Ứng dụng của lý thuyết pólya trong bài toán đếm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐẶNG THỊ LOAN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PÓLYA
TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội – Năm 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐẶNG THỊ LOAN

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT PÓLYA
TRONG BÀI TOÁN ĐẾM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học

TS. TRẦN VĨNH ĐỨC

Hà Nội – Năm 2019


LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, em xin
bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong trường và quý thầy cô trong khoa
Toán, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian em theo học tại khoa và trong
thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Vĩnh Đức – Giảng
viên Trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm
chỉ bảo và định hướng cho em trong suốt quá trình làm khóa luận để em có thể hoàn
thành khóa luận tốt nghiệp.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng vì thời gian và kinh nghiệm bản thân còn
nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong nhận được
sự đóng góp quý báu từ các thầy cô giáo, các bạn sinh viên và bạn đọc.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh viên

Đặng Thị Loan


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn và chỉ
bảo của thầy giáo TS. Trần Vĩnh Đức. Trong khi thực hiện đề tài nghiên cứu này em

đã tham khảo một số tài liệu được ghi trong phần tài liệu tham khảo. Em xin khẳng
định kết quả của đề tài “Ứng dụng của lý thuyết Pólya trong bài toán đếm”
là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân. Nếu sai em xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2019
Sinh Viên

Đặng Thị Loan


Mục lục
Lời mở đầu

1

1 CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ BẢN

2

1.1

1.2

1.3

Khái quát về tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Cấu hình tổ hợp và cấu trúc tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Các bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Các quy tắc đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Quy tắc tương ứng một – một . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Nguyên lý cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3

Nguyên lý nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Nguyên lý bao hàm - loại trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.5

Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Một số bài toán đếm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.1

Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3.2

Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2 BỔ ĐỀ BURNSIDE

12

2.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Bổ đề Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3 ĐA THỨC CHỈ SỐ CHU TRÌNH

19

3.1

Định nghĩa đa thức chỉ số chu trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2

Định lý Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3

Đa thức chỉ số chu trình cho các nhóm Cn , Dn và Sn . . . . . . . . . .

22

Nhóm xyclic Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.3.1

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

3.3.2

Nhóm nhị diện Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3.3

Nhóm đối xứng Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

4 ĐỊNH LÝ ĐẾM PÓLYA

26

4.1

Bổ đề trọng lượng Burnside . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

4.2

Định lý đếm Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

4.3

Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

KẾT LUẬN

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO

34

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong lý thuyết tổ hợp, các phép đếm chiếm một phần vô cùng quan trọng và có
ứng dụng rất đa dạng. Phương pháp đếm thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý
đếm và một số kết quả đếm cho các cấu hình tổ hợp đơn giản. Tuy nhiên, việc xác
định chính xác số các cấu hình tổ hợp trong một số bài toán gặp nhiều khó khăn. Mặt
khác, lý thuyết Pólya cung cấp cho ta một công cụ mạnh để đếm các đồ vật mà có sự
đối xứng nào đó.
Vì lí lẽ đó, em chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng lý thuyết Pólya trong bài
toán đếm” để trình bày lại một số kết quả về lý thuyết Pólya và ứng dụng của nó.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về lý thuyết Pólya.

3. Phương pháp nghiên cứu
Tham khảo và cập nhật những nghiên cứu của tác giả trong nước cũng như ngoài
nước liên quan đến đề tài.
4. Cấu trúc khóa luận
Nội dung khóa luận gồm bốn chương:
Chương 1 "Các bài toán tổ hợp cơ bản" trình bày khái quát về tổ hợp, các quy tắc
đếm và một số bài toán toán đếm cơ bản.
Chương 2 "Bổ đề Burnside" trình bày một số định nghĩa và bổ đề Burnside.
Chương 3 "Đa thức chỉ số chu trình" trình bày định nghĩa của đa thức chỉ số chu
trình, định lý Pólya và áp dụng tìm đa thức chỉ số chu trình của một số nhóm quen
thuộc.
Chương 4 "Định lý đếm Pólya" trình bày về bổ đề trọng lượng Burnside, định lý
đếm Pólya và giới thiệu một số bài toán ứng dụng của định lý đếm Pólya.
Khóa luận được trình bày trên cơ sở các tài liệu tham khảo được liệt kê trong phần
tài liệu tham khảo. Em rất biết ơn các tác giả của tất cả các tài liệu được trích dẫn.
1


Chương 1

CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP CƠ
BẢN
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tổ hợp, các quy tắc đếm cơ bản và
một số bài toán đếm cơ bản . Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài
liệu [1], [2].

1.1

Khái quát về tổ hợp

1.1.1

Cấu hình tổ hợp và cấu trúc tổ hợp

Tư duy về tổ hợp ra đời từ rất sớm. Ở Trung quốc người ta đã biết đến những
hình vuông thần bí. Nhà triết học cổ đại Hy Lạp Kxenokrat sống ở thế kỉ IV trước
công nguyên đã tính số các từ khác nhau lập từ một bảng chữ cái cho trước. Nhà toán
học Pithagore và các học trò của ông đã phát hiện ra tính chất kì lạ của các số trong
đó có định lý Pithagore.
Mặc dù lý thuyết tổ hợp được coi là một lĩnh vực của toán học rời rạc vào thế kỉ
17 nhưng tổ hợp vẫn là lĩnh vực mờ nhạt và ít được chú ý trong khoảng hai thế kỉ.
Cho đến khi máy tính xuất hiện và phát triển thì tổ hợp mới phát triển mạnh mẽ và
trở thành một lĩnh vực của toán ứng dụng.
Vì tổ hợp có liên quan đến nhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực của đời sống nên khó
có thể định nghĩa nó một cách hình thức chặt chẽ. Nói chung lý thuyết tổ hợp là một
lĩnh vực toán học nghiên cứu các cấu hình tổ hợp và các cấu trúc tổ hợp mà ta có thể
định nghĩa chúng một cách khái quát như sau:

