Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======

NGUYỄN THỊ THU HÀ

NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO DỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN
ThS. ĐỖ THỊ THU THỦY

HÀ NỘI, 2018


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới các thầy cô trong khoa Vật lí, trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã
động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Đặc biệt, em xin
cảm ơn cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY đã tạo điều
kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành tốt đề tài khóa luận
này.
Mặc dù đã cố gắng, xong do điều kiện về thời gian và kiến thức có hạn
nên những vấn đề trình bày trong đề tài không tránh khỏi những thiếu sót. Vì
vậy, em rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các
bạn trong khoa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hà


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận của em đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn tận tình của cô
NGUYỄN THỊ HÀ LOAN và cô ĐỖ THỊ THU THỦY cùng với sự cố gắng
của bản thân em.Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận của em có
tham khảo tài liệu của một số tác giả ( đã nêu trong mục tài liệu tham khảo ).
Em xin cam đoan rằng những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là
trung thực và không trùng với các đề tài khác. Nếu sai em chịu hoàn toàn trách
nhiệm.
Hà Nội, ngày tháng 5 năm 2018
Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Hà


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu................................................................................. 1
4. Đối tƣợng nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ........................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ..................................................................................... 2
NỘI DUNG......................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN .............................................. 4
1.1. Hàm phân bố ............................................................................................. 4
1.2. Nội năng .................................................................................................... 9

1.3. Nhiệt độ suy biến .................................................................................... 10
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA ................................................. 12
2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử............................................................ 12
2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử ............................................................ 17
CHƢƠNG3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG
TỬ ..................................................................................................................... 26
3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa .............................................. 26
3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử ........................................... 27
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 35
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 36


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển của tri thức nhân loại, Vật lí học ngày càng phát
triển. Các đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ngày càng mở rộng. Và để nghiên
cứu hệ nhiều hạt, ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp của vật lí thống kê.
Vật lí thống kê áp dụng các phƣơng pháp thống kê để giải quyết các bài
toán liên quan đến các hệ chứa một số rất lớn những phần tử, có số bậc tự do
cao đến mức không thể giải chính xác bằng cách theo dõi từng phần tử, mà
phải giả thiết các phần tử có tính hỗn loạn và tuân theo các quy luật thống kê.
Vật lí thống kê cổ điển chỉ đúng với hệ hạt vĩ mô, do đó để giải thích
nhiều tính chất của hệ hạt vi mô mà vật lý thống kê cổ điển chƣa giải thích
đƣợc, ta sẽ áp dụng các thống kê lƣợng tử. Mô hình lƣợng tử đƣợc áp dụng
rộng rãi trong vật lý hiện đại đó là dao động tử. Nó đƣợc coi là mô hình gần
đúng của các phân tử thực, các nguyên tử thực và của các hạt thực khác. Các
mô hình đó đƣợc áp dụng cho các hạt tự do cũng nhƣ cho các hạt cấu thành hệ
vật lý.
Một trong những tính chất đặc trƣng của hệ lƣợng tử này đó là nhiệt độ
suy biến. Tính chất này là gì? Và tại sao tính chất này lại đƣợc nghiên cứu

trong hệ lƣợng tử? Trong bài viết này em muốn làm sáng tỏ vấn đề đó. Vì vậy,
em đã chọn đề tài “NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU
HÒA” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về nhiệt độ suy biến của
dao động tử điều hòa
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1


- Nghiên cứu về dao động tử điều hòa
- Nghiên cứu nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa và chất rắn
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Tích phân trạng thái của dao động tử
- Năng lƣợng trung bình của dao động tử
- Nhiệt độ suy biến của dao động tử
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu của vật lý thống kê
- Phƣơng pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán
6. Cấu trúc khóa luận
- Đề tài “Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa” có kết cấu gồm
3 phần: mở đầu, nội dung và kết luận.
- Phần nội dung đƣợc chia làm 3 chƣơng:
CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Hàm phân bố
1.1.1. Phân bố chính tắc lƣợng tử
1.1.2. Phân bố chính tắc lớn lƣợng tử
1.1.3. Phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử
1.2. Nội năng của hệ

2


1.3. Nhiệt độ suy biến
CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử
2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử
CHƢƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ
3.1. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa
3.2. Nhiệt độ suy biến của dao động tử lƣợng tử
3.2.1. Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa
3.2.2. Nhiệt độ suy biến của chất rắn

3


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Hàm phân bố
1.1.1. Phân bố chính tắc lượng tử
Xét hệ đẳng nhiệt, hàm phân bố chính tắc cổ điển có dạng :

