1.1. Cho E , F là không gian định chuẩn, A ⊂ E và f : A → F . Thế
thì f là liên tục tại a ∈ A khi và chỉ khi với mọi dãy (xn ) nằm trong A sao cho
lim xn = a ta có lim f (xn ) = f (a).

1.1.3. Tập đóng, tập mở
Cho E là một không gian định chuẩn. Một tập con O của E được gọi là
mở nếu với mỗi x ∈ O, có một hình cầu mở tâm x nằm hoàn toàn trong O. Nếu

9


A ⊂ E và có một tập mở O sao cho a ∈ O ⊂ A, thì A được gọi là lân cận của a.

Nếu tập mở của A là chính nó thì ta nói A là một lân cận mở của a.
Mệnh đề 1.7. Một hình cầu mở B (a, r) là một tập mở.
Nếu E là một không gian định chuẩn thì
1. E và ∅ là tập mở.
2. Nếu (Oα )α∈A là tập hợp của các tập con mở, thì

α∈A Oα

3. Nếu (Oi )ni=1 là một tập hữu hạn các tập con mở, thì

là một tập mở.

n
i=1 Oi

là một tập mở.

Nếu E là một không gian định chuẩn và C ⊂ E là phần bù của một tập
mở, thì ta nói C là đóng. Chú ý rằng một tập con bao gồm một điểm là một tập
đóng.
Mệnh đề 1.8. Một hình cầu đóng B (a, r) là một tập đóng.
Sử dụng định luật Morgan ta nhận được: Nếu E là một không gian định
chuẩn, thì
1. E, ∅ là tập đóng.
2. Nếu (Cα )α∈A là tập của các tập con đóng thì ∩α∈A Cα là một tập đóng.
3. Nếu (Ci )ni=1 là tập hữu hạn của các tập con đóng thì ∪ni=1 Ci là một tập đóng.
Mệnh đề 1.9. Cho E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E . A là tập đóng
khi và chỉ khi mọi dãy hội tụ trong A có giới hạn nằm trong A.
Mệnh đề 1.10. Chỉ có các tập con vừa mở vừa đóng của không gian định chuẩn
E là tập E và ∅.

Mệnh đề 1.11. Cho E và F là các không gian định chuẩn, A ⊂ E và f là ánh
xạ đi từ A đến F . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
1. f là liên tục;
10


2. f −1 (O) là giao của A với tập con mở của E , nếu O là mở trong F ;
3. f −1 (C) là giao của A với tập con đóng của E , nếu C là đóng trong F .

1.1.4. Tập compact
Trong phần này ta sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản về tập compact. Đầu
tiên ta xét điểm giới hạn. Như ở trên, ta giả sử rằng E là một không gian định
chuẩn. Cho A là một tập con của E . Ta nói rằng x ∈ E là một điểm giới hạn
của A nếu mọi hình cầu mở B(x, r) chứa các điểm của A ngoại trừ x. (Chú ý, x
không nhất thiết nằm trong A.) A được nói là có tính chất Bolzano-Weierstrass
nếu mọi tập con vô hạn của A có một điểm giới hạn trong A.
Ví dụ 1.1. 0 là điểm giới hạn của tập 1, 21 , 13 , ...
Mệnh đề 1.12. Nếu A ⊂ E là tập compact thì A có tính chất Bolzano-Weierstrass.
Nếu A ⊂ E thì ta định nghĩa đường kính của A bởi
diam(A) = sup { x − y : x, y ∈ A} .

Chú ý : Nếu A = ∅ thì diam(A) = −∞. Tập A là bị chặn nếu nó nằm trong
hình cầu mở tâm là điểm gốc. Với tập khác rỗng, tính bị chặn là tương đương
với tính hữu hạn đường kính.
Nếu E và F là các không gian định chuẩn, A là tập con của E và f là ánh
xạ đi từ A đến F , thì ta nói f là liên tục đều nếu các điều kiện sau là thỏa mãn:
với mọi ε > 0, tồn tại α > 0 sao cho nếu x, y ∈ A và x − y
f (x) − f (y)

F

E

< α thì

< ε.

