Mô hình kinh tế lượng

TRẦN VĂN TÙNG

ĐKỊ
H* ggl

NHÀ XUÃT BÁN ĐAI H Ọ C Q U Ò C GIA HÀ NỘI


MO HINH
K l

M l TẾ

IIỌ V ÍP


TRẦN VÀN TUNG

Ẩn.

HỈNH
LƯỢNG
■

(In lầ n t h ứ 2)

NHÀ X U Ấ T B Ả N ĐẠI H Ọ C

Q U Ỏ C

G IA H À NỘI - 2001

-Lr> / / i f í / tT s/r/

;\Yv/ ỉ) h u '

k i n h tè vì

mò va

kinh

tê

Vỉ

m ô m ỏ tà

sự

vận đ ộ n g

t na U(’ĩi k ì n h t r t h i h ì n h f r / ư ơ n g Cỉ i ì ì g c ấ p c á c p h ư ơ n g p h á p

Ịih a tỊ ỉỊc h r;ì<>

»V

m ậ t lỉ/ỢỉiL> q u a n hệ íỊÌ ừ a c á c h i ệ ì ì tƯỢìiíỊ k ì n h

it riỉỉìỊi Vtìi Sỉ/' tac (lòng (Ịỉỉd leu ịĩiữơ c h u n g írêìì C(ỉ S(ỉ rac sô
ìiriỉ Ỉiỉin/Ỉ) ('ỈUÌÍ> co thêm, vàv g i à íhièt k i n h têt t ừ đ o đ ư a ra các
íỊi /yrỉ đ i n h ( ỉ i / n u ( t ăn h ơ n .

Kinh Ịi‘ lươn ạ t ừ nlỉicu n ủ m dỡ d ư ợc á p (lụn LỊ rộììiỊ rãi

/ ron LỊ n h iề u ỉìiỊàììh, kìiồììẬỉ riêng gì k i n h tế. C ù n g với T ạ p c h í
k i n h tê ỈU\ỈÌÌẶĨ cùa Hội ki n h t ế lư ơ ììg q u ố c tếy đ ã x u ấ t hiện
nhicu sách iịiáo khoa cùa các tác ựid nối t i ế n g trôn thê giới vè
linh vực nay. Tron ¡ĩ sớ lỉn p h á i kê (tên : H . T h e i ỉ (Đại học
( 'lì!('Ogo), J .J()lì ỈÌSỊ(JỈĨ, Daniel L.RubiufelcJ (Đại hục Califonia ở
lirrkeleỵ), D.Cĩỉ/ịaraỉi (Viện h à n l ă m q u à n s ự Hoa Kỳ). N h ữ n g
ctỉòỉì g iá o k h o a k i n h tê lượng đó được t r i n h b à y b ằ n g cồng cụ
(hùìig kẽ toan và ììgỏỉì n g ữ toán học. c h ậ t chẽ, trừ u t ư ợ n g và cỏ
tin/ỉ k h á i (Ịiíãỉ cao.
Việc s ử ( l ụ n g các tài Hữu trẽn dớ g i ả i qu yế t các vấn đ ẻ
Ị lì ực tiễn dôi vài n g ư ờ i làm ứ n g d ụ n g h o ặc với người mới
hỉ ('de đ ầ u Ỉiỉìì h iế u k i n h tè lư ợ n g là r ấ t k h ó k h á n . Với m ụ c
(hclì p h ụ c vụ dùììLỊ d á o sin h viên n ă m c u ố i , s i n h ưicn cao học
car t n í ờ n g đ a i hoe k i n h té\ các cán hộ n g h i ê n cứu và ứ n g
(h/HLí, chũm* tỏi b i‘]n soạn CHỎ)} Mô h ì n h k i n h t ế l ù ơ n g ”
Ịhco

(ỊUCin ( ỉ i r n t

Ữ} ) I Ị d u i i g .


Với nội dung: Xây dựng mỏ h i n / ì . kiểm định (tò tin cây
của mô hình và tính bền vững của nó, khăc phục hậu qua do

m ô hình VI phạm các g i ả thiết, cuôh sách đ õ t r ì n h b à y c ă n h á n
nội dung của ph ương pháp kinh tẽ lượng.
Mặc dầu khi. biên soạn chúng tôi có chọn lọc các tài Ì.ỊỘU,
các phương pháp đẽ giúp người đọc tim hiểu môn học nay một
cách dễ dàng nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi thiếu sót.
Chúng tôi chăn thành cảm ơn bạn bè đồng nghiệp đà góp V.
sứa chữa cho bản thảo hoàn chính và mong muốn nhận (tược
nhiều ỷ kiến đóng góp.
TÁC GIẢ