 ( q, p )  e

 H (q, p)
kT

(1.1)

trong đó  là năng lƣợng tự do của hệ

Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê :
  Hˆ

ˆ  e

kT

(1.2)

Kí hiệu  n (q) là hệ hàm riêng của toán tử Hamilton Hˆ . Ta có :

Hˆ  n  E n n
suy ra
và

( Hˆ ) m n  ( E n ) m n
1 khi n  m
0 khi n  m

*
 n (q) m (q)dq   nm  

(1.3)
(1.4)

Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng :
 nn   n* (q )ˆ  n (q )dq

Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (1.2) dƣới dạng :

4

(1.5)


 m
1 H 
ˆ  e    
m 0 m! kT 
 
kT

(1.6)

Thay (1.6) vào (1.5), kết hợp với (1.3), (1.4) và phép biến đổi Taylor, ta đƣợc :

nn



m

1  H 
  (q)e kT   
  n (q )dq
kT 
m 0 m ! 


*

n





1  1 
 e  

kT 
m 0 m ! 

m

kT



1  E 
 e kT    n 
kT 
m 0 m ! 




m



*
n

(q)( Hˆ ) m n (q)dq



*
n

(q ) n (q )dq
  En


 n
1  En 
kT
 e  
 e e kT  e

kT 
m 0 m ! 
m



E

kT

kT

Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lƣợng tử có dạng :

 nn  e

  En
kT

Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lƣợng tử :

1    nn    ( E n )  e
n

Đại lƣợng Z   e



En
kT


kT

e

n



En
kT


kT

e Z

n

đƣợc gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có :

n

  kT ln Z

5


Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z   e



En
kT

. Do đó nếu

n

mức năng lƣợng E n suy biến bội g ( En ) thì tổng thống kê của hệ trở thành :
Z   g ( E n )e



En
kT

n

1.1.2. Phân bố chính tắc lớn lượng tử
Xét hệ đẳng nhiệt và có số hạt N thay đổi, hàm phân bố chính tắc lớn cổ
điển có dạng :

 ( q, p, N )  e

  N  H ( q , p , N )
kT

(1.7)

trong đó  là thế nhiệt động,  là thế hóa học của hạt
Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê :

ˆ  e

  Nˆ  Hˆ
kT

(1.8)

Vì có thể đo đƣợc đồng thời năng lƣợng và số hạt của hệ nên toán tử Hamilton
Hˆ và toán tử số hạt Nˆ giao hoán với nhau. Do đó toán tử Hamilton Hˆ và toán

tử số hạt Nˆ có chung hệ hàm riêng. Kí hiệu  nN (q) là hệ hàm riêng chung
của toán tử Hˆ và Nˆ . Ta có :
Hˆ  nN  E nN nN
Nˆ  nN  N nN

Nˆ  nN  N nN

6


( Nˆ  Hˆ ) nN  ( N  E nN ) n

suy ra

( Nˆ  Hˆ ) m nN  ( N  E nN ) m n

và



*
nN

(1.9)

(q ) m M (q )dq   nm NM

(1.10)

Khi đó các yếu tố ma trận chéo của ˆ bằng :
*
 nN   nN
(q)ˆ  nN (q)dq

(1.11)

Sử dụng khai triển Taylor của hàm mũ ta có thể viết (1.8) dƣới dạng :
 m
1  Nˆ  H 

ˆ  e  

m
!
kT
m 0


 
kT

(1.12)

Thay (1.12) vào (1.11), kết hợp với (1.9), (1.10) và phép biến đổi Taylor, ta
đƣợc

nN

m

1   Nˆ  H 
*
  nN (q)e  
  nN (q)dq
kT 
m 0 m ! 
 
kT

 
kT

1  1 
e   
m  0 m !  kT 

m



*
nN

(q)(  Nˆ  Hˆ ) m nN (q)dq

 

kT

m

 
kT

m

1   N  EnN 
e  

kT

m 0 m ! 



*
nN


(q) nN (q)dq

1   N  EnN 
e  
 e kT e

kT


m 0 m ! 