Rõ ràng, nếu f là liên tục đều thì f là liên tục. Dễ dàng tìm được ví dụ của ánh
xạ liên tục nhưng không liên tục đều. Ví dụ hàm số f : R∗+ → R, t →

1
t

là liên

tục nhưng không liên tục đều. Tuy nhiên, ta có các kết quả sau:
Mệnh đề 1.13. Nếu E và F là không gian định chuẩn, A ⊂ E compact theo dãy
và f : A → F liên tục trên A thì f là liên tục đều.
11


Định lý 1.2. Nếu E là không gian định chuẩn và A ⊂ E thì ba mệnh đề sau là
tương đương:
1. A là compact;
2. A có tính chất Bolzano-Weierstrass;
3. A là compact theo dãy.
Mệnh đề 1.14. Nếu E là một không gian định chuẩn và A ⊂ E là compact, thì
A là đóng và bị chặn.

Định lý 1.3. Nếu E là một không gian định chuẩn, A ⊂ E compact và f : A → R
liên tục, thì f là bị chặn trên A và nó bị chặn trên và chặn dưới.
Định lý 1.4. Nếu . là một chuẩn xác định trên Rn thì . là tương đương với
.

∞.

Cho nên tất cả các chuẩn trên Rn là tương đương.

Hệ quả 1.3. Tất cả các chuẩn trong không gian vectơ hữu hạn chiều E là tương
đương.
Định lý 1.5. Các tập con compact của một không gian định chuẩn hữu hạn
chiều là đóng và bị chặn.

1.1.5. Không gian Banach
Một dãy Cauchy trong R có thể tổng quát thành một không gian định
chuẩn. Ta nói rằng một dãy (xk ) trong không gian định chuẩn E là một dãy
Cauchy nếu nó thỏa mãn tính chất sau:
với mọi ε > 0, tồn tại một N (ε) ∈ N sao cho um − un < ε, nếu m, n

N (ε).

Dế dàng thấy một dãy hội tụ là một dãy Cauchy và một dãy Cauchy là bị chặn.
Ta nói rằng một không gian định chuẩn E là đầy đủ, hoặc một không gian
Banach, nếu mọi dãy Cauchy trong E hội tụ.
Định lý 1.6. Không gian định chuẩn (Rn , .
12

∞)

là không gian Banach.


Định lý 1.7. Hình cầu đơn vị S của không gian định chuẩn E là compact khi
và chỉ khi E là hữu hạn chiều.

1.2. Phép tính vi phân
1.2.1. Đạo hàm có hướng
Cho O là một tập con mở của không gian định chuẩn E . f là một hàm số
xác định trên O, a ∈ O và u = 0 là một phần tử của E . Hàm số fu : t → f (a + tu)
là xác định trên một khoảng mở chứa điểm 0. Nếu đạo hàm

dfu
dt (0)

là xác định,

nghĩa là, nếu giới hạn
f (a + tu) − f (a)
t→0
t
lim

tồn tại, thì ta viết ∂u f (a). Nó được gọi là đạo hàm của f tại a theo biến u. Chúng
ta gọi đạo hàm như trên là đạo hàm có hướng. Chú ý rằng, nếu ∂u f (a) xác định
và λ ∈ R∗ , thì ∂λu f (a) xác định và
∂λu f (a) = λ∂u f (a).

Nếu E = Rn và cơ sở chuẩn tắc của nó là (ei ), thì đạo hàm có hướng ∂ei f (a)
được gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại a, hoặc đạo hàm của f theo biến xi

tại a. Trong trường hợp này chúng ta viết ∂i f (a) hoặc

∂f
∂xi (a).

Nếu a = (a1 , ..., an ),

thì
∂f
f (a1 , ..., ai+t , ...., an ) − f (a1 , ..., an )
(a) = lim
.
t→0
∂xi
t

Nếu mỗi điểm x ∈ O, đạo hàm riêng
hàm số có đạo hàm riêng thứ i

∂f
∂xi

∂f
∂xi (x)

là xác định, thì ta thu được

xác định trên O. Nếu những hàm số là xác

định và liên tục với mọi i, thì ta nói rằng hàm số f thuộc lớp C 1 .

