Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ KHUÊ

NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT
LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU
TRÚC KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP
THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – 2018


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ KHUÊ

NGHIÊN CỨU ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT
LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU
TRÚC KIM CƢƠNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP

THỐNG KÊ MOMEN
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học

TS. PHẠM THỊ MINH HẠNH

Hà Nội – 2018


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh, ngƣời đã
tận tình hƣớng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi rất nhiều để hoàn thành
khóa luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật Lý và các thầy cô
trong tổ Vật lý lý thuyết- khoa Vật lý – trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà Nội 2 đã tạo
điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin cảm ơn các bạn sinh viên lớp K40B – Sƣ phạm Vật lý – khoa
Vật lý – trƣờng ĐH Sƣ phạm Hà nội 2 đã đóng góp thêm nhiều ý kiến quý
báu cho khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và tạo mọi
điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành tốt khóa luận này.
Hà Nội, ngày , tháng 5, năm 2018
Sinh Viên

Đinh Thị Khuê


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi
dƣới sự hƣớng dẫn và giúp đỡ tận tình của TS Phạm Thị Minh Hạnh. Tôi xin
cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận là trung thực.
Hà Nội, ngày ,tháng 5 , năm 2018
Sinh Viên

Đinh Thị Khuê

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài. .......................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu. .................................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu. ................................................................................... 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƢƠNG I SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG ....... 3
1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. ............................... 3
1.2. Một số ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. .............................. 4
1.3. Phƣơng pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. . 5
1.3.1. Các công thức tổng quát về momen. ....................................................... 5
1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lƣợng tự do. ........................................... 8
1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. ...................................... 9
1.3.4. Năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. ........................ 15
1.4. Kết luận chƣơng I ..................................................................................... 17
CHƢƠNG II ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA
Ge .................................................................................................................... 18
2.1. Phƣơng trình trạng thái của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng. .................. 19
2.2. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong tinh thể. ....................................... 20
2.3. Hằng số mạng của Ge ở các áp suât khác nhau ....................................... 23
2.3.1. Cách xác định thông số. ........................................................................ 23
2.3.2. Giá trị hằng số mạng của Ge có các áp suất khác nhau. ....................... 24
2.4. Kết luận chƣơng II. .................................................................................. 26
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 27
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 28

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
Với sự phát triển mạnh mẽ của ngành khoa học công nghệ nhƣ hiện nay
thì việc quan tâm nghiên cứu nhằm nâng cao chất lƣợng của vật liệu là một
điều hết sức cần thiết. Trong tất cả các vật liệu chất rắn thì bán dẫn luôn đóng
vai trò quan trọng trong sự phát triển ngành khoa học vật liệu. Các nhà khoa
học đã quan tâm nghiên cứu các tính chất, cơ chế vật lý xảy ra trong chất các
chất bán dẫn để từ đó đƣa vào làm cơ sở nghiên cứu chế tạo vật liệu mới, ứng
dụng vào trong khoa học, kỹ thuật cũng nhƣ ứng dụng vào trong đời sống của
con ngƣời nhƣ: dựa vào tính chất của các hạt mang điện electron, các ion và
các lỗ trống trong lớp điện tử trong lớp tiếp xúc này là cơ sở tạo nên các điot,
bóng bán dẫn và các thiết bị điện tử hiện đại nhƣ ngày nay. Và với những
thành tựu to lớn của việc nghiên cứu bán dẫn đem lại, nó đã thực sự làm một
cuộc cách mạng trong trong ngành công nghiệp điện tử nói riêng cũng nhƣ
trong nhiều ngành khoa học nói chung.
Tuy nhiên các tính chất vật lý bên trong bán dẫn luôn chịu ảnh hƣởng
của các tác động bên ngoài nhƣ: nhiệt độ, áp suất, độ biến dạng…, làm cho
vật liệu có sự thay đổi nhất định nào đó. Vì vậy việc nghiên cứu ảnh hƣởng
của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn là thực sự cần thiết và có ý nghĩa
khoa học. Dựa vào lý do trên em quyết định chọn đề tài nghiên cứu là:
Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu
trúc kim cương bằng phương pháp thống kê momen.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu
trúc kim cƣơng bằng phƣơng pháp thống kê momen.

1


3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.

- Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài là: nghiên cứu cấu trúc tinh thể
của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên
hằng số mạng Ge.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Để đạt đƣợc mục đích nghiên cứu của đề tài ta cần thực hiện những
nhiệm vụ sau:
-Tìm hiểu, nghiên cứu cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
-Tìm hiểu về phƣơng pháp thống kê momen, ứng dụng của phƣơng pháp
thống kê momen trong nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng
của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
-Nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số mạng của Ge.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
-Sử dụng phƣơng pháp thống kê momen để nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất
lên hằng số mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.