6


TỈM HIỂU BẢN CHẤT CỦA KINH TÊ LƯỢNG
Ke từ khi ra một công cụ do lường các quan hệ kinh tỏ và là một công cụ
manh giúp các nhà kinh tế mô xẻ. xem xót và phân tích các
hiộn tượnj; kinh lé trong môi quan hộ nhằng nhịt, do nhiều
veil tỏ tác lộng
Kinh :é lượng đã vượt ra khỏi phạm vi nghiên cứu các
hiện tượn£ kinh tê mã ứng dụng của nỏ ngày càng xâm nhập
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau : tâm lý, xà hội, Khoa
học tự nhièn... Kinh tê lượng là một môn học không thể thiếu
(luộc tr o n c chương trình đào tạo co bản của sinh viên khoa
kinh lô và trong chương trình nâng cao cho cán bộ kinh tô của
nhiều nước trôn thế giỏi.
Sự Ị ) h U triển của toán học ứng dụng, của tin học, thông
qua các phương phấp kinh tế lùọng nhiều học thuyết kinh tế
(ỉă hình thành, kinh tế lượng tạo cơ sỏ vững chắc hơn cho
nhiều giả thuyết về kinh tế. Một thực tế dã xẩy ra là hầu hêt

các nhà kinh tô học được giải thưởng Nobel kinh tế từ cuối
ihặp kỷ 60, trong các công trình của mình đểu sử dụng
phương pháp kinh tế lượng. Vậy kinh tế lượng là gi, phương
pháp kinh tô lượng khác với các phương pháp phân tích kinh
tê ỏ chỗ nào, nội dung cua môn học kinh tế lượng bao gồm
những vấn dể gì sỏ được trình bày lần lượt trong cuốn sách này.
1. K I N H T Ế L Ư Ợ N G LÀ G Ì ?

T huật ngữ tiếng Anh "ECONOMETRICS" được ghép từ
hai từ gôc "KrONO" có nghĩa là kinh tô và "MKTRICS" có
nghĩa là đo lường. Thuật ngữ này do giảo sư kinh l ố Nauy là
7


A.K.Ragnnr lr ti sil «, giai thường Nobel kinh (ỏ \Vc\m 1969 sú
dụng vào nám 1930. Kinh tô lượng có nghìỉi là (lo lường ki nh
tô. nh ũng pham vi cua 11Ó rộng H ò n nhicu và dê làm rỏ klì.ii
niệm này ta xét một số dinh nghĩa sau (láy:
- Kinh tố ỉưộng la một ngành khoa lìọc á|) (lụng thôn*: kè
toan cho cac; sô liộu kinh tè (ỉổ cùnfi vô 1ÌÌẠt thực nghiệm v’ho
các mó hinh (lo các nhà kinh tỏ loan (lổ xu at dỏ tìm 1-;1 lòi mui

bang sỏ
- Kinh tỏ luỢng có thô (luộc (lịnh nghía nhu là sự phán
tích vế lượng các ván dể kinh tò lìiộn thoi (lựa trôn việc Vỉin
dụng (lổng llìòi ly tlìuyet và thực tỏ (liíọc thực hiện billig víu
phưdng pháp suy (loán thích họp.
- Kinh tỏ lượng là khoa học <]uan làlìì (lỏn việc xác (linh
ve thực nghiệm các luật kinh tò.
Như vậy, chúng ta thấy có nhiều định nghía và các quan

niệm khác nhau về kinh tế lượng (leu bat nguồn (ừ you eau
thực tê do các: nhà kinh tc lượng dưa ra. Họ là các: nhà kinh lê
cú khả năng phán tích thực nghiộm các vân (lê trong lý tliuyỏi
kinh tô dặt ra hoặc là các nhà kinh tô toán, mỏ hình hoá ly
thuyết kinh tê bàng các mô hình trôn cò sỏ phù hộp voi các
kiểm định giả thiết thông kê.
Trên các lĩnh vực ứng dụng khác nhau náv sinh va cúc
quan niệm khác nhau về kinh tế lượng. Tuy vậy, một cách
tổng quát có thể nói kinh tế lượng là sự kỏl liỢp các: lý thuyỏt
kinh tố, thông kc\ toán kinh tỏ, nhưng nó v a il là môn học dộc
lập vì các lý d o sau (lây :
Thử nhát, các lỷ thuyêt kinh tê thường neu ra c á c ịĩiỉ\
thiêt hay các giả thuyết phan lỏn nói về chai các quan hộ gi lìa
các hiện tượng chứ không dua ra Iiìộl sỏ (lo vô các quan hệ
•S


m i m I hul l " . Nỉ» une lại k i n h lõ luọn.L' (Ilia r a c â r con sô vê S 11
I nch l lì iI- lì ( u;i

CMC

» u nu V;i

11 ).

