Nội suy đa thức định lý và áp dụng

NGUYỄN VĂN MẬU
■

NỘI SUY DA THỨD
ĐỊNH LÝ VA AP dụng

NHÀ XUÁT BẢN ĐẠI HỌC QUỔC GIA HÀ NỘI


Mục lục
M ờ đ ầ u ..........................................................................................
C hư ơ ng 1. K iên thức chuân b ị
1.1

1.2

1.3

7
11

Không gian tuyến tính. Toán tử tuyến t í n h .............

11

1.1.1

Không gian tuyến t ừ ủ ì .....................................

15

1.1.2

Toán tử tuyến t ứ ì h ............................................

18

1.1.3

Không gian riêng. Toán tử V olterra..............

24

Toán tử khả nghịch p h ả i ...............................................

26

1.2.1

Toán tử ban đ ầ u ...................................................

35

1.2.2

C ông thức Taylor, Taylor-Gontcharov. . . .

48

1.2.3

Các ví d ụ ................................................................

52

Một số tính chất của toán tử khả nghịch trái . . . .

C h ư ơ n g 2. M ột số dạng khai triển và đ ồn g nhất thức

62
69

2.1

Một số tính chất cơ bản của hàm s ố ...........................

69

2.2

Một số đồn g nhất thức dạng đại số - lượng giác . .

78

2.3

Tính toán trên tập số nguyên và đa thức nguyên .

99

2.4

Biểu diễn m ột số lớp hàm s ố ........................................

120

C hư ơng 3. Các bài toán n ội su y cổ đ iển

137

3.1

Khai triển và nội su y T a y l o r ........................................

139

3.2

Bài toán nội suy L a g r a n g e ...........................................

161

3.3

N ội suy Nevvton và khai triển Taylor - Gontcharov

172


4

Nội suy đa thức ...

3.4

Bài toán nội suy H e r m ite ................................................

175

3.5

Bài toán nội suy Lagrange - N e w t o n ........................

186

3.6

Bài toán nội suy N ew ton - H e r m it e ............................

188

C hương 4. N ội su y theo yếu tố h ình học và n gu yên hàm
4.1

N ội suy theo các nút là điểm d ừ n g của đồ thị . .

4.2

H àm số chuyển đổi các tam giác

4.3

Biểu diễn đa thức và nguyên hàm của nó

4.4

D ạng nội suy và tính chất hàm lồi, lõm bậc cao .

193
. 193

................................
...............

198
212

.

C hương 5. N ội suy bất đẳng thức

221
243

5.1

N ội suy bất đẳng thức bậc hai trên m ột đoạn . .

. 243

5.2

Tam thức bậc tuỳ ý và hàm phân thức chính quy

. 255

5.3

Chuyển đổi và điều chỉnh các bộ số theo thứ tự
dần đều ............................................................................

261

5.4

Một số mở rộng của định lý J e n s e n ..........................

272

5.5

N ội suy bất đẳng thức trong lớp hàm đơn điệu . .

284

C hương 6. ứ n g dụ n g nội suy trong xấp xỉ hàm số

311

6.1

Tính chất cơ bản của đa thức lượng g i á c ...................

311

6.2

Đa thức C h e b y s h e v ...........................................................

317

6.3

ư ớc lượng đa thức

321

6.4

Xấp xỉ hàm số theo đa thức nội s u y ..........................

333

6.5

Một số bài toán về đa thức nhận giá trị nguyên . .

338

...........................................................

C hương 7. Bài toán nội su y cô đ iển tổng quát

355

7.1

Bài toán nội suy cổ điển tổng quát

............................

355

7.2

Bài toán nội suy Taylor mở r ộ n g ..................................

365

7.3

Bài toán nội suy Lagrange mở r ộ n g ............................

367

7.4

Bài toán nội suy Nevvton m ở r ộ n g ...............................

370

7.5

Bài toán nội suy H erm ite m ở rộng

373

............................


5

Mục lục

C h ư ơ n g 8. N g u y ên hàm sơ cấp của hàm hữu tỷ
8.1

8.2

8.3

377

Định nghĩa và các tính chất của hàm sơ cấp . . . .

377

8.1.1

N gu yên hàm của các hàm số hữu tỉ . . . .

382

8.1.2

N gu yên hàm

của hàm số đại s ố ..................

383

8.1.3

Tích phân e l l i p t i c ...............................................

384

8.1.4

Đ ịnh lý Liouville về sự tồn tại nguyên hàm
sơ cấp ...................................................................

387

Một số thuật toán tìm nguyên hàm của hàm hữu tỉ 397
8.2.1

Thuật toán L a g r a n g e ........................................

397

8.2.2

Thuật toán H erm ite

........................................

401

8.2.3

Thuật toán H o r o w it z ........................................

413

Một số ví dụ áp d ụ n g ....................................................

419

8.3.1

N gu yên hàm của m ột số lớp hàm tổng quát 419

8.3.2

M ột số hàm số không có nguyên hàm sơ cấp 427

8.3.3

Tích phân của các hàm số n g ư ợ c ................

C h ư ơ n g 9. N ội su y trong dãy số

435
439

9.1

Không gian và đại số các dãy s ố .................................

439

9.2

Đạo hàm và nguyên hàm của dãy s ố .......................

443

9.3

Phép tính sai phân và các tính chất cơ b ả n .............

445

9.4

Một số đẳng thức trong biến đổi dãy s ố ................

449

9.5 Một số bài toán liên quan đến nội suy trong
C h ư ơ n g 10. Các bài toán nội
10.1

dãy số

su y trừu tư ợng

470
487

Tính chất của toán tử khả nghịch p h ả i ..................

487

10.1.1 Toán tử ban đ ầ u ..................................................

492

10.1.2 Các toán tử m ủ, sin, cosin và nghịch đảo
phải V o lt e r a ........................................................

499

10.1.3 N hận xét về toán tử khả nghịch trái

. ...

503

10.2

Công thức Taylor và T a y lo r-G o n tch a ro v...............

504

10.3

Các ph ép toán trên nghịch đảo phải Volterra

511

.. .


6

Nội su ỵ đa thức ...

10.4

Đa thức sinh

bởi toán tử khả nghịch p h ả i ........

515

10.5

Các bài toán

nội suy trừu t ư ợ n g ...........................

524

10.6

Các bài toán

biên trừu tượng

..............................

525

.................................