2


NỘI DUNG
CHƢƠNG I
SƠ LƢỢC VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƢƠNG
1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
Các bán dẫn có cấu tạo tinh thể có thể là các nguyên tố nhƣ Si, Ge, P,
As,… và các hợp chất nhƣ CuO, ZnO, GeTe, GeS,…
Ta xét đến cấu trúc tinh thể của vật liệu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng:
Cấu tạo nguyên tử của chúng là có 4 electron hóa trị ngoài cùng, giữa các
nguyên tử ấy có sự liên kết đồng hóa trị, mỗi nguyên tử này sẽ liên kết với 4
nguyên tử xung quanh bằng cách chúng sẽ trao đổi các electron chung với
nhau.
Cấu trúc tinh thể của Silic và Germanni trong không gian ba chiều có

cấu trúc lập phƣơng giống với cấu trúc của kim cƣơng. Bán dẫn có cấu trúc
kim cƣơng sẽ gồm hai mạng lập phƣơng tâm diện lồng vào nhau, cách nhau ¼
đƣờng chéo trong không gian (hình 1.1). Mỗi nguyên tử là tâm của một tứ
diện cấu tạo từ 4 nguyên tử gần nhất xung quanh. Trong cấu trúc kim cƣơng
thì nguyên tử ở tâm và nguyên tử ở 4 đỉnh của tứ diện là cùng loại [2].

Hình 1.1. Cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng

3


1.2. Một số ứng dụng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
Có thể nói nhờ có các bán dẫn mà các kỹ thuật hiện đại nhƣ trong
ngành công nghiệp điện tử máy tính, thông tin,… ngày càng phát triển với
trình độ cao. Nhờ có các bán dẫn mà con ngƣời mới phát minh ra hàng loạt
các loại máy móc phục phụ nhu cầu sử dụng cho con ngƣời và xã hội.Trong
đó các bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng đƣợc sử dụng rộng rãi nhất trong việc
sản xuất chế tạo các linh kiện dùng trong các thiết bị điện, các thiết bị quang
học,... Các tính chất của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng (nhƣ silic, germani)
dùng để sản xuất các bộ chỉnh lƣu dòng điện, các loại Tranzitor, ... Do các
bán dẫn có thể chế tạo đƣợc các linh kiện vô cùng nhỏ nên ngƣời ta dùng nó
chế tạo các mạch tổ hợp (mạch IC) hoặc các mạch IC siêu lớn.
Silic là vật liệu quan trọng đƣợc sử dụng nhiều nhất trong công nghiệp
điện tử [2]. Nó cũng đƣợc dùng để sản xuất các dụng cụ bán dẫn nhƣ điot,
tranzitor, pin mặt trời, … Silic trong hợp kim với sắt đƣợc dùng dƣới dạng
các thép tấm làm máy biến áp với mục đích giảm tổn thất trong lõi thép Silic
tinh thể dùng để làm các chất bán dẫn điện để sản xuất các loại máy tách
sóng, máy khuếch đại. Silic còn đƣợc sử dụng nhƣ chất nhƣ chất khử oxy
trong luyện kim. Germani là một bán dẫn đƣợc nghiên cứu ứng dụng rất sớm
cùng với silic để chế tạo các linh kiện điện tử nhƣ diode, transistor [2].

Germani dùng để sản xuất các bộ chỉnh lƣu dòng điện xoay chiều với các
công suất khác nhau, các loại tranzitor. Germani còn dùng để chế tạo ra bộ
cảm biến sức điện động Hall và các hiệu ứng từ điện để đo cƣờng độ từ
trƣờng, dòng điện công suất,…Đối với tính chất quang của Germani cho phép
dùng nó để làm các Tranzitor quang, điện trở quang, thấu kính quang mạnh
(đối với tia hồng ngoại), các bộ lọc quang học, điều biến ánh sáng và sóng vô
tuyến ngắn. Germani có hiệu ứng quang điện cả trong trƣờng hợp hấp thụ các
điện tử trung bình và nhanh cũng nhƣ khi hãm các nguyên tố khối lƣợng lớn.

4


Ngoài ra Germani cũng là tác nhân trong sản xuất các hợp kim, các đĩa bán
dẫn với nền là Germani cho các tế bào quang điện hiệu suất cao đa kết nối
trong các ứng dụng cho tàu vũ trụ, ….
1.3. Phƣơng pháp momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim
cƣơng.
1.3.1. Các công thức tổng quát về momen.
Ta có định nghĩa về momen trong lý thuyết xác suất và trong vật lý thống kê:
Tập hợp các biến cố ngẫu nhiên q1, q2,...qn tuân theo qui luật thống kê,
đƣợc mô tả bởi hàm phân bố  q1, q2, ..., qn  . Hàm này phải thỏa mãn điều kiện
chuẩn hóa. Ngƣời ta định nghĩa mô men cấp m trong lý thuyết xác suất nhƣ
sau:

 ... q q , q

q1m 

m
1

1

2

,..., q n dq1 ...dq n

(1.3.1)

( q1 , q2 ,...,qn )

momen này gọi là momen gốc. Momen trung tâm cấp m đƣợc định nghĩa:

q

1

 q1



m



 ...q

1

q1 ,q2 ,...,qn

 q1

 q , q ,..., q dq ...dq
m

1

1

n

1

n

(1.3.2)

Nhƣ vậy đại lƣợng trung bình thống kê q chính là momen cấp một và
phƣơng sai

q

1

 q1



2

là momen trung tâm cấp hai. Từ các định nghĩa trên

thấy rằng, nếu biết hàm phân bố  q1, ..., qn  hoàn toàn có thể xác định đƣợc
các momen.
Trong vật lý thống kê cũng có các định nghĩa tƣơng tự nhƣ vậy. Riêng
^

đối với hệ lƣợng tử, đƣợc mô tả bởi toán tử thống kê  , các momen đƣợc xác
định nhƣ sau:
( ̂ ̂)

〈̂ 〉
〈( ̂

〈 ̂ 〉) 〉

*( ̂

〈 ̂ 〉) ̂+

Với toán tử ̂ tuân theo phƣơng trình Liouville lƣợng tử:

5

(1.3.3)


^

  ^ ^
i
 H, 
t 


Với ...,... là dấu ngoặc Poisson lƣợng tử.
^

Nhƣ vậy nếu biết toán tử thống kê  thì có thể tìm đƣợc momen. Tuy
nhiên việc tính momen không phải là bài toán đơn giản. Ngay đối với hệ cân
^

bằng nhiệt động, dạng của  thƣờng đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính
tắc lớn,v.v…), nhƣng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp.
Giữa các momen có quan hệ với nhau. Momen cấp cao có thể biểu diễn
qua momen cấp thấp hơn. Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lƣợng tử để tìm
hệ thức liên hệ giữa các momen đã đƣợc xây dựng trong [17, 18]. Các hệ thức
liên hệ giữa các momen đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính
chất nhiệt động của tinh thể phi tuyến và đƣợc trình bày nhƣ sau:
Xét một hệ lƣợng tử chịu tác động của các lực không đổi a i theo hƣớng tọa độ
suy rộng Qi . Hamiltonian của hệ có dạng:
̂

̂

^

 ai Qi

(1.3.4)

i

Với ̂ là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng.
Từ một số phép biến đổi trong [17] các tác giả đã thu đƣợc hệ thức tổng quát
^

^

biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kì F , và tọa độ

Q k của hệ với

Hamiltonian H:
〈[ ̂ ̂ ] 〉

〈 ̂〉 〈 ̂ 〉

〈 ̂〉



B2 m

  2m  ! .

/

〈

̂(

)

〉

(1.3.5)

m 0

Với

là hệ số Becnouli,

, k B là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ

tuyệt đối.

6


Hệ thức này cho phép xác định sự tƣơng quan giữa đại lƣợng F và tọa độ Qk .
^

^

Muốn vậy phải biết đƣợc đại lƣợng F

 F ( 2m)

a k

và
a

^

. Đại lƣợng F xác
a

a

^

 F ( 2m)
a k

định từ điều kiện cân bằng của hệ, còn

từ phƣơng trình động lực.
a

Trong trƣờng hợp đặc biệt F  Qk , đƣợc biểu thức chính xác đối với phƣơng
sai :
〈( ̂

〈̂ 〉

〈̂ 〉 ) 〉



B 2 m  i 
 

m 0 2m !   

2m

^

 Qk( 2 m )
a k

(1.3.6)
a

Qk không phụ thuộc tƣờng minh vào a k nên đối với hệ cổ điển công thức

(1.3.6) trở nên đơn giản hơn :
〈( ̂

〈̂ 〉

〈̂ 〉 ) 〉

(1.3.7)

Công thức trên là công thức trong cơ học thống kê cổ điển [19].
Từ công thức (1.3.5) chúng ta còn xác định đƣợc hàm tƣơng quan giữa F và

Qk

đối với hệ có Hamiltonian H 0 :
1 

F , Qk   F
2 

^

^

^

^

Qk

 ^
 F

 a k



^ 2 m 
2m 


B

i


F


a

  2 m   
ak

m 0 2m !   



a 0





a 0

(1.3.8)

^

trong đó <…> biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltian H 0 .
Các tác giả thu đƣợc hệ thức chính xác khác từ công trình [17]:
1  ^ ^( n ) 

F , Qk 
2 


  1

n 1

a



B  i 
  2m  
m  0 2m !  

2m

^ ( 2m n )

F
a k

(1.3.9)
a

7


^

.