111 lie

rá

dại liioiiî» liny (tiu d ụ s ự t h a y (lỏi "i l i a m u e

T h ứ hcu, 11 ỘI ílunjí í lì ! n lì c u a k i n h 1Ỏ t o á n lã 11*1 II lì l)ãv các

lv i h u v ỏ l k i n h tỏ iliíoi (huìg l o à n học b a i l " các pi l l i on" t r ì nl ì
hoíir l)âl plìiiontỉ l ri 11 lì. Nê u tlìiỏu các mỏ lì ì n lì l o a n hoe thi
k h o m : lỉu* (lo hoặc kiủni 1r;i l)ỉìniỉ t h ụ c n g h i ệ m ly i h u v ẽ l k i n h
tỏ. Ki nh \ờ hínn<; iại SII (Iịhìịĩ các p h u õ n s ĩ t r ì n h t o á n hoe do rácnlì.i k i n h

1C'

10.111 iIỏ xuat và (lai các pillion«* t r i n h (liíoi cỉ;i 11ÎZ

p h u hí >]I :!(• k i r m ilịnh hãng' i h u r n g h i ệ m .
Thu' ha

i h n : h; i p sú

ke k i n h le c h ủ y é u b a o liôm {"'ir nội ( l u n g :
ÌH /U .

\ u ly v:i (lililí l)â\ c á c so liệu du. Nhunsi' cai'

>(*» liệu n à y lu sò liệu t h ỏ (lỏi voi k i n h t ê lining. K h a r
k i'

VOI

lhôn<>

k i n h W\ kiIIlì lỏ l ũ ộ n g Hỏn mội Iníỏe xa hơn : su' t iling e a r sỏ

liỏu (tú (lê k i ê m đ ị n h các giá llìiỏi t l ì ỏ n g kf* v à gj;i t h u y ỏ t kinlì
lỏ. ihòní» íịtia r á c mò h ì n h k i n h te

lượng

(l ong t hời n
r l m t cù;» sỏ liệu t lìỏn<> ko.
2 . CÁC PHƯƠNG PHÁP KINH TẾ LƯỢNG

Nội dung của phiióng pháp kinh tỏ lượng là:
- Nêu r a các gia t l ì i ễt h a y gi a t h u y ỏ t vế các môi (Ịuaìì hệ
^iiÌM r a r h i ê n k i n h tỏ (cháng' h ạ n k i n h tỏ vì 111Ô k h í i n g (lịnh
vhuị* l i ỏu tiling c u a các hộ gi a d i n h có q u a n lì ỏ r ù n g c h i ế u voi

t h u n h ậ p k h a tiling cua họ. q u a n hộ đ ó có t h ô là l ì à m t u y ê n
11 nh).
- T h i ô t lậ|) các mô l i i nh t o á n học đ e m ô l à môi q u a n hộ
g i ữ a (•;’»<• ỉ)iòn sô này.
T h i dụ: y = |ì| + fV.X + E

9


Trong đó •

y là c^i tiêu cho tiêu dùng của một hộ gia đình
X

là thu nhập khả dụng của hộ gia đinh.

p! là h ệ s ố c h ặ n , p 2 là lìộ sỏ góc,
lượng ngẫu n h iê n .

E là đ ạ i

Sự tồn tại của yếu Lô ngẫu nhiên bắt nguồn từ mỏi quan hộ giữa
các biến kinh tê.
- Ước lượng các tham sô'của mô hình nhằm nhận được các
sô" do về mức ảnh hương của các biến với các sô liệu hiện có.
Các ước lượng này đồng thòi là các kiẽm định thực nghiệm cho
các lý thuyết kinh tế.
- Phân tích các kết quả dựa trên lý thuyết kinh tế đổ
đánh giá các kết quả nhận được. Xem xét các kết quả nhặn
được có phù hợp với lý thuyết kinh tế hay không. Kiểm định
các giả thiết thông kê đối với các ước lượng đó.
- Nếu mô hình đã phù hợp với lý thuyết kinh tê thì dùng
mô
hình dódể clự báo cho các thòi kỳ tiếp theo.
- Cuối cùng là sử dụng mô hình để kiểm tra, ra quyết

định hoặc đề ra các chính sách.
Bản chất của hiện tượng kinh tế là không đơn giản do đỏ
các bước trên phải được thực hiện nhiều lần, đến khi nào ta cỏ
một mô hình đúng mối thôi. Nội dung của các bước trên cho ta
một cách tiếp cận môn học cụ thể này. Chính vì vậy từ khi ra
đời đến ngày nay, kinh tê lượng trỏ thành một công cụ đo
lưòng các quan hệ kinh tế sắc bén của các nhà kinh tế. Sự đòi

hỏi phải phân tích định lượng các hiện tượng kinh tế, kiểm
dịnh sự phù hợp và độ tin cậy của các giả thuyết, dự báo.
hoạch định chính sách, tất cả những yôu cầu dó (là làm cho
kinh tế lượng ngày càng có vai trò quan trọng và bản thân nỏ
ngày càng (lược phát trien và hoàn thiện.

