giải thuật và lập trình

LÊ MINH HOÀNG

Bài gi ng chuyên đ

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002

CuuDuongThanCong.com

/>

CuuDuongThanCong.com

/>

L ic m n

Tôi mu n bày t lòng bi t n đ i v i nh ng ng
đ y khó kh n khi tôi m i b

i th y đã ch d y t n tình trong nh ng n m tháng

c vào h c tin h c và l p trình. S hi u bi t và lòng nhi t tình c a các

th y không nh ng đã cung c p cho tôi nh ng ki n th c quý báu mà còn là t m g
noi theo khi tôi đ ng trên b c gi ng c ng v i t cách là m t ng
Cu n tài li u này đ

c vi t d a trên nh ng tài li u thu th p đ

ng sáng cho tôi

i th y.

c t nhi u ngu n khác nhau, b i

công s c c a nhi u th h th y trò đã t ng gi ng d y và h c t p t i Kh i Ph thông chuyên ToánTin,

i h c S ph m Hà N i, còn tôi ch là ng

i t ng h p l i. Qua đây, tôi mu n g i l i c m n

t i các đ ng nghi p đã đ c và đóng góp nh ng ý ki n quí báu, c m n các b n h c sinh - nh ng
con ng

i đã tr c ti p làm nên cu n sách này.

Do th i gian h n h p, m t s

chuyên đ tuy đã có nh ng ch a k p ch nh s a và đ a vào tài li u.

B n đ c có th tham kh o thêm trong ph n tra c u. R t mong nh n đ

c nh ng l i nh n xét và góp

ý c a các b n đ hoàn thi n cu n sách này.
Tokyo, 28 tháng 4 n m 2003

Lê Minh Hoàng

CuuDuongThanCong.com

/>

CuuDuongThanCong.com

/>

i

M CL C
PH N 1. BÀI TOÁN LI T KÊ ................................................................................. 1
§1. NH C L I M T S

KI N TH C

IS

T

H P......................................................................2

1.1. CH NH H P L P..............................................................................................................................................2
1.2. CH NH H P KHÔNG L P...............................................................................................................................2
1.3. HOÁN V ...........................................................................................................................................................2
1.4. T H P..............................................................................................................................................................3

§2. PH

NG PHÁP SINH (GENERATION) ..........................................................................................4

2.1. SINH CÁC DÃY NH PHÂN

DÀI N .........................................................................................................5

2.2. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T ............................................................................................................6
2.3. LI T KÊ CÁC HOÁN V ..................................................................................................................................8

§3. THU T TOÁN QUAY LUI ................................................................................................................12
3.1. LI T KÊ CÁC DÃY NH PHÂN

DÀI N..................................................................................................12

3.2. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T ..........................................................................................................13
3.3. LI T KÊ CÁC CH NH H P KHÔNG L P CH P K ....................................................................................15
3.4. BÀI TOÁN PHÂN TÍCH S ...........................................................................................................................16
3.5. BÀI TOÁN X P H U .....................................................................................................................................18

§4. K THU T NHÁNH C N.................................................................................................................24
4.1. BÀI TOÁN T I
4.2. S

U.........................................................................................................................................24

BÙNG N T H P ..................................................................................................................................24

4.3. MÔ HÌNH K THU T NHÁNH C N...........................................................................................................24
4.4. BÀI TOÁN NG

I DU L CH ........................................................................................................................25

4.5. DÃY ABC ........................................................................................................................................................28

PH N 2. C U TRÚC D
§1. CÁC B
1.1. XÁC

CC

LI U VÀ GI I THU T ............................................. 33

B N KHI TI N HÀNH GI I CÁC BÀI TOÁN TIN H C...............................34

NH BÀI TOÁN...................................................................................................................................34

1.2. TÌM C U TRÚC D

LI U BI U DI N BÀI TOÁN ....................................................................................34

1.3. TÌM THU T TOÁN ........................................................................................................................................35
1.4. L P TRÌNH .....................................................................................................................................................37
1.5. KI M TH ......................................................................................................................................................37
1.6. T I

U CH

NG TRÌNH .............................................................................................................................38

§2. PHÂN TÍCH TH I GIAN TH C HI N GI I THU T .................................................................40
2.1.

PH C T P TÍNH TOÁN C A GI I THU T ........................................................................................40

2.2. XÁC
2.3.

NH

PH C T P TÍNH TOÁN C A GI I THU T ....................................................................40

PH C T P TÍNH TOÁN V I TÌNH TR NG D

LI U VÀO..............................................................43

2.4. CHI PHÍ TH C HI N THU T TOÁN...........................................................................................................43

CuuDuongThanCong.com

/>

ii

§3.

QUY VÀ GI I THU T

3.1. KHÁI NI M V

QUY ............................................................................................... 45

QUY .............................................................................................................................. 45

3.2. GI I THU T

QUY .................................................................................................................................. 45

3.3. VÍ D V GI I THU T
3.4. HI U L C C A

§4. C U TRÚC D

QUY ................................................................................................................ 46

QUY ............................................................................................................................. 50

LI U BI U DI N DANH SÁCH.......................................................................... 52

4.1. KHÁI NI M DANH SÁCH ............................................................................................................................ 52
4.2. BI U DI N DANH SÁCH TRONG MÁY TÍNH .......................................................................................... 52

§5. NG N X P VÀ HÀNG

I.............................................................................................................. 58

5.1. NG N X P (STACK)..................................................................................................................................... 58
5.2. HÀNG

I (QUEUE)..................................................................................................................................... 60

§6. CÂY (TREE)........................................................................................................................................ 64
6.1.

NH NGH A ................................................................................................................................................. 64

6.2. CÂY NH PHÂN (BINARY TREE) ............................................................................................................... 65
6.3. BI U DI N CÂY NH PHÂN ........................................................................................................................ 67
6.4. PHÉP DUY T CÂY NH PHÂN.................................................................................................................... 69
6.5. CÂY K_PHÂN ................................................................................................................................................ 70
6.6. CÂY T NG QUÁT......................................................................................................................................... 71

§7. KÝ PHÁP TI N T , TRUNG T
7.1. BI U TH C D

VÀ H U T ............................................................................. 74

I D NG CÂY NH PHÂN ............................................................................................... 74

7.2. CÁC KÝ PHÁP CHO CÙNG M T BI U TH C.......................................................................................... 74
7.3. CÁCH TÍNH GIÁ TR BI U TH C .............................................................................................................. 75
7.4. CHUY N T

D NG TRUNG T SANG D NG H U T ......................................................................... 78

7.5. XÂY D NG CÂY NH PHÂN BI U DI N BI U TH C............................................................................ 80

§8. S P X P (SORTING) ........................................................................................................................ 82
8.1. BÀI TOÁN S P X P...................................................................................................................................... 82
8.2. THU T TOÁN S P X P KI U CH N (SELECTIONSORT)..................................................................... 84
8.3. THU T TOÁN S P X P N I B T (BUBBLESORT)................................................................................. 85
8.4. THU T TOÁN S P X P KI U CHÈN......................................................................................................... 85
8.5. SHELLSORT................................................................................................................................................... 87
8.6. THU T TOÁN S P X P KI U PHÂN O N (QUICKSORT).................................................................. 88