 N  EnN
kT

e

  N  EnN
kT

Vậy hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lƣợng tử có dạng :

 nN   ( EnN , N )  e
7

 N  EnN
kT


Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê chính tắc lớn lƣợng tử :
1    nN    ( E nN , N )  e
n, N

Đại lƣợng Z   e

N  EnN
kT


kT

n, N

e

N  EnN
kT


kT

e Z

n, N

đƣợc gọi là tổng thống kê của hệ. Khi đó ta có :

n, N

  kT ln Z

Tổng thống kê lấy theo tất cả các trạng thái khả dĩ là Z   e

N  EnN
kT

. Do đó nếu

n, N

mức năng lƣợng E nN suy biến bội g ( E nN ) thì tổng thống kê của hệ trở thành :
Z   g ( E nN )e

N  EnN
kT

n, N

1.1.3. Phân bố Maxwell-Boltzmann lượng tử
Khảo sát hệ các hạt không tƣơng tác. Năng lƣợng của hệ bằng tổng năng
lƣợng của các hạt riêng lẻ : E    i . Khi đó xác suất để hệ ở trong trạng thái
i

với năng lƣợng E bằng :
 E

W (E)  e

kT

    i 


i
 exp 
  Wi
i
 kT





(1.13)

Trong đó Wi là xác suất để một hạt bất kì của hệ ở trong trạng thái với năng
lƣợng i :

Wi  ae
Điều kiện chuẩn hóa :
8



i
kT

(1.14)


1   Wi  a  e
i

Đặt Z   e



i
kT

, ta đƣợc a 

i



i
kT

i

1
. Trong trƣờng hợp mức năng lƣợng  i suy biến
Z

bội g ( i ) thì
Z   g ( i )e



i
kT

i

Khi đó (1.14) trở thành :


g ( i )  kTi
Wi 
e

Z

Đây chính là phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử.
1.2. Nội năng
Mọi hệ nhiệt động đều bao gồm một số rất lớn các hạt. Các hạt
này chuyển động và tƣơng tác với nhau.
Tổng năng lƣợng của các hạt này là năng lƣợng của hệ.
Năng lƣợng toàn phần của hệ bao gồm nội năng và ngoại năng.
Nhƣng trong nhiệt động lực học, chúng ta không khảo sát chuyển động
của toàn bộ hệ và độ biến thiên thế năng của hệ trong chuyển động đó.
Vì vậy, năng lƣợng của hệ trong nhiệt động lực học chính là nội
năng của hệ. Nội năng của hệ bao gồm năng lƣợng của tất cả các dạng
chuyển động và tƣơng tác của các hạt cấu thành hệ: năng lƣợng của
chuyển động tịnh tiến, quay và dao động của các nguyên tử phân tử,
năng lƣợng tƣơng tác phân tử, năng lƣợng nội nguyên tử của các lớp
chứa đầy electron, năng lƣợng nội hạt nhân và các năng lƣợng khác.

9


Nội năng U là một thông số nội và, do đó khi có cân bằng nó phụ thuộc
vào các thông số ngoại ai và vào nhiệt độ T:
U=U (a1,a2,…an,T)
1.3. Nhiệt độ suy biến
Nhiệt độ suy biến là nhiệt độ mà ở đó, hệ thống các hạt trở thành suy
biến (x. Suy biến), nghĩa là trạng thái dao động của các hạt bị phá vỡ hay trạng
thái vật chất của hệ bị thay đổi.

10

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Ở chƣơng này, em đã tìm hiểu và trình bày về một số khái niệm
cơ bản của Vật lí thống kê. Đó là hàm phân bố, nội năng và nhiệt độ suy
biến của dao động tử. Trên cơ sở đó, em sẽ tìm hiếu kĩ hơn về dao động
tử điều hòa.

11


CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
2.1. Biểu diễn tọa độ của dao động tử
Trong Cơ học cổ điển chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt khối
lƣợng m, chịu tác dụng của lực đàn hồi F= -Kx (k là hệ số đàn hồi) đƣợc diễn
tả bằng phƣơng trình Newton

d 2x
m 2  Kx  0
dt
và hạt thực hiện dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của nó

x  a sin(t   )
với pha  , tần số góc
K
m


và biên độ dao động
a

2E
m 2

trong đó E là năng lƣợng toàn phần.
Vận tốc của hạt nhƣ một hàm của tọa độ là

dx
x2
v   a 1  2
dt
a

12


Gọi  

2

là chu kỳ dao động, xác suất dW (CD ) ( x) mà hạt vĩ mô nằm trong


khoảng từ x đến x +dx với dx= vdt bằng

dW (CD ) ( x)dx 

dt





1

dx

2 a

x2
1 2
a

Trong Cơ học lƣợng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa. Thế năng
của hạt là
V ( x) 

1 2
Kx
2

và do đó trạng thái lƣợng tử của hạt với năng lƣợng E đƣợc diễn tả bằng hàm
sóng  ( x) thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger

 2 d2 1 2
 Kx  ( x)  E ( x)

2
2
m
dx

2



(2.1)

