Trường Điện Tử Nhiều Tác Giả

TRƯӠNG ĐIӊN TӮ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY
Sӕ tiӃt: 45
Tài liӋu tham khҧo

1. KiӅu Khҳc Lâu, LÝ THUYӂT TRƯӠNG ĐIӊN TӮ, GD, 2006
2. Ngô Nhұt Ҧnh, TRƯӠNG ĐIӊN TӮ, ĐHBK TPHCM, 1995
3. NguyӉn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYӂT TRƯӠNG, GD, 1978
Chương 0
MӜT SӔ CÔNG THӬC TOÁN HӐC
1. Vector

y

y

T T
T
T
a ! _a x , a y , a z a! i a x  j a y  ka z
T
T T
T
b ! _b x , b y , b z a! i b x  j b y  kb z
T T T
T
c ! _c x , c y , c z a! i c x  j c y  kc z
TT
a.b ! a x b x  a y b y  a z b z
T T T
i
j k

T
T
T
TT
a v b ! a x a y a z ! i
a y b z  a z b y
 j
a z b x  a x b z
 k
a x b y  a y b x
bx

by

TT TT

bz
T


T

y a.b ! a b cos a , b
TT T

y avb ! c

T TT

Phương: c B

a, b
ChiӅu: theo qui tҳc vһn nút chai
T TT

TT

Đӝ lӟn: c ! a b sin
a , b
T T T TTT TTT

y a v
b v c
! b.
a.c
 c.
a .b
2. Toán tӱ nabla

1
CuuDuongThanCong.com

/>

®x x x ¾
“!¯ , , ¿
°xx xy xz À

3. Gradient
TxU TxU TxU
j

k
gradU ! “.U ! i
xx
xy
xz

4. Divergence
xa y xa z
T T xa
diva ! “.a ! x 

xx
xz
xy

5. Rotary
T T T
k
i
T
xa y ¸ T
¨ xa
¨ xa
xa ¸ T
xa ¸
T
T x
x
x
¨ xa

¹¹  © x   z ¹  k ©© y   x ¹¹
! i ©© z  
rota ! “ v a !
xx xy xz
xx º ª xx
xz º ª xz
xy º
ª xy
ax ay az

Sӕ phӭc

Hàm mũ
e z ! e x iy ! e x
cos y  i sin y

Hàm mũ là mӝt hàm tuҫn hoàn có chu kì là 2 Ti. Thӵc vұy, ta có
e 2 kTi ! cos 2kT  i sin 2kT ! 1

Suy ra
e z  2 kTi ! e z .e 2 kTi ! e z

Công thӭc Euler
eiy = cosy +isiny
Khi đó sӕ phӭc z = r e iN = r(cosN +isinN)
Phương trình vi phân tuyӃn tính cҩp hai

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai là phương trình bұc nhҩt đӕi vӟi
hàm chưa biӃt và các đҥo hàm cӫa nó:
d

yd
 a 1 yd
 a 2 y ! f (x)

(1)

Trong đó:

2
CuuDuongThanCong.com

/>

a1, a2 và (x) là các hàm cӫa biӃn đӝc lұp x
(x) = 0   (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính thuҫn nhҩt
(x) { 0   (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính không thuҫn nhҩt
a1, a2 | const   (1) gӑi là phương trình tuyӃn tính có hӋ sӕ không đәi
Phương trình vi phân tuyӃn tính cҩp hai thuҫn nhҩt

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt có dҥng:
d
yd
 a 1 yd
 a 2y ! 0

(2)

a1, a2 là các hàm cӫa biӃn x
Đӏnh lí 1. NӃu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiӋm cӫa (2) thì y = C1y1 + C2y2

(trong đó C1, C2 là 2 hҵng sӕ tuǤ ý) cũng là nghiӋm cӫa phương trình ҩy.
Hai hàm y1(x) và y2(x) là đ͡c l̵p tuy͇n tính khi

y1
x
{ const , ngưͫc l̩i là phͭ
y 2
x

thu͡c tuy͇n tính
Đӏnh lí 2. NӃu y1(x) và y2(x) là 2 nghiӋm đӝc lұp tuyӃn tính cӫa phương trình vi

phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt (2) thì y = C 1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2
hҵng sӕ tuǤ ý) là nghiӋm tәng quát cӫa phương trình ҩy.
Đӏnh lí 3. NӃu đã biӃt mӝt nghiӋm riêng y 1(x) cӫa phương trình vi phân tӯ

trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt (2) thì có thӇ tìm đưӧc mӝt nghiӋm riêng y 2(x) cӫa
phương trình đó, đӝc lұp tuyӃn tính vӟi y 1(x) bҵng cách đһt y 2(x) = y1(x).u(x)
Phương trình vi phân tuyӃn tính cҩp hai không thuҫn nhҩt