525

10.6.2 Bài toán biên hỗn hợp thứ n h ấ t ....................

535

10.6.1 Bài toán giá trị ban đâu

Tài liê u

tham k h ảo

549

Mở đầu
C huyên đề về các bài toán nội suy đa thức và n h ữ n g vấn đề
liên quan đến nó là m ột phần quan trọng của đại số và giải tích
toán học. Các sinh viên và học viên cao học thư ờng phải đ ối m ặt
với nhiều dạng toán loại khó liên quan đến chuyên đ ề này. Các
bài toán nội suy có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là
những đối tượng đ ể nghiên cứu mà còn đ ó n g vai trò n h ư là m ột
công cụ đắc lực của các m ô hm h liên tục củ n g nh ư các m ô hình
rời rạc của giải tích trong lý thuyết phư ơng trình, lý thuyết xấp
xỉ, lý thuyết biểu d iễ n ,...
Trong hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, O lym pic Toán
phổ thông, O lym pic sinh viên quốc tế và O lym pic sinh viên quốc
gia giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan
đến nội suy (thường mới chỉ dừ ng lại ở nội su y Lagrange và khai
triển Taylor) rất hay được đề cập và thuộc loại khó và rất khó.
Các bài toán về khai triển, đồng nhất thức, ước lư ợng và túứì giá
trị cực trị của các tổng, tích củng như các bài toán xác định giới
hạn của m ột biểu thức cho trước thường có m ối quan hệ ít nhiều
đến các bài toán nội suy tương ứng.
Các bài toán nội suy và đặc biệt các bài tập về ứ n g d ụ n g côn g
thức nội suy thường ít được đề cập ở các giáo trình cơ bản và sách
tham khảo về đại số và giải tích toán học. Đ ây là m ột chuyên đề
rất cần cho giáo viên hệ C huyên Toán và củ n g là ch u yên đề cần
nâng cao bậc sau đại học cho các học viên cao học và n gh iên cứu
sinh.
Đ ể đáp ứ ng nhu cầu hoàn chỉnh hệ th ốn g các ch u yên đề bậc

8

Nội sưỵ đa thức ...

sau đại học, chúng tôi viết cuốn sách này nhằm cung cấp m ột tài
liệu cơ bản về các vấn đề liên quan đến nội suy (trừu tượng và
cổ điển) và m ột số vấn đề ứng dụng liên quan. Đ ồn g thời^ củng
cho phân loại m ột số dạng toán về nội suy bất đẳng thức và thuật
toán giải chúng.
Cuốn sách chuyên đề này là giáo trình d ùng cho sinh viên
đại học, sau đại học và các giáo viên bậc trung học phổ thông
thuộc chuyên ngành Toán học và ứng dụng Toán học mà tác giả
đã giảng dạy cho các học viên cao học chuyên ngành Giải tích,
Phương pháp toán sơ cấp, Toán học tính toán của Đại học Q uốc
gia Hà N ội, Đại học Đà N ang, Đại học Q uy N hơn, Đại học Thái
N guyên, Đại học H ồng Đ ứ c ,...
Các chuyên đề được trmh bày m ột cách hệ thống dưới dạng
đơn giản, chủ yếu dựa vào các phương pháp sơ cấp (trừ ra các
chương về nội suy trừu tượng) đ ể dễ tiếp cận các dạng toán mới.
Cuốn sách gồm phần m ở đầu và 10 chương.
Chươn<^ 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Một số dạng khai triển và đồng nhất thức đa thức
Chương 3. Các bài toán nội suy cổ điển
Chương 4. N ội suy theo yếu tố hình học và nguyên hàm
Chương 5. N ội suy bất đẳng thức
Chương 6. ú n g dụng nội suy trong xấp xỉ hàm số
Chương 7. Bài toán nội suy cổ điển tổng quát
Chương 8. N guyên hàm sơ cấp của hàm hữu tỷ
Chương 9. N ội suy trong dãy số
Chương 10. Các bài toán nội su y trừu tượng

N goài ra, chúng tôi củng đưa vào xét m ột số vấn đề liên quan
đến hệ thống ứng dụng các bài toán nội suy như là m ột cách tiếp


Mở đầu

9

cận của phương pháp nhằm giúp độc giả hiểu sâu hơn cơ sở và

cấu trúc của lý thuyết các bài toán nội suy.
Một số dạng ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề ra của các
kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và O lym pic quốc tế. Một số các bài
toán m inh họa khác được trích từ các tạp chí Kvant, M athematica,
Crux, các sách giáo khoa và sách giáo trình cơ bản về giải tích, các
đề thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế cũng như m ột số đề thi
O lym pic sinh viên trong những năm gần đây.
Trong cuốn sách này, có trình bày một số kết quả mới chưa
có trong các sách hiện hành, chủ yếu trích từ kết quả của tác giả
và đồng nghiệp tại các sem inar khoa học liên trường tại Đại học
Khoa học Tự nhiên Hà N ội và m ột số báo cáo khoa học đăng
trong Kỷ yếu H ội nghị khoa học "Các chuyên đề Toán chọn lọc
của H ệ trung học phổ thông Chuyên" (xem [1]-[16]), nên đòi hỏi
độc giả cũng phải tốn khá nhiều thời gian tìm hiểu thì mới lĩnh
hội được đầy đủ ý tứ và cách thức tiếp cận của phương pháp. Tuy
nhiên, bạn đọc củng có thể bỏ qua các đề m ục mới để tập trung
đọc các phần có nội dung quen thuộc trước rồi sau đó hãy quay
lại phần kiến thức nâng cao.
N hân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS N guyễn

Văn N ội, Hiệu trưởng trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học
Q uốc gia Hà N ội, PGS.TSKH Vũ H oàng Linh, Phó hiệu trvrởng
trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Q uốc gia Hà N ội và
PGS.TS N gu yễn Hữu Nhân, Trưởng ph òng Sau đại học, trường
Đại học Khoa học Tự nhiên đã hết sức ủng hộ trong suốt hai năm
qua đ ể cuốn giáo trình này được hoàn thành trong năm 2016 này.
Hà N ội, 10 tháng 04 năm 2016
N g u y ễn Văn M ậu


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
C hương này trình bày ngắn gọn các kiến thức sơ đẳng cần sử
dụng cho các bài toán nội suy ở các chương sau.

