Về môđun có độ dài hữu hạn trên vành giao hoán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ KIM ANH

VỀ MÔĐUN CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI, 2019


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
======

NGUYỄN THỊ KIM ANH

VỀ MÔĐUN CÓ ĐỘ DÀI HỮU HẠN
TRÊN VÀNH GIAO HOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học

TS. Nguyễn Thị Kiều Nga

HÀ NỘI, 2019

ởt tớ tú t ự ũ ợ sỹ
ú ù t t ừ ổ s
õ ừ t tọ ỏ ỡ
t s s tợ ổ tr tờ số ổ
tr t ữớ
trỹ t t ồ t t ú ù tr
sốt tớ ự t õ
ũ rt ố tớ ụ ữ
tự ừ t õ ừ ổ t tr ọ ỳ
t sõt ữủ sỹ õ ỵ tứ ổ s
õ ừ ữủ t ỡ
t ỡ
ở t





▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✧❱➲ ♠æ✤✉♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ tr➯♥ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦
❤♦→♥✧ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞♦ sü ❝è ❣➢♥❣ ♥é ❧ü❝ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
❝ò♥❣ ✈î✐ sü ❣✐ó♣ ✤ï t➟♥ t➻♥❤ ❝õ❛ ❝æ ❣✐→♦ ✲ ❚✳❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉
◆❣❛✳
❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❡♠ ✤➣ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ♠ët sè t➔✐ ❧✐➺✉ ♥❤÷
✤➣ ✈✐➳t tr♦♥❣ ♣❤➛♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✳ ❱➻ ✈➟②✱ ❡♠ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❦❤â❛
❧✉➟♥ ♥➔② ❧➔ ❦➳t q✉↔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ❝õ❛ r✐➯♥❣ ❡♠✱ ❦❤æ♥❣ trò♥❣
✈î✐ ❜➜t ❦➻ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ t→❝ ❣✐↔ ♥➔♦ ❦❤→❝✳
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾

❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐♠ ❆♥❤


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ♠ð ✤➛✉

✶

✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à

✸

✶✳✶
✶✳✷
✶✳✸
✶✳✹
✶✳✺
✶✳✻

▼æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼æ✤✉♥ ❝♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳
✣ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳
❚ê♥❣ ✈➔ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ✳
❉➣② ❦❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✷ ✣ë ❞➔✐ ♠æ✤✉♥

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳

✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✷✳✶ ▼æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✈➔ ♠æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✶ ▼æ✤✉♥ ◆♦❡t❤❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✶✳✷ ▼æ✤✉♥ ❆rt✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷ ✣ë ❞➔✐ ♠æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✶ ▼æ✤✉♥ ✤ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✷ ❉➣② ❤ñ♣ t❤➔♥❤ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✸ ✣à♥❤ ❧þ ❏♦r❞❛♥ ✲ ❍♦❧❞❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✷✳✷✳✹ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✭✣ë ❞➔✐ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥✮ ✳
✷✳✸ ✣➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥
✐

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳
✳
✳

✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✳ ✸
✳ ✺
✳ ✻
✳ ✼
✳ ✶✵
✳ ✶✸
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳
✳

✶✾

✶✾
✶✾
✷✹
✸✵
✸✵
✸✶
✸✶
✸✺
✸✻


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

✷✳✸✳✶ ❚➼♥❤ ❝ë♥❣ t➼♥❤ ❝õ❛ ✤ë ❞➔✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
✷✳✸✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ ♠æ✤✉♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
✷✳✸✳✸ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ ❝â ✤ë ❞➔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✸✽

❑➳t ❧✉➟♥

✹✵

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✹✶

✐✐

õ tốt ồ

s

ớ
số ữủ ỹ tứ trú số ỡ
õ trữớ r õ trú ổ õ trỏ rt q
trồ õ õ tố t ởt t trú
õ ổ tỡ t tờ
qt ừ trú ổ ỳ ự ử t ợ tr số
r trú ổ ở ổ ữủ
ữớ q t ợ ố t s ỡ trú ổ
ữủ sỹ ữợ ừ ổ ồ
t ổ tr õ ở ỳ t
ự tr õ ừ
ở t t ừ õ tr ởt số
t t ỡ t ừ ổ t ổ
õ ở ỳ
ở õ ữỡ
ữỡ tự
r ỳ ổ ổ ổ tữỡ
ỗ ổ tờ t trỹ t ợ ỵ
q ợ r
ữỡ ở ổ
r ởt số ổ t ổ ỡ ổ tr ổ
rt t t ừ ủ t ở ừ
ổ

❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❉♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ tr➻♥❤ ✤ë ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ❦❤æ♥❣ tr→♥❤
❦❤ä✐ ❝â ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❘➜t ♠♦♥❣ ♥❤➟♥ ✤÷ñ❝ þ ❦✐➳♥ ✤â♥❣ ❣â♣ ❝õ❛
❝→❝ ❚❤➛② ❈æ ✈➔ ❝→❝ ❜↕♥ ✤➸ ❦❤â❛ ❧✉➟♥ ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳
❊♠ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦
❍➔ ◆ë✐✱ t❤→♥❣ ✵✺ ♥➠♠ ✷✵✶✾
❙✐♥❤ ✈✐➯♥

◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐♠ ❆♥❤

✷


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➲ ♠æ✤✉♥ ✤➸
❝❤✉➞♥ ❜à ❝❤♦ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳

✶✳✶ ▼æ✤✉♥
✶✳✶✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❈❤♦ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ 1✳ ▼ët t➟♣

❤ñ♣ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët R ✲ ♠æ✤✉♥ tr→✐ ❤❛② ❝á♥ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ tr→✐ tr➯♥
✈➔♥❤ R ♥➳✉ tr➯♥ M ❝â ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ✈î✐ ♣❤➛♥ tû
❝õ❛ R ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤✿
• M ×M →M
(m, m ) → m + m
• R×M →M

(r, m) → rm

t❤ä❛ ♠➣♥✿
✭✐✮ M ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❆❜❡❧✳
✭✐✐✮ M ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ t➼♥❤ ❝❤➜t s❛✉ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➛♥
tû tò② þ m, m ∈ M ✈➔ r, r ∈ R✿
✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

• r(m + m ) = rm + rm ❀
• (r + r )m = rm + r m❀
• (rr )m = r(r m)❀
• 1.m = m✳

❚÷ì♥❣ tü t❛ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ R ✲ ♠æ✤✉♥ ♣❤↔✐ ✈î✐ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ R tr♦♥❣
♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ð ❜➯♥ ♣❤↔✐✳
◆❤➟♥ ①➨t✿ ◆➳✉ R ❧➔ ✈➔♥❤ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ t❤➻ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ♠æ✤✉♥ tr→✐ ✈➔
♠æ✤✉♥ ♣❤↔✐ trò♥❣ ♥❤❛✉✳ ❱➻ ✈➟② ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ t❛ ❝❤➾ ①➨t ❝→❝ R ✲
♠æ✤✉♥ tr→✐ ✈➔ ❣å✐ t➢t ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥✳

✶✳✶✳✷ ❱➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✶✳ ▼é✐ V ✲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì tr➯♥ tr÷í♥❣ K ❧➔ ♠ët K ✲ ♠æ✤✉♥✳
❱➼ ❞ö ✷✳ ▼é✐ ♥❤â♠ ❆❜❡❧ ❝ë♥❣ M ✤➲✉ ❧➔ Z ✲ ♠æ✤✉♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥
✈æ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉✿
❱î✐ ♠å✐ m∈ M ✱ a ∈ Z t❛ ❝â✿


m + m + ... + m




a


0
am =




(−m) + (−m) + ... + (−m)




♥➳✉ a > 0
♥➳✉ a = 0
♥➳✉ a < 0

|a|

❱➼ ❞ö ✸✳ ❱î✐ ♠ët ♥❤â♠ ❝ë♥❣ ❆❜❡❧ G ❝❤♦ tr÷î❝✳ ✣➦t E = End(G, G)

❧➔ t➟♣ ❝→❝ tü ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♥❤â♠ G✳ ❙✉② r❛ E = End(G, G) ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤
❝â ✤ì♥ ✈à ✈î✐ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐✿

❱î✐ ♠å✐ f, g ∈ E ✱ ✈î✐ ♠å✐ x ∈ G t❤➻
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f g)(x) = f (g(x))
✹