2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

Định nghĩa 1.1 (Cấu hình tổ hợp). Giả sử X là một tập hữu hạn, S là sơ đồ sắp
xếp các điều kiện R1 , R2 , ..., Rk được biểu diễn dưới một dạng nào đấy. Một cách sắp
xếp các phần tử của X vào sơ đồ S và thỏa mãn các điều kiện R1 , R2 , ..., Rk được gọi
là một cấu hình tổ hợp trên X.
Ví dụ 1.1. Cho tập X gồm các chữ số tự nhiên. Sơ đồ sắp xếp S là “một số có ba chữ

số”. Các điều kiện R1 = “là số chẵn”, R2 = “lớn hơn 500”. Khi đó mỗi số tự nhiên từ
tập X theo sơ đồ S thỏa mãn 2 điều kiện R1 , R2 , tức là một số tự nhiên chẵn có ba
chữ số và lớn hơn 500 ( ví dụ như 503) là một cấu hình tổ hợp.
Định nghĩa 1.2 (Cấu trúc tổ hợp). Giả sử V là một tập hữu hạn. Ta kí hiệu f (V )
là tập tất cả các cấu hình tổ hợp trên V. Khi đó bộ ba G = (V, E, f ) được gọi là một
cấu trúc tổ hợp trên V nếu V và E là các tập rời nhau, f là một hàm đi từ E vào φ(V )
và V, E, f thỏa mãn một tiên đề xác định nào đó.
Ví dụ 1.2. Giả sử V = {v1 , v2 , ..., vm }, E = {e1 , e2 , ..., en } với E ∩ V = ∅. Ta cũng giả
sử S là sơ đồ sắp xếp "cặp (x1 , x2 )"và f là một hàm từ E vào φ(V ). Khi đó, nếu với
mọi e ∈ E, f (e) là một cấu hình tổ hợp theo S trên các bản rời nhau A1 và A2 của V
thỏa mãn x1 ∈ A, x2 ∈ A, thì cấu trúc tổ hợp (V, E, f ) được gọi là một đa đồ thị có
hướng với tập đỉnh là V , tập cung là E.
1.1.2

Các bài toán tổng quát

Bài toán đếm. Là bài toán đặt ra với câu hỏi có bao nhiêu cấu hình tổ hợp
thuộc dạng đã cho. Để giải quyết bài toán này chúng ta thường dựa vào một số quy
tắc như quy tắc cộng, quy tắc nhân, và một số phương pháp đếm nâng cao,... Bài toán
đếm thường có trong các bài toán tính xác suất hay để đánh giá độ phức tạp.
Ví dụ 1.3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số và lớn hơn 500.
Ví dụ 1.4. Rút 13 quân bài từ bộ bài tây 52 quân. Có bao nhiêu cách rút 13 quân
bài để trong 13 quân đó có “tứ quý”.
Bài toán liệt kê. Đây là bài toán cần chỉ rõ những cấu hình tổ hợp thỏa mãn bài
toán là những cấu hình tổ hợp nào và cần đưa ra danh sách tất cả các cấu hình tổ hợp
có thể có. Vì thế bài toán liệt kê cần xác định một thuật toán để có thể xây dựng được
tất cả các cấu hình tổ hợp thỏa mãn bài toán. Có nhiều cách để liệt kê các cấu hình
tổ hợp nhưng phải đảm bảo hai nguyên tắc là không được lặp lại và không được bỏ
3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

sót một cấu hình tổ hợp. Bài toán liệt kê có ý nghĩa trong thực tế, hình thành những
định hướng để giải quyết các vấn đề.
Ví dụ 1.5. Liệt kê các hoán vị của {1, 2, 3, .., n} theo thứ tự từ điển.
Bài toán tồn tại. Là bài toán đặt ra với câu hỏi có hay không các cấu hình tổ
hợp thỏa mãn bài toán. Trong nhiều bài toán thì sự tồn tại của các cấu hình tổ hợp là
hiển nhiên và ta chỉ cần liệt kê hoặc đếm các cấu hình tổ hợp. Tuy nhiên trong nhiều
bài toán tổ hợp thì việc chỉ ra có hay không các cấu hình tổ hợp thỏa mãn bài toán
cho trước là hết sức khó khăn bởi vì không chỉ ra được cấu hình tổ hợp nào nhưng
cũng không khẳng định được là chúng không tồn tại. Bài toán tồn tại có nhiều ý nghĩa
trong thực tế và nó còn định hướng xây dựng lý thuyết mới đối với một số bài toán
(ví dụ như bài toán Fermat).
Ví dụ 1.6. Các bài toán tổ hợp cổ điển nổi tiếng như bài toán 36 sĩ quan, bài toán 4
màu, hay hình lục giác thần bí, bài toán chọn 2n điểm trên lưới n × n điểm.
Bài toán tối ưu tổ hợp. Là bài toán đặt ra với câu hỏi cấu hình tổ hợp nào là
tốt nhất. Ngoài ra bài toán tối ưu tổ hợp có thể được viết dưới dạng tổng quát như sau:
Tìm cực tiểu (hay cực đại) của phiếm hàm: f (x) → min(max) với điều kiện x ∈ D,
với D là tập hữu hạn phần tử, hàm f (x) là hàm mục tiêu của bài toán, mỗi phần tử
x ∈ D là một phương án còn tập D là tập các phương án của bài toán.
Ví dụ 1.7. Một số bài toán tối ưu tổ hợp truyền thống như bài toán người du lịch,
bài toán cái túi, bài toán phân công,..

