Baitap vitichphanádfghjjbbfcx

1.Trong hệ tọa độ Đề các, tìm Grad Z, biết:
Z  arcsin  x  y 

Giải
� arcsin  x  y   r � arcsin  x  y   r
Grad Z 
ix 
iy
�
x
�
y
1 r
1 r

ix 
iy
2
2
1 x
1 y


2.Trong hệ tọa độ cầu, tìm Grad Z, biết:

Z  sin  .cos 
Giải