õ tốt ồ

s

ỡ tỹ ỗ I : G G ợ e ỡ ừ õ G
xe

õ t ữủ t ổ ữợ ợ tỷ ừ E ữ
s
EìG G
(f, a) f a = f (a)

tọ ổ G ởt E ổ

t

ợ ộ R ổ M t ổ õ
0R.m = r.0M = 0M ợ ồ m M, r R
(r)m = rm = r(m) ợ ồ m M, r R

ổ
ởt t ổ rộ N ừ ởt R ổ
ữủ ồ ởt R ổ ừ M N ũ ợ t
ở ổ ữợ ợ tỷ ừ R tr M t N

ởt R ổ
M

ử
ử M ởt R ổ ộ R ổ M ổ õ
ổ t tữớ ổ ổ õ
ổ ổ 0
ổ M ữủ ồ ổ ỡ M õ ổ t
tữớ 0 M
ử N õ t ừ ởt õ M õ
N ởt Z ổ ừ M



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❱➼ ❞ö ✸✳ ❚❛ ①➨t R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ ❝â ✤ì♥ ✈à t❤➻ R ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ tr➯♥
❝❤➼♥❤ ♥â✳ ◆➳✉ A ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ ✈➔♥❤ R t❤➻ A ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R✳

✶✳✷✳✸ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣

❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R ✲ ♠æ✤✉♥✱ N ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣ ✈➔ ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳
❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿
✭✐✮ N ❧➔ ❘ ✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❀
✭✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ r ∈ R✱ a, b ∈ N t❤➻ a + b ∈ N, ra ∈ N ❀
✭✐✐✐✮ ❱î✐ ♠å✐ r, r ∈ R; a, b ∈ N t❤➻ ra + r b ∈ N ✳

✶✳✷✳✹ ▼➺♥❤ ✤➲ ●✐❛♦ ❝õ❛ ♠ët ❤å ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M

♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

❧➔ ♠ët

M✳

✶✳✸ ▼æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣
✶✳✸✳✶ ❳➙② ❞ü♥❣ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣

❈❤♦ M ❧➔ ♠ët R ✲ ♠æ✤✉♥✱ ♠æ✤✉♥ N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❚❛ ❝â
M/ = {m + N |m ∈ M } ❧➔ ♠ët ♥❤â♠ ❝ë♥❣ ❆❜❡❧ ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣✳
N
(m + N ) + (m + N ) = m + m + N

❑❤✐ ✤â M/N ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ ✈î✐ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤✿
❱î✐ ♠å✐ r ∈ R, m + N ∈ M/N t❤➻ r(m + N ) = rm + N
M/ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ R ✲ ♠æ✤✉♥ M t❤❡♦ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ N ❝õ❛
N
M✳
✶✳✸✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❈❤♦ N ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R ✲ ♠æ✤✉♥ M ✳ ❑❤✐
✤â R ✲ ♠æ✤✉♥ M/N ♥❤÷ ①➙② ❞ü♥❣ ð tr➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣
❝õ❛ M t❤❡♦ N ✳ P❤➛♥ tû m + N ❝õ❛ M/N t❤÷í♥❣ ✤÷ñ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ m ✭
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ↔♥❤ ❝õ❛ m tr♦♥❣ M/N ✮✳
✻


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

✶✳✸✳✸ ❱➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✶✳ ❈❤♦ M ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥✳ ❚❛ ❝â 0 ✈➔ M ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛
R

✲ ♠æ✤✉♥ M ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❝→❝ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣✿

M/ = {m + M |m ∈ M } = {M }
M
M/ = {m + 0|m ∈ M } = M
0

❱➼ ❞ö ✷✳ X ❧➔ ✈➔♥❤✳ A ❧➔ ✐✤➯❛♥ ❝õ❛ X t❤➻ ✈➔♥❤ t❤÷ì♥❣ X/A ❧➔ X ✲

♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ X ✈î✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ✤÷ñ❝ ①→❝
✤à♥❤ ✈î✐ ♠å✐ x + A, y + A ∈ X/A✱ α ∈ X t❤➻
(x + A) + (y + A) = (x + y) + A❀
α(x + A) = αx + A✳
❱➼ ❞ö ✸✳ ❚r÷í♥❣ sè ❤ú✉ t➾ Q ❧➔ ♠ët Z ✲ ♠æ✤✉♥ ✈➔ Z ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët Z
✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ Q✳ ❑❤✐ ✤â Q/Z ❧➔ Z ✲ ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ Q✱ ❧➔ ♠ët
♠æ✤✉♥ ❝❤➾ ❜❛♦ ❣ç♠ ❝→❝ ♣❤➛♥ ❧➫ ❝õ❛ ❝→❝ sè ❤ú✉ t➾ ✈➔ Q/Z = {x + Z|x ∈
Q} = {Z, x + Z ✈î✐ x ∈ Q/Z}✳