8.7. THU T TOÁN S P X P KI U VUN
8.8. S P X P B NG PHÉP
8.9. TÍNH N

NG (HEAPSORT) ...................................................................... 92

M PHÂN PH I (DISTRIBUTION COUNTING) ............................................. 95

NH C A THU T TOÁN S P X P (STABILITY) ................................................................. 96

8.10. THU T TOÁN S P X P B NG C S (RADIXSORT).......................................................................... 97
8.11. THU T TOÁN S P X P TR N (MERGESORT).................................................................................... 102
8.12. CÀI

T ..................................................................................................................................................... 105

8.13. ÁNH GIÁ, NH N XÉT............................................................................................................................ 112

§9. TÌM KI M (SEARCHING) ............................................................................................................. 116

CuuDuongThanCong.com

/>

iii
9.1. BÀI TOÁN TÌM KI M..................................................................................................................................116
9.2. TÌM KI M TU N T

(SEQUENTIAL SEARCH) ......................................................................................116

9.3. TÌM KI M NH PHÂN (BINARY SEARCH) ..............................................................................................116
9.4. CÂY NH PHÂN TÌM KI M (BINARY SEARCH TREE - BST) ...............................................................117
9.5. PHÉP B M (HASH)......................................................................................................................................122
9.6. KHOÁ S V I BÀI TOÁN TÌM KI M .......................................................................................................122
9.7. CÂY TÌM KI M S H C (DIGITAL SEARCH TREE - DST)...................................................................123
9.8. CÂY TÌM KI M C S (RADIX SEARCH TREE - RST) .........................................................................126
9.9. NH NG NH N XÉT CU I CÙNG .............................................................................................................131

PH N 3. QUY HO CH

NG ............................................................................ 133

§1. CÔNG TH C TRUY H I................................................................................................................134
1.1. VÍ D .............................................................................................................................................................134
1.2. C I TI N TH

NH T..................................................................................................................................135

1.3. C I TI N TH

HAI......................................................................................................................................137

1.4. CÀI

§2. PH

T

QUY ........................................................................................................................................137

NG PHÁP QUY HO CH

NG .........................................................................................139

2.1. BÀI TOÁN QUY HO CH ............................................................................................................................139
2.2. PH

§3. M T S

NG PHÁP QUY HO CH

NG.......................................................................................................139

BÀI TOÁN QUY HO CH

3.1. DÃY CON

NG ..................................................................................143

N I U T NG DÀI NH T..................................................................................................143

3.2. BÀI TOÁN CÁI TÚI......................................................................................................................................148
3.3. BI N

I XÂU .............................................................................................................................................150

3.4. DÃY CON CÓ T NG CHIA H T CHO K...................................................................................................154
3.5. PHÉP NHÂN T H P DÃY MA TR N......................................................................................................159
3.6. BÀI T P LUY N T P..................................................................................................................................163

PH N 4. CÁC THU T TOÁN TRÊN
§1. CÁC KHÁI NI M C
1.1.

NH NGH A

TH .................................................. 169

B N .............................................................................................................170

TH (GRAPH).................................................................................................................170

1.2. CÁC KHÁI NI M..........................................................................................................................................171

§2. BI U DI N

TH TRÊN MÁY TÍNH........................................................................................173

2.1. MA TR N LI N K (MA TR N K ) .........................................................................................................173
2.2. DANH SÁCH C NH.....................................................................................................................................174
2.3. DANH SÁCH K ...........................................................................................................................................175
2.4. NH N XÉT....................................................................................................................................................176

§3. CÁC THU T TOÁN TÌM KI M TRÊN

TH .........................................................................177

3.1. BÀI TOÁN .....................................................................................................................................................177
3.2. THU T TOÁN TÌM KI M THEO CHI U SÂU (DEPTH FIRST SEARCH).............................................178
3.3. THU T TOÁN TÌM KI M THEO CHI U R NG (BREADTH FIRST SEARCH) ...................................184

CuuDuongThanCong.com

/>

iv
3.4.

PH C T P TÍNH TOÁN C A BFS VÀ DFS ...................................................................................... 189

§4. TÍNH LIÊN THÔNG C A
4.1.

TH ............................................................................................... 190

NH NGH A ............................................................................................................................................... 190

4.2. TÍNH LIÊN THÔNG TRONG
4.3.

TH

Y

TH VÔ H

NG.................................................................................. 191

VÀ THU T TOÁN WARSHALL ................................................................................. 191

4.4. CÁC THÀNH PH N LIÊN THÔNG M NH .............................................................................................. 195

§5. VÀI

NG D NG C A CÁC THU T TOÁN TÌM KI M TRÊN

5.1. XÂY D NG CÂY KHUNG C A

TH ................................................................................................. 205

5.2. T P CÁC CHU TRÌNH C B N C A
5.3.

NH CHI U

TH ............................... 205

TH ........................................................................................ 208

TH VÀ BÀI TOÁN LI T KÊ C U .............................................................................. 208

5.4. LI T KÊ KH P ............................................................................................................................................ 214

§6. CHU TRÌNH EULER,

NG I EULER,

TH EULER................................................... 218

6.1. BÀI TOÁN 7 CÁI C U ................................................................................................................................ 218

6.2.

NH NGH A ............................................................................................................................................... 218

6.3.

NH LÝ ....................................................................................................................................................... 218

6.4. THU T TOÁN FLEURY TÌM CHU TRÌNH EULER................................................................................. 219
6.5. CÀI

T ....................................................................................................................................................... 220

6.6. THU T TOÁN T T H N ........................................................................................................................... 222

§7. CHU TRÌNH HAMILTON,

NG I HAMILTON,

TH HAMILTON ........................ 225

7.1.

NH NGH A ............................................................................................................................................... 225

7.2.

NH LÝ ....................................................................................................................................................... 225

7.3. CÀI

T ....................................................................................................................................................... 226

§8. BÀI TOÁN
8.1.

NG I NG N NH T .......................................................................................... 230

TH CÓ TR NG S ............................................................................................................................... 230

8.2. BÀI TOÁN

NG I NG N NH T ....................................................................................................... 230

8.3. TR

NG H P

TH KHÔNG CÓ CHU TRÌNH ÂM - THU T TOÁN FORD BELLMAN ............... 232

8.4. TR

NG H P TR NG S TRÊN CÁC CUNG KHÔNG ÂM - THU T TOÁN DIJKSTRA................. 234

8.5. THU T TOÁN DIJKSTRA VÀ C U TRÚC HEAP ................................................................................... 237
8.6. TR
8.7.

NG H P

TH KHÔNG CÓ CHU TRÌNH - TH

NG I NG N NH T GI A M I C P

T

TÔ PÔ .................................................... 240

NH - THU T TOÁN FLOYD......................................... 242

8.8. NH N XÉT ................................................................................................................................................... 245

§9. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NH

NH T ......................................................................................... 247

9.1. BÀI TOÁN CÂY KHUNG NH NH T ...................................................................................................... 247
9.2. THU T TOÁN KRUSKAL (JOSEPH KRUSKAL - 1956) ......................................................................... 247
9.3. THU T TOÁN PRIM (ROBERT PRIM - 1957).......................................................................................... 252

§10. BÀI TOÁN LU NG C C

I TRÊN M NG............................................................................ 256

10.1. BÀI TOÁN .................................................................................................................................................. 256
10.2. LÁT C T,
10.3. CÀI

NG T NG LU NG,

NH LÝ FORD - FULKERSON................................................. 256

T ..................................................................................................................................................... 258

CuuDuongThanCong.com

/>

v
10.4. THU T TOÁN FORD - FULKERSON (L.R.FORD & D.R.FULKERSON - 1962)..................................262

§11. BÀI TOÁN TÌM B
11.1.