Đặt
1

 mK  4
  2  



m

, 

2E

m 2E

K


(2.2)

và dùng biến không thứ nguyên
  x

ta viết lại đƣợc phƣơng trình (2.1) dƣới dạng
 d2
2
 2     ( )  0
 d


13

(2.3)


trong đó
 
      
 

phải hữu hạn tại   0 và giới nội khi    . Vì lời giải tiệm cận của phƣơng
trình (2.3) khi  lớn là

 ( )  exp( 2 / 2)
Nên ta tìm lời giải chính xác dƣới dạng
       exp( 2 / 2)

(2.4)

với    là hàm cần xác định. Thay thế biểu thức (2.4) vào phƣơng trình (2.3),
ta thu đƣợc
     2     ( 1)    0

(2.5)

trong đó
 

d  
d

,   

d 2 ( )
d 2

Tìm hàm    dƣới dạng chuỗi


     a  , a0 ≠ 0
 0

dễ dàng tính đƣợc công thức móc xích cho các hệ số khai triển
a  2 

2  1 
a
  2  1 

14

(2.6)

Từ phƣơng trình (2.6), ta suy ra  2n  1 do đó, theo các hệ thức (2.2) năng
lƣợng E của dao động tử điều hòa chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn
1

E  En   n    , n=0,1,2,…
2


Năng lƣợng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n=0
E0 

1
 0
2

đƣợc gọi là năng lƣợng không. Sự tồn tại năng lƣợng hữu hạn thấp nhất E0 chỉ
có thể giải thích đƣợc trên cơ sở của Vật lý lƣợng tử.
Thật vậy, gọi các độ bất định của năng lƣợng, xung lƣợng và tọa độ là E, p
và x. Sự tồn tại E0 gắn liền với hệ thức bất định giữa tọa độ và xung lƣợng
của hạt: px  / 2 , vì
E 

p 2 K x 2
K
1


px  
2m

2
m
2

Có thể quy ƣớc chọn gốc tính năng lƣợng trùng với năng lƣợng không E0. Khi
đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lƣợng là bội của năng lƣợng  :

En  n 
Đó chính là giả thuyết Planck: Năng lƣợng của một dao động tử điều hòa bằng
bội nguyên của lƣợng tử năng lƣợng  .
Để xác định dạng tƣờng minh của hàm sóng   x  ta lƣu ý rằng với  2n  1
phƣơng trình (2.5) trở thành
     2     2nH n    0

Mặt khác, từ toán học ta lại biết đa thức Hermit H n   thỏa mãn phƣơng trình

15


H n    2 H n    2nH n    0

So sánh hai phƣơng trình trên, ta rút ra
     n    N n H n  

với Nn là hệ số chuẩn hóa do đó

  x   n  x   Nn H n   x  e



 2 x2
2

Chuẩn hóa hàm  n  x  sao cho







 n  x  dx 
2

2

Nn









H n2   e  d   1

và sử dụng tính chất của đa thức Hermite





H n2   e d  2n n ! 
2



ta tính đƣợc


Nn 

2 n! 
n

Đa thức Hermite có dạng tƣờng minh

 n  2
H n     1 e
e
 n
n

2

Thí dụ nhƣ
H 0  x   1, H1  x   2,...

Ta có các hàm chuẩn hóa tƣơng ứng là
16

2


   2x
e


2 2

 0  x 

2 3

1  x 



xe



 2 x2
2

,...

Xác suất dWn( LT )  x  mà hạt vi mô với năng lƣợng En có thể đƣợc tìm thấy trong

khoảng từ x đến x+dx bằng

dWn( LT )  x  dx   n  x  dx
2

2.2. Biểu diễn số hạt của dao động tử
Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm đƣợc bằng phƣơng
pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian
Hˆ  

2

d2 1 2
 Kx
2m dx 2 2

Để thuận tiện, thay các toán tử tọa độ x và xung lƣợng 
tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới
x  qˆ  mx
i

d
d
 pˆ  i
dx
m dx

Hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ vẫn là

 pˆ , qˆ   i
Biểu diễn qua pˆ và qˆ , Hamiltonian (2.7) có dạng

17

(2.7)

i d
ta dùng các toán
dx




1 2
Hˆ 
pˆ   2 qˆ 2
2



(2.8)

Ta lại đặt


pˆ 

2

qˆ  i

 aˆ  aˆ 


 aˆ  aˆ 
2


và có





1
(2.9)
ˆ ˆ   aˆ  aˆ 
Hˆ  aa
2

Các toán tử aˆ , aˆ xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngƣợc lại qua pˆ và qˆ nhƣ
sau:
1
 pˆ  i qˆ 
2 
1
aˆ  
 pˆ  i qˆ 
2 

aˆ 

Dễ dàng chứng minh đƣợc rằng các toán tử trên thỏa mãn hệ thức giao hoán
 aˆ.aˆ    1