10


(■ùng Vfíi vi ộc* đua vào chương trình kinh tế như kinh tê vĩ
mỏ, kinh tỏ V I mỏ, thi kinh tế lượng là lììột môn không thể
ỉ lnếu (tược. Nếu như kinh tô vĩ mô mô tá sự vận dộng của toàn
bộ nến kinh tô, thì kinh tế lượng trang bị cho các nhà kinh tẽ
một sô phương pháp lượng hoá và phán tích sự vận động của
nén kinh tố. quan hệ giữa các yếu tô tác dộng lên quá trinh
van dộng cló. Có thể nói kinh tế l ượng là một. loạt các giải pháp
có tính chất, kỹ thuật dể lượng hoá các quan hệ và quá trình
vận dộng cua hiện tượng kinh tế. Do (ló kinh tê lượng có quan
hệ rất chật với kinh tỏ vĩ mò và kinh tế vi mô, tạo cơ sỏ cho các
nhà kinh tế đi sâu vào lình vực chuyên môn hẹp.

11


Chương 1

C ơ s ở THỐNG KÊ TOÁN

1. X Á C S U Ấ T C ỦA B I Ế N C ỏ VÀ Đ Ạ I L Ư Ợ N G N C.ẨU N H I Ê N

1.1. P h é p th ử và biến cô
- Phép thử là viộc: thực hiện các* diều kiộn nhất định đỏ
quan sái một hiện tượng nào dó.
Khi phép thử được thực hiện có the cỏ nhiều kết cục xay
ra. Thông thường ta không biôt chác kết cục nào xẩy ra truỏc:
khi thực hiện một phép thừ.
- Phcp thử ngẫu nhiên là phép thử có ít nhất hai kết cục
có thỏ có và không biết chác chán kết cục nào sò xẩy ra.

Các phép thử sau dãy là các phép thử ngãu nhiên.
• Gieo một dồng xu
• Tung một con xúc xác.
• Quan sát sự thay clối của tỷ giá hỏi đoái hàng ngày.
• Kiểm tra chất lượng sản phẩm xom nó tôt hay xấu.

- Biến cố là kết cục của một phép thử.
Thí dụ tung dồng thổi cả hai dồng xu. Ký hiệu s (mật
sấp). N (mặt ngửa) của dồng xu xuất hiện. Khi đó các biòn cỏ
có khíi năng xuất hiện sỏ ln SS. SN, NS, NN.

12


1. 2. Q u a n hò tfiíía c á c b i õ n cỏ

- Hiên ro ch;ic ( l ù m là biên c:ó nhât (lịnh sẽ xảy ra khi
thực hiộn phép thủ. Biên c ố r h á c chàn duộc ký hiệu là íì.
T u n - một con xúc xat: thi l)iỏiì cỏ xuàt hiện mạt có sô dâu
châm < (■>lã taiỏn cò cli.'K' chăn.
- Biôn cỏ không thố xây ra là bien cỏ không thê cỏ khi

thực hiện phép thử và ký hiệu là tị).
Trong VI (lụ Um” COI1 xúc xác, biến cỏ xuất hiện mạt có số’dấu
châm > 6 là không thê có.
Biên rô I Ó I 1 Ị4 : Hiên cò (' dược gọi là biên cỏ lỏng của hai
biên cỏ A và B ÌÌỎII nhú r xây ra khi rỏ ít nhất một trong hai
biên cô A hoậc w xay ra.
-

Ký hiộu c = A + B hay c = A

B

Thí dụ: Nếu gọi H,, i =1,2 ...6 là biến cỏ xuất hiện mặt i
chấm khi tung con xúc xác. A là biến cố xuất hiện mặt cỏ sô
dâu chấm la chan, khi tló :
A = II, + H, + H(i
- Hiên cố tích : Biên cô c (lược goi là biôìì cô tích của hai
biên cô A và B nốu như c xẩy ra khi và chi khi cả hai biến cô
A và B đồng thòi xay ra.
Ký hiệu :c = A.B hoặc c = A n B

- tìiôn cô xung kliac : Hai bien cố A và li ilưọV gọi là xung
khắc với nhau nêu không (lồng thời xay ra trong một phép thủ.
A và B là hai biên có xuất hiện mật cỏ sô chấm là chằn và
lo khi tung một con xúc xắc. Rõ ràng A và B là hai biến cô
xung khiu.* VỎI nhau. Khi đó AB = 0

13

- Các bien cô xung khắc từng đôi một.