✶✳✹ ✣ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥
✶✳✹✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ▼ët →♥❤ ①↕ f ✤✐ tø R ✲ ♠æ✤✉♥ M ✈➔♦ R ✲ ♠æ✤✉♥
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ R ✲ ♠æ✤✉♥ ♥➳✉ ✈î✐ ♠å✐ m, n ∈ M, a ∈ R
t❛ ❝â✿
✭✐✮ f (m + n) = f (m) + f (n)❀
✭✐✐✮ f (am) = af (m)✳
M

✲ ▼ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ f ❝â t❤➯♠ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❧➔ ✤ì♥ →♥❤✱ t♦➔♥
→♥❤ ❤♦➦❝ s♦♥❣ →♥❤ t÷ì♥❣ ù♥❣ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤ì♥ ❝➜✉✱ t♦➔♥ ❝➜✉✱ ✤➥♥❣ ❝➜✉✳
✲ ❍↕t ♥❤➙♥ ✭❤❛② ❤↕❝❤✮ ❝õ❛ f ✱ ❦➼ ❤✐➺✉
✼


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

Kerf = {x ∈ M |f (x) = 0}= f −1 (0)✳

✲ ❷♥❤ ❝õ❛ f ❧➔ Imf = {f (x)|x ∈ M } = f (M )✳
✲ ▼ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ✤✐ tø M ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ tü ✤ç♥❣ ❝➜✉✳
✲ ❍❛✐ ♠æ✤✉♥ M ✈➔ M ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤➥♥❣ ❝➜✉ ♥➳✉ tç♥ t↕✐ ✤➥♥❣ ❝➜✉
♠æ✤✉♥ tø M ✤➳♥ M ✳ ❑➼ ❤✐➺✉ M ∼
=M✳
✶✳✹✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❈❤♦ M, N ❧➔ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥✳ ⑩♥❤
①↕ f : M → N ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ f (am + bn) =
af (m) + bf (n)✱ ✈î✐ ♠å✐ m, n ∈ M ✱ ✈î✐ ♠å✐ a, b ∈ R✳

✶✳✹✳✸ ❱➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✶✳ ❈❤♦ M, M ❧➔ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥✳
θ:M →M

❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✱ ❣å✐ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ ❦❤æ♥❣✳

m→0

❱➼ ❞ö ✷✳ ❈❤♦ A ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✱ t❤➻ t❛ ❝â ♠æ✤✉♥ t❤÷ì♥❣

M/ ✳
A

❑❤✐ ✤â q✉② t➢❝ p : M → M/A

m→m+A

❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ R ✲ ♠æ✤✉♥✳ ❍ì♥ t❤➳ ♥ú❛✱ p ❝á♥ ❧➔ ♠ët t♦➔♥ ❝➜✉✱ ✤÷ñ❝
❣å✐ ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳

✶✳✹✳✹ ▼➺♥❤ ✤➲ ❈❤♦ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥ f : M → M ✳ ❑❤✐ ✤â✿
✭✐✮

f (0M ) = 0M

❀

f (−m) = −f (m)✱

✭✐✐✮
✭✐✐✐✮

✈î✐ ♠å✐

m ∈ M❀

f (a1 m1 + ... + an mn ) = a1 f (m1 ) + ... + an f (mn )✱

✈î✐ ♠å✐

ai ∈ R, mi ∈ M, n ∈ N❀
✭✐✈✮
✭✈✮

f
f

❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐
❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ t❤➻

Imf = M

Kerf = 0❀
✳

✶✳✹✳✺ ▼➺♥❤ ✤➲ ❈❤♦ f : M → M
✽

❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝→❝

R

✲ ♠æ✤✉♥✳


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❑❤✐ ✤â✿
✭✐✮ ❱î✐

N

✣➦❝ ❜✐➺t
✭✐✐✮ ❱î✐
❜✐➺t

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

Kerf

N

Imf

M

t❤➻

❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

M

t❤➻

❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

M

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

f −1 (f (U )) = U + Kerf ;

✭✐✐✮

f (f −1 (V )) = V ∩ Imf.