1.2

Các quy tắc đếm cơ bản

1.2.1

Quy tắc tương ứng một – một

Cho hai tập hợp A, B hữu hạn. Nếu như giữa A và B có một quy tắc tương ứng
1–1 (tức là có thể ghép mỗi phần tử của A với đúng một phần tử của B mà mọi phần
tử của A và B đều được ghép cặp) thì |A| = |B|.
1.2.2

Nguyên lý cộng

Nếu A, B là các tập hữu hạn thỏa mãn A ∩ B = ∅ thì |A ∪ B| = |A| + |B|.

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

Nguyên lý cộng mở rộng: Nếu A1 , A2 , . . . , An là các tập hữu hạn thỏa mãn
Ai ∩ Aj = ∅, ∀i = j thì |A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An | = |A1 | + |A2 | + · · · + |An |. Đặc biệt nếu
A ⊂ X thì |A| = |X| − A .
Ví dụ 1.8. Giả sử bạn muốn mua 1 đôi giày cỡ 36 hoặc 37. Cỡ giày 36 có 5 màu khác
nhau, cỡ giày 37 có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn?
Giải.Theo quy tắc cộng có 9 sự lựa chọn.
1.2.3

Nguyên lý nhân

Nếu A1 , A2 , .., An là các tập hữu hạn bất kì và A1 × A2 × ... × An là tích Đề các
của tập đó thì |A1 × A2 × · · · × An | = |A1 | × |A2 | × · · · × |An |.
Ví dụ 1.9. Có 3 kiểu áo và 4 kiểu quần. Hỏi có bao nhiêu cách kết hợp quần áo.
Giải.Theo quy tắc nhân có 3.4 = 12 cách kết hợp quần áo.
1.2.4

Nguyên lý bao hàm - loại trừ

Cho A, B là các tập hữu hạn. Khi đó: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Tổng quát: Cho A1 , A2 , ..., An là các tập hữu hạn. Khi đó
|

n
i=1

n

Ai | =

n

n

|Ai | −
i=1

|Ai Aj | +
1≤i≤j≤n

|Ai Aj Ak | − · · · + (−1)n−1 |A1 A2 ...An |.

1≤i
Ví dụ 1.10. Có bao nhiêu số nguyên dương không vượt quá 2019 chia hết cho 2 hoặc
3 hoặc 7.
Giải. Gọi A, B, C là các tập hợp thỏa mãn
A=

.
n ∈ N|n ≤ 2019, n..2 ,

B=

.
n ∈ N|n ≤ 2019, n..3

C=

.
n ∈ N|n ≤ 2019, n..7 .

Khi đó,
|A| =

2019
2019
2019
= 1009, |B| =
= 673, |C| =
= 288.

2
3
7

2019
= 336,
2.3
2019
2019
2019
|B ∩ C| =
= 96, |A ∩ C| =
= 144, |A ∩ B ∩ C| =
= 48.
3.7
2.7
2.3.7
Suy ra

Do (2, 3) = 1, (2, 7) = 1, (3, 7) = 1, (2, 3, 7) = 1 nên |A ∩ B| =

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 1542.
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.5

Đặng Thị Loan

Nguyên lý Dirichlet

Nguyên lý chuồng bồ câu. Nếu bỏ n + 1 đối tượng vào n hộp thì có ít nhất 1
hộp có nhiều hơn hoặc bằng 2 đối tượng.
Ví dụ 1.11. Trong 367 người luôn có ít nhất 2 người có cùng sinh nhật bởi vì tất cả
chỉ có 366 ngày sinh nhật.
Ví dụ 1.12. Cho số nguyên dương m. Chứng tỏ rằng trong mọi tập hợp chứa m + 1
số nguyên có ít nhất 2 số đồng dư theo mod(m).
Giải. Lấy m + 1 số nguyên đã cho lần lượt chia cho m. Khi đó tất cả số dư có thể có là
m số nguyên dương gồm: 0, 1, 2, ..., m − 2, m − 1. Suy ra có ít nhất 2 số đồng dư theo
mod(m).
Nguyên lý Dirichlet tổng quát. Nếu đem xếp n cái hộp vào k đối tượng thì
luôn tìm được một cái hộp chứa không ít hơn n/k đối tượng.
Ví dụ 1.13. Chứng minh rằng trong 100 người có ít nhất 9 người sinh cùng 1 tháng.
Giải. Bởi vì khi ta xếp những người sinh cùng một tháng vào một nhóm thì ta sẽ có 12
nhóm. Khi đó xếp 100 người này vào 12 nhóm đó thì luôn tìm được 1 nhóm (1 tháng)
có không ít hơn 8,3 người. Hay trong 100 người có ít nhất là 9 người sinh cùng một
tháng.

1.3

Một số bài toán đếm cơ bản

1.3.1

Chỉnh hợp

Chỉnh hợp lặp
Định nghĩa 1.3. Cho tập A mà |A| = n và một số nguyên dương k. Giả sử tồn tại

các tập hợp
Ai với i = 1, k là các bản sao rời nhau của A,
S là sơ đồ sắp xếp "bộ thứ tự gồm k thành phần (x1 , x2 , ..., xk )",
điều kiện R = xi ∈ Ai , i = 1, k .
Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên Ai , i = 1, k, theo sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R được
gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử của A.
Kí hiệu số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là Akn . Nếu ta coi mỗi một chỉnh
hợp lặp chập k của n phần tử là một phần tử của tích Đề các A1 × A2 × · · · × An thì
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