1.1

Không gian tuyến tính. Toán tử tuyến
tính

Trước hết, ta nhắc lại m ột số kiến thức cơ bản liên quan đến
nhóm và vành. Giả sử G là m ột tập hợp. M ỗi ánh xạ
o : G X G -> G
được gọi là một luật hợp thành (hay m ột phép toán hai ngôi) trên G.
Ảnh của cặp phần tử { x , ỵ ) e G X G bởi ánh xạ o sẽ được kí hiệu
là X o y và được gọi là tích hay hợp thành của X và y.
Đ ịn h nghĩa 1,1 (N hóm ). M ột nhóm là m ột cặp (G, o), trong đó
G là m ột tập hợp không rỗng và o là m ột luật hợp thành trên G,
thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(G l) Tính kết hợp;

(G2) Tồn tại Ể e G, được gọi là phần tử trung lập, có tứih chất
x o e = e o x = x, với m ọi X e G;
(G3) Với m ọi X e G, tồn tại phần tử x' e G, được gọi là nghịch


12

Chuơn>ị ì. Kiến thức chuẩn bị

đ ả o c ủ a X, s a o c h o X o x ' — x ' o X — e.

M ệnh đề 1.1. Giả sử (G, o) là một nhóm . Khi đó:
(i) Phần tử trung lập của G là duy nhất.
(ii) Với m ọi X G G, phần tử nghịch đảo của X là d u y nhất.
N hận xét 1.1. Luật hợp thành của một nhóm củng thường được
kí hiệu bởi các dấu
__ Khi luật hợp thành được kí hiệu bởi
hợp thành của cặp phần tử (x ,y ) e G X G được ký hiệu là x.ỵ
hay đơn giản x ỵ và được gọi là tích của X và y. Phần tử trung lập
của nhóm được gọi là phần tử đơn vị, kí hiệu e. Phần tử nghịch
đảo của X được kí hiệu là
Khi luật hợp thành được kí hiệu bởi + , hợp thành của cặp
phần tử (x ,y ) e G X G được ký hiệu là X + 1/ và được gọi là
tổng của X và I/. Phần tử trung lập của nhóm được gọi là phần tử
không, kí hiệu 0. Phần tử nghịch đảo của X được gọi là phần tử
đối, kí hiệu là (^ x ).
M ệnh đề 1.2 (Luật giản ước). Giả sử G là m ột nhóm (với phép
hợp thành tlieo lối nhân). Khi đó, với m ọi a, b, c G G , a c = bc kéo
theo a - b, và ca = cb kéo theo a = b.
M ệnh đề 1.3. Giả sử tập G không rỗng được trang bị m ột phép

nhân kết hợp, sao cho với m ọi a ,b ^ G các phương trình ax — b
và I/ÍỈ = b đều có nghiệm X, I/ trong G. Khi đó G là m ột nhóm .
Đ ịn h nghĩa 1.2 (N hóm giao hoán). N hóm (G, o) được gọi là ^iao
hoán (hay Abeỉ) nếu
X o I/ = I/ o X, với mọi X, I/ G G.
Từ đây về sau, nếu không nói gì, luật hợp thành trong một
nhóm tùy ý thường được kí hiệu theo lối nhân
Còn luật hợp
thành trong m ột nhóm A bel thường được kí hiệu theo lối cộng

Đ ịn h nghĩa 1.3. Giả sử G là m ột nhóm. Một tập con không rỗng
s c G được gọi là m ột nhóm con của G nếu s khép kín đối với


l . ì Không ‘Ị Ìan tuyến tính. Toán tử tuyến tính

13

luật hợp thành trong G (tức là X o 1/ G s với m ọi x , ỵ e S) và khép
kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là
G s với mọi
.T e S).
Khi đó, s được trang bị luật hợp thành, là thu hẹp của luật
hợp thành trong G. Với phép toán này s lập thành m ột nhóm .
N ếu M , N là các tập của nhóm G, ta đặt M o N = { x o y : x e
M , ỵ G N }. N ếu G là m ột nhóm Abel thì tập M + N được gọi
là tổng đại số của các tập M và N . Tổng {x } + M được viết tắt là
.T + M.
Đ ịn h nghĩa 1.4 (Vành). Ta gọi m ột vành là m ỗi tập hợp V
(ữ

cùng với hai phép toán hai ngôi, gồm phép cộng + : V X V ^ V
xác định bởi ( x , y ) I—> X + y, và phép nhân ■: V X V
V xác
định bởi {x, y)
X ■y, thỏa m ãn ba điều kiện sau đây:
(VI) V Va m ột nhóm Abel đối với phép cộng;
(V2) Phép nhân có tính kết hợp;
(V3) Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng
{x + ỵ ) ■z = X ■z + y ■z, z ■{x + y) = z ■X + z ■y, y x , ỵ , z e y .

Đ ịn h nghĩa 1.5. Giả sử V là m ột vành. M ột tập con không rỗng
s c V được gọi là m ột vành con của V nếu s là m ột nhóm con
của nhóm cộng V và khép kín đối với phép nhân, tức là với mọi
,v, y e s kéo theo X•y e s.
Khi đó, s củng là m ột vành với hai phép toán là hạn chế của
các phép toán tương ứng của V lên s.
N ếu M, N là các tập của vành V, ta đặt M - N = { x - i / : x e
M , y e N } . Tập M ■N được gọi là tích đại số của các tập M và N.
Đ ể cho gọn, ta viết x M = {x } ■M, M x = M { x ) , trong đó M c V
và ,t e V.
Đ ịn h nghĩa 1.6. Vành V được gọi là giao hoán nếu phép nhân của
nó giao hoán. Vành V được gọi là có đơn vị nếu phép nhân của nó
có đơn vị, tức là có phần tử 1 e V sao cho ĩ x — x ĩ = X, Vx e V.
Phần tử đơn vị của vành nếu tồn tại là d uy nhất vì nếu 1 và r
đều là đơn vị của V thì 1 = 1.1' = 1'.
Ta nhắc lại m ột số tính chất sơ đẳng của vành.


14

Chương ĩ. Kiến thức chuẩn bị

Giả sử V là m ột vành. Khi đó
T ính chất 1.1.
1. o.x = ;c.O = 0,
G V, nếu V có đơn vị 1 thì 1=0 khi và chỉ khi
v = {0}.
2. { - x ) y = x { - y ) = - { x y ) , y x , ỵ e V.
3. ( - x ) ( - y ) = x y ) , \ i x , y e V.
4. x { y - z ) = x y - xz, {x - y ) z = x z - y z , ^ x , y , z G V.