Ví dụ 1.2. Nếu f là hàm số xác định trên R2 bởi f (x, y) = xexy , thì đạo hàm
riêng theo biến x và y xác định với mọi điểm (x, y) và
∂f
∂x (x, y)

= (1 + xy)exy và

13

∂f
∂y (x, y)

= x2 exy .


Vì hàm số (x, y) → (1 + xy)exy và (x, y) → x2 exy liên tục, f thuộc lớp C 1 .
Mệnh đề 1.15. Cho O là một tập con mở của Rn , a ∈ O và hàm số thực f và g
xác định trên O có đạo hàm riêng theo biến xi tại a. Thế thì
∂(f +g)
∂xi (a)

=

∂f
∂g
∂xi (a) + ∂xi (a)

và

∂(f g)

∂xi (a)

=

∂f
∂g
∂xi (a)g(a) + f (a) ∂xi (a).

Hơn nữa, nếu λ ∈ R thì
∂(λf )
∂(f )
(a) = λ
(a).
∂xi
∂xi

Giả sử rằng O là một tập con mở của Rn và hàm số f xác định trên O với ảnh
trong Rm . Hàm số f có m thành phần f1 , ..., fm . Nếu a ∈ O và đạo hàm riêng
∂fi
xj (a),

với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n, tất cả là xác định, thì m × n ma trận




Jf (a) = 



∂f1
∂xn (a)

∂f1
∂x1 (a)

···

..
.

..
.

..
.

∂fm
∂x1 (a)

···

∂fm
∂xn (a)







được gọi là ma trận Jacobian của f tại a.
Ví dụ 1.3. Nếu ánh xạ f của R3 vào R2 được xác định bởi f (x, y, z) = (xy, zexy ),
thì tất cả đạo hàm riêng xác định tại mọi điểm (x, y, z) ∈ R3 và


y
Jf (x, y, z) = 

x


yzexy xzexy

0 
exy

.

Dễ dàng để tổng quát định nghĩa của lớp C 1 đến một ánh xạ có ảnh trong
Rm . Ta nói rằng một hàm số là thuộc lớp C 1 nếu các tọa độ của nó thuộc lớp
C 1.

Lưu ý. Cho A là một tập con khác rỗng của một không gian vectơ E , hàm số
thực f xác định trên A, và a ∈ A. Nếu u là một phần tử khác không của E và
tồn tại ε > 0 sao cho a + tu ∈ A, khi |t| < ε, thì hàm số fu : t → f (a + tu) được
xác định trên khoảng mở (−ε, ε). Nếu đạo hàm

dfu
dt (0)

xác định, thì ta viết đạo

hàm này là ∂fu (a) và gọi là đạo hàm của f tại a theo biến u.
14


1.2.2. Vi phân
Cho E và F là không gian định chuẩn, O là một tập con mở của E chứa
0, và một ánh xạ g từ O vào F sao cho g(0) = 0. Nếu tồn tại một ánh xạ ε xác

định trên một lân cận của 0 ∈ E và với ảnh trong F , sao cho limh→0 ε(h) = 0 và
g(h) = h

E

ε(h),

thì ta viết g(h) = o(h) và nói rằng g là một “ vô cùng bé của h”. Nếu .
và .

×
F

∼ .

với chuẩn .

F,
×

E

thì g(h) = o(h) với chuẩn .

và .

×
F.

E

và .

F

×
E

∼ .