M✳

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

M

✳ ✣➦❝

✳
❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉

t÷ì♥❣ ù♥❣ ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛
✭✐✮

❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

M❀

f (N )

✶✳✹✳✻ ▼➺♥❤ ✤➲ ❈❤♦ f : M → M

U, V

f −1 (N )

M, M

R

✲ ♠æ✤✉♥ ✈➔

✳ ❑❤✐ ✤â✿

✶✳✹✳✼ ✣à♥❤ ❧þ ✭❈ì ❜↔♥ ❝õ❛ R ✲ ✤ç♥❣ ❝➜✉ tê♥❣ q✉→t✮
❈❤♦
❝õ❛

f : M → N
M

✈➔

N

❧➔

R

s❛♦ ❝❤♦

✲ ✤ç♥❣ ❝➜✉✳

A, B

❧➛♥ ❧÷ñt ❧➔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥

f (A) ⊂ B ✱ pA : M → M/A✱ pB : N → N/B

❧➔ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳ ❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t

f : M/A → N/B

s❛♦ ❝❤♦

✶✳✹✳✽ ❈→❝ ❤➺ q✉↔
❍➺ q✉↔ ✶✳ ❈❤♦ f :

f pA = pB f

M → N

M → M/Kerf ❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳
f : M/Kerf → N s❛♦ ❝❤♦ f g = f ✱ tù❝

✾

✲ ✤ç♥❣ ❝➜✉

❤❛② ❜✐➸✉ ✤ç s❛✉ ❣✐❛♦ ❤♦→♥✿

❧➔ ❝→❝

❣✐❛♦ ❤♦→♥✿

R

R

✲ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳

❑❤✐ ✤â tç♥ t↕✐
❧➔

Imf = Imf

R

g :

✲ ✤ç♥❣ ❝➜✉

✈➔ ❜✐➸✉ ✤ç s❛✉


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❍➺ q✉↔ ✷✳ ❈❤♦ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥ f : M → N ✳ ❑❤✐ ✤â✿
✭✐✮

M/
∼
Kerf = Imf ❀

✭✐✐✮◆➳✉

f

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ t❤➻

M/
∼
Kerf = N ✳

❍➺ q✉↔ ✸✳ ❈❤♦ M, N, P ❧➔ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥ s❛♦ ❝❤♦ P ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥
❝♦♥ ❝õ❛

N

✈➔

N

❍➺ q✉↔ ✹✳ ❈❤♦

❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛

M✳

❑❤✐ ✤â t❛ ❝â

(M/P ) N ✳
M/ ∼
=
N
( /P )
A, N ❧➔ ❤❛✐ R ✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ R

✲ ♠æ✤✉♥

M✳

❚❛ ❝â

A
(A + N )/ ∼
N = /(A ∩ N )✳

✶✳✺ ❚ê♥❣ ✈➔ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣
✶✳✺✳✶ ❳➙② ❞ü♥❣ tê♥❣ ✈➔ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣

❈❤♦ I ❧➔ t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣✳ ●✐↔ sû (Mi)i∈I ❧➔ ♠ët ❤å ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥✳
❑➼ ❤✐➺✉ M = Mi ❧➔ t➼❝❤ ✤➲ ✲ ❝→❝ ❝õ❛ ❤å ❝→❝ ♠æ✤✉♥ (Mi)i∈I ✳ ◆➯♥
i∈I
Mi = (ai )i∈I |ai ∈ Mi ✳
i∈I

❚❛ ①➙② ❞ü♥❣ ♣❤➨♣ ❝ë♥❣ ✈➔ ♣❤➨♣ ♥❤➙♥ ✈î✐ ✈æ ❤÷î♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
• (ai )i∈I + (bi )i∈I = (ai + bi )i∈I ✱ ✈î✐ ♠å✐ ai , bi ∈ Mi , i ∈ I ❀
• r(ai )i∈I = (rai )i∈I ✱