5. (Xi + ... + xl)(yi + ... + y„) = LĨLi Ểỉ'=i Xiỵịyx„yị e V.
6. N ếu V là m ột vành giao hoán thì

(x + y ) ” = f ; c ' x y - ' , v x , y e V , n e n .
(= 0

Cho X là m ột phần tử của vành V có đơn vị 1. N ếu tồn tại
phần tử Xr e V (tương ứng X/ Ễ V) thỏa mãn điều kiện X ■Xr = \
(tương ứng Xị ■X = \ ) thì phần tử X được gọi là khả nghịch phải
(tương ứng khả nghịch trái). N ếu phần tử X khả nghịch phải và
khả nghịch trái thì nó được gọi là khả nghịch. Trong trường hợp
này ta có Xi — xị ■Xr = Xỵ. Phần tử Xr được gọi là nghịch đảo của X
và được ký hiệu là
Đ ịn h n gh ĩa 1.7. Vành giao hoán V ^ {0} được gọi là không có
ước của không nếu với x , ỵ e \/ mà ATI/ = 0 thì ta suy ra hoặc X = 0
hoặc y = 0.
Đ ịn h n gh ĩa 1.8. Vành giao hoán V có đơn vị 1 7^ 0 được gọi là
trường, nếu m ỗi phần tử khác không của R đều khả nghịch.
V í dụ. Tập V các số thực và tập c các số phức cùng với phép

cộng và phép nhân thông thường là các trường.
Đ ịn h n gh ĩa 1.9. Trường X được gọi là đóng đại số nếu mỗi đa thức
bậc n với các hệ số trong X có đúng n nghiệm.
V í dụ. Trường R các số thực không đóng đại số, còn trường c

các số phức đón g đại số.


15

1.1 Không gian tuyến tính. Toán tử tuyến tính

1.1.1

K hông gian tuyến tín h

Đ ịn h n gh ĩa 1.10 ([21]). Không gian tuyến tính trên trường T các
vô hướng là m ột nhóm cộng giao hoán X sao cho phép nhân các
ph ần tử của X bởi các vô hướng của T được xác định và thỏa
m ãn các điều kiện sau:
t { x + ỵ ) = tx + tỵ; {t + s ) x = tx + sx; { t s ) x = t {sx) ; l ■X = X,

với m ọi x , y e X v à t , s e T . Phần tử X G X được gọi là m ột vectơ
của X.
N ếu ta ký hiệu Ox là phần tử không trong không gian tuyến
tính X thì từ định nghĩa của X ta suy ra
(i) Ox = O x , y x e X,
(ii) tOx = Ox, Vf e T ,
(iii) Với t e T , x e X thì t x = Ox khi và chỉ khi hoặc t = 0

hoặc X = OxĐ ịn h n gh ĩa 1.11 ([21]). Cho X là m ột không gian tuyến tính và
0
y c X. Giả sử tổng hai phần tử của y và tích m ột phần tử
của y vói m ột vô hướng đều thuộc y . Tập con y c X như vậy
được gọi là tập tuyến tính, đa tạp tuyến tính hay không gian con của
X.
Cho £ là tập con tùy ý của không gian tuyến tính X. Tập tuyến
tính nhỏ nhất của X chứa E được gọi là bao tuyến tính của £ và ký
n

hiệu bởi linE. Ta có linE = { x e X : x =

tịXị, }, trong đó tj là

;=1
các vô hướng và Xj G E.
Đ ịn h n gh ĩa 1.12 ([21]). Ta nói phần tử X G X phụ thuộc tuyến tính
trên tập E hoặc trên các phần tử của E nếu X G ImE. N ếu X không
phụ thuộc tuyến từứì vào tập E thì ta nói X độc lập tuyến tính trên
tập E. Tập E được gọi là độc lập tuyến tứìh nếu không tồn tại phần
tử X G E phụ thuộc tuyến tữửi vào tập chứa các phần tử còn lại
của E, tức là vói m ọi X e E, X ^ lin E \{ x } .
Từ dạng của tập lin£ ta suy ra các phần t ử X\ , X2,
,Xn G E
độc lập tuyến tứứì, nếu từ đẳng thức t ị Xi + . . . + t„Xn = 0 ta có
fi = Í2 = • ■■=
- 0.


16

Chươn<Ị ĩ. Kiến thức chuẩn bị

Đ ịn h n ghĩa 1.13 ([21]). N ếu số k các phần tử độc lập tuyến tính
cực đại của không gian tuyến tính X là hữu hạn thì k được gọi là
số chiều của không gian X và ký hiệu bởi dim X, trong trường hợp
này một tập gồm k phần tử độc lập tuyến tính của X gọi là cơ sở
của nó. N gược lại ta nói số chiều của không gian X vô hạn và viết
dim X = + 00. N ếu dim X < +CO thì ta gọi X là hữu hạn chiều và
nếu dim X = +00 thì X được gọi là vô hạn chiều.
Đ ịn h n ghĩa 1.14 ([21]). Một không gian tuyến tính X được gọi là
không gian k chiều (thứ nguyên k) nếu trong X c ó k phần tử độc lập
tuyến tính và không có Ả: + 1 phần tử độc lập tuyến tính. Trong
trường hợp này m ột tập k phần tử độc lập tuyến tính của X gọi là
cơ sở của nó. Các không gian k chiều với k ^ Oì a m ột số nguyên
gọi là không gian hữu hạn chiều. M ột không gian không hữu hạn
chiều, tức là với m ọi k đều tìm được k phần tử độc lập tuyến tính
của nó, gọi là không gian vô hạn chiều.
Không gian

là k chiều với cơ sở là x-[ = (1 ,0 , . . . , 0) , X2 =
{ 0 , 1 , . . . , 0) , . . . , Xị^ = { 0 , 0 , . . . , k) . K hông gian c[ a, b] các hàm số
liên tục trên khoảng đóng [a, b] là không gian vô hạn chiều vì dù
k lớn bao nhiêu củng có k phần tử của nó độc lập tuyến tính, đó
là t, t^ ........ iK
Đ ịn h n ghĩa 1.15. N ếu số các phần tử độc lập tuyến tính lớn nhất
thuộc không gian tuyến tính X hữu hạn thì ta gọi số này là số chiều
của không gian X và ký hiệu bởi dim X. N gư ợc lại ta nói số chiều
của không gian X vô hạn và viết dim X = + 00. N ếu dim X < +00
thì X là hữu hạn chiều và nếu dim X = +00 thì X là vô hạn chiều.