E

khi và chỉ khi g(h) = o(h)

Đặc biệt, nếu E = Rn và F = Rm , thì điều kiện g(h) = o(h)

là độc lập với các chuẩn mà ta chọn cho hai không gian.
Cho O là một tập con mở của không gian định chuẩn E và một ánh xạ f
từ O vào một không gian định chuẩn F . Nếu a ∈ O và có một ánh xạ tuyến tính
liên tục φ từ E vào F sao cho

f (a + h) = f (a) + φ(h) + o(h)

khi h được gần tới 0, ta nói f là khả vi tại a.
Mệnh đề 1.16. Nếu f là khả vi tại a, thì
1. f liên tục tại a;
2. φ là duy nhất.
Kí hiệu. Chúng ta sẽ sử dụng kí hiệu f cho đạo hàm. Nếu xét đạo hàm của
một hàm số thực f xác định trên một khoảng mở của R, thì ta sẽ sử dụng kí
hiệu

df
dt

hoặc f˙. Để đơn giản, ta thường viết f (a) h cho f (a) (h).

Ví dụ 1.4. Nếu E và F là không gian định chuẩn và f : E → F là không đổi thì
f (a) là ánh xạ 0 tại mọi điểm a ∈ E . Nếu là tuyến tính và liên tục, thì f (a) = f

tại mọi điểm a ∈ E .
15


Mệnh đề 1.17. Nếu ta thay thế chuẩn trên không gian E và F bởi chuẩn tương
đương, thì khả vi tại a ∈ O và vi phân là không thay đổi. Đặc biệt, nếu E và F
là hữu hạn chiều, thì ta có thể chọn bất kì cặp chuẩn nào.
Ví dụ 1.5. Cho A ∈ Mn (R) là ma trận, b ∈ Rn và f : Rn → R xác định bởi
1
f (x) = xt Ax − bt x
2

Cho a ∈ Rn . Ta có
1
f (a + h) = f (a) + (at A − bt )h + ht Ah.
2

Hàm số φ : h → (at A − bt )h là tuyến tính. Vì Rn là hữu hạn chiều, φ cũng liên
tục. Ta cũng có
ht Ah ≤ Ah

2

h

2

ở đó | . |2 là chuẩn ma trận phụ thuộc vào

≤ |A|2 h
.

2.

2
2,

Vì vậy f (a) = φ.

Mệnh đề 1.18. Cho f là một ánh xạ được xác định trên một tập con mở O của
không gian định chuẩn E với ảnh trong tích đề các F = F1 × ... × Fp . Thế thì f
là khả vi tại a ∈ O khi và chỉ khi các thành phần fi , với i = 1, ..., p, là khả vi tại

a.

Lưu ý. Vi phân f (a) là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F . Ta có thể
chỉ ra rằng các tọa độ ánh xạ của f (a) tại a là các vi phân tại a của các tọa độ
ánh xạ của f , nghĩa là
f (a) = (f1 (a), ...., fp (a)).

Mệnh đề 1.19. Nếu O là một tập con mở của một không gian định chuẩn E và
f : E → R là khả vi tại a ∈ O, thì đạo hàm có hướng ∂fu (a) là xác định với mọi

vectơ u ∈ E khác vectơ không và ∂fu (a) = f (a) u. Đặc biệt, nếu E = Rn , thì đạo
hàm riêng

∂f
∂x1

∂f
(a) , ..., ∂x
(a) được xác định.
n

Mệnh đề 1.20. Cho E, F là không gian định chuẩn, O là một tập con mở của
16


E và a là một phần tử của O. Nếu f, g là khả vi tại a thì f + g là khả vi tại a và
λf cũng khả vi tại a với λ ∈ R, và
(f + g) (a) = f (a) + g (a) và (λf ) (a) = λf (a).

Nếu F là một không gian đại số giao hoán, thì f g là khả vi tại a và

(f g) (a) = f (a) g (a) + g (a) f (a) .

Giả sử rằng E và F là các không gian định chuẩn, O là một tập con mở
của E và f : O → E khả vi tại a ∈ O. Nếu F˜ là một không gian vectơ con của F
và ảnh của f nằm trong F˜ thì f khả vi tại a như một ánh xạ từ O vào F˜ nếu
ảnh của f (a) nằm trong F˜ .
Cho E , F , G là các không gian định chuẩn, O là một tập con mở của E , U
là một tập con mở của F và f : O → F , g : U → G sao cho f (O) ⊂ U . Thì ánh xạ
g ◦ f là xác định trên O.