GHÉP C C

I TRÊN

TH HAI PHÍA...........................................266

TH HAI PHÍA (BIPARTITE GRAPH)................................................................................................266

11.2. BÀI TOÁN GHÉP ÔI KHÔNG TR NG VÀ CÁC KHÁI NI M............................................................266
11.3. THU T TOÁN
11.4. CÀI

NG M ......................................................................................................................267

T ......................................................................................................................................................268

§12. BÀI TOÁN TÌM B

GHÉP C C

I V I TR NG S

C C TI U TRÊN

TH HAI

PHÍA - THU T TOÁN HUNGARI .......................................................................................................273
12.1. BÀI TOÁN PHÂN CÔNG ...........................................................................................................................273
12.2. PHÂN TÍCH.................................................................................................................................................273
12.3. THU T TOÁN ............................................................................................................................................274
12.4. CÀI

T ......................................................................................................................................................278

12.5. BÀI TOÁN TÌM B GHÉP C C

I V I TR NG S C C

I TRÊN

TH HAI PHÍA .............284

12.6. NÂNG C P..................................................................................................................................................284

§13. BÀI TOÁN TÌM B

GHÉP C C

I TRÊN

TH ..............................................................290

13.1. CÁC KHÁI NI M........................................................................................................................................290
13.2. THU T TOÁN EDMONDS (1965) ............................................................................................................291
13.3. PH

NG PHÁP LAWLER (1973) .............................................................................................................293

13.4. CÀI
13.5.

T ......................................................................................................................................................295

PH C T P TÍNH TOÁN .....................................................................................................................299

TÀI LI U

C THÊM .......................................................................................... 301

CuuDuongThanCong.com

/>

vi

HÌNH V

Hình 1: Cây tìm ki m quay lui trong bài toán li t kê dãy nh phân.................................................................................. 13
Hình 2: X p 8 quân h u trên bàn c 8x8.......................................................................................................................... 19
ng chéo B-TN mang ch s 10 và đ

Hình 3:

ng chéo N-TB mang ch s 0 ...................................................... 19

Hình 4: L u đ thu t gi i (Flowchart).............................................................................................................................. 36
Hình 5: Tháp Hà N i........................................................................................................................................................ 49
Hình 6: C u trúc nút c a danh sách n i đ n..................................................................................................................... 53
Hình 7: Danh sách n i đ n............................................................................................................................................... 53
Hình 8: C u trúc nút c a danh sách n i kép ..................................................................................................................... 55
Hình 9: Danh sách n i kép ............................................................................................................................................... 55
Hình 10: Danh sách n i vòng m t h

ng......................................................................................................................... 55

Hình 11: Danh sách n i vòng hai h

ng .......................................................................................................................... 56

Hình 12: Dùng danh sách vòng mô t Queue................................................................................................................... 61
Hình 13: Di chuy n toa tàu............................................................................................................................................... 63
Hình 14: Di chuy n toa tàu (2) ......................................................................................................................................... 63
Hình 15: Cây .................................................................................................................................................................... 64
Hình 16: M c c a các nút trên cây................................................................................................................................... 65
Hình 17: Cây bi u di n bi u th c..................................................................................................................................... 65
Hình 18: Các d ng cây nh phân suy bi n ........................................................................................................................ 66
Hình 19: Cây nh phân hoàn ch nh và cây nh phân đ y đ ............................................................................................. 66

Hình 20: ánh s các nút c a cây nh phân đ y đ đ bi u di n b ng m ng................................................................... 67
Hình 21: Nh

c đi m c a ph

ng pháp bi u di n cây b ng m ng.................................................................................. 68

Hình 22: C u trúc nút c a cây nh phân ........................................................................................................................... 68
Hình 23: Bi u di n cây b ng c u trúc liên k t.................................................................................................................. 69
Hình 24: ánh s các nút c a cây 3_phân đ bi u di n b ng m ng................................................................................. 71
Hình 25: Bi u di n cây t ng quát b ng m ng .................................................................................................................. 72
Hình 26: C u trúc nút c a cây t ng quát .......................................................................................................................... 73
Hình 27: Bi u th c d

i d ng cây nh phân..................................................................................................................... 74

Hình 28: Vòng l p trong c a QuickSort........................................................................................................................... 89
Hình 29: Tr ng thái tr

c khi g i đ quy ......................................................................................................................... 90

Hình 30: Heap .................................................................................................................................................................. 92
Hình 31: Vun đ ng........................................................................................................................................................... 93
Hình 32:

o giá tr k1 cho kn và xét ph n còn l i............................................................................................................ 93

Hình 33: Vun ph n còn l i thành đ ng r i l i đ o tr k1 cho kn-1 ...................................................................................... 94
Hình 34: ánh s các bit .................................................................................................................................................. 97
Hình 35: Thu t toán s p x p tr n ................................................................................................................................... 102

Hình 36: Cài đ t các thu t toán s p x p v i d li u l n................................................................................................. 114
Hình 37: Cây nh phân tìm ki m .................................................................................................................................... 118
Hình 38: Xóa nút lá

cây BST ...................................................................................................................................... 119

Hình 39. Xóa nút ch có m t nhánh con trên cây BST ................................................................................................... 120

CuuDuongThanCong.com

/>

vii
Hình 40: Xóa nút có c hai nhánh con trên cây BST thay b ng nút c c ph i c a cây con trái .......................................120
Hình 41: Xóa nút có c hai nhánh con trên cây BST thay b ng nút c c trái c a cây con ph i .......................................120
Hình 42: ánh s các bit.................................................................................................................................................123
Hình 43: Cây tìm ki m s h c.........................................................................................................................................124
Hình 44: Cây tìm ki m c s ..........................................................................................................................................126
Hình 45: V i đ dài dãy bit z = 3, cây tìm ki m c s g m các khoá 2, 4, 5 và sau khi thêm giá tr 7 ..........................127
Hình 46: RST ch a các khoá 2, 4, 5, 7 và RST sau khi lo i b giá tr 7 .........................................................................128
Hình 47: Cây tìm ki m c s a) và Trie tìm ki m c s b) .............................................................................................130
Hình 48: Hàm đ quy tính s Fibonacci..........................................................................................................................141
Hình 49: Tính toán và truy v t ........................................................................................................................................144
Hình 50: Truy v t............................................................................................................................................................153
Hình 51: Ví d v mô hình đ th ...................................................................................................................................170
Hình 52: Phân lo i đ th ................................................................................................................................................171
Hình 53 ...........................................................................................................................................................................174
Hình 54 ...........................................................................................................................................................................175
Hình 55:

th và đ

ng đi ...........................................................................................................................................177

Hình 56: Cây DFS...........................................................................................................................................................180
Hình 57: Cây BFS ...........................................................................................................................................................184
Hình 58: Thu t toán loang ..............................................................................................................................................187
Hình 59:

th G và các thành ph n liên thông G1, G2, G3 c a nó ..............................................................................190

Hình 60: Kh p và c u .....................................................................................................................................................190
Hình 61: Liên thông m nh và liên thông y u..................................................................................................................191
Hình 62:

th đ y đ ....................................................................................................................................................192