Đ ịn h nghĩa 1.16. Tập B các phần tử của không gian tuyến tính X
trên trường vô hướng T được gọi là cơ sở n ếu m ỗi phần tử X G X
đều có thể biểu diễn m ột cách du y nhất dưới dạng tổ hợp tuyến
tứih của các phần tử của B.
Đ ịn h n ghĩa 1.17. Tích Đ ề các X X Y của hai không gian tuyến tính
X ró y là không gian tất cả các cặp có thứ tự { x , ỵ ) với phép cộng
các phần tử và phép nhân m ột phần tử với vô hướng xác định bởi
( x i,y i) + (X2,y 2 ) = (xi + X 2, ỵ ĩ + 1/ 2 );

t{x, y) = {tx,tỵ)


17

1.1 Khôiig <^iau tuyến tính. Toán tử tuyến tính

với mọi x , X ị , X 2 e X; i/, i/i, i/2 e Y ; t e T .
Đ ịn h nghĩa 1.18 ([21]). N ếu y và z là các không gian con của
không gian tuyến tính X và nếu y n z = {0}, tức là phần giao
của y và z chỉ có phần tử 0 thì tập y + z được gọi là tổng trực tiếp
của các không gian y và z và ký hiệu bởi y 0 z .
Chú ý rằng từ điều kiện y n z = { 0 } t a suy ra m ỗi phần tử
-V G y 0 z có thể viết dưới dạng X — y + z, trong đó y G y và
2 G z , m ột cách duy nhất. N ếu X = y 0 z thì ta nói X phân tích
thành tổng trực tiếp của y và z.
Cho X là không gian tuyến tứih trên trường các số thực. Khi
đó X có thể nhúng được vào không gian tuyến tính trên trường
các số phức ([21]).
Thật vậy, xét không gian tất cả các cặp có thứ tự (x ,y ) với các
phép toán được định nghĩa như sau

( x i,y i) + (X2,l/ 2 ) = (^1

+ J / 2 );

(a + i b ) { x , ỵ ) = {ax — h y , a y + bx).

Ta ký hiệu không gian này là X + /X. Các quy tắc phân phối
của các phép toán được xác định ở trên dễ dàng kiểm tra được.
Ta chỉ chứng m inh phép toán này kết hợp. Thật vậy,
{ a + i b ) { c + i d) ] {x, y) = {ac - hả, bc + n d ) { x , ỵ )
= {{ac — b d ) x - (bc + ad) y, (ac - b d ) y + {bc + ad) x) ;
{ n + i b ) [ { c + i d ) { x , y ) ] = (fl + i b) { cx - d y , c y + dx)

= {{ac

b d ) x — {bc + ad) y, [ac - b d ) y + {bc + aả) x) .

Mặt khác, nếu X là không gian tuyến tính trên trường phức
thì luôn tồn tại không gian tuyến tính y trên trường thực sao cho

y + /y = X.
Cho Xq là không gian con của không gian tuyến tính X trên
trường vô hướng T . Tập tất cả các lớp kề xác định bởi các phần
tử X G X:
X /X o = { [ x ] : x e X }

NÒI
TRUNG TÁM THÔNG TIN THƯ VlỆ N

18

Cìiươn<ị ĩ. Kiếti tỉiức chuẩn hị

cùng phép cộng và nhân vô hướng
+ [y] = [x + y

X

tx], với x , ỵ

e x,t e I '

là một không gian tuyến tính trên trường vô hướng T .
Đ ịn h nghĩa 1.19 ([21]). Không gian X / X q được gọi là không gian
thương. Số khuỵết (hay đối chiều) của không gian con Xq là số chiều
của không gian thương X /X q.
Đ ịn h nghĩa 1.20 ([21]), N ếu không gian tuyến tính X là m ột vành
(với cùng cách định nghĩa phép cộng) thì X được gọi là vành tuỵến
tính hay đại số.
V í dụ 1.1. Không gian C"[0,1] các hàm số xác định trên khoảng
đóng [0,1] và có đạo hàm liên tục cấp n là không gian tuyến tính
vì đạo hàm của tổ hợp tuyến tính hai hàm số như thế là tổ hợp
tuyến tính của các đạo hàm đó.
V í dụ 1.2. Không gian C“ [0,1] các hàm số khả vi vô hạn lần trên
khoảng đóng [0,1] là không gian tuyến tính.

1.1.2

Toán tử tuyến tín h

Đ ịn h nghĩa 1.21 ([20], ). Giả sử X và Y là hai không gian tuyến
tính trên cùng một trường vô hướng T . M ột ánh xạ A từ tập
tuyến tính dom A của X vào y được gọi là toán tử tuyến tính nếu
y4(x + y) = A x + A y với m ọi x , y ^ dom A ,
A ( t x ) = t A x với m ọi X e d om A , t ^ T .

Tập dom A được gọi là miền xác định của toán tử A.
Giả sử G c d o m A . Đặt A G = {A x : X e G }. Theo định
nghĩa, A G c y. Tập A G được gọi là ảnh của tập G. Tập A dom A
được gọi là miền giá trị của toán tử A (tập các giá trị của A ),
ký hiệu là Im /l và là không gian con của y .
Ví dụ. Cho X là không gian tuyến tính trên trường vô hướng
T . Toán t ử Ịỵ : X ^ X xác định bởi Ị ỵ x — -Vvới m ọi X G X là
một ánh xạ tuyến tính. N ó được gọi là toán tử đồng nhất trên X.