Định lý 1.8. Nếu f là khả vi tại a và g là khả vi tại f (a), thì g ◦ f khả vi tại a
và
(g ◦ f ) (a) = g (f (a)) ◦ f (a) .

Xét một hàm số thực f xác định trên một tập con mở O của Rn . Ta có thể
thấy nếu f có đạo hàm riêng tại một điểm a ∈ O, thì điều này không thể suy ra
f là khả vi tại a. Tuy nhiên nếu ta thêm một một điều kiện thì ta được hàm số

khả vi.
Định lý 1.9. Nếu hàm số

∂f
∂f
∂x1 , ..., ∂xn

xác định trên một lân cận V của a và liên

tục tại a, thì f là khả vi tại a.
Hệ quả 1.4. Cho O là một tập con mở của Rn và f : O → Rm sao cho hàm số
∂fi

∂xj ,

với 1 ≤ i ≤ m và 1 ≤ j ≤ n, xác định trên một lân cận V của a ∈ O và liên

tục tại a. Thế thì f là khả vi tại a.

17


Ví dụ 1.6. Nếu f : R2 → R2 là xác định bởi
f (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) ,

thì ta có
∂f1
∂r

= cosθ,

∂f1
∂θ

= −r sin θ,

∂f2
∂r

= sin θ và

∂f2
∂θ

= r cos θ.

Bốn đạo hàm riêng rõ ràng là liên tục, cho nên f là khả vi tại mọi điểm (r, θ) và
f (r, θ) = (cosθdr − rsinθdθ, sinθdr + rcosθdθ) .

18


Chương 2. Định lý giá trị trung bình và ứng dụng

Trong chương này ta sẽ giới thiệu những định lý giá trị trung bình mở rộng
hay cũng được gọi định lý giá trị trung bình. Những định lý này có nhiều ứng
dụng mà ta sẽ giới thiệu ở đây.
Chúng ta sẽ tổng quát đạo hàm thông thường của hàm số thực. Nếu λ ∈ R∗
và x ∈ E , là một không gian định chuẩn ta thường viết
vô hướng của

1
λ

x
λ

với λ1 x có nghĩa là tích

với x. Giả sử I ⊂ R là một đoạn và f là một ánh xạ mà ảnh

nằm ở không gian định chuẩn E . Thế thì ta có thể xác định đạo hàm theo cách
thông thường. Nếu a ∈ I và giới hạn

f (a + t) − f (a)
t→0
t
lim

tồn tại, thì ta gọi nó là đạo hàm của f tại a và kí hiệu là

df
dx (a)

hoặc f˙. Nếu đoạn

I là mở thì ta có thể chứng minh f khả vi tại a ∈ I khi và chỉ khi f có đạo hàm

tại a. Trong trường hợp này ta có
f (a)t = tf˙(a).

Nếu hàm số f là khả vi tại mọi điểm x ∈ I , thì chúng ta có hàm số f˙ : I → E
được xác định một cách tự nhiên. Ta cũng chú ý rằng chuẩn của f (x) là bằng
với chuẩn của f˙(x) và vì tính liên tục của f˙ tại x là tương đương với tính liên
tục của f tại x. Do đó f thuộc lớp C 1 , nếu f˙ là liên tục.
Lưu ý: Ta có thể mở rộng thuật ngữ khả vi đối với hàm số xác định trong đoạn
.

I . Nếu f : I → E có đạo hàm f (x) tại mọi điểm x ∈ I , thì ta nói rằng f là khả
.

vi. Trong trường hợp này nếu hàm số f là liên tục, thì ta nói rằng f thuộc lớp
C 1.

19


2.1. Định lý giá trị trung bình mở rộng
Kết quả đầu tiên là gần với các lớp của định lý giá trị trung bình cổ điển.
Định lý 2.1. Cho O là một tập con mở của không gian định chuẩn E và a, b là
các phần tử của E với [a, b] ⊂ O. Nếu f : O → R là khả vi thì có một phần tử
c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a) = f (c)(b − a).