Hình 63:

n đ th vô h

ng và bao đóng c a nó ........................................................................................................192

Hình 64: Ba d ng cung ngoài cây DFS ...........................................................................................................................196
Hình 65: Thu t toán Tarjan "b " cây DFS ......................................................................................................................198
Hình 66:

ánh s l i, đ o chi u các cung và duy t BFS v i cách ch n các đ nh xu t phát ng

c l i v i th t duy t

xong (th t 11, 10… 3, 2, 1) ................................................................................................................................204
Hình 67:

th G và m t s ví d cây khung T1, T2, T3 c a nó ...................................................................................207

Hình 68: Cây khung DFS (a) và cây khung BFS (b) (M i tên ch chi u đi th m các đ nh)............................................207
Hình 69: Phép đ nh chi u DFS........................................................................................................................................210
Hình 70: Phép đánh s và ghi nh n cung ng

c lên cao nh t.........................................................................................212

Hình 71 Duy t DFS, xác đ nh cây DFS và các cung ng

c............................................................................................215

Hình 72: Mô hình đ th c a bài toán b y cái c u...........................................................................................................218
Hình 73 ...........................................................................................................................................................................219
Hình 74 ...........................................................................................................................................................................219
Hình 75 ...........................................................................................................................................................................225
Hình 76: Phép đánh l i ch s theo th t tôpô ...............................................................................................................240
Hình 77: Hai cây g c r1 và r2 và cây m i khi h p nh t chúng ........................................................................................248
Hình 78: M ng v i các kh n ng thông qua (1 phát, 6 thu)

và m t lu ng c a nó v i giá tr 7 ...................................256

Hình 79: M ng G, lu ng trên các cung (1 phát, 6 thu) và đ th t ng lu ng t
Hình 80: Lu ng trên m ng G tr

CuuDuongThanCong.com

ng ng..................................................257

c và sau khi t ng........................................................................................................258

/>

viii
Hình 81:

th hai phía ................................................................................................................................................. 266

Hình 82:

th hai phía và b ghép M .......................................................................................................................... 267

Hình 83: Mô hình lu ng c a bài toán tìm b ghép c c đ i trên đ th hai phía ............................................................. 271
Hình 84: Phép xoay tr ng s c nh.................................................................................................................................. 274
Hình 85: Thu t toán Hungari.......................................................................................................................................... 277
Hình 86: Cây pha "m c" l n h n sau m i l n xoay tr ng s c nh và tìm đ
Hình 87:

ng........................................................... 285

th G và m t b ghép M............................................................................................................................. 290

Hình 88: Phép ch p Blossom ......................................................................................................................................... 292
Hình 89: N Blossom đ dò đ

ng xuyên qua Blossom................................................................................................ 292

CuuDuongThanCong.com

/>

ix

CH

NG TRÌNH

P_1_02_1.PAS * Thu t toán sinh li t kê các dãy nh phân đ dài n ...................................................................................6
P_1_02_2.PAS * Thu t toán sinh li t kê các t p con k ph n t ..........................................................................................8
P_1_02_3.PAS * Thu t toán sinh li t kê hoán v ................................................................................................................9
P_1_03_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các dãy nh phân đ dài n...........................................................................12
P_1_03_2.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các t p con k ph n t ..................................................................................14
P_1_03_3.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các ch nh h p không l p ch p k .................................................................15
P_1_03_4.PAS * Thu t toán quay lui li t kê các cách phân tích s ..................................................................................17
P_1_03_5.PAS * Thu t toán quay lui gi i bài toán x p h u .............................................................................................21
P_1_04_1.PAS * K thu t nhánh c n dùng cho bài toán ng

i du l ch............................................................................26

P_1_04_2.PAS * Dãy ABC ..............................................................................................................................................28
P_2_07_1.PAS * Tính giá tr bi u th c RPN....................................................................................................................76
P_2_07_2.PAS * Chuy n bi u th c trung t sang d ng RPN...........................................................................................79
P_2_08_1.PAS * Các thu t toán s p x p ........................................................................................................................105
P_3_01_1.PAS *

m s cách phân tích s n ................................................................................................................135

P_3_01_2.PAS *

m s cách phân tích s n ................................................................................................................136

P_3_01_3.PAS *

m s cách phân tích s n ................................................................................................................136

P_3_01_4.PAS *

m s cách phân tích s n ................................................................................................................137

P_3_01_5.PAS *

m s cách phân tích s n dùng đ quy............................................................................................137

P_3_01_6.PAS *

m s cách phân tích s n dùng đ quy............................................................................................138

P_3_03_1.PAS * Tìm dãy con đ n đi u t ng dài nh t....................................................................................................144
P_3_03_2.PAS * C i ti n thu t toán tìm dãy con đ n đi u t ng dài nh t.......................................................................146
P_3_03_3.PAS * Bài toán cái túi....................................................................................................................................149
P_3_03_4.PAS * Bi n đ i xâu........................................................................................................................................153
P_3_03_5.PAS * Dãy con có t ng chia h t cho k...........................................................................................................156
P_3_03_6.PAS * Dãy con có t ng chia h t cho k...........................................................................................................158
P_3_03_7.PAS * Nhân t i u dãy ma tr n .....................................................................................................................162
P_4_03_1.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu ....................................................................................................178
P_4_03_2.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u sâu không đ quy .............................................................................181

P_4_03_3.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng dùng hàng đ i ..........................................................................185
P_4_03_4.PAS * Thu t toán tìm ki m theo chi u r ng dùng ph

ng pháp loang .........................................................187

P_4_04_1.PAS * Thu t toán Warshall li t kê các thành ph n liên thông .......................................................................194
P_4_04_2.PAS * Thu t toán Tarjan li t kê các thành ph n liên thông m nh .................................................................201
P_4_05_1.PAS * Phép đ nh chi u DFS và li t kê c u ....................................................................................................213
P_4_05_2.PAS * Li t kê các kh p c a đ th .................................................................................................................216
P_4_06_1.PAS * Thu t toán Fleury tìm chu trình Euler.................................................................................................220
P_4_06_2.PAS * Thu t toán hi u qu tìm chu trình Euler .............................................................................................223
P_4_07_1.PAS * Thu t toán quay lui li t kê chu trình Hamilton ...................................................................................226
P_4_08_1.PAS * Thu t toán Ford-Bellman....................................................................................................................233
P_4_08_2.PAS * Thu t toán Dijkstra .............................................................................................................................235
P_4_08_3.PAS * Thu t toán Dijkstra và c u trúc Heap .................................................................................................237

CuuDuongThanCong.com

/>

x
ng đi ng n nh t trên đ th không có chu trình ........................................................................... 241

P_4_08_4.PAS *

P_4_08_5.PAS * Thu t toán Floyd ................................................................................................................................ 243
P_4_09_1.PAS * Thu t toán Kruskal............................................................................................................................. 249
P_4_09_2.PAS * Thu t toán Prim.................................................................................................................................. 252
P_4_10_1.PAS * Thu t toán tìm lu ng c c đ i trên m ng ............................................................................................ 259
P_4_10_2.PAS * Thu t toán Ford-Fulkerson................................................................................................................. 262

P_4_11_1.PAS * Thu t toán đ

ng m tìm b ghép c c đ i ........................................................................................ 269