Akn = |A1 × A2 × · · · × An |.
Theo quy tắc nhân, |A1 × A2 × · · · × An | = |A1 |×|A2 |×· · ·×|An | = n×n×· · ·×n = nk .
Do đó Akn = nk .
Ví dụ 1.14. Tìm số các dãy nhị phân có độ dài k.
Giải. Một dãy nhị phân là một dãy sắp xếp có thứ tự từ 2 phần tử 0 và 1. Khi đó mỗi
dãy nhị phân độ dài k là một chỉnh hợp lặp chập k của 2 phần tử. Suy ra số các dãy
nhị phân độ dài k là 2k .
Chỉnh hợp không lặp
Định nghĩa 1.4. Cho tập A mà |A| = n và một số nguyên dương k. Gọi
S là sơ đồ sắp xếp "bộ thứ tự gồm k phần tử (x1 , x2 , ..., xk )",
điều kiện R = xi ∈ A, i = 1, k .
Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên A , theo sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R được gọi là một
chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử của A. Chỉnh hợp không lặp thường được gọi
đơn giản là chỉnh hợp.
Kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn . Để tính số chỉnh hợp chập k của

n phần tử ta coi mỗi chỉnh hợp chập k của n phần tử trên A là một công việc sắp xếp
k phần tử từ n phần tử vào sơ đồ (x1 , x2 , ..., xk ) gồm k giai đoạn như sau:
Giai đoạn 1. Cần chọn 1 phần tử từ n phần tử để xếp vào vị trí x1 . Khi đó x1 có
n cách chọn.
Giai đoạn 2. Cần chọn 1 phần tử để xếp vào vị trí x2 . Khi đó x2 sẽ chọn từ tập A
trừ đi phần tử đã xếp vào vị trí x1 . Suy ra x2 có n − 1 cách chọn.
Giai đoạn 3. Cần chọn 1 phần tử để xếp vào vị trí x3 . Khi đó x3 sẽ chọn từ tập A
trừ đi phần tử đã xếp vào vị trí x1 , x2 . Suy ra x3 có n − 2 cách chọn.
...
Giai đoạn k. Cần chọn 1 phần tử để xếp vào vị trí xk . Khi đó xk sẽ chọn từ tập A
trừ đi phần tử đã xếp vào vị trí x1 , x2 ,...,xk−1 . Suy ra xk có n − (k − 1) = n − k + 1
cách chọn.
Do đó, theo quy tắc nhân ta có số cách thực hiện công việc là
n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1).
Vậy Akn = n (n − 1) (n − 2) ... (n − k + 1) =

7

n!
.
(n − k)!


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

Ví dụ 1.15. Cho tập A = {a, b, c}. Khi đó số chỉnh hợp chập 2 của 3 các phần tử của
3!
= 6.

A là A23 =
(3 − 2)!
Ví dụ 1.16. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau mà có các chữ số lấy từ tập
A = {1, 3, 4, 6, 7, 9}.
Giải. Mỗi số có 3 chữ số khác nhau mà các chữ số lấy từ tập A = {1, 3, 4, 6, 7, 9} là
một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử. Suy ra có A36 số.
1.3.2

Tổ hợp

Tổ hợp không lặp
Định nghĩa 1.5. Cho tập A mà |A| = n và một số nguyên dương k. Gọi
S là sơ đồ sắp xếp "tập hợp gồm k phần tử (x1 , x2 , ..., xk )",
điều kiện R = xi ∈ A, i = 1, k .
Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên A , theo sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R được gọi là
một tổ hợp không lặp chập k của n phần tử của A. Tổ hợp không lặp thường được gọi
đơn giản là tổ hợp.
Kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử của A là Cnk . Để tính số tổ hợp chập k của
n phần tử ta đi xây dựng số chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử bằng phương
pháp phân hoạch như sau:
Giai đoạn 1. Từ n phần tử đã cho, ta lấy tất cả các tập con gồm k phần tử
(x1 , x2 , ..., xk ). Khi đó có Cnk cách chọn ra một tập con có k phần tử.
Giai đoạn 2. Sắp xếp mỗi một tập con gồm k phần tử (x1 , x2 , ..., xk ). Khi đó mỗi
một tập con có k! cách xếp.
Khi đó theo quy tắc nhân có Cnk .k! chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử. Do
Ak
n!
đó Akn = Cnk .k!. Suy ra Cnk = n =
.
k!

k! (n − k)!
n!
Vậy số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk =
.
k! (n − k)!
Ví dụ 1.17. Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào
thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác khác nhau từ các đỉnh đã cho.
Giải. Ta coi mỗi một tam giác gồm 3 đỉnh là một tập con gồm 3 phần tử của n phần
tử đã cho. Suy ra số tam giác là số tổ hợp chập 3 của n phần tử và bằng Cn3 .
Tổ hợp có lặp
Trước hết ta có khái niệm đa tập hợp (đa tập).
8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

Định nghĩa 1.6. Đa tập hợp (hay ngắn gọn là đa tập) là một sự tụ tập các phần tử
không thể phân biệt được với nhau (có thể coi là sự lặp lại của các phần tử).
Để xác định số lượng các phần tử của đa tập A ta cần xác định số các phần tử
không phân biệt được với nhau. Khi đó số lượng các phần tử của đa tập A cũng được
gọi là lực lượng của A và ta kí hiệu là |A|.
Theo định nghĩa, hiển nhiên mỗi một tập hợp thì đều là một đa tập. Nhưng ngược
lại mỗi đa tập chưa chắc là một tập hợp.
Ví dụ 1.18. A = {a, a, b, b, b, b, c} là một đa tập với |A| = 7 nhưng A không phải là
một tập hợp.
Định nghĩa 1.7. Nếu các phần tử của đa tập A đều là các phần tử của đa tập B thì
ta gọi A là đa tập trên B.
Ví dụ 1.19. A = {a, a, b, b, b, b, c} là một đa tập trên B = {a, b, b, b, c}.