ỉ.? Không gian tuyến tính. Toán tử tuyến tính

19

Đ ịn h n gh ĩa 1.22. Đ ồ thị của toán tử tuyến tính A là tập tích Đề
các X X y xác định bởi
grap h /\ = { ( x ,y : X e d o m A , ỵ = A x )}.
Tập tất cả các toán tử tuyến tính với m iền xác định chứa trong
không gian X và m iền giá trị chứa trong không gian y ký hiệu
bởi L { X - ^ Y ) .
H ệ quả 1.1. C ho X, y là hai không gian tuyến tính trên cùng một
trường vô hướng F .
1) Á nh xạ A : X ^ y là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi

A{CÍX-Í + /3X2) =

+ f ỉ A{ x2) ,

với m ọi X], ^2 G X và m ọi ŨC,Ẹ> G T )
2) N ếu A e L { X
Y ) thì A(Ox) = Oy, ở đây Ox và Oy lần
lượt là phần tử không trong X và y.
Đ ịn h lý 1.1. Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính trên cùng
một trường vô hướng T , { x i , . . . , x „ } là một cơ sở của X và 1/ 1 , ,
y,i là n phần tử (vectơ) của y . Khi đó tồn tại duy nhất A e L { X
Y) sao c h o A x ị — y,', với m ọi i e { 1 , 2 , . . . , n}.
N hận xét 1.2. M uốn xác định m ột ánh xạ tuyến tính chỉ cần xác
định ảnh của các vectơ cơ sở. M ỗi hệ n vectơ của Y xác định một
ánh xạ tuyến tính từ X đến y . N hư vậy, có thể có vô số ánh xạ
tuyến tính từ X đến Y nếu y 7^ {0 .
Đ ịn h n gh ĩa 1.23. Toán tử đồn^ nhất trong không gian X là toán tử
/x xác định bởi l ỵ X = X với m ọi X e X.
Sau này nếu không gây nhầm lẫn, ta sẽ ký hiệu / thay cho lỵĐ ịn h n gh ĩa 1.24 ([20]). N ếu toán tử /4 G L(X ^ Y) là tương ứng
1-1 thì toán tử nghịch đảo
được định nghĩa theo cách: Với mỗi
y e /4domy4
— X, trong đó X e dom A và y = A x .


20

Cluíơìig ĩ. Kiến thức chuẩn bị

Đ ể ý rằng, theo giả thiết, m ỗi I/ ứng với một A' G dom A duy

nhất và dom
= A dom A c Y,
dom / 4^ = dom A c X.
Với m ỗi X G d o m A , nếu I/ = A x thì { A ~ ^ A ) x = A ~ ^ { A x ) =
và { A A ~ ^ ) y = A{ A~^xj ) = /4x = I/. D o đó A
=
U o m A i^ ^~ ^ = ^AdomA - Cho nên A~^ xác định d uy nhất nghịch
đảo của A. Ta củng có
củng là một toán tử tuyến tính.

N ếu toán tử Ẩ G L (x ^ y ) có toán tử nghịch đảo thì ta nói
/4 khả nghịch.
Đ ịn h nghĩa 1.25 ([20]). Toán tử /1 e L(X ^ Y ) được gọi là đẳng
cấu nếu d o m A = X, / \ d o m / \ = y và nếu A là tương ứ n g 1-1.
Hai không gian X và y được gọi là đẳn<Ị cấu nếu tồn tại m ột đẳng
cấu A ánh xạ X lên y.
Theo định nghĩa, nếu A đẳng cấu thì nó khả nghịch, toán tử
nghịch đảo A~^ củng là tương ứng 1-1 và d o m A ” ^ = Y,
dom
= X. Do đó
củng đẳng cấu.
Đ ịn h nghĩa 1.26 (, [20]). Tổng của hai toán tử A , B e L { X -> y ) và
tích của toán tử A G L(X ^ Y ) với vô hướn<Ị của T được xác định
như sau: dom í/4 + B) = dom A n dom B và
{A + B ) x = A x -ị- Bx

với X e dom n dom B,

{tA)x = t{Ax)

với X G d o m f G

N ếu dom A = dom B = dom C th ì(y 4 + B) + C = A + (B +
C) vằ A + B = B + A.

Đ ể ỷ rằng toán tử c mà A + c
= B với A , B e L { X
Y)
không nhất thiết phải tồn tại. Đ iều này suy
ra từ việc m iền xác
định của A v a B c ó thể khác nhau. N ếu toán tử c tồn tại thì c =
B — A v a c được gọi là hiệu của các toán tử B va A; phép toán "—
" được gọi là phép trừ. Theo định nghĩa, nếu B - A xác định tốt
thì B - y4 = B + { —A ) trên dom A n dom B.
Đặt Lq { X ^ Y) = { A e L { X ^ Y) : dom A = X }. D o tổng
của hai toán tử tùy ý thuộc Lo(X -> Y') xác định tốt, kết hợp và
giao hoán và ứng với m ỗi cặp toán t ử A , B G L o ( X -> y ) tồn tại
toán t ử c = B — A nên Lo(X
Y) là m ột nhóm Abel. Phần tử
trung hòa của nhóm này là toán tử không 0 sao cho 0 X = 0 với


7.í Kliôn‘ị gian tuụến tinh. Toán từ tuyến tính

21

m ọi X G X. Sau này ta ký hiệu toán tử không 0 bởi 0. Từ công
thức (1.1) ta suy ra nhóm Abel Lo(X ^ y ) là không gian tuyến
tính trên trường

Giả sử X là không gian tuyến tính n chiều với cơ sở { x i , ,
,v„} và Y là không gian tuyến tính m chiều với cơ sở { 1/ 1 , , y m)
trên cùng một trường vô hướng F . Khi đó tồn tại sự tương ứng
1-1 giữa các toán tử /4 G Lo(X
Y) và các ma trận
Í7il

í7i 2

í?21

«22

(Ỉ2n
a mn

^m\

trong đó AXị = £

với aịk e

{) = 1 , 2 , . . . , n ; k = 1 , 2 , , m)

Ta sẽ ký hiệu toán tử A và ma trận của nó cùng m ột ký tự

/4.