P_4_12_1.PAS * Thu t toán Hungari ............................................................................................................................ 280
P_4_12_2.PAS * Cài đ t ph
P_4_13_1.PAS * Ph

ng pháp Kuhn-Munkres O(n3) ....................................................................................... 286

ng pháp Lawler áp d ng cho thu t toán Edmonds..................................................................... 296

CuuDuongThanCong.com

/>

PH N 1. BÀI TOÁN LI T KÊ

Có m t s bài toán trên th c t yêu c u ch rõ: trong m t t p các đ i
t

ng cho tr

c có bao nhiêu đ i t

ng tho mãn nh ng đi u ki n

nh t đ nh. Bài toán đó g i là bài toán đ m.
Trong l p các bài toán đ m, có nh ng bài toán còn yêu c u ch rõ
nh ng c u hình tìm đ

c tho mãn đi u ki n đã cho là nh ng c u hình

nào. Bài toán yêu c u đ a ra danh sách các c u hình có th có g i là
bài toán li t kê.
gi i bài toán li t kê, c n ph i xác đ nh đ
th theo đó l n l

t xây d ng đ

c m t thu t toán đ có

c t t c các c u hình đang quan tâm.

Có nhi u ph

ng pháp li t kê, nh ng chúng c n ph i đáp ng đ

hai yêu c u d

i đây:

• Không đ

c l p l i m t c u hình

• Không đ

c b sót m t c u hình

Có th nói r ng, ph
đ

ng pháp li t kê là ph

c

ng k cu i cùng đ gi i

c m t s bài toán t h p hi n nay. Khó kh n chính c a ph

ng

pháp này chính là s bùng n t h p d n t i s đòi h i l n v không
gian và th i gian th c hi n ch

ng trình. Tuy nhiên cùng v i s phát

tri n c a máy tính đi n t , b ng ph

ng pháp li t kê, nhi u bài toán t

h p đã tìm th y l i gi i. Qua đó, ta c ng nên bi t r ng ch nên dùng
ph

ng pháp li t kê khi không còn m t ph

ng pháp nào khác

tìm ra l i gi i. Chính nh ng n l c gi i quy t các bài toán th c t

không dùng ph

ng pháp li t kê đã thúc đ y s phát tri n c a nhi u

ngành toán h c.

CuuDuongThanCong.com

/>

Chuyên đ

2

§1. NH C L I M T S KI N TH C

IS T H P

Cho S là m t t p h u h n g m n ph n t và k là m t s t nhiên.
G i X là t p các s nguyên d

ng t 1 đ n k: X = {1, 2, …, k}

1.1. CH NH H P L P
M i ánh x f: X → S. Cho t

ng ng v i m i i ∈ X, m t và ch m t ph n t f(i) ∈ S.

c g i là m t ch nh h p l p ch p k c a S.
Nh ng do X là t p h u h n (k ph n t ) nên ánh x f có th xác đ nh qua b ng các giá tr f(1),

f(2), …, f(k).
Ví d : S = {A, B, C, D, E, F}; k = 3. M t ánh x f có th cho nh sau:
i
f(i)

1
E

2
C

3
E

V y có th đ ng nh t f v i dãy giá tr (f(1), f(2), …, f(k)) và coi dãy giá tr này c ng là m t ch nh
h p l p ch p k c a S. Nh ví d trên (E, C, E) là m t ch nh h p l p ch p 3 c a S. D dàng ch ng
minh đ

ng pháp đánh giá kh n ng l a ch n:

c k t qu sau b ng quy n p ho c b ng ph

S ch nh h p l p ch p k c a t p g m n ph n t :
k

An = nk

1.2. CH NH H P KHÔNG L P
Khi f là đ n ánh có ngh a là v i ∀i, j ∈ X ta có f(i) = f(j) ⇔ i = j. Nói m t cách d hi u, khi dãy giá
tr f(1), f(2), …, f(k) g m các ph n t thu c S khác nhau đôi m t thì f đ

c g i là m t ch nh h p

không l p ch p k c a S. Ví d m t ch nh h p không l p (C, A, E):
i
f(i)

1
C

2
A

3
E

S ch nh h p không l p ch p k c a t p g m n ph n t :

A kn = n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) =

n!
(n − k )!

1.3. HOÁN V
Khi k = n. M t ch nh h p không l p ch p n c a S đ

c g i là m t hoán v các ph n t c a S.

Ví d : m t hoán v : (A, D, C, E, B, F) c a S = {A, B, C, D, E, F}
i

f(i)

1
A

2
D

3
C

4
E

5
B

6
F

ý r ng khi k = n thì s ph n t c a t p X = {1, 2, …, n} đúng b ng s ph n t c a S. Do tính
ch t đôi m t khác nhau nên dãy f(1), f(2), …, f(n) s li t kê đ

c h t các ph n t trong S. Nh v y f

là toàn ánh. M t khác do gi thi t f là ch nh h p không l p nên f là đ n ánh. Ta có t

ng ng 1-1

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002

CuuDuongThanCong.com

/>

Bài toán li t kê

3

gi a các ph n t c a X và S, do đó f là song ánh. V y nên ta có th đ nh ngh a m t hoán v c a S là
m t song ánh gi a {1, 2, …, n} và S.
S hoán v c a t p g m n ph n t = s ch nh h p không l p ch p n:
Pn = n!

1.4. T

H P

M t t p con g m k ph n t c a S đ

c g i là m t t h p ch p k c a S.

L y m t t p con k ph n t c a S, xét t t c k! hoán v c a t p con này. D th y r ng các hoán v đó
là các ch nh h p không l p ch p k c a S. Ví d l y t p {A, B, C} là t p con c a t p S trong ví d
trên thì: (A, B, C), (C, A, B), (B, C, A), … là các ch nh h p không l p ch p 3 c a S. i u đó t c là
khi li t kê t t c các ch nh h p không l p ch p k thì m i t h p ch p k s đ
S t h p ch p k c a t p g m n ph n t :
C kn =

A kn
n!

=
k! k!(n − k )!

S t p con c a t p n ph n t :
C 0n + C1n + ... + C nn = 2 n

Lê Minh Hoàng
CuuDuongThanCong.com

/>
c tính k! l n. V y:


Chuyên đ

4

§2. PH

NG PHÁP SINH (GENERATION)

ng pháp sinh có th áp d ng đ gi i bài toán li t kê t h p đ t ra n u nh hai đi u ki n sau

Ph

tho mãn:
•

Có th xác đ nh đ
đ

•

c m t th t trên t p các c u hình t h p c n li t kê. T đó có th bi t

cc u hình đ u tiên và c u hình cu i cùng trong th t đó.