✈î✐ ♠å✐ r ∈ R, ai ∈ Mi, i ∈ I ✳
✶✵


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

❙✉② r❛

Mi
i∈I

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ ❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ①→❝ ✤à♥❤ ð tr➯♥✳

✶✳✺✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ R ✲ ♠æ✤✉♥

Mi
i∈I

①➙② ❞ü♥❣ ð tr➯♥ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔

t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤å ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥ (Mi)i∈I ✳
❑➼ ❤✐➺✉ ⊕Mi = {(ai)i∈I |ai ∈ Mi ✈➔ ai = 0 ❤➛✉ ❤➳t }✳ ❑❤✐ ✤â i∈I
⊕ Mi
❝ò♥❣ ✈î✐ ❤❛✐ ♣❤➨♣ t♦→♥ ❝ë♥❣ ✈➔ ♥❤➙♥ ✈æ ❤÷î♥❣ ①→❝ ✤à♥❤ ð tr➯♥ ❧➔ R ✲
♠æ✤✉♥✱ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤å ❝→❝ ♠æ✤✉♥ {Mi}i∈I ✳

✶✳✺✳✸ ◆❤➟♥ ①➨t

✲ i∈I
⊕ Mi ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛
Mi ✳
i∈I
✲ ◆➳✉ ❤å ❝→❝ ❝❤➾ sè I ❤ú✉ ❤↕♥ t❤➻ Mi trò♥❣ ✈î✐ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ i∈I
⊕ Mi ✳
i∈I
✲ ◆➳✉ R ❧➔ ♠ët ✈➔♥❤ t❤➻ ✈➔♥❤ R ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥✳ ✣➦t Ri = R ✈î✐ ♠å✐
n
i = 1, n✳ ❑❤✐ ✤â
Ri = Rn ✳
i=1

✶✳✺✳✹ ❚➼♥❤ ♣❤ê ❞ö♥❣ ❝õ❛ t➼❝❤ ✈➔ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣
✣à♥❤ ❧þ ✶✳✺✳✹✳✶ ✭❱➲ t➼♥❤ ♣❤ê ❞ö♥❣ ❝õ❛ t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣✮
❈❤♦ ❤å

R

✲ ♠æ✤✉♥

(Mi )i∈I ✳

❳➨t t➼❝❤ trü❝ t✐➳♣

M =

Mi

✈î✐ ♣❤➨♣

i∈I

❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝

g : M → Mi ✳

❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐

R

✲ ♠æ✤✉♥

tç♥ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ✤ç♥❣ ❝➜✉

A

✈➔ ❤å ❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥

f :A→M

❚❛ ❝â ❜✐➸✉ ✤ç ❣✐❛♦ ❤♦→♥ s❛✉✿

✶✶

s❛♦ ❝❤♦

h = gf ✳

h : A → Mi ✱


õ tốt ồ

s

ự

ợ ồ a A t t f (a) = h(a) õ f ỗ
t ợ ồ r, r R, ợ ồ a, a A



f (ra + r a ) = h(ra + r a ) = rh(a) + r h(a ) = rf (a) + r f (a )

ợ ồ a A t õ (gf )(a) = g [f (a)] = g [h(a)] = h(a)
sỷ tỗ t ỗ t : A M s gt = h
õ ợ ồ a A h(a) = (gt)(a) = g(t(a)) = t(a) = f (a)
r t = f f t

ỵ t ờ ử ừ tờ trỹ t
ồ

R

ổ

ỗ

(Mi )iI

õ tờ trỹ t

Mi

iI

ũ ởt ồ

g : Mi Mi
iI

m (0, ..., m, 0, ..., 0)
õ ợ ồ

R ổ A tỗ t t ỗ f : Mi A
iI

s õ ỗ

h : Mi A

tọ

õ ỗ s

ự

t f : iI

Mi A
mi

h(mi )
iI



h = f g


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❉♦ (mi)i∈I ❧➔ ♠ët ❤å ✈î✐ ❣✐→ ❤ú✉ ❤↕♥ ♥➯♥ h(mi) ❝ô♥❣ ❝â ❣✐→ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❙✉② r❛ h(mi) ❝â ♥❣❤➽❛✳
i∈I