^

Trong trƣờng hợp đặc biệt: F  Q , chúng ta đƣợc hệ thức cho phép xác
định thăng giáng của xung lƣợng:
^
.

Q



B  i 
   2m  
m  0 2m !  

2
k

2m

^

( 2 m 1)

 Qk
a k

(1.3.10)

a

a

Biểu thức (1.3.5) đƣợc sử dụng để viết công thức truy chứng đối với mô men
tƣơng quan cấp cao [13]. Tác giả đƣa vào định nghĩa toán tử tƣơng quan cấp
n:
^

Kn 

1

^

^

^

^

(1.3.11)

[...[Q1 , Q2 ] Q3 ] ... Qn ]

2 n1
n 1

^

^

Trong công thức (1.3.5) thay F = K n thu đƣợc:
〈[ ̂ ̂ ] 〉

〈̂ 〉

〈̂ 〉 〈 ̂ 〉



B2 m
( )

m  0  2m  !

〈

̂(

)

〉

Thay k = n+1, ta thu đƣợc công thức truy chứng :
〈̂

〉

〈̂ 〉 〈 ̂

〉

〈̂ 〉



B2 m
. /

m  0  2m  !

〈

̂(

)

〉

(1.3.12)

Công thức (1.3.12) là công thức tổng quát về mô men cho phép xác
định các mô men cấp tùy ý. Đây là công thức xác định mô men cấp cao qua
mô men cấp thấp hơn, có thể biểu diễn qua cả mô men cấp 1.
1.3.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do.
Giả sử Hamilton của hệ lƣợng tử có dạng :
̂

Với

̂

̂

1.3.13)

là thông số, ̂ là một toán tử tùy ý, ̂ toán tử Hamilton xem nhƣ đã

biết.
Dựa vào biểu thức đã thu đƣợc bằng phƣơng pháp mô men đối với hệ
cân bằng nhiệt động trong [17] :
〈̂ 〉

8


Từ đó thu đƣợc biểu thức :
( )

〈 〉

(1.3.14)

Năng lƣợng tự do của hệ :


V

( )

(1.3.15)



0

là năng lƣợng tự do của hệ với Hamiltonian ̂ xem nhƣ đã biết.

Với

Ta tìm đƣợc 〈 〉 thì từ (1.3.15) ta thu đƣợc biểu thức với năng lƣợng tự do
( ).
^

Nếu Hamiltonian H có dạng phức tạp thì tách thành:
^

^

^

H  H 0    i Vi

(1.3.16)

i
^

^

sao cho H 0  1 V1

^

 2 V2

Giả sử biết năng lƣợng tự do  0 ứng với Hamilton ̂ của hệ, khi đó
^

^

^

năng lƣợng tự do  1 ứng H 1  H 0  1 V1 , tiếp theo tìm năng lƣợng tự do  2 ứng
^

^

^

H 2  H 1   2 V2 v.v…Cuối cùng thu đƣợc biểu thức đối với năng lƣợng tự do 

của hệ.
1.3.3. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng.
Ta xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, tƣơng tác giữa các
nguyên tử ngoài tƣơng tác cặp, thì còn kể đến đóng góp của tƣơng tác 3 hạt.
Do vậy khi sử dụng phƣơng pháp quả cầu phối vị, thế năng tƣơng tác có dạng:
E   Ei 
i

1
1
 ij  Wijk ,

2 i, j
6 i , j ,k

(1.3.17)

1
1
ij  Wijk

2 j
6 j ,k

(1.3.18)

Ei 

Với E i là thế năng tƣơng tác của hạt thứ i; ij là thế năng tƣơng tác giữa hạt
thứ i và hạt thứ j; Wijk là thế năng tƣơng tác giữa các hạt thứ i, j, k.

9


Trong trƣờng hợp dao động mạnh, có thể khai triển thế năng E i theo độ
dời u i . Ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tƣơng tác của hạt i có dạng:
Ei  Ei0 



1   2 Ei

2  ,   u j u j



 3 Ei
 u j u j  1  

6  ,  ,  u j u j u j
 eq


 4 Ei
1


24  ,  , ,  u j u j u j u j

 ,  ,  ,  x , y , z ;

 

Ei0  Ei a j 


 u j u j u j 


 eq


 u j u j u j u j  ...

 eq

 

(1.3.19)

 

1
1
ij a j   Wijk a j

2 j
6 j ,k

Với a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j
  2 Ei
Dạng của 
 u j u j


 vv... đƣợc xác định nhƣ trong [16]:

 eq
  2 Ei


 u u
 j j


 3 Ei

 u u u
 j j j

3

i

j

i



2






   3 Ei a j a j a j   2 Ei a j    a j    a j   

 eq


 4 Ei

 u u u u
 j j j j

 E a
 E 


   2 Ei a j a j  Ei  

 eq










   4 E i a j  a j  a j a j  

 eq





a j    a j a j    a j a j    a j a j    a j a j    a j a j    

          a  

trong đó:

10

(1.3.20)


Ei 

1
aj

1
 1

1
ij a j   3  Wijk a j 
k



 2 Ei 

1

a 2j

2 
1
 2 


a j   13

a

W

ij
j
ijk

3 k

 aj

1
 1

1
ij a j   3  Wijk a j 
k



 3 Ei 

1
a 3j

1
 3 
 3
3 
ij a j   3  Wijk a j   a 4
k


j

1
 2 

2 
ij a j   3  Wijk a j 
k





3
a 5j

 4 Ei 

1
 1

1
ij a j   3  Wijk a j 
k



1
a 4j

1
 4
 6
4 
ij a j   3  Wijk a j   a 5
k


j

1
 3 

3 
ij a j   3  Wijk a j 
k






15  2 
1
 15
 a j    Wijk2  a j   7 
6  ij
3 k
aj 
 aj

(1.3.21)

1
 1

1
ij a j   3  Wijk a j 
k



Với các ký hiệu (1), (2), (3), (4) là đạo hàm các cấp tƣơng ứng.
Tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i:
  2 Ei




  u j u j



 3 Ei
 u j  1  

2  ,  u j u j u j
 eq


 4 Ei
 u j u j  1  (
) eq u j u j u j

6

u

u

u

u

,

,

j


j

j

j

 eq

Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p  thì ở trạng
thái cân bằng nhiệt động ta có phƣơng trình:
  2 Ei



  u j u j


 u j

 eq

a


 4 Ei
1

 
6  ,  ,  u j u j u j

 3 Ei
1 
 
2  ,  u j u j u j

 u j u j  u j 

 eq

a


 u j u j

 eq

a

(1.3.22)

 p  0

Do mạng tinh thể có cấu trúc kim cƣơng có tính đối xứng nên các số hạng sau
đều bằng không:
  2 Ei

 u u
 j  j

3


  0;   Ei

 u 2 j u
j
 eq



 3
  0;   Ei

 u 3
 eq
 j

  4 Ei

 u 3 u
 j  j



 4 Ei
  0; 

 u 2 u u
 eq

 j  j j 


 0

 eq

11


  0;

 eq

(1.3.23)


Từ công thức tổng quát về momen (1.3.12), có thể biểu diễn momen bậc 4

u

j

u j u j u j



; momen bậc 3  u

j

u j u j



; mô men bậc 2  u

j

u j



; qua bậc

1 nhƣ sau:
u j u j

 u j



u j u j u j

 u j



u j u j u j u j

 4 2 u j



3

p



u j



 u j

 2 u j
p

p

a j a j

 3 u j

u j

p

a j a j a j



p







u j

u j

 u j
a

eq

p



 3 u j

u j

  u j
2

 3 
 a j


2
u j
2m 2



2
p



p

p

u j








cth


2m
2 m 2
 u j



a



p



 6 u j

2

 2 u j



a a

p

u j



 u j
2m

 u j
p



cth

  u j 

2
m 2

p

a j

2

(1.3.24)

2
u j
m 2

p

Từ (1.3.24) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (1.3.23), lúc này (1.3.22)

đƣợc viết lại nhƣ sau:
2
dy

2 d y
 y  3 y  
 2  xcthx  1 y   y 2 
2
dp
dp m
dy 
   2  xcthx  1  ky  p  0
dp m
3

(1.3.25)

Với:
 2E
k   2i
 u
 jx

 4

  m 2 ;   1   Ei

6  u 4jx
 eq



 4
  6  Ei

 u 2 u 2
 eq
 jx jy

 

 3 Ei
 ;   
 u u u
 
 jx jy jz
 eq 

Phƣơng trình (1.3.25) nhận đƣợc khi coi rằng:
u j



= u j  = u j

12



= u .




 eq

(1.3.26)


Để giải (1.3.25) thực hiện phép biến đổi mới bằng cách đặt:
y'  y 


3

(1.3.27)

Lúc này (1.3.25) có dạng:
y '3  3y '

2 '
dy '

2 d y


 xcthx  1 y '  Ky  p   0

2
k

dp
dp

(1.3.28)

Trong đó :
K k


2
k  2 2 1 2
; p  p  K  ; K  
  2 xcthx  1

3
  27k 3 3k


(1.3.29)

Phƣơng trình (1.3.28) là phƣơng trình vi phân phi tuyến, chúng ta sẽ tìm
nghiệm của nó dƣới dạng gần đúng. Do ngoại lực p  là tùy ý và nhỏ nên có
thể tìm nghiệm dƣới dạng đơn giản:
y '  y0'  A1 p   A2 p 2