(2.10)

và do đó Hamiltonian (2.9) trở thành
1

Hˆ   aˆ  aˆ   
2


(2.11)

Việc nghiên cứu phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy về bài toán tìm

các véctơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (2.11), trong đó các toán tử aˆ , aˆ
thỏa mãn hệ thức giao hoán (2.10). Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử
mới nhƣ sau

18


(2.12)

Nˆ  aˆ  aˆ

Và có các hệ thức giao hoán giữa toán tử này và toán tử aˆ , aˆ





(2.13)





(2.14)

ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ
N
ˆ
 , a   a hay Na  a N  1

ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  1
 Nˆ , aˆ    aˆ  hay Na



Thật vậy, theo định nghĩa (2.12) và sử dụng hệ thức giao hoán (2.10), ta có:





ˆ ˆ  aN
 Nˆ , aˆ   Na
ˆ ˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ  aa
ˆ ˆ  aˆ   aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ aˆ  aˆ



chính là hệ thức (2.13) và





ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa
 Nˆ , aˆ    Na
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ 



chính là hệ thức (2.14).
Ký hiệu n là vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n
Nˆ n  n n

Từ phƣơng trình (2.15) ta suy ra ngay
n Nˆ n
n aˆ  aˆ n
n


0
nn
nn

vì
n n    n  r  dr  0
2

và
n aˆ  aˆ n   aˆ n  r  dr  0
2

19


Vậy ta có các nhận xét sau:
Các trị riêng của toán tử Nˆ là các số không âm

ˆ lên n . Đó là
Xét véctơ trạng thái thu đƣợc bằng cách tác dụng toán tử a
véctơ trạng thái aˆ n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng
công thức (2.13), ta có:





ˆ ˆ n  aˆ Nˆ  1 n  aˆ  n  1 n   n  1 aˆ n
Na

Hệ thức trên nghĩa là aˆ n là một véctơ riêng của Nˆ ứng với trị riêng n-1
Tƣơng tự nhƣ vây ta chứng minh đƣợc aˆ 2 n , aˆ 3 n ,... cũng là các véctơ riêng
của Nˆ ứng với các trị riêng n-2, n-3, …
Xét véctơ trạng thái thu đƣợc bằng cách tác dụng toán tử aˆ  lên n . Đó là
vecto trạng thái aˆ  n . Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử Nˆ và sử dụng
công thức (2.14), ta có:





ˆ ˆ  n  aˆ  Nˆ  1 n  aˆ   n  1 n   n  1 aˆ  n
Na

Hệ thức trên nghĩa là aˆ  n là một véctơ riêng của Nˆ ứng với trị riêng n+1
Tƣơng tự nhƣ vây ta chứng minh đƣợc aˆ  2 n , aˆ 3 n ,... cũng là các véctơ riêng
của Nˆ ứng với các trị riêng n+2, n+3, …
Ta đi đến nhận xét hai
Nếu n là một véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n thì với
p  1, 2,3,..., aˆ p n cũng là một vecto riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n-p

và aˆ  p n cũng là một véctơ riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n+p nếu
chúng khác không.

20


Kết hợp hai nhận xét trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của Nˆ thì chuỗi
các số không âm n-1,n-2,n-3,..cũng là các trị riêng của Nˆ . Vì chuỗi này giảm

dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin. Xét véctơ trạng thái nmin
ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin. Rõ ràng là
aˆ nmin  0

vì nếu aˆ nmin  0 thì đó là véctơ trạng thái ứng với trị riêng nmin-1với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất. Từ đẳng thức (3.17) ta suy ra

aˆ  aˆ nmin  Nˆ nmin  0
Mặt khác, theo định nghĩa của nmin
Nˆ nmin  nmin nmin
So sánh hai phƣơng trình trên ta đi đến nhận xét ba
Trị riêng nhỏ nhất của toán tử Nˆ là nmin = 0.
Vecto trạng thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của Nˆ đƣợc kí hiệu là 0 . Vecto
trạng thái này thõa mãn điều kiện aˆ 0  0
Khi đó

aˆ  0 tỉ lệ với véctơ riêng 1 của Nˆ ứng với trị riêng n=1,
aˆ 2 0 tỉ lệ với véctơ riêng 2 của Nˆ ứng với trị riêng n=2,…

aˆ  n 0 tỉ lệ với véctơ riêng n của Nˆ ứng với trị riêng n.

Vì

21