Có n biến cố A], A2......An được gọi là xung khắc từng dôi
một nếu như hai biến cố bất kỳ trong n biến cô' xung khắc với
nhau, hay AjAj = o vối vi*j.
- Nhóm đầy dủ các biến cô" : các biến cố Aj, A2,
An được
gọi là nhóm đầv dủ các biến cỗ» nếu trong kết quả của phép thử
sỗ xảy ra một và chỉ một biến cô' trong sô'các biến cô"đó mà thôi.
Trường hợp này ta viết AjAj = o
và

V i*j

¿ A¡ = íí
i—1

Hai biến c ô ' đ ồ n g khả n ă n g là hai biến c ò ' nếu đủ c ơ sở
cho thấy khả năng xuất hiện của biến cố này giông như khả
năng xuất hiện biến cố’kia.
-

Thí dụ, tại một địa điểm người ta dặt hai quầy hàng cùng
bán các loại hàng hoá như nhau, chất lượng của hàng hoá như
nhau, tất cả các điểu kiện phục vụ tương đương nhau. Nếu ta
gọi A là biến cô khách hàng mua hàng ỏ quầy thứ nhất, B là
khách hàng mua hàng ở quầy thứ 2, thì khi đó ta nói A và B
có dồng khả năng.
1.3. Xác s u ấ t c ủ a b iế n cố
A là một biến cô", ta gọi P(A) là xác suất xuất hiện biến cố*

A. P(A) đặc trưng cho khả năng xuất hiện biến cô' A. Xác suất
của biến cố’A được định nghĩa theo quan điểm cổ điển như sau:
Nếu như một phép thử có 11 kết cục xung khắc và dồng
khả năng, trong dó có m kết cục thuận lợi cho biên cù A xuất
hiện thì xác suất của biến cố A được định nghía là:
P(Ấ) = — và 0 < P(A)< 1
n

14


Thi

(lu

khi

t u n g một c o n xút: Xiic, x á c s u ấ t x ẩ y r a

biên

cô

A ró sỏ chîïm l>anii 1 là P(A) - —. Xác xuất của biên cố B xuất
6

luôn mãt. cỏ sô chàm không lớn hơn 2 là P(B) =

9

Ị

6

3

.

Định nghĩa cổ điển vế xác suất cho phép chúng ta tính
xác suất một cách chính xác, không cần thực hiện phép thứ
mà chi dựa vào tư duy logic. Nhưng nó cỏ một sỏ điểm hạn
chế. Thi dụ, cái gì sẽ xảy ra nếu như số’ biến cố’ là vô hạn và
khả năng xảy ra các biên cô là không giông nhau? Xác suất
xẩy ra khủng hoảng kinh tố trong những năm tới ỏ một quốc
gia, hoặc ỏ một khu vực là bao nhiêu...? Định nghía cổ điển về
xác suất không thể trả lòi dược các câu hỏi này. Do đó ta đưa
ra một định nghĩa thống kè về xác suất.
Tần suất xuất hiện một biến cố trong n phép thử là tỷ số'
giữa số phép thử trong đó biến cô đó xuất hiện và tống sô phép
thử được thực hiộn.
Ta ký hiệu*

n ^ tổng sô phép thử được thực hiện.
k là sô lẩn biến cô A xuất
hiện.
f(A) là tần-suất xuất hiện biến cố

A.

y

Khi dó f(A) = —-, với n táng lên vô hạn, các phép thử được
n
thực hiện trong điểu kiện tương tự nhau, f(A) sè dao động
xung quanh một sô nào dó gọi là tán suất lý thuyêt của biến cô
và gọi nó là xác suất của biến cô" đó.
Theo cách định nghía dỏ 0 < f(A) < 1, ký hiệu là P(A). Xác
s u ấ t có những tính chất cơ bản sau đây:
- Xác suất của biên cố chắc chắn bằng ìs P(Q) - 1
- Xác suất của hiến cố không thể có bằng 0, p(<t>) = 0
lõ


- N ế u A | . A.>.......A„ là các: b i ế n c ố x u n g k h ắ c t.ìtng dôi ỉ 1)1
II

II

1*1

I1

- Nếu Aj, A;......A„ là một nhóm biến cô dầy clủ thì
II

II

Hai biến cỏ A và B gọi là độc lập với nhau nêu viộc xuàl
hiện biến cố này không làm ánh hướng tới khả nâng xuất hiện
của biến cỏ kia. Trong trường họp đó P(AB) = P(A) P(B).
Thí dụ: Khi tung dồng thòi hai dồng xu. Tính xác suất

xuất hiện mặt s ở đồng xu thứ nhất và mặt N ỏ dồng xu thứ hai.
Ta gọi:

A là biên cố xuất hiện mặt s ỏ dồng xu thứ nhài.
B là biến cố’xuất hiện mật N ỏ dồng xu thứ hai.
AB là biến cố’xuất hiện s ở đồng xu thứ nhất và
N ỏ đồng xu thú hai. A và lỉ là hai biên cô độc
lập với nhau nên:

Các biến cô A ị , A.»... An dược gọi là độc lập toàn phan vói
nhau nếu mồi biến cố dộc lập với tố hợp bất kỳ của các biến cố
còn lại và
II

II

1-1
Xác suất có điều kiộn: cho A và B là hai biên c ấ ta cần
tìm xác suất bien cố A với diều kiện xuất hiện biên cô 15, khi
ký hiệu xác suất này là P(A/B) và

16


P(A/B)

P(B)

; Pf A)

Nốu A và B là hai biên cỏ độc lập vớỉ n h a u thi
P(A/B) = P(A); F(B/A) =jP(B)
1 .4