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai là phương trình bұc nhҩt đӕi vӟi
hàm chưa biӃt và các đҥo hàm cӫa nó:
d
yd
 a 1 yd
 a 2 y ! ( x)

(3)

Trong đó:

a1 và a2 là các hàm cӫa biӃn đӝc lұp x; (x) { 0
Đӏnh lí 1. NghiӋm tәng quát cӫa phương trì nh không thuҫn nhҩt (3) bҵng

nghiӋm tәng quát cӫa phương trình thuҫn nhҩt (2) tương ӭng và mӝt nghiӋm
riêng nào đó cӫa phương trình không thuҫn nhҩt (3).

3
CuuDuongThanCong.com

/>

Đӏnh lí 2. Cho phương trình không thuҫn nhҩt
d
yd
 a 1 yd
 a 2 y ! f1 ( x )  f 2 ( x )

(4)

NӃu y1(x) là nghiӋm riêng cӫa phương trình
d
yd
 a 1 yd
 a 2 y ! 1 (x)

(5)

và y2(x) là nghiӋm riêng cӫa phương trình
d
yd

 a 1 yd
 a2y !

2

(x)

(6)

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiӋm riêng cӫa phương trình (4)
Phương trình vi phân tuyӃn tính cҩp hai có hӋ sӕ không đәi

Phương trình vi phân tӯ trưӡng cҩp hai thuҫn nhҩt có dҥng:
d
yd
 pyd
 qy ! 0

(7)

p, q là các hҵng sӕ
Giҧ sӱ nghiӋm riêng cӫa (7) có dҥng
(8)

y ! e kx

Trong đó: k là hҵng sӕ sӁ đưӧc xác đӏnh
Suy ra
yd
! ke kx ,

(9)

d
yd
! k 2 e kx

Thay (8) và (9) vào (7) ta có
e kx
k 2  pk  q
! 0

(10)

k 2  pk  q ! 0

(11)

Vì ekx { 0 nên
NӃu k thoҧ mãn (11) thì y = e kx là mӝt nghiӋm riêng cӫa phương trình vi
phân (7). Phương trình (11) gӑi là phương trình đ̿c trưng cӫa phương trình vi
phân (7)
Nhұn xét: Phương trình đ̿c trưng (7) là phương trình bұc 2 có 2 nghiӋm k 1
và k2 như sau
- k1 và k2 là 2 sӕ thӵc khác nhau, khi đó 2 nghiӋm riêng cӫa phương trình

vi phân (7) là

4
CuuDuongThanCong.com

/>

y1 ! e k x ,

y2 ! ek x

1

(12)

2

Hai nghiӋm riêng (12) là đӝc lұp tӯ trưӡng vì
y1
! e
k k
y2
1

2

x

{ const

(13)

Do đó nghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là
ek x 

y ! y1  y 2 !

1

ek x

(14)

2

1

2

- k1 và k2 là 2 sӕ thӵc trùng nhau: k1 = k2

Hai nghiӋm riêng đӝc lұp tӯ trưӡng: y1 ! e k x , y 2 ! xe k x
1

1

NghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là
y!

ek x 
1

1

xe k x !

1

2

1



x
e k x
1

2

(15)

- k1 và k2 là 2 sӕ phӭc liên hӧp: k1 = E + iF và k2 = E - iF

Hai nghiӋm riêng cӫa phương trình vi phân (7) là
y

y1 ! e
EiF
x ! e Ex e iFx
y

y2 ! e

EiF
x

Ex

!e e

(16)

 iF x

Theo công thӭc Euler ta có
eiFx ! cos F x  i sin Fx

(17)

e iFx ! cos F x  i sin F x

Suy ra
y

y1 ! e Ex e iFx ! e Ex
cos F x  i sin F x

(18)

y

y 2 ! e Ex e iFx ! e Ex

cos F x  i sin F x
y

y

NӃu y1 và y 2 là 2 nghiӋm cӫa phương trình vi phân (7) thì các hàm
y

y

y

y

y y
y1 ! 1 2 ! e Ex cos F x
2
y2 !

(19)

y1  y 2
! e Ex sin F x
2i

cũng là nghiӋm cӫa phương trình vi phân (7) và đӝc lұp tӯ trưӡng vì

5
CuuDuongThanCong.com

/>

y1
! tgF x { const
y2

(20)

Do đó nghiӋm tәng quát cӫa phương trình vi phân (7) là
y!

e Ex cos F x 

1

2

e Ex sin F x ! e Ex