Chứng minh. Cho u : [0, 1] → E là một hàm số xác định bởi u(t) = a + t(b − a).
Ta có u là liên tục trên [0, 1] và khả vi trên (0, 1). Cho nên giá trị thực của hàm
số g = f ◦ u là liên tục trên [0, 1] và khả vi trên (0, 1). Với t ∈ (0, 1) ta có
g(t)
˙ = g (t)1 = f (u(t)) ◦ u (t)1 = f (u(t))(b − a.)

Từ định lý giá trị trung bình cổ điển tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho
g(1) − g(0) = g(θ)(1
˙
− 0) = g(θ).
˙

Điều này tương đương với
f (b) − f (a) = f (u(θ))(b − a)

và do đó ta có điều cần chứng minh.
Lưu ý: Nếu E = Rn , thì kết quả đó có thể được viết dưới dạng
f (b) − f (a) =

n

i=1

∂f
∂xi (c)

(bi − a).

Cho S là một tập con của một không gian định chuẩn. Nếu A, B ⊂ S là
khác rỗng và là một dạng phân hoạch của S và tồn tại các tập con mở U, V ⊂ E
sao cho A = S ∩ U và B = S ∩ V thì ta nói S là không liên thông, ngược lại ta
nói rằng S là liên thông. Rõ ràng nếu S là mở, thì S là không liên thông khi và
chỉ khi nó là hợp của hai tập mở khác rỗng rời nhau.
Nếu S là một tập con của không gian định chuẩn E và γ là một ánh xạ từ
[0, 1] lên S , thì ta nói rằng γ là một đường trong S . Nếu có một sự phân hoạch
20


P : 0 = t0 < t1 < ... < tp = 1 của [0, 1] sao cho γ bị hạn chế bởi những khoảng con
[ti , ti+1 ] là afin, thì ta nói γ là đường gấp khúc. Trong trường hợp này ảnh của γ

được nhúng vào [ti , ti+1 ] là đoạn [γ(ti ), γ(ti+1 )].
Bổ đề 2.1. Nếu O là một tập con mở liên thông của không gian định chuẩn E
và a, b ∈ O, thì có một đường gấp khúc nằm trong O nối a và b.
Chứng minh. Ta định nghĩa quan hệ ” ∼ ” trên O bởi cách viết x ∼ y nếu có
một đường gấp khúc nối x và y . Không khó để nhìn thấy rằng nó là một quan
hệ tương đương. Ta cần chỉ ra rằng có một lớp tương đương duy nhất. Để chứng
minh ta lấy a ∈ O và đặt [a] là một lớp tương đương của a. Giả sử x ∈ [a]. Vì
O là mở, có một hình cầu mở B(x, r) chứa trong O. Nếu y ∈ B(x, r) thì đường
γ : [0, 1] → E, t → x + t(y − x) là afin, có ảnh nằm trong B(x, r) và liên thông từ y

đến x. Hơn nữa, nếu có nhiều hơn một lớp tương đương, O là không liên thông,
cụ thể là một lớp tương đương đã cho và hợp của các lớp tương đương khác.
Điều này là mâu thuẫn, ta có điều cần chứng minh.
Chúng ta sẽ tổng quát kết quả từ Giải tích cổ điển, cụ thể, đạo hàm của
một hàm số thực xác định trong khoảng mở của R triệt tiêu, thì hàm số là hàm
hằng.
Định lý 2.2. Nếu O là một tập con mở liên thông của một không gian định
chuẩn E , f : O → R là một hàm số khả vi và vi phân f triệt tiêu, thì f là hàm
hằng.
Chứng minh. Cố định a ∈ O và cho x là một phần tử khác của O. Từ Bổ đề
2.1 có một đường gấp khúc γ nối a và x. Từ Định lý 2.1 và sử dụng chú ý trên,
ta có
f (γ(ti+1 )) − f (γ(ti )) = 0

với i = 0, ..., p − 1 và vì vậy f (x) = f (a).

21


Xét ánh xạ
f : R → R2 , t → (cos(2πt), sin(2πt)).