. B ạ i l ư ợ n g IIgau n h i ê n

ớ phần trước kết quả phép thử cỏ thể mô tả bằng lời (mặt
sàp hay ngứa khi tung một đồng xu), nhưng sẽ là dơn giản
hơn va có ích hơn trong nghiên cứu kinh tế nêu kết quả của
phép thử được thể hiộn bàng con sô cụ thể.
- Đại lượng mà giá trị của nó được xác dịnh bởi các kết
cạc có the có của phép thử với xác suất tương ứng gọi là đại
luậng ngầu nhiên. Các đại lượng ngẫu nhiên thường dược ký
hiệu bằng những chừ cái: X.Y,Z...
- Có hai loại dại lượng ngẫu nhiên: đại lượng ngẫu nhiên
rỏi rạc và đại lượng ngẫu nhiên liên tục.
- Đại lượng ngẫu nhiên ròi rạc chỉ có một số hữu hạn hay
một sô đếm được các giá trị của nó.
- Đại lượng ngẫu nhiên liên tục là đại lượng ngẫu nhiên
mà các giá trị có thể của nó là không đếm dược hay lấp dầy
một khoảng nào đó trên trục sô".
- Hàm phân phối, của đại lượng ngẫu nhiên X biểu thị
quan hệ giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngâu nhiên với
xác suất tương ứng cùa nó. Có thể xét một số hàm phân phôi
xác suất:
a)
Hàm phân phôi xác suất của đại lượng ngẫu nhiên ròi
rạc: X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có các giá trị là Xị , X'2

17

Gọi P x(Xj) = P(X= Xị) là xác s u ấ t dể cho dại lượng ngầu
nhiên X nhận giá trị X,.
Thí dụ: đại lượng ngẫu nhiên X là scV mặt sấp xuất hiện
khi tung dồng thòi hai đồng xu.
Khi đó X có giá trị: 0,1,2
Px(Xị) có các giá trị: 4 ,ị , ị

4 2 4

Nếu vè dồ thị, X là trục hoành và Px(x,) là trục tung ta sẽ
có đồ thị ba điểm ròi rạc

, L0 , -0 í 1 , -1
,
4 , , 2;

và

2 ,V 4,

Từ định nghĩa ta có thể thấy rằng Px(Xj)>0, với mọi i và
£ p x(Xi) = £ p x (Xi)=1
X

i =l

b)
Hàm phân phôi lũy tích của đại lượng ngẫu nhiên X

ký hiệu là Fx(Xj) là xác su ấ t đổ cho đại lượng ngẫu nhiên X
n h ậ n giá trị không lớn hơn X, ký hiệu là
Fx(x) = P(XX,£x
Thí dụ tung đồng thòi ba dồng xu, ta cần phải tìm phân
phôi luỹ tích của số’ mặt s xuất hiện. Khi đó ta có:

18

X

Px(x.)

X

Fx(Xi)

0

1/8

0

1/8

1

3/8

1

1/2

2

3/8

2

7/8

3

1/8

3

1


<:) X là dại lượng ngau nhiên liên tục với hàm mậl độ xác
suất fx(x) l hi:
P(X = X ) =

0

p ( a < x < b ) = P(a
I,
-

|YX(.\)<1:\

l 'x(b ) - Fx( a) , trong dỏ fx(x) > 0 và Ị" fx(x)dx = 1

.1

1.5. Dặc t r ư n g cua đại lượng n g ả u n h iê n
-

Kỷ vọng của dại lượng ngẫu nhiên X với hàm phân phôi
sác s u ấ t p x(x) hoặc hàm mật dộ fx(x) ký hiệu là E(X) được xác
dị n h:
£ x . p x(x,) = | > , p ,
E(X)= m =

X

i= l

y

j*x fx(x)dx
Kỷ vọng của dại lượng ngẫu nhiên gần với giá trị trung
bình của các giá trị quan sát được của đại lượng ngẫu nhiên,
nó đạc trưng cho giả trị trung tâm của phân phôi xác suât.
Từ định nghía ta suy ra ràng:
E(aX) = a E(X) » a là hàns số
E(X±Y) = E(X) ± E(Y) = n, ± My
X, Y là độc lập thì E(XY) = E(X) E(Y)

Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X là kỳ vọng của
bình phương độ lẹch của dại lượng ngẩu nhiên với kỳ vọng của nó.
Nếu ký hiộu phương sai của X là ơx2 hoặc var(X) thì:

19


Phương sai của dại lượng ngẫu nhiên đặc trưng cho sự
phân tán của đại lượng ngẫu nhiên quanh giá trị trung bình.
Từ định nghĩa ta suy ra rằng :
Nếu c là hằng

sô»

thì

:

var(C)