Xây d ng đ

c thu t toán t m t c u hình ch a ph i c u hình cu i, sinh ra đ

c c u hình

k ti p nó.
Ph

ng pháp sinh có th mô t nh sau:

<Xây d ng c u hình đ u tiên>;
repeat
< a ra c u hình đang có>;
<T c u hình đang có sinh ra c u hình k ti p n u còn>;
until <h t c u hình>;

Th t t đi n
Trên các ki u d li u đ n gi n chu n, ng

i ta th

ng nói t i khái ni m th t . Ví d trên ki u s

thì có quan h : 1 < 2; 2 < 3; 3 < 10; …, trên ki u ký t Char thì c ng có quan h 'A' < 'B'; 'C' < 'c'…
Xét quan h th t toàn ph n "nh h n ho c b ng" ký hi u "≤" trên m t t p h p S, là quan h hai
ngôi tho mãn b n tính ch t:
V i ∀a, b, c ∈ S
Tính ph bi n: Ho c là a ≤ b, ho c b ≤ a;
Tính ph n x : a ≤ a
Tính ph n đ i x ng: N u a ≤ b và b ≤ a thì b t bu c a = b.
Tính b c c u: N u có a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c.
Trong tr

ng h p a ≤ b và a ≠ b, ta dùng ký hi u "<" cho g n, (ta ng m hi u các ký hi u nh ≥, >,

kh i ph i đ nh ngh a)

Ví d nh quan h "≤" trên các s nguyên c ng nh trên các ki u vô h

ng, li t kê là quan h th t

toàn ph n.
Trên các dãy h u h n, ng

i ta c ng xác đ nh m t quan h th t :

Xét a = (a1, a2, …, an) và b = (b1, b2, …, bn); trên các ph n t c a a1, …, an, b1, …, bn đã có quan h
th t "≤". Khi đó a ≤ b n u nh
Ho c ai = bi v i ∀i: 1 ≤ i ≤ n.
Ho c t n t i m t s nguyên d

ng k: 1 ≤ k < n đ :

a1 = b1
i h c S ph m Hà N i, 1999-2002
CuuDuongThanCong.com

/>

Bài toán li t kê

5

a2 = b2
…
= bk-1

ak-1

ak = bk
ak+1

< bk+1

Trong tr

ng h p này, ta có th vi t a < b.

Th t đó g i là th t t đi n trên các dãy đ dài n.
Khi đ dài hai dãy a và b không b ng nhau, ng

i ta c ng xác đ nh đ

c th t t đi n. B ng cách

thêm vào cu i dãy a ho c dãy b nh ng ph n t đ c bi t g i là ph n t ∅ đ đ dài c a a và b b ng
nhau, và coi nh ng ph n t ∅ này nh h n t t c các ph n t khác, ta l i đ a v xác đ nh th t t
đi n c a hai dãy cùng đ dài. Ví d :
(1, 2, 3, 4) < (5, 6)
(a, b, c) < (a, b, c, d)
'calculator' < 'computer'

2.1. SINH CÁC DÃY NH PHÂN

DÀI N

M t dãy nh phân đ dài n là m t dãy x = x1x2…xn trong đó xi ∈ {0, 1} (∀i : 1 ≤ i ≤ n).
D th y: m t dãy nh phân x đ dài n là bi u di n nh phân c a m t giá tr nguyên p(x) nào đó n m
trong đo n [0, 2n - 1]. S các dãy nh phân đ dài n = s các s nguyên ∈ [0, 2n - 1] = 2n. Ta s l p
ch

ng trình li t kê các dãy nh phân theo th t t đi n có ngh a là s li t kê l n l

t các dãy nh

phân bi u di n các s nguyên theo th t 0, 1,…, 2n-1.
Ví d : Khi n = 3, các dãy nh phân đ dài 3 đ
p(x)
x

0
000

1
001

2
010

c li t kê nh sau:
3
011

4
100

5
101

6
110

7
111

Nh v y dãy đ u tiên s là 00…0 và dãy cu i cùng s là 11…1. Nh n xét r ng n u dãy x = (x1,
x2, …, xn) là dãy đang có và không ph i dãy cu i cùng thì dãy k ti p s nh n đ

c b ng cách c ng

thêm 1 ( theo c s 2 có nh ) vào dãy hi n t i.
Ví d khi n = 8:

Dãy đang có:
c ng thêm 1:

10010000

Dãy m i:

10010001

+1

Dãy đang có:
c ng thêm 1:

10010111

Dãy m i:

10011000

+1

Nh v y k thu t sinh c u hình k ti p t c u hình hi n t i có th mô t nh sau: Xét t cu i
dãy v đ u (xét t hàng đ n v lên), g p s 0 đ u tiên thì thay nó b ng s 1 và đ t t t c các ph n
t phía sau v trí đó b ng 0.
i := n;
while (i > 0) and (xi = 1) do i := i - 1;
if i > 0 then
begin
Lê Minh Hoàng

CuuDuongThanCong.com

/>

Chuyên đ

6
xi := 1;
for j := i + 1 to n do xj := 0;
end;

D li u vào (Input): nh p t file v n b n BSTR.INP ch a s nguyên d

ng n ≤ 30

K t qu ra (Output): ghi ra file v n b n BSTR.OUT các dãy nh phân đ dài n.
BSTR.INP
3

BSTR.OUT
000
001
010
011
100
101
110
111

P_1_02_1.PAS * Thu t toán sinh li t kê các dãy nh phân đ dài n

program Binary_Strings;
const
InputFile = 'BSTR.INP';
OutputFile = 'BSTR.OUT';
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n, i: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
FillChar(x, SizeOf(x), 0); {C u hình ban đ u x1 = x2 = … = xn := 0}
repeat {Thu t toán sinh}
for i := 1 to n do Write(f, x[i]); {In ra c u hình hi n t i}
WriteLn(f);
i := n; {xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p s 0 ho c khi i = 0 thì d ng}
while (i > 0) and (x[i] = 1) do Dec(i);
if i > 0 then {Ch a g p ph i c u hình 11…1}
begin
x[i] := 1; {Thay xi b ng s 1}
FillChar(x[i + 1], (n - i) * SizeOf(x[1]), 0); { t xi + 1 = xi + 2 = … = xn := 0}
end;
until i = 0; { ã h t c u hình}
Close(f);
end.

2.2. LI T KÊ CÁC T P CON K PH N T

Ta s l p ch

ng trình li t kê các t p con k ph n t c a t p {1, 2, …, n} theo th t t đi n

Ví d : v i n = 5, k = 3, ta ph i li t kê đ 10 t p con:
1.{1, 2, 3} 2.{1, 2, 4} 3.{1, 2, 5} 4.{1, 3, 4} 5.{1, 3, 5}
6.{1, 4, 5} 7.{2, 3, 4} 8.{2, 3, 5} 9.{2, 4, 5} 10.{3, 4, 5}

Nh v y t p con đ u tiên (c u hình kh i t o) là {1, 2, …, k}.
C u hình k t thúc là {n - k + 1, n - k + 2, …, n}.
Nh n xét: Ta s in ra t p con b ng cách in ra l n l

t các ph n t c a nó theo th t t ng d n. T đó,

ta có nh n xét n u x = {x1, x2, …, xk} và x1 < x2 < … < xk thì gi i h n trên (giá tr l n nh t có th
nh n) c a xk là n, c a xk-1 là n - 1, c a xk-2 là n - 2…

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002
CuuDuongThanCong.com

/>

Bài toán li t kê

7

C th : gi i h n trên c a xi = n - k + i;
Còn t t nhiên, gi i h n d

i c a xi (giá tr nh nh t xi có th nh n) là xi-1 + 1.