Ở đây f (1) − f (0) = 0. Tuy nhiên, f (t) = (−2π sin(πt)dt, 2π cos(πt)dt), trong đó dt
là đồng nhất trên R, và vì vậy ta không thể tìm t0 ∈ (0, 1) sao cho f (1) − f (0) =
f (t0 )(1 − 0). Bởi vậy ta không thể tổng quát Định lý 2.1 đến một ánh xạ mà

ảnh của nó nằm trong không gian định chuẩn. Tuy nhiên, một hệ quả của định
lý này là:
|f (b) − f (a)| ≤ sup

f (z)

z∈(a,b)

E∗

(b − a).

Định lý 2.3. Cho [a, b] là một đoạn của R, F là một không gian định chuẩn và
f : [a, b] → F và g : [a, b] → R đều liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Nếu
f˙(t)

F

≤ g(t)
˙
với mọi t ∈ (a, b), thì f (b) − f (a)

F

≤ g(b) − g(a).

Chứng minh. Cho ε > 0. Ta xác định A(ε) là một tập của các phần tử x ∈ [a, b]
sao cho với mọi y ∈ [a, x] ta có
f (y) − f (a)

F

≤ g(y) − g(a) + ε(y − a).
∼

∼

Rõ ràng a ∈ A(ε). Hơn nữa, nếu x ∈ A(ε) và x ∈ [a, x], thì x ∈ A(ε) và vì vậy A(ε)
là một đoạn. Cho c là một cận trên nhỏ nhất của A(ε). Ta chỉ ra c ∈ A(ε). Nếu
c = a thì kết quả là hiển nhiên, vì vậy giả sử trường hợp này không xảy ra. Nếu
x ∈ (a, c), thì
f (x) − f (a)

F

≤ g(x) − g(a) + ε(x − a).

Sử dụng tính liên tục của f và g , ta có thể thấy rằng bất đẳng thức này áp dụng
cho x = c và do đó c ∈ A(ε).
Ta sẽ chỉ ra rằng c = b. Nếu c < b, thì, bởi giả thiết đã cho về các đạo hàm,
ta phải tìm η ∈ (0, b − c) sao cho
f (x) − f (c)
x−c

≤
F

22

g(x) − g(c)
+ε
x−c

với x ∈ (c, c + η), từ điều này ta thu được
f (x) − f (c)

F

≤ g(x) − g(c) + ε(x − c).

Bây giờ sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có
f (x) − f (a)

F

≤

f (x) − f (c)

F

+ f (c) − f (a)

F

≤ (g(x) − g(c) + ε(x − c)) + (g(c) − g(a) + ε(c − a))
= g(x) − g(a) + ε(x − a),

kéo theo (c, c + η) ⊂ A(ε). Điều này mâu thuẫn với định nghĩa của c. Cho nên
c = b và ta có
f (b) − f (a)

F

≤ g(b) − g(a) + ε(b − a).

Cho ε hội tụ đến 0, ta thu được kết quả.
Hệ quả 2.1. Cho a, b ∈ R, với a < b, F là một không gian vectơ chuẩn và
f : [a, b] → F liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Nếu có một hằng số K sao

cho f˙(t)

F

≤ K , thì
f (b) − f (a)

F

≤ K(b − a).

Hệ quả 2.2. Cho E và F là không gian định chuẩn, O là một tập con mở của
E và f : O → F khả vi trên O. Nếu [a, b] ⊂ O, thì
f (b) − f (a)

F

≤ sup

f (x)

x∈(a,b)

L(E,F )

b−a

E

.

Chứng minh. Nếu supx∈(a,b) |f (x)|L(E,F ) = ∞, thì không có điều gì để chứng
minh, vì vậy giả sử rằng trường hợp này không xảy ra. Cho u : [0, 1] → E được
xác định bởi u(t) = (1 − t)a + tb. Nếu g = f ◦ u, thì g là liên tục trên [0, 1] và khả
vi trên (0, 1), với
g(t)
˙ = f (u(t)) ◦ u (t)1 = f (u(t))(b − a).

Do đó
g(t)
˙

F

≤ sup

f (x)

x∈(a,b)

23

L(E,F )

b−a

E

.