Đ ịn h lý 1.2 ([20]). Giả sử X, y , z là các không gian tuyến tính trên
cùng một trường vô hướng

dim X = n ,d im y = p, dim Z = m.
Nếu
{^kl)k=] ....ni;l = \,...,p = ^ £ L o { y

Z) ,

....p-,ị^l .... n = B ẽ L o { ^
p
thì A B tồn tại v'a A B = (Ckị)k^i ...., n ; ị = i ....trong đó Ckj = E ^kibiỊ

Cho A ^ L q { X ^ Y) v a

tịXị e X, trong đó f i , . . . , í„ G

X=

/=1
T tùy ý. Khi đó A x — A
i=^

tịXị = XI t ị Axị . Mặt khác, do Ax G y
j=\

nên ta có thể tìm được C \ , . . ., c, „ e T sao cho A x =

C]^yỵ.
k=\

Thật vậy, do A x j e y nên ta có A x j =

Cỉịkyk^ trong đó ũjỵ G T
k=\

(/ = 1 , 2 , . . . , n ; k = 1 , 2 , . . . , m) . Vì thế,

A x = f ^ tịAxị

/=1

aịkyk

/=1

k=l

=

Ễ

k=\

(
;=1

Ẻ ^ì ^j k) yk-


22

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

n

Vậy ta có Q =

^ tịaịi^ {k = 1 ,2 , . . . , rn). Các hệ số aịi^ xác
/=1
định phép biến đổi cơ sở
.. , x „ } thành cơ sở { y \ , . . . , y„i }
bởi toán tử y4. Do đó, tồn tại sự tương ứng 1-1 giữa các toán tử
A G Lq ( X —)►y) và các ma trận
'au

«12

«21
«22

••
•■

ữnì
ữn2

.nì.

^nm

^\m
. 7 <

Ta sẽ ký hiệu toán tử A và ma trận của nó cùng m ột ký tự A.
Đ ịn h nghĩa 1.27 ([20]). Giả sử X, y , z là các không gian tuyến
tính trên trường vô hướng, A G L(X —)• Y ) , B e L ( Y —>■ Z ) và
B dom B c dom A c Y. Tích A B của hai toán tử A và B xác định
bởi
{ A B ) x = A { B x ) với m ọi X G dom B.

( 1 .2 )

Theo định nghĩa, A B G L { X
Z). Tích (nếu nó xác định tốt)
có tính phân phối đối với phép cộng các toán tử và tính kết hợp.
Đ ịn h nghĩa 1.28 ([20]). Hai toán tử A và 6 được gọi là ^iao hoán
nếu cả hai sự chồng chất A B , B A đều tồn tại vằ A B — B A trên
dom A n dom B.
Dặt L(X) = L(X
X) và Lo(X) = Lo(X ^ X) = {A e
L(X) : d o m A = X}. C ông thức (1.2) chỉ ra rằng Lo(X) không
những là không gian tuyến tính mà còn là vành tuyến tính theo
phép nhân các toán ứ A , B G Lq{ X) xác định bởi tích A B của
chúng. Thật vậy, nếu A , B e L q { X ) thì B d o m B c d o m /4 = X.
Do đó, A B xác định tốt với m ọi A , B G Lq{ X) . Vành tuyến tính
Lq(X) có đơn vị là toán tử đồng nhất l ỵ = ỉ. Tuy nhiên L q ( X) là
vành không giao hoán.
Đ ịn h nghĩa 1.29 ([21]). Toán tử p G Lo ( X) được gọi là toán tử
chiếu nếu
— p , trong đ ó
= p ■p.
N ếu p G Lo(X) là toán tử chiếu thì ỉ — p củng là toán tử chiếu.

h l Kliôn<Ị ‘ị ian tuyến tính. Toán tử tuyến tính

23

Mỗi toán tử chiếu xác định sự phân chia không gian X thành tổng
trực tiếp X = y © z , trong đ ó Y = { x e X : P x = x } , z = { x e
X : Px = 0 }. Thật vậy, nếu Xe y n z thì X= 0 vì X = Px = 0 .
N ếu X e X thì 2 = X - Px G z bởi vì P { x - Px) = Px - p^x =
Px - p.t = 0 và X = I/ + 2 trong ả ó ỵ = Px e Y , z — X - Px =
(/-P)xgZ.
Đ ịn h nghĩa 1.30 (). Giả sử A e L(X —)• y ). Tập hợp
ker/4 = {x e dom A : A x = 0}
được gọi là hạt nhãn của toán tử A.
Tập hợp ker/1 là không gian con tuyến tính của A. s ố chiều
của nhân của toán ứ A G L(X —)• y ) được gọi là số khuỵết
(nullity) của A và ký hiệu bởi (X/{, tức là íXa — d im k e r /l. Ta có
dim X = dim A dom /1 + dim kerA nếu A e L { X ^ Y).
Đ ịn h nghĩa 1.31 ([20]). Không gian khuyết của toán tử /4 e L(X
Y) là không gian thương Y /y 4 d o m A . số khuyết (deíiciency) ịỈA
của toán tử
e L(X —> y ) xác định bởi đẳng thức
ịỈẠ = d im Ỵ //ld o m i4 .

Theo định nghĩa 1.19, Ẹ>A chính là đối chiều của m iền giá trị
của A.
Đ ịn h nghĩa 1.32 ([22]). Toán tử A G Lo ( X —>■ Y) được gọi là
kỉiả ì^hịch phải (trái) nếu tồn tại toán tử B G L q{ Y -> X) sao cho
AB = ỈỴ (tương ứng BA = /x).

Đ ịnh lý 1.3 ([22]). Cho
G Lo(X ^ Y). Khi đó
1. A khả nghịch phải khi và chỉ khi nó là toàn ánh, tức là

=

0,

2. A khả nghịch trái nếu và chỉ nếu ker A — {0 }, tức là ữCyị = 0,
3. N ếu A vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải thì A khả
nghịch.
Đ ịnh n gh ĩa 1.33 ([20]). Cho X là không gian tuyến tính. Toán tử
tuyến tính A với dom A = X v ằ lấy giá trị trên trường vô hướng


24

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

T (R hay C) được gọi là \)]úếm hàrii tuyến tính xác định trong X. Ta

ký hiệu X' là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trong
không gian tuyến tính X.
N ếu X là không gian n chiều sinh bởi các phần tử (.ti, . . . ,
)
n

thì mỗi phiếm hàm tuyến tính / có dạng f { x ) =

tịúi, trong đó

/=1

A- = £ tiXị e

e T v a ú i = / ( x , ) ( / = 1 , . . . , n) , tức là

;=1

/ xác định một cách duy nhất bởi các giá trị của nó trên các phần
tử của cơ sở của X.
Đ ịn h nghĩa 1.34, Toán tử A G í>o(X —> Y) được gọi là hữu hạn
chiều nếu m iền giá trị của nó hữu hạn chiều. N ếu dim A dom A =
n thì ta nói A là toán tử n chiều.