•

⑩♥❤ ①↕ ❢ ❧➔ ♠ët ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥✳
❚❤➟t ✈➟② ✈î✐ ♠å✐ mi, mi ∈ M, ✈î✐ ♠å✐ r, r
f (rmi + r mi ) =

∈R

t❛ ❝â

h(rmi + r mi )

i∈I

=

h(rmi ) +
i∈I

=r

h(r mi )
i∈I

h(mi ) + r
i∈I

h(mi )
i∈I

= rf (mi ) + r f (mi )

❱î✐ ♠å✐ mi ∈ Mi t❛ ❝â (f g)(mi) = f (g(mi))
= f (0, ..., 0, mi , 0, ..., 0)
= h(mi )

❙✉② r❛ f g = h✱ ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I
•

●✐↔ sû tç♥ t↕✐ →♥❤ ①↕ t : i∈I
⊕ Mi → A ❝ô♥❣ ❧➔ ✤ç♥❣ ❝➜✉ ♠æ✤✉♥ s❛♦
❝❤♦ tg = h✱ ✈î✐ ♠å✐ i ∈ I ✳

❑❤✐ ✤â ✈î✐ ♠å✐ m ∈ i∈I
⊕ Mi ✱ m =
g(mi ) tr♦♥❣ ✤â mi ∈ Mi ✈➔
i∈I
(mi )i∈I ❝â ❣✐→ ❤ú✉ ❤↕♥✳
❚❛ ❝â t(m) = t g(mi) = (tg)(mi) = h(mi) = f (m)
i∈I
i∈I
i∈I
❙✉② r❛ t = f ✳ ❱➟② f ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳

✶✳✻ ❉➣② ❦❤î♣
✶✳✻✳✶ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❈❤♦ ❞➣② ✤ç♥❣ ❝➜✉ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥
fi+1

fi

σ : ... → Mi → Mi+1 → Mi+2 → ...

✭✐✮ σ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♣❤ù❝ ❤❛② ❞➣② ♥û❛ ❦❤î♣ ♥➳✉ Imfi ⊂ Kerfi+1✱ ✈î✐
✶✸


❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

♠å✐ i
✭✐✐✮ σ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ♥➳✉ Imfi = Kerfi+1✱ ✈î✐ ♠å✐ i
f

✶✳✻✳✷ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ▼ët ❞➣② ❦❤î♣ ❣ç♠ ✺ ♠æ✤✉♥ 0 → M →f M →
M
✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥✳

→0

✶✳✻✳✸ ❱➼ ❞ö
❱➼ ❞ö ✶✳ ❈❤♦ M ❧➔ R ✲ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥
f

❚r♦♥❣ ✤â

g

0 → M →M →M M →0

❧➔ ♣❤➨♣ ♥❤ó♥❣ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳

f :M →M
m→m

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝✳

g : M → M/M
m→m+M

❱➼ ❞ö ✷✳ ❈❤♦ A✱ B ❧➔ ❝→❝ R ✲ ♠æ✤✉♥✳ ❱î✐ ♠å✐ a ∈ A, b ∈ B t❛ ❝â ❞➣②

❦❤î♣ ♥❣➢♥

f

g

0 → A→A ⊕ B →B →0

❱î✐

f :A→A⊕B
a → (a, 0)
g :A⊕B →B
(a, b) → b

✶✳✻✳✹ ▼➺♥❤ ✤➲ ❉➣② ❝→❝ ✤ç♥❣ ❝➜✉ 0
♠ët ❞➣② ❦❤î♣ ♥❣➢♥ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐

f

g

f

→ M →M →M →0

❧➔ ✤ì♥ ❝➜✉✱

g

❧➔

❧➔ t♦➔♥ ❝➜✉ ✈➔

Imf = Kerg✳

✶✳✻✳✺ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛

❛✮ ❉➣② ❦❤î♣ ... → M →f M →g M → ... ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝❤➫ r❛ t↕✐ M
♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ Imf = Kerg ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M tù❝ ❧➔
M = Imf ⊕ B ✱ B ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ✳
✶✹