(1.3.30)

trong đó y 0 là độ dời tƣơng ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực p 
Thay (1.3.30) vào (1.3.28), thu đƣợc phƣơng trình đối với A1 , A2
2 2 A2  3y0' A1  y0'3  Ky 0' 


k

6y A2  3A  3y A1  KA1 
'
0

2
1

'2
0

xcthx  1y0'  0


k

xcthx  1A1  1  0

(1.3.31)

Lúc này thu đƣợc nghiệm:
 2 2 2  xcthx 

1 
1  xcthx 
1 
4

2 
K 


'
'3
'
Ky 0 xxcthx  1 y0'
3 y0 A1 y0
A2  
 2

2 
2k
2
2 2
A1 

1
K

(1.3.32)

Khi xcthx  1 , thì (1.3.28) trở về dạng quen thuộc trong [3]:
 2

'
d 2 y'
' dy


3

y
 y '3  Ky  p   0
2

dp
dp

Nghiệm của (1.3.33) đã đƣợc đƣa ra trong [3]:

13

(1.3.33)


2 2
y 
A
3K 3
'
0

(1.3.34)

ở đây:
A  a1 

 2 2
K4

a2 

 3 3
K6

a3 

 4 4
K8

a4 

 5 5
K 10

a5 

 6 6
K 12

a6

(1.3.35)

với:
a1  1 
a2 

xcthx

;
2

13 47
23 2 2
1

xcthx 
x cth x  x 3 cth 3 x
3
6
6
2

169 2 2
83
22 4 4
1
 25 121

a3   
xcthx 
x cth x  x 3 cth 3 x 
x cth x  x 5 cth 5 x 
6
3
3
3
2
 3


a4 

43 93
169 2 2
83
22 4 4
1
 xcthx 
x cth x  x 3 cth 3 x 
x cth x  x 5 cth 5 x
3
2
3
3
3
2

363 2 2
391 3 3 148 4 4
53
1
 103 749

a5  

xcthx 
x cth x 
x cth x 
x cth x  x 5 cth 5 x  x 6 cth 6 x 

6
2
3
3
6
2
 3

561
1489 2 2
927 3 3
733 4 4
xcthx 
x cth x 
x cth x 
x cth x
2
3
2
3
145 5 5
31
1

x cth x  x 6 cth 6 x  x 7 cth 7 x
2
3
2
a6  65 

trong đó: x 

(1.3.36)


2

Nghiệm của (1.3.33) ứng với trƣờng hợp không có ngoại lực tác dụng:
y 0  y p 0  y '

p   K 




3

 1  6 2 2  1 2
2 2  k



y 
 1 

xcthx

1




3 K 
27k  
K 4   3 3k

(1.3.37)

'
0

Khi độ dời y 0 đƣợc xác định, ta sẽ tìm đƣợc khoảng lân cận gần nhất giữa 2
hạt ở nhiệt độ T:
a  a0  y 0

14

(1.3.38)


với a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0 K
Từ đó ta xác định đƣợc giá trị của hắng số mạng ah . Đối với bán dẫn có cấu
trúc kim cƣơng ah 

4
a.
3

1.3.4. Năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cương.
Trong phép gần đúng cấp 4, thế năng tƣơng tác của tinh thể bán dẫn có
cấu trúc kim cƣơng có dạng:

2
 0 1   Ei
E    Ei  
2  ,   u j u j
i 



 3 Ei
 u j u j  1  

6  ,  ,  u j u j u j
 eq


 4 Ei
1



24  ,  , ,  u j u j u j u j


 u j u j u j  

 eq



 u j u j u j u j  ...



 eq

(1.3.39)

Lúc này thế năng tƣơng tác trung bình có dạng :
k
E  U 0  3N  u 2   1 u 4   2 u 2
2

2






u jx u jy u jz 
3


(1.3.40)

với :
1 

1   4 Ei
24  u 4jx


 ;

 eq

6  4E
2   2 i 2
24  u jx u jy

(1.3.41)


 .

 eq

Sử dụng công thức (1.3.15) ta thu đƣợc :


   1   V d


0

(1.3.42)



   1   u jx u jy u jz
0

d


với  1 chính là năng lƣợng tự do đƣợc xác định từ công trình [3].
Ta có :

15


  U 0  0 

3N 2
k2

2 1 

x coth x 
2
2
1 

 2 x coth x 
3 
2




x coth x 

x coth x 
3N 3  4 2


2

  2  1  2 1 2 1 
1  x coth x 
2  2 x coth x1 
4
2
2
k  3










(1.3.43)

với :
 0  3N x  ln 1  e 2 x 

Để xác định đƣợc năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng, trƣớc


tiên ta phải xác định đƣợc



u jx u jy u jz



d .