Định nghĩa 1.8. Cho tập A mà |A| = n và một số nguyên dương k. Giả sử tồn tại
các tập hợp Ai , i = 1, k là các bản sao rời nhau của A,
S là sơ đồ sắp xếp "một đa tập gồm k phần tử (x1 , x2 , ..., xk )",
điều kiện R = xi ∈ Ai , i = 1, k .
Khi đó mỗi cấu hình tổ hợp trên Ai , i = 1, k, theo sơ đồ S thỏa mãn điều kiện R được
gọi là một tổ hợp có lặp chập k của n phần tử của A.
Kí hiệu số tổ hợp có lặp chập k của n phần tử là Cnk . Khi đó để tính số tổ hợp có lặp
chập k của n phần tử ta coi mỗi tổ hợp có lặp chập k của n phần tử là một đa tập hợp
các phần tử thuộc A với |A| = k. Ta cũng nhận xét rằng nếu cho A = {a1 , a2 , ..., an }
thì ta hoàn toàn có thể xác định được đa tập hợp B là đa tập lực lượng k với các
phần tử thuộc A nếu số lần xuất hiện trong B của mỗi ai với i = 1, 2..., n được xác
định. Giả sử a1 xuất hiện m1 lần, a2 xuất hiện m2 lần,..., an xuất hiện mn lần. Khi đó
m1 + m2 + ... + mn = k. Ta tương ứng B với dãy nhị phân
0...0 1 0...0 10...01 0...0
m1

m2

mn

có n1 số 1 và k chữ số 0. Khi đó dãy nhị phân sẽ có độ dài n − k + 1.
Đặt M là đa tập hợp lực lượng k các phần tử thuộc A, đặt N là tập gồm các dãy
nhị phân có dạng ở trên. Khi đó sẽ tồn tại một quy tắc tương ứng một-một của M và N .
Như vậy với mỗi dãy nhị phân b = b1 b2 ...bn+k−1 ∈ N sẽ hoàn toàn được xác định bởi tập
9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

con Kb = {i ∈ {1, 2, ..., n + k − 1} |bi = 0 trong b} của tập K = {1, 2, ..., n + k − 1}.
Ta thấy tương ứng b với Kn cũng là tương ứng một-một giữa các phần tử của tập N
và tập các tập con lực lượng k của K. Vì vậy,
k
.
Cnk = |M | = |N | = Cn+k−1

Nhận xét 1.1. Mỗi tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một dãy không kể thứ tự gồm
k thành phần lấy từ n phần tử. Vì vậy có thể k > n.
n−1
k
Số tổ hợp có lặp chập k của n là Cnk = Cn+k−1
= Cn+k−1
.

Tổ hợp có lặp lại khi một phần tử có thể xuất hiện nhiều lần và thứ tự của các
phần tử không cần để ý.
Ví dụ 1.20. Xếp 10 viên bi giống nhau vào 4 chiếc hộp. Hãy tìm số cách xếp.
Giải. Mỗi một cách xếp 10 viên bi vào 4 chiếc hộp là một tổ hợp có lặp chập 10 của
10
10
.
= C13
4 phần tử. Suy ra có C10+4−1

1.3.3

Hoán vị

Hoán vị không lặp
Định nghĩa 1.9. Cho tập A hữu hạn với |A| = n. Một chỉnh hợp không lặp chập n
của n phần tử của A được gọi là một hoán vị không lặp của n phần tử của A. Hoán vị
không lặp thường được gọi đơn giản là hoán vị.
Kí hiệu số các hoán vị của n phần tử của A là Pn . Khi đó,
Pn = Ann =

n!
n!
=
= n!.
(n − n)!
0!

Ví dụ 1.21. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 3,4,6,8.
Giải. Mỗi 1 số có 4 chữ số được lập từ các chữ số 3,4,6,8 là một hoán vị của 4 phần
tử nên sẽ có 4! = 24 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 3,4,6,8.
Hoán vị có lặp
Định nghĩa 1.10. Cho tập hợp An = {a1 , a2 , ..., an } hữu hạn và n số nguyên dương
không âm m1 , m2 , ..., mn sao cho tồn tại ít nhất một số mi = 0. Giả sử
m1 + m2 + · · · + mn = m,
A1 , A2 , ..., An là các bản sao rời nhau của A,
S là sơ đồ sắp xếp "bộ thứ tự gồm n thành phần (x1 , x2 , ..., xn )",
R1 là điều kiện xi ∈ Ai , i = 1, n,
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

R2 là điều kiện ai xuất hiện ở đúng mi thành phần với i = 1, n.
Khi đó cấu hình tổ hợp trên A1 , A2 , ..., Am theo S thỏa mãn điều kiện R1 , R2 được
gọi là một hoán vị có lặp của các phần tử a1 , a2 , ..., an của tập A với tham số lặp là
m1 , m2 , ..., mn .
Theo định nghĩa của chỉnh hợp có lặp và hoán vị có lặp, ta thấy rằng một hoán vị
có lặp của các phần tử a1 , a2 , ..., an của tập A với tham số lặp là m1 , m2 , ..., mn chính
là một chỉnh hợp có lặp chập m của n các phần tử của A thỏa mãn điều kiện R2 . Ta
cũng thấy rằng một hoán vị có lặp các phần tử a1 , a2 , ..., an của tập A với tham số lặp
là m1 = m2 = ... = mn = 1 chính là một hoán vị không lặp của n phần tử của A.
Kí hiệu Pnk là số hoán vị có lặp các phần tử a1 , a2 , ..., an của tập A với tham số lặp
là m1 , m2 , ..., mn . Khi đó để xác định số hoán vị có lặp ta coi mỗi một hoán vị là một
cách thực hiện hành động H bao gồm n giai đoạn kế tiếp nhau H1 , H2 , ..., Hn để sắp
xếp các vị trí cho m phần tử a1 , a2 , ..., an như sau:
m1
Giai đoạn H1 . Chọn vị trí cho m1 phần tử a1 . Bởi vì tất cả có m vị trí nên có Cm

cách chọn vị trí cho m1 phần tử a1 .
Giai đoạn H2 . Chọn vị trí cho m2 phần tử a2 . Do đã chọn ra m1 vị trí để xếp các
m2
phần tử a1 nên sẽ còn lại m − m1 vị trí. Khi đó có Cm−m
cách chọn vị trí cho m2 phần
1

tử a2 .
...
Giai đoạn Hk . Chọn vị trí cho mk phần tử ak . Do còn lại m − m1 − m2 − ... − mk−1
mk
vị trí sau khi thực hiện các giai đoạn trên nên ta có Cm−m
cách chọn vị