õ tốt ồ

s

ởt ợ ữủ ồ r õ r t ồ ổ
ổ ừ
t ợ 0 M f M g M 0 r
õ r t M

ử

R ổ A B õ ợ s r
f

g

0 AA B B 0

ợ

f :AAB

ú

a (a, 0)
g :AB B



(a, b) b

ỵ ợ ... M f M g M
M

t

M

...

r t

Imf Img

ự

ợ r t M t t õ M = Imf B
tr õ B ởt R ổ ừ M A B = 0 ợ A = Imf

ự B Img
t h = g/B : B M t h ởt ỗ
ừ ổ B ổ M
õ Kerg = Imf = A A B = 0 r Kerh = {0}
õ h ỡ ứ õ t s r B Imh
sỷ m Img m tũ ỵ trữợ õ tỗ t m M s
g(m ) = m
M = A + B tỗ t a A, b B s m = a + b



õ tốt ồ

õ õ m

s

= g(m ) = g(a + b) = g(a) + g(b) g

R ỗ
a A = Kerg g(a) = 0
b B

= g(b)
= h(b)

õ Img = Imh
ứ t s r B
M Imf Img

Img

q
q ợ 0 M f M g M
ừ ỳ

R

ổ r t

q ởt ợ tũ ỵ ...
ỗ ừ ỳ

h:M M
õ

M

R

tọ

M

õ

M


g

f

M

ỳ

tỗ t ỗ

hf = 1M
M Img

q ợ tũ ỵ ...
k:M M

ỳ ỗ

M M M ...

ổ r t

Imf Img

ỗ ừ ỳ

M +M

0

R

tọ

ổ r t

gk = 1M

Imf Img

g

f

M M M ...
M

ỳ

tỗ t ỗ



Imf M



ỵ ữợ tr ợ
ợ r

ỵ

ợ
ỳ

R

f

g

0 M M M 0

ỳ ỗ ừ

ổ s tữỡ ữỡ

ợ õ r
ỗ

f

õ ởt tr




õ tốt ồ
ỗ

ự

g

s

õ ởt

q
(iii) (i) q
(i) (ii) sỷ ợ r t D = Imf = Kerg
t õ M = D + E tr õ E ởt R ổ
ừ M D E = 0
tr ợ f ởt R ỡ r Imf M
õ õ ởt
(ii) (i)

i : M D = Imf
m i(m) = f (m)

sỷ

m tũ ỵ trữợ õ tỗ t t
u D, v E s m = u + v
t R ỗ h : M M
m M

m h(m ) = i1 (u)

õ hf : M M ợ ồ m M
(hf )(m) = h [f (m)] = h [f (m) + 0E ] = i1 [f (m)] = m

õ hf ởt R tỹ ỗ t ừ M
r h ởt tr ừ f
(i) (iii) õ g : M M ởt t ợ D t
ừ õ
t j = g/E : E M
D = Kerg D E = 0
j ởt t
Kerj = {0M } j ởt R ỡ



❑❤â❛ ❧✉➟♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ✣↕✐ ❤å❝

●❱❍❉✿ ❚✐➳♥ s➽ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ❑✐➲✉ ◆❣❛

❙✉② r❛ j ❧➔ ♠ët R ✲ ✤➥♥❣ ❝➜✉✳
❳➨t ✤ç♥❣ ❝➜✉ k : M → M
m → k(m ) = j −1 (m )

❉♦ ✤â gk : M → M ❧➔ ♠ët tü ✤➥♥❣ ❝➜✉ ✤ç♥❣ ♥❤➜t ❝õ❛ M ✳
❙✉② r❛ k ❧➔ ♠ët ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ ♣❤↔✐ ❝õ❛ g✳
❱➟② t❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✽


ữỡ
ở ổ
ổ tr ổ rt

ổ tr


ởt R ổ M ữủ ồ ổ tr ồ t
rộ ổ ừ M ự t t ởt tỷ ỹ t
q
R ữủ ồ tr R R ổ tr

ỵ trữ ừ ổ tr



R

M

ổ


R

M

õ s tữỡ ữỡ

ổ tr

ồ ổ tỹ sỹ ừ

M

ỳ s

ồ t ổ ừ
ứ tự tỗ t

ự

M M1 M2 ... Mn ...

Mn = Mn+1 = ...

sỷ M1 M2 ... Mn ... ởt t tũ ỵ
ổ ừ M
(i) (iii)