0

Từ công thức (1.3.24) về mô men với u jx u jy u jz thu đƣợc kết quả trong [1] :
1
2

   2k 
 2a1 

 u jx u jy u jz   3  k  K 
3 
 3K 
 3 
1

   2 k  K 
 2a  2  3  k   1 1 
 
   31     1    x coth x  1

2 
3

 3K    K  K   K k 

 
 2a   kK   k
  
1  1
1



   31 




x
coth
x

1




 2 K
   
2 

 3K  3   K
  3K 3k 
 
3
1


2
2 k
2   2  2 k 2 


2

a
2

a


k






2
1
1

   3  
 
   3    1
2 
4
K
3
K
3

3
K
K














 2  3 1
  k   2a1  k   
  2  3 a1   x coth x  1

   3   1 .
K
k
3
K



  3K  K   




(1.3.44)

Lúc này năng lƣợng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng đƣợc xác định
từ biểu thức sau :

16


 U 0 0 

3 N 2
k2

2 1 
 2
x coth x 
2

1 

 2 x coth x 
3 
2 



2 3  4 2
x coth x 
x coth x 


2
 3 N 4   2 x coth x1 
  2  1  2 1 2 1 
1  x coth x 
2 
2 
k 3








1

   3k 
 2a1  2




 3N 
k

K

3
3 
27

 3K 


1

    3 k  K 
 2a1  2  3  k
  1 1

 3 N 
    1     x coth x  1

3
2 
27


 K k
 3K    K  K

 3 
 2a1    2 kK   k
  2
1  1
1 




 3 N 




x
coth
x

1





 6
3 

2
  K 2 K
  3K 3k 
 3K  6

 
3
1


3
2 k
2   2  3 k 2 


2

a
2

a


k







2
1
1


 3 N 
   1
 
3
2 
3
4
 27   3K   9 K  
 3K   K

2
2
 2  3 1
   k   2a1  k
  
  


 3 N 2  3 a1    x coth x  1

1


3 
K

k
18
K
6

K
3
K


















(1.3.45)

Vậy nếu biết giá trị các thông số k,  1 ,  2 ,  ở nhiệt độ T0 thì từ công thức trên
chúng ta cũng sẽ tìm đƣợc năng lƣợng tự do của hệ ở nhiệt độ T

Vậy năng lƣợng tự do của hệ sẽ có dạng :
,

{



ij

(| ⃗ |)

(

)-}

W

ijk

(| ⃗ |)

(1.3.46)

j ,k

j

1.4. Kết luận chƣơng I
Trong chƣơng này chúng tôi đã trình bày đƣợc sơ lƣợc về bán dẫn có
cấu trúc kim cƣơng: trình bày cấu trúc tinh thể của bán dẫn có cấu trúc kim

cƣơng, trình bày một số các ứng dụng quan trọng của bán dẫn có cấu trúc kim
cƣơng trong thực tiễn.
Ngoài ra trong chƣơng này chúng tôi đã trình bày nội dung của phƣơng
pháp thống kê momen trong nghiên cứu bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng để
xác định độ dời của hạt khỏi nút mạng để từ đó ta xác định đƣợc hằng số
mạng của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.

17


CHƢƠNG II
ẢNH HƢỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN HẰNG SỐ MẠNG CỦA Ge
Những tính chất của vật liệu nói chung và bán dẫn nói riêng ở áp suất
cao luôn là đề tài quan tâm với các nhà nghiên cứu. Thời gian gần đây, việc
nghiên cứu vật liệu dƣới áp suất cao trở nên vô cùng quan trọng. Đây là vấn
đề cơ bản để cả lý thuyết và thực nghiệm tiến hành những nghiên cứu tiếp
theo đƣợc thuận tiện.
Trong lĩnh vực thực nghiệm, việc nghiên cứu ở áp suất cao đã thƣờng
xuyên gặp phải những khó khăn với sự phức tạp của các phép đo. Vấn đề phát
sinh từ một thực tế là áp suất cao chỉ đƣợc tạo ra từ một thể tích rất nhỏ của
mẫu nghiên cứu.
Những nghiên cứu chủ yếu nhằm vƣợt qua những khó khăn đƣợc dựa
trên mẫu là khối kim cƣơng (diamond anvil cell) (DAC), với độ cứng của kim
cƣơng đƣợc sử dụng để gây ra áp suất và tính trong suốt của kim cƣơng tạo
thuận lợi cho việc quan sát các tín hiệu [9, 12]. Một điều khá thú vị là sự xuất
hiện của những ứng dụng của áp suất nhƣ sự thay đổi đột ngột trong sự sắp
xếp các nguyên tử dẫn đến sự chuyển pha cấu trúc khi áp suất đƣợc thiết lập.
Năng lƣợng tự do Gibbs ứng với sự sắp xếp khác nhau của các nguyên tử thay
đổi dƣới sự nén và tại một và lớp nó trở nên có ích cho vật liệu để thay đổi
kiểu sắp xếp của các nguyên tử. Sự chuyển pha đƣợc biết đến nhƣ là sự xuất