1 −m2 −...−mk−1

trí cho mk phần tử ak .
...
mn
Giai đoạn Hn . Chọn vị trí cho mn phần tử an . Tương tự ta cũng có Cm−m
1 −m2 −...−mn−1

cách chọn vị trí cho mn phần tử an .
Khi đó theo quy tắc nhân tất cả số hoán vị có lặp các phần tử a1 , a2 , ..., an của tập
A với tham số lặp là m1 , m2 , ..., mn là
m!
.
m1 !m2 !...mn !
Ví dụ 1.22. Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các
m2
mn
m1
Cm
.Cm−m
...Cm−m
=
1
1 −...−mn−1

chữ cái của từ SUCCESS.
Giải. Ta thấy trong từ SUCCESS có 1 kí tự S, 1 kí tự U, 2 kí tự C, 1 kí tự E và 2 kí
tự S. Vì vậy mỗi một cách sắp xếp lại các kí tự của từ SUCCESS là một hoán vị lặp
các phần tử S, U, C, E, S với tham số lặp là 1, 1, 2, 1, 2. Do đó sẽ có C71 C61 C52 C31 C22 .
11

Chương 2

BỔ ĐỀ BURNSIDE
2.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Một nhóm G là một tập hợp cùng với phép toán nhóm
G×G→G
(a, b) → ab
nếu thỏa mãn các điều kiện:
(i) ∀a, b, c ∈ G thì (ab) c = a (bc) (tính chất kết hợp),
(ii) ∃e ∈ G thỏa mãn ae = ea = a ∀a ∈ G (e là phần tử đơn vị),
(iii) ∀a ∈ G, ∃b ∈ G sao cho ab = ba = e (phần tử nghịch đảo).
G là một nhóm abel nếu G là một nhóm và ab = ba với mọi a, b ∈ G (tính chất
giao hoán).
Nếu phép toán nhóm viết theo lối nhân thì phần tử đơn vị kí hiệu là 1, nếu phép
toán nhóm viết theo lối cộng thì phần tử đơn vị kí hiệu là 0. Phần tử nghịch đảo của
a kí hiệu là a−1 (tương ứng −a là phần tử đối của a).
Định nghĩa 2.2. Nhóm con của G là một tập con H thỏa mãn H ⊆ G, e ∈ H và với
mỗi a, b ∈ H thì a−1 ∈ H.
Như vậy nếu a ∈ H thì an , a−n ∈ H ∀n = 1, 2, .... Nếu H = {an : n ∈ Z} với một
phần tử a nào đó thì H được gọi là một nhóm xyclic sinh bởi a.
Định nghĩa 2.3. Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử thì ta nói G có hữu hạn phần tử.
Cấp của G là số phần tử của nhóm đó và kí hiệu là |G|. Với mỗi g ∈ G, có một số
12

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

nguyên dương n > 0 sao cho g n = 1 thì số nguyên dương n nhỏ nhất đó được gọi là
cấp của g và kí hiệu là ord(g).
Ví dụ 2.1. Gọi Sn là tập các hoán vị trên X, nghĩa là, Sn là tập các song ánh
σ : X → X với X = {1, 2, ..., n} , n ∈ N . Khi đó nhóm Sn là một nhóm hữu hạn và
được gọi là nhóm đối xứng (hay nhóm các phép thế). Sn là một nhóm abel khi và chỉ
khi n < 3, |Sn | = n!. Nếu thay tập {1, 2, ..., n} bởi tập X có n phần tử thì ta cũng
được nhóm đối xứng trên X, kí hiệu SX .
Xét nhóm đối xứng Sn và tập X = {1, 2, ..., n}. Với mỗi σ ∈ Sn , i ∈ X ta được
σ(i) ∈ X. Ta thấy (σ1 ◦ σ2 ) (i) = σ1 (σ2 (i)). Khi đó ta nói rằng có một tác động của
nhóm Sn lên tập X. Tổng quát hơn ta có định nghĩa:
Định nghĩa 2.4 (Tác động nhóm). Cho G là một nhóm hữu hạn và X là một tập
hữu hạn. Một tác động của nhóm G lên X là một ánh xạ
ϕ:G×X →X
(g, a) → g (a)
thỏa mãn các điều kiện
(i) ∀g, h ∈ G, a ∈ X thì (gh) (a) = g (h (a)),
(ii) e (a) = a với e là phần tử đơn vị của nhóm G.
Khi đó ta nói G tác động lên X (bằng ϕ) và g ∈ G chuyển a ∈ X thành g(a) ∈ X.
Nhận xét 2.1. Nếu G tác động lên X (bằng ϕ) và g ∈ G chuyển a ∈ X thành g(a) ∈ X
thì với mỗi g ∈ G ánh xạ φg : a → g (a) là một song ánh.
Chứng minh. Thật vậy, do G là một nhóm nên ∃g −1 ∈ G để g.g −1 = e. Khi đó
g (a1 ) = g (a2 )
⇔ g −1 (g (a1 )) = g −1 (g (a2 ))
⇔ g −1 g (a1 ) = g −1 g (a2 )
⇔

a1 = a2

Vậy ánh xạ φg : a → g (a) là một đơn ánh. Mà X là tập hợp hữu hạn (theo giả thiết)
nên φg : a → g (a) là một toàn ánh. Vậy chứng tỏ ánh xạ φg : a → g (a) là một song
ánh.
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