Nh v y n u ta đang có m t dãy x đ i di n cho m t t p con, n u x là c u hình k t thúc có ngh a là
t t c các ph n t trong x đ u đã đ t t i gi i h n trên thì quá trình sinh k t thúc, n u không thì ta
ph i sinh ra m t dãy x m i t ng d n tho mãn v a đ l n h n dãy c theo ngh a không có m t t p
con k ph n t nào chen gi a chúng khi s p th t t đi n.
Ví d : n = 9, k = 6. C u hình đang có x = {1, 2, 6, 7, 8, 9}. Các ph n t x3 đ n x6 đã đ t t i gi i
h n trên nên đ sinh c u hình m i ta không th sinh b ng cách t ng m t ph n t trong s các x6, x5,
x4, x3 lên đ

c, ta ph i t ng x2 = 2 lên thành x2 = 3.

c nh ng ch a tho mãn tính ch t v a đ l n mu n v y

hình này đã tho mãn l n h n c u hình tr
ta l i thay x3, x4, x5, x6 b ng các gi i h n d

Ta đ

•

x3 := x2 + 1 = 4

•

x4 := x3 + 1 = 5

•

x5 := x4 + 1 = 6

•

x6 := x5 + 1 = 7

c c u hình m i là x = {1, 3, 6, 7, 8, 9}. C u

i c a nó. T c là:

c c u hình m i x = {1, 3, 4, 5, 6, 7} là c u hình k ti p. N u mu n tìm ti p, ta l i nh n th y

r ng x6 = 7 ch a đ t gi i h n trên, nh v y ch c n t ng x6 lên 1 là đ

c x = {1, 3, 4, 5, 6, 8}.

V y k thu t sinh t p con k ti p t t p đã có x có th xây d ng nh sau:
Tìm t cu i dãy lên đ u cho t i khi g p m t ph n t xi ch a đ t gi i h n trên n - k + i.
i := n;
while (i > 0) and (xi = n - k + i) do i := i - 1;

(1, 2, 6, 7, 8, 9);

N u tìm th y:
if i > 0 then

T ng xi đó lên 1.
xi := xi + 1;

(1, 3, 6, 7, 8, 9)

t t t c các ph n t phía sau xi b ng gi i h n d

i:

for j := i + 1 to k do xj := xj-1 + 1;

(1, 3, 4, 5, 6, 7)
Input: file v n b n SUBSET.INP ch a hai s nguyên d

ng n, k (1 ≤ k ≤ n ≤ 30) cách nhau ít nh t

m t d u cách
Output: file v n b n SUBSET.OUT các t p con k ph n t c a t p {1, 2, …, n}

Lê Minh Hoàng
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuyên đ

8
SUBSET.INP
53

SUBSET.OUT
{1, 2, 3}
{1, 2, 4}
{1, 2, 5}
{1, 3, 4}
{1, 3, 5}

{1, 4, 5}
{2, 3, 4}
{2, 3, 5}
{2, 4, 5}
{3, 4, 5}

P_1_02_2.PAS * Thu t toán sinh li t kê các t p con k ph n t
program Combination;
const
InputFile = 'SUBSET.INP';
OutputFile = 'SUBSET.OUT';
max = 30;
var
x: array[1..max] of Integer;
n, k, i, j: Integer;
f: Text;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n, k);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
for i := 1 to k do x[i] := i; {x1 := 1; x2 := 2; … ; x3 := k (C u hình kh i t o)}
repeat
{In ra c u hình hi n t i}
Write(f, '{');
for i := 1 to k - 1 do Write(f, x[i], ', ');
WriteLn(f, x[k], '}');
{Sinh ti p}
i := k; {xi là ph n t cu i dãy, lùi d n i cho t i khi g p m t xi ch a đ t gi i h n trên n - k + i}
while (i > 0) and (x[i] = n - k + i) do Dec(i);

if i > 0 then {N u ch a lùi đ n 0 có ngh a là ch a ph i c u hình k t thúc}
begin
Inc(x[i]); {T ng xi lên 1, t các ph n t đ ng sau xi b ng gi i h n d i c a nó}
for j := i + 1 to k do x[j] := x[j - 1] + 1;
end;
until i = 0; {Lùi đ n t n 0 có ngh a là t t c các ph n t đã đ t gi i h n trên - h t c u hình}
Close(f);
end.

2.3. LI T KÊ CÁC HOÁN V
Ta s l p ch

ng trình li t kê các hoán v c a {1, 2, …, n} theo th t t đi n.

Ví d v i n = 4, ta ph i li t kê đ 24 hoán v :
1.1234 2.1243 3.1324 4.1342 5.1423 6.1432
7.2134 8.2143 9.2314 10.2341 11.2413 12.2431
13.3124 14.3142 15.3214 16.3241 17.3412 18.3421
19.4123 20.4132 21.4213 22.4231 23.4312 24.4321

Nh v y hoán v đ u tiên s là (1, 2, …, n). Hoán v cu i cùng là (n, n-1, … , 1).
Hoán v s sinh ra ph i l n h n hoán v hi n t i, h n th n a ph i là hoán v v a đ l n h n hoán v
hi n t i theo ngh a không th có m t hoán v nào khác chen gi a chúng khi s p th t .
Gi s hoán v hi n t i là x = (3, 2, 6, 5, 4, 1), xét 4 ph n t cu i cùng, ta th y chúng đ
d n, đi u đó có ngh a là cho dù ta có hoán v 4 ph n t này th nào, ta c ng đ

c x p gi m

c m t hoán v bé

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002
CuuDuongThanCong.com

/>

Bài toán li t kê

9

h n hoán v hi n t i!. Nh v y ta ph i xét đ n x2 = 2, thay nó b ng m t giá tr khác. Ta s thay
b ng giá tr nào?, không th là 1 b i n u v y s đ
3 r i (ph n t sau không đ

c hoán v nh h n, không th là 3 vì đã có x1 =

c ch n vào nh ng giá tr mà ph n t tr

c đã ch n). Còn l i các giá tr

4, 5, 6. Vì c n m t hoán v v a đ l n h n hi n t i nên ta ch n x2 = 4. Còn các giá tr (x3, x4, x5, x6)
s l y trong t p {2, 6, 5, 1}. C ng vì tính v a đ l n nên ta s tìm bi u di n nh nh t c a 4 s này
gán cho x3, x4, x5, x6 t c là (1, 2, 5, 6). V y hoán v m i s là (3, 4, 1, 2, 5, 6).
(3, 2, 6, 5, 4, 1) → (3, 4, 1, 2, 5, 6).
Ta có nh n xét gì qua ví d này: o n cu i c a hoán v đ

c x p gi m d n, s x5 = 4 là s nh nh t

trong đo n cu i gi m d n tho mãn đi u ki n l n h n x2 = 2. N u đ i ch x5 cho x2 thì ta s đ
= 4 và đo n cu i v n đ

c s p x p gi m d n. Khi đó mu n bi u di n nh nh t cho các giá tr

trong đo n cu i thì ta ch c n đ o ng
Trong tr

c x2

c đo n cu i.

ng h p hoán v hi n t i là (2, 1, 3, 4) thì hoán v k ti p s là (2, 1, 4, 3). Ta c ng có th

coi hoán v (2, 1, 3, 4) có đo n cu i gi m d n, đo n cu i này ch g m 1 ph n t (4)
V y k thu t sinh hoán v k ti p t hoán v hi n t i có th xây d ng nh sau:
•

Xác đ nh đo n cu i gi m d n dài nh t, tìm ch s i c a ph n t xi đ ng li n tr

c đo n cu i

đó. i u này đ ng ngh a v i vi c tìm t v trí sát cu i dãy lên đ u, g p ch s i đ u tiên th a
mãn xi < xi+1. N u toàn dãy đã là gi m d n, thì đó là c u hình cu i.
i := n - 1;
while (i > 0) and (xi > xi+1) do i := i - 1;

•

Trong đo n cu i gi m d n, tìm ph n t xk nh nh t tho mãn đi u ki n xk > xi. Do đo n
cu i gi m d n, đi u này th c hi n b ng cách tìm t cu i dãy lên đ u g p ch s k đ u tiên
tho mãn xk > xi (có th dùng tìm ki m nh phân).

k := n;
while xk < xi do k := k - 1;

•

i ch xk và xi, l t ng

c th t đo n cu i gi m d n (t xi+1 đ n xk) tr thành t ng d n.

Input: file v n b n PERMUTE.INP ch a s nguyên d

ng n ≤ 12

Output: file v n b n PERMUTE.OUT các hoán v c a dãy (1, 2, …, n)
PERMUTE.INP
3

PERMUTE.OUT
123
132
213
231
312
321

P_1_02_3.PAS * Thu t toán sinh li t kê hoán v
program Permutation;
const
InputFile = 'PERMUTE.INP';
OutputFile = 'PERMUTE.OUT';

max = 12;
var
n, i, k, a, b: Integer;
x: array[1..max] of Integer;
f: Text;
Lê Minh Hoàng
CuuDuongThanCong.com

/>

Chuyên đ

10

procedure Swap(var X, Y: Integer); {Th t c đ o giá tr hai tham bi n X, Y}
var
Temp: Integer;
begin
Temp := X; X := Y; Y := Temp;
end;
begin
Assign(f, InputFile); Reset(f);
ReadLn(f, n);
Close(f);
Assign(f, OutputFile); Rewrite(f);
for i := 1 to n do x[i] := i; {Kh i t o c u hình đ u: x1 := 1; x2 := 2; …, xn := n}
repeat
for i := 1 to n do Write(f, x[i], ' '); {In ra c u hình hoán v hi n t i}
WriteLn(f);
i := n - 1;

while (i > 0) and (x[i] > x[i + 1]) do Dec(i);
if i > 0 then {Ch a g p ph i hoán v cu i (n, n-1, … ,1)}
begin
k := n; {xk là ph n t cu i dãy}
while x[k] < x[i] do Dec(k); {Lùi d n k đ tìm g p xk đ u tiên l n h n xi }
Swap(x[k], x[i]); { i ch xk và xi}
a := i + 1; b := n; {L t ng c đo n cu i gi m d n, a: đ u đo n, b: cu i đo n}
while a < b do
begin
Swap(x[a], x[b]); { i ch xa và xb}
Inc(a); {Ti n a và lùi b, đ i ch ti p cho t i khi a, b ch m nhau}
Dec(b);
end;
end;
until i = 0; {Toàn dãy là dãy gi m d n - không sinh ti p đ c - h t c u hình}
Close(f);
end.

Bài t p:
Bài 1
Các ch
ch

ng trình trên x lý không t t trong tr

ng h p t m th

ng trình li t kê dãy nh phân c ng nh trong ch

v i ch

ng, đó là tr

ng h p n = 0 đ i v i

ng trình li t kê hoán v , tr

ng h p k = 0 đ i

ng trình li t kê t h p, hãy kh c ph c đi u đó.

Bài 2
Li t kê các dãy nh phân đ dài n có th coi là li t kê các ch nh h p l p ch p n c a t p 2 ph n t {0,
1}. Hãy l p ch

ng trình:

Nh p vào hai s n và k, li t kê các ch nh h p l p ch p k c a {0, 1, …, n -1}.
G i ý: thay h c s 2 b ng h c s n.
Bài 3
Hãy li t kê các dãy nh phân đ dài n mà trong đó c m ch s "01" xu t hi n đúng 2 l n.
Bài 4.
Nh p vào m t danh sách n tên ng

i. Li t kê t t c các cách ch n ra đúng k ng

i trong s n ng

i

đó.

i h c S ph m Hà N i, 1999-2002
CuuDuongThanCong.com

/>

Bài toán li t kê

11

G i ý: xây d ng m t ánh x t t p {1, 2, …, n} đ n t p các tên ng

i. Ví d xây d ng m t m ng

Tên: Tên[1] := 'Nguy n v n A'; Tên[2] := 'Tr n th B';…. sau đó li t kê t t c các t p con k ph n t
c a t p {1, 2, …, n}. Ch có đi u khi in t p con, ta không in giá tr s {1, 3, 5} mà thay vào đó s in
ra {Tên[1], Tên [3], Tên[5]}. T c là in ra nh c a các giá tr tìm đ

c qua ánh x

Bài 5
Li t kê t t c các t p con c a t p {1, 2, …, n}. Có th dùng ph

ng pháp li t kê t p con nh trên

ho c dùng ph

ng pháp li t kê t t c các dãy nh phân. M i s 1 trong dãy nh phân t

ng ng v i

m t ph n t đ

c ch n trong t p. Ví d v i t p {1, 2, 3, 4} thì dãy nh phân 1010 s t

ng ng v i

t p con {1, 3}. Hãy l p ch

ng trình in ra t t c các t p con c a {1, 2, …, n} theo hai ph

ng pháp.

Bài 6
Nh p vào danh sách tên n ng

i, in ra t t c các cách x p n ng

i đó vào m t bàn

Bài 7
Nh p vào danh sách n b n nam và n b n n , in ra t t c các cách x p 2n ng

i đó vào m t bàn tròn,

m i b n nam ti p đ n m t b n n .
Bài 8
Ng

i ta có th dùng ph

ng pháp sinh đ li t kê các ch nh h p không l p ch p k. Tuy nhiên có

m t cách khác là li t kê t t c các t p con k ph n t c a t p h p, sau đó in ra đ k! hoán v c a nó.
Hãy vi t ch

ng trình li t kê các ch nh h p không l p ch p k c a {1, 2, …, n} theo c hai cách.

Bài 9
Li t kê t t c các hoán v ch cái trong t MISSISSIPPI theo th t t đi n.
Bài 10
Li t kê t t c các cách phân tích s nguyên d

ng n thành t ng các s nguyên d

ng, hai cách phân

tích là hoán v c a nhau ch tính là m t cách.

Cu i cùng, ta có nh n xét, m i ph

ng pháp li t kê đ u có u, nh

sinh c ng không n m ngoài nh n xét đó. Ph

ng pháp sinh không th sinh ra đ

p n u nh ch a có c u hình th p - 1, ch ng t r ng ph
h p li t kê toàn b m t s l

c đi m riêng và ph

ng pháp

c c u hình th

ng pháp sinh t ra u đi m trong tr

ng nh c u hình trong m t b d li u l n thì l i có nh

ng

c đi m và

ít tính ph d ng trong nh ng thu t toán duy t h n ch . H n th n a, không ph i c u hình ban đ u
lúc nào c ng d tìm đ

c, không ph i k thu t sinh c u hình k ti p cho m i bài toán đ u đ n gi n

nh trên (Sinh các ch nh h p không l p ch p k theo th t t đi n ch ng h n). Ta sang m t chuyên
m c sau nói đ n m t ph

ng pháp li t kê có tính ph d ng cao h n, đ gi i các bài toán li t kê

ph c t p h n đó là: Thu t toán quay lui (Back tracking).

Lê Minh Hoàng
CuuDuongThanCong.com

/>