=

0

var(CX) = c~ var (X)
Nếu X và Y là hai biên độc lập thì var(X + Y) = var(X) + var(Y).
- Hiệp phương sai của hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y ký
hiệu là COV(X,Y) được xác định bàng công thức:
COV(X,Y) = E[(X-Mx)(Y-Mv)]
Có thể chứng minh dược rằng nếu X và Y là hai đại lượng

ngẫu nhiên độc lập thì COV(X,Y) = 0.
Các định nghía ở trên ta chỉ xét cho trường hợp đại lượng
ngẫu nhiên một chiều. Trên thực tế người ta gặp những
trường hợp phải xem xét một lúc đồng thời nhiều dại lượng
ngẫu nhiên. Chẳng hạn có thể nghiên cứu thu nhập quốc dân
vối tỷ lộ thất nghiệp, tỷ lệ lạm phát và tốc độc tàng trương
kinh tế. Như vậy nẩy sinh ra vấn để là phải nghiên cứu đồng
thòi nhiều đại lượng ngẫu nhiên đổ có dánh giá đầy dủ hơn.
Sau đây ta xét một số khái niệm cơ bản.
- Phân phối dồng thòi của các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:
Gọi X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên ròi rạc. Hàm phản
phôi xác suất của X và Y là xác suất đồng thời của đại lượng X


nhận giả trị X và (lại lượng Y nhận giá trị y. Xác suất này In
hàm cùa X và V ký lìiộu :
Px v(x.y) = p i.(X = x) n (Y=y)l
ỉ^íX) - y ' \ \ y (x , y) dưộc gọi là hàm phân phối xác suất
X

hiôn d u y ê n c ủ a dại l ượng n g à u n h i ê n X

I>Yy
biòn ( l u y r n c ù a dại l ượng n g ầ u n h i ê n Y.
T ừ đ ị n h n g h í a dỗ d à n g t h ấ y r ằ n g :
p x y(x.v) > 0 vối Vx.v

y(x.y) =i
N

y

Hàm phân phối xác suất lũy tích của hai đại lượng ngẫu
nhiên X và Y là xác suất đồng thời dại lượng ngẫu nhiên X
nhận giá trị không vượt quá x0 và đại lượng Y nhận giá trị
không vượt quá y0, ký hiệu là :
Fx.Y<xo>yo) = p(X < x 0 n Y < y 0) =

^ P X>Y (x , y.)
X
- Phân phôi đồng thòi các đại lượng ngẫu nhiên liên tục:
X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên liên tục với hàm phân
phôi xác suất Fx.v(x,y) khi đó :
ơF

a) -- — - ix y(x1y) là hàm mật độ
hai (lại lượng ngẫu nhiên X và Y.

xác

suất đồng thời

của

b) Hàm xác suất lũv tích dồng thời của X và Y là:
>'0*0
v(xi>-.Vn) = F(X < x0 n Y < y0) = J jf’x Y(x,y)dxdy

21


c) X và Y là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập khi và chí khi:
Fx y(x,v) = Fx(x) PY(y)

hoặc

í'x.v(x,y) = fx(x) í Y(y) t r o n g đổ
•KIr

fx(x)= jfXY(x,y)dy;fY(y) = jfXY(x,y)dx
-nì

—r í

là các hàm mật độ biên duyên của các đại lượng ngầu nhiên X và Y.
- Hàm phân phôi xác suất có diểịi kiện:

X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên vói hàm phàn phối xác
suất p x Y(x,y). Hàm phân phôi xác suất của dại lượng ngầu
nhiên Y vối điểu kiện đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị X
ký hiệu là:
pv/x(y/x) =

Tương tụ

Px/Y(x/y) =

p \ Y (x>y)

px(x)
Px Yu,y)
Py(y)

Hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y thì :
Px.y(x,y) = Px(x) Py(y)

Py/x(y/x) = p v(y) và Px/y(x/y) = p x(x)
2. C Á C H À M P H Ả N P H Ố I XÁC S U Ấ T T H Ư Ờ N G G Ặ P

Sau đây ta sẽ xét một số phân phôi có vai trò quan trọng
trong phân tích thông kê và kinh tế lượng. Đó là các phân
phối chuẩn, phân phôi X , phân phôi T(student), phân phỏì
F(Fisher).

22


2.1. P h â n phôi clìIIAn

Trong 1 hực tô có nhiều (lại lượng ngẫu nhiôn tuân tlìro
qiiv luật phniì phôi này. Tíu" dụ khi kháo sát sỏ (lông lao ciộní'
ỉ;im vi ộc trong một xí lì^hiệp nhà nước. Năng suất 1no động
cực dại 1 ngày lã 100 sàn phàm, nang s u ấ t trung binh là 60.
Khi dó chúng t.a thay số người có năng suất từ 55 đôn 65 sàn
phâm nhiều hờn sỏ ngư()i dạt năng suất từ 80 sản phàm trỏ
len. Ta nói rang, náng suất lao độiìtf của nhân công trong xí
nghiệp Nha nuóc co phân phôi chuấn. Đê hiểu chính xác thô

nào l;i phân Ị)hòi ch II an ỉa dúa ra ( l ị n h nghĩa:
X là một dại lượng ngẫu nhiên liên tục, dược gọi là có
phàn phôi chuẩn nêu ham mật dộ xác s u ấ t có dạng :

f(x) =

vói Vx trên trục sô.