Ví dụ 2.2. Xét trên hình vuông, ta giả sử có các đỉnh có tên là 1,2,3,4. Ta gán cho
mỗi đỉnh này hoặc màu trắng (T) hoặc màu vàng (V). Mỗi cách gán màu T hoặc V
cho mỗi đỉnh của hình vuông được gọi là một sơ đồ màu của hình vuông. Kí hiệu tất
cả các sơ đồ màu của hình vuông là tập X.
Giả sử G là tập tất cả các tự đẳng cấu của hình vuông thì khi đó G là một nhóm
đối với phép nhân ánh xạ. Mỗi tự đẳng cấu của hình vuông cũng được gọi là một phép
đối xứng của hình vuông đó. Người ta chứng minh được rằng nhóm G tất cả các phép
đối xứng của hình vuông là nhóm nhị diện Dn bao gồm các phần tử sau:
τ = (1, 2) (3, 4),
στ = (1, 3),
σ 2 τ = (1, 4) (2, 3),
σ 3 τ = (2, 4).
Các hoán vị σ và τ là σ = (1, 2, 3, 4), τ = (1, 2) (3, 4).
Khi đó mỗi sơ đồ màu của hình vuông chính là một ánh xạ đi từ tập các đỉnh của
hình vuông {1, 2, 3, 4} vào tập màu {T, V }.
Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ ϕ của G × X vào X như sau:
ϕ:G×X →X
(g, a) → g (a)

Với g (a) (i) = a (g −1 (i)) , i = 1, 2, 3, 4. Ta đi chứng minh ϕ là một tác động của G lên
X. Thật vậy, với mọi i = 1, 2, 3, 4 thì
e (a) (i) = a e−1 (i)
= a (e (i))
Do đó e (a) = a ∀a ∈ X. Tiếp tục, nếu có g, h ∈ G, thì
((gh)(a)) (i) = a (gh)−1 (i)
= a (h−1 g −1 )(i)
= a h−1 (g −1 (i))
= h(a) g −1 (i)
= g (h(a)) (i)

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

tức là (gh) (a) = g (h(a)). Vậy theo định nghĩa tác động nhóm thì ϕ là một tác động
của G lên X.
Định nghĩa 2.5. Giả sử ta có nhóm G tác động lên tập X. Ta định nghĩa với mỗi
a ∈ X, g ∈ G thì
Orb(a) = {g(a) ∈ X : g ∈ G} ,
Ga = {g ∈ G : g(a) = a}
F ixX (g) = {a ∈ X : g(a) = a} .
Khi đó tập Orb(a) được gọi là quỹ đạo của a dưới tác động của G. Ta thấy Ga là một
nhóm con của G. Vì vậy ta gọi Ga là nhóm con ổn định của a dưới tác động của nhóm
G và tập F ixX (g) ta gọi là tập các điểm bất động của G.
Ví dụ 2.3. Xét tác động của nhóm G = D4 tất cả các phép đối xứng của hình vuông
lên tập X các sơ đồ màu của hình vuông đó như ta đã xét ở trong Ví dụ 2.2. Khi đó

với

a=
thì

1

2

3

4

V

T T V


 
 1 2 3 4
1 2 3
, 
Orb(a) = 
 V T T V
V V T
Ga = {e, (1, 4) (2, 3)},





1 2 3 4



,


 V T T V

F ixX ((1, 4)(2, 3)) = 


1 2 3 4



,


 T T T T


, g = (1, 4) (2, 3)


4
1 2 3 4
1 2 3 4 
, 
, 

 ,
T
T V V T
T T V V 
 

 



1 2 3 4 


,


V V V V 

 .

1 2 3 4 





T V V T 


Bổ đề 2.1. Với mọi a ∈ X ta luôn có |Ga | |OrbG (a)| = |G|.

Chứng minh. Ta định nghĩa lớp kế cận trái của nhóm G theo nhóm con Ga là tập con
của G có dạng xGa = { xy | y ∈ Ga } với c ∈ G. Do tồn tại một song ánh
η : Ga → xGa
y → xy

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan

nên ta có |Ga | = |xGa | ∀x ∈ G. Giả sử x1 , x2 là hai phần tử bất kì của G. Nếu
x1 Ga ∩ x2 Ga = ∅ và z ∈ x1 Ga ∩ x2 Ga thì z = x1 y1 = x2 y2 với y1 , y2 ∈ Ga . Do
x1 y1 = x2 y2 nên x1 = x2 y2 y1 −1 . Suy ra x1 ∈ x2 Ga hay x1 Ga ⊆ x2 Ga . Tương tự
x2 Ga ⊆ x2 Ga . Vì vậy x1 Ga = x2 Ga hay các lớp xGa = { xy | y ∈ Ga } hoặc rời nhau
hoặc trùng nhau. Vậy nhóm G phân hoạch thành các lớp xGa . Khi đó ta giả sử
G = x1 Ga ∪ x2 Ga ∪ ... ∪ xk Ga .
Theo quy tắc cộng,
|G| = |x1 Ga | + |x2 Ga | + ... + |xk Ga | = k |Ga | .
Mặt khác, ánh xạ
θ : {x1 Ga , x2 Ga , ..., xk Ga } → OrbG (a)
→ xi (a)

xi Ga

xác định tương ứng một-một giữa các phần tử của tập {x1 Ga , x2 Ga , ..., xk Ga } và
OrbG (a). Thật vậy, nếu
θ(x2 Ga ) = θ(x1 Ga )
⇔

x2 (a) = x1 (a)