hiện những thay đổi một cách gián đoạn hoặc là xảy ra một cách liên tục
nhƣng phải xảy ra đồng thời với sự thay đổi tính đối xứng của cấu trúc tinh
thể.
Thêm vào đó là sự tiến bộ của kỹ thuật thực nghiệm, các phƣơng pháp
sử dụng máy điện toán cho cấu trúc điện tử và phép tính tổng năng lƣợng đã
có ảnh hƣởng lớn trong vật lý áp suất cao. Sự bổ sung của những thuật toán
trong máy tính rất có ích trong cấu trúc phức có chứa một vài thông số nội.

18


Phƣơng trình trạng thái đóng một vai trò rất quan trọng trong việc xác
định những tính chất của vật liệu ở áp suất khác không, nó chỉ ra những đặc
tính của vật liệu ở áp suất khác nhau. Trong thời gian gần đây đã có nhiều
nghiên cứu tính chất của vật liệu ở áp suất cao xuất phát từ việc nghiên cứu
phƣơng trình trạng thái. Ví dụ nhƣ trong lĩnh vực thực nghiệm, để nghiên cứu
ảnh hƣởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và sự phụ thuộc nhiệt độ
chuyển pha theo áp suất, các tác giả trong [6] đã nghiên cứu phƣơng trình
trạng thái của hợp kim Ni-Al bằng phƣơng pháp khai triển cluster (cluster
expansion method). Kết quả khi thu đƣợc khá phù hợp với thực nghiệm.
Trong chƣơng này để nghiên cứu ảnh hƣởng của áp suất lên hằng số
mạng của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng ở áp suất khác không,
chúng em cũng xuất phát từ phƣơng trình trạng thái.
2.1. Phƣơng trình trạng thái của bán dẫn có cấu trúc kim cƣơng.
Biểu thức của năng lƣợng tự do Helhomlz:
,

{



ij

(

)-}

W

(| ⃗ |)

ijk

(| ⃗ |)

(2.1.1)

j ,k

j

Áp suất đƣợc biểu thị qua năng lƣợng tự do dƣới dạng:
a   
a   
  
P  
  
 

 .

3V  a T
3Nv  a T
 V T

(2.1.2)

trong đó: V là thể tích tinh thể; v là thể tích nguyên tử; a là hằng số mạng.
 1 u 0
  
 x 
    ln 1  e 2 x

  3N 
 a T
 a a
 3 a



 


 1 u 0
 x k
2e
x k  
 3N 
 



2 x
 2k a 1  e 2k a  
 3 a
2 x

Ta có:

 1 u 0
 x k 
2e 2 x
1 
 3N 
 
2 x
 3 a
 2k a  1  e
1 k 
 1 u 0
 3N 
 xcthx

2k a 
 3 a

19

 
 
 


k


x
x k  
m
Áp dụng :



a 2k a 2k BT 2k BT



P

Ta suy ra:








a   
a
1 k 

1 u0
 xcthx

   3N 

3V  a T
3V
2k a 
 3 a

Từ đây thu đƣợc phƣơng trình trạng thái đối với tinh thể có cấu trúc kim
cƣơng là [1]:
1 k 
 1 u 0
Pv  a 
 xcthx
2k a 
 3 a

(2.1.3)

Ở 0 K , phƣơng trình (2.1.3) có dạng [1]:
 1 u 0 0 k 
Pv  a 

4k a 
 3 a

(2.1.4)

Ở phƣơng trình (2.1.4), số hạng thứ nhất ở vế phải liên quan đến sự thay đổi
thế năng của các hạt ở vị trí cân bằng, số hạng thứ hai ở vế phải liên quan đến
sự thay đổi năng lƣợng của dao động không.
2.2. Thế năng tƣơng tác giữa các hạt trong tinh thể.
Thế năng tƣơng tác giữa các nguyên tử đƣợc xác định bởi tƣơng tác
giữa các ion, giữa các đám mây điện tử và giữa các đám mây điện tử với các
ion. Năng lƣợng tƣơng tác giữa các nguyên tử có thể biểu diễn bằng công
thức gần đúng [7] :
E   rij   F V 

(2.2.1)

i, j

Với rij là khoảng cách giữa 2 nguyên tử i và j, V là thể tích của hệ.
Từ đây tƣơng tác giữa các nguyên tử gồm 2 phần: phần một chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách giữa 2 nguyên tử gọi là thế cặp, phần thứ hai phụ
thuộc vào mật độ của vật liệu. Vậy năng lƣợng tƣơng tác không chỉ phụ thuộc
vào khoảng cách giữa các nguyên tử mà còn phụ thuộc vào góc tƣơng tác giữa
các nguyên tử lân cân.

20