Có the (‘hửng minh dược rang:
1Ỉ(X) = u. var(X) = ơ 2

Fx(x0) = | f x(x)dx; | f x(x)dx = Fx(b )-F x(a)
Nêu dại lượng ngầu nhiên X có phân phôi chuẩn với
!í(X)=p, var(X) = GJ thì ta ký hiệu X ơ2).
Dồ thị của hàm mật độ đốì xứng qua giá trị E(X). hình 1.1.

X

|J-3ơ

11-23

H-C7

Ị.I

Ị.I+Ơ

n +2 ơ

n+3ơ

Hình 1.1
23


Gần 68% phần diện tích giới hạn bỏi đồ thị hàm mật (lộ
và trục hoành nằm trong khoảng ụ ± G và 95%, diện tích năm
trong khoảng Ị.I ± 2ơ và 97%, diện tích nằm trong khoang Ị.L±. 3ơ.
Nếu ta đặt z

~ ,u khi đó E(Z) = 0 và var (Z) = 1 tức là
ơ
X - N(0,1), ta nói z là đại lượng ngẫu nhiên liên tục theo quy
luật phân phôi chuẩn hoá với:

ự Z ) = ± e : xX/ĩ
¿71

f(Z) là hàm đôi xứng qua trục tung.
2. 2. P h â n phôi X2
Đại lượng ngẫu nhiên X dược gọi là có phản phôi 7 ' vối n
bậc tự (io nếu hàm mật dộ xác suất có dạng :
0

nếu

X< 0

fx2(X)= x"'2-‘e-x/2 V- „ n

----- nếu X > 0
[2 f(n/2)
Trong đó F(x)= Jtx ]e 'dt. là hàm Gama
0

Người ta chứng minh được rằng:
E(x") = n; var(/2) = 2n. ta ký hiệu X“ - x"(n).
Phân bổ */“ là phân bô lệch, độ lệch tuỳ thuộc vào sỏ bậc
tự do, khi bậc tự đo tăng lên thì phân phôi trỏ nôn đối xứng
hơn, hơn nữa nếu n -> 00 thì phân phôi 7 " sẽ tiệm cận vế phan
phôi chuẩn (hình 1.2).


I l ì n h 1.2

Đại luợng ngầu nhiên X dược gọi là có phân bô '1' với n bậc
tụ do và ký lìiệu là T(n) neu hàm mật dỏ xác suất có dạng :

vơi

11101

X

Phàn phôi còn gọi là phân phôi Student. Đồ thị của hàm
mật độ tT(x) đối xứng qua trục tung, giong như dạng dồ thị của
hàm mật (Jộ phán phôi chuẩn.
Có thể chứng minh dược ràng E(T) = 0, var (T) = —
n-2
2.4. P h â n phôi F

Đại lượng ngầu nhiên X được gọi là có phân I>h()i Fisher
với l ì Ị và n.; bậc tự (lo, ký hiệu F(nb n») nêu hàm mật độ xác
suất có dạng :

VIH 2

25


T r o n g đ ó e l à h ằ n g s ố t h í c h h ộ p và đ ư ợ c x á c (lịnh
V 11 1

c =-

+

n 2

\) n , "1 •' 31.,
"I

"

“

2

r(n2/2)r(n, /2)

Có thể chửng minh dược ràng :

E ,T ) = —~ - , v a r ( F ) .

n2 - 2

n,(n., - 2) (n2 -4)

Đồ thị của hàm mật độ xác suất fp(x) không (lỏi xứng qua
trục tung. Dạng đồ thị khác nhau khi nJ và n.) nhận các giá trị
khác nhau. Nếu như n 1 , n.> khá lon thì fj.’(x) sẽ tiộm cận den
phân phối chuẩn (giống trường hợp phân phôi y2).
Từ các định nghĩa ỏ trên vế các loại phân phôi ta có một
sô"kết quả nói lên quan hệ giữa các phân phôi.
- Nếu Z ị , Zv...... Zn là các đại lượng ngẫu nhiôn dộc lập
n

phân phối chuẩn hoá N(()tl) thì Z z
có phân phôi '/" vối n
1=1
bậc tự do (n chính là số hạng của tổng).
- Nếu z là đại lượng ngẫu nhiên có phân phôi chuẩn hoá
N(0,1), X là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối X (k) và độc
zVk
lặp vối z thì t = —7==- có phân phối T với k bậc tự do.
VX2

- Nếu như xỉ và xị là các đại lượng ngẫu nhiên dộc lập
có các phân phôi tương ứng
F=

‘26

X

(k|) và

thì :

Y2 /k
——có phân phôi F vối kj và k2 bậc tự do.
X'2^^2