⇔ x1 −1 (x2 (a)) = x1 −1 (x1 (a))
⇔ (x1 −1 x2 )(a) = (x1 −1 x1 )(a)
⇔ (x1 −1 x2 )(a) = e(a)
⇔ (x1 −1 x2 )(a) = a
Suy ra x1 −1 x2 ∈ Ga hay x1 Ga = x2 Ga . Vậy θ là một đơn ánh. Lại có, với mỗi
xi (a) ∈ OrbG (a) = {g(a) ∈ X| g ∈ G} thì tồn tại xi ∈ G với i ∈ {1, 2, ..., k}. Suy ra
xi Ga ∈ {x1 Ga , x2 Ga , ..., xk Ga }. Vậy θ cùng là một toàn ánh, do đó θ là tương ứng
một-một.
Theo quy tắc tương ứng một-một, |OrbG (a)| = | {x1 Ga , x2 Ga , ..., xk Ga }| . Mà
| {x1 Ga , x2 Ga , ..., xk Ga }| = k nên |OrbG (a)| = k . Vậy với mọi a ∈ X ta luôn có
|Ga | |OrbG (a)| = |G|.

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

Đặng Thị Loan

Bổ đề Burnside

Bổ đề 2.2 (Bổ đề Burnside). Giả sử nhóm hữu hạn G tác động lên một tập hữu
hạn X. Khi đó số quỹ đạo tác động của G lên X bằng
1
|F ixX (g)|

|G| g∈G
Chứng minh. Giả sử OrbG (a) và OrbG (b) là hai quỹ đạo dưới tác động của G lên X.
Nếu OrbG (a) ∩ OrbG (b) = ∅ và ε ∈ OrbG (a) ∩ OrbG (b), thì ε = g(a) = h(b) với g, h ∈ G
nào đấy. Do g(a) = h(b) nên h−1 g(a) = h−1 h(b) = b. Suy ra OrbG (a) ⊆ OrbG (b). Tương
tự, ta cũng có OrbG (b) ⊆ OrbG (a). Do đó OrbG (a) = OrbG (b). Điều này chứng tỏ hai
quỹ đạo dưới tác động của G lên X hoặc rời nhau hoặc trùng nhau. Mà với mỗi a ∈ X
có a = e(a) suy ra a ∈ OrdG (a). Vậy tập X phân hoạch được thành các khối là các quỹ
đạo dưới tác động của G. Khi đó ta giả sử tất cả các quỹ đạo dưới tác động của G là
X1 , X2 , ..., Xn . Do các quỹ đạo là rời nhau hoặc trùng nhau nên X = X1 ∪ X2 ∪ ... ∪ Xn
cũng là một phân hoạch của X. Xét tập Y = {(a, g) ∈ X × G|a ∈ F ixX (g)}. Khi đó
|Y | =

|F ixX (g)|. Mà
g∈G

Y = {(a, g) ∈ X × G|a ∈ F ixX (g)}
= {(a, g) ∈ X × G|a = g(a)}
= {(a, g) ∈ X × G|g ∈ Ga }
nên
n

|Y | =

|F ixX (g)| =
g∈G

|Ga | =
a∈X

|Ga |.

i=1 a∈Xi

Theo bổ đề 2.1 với mọi a ∈ X ta luôn có |Ga | |OrbG (a)| = |G| nên
n

n

|Ga | =
i=1 a∈Xi

i=1 a∈Xi

n
n
|G|
|G|
|G|
=
=
|Xi |
= n |G| .
|OrbG (a)| i=1 a∈Xi |Xi | i=1
|Xi |

|F ixX (g)| = n |G| hay n =

Suy ra
g∈G

1

|G|

|F ixX (g)|.
g∈G

Ví dụ 2.4. Giả sử σ là phép quay (1, 2, 3, 4) của hình vuông, G =< σ > là nhóm sinh
bởi σ và X là tập các sơ đồ màu của hình vuông với hai màu V, T. Khi đó
F ixX (e) = X,

 

 1 2 3 4
1 2 3 4 
3



 ,
F ixX (σ) = F ixX (σ ) =
,
 T T T T
V V V V 

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đặng Thị Loan





1 2 3 4



,


 T T T T

F ixX (σ 2 ) = 


1
2
3
4



,


 V V V V



1 2 3

T V T

1 2 3

T V T



4 

,


V 
 .

4 




V 

Mà |X| bằng số hàm từ X vào {V, T } nên |X| = 42 = 16. Vậy số sơ đồ màu của hình
vuông là
n=

1

|G|

1
|F ixX (g)| = (16 + 2 + 4 + 2) = 6.
4
g∈G

18


Chương 3

ĐA THỨC CHỈ SỐ CHU TRÌNH
3.1

Định nghĩa đa thức chỉ số chu trình

Định nghĩa 3.1. Giả sử G là nhóm các hoán vị trên tập Ω với |Ω| = n. Với mỗi g ∈ G,
giả sử số các chu trình có độ dài k của g là bk (g). Khi đó đa thức n biến x1 , x2 , ..., xn
có dạng
PG,Ω (x1 , x2 , ..., xn ) =

bn (g)
1
b (g) b2 (g)
x11 x2 ...xn
|G| g∈G

được gọi là đa thức chỉ số chu trình của G.
Ta có thể kí hiệu đơn giản PG,Ω (x1 , x2 , ..., xn ) bởi PG (x1 , x2 , ..., xn ).

Nhận xét 3.1. Giả sử G là nhóm hoán vị trên tập Ω với |Ω| = n, C là một tập hữu
hạn mà có các phần tử được xem như là các màu, tập X = {a|a : Ω → C}. Ta coi mỗi
phần tử a ∈ Ω là một sơ đồ màu cho các điểm của Ω. Khi đó ánh xạ
ϕ:G×X →X
(g, a) → g(a)
với g(a) ∈ Ω thỏa mãn
g(a)(x) = a(g −1 (x)) ∀x ∈ Ω
là một tác động của G lên Ω.

19