1.1.3

K hông gian riêng. Toán tử V olterra

Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường đ ón g đại số T
và /4 c L q{ X) . ' V ô hướng Ả e
được gọi là ẹ/á trị chính quy của
A nếu toán tử y4 - A/ khả nghịch. Tập tất cả các vô hướng A mà
không phải là giá trị chính quy của A được gọi là ph ổ của A và ký
hiệu là spectry4. Hiển nhiên spectr/4 c J-~.
Đ ịn h nghĩa 1.35 ([22]). N ếu A G spectr/l và tồn tại X e X sao cho
X ^ 0 và ( A — À l ) x = 0, tức là tồn tại nghiệm không tầm thường
của phương trình A x = Ax thì A được gọi là trị riên<^ của A và .V
được gọi là vectơ riêng ứng với trị riêfi<Ị A. Bao tuyến tính của tất
cả các vectơ riêng ứng với trị riêng A được gọi là khôn<^ gian riên<ị
của toán tử A ứng với trị riêng A.

Theo định nghĩa, m ỗi không gian riêng có dạng {.Y G X :
A x = Ax} = ker(/4 - ẢI) , vì thế nó là không gian con của X.
Tất cả các trị riêng của ma trận vu ôn g cấp A = {(ỉịk)ịi^^YJj
nghiệm của phương trình det(y4 - ẦI) = 0 .
Đ ịn h nghĩa 1.36 ([22]). Giả sử ^ = c . Ta nói toán tử /l G Lo(X)
là toán tử đại số nếu tồn tại đa thức P (í) = Po + P \ t + . . . +


25

ĩ . ĩ Khôn<ị (^ian tuyến tính. Toán tử tuyến tính

với ịiQ,. . . ,pfsj e c sao cho P { A ) = 0 trên X.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử P (í) định chuẩn, tức
là P!^] = 1. Toán tử đại số A G Lo(X) là toán tử bậc N nếu không
tồn tại đa thức định chuẩn Q{ t ) bậc m < N sao cho Q (A ) = 0
trên X. Đa thức P (í) như thế được gọi là đa thức đặc trưng của A
và nghiệm của nó được gọi là nghiệm đặc trưng của A.
Ví dụ-. Một toán tử .4 G L q{ X ) được gọi là ánh xạ lũy thừa bậc
n nếu A" = I v à

^ 1 với k = 1 , 2 , . . . , n - l . N ếu n — 2 thì

ta nói A đối hợp. Theo định nghĩa, m ỗi ánh xạ lũy thừa bậc n là
m ột toán tử đại số với đa thức đặc trưng t" - 1 và các nghiệm đặc
trưng ỉằ ì , £ , . . .

, trong đó f = e " .

Đ ịn h lý 1.4 ([21]). N ếu s e Lo(X) thì các điều kiện sau là tương

đương:
(a) s là toán tử đại số với đa thức đặc trưng n " í = i
và có bậc N =
+ . . . + r„.
(b) Không gian X là tổng trực tiếp của các không gian con Xị
sao cho
(S -

ỉ ị ỉ Ỵ ix

= 0 với X G Xị [ j = ì , . . . , n ) .

N ếu tất cả các nghiệm tị — 1 với i — 1 , . . . , n = N thì mỗi
không gian Xị là không gian riêng của toán tử s ứng với trịriêng

Phương trình
x{t) =

I K{ t , s)x{s)ds + ỵ{t),

y e C [ 0 ,T ] ,

(1.3)

Jo

trong đ ó K { t , s ) là hàm số thực liên tục với 0 ^ t , s ^ T , x \ à biến,
được gọi là phươn<Ị trình tích phân tuyến tính Volterra loại II.
N ếu hàm số thực K { t , s ) thỏa mãn điều kiện |i< (í,s)| ^ L ự ) ,
với L(f) là hàm số không âm, khả tích trên [0, T] thì phương trình

(1.3) có nghiệm duy nhất.
Đ ịn h nghĩa 1.37 ([22]). Toán tử /l G Lo{ X) được gọi là toán tử
Volterra nếu toán ị ử I — Ả A khả nghịch với m ọi vô hướng A. Tập


26

Chương ĩ. Kiến thức chuẩn bị

tất cả các toán tử Volterra thuộc Lo ( X) ký hiệu là V (X ).
N ếu A e V ( X ) thì phương trình thuần nhất ( / — Ả A ) x = 0
chỉ có nghiệm không với m ọi vô hướng A
Đ ịn h lý 1.5 (Bielecki, [22]). Cho X là không gian tuyến tính trên
trường đóng đại số và y4 e V ( X ) . Xét các toán tử
=
(ỉ —
ẢA) ~^ với mọi A G
Cho A / 0 tùy ý cố định. Khi đó
(i) N ếu dim ker/l = 0 thì A \ không có vectơ riêng;
(ii) N ếu dim kerv4
> 0 thì có ít nhất m ột vectơ riêng ụ = l ,
tức là A \ không phải là toán tử Volterra.
Giả sử rằng A 7^ 0 là phần tử cố định tùy ý và tồn
tại phần t ử u
0 sao cho với một ụ ^ 0 ta có A \ U — ụu (Trường
hợp Ị.Ỉ = 0 tầm thường). Từ đó, ( / —
= A \ U = ụu và
u = Ị-i{I - Ả A) ư , và ta có đẳng thức
C h ứ n g m inh.

ipt - \ ) u

N ếu }1

ụ ẢAư.

(1.4)

I thì đẳng thức (1.4) có thể viết như sau:

(í - 1

/

Từ đây và giả thiết A e \/(X ) ta suy ra 1/ = 0 (bởi vì toán tử
ỉ — [ị ỉ ả / { ịỉ - l)]/4 khả nghịch), trái với giả thiết rằng u
0. D o
đó, s ố ụ ^ \ không thể là trị riêng của m ỗi toán tử A \ (A Ỷ 0).
Xét trường hợp ỊI = 1. Từ phương trình (1.4), ta có —Ả A u = 0.
Do A 7^ 0 nên A u = Q. N ếu dim kerẤ = 0 thì u = 0, mâu thuẫn.
Do đó // = 1 không là vectơ riêng của A \ . N ếu dim ker y4 > 0 thì
tồn tại w 7^ 0 sao cho Au = 0. Từ đó u là vectơ riêng của
ứng
với trị riêng ụ = l v à A ị V { X ) .
□

1.2 Toán tử khả nghịch phải
Cho X là m ột không gian tuyến tính trên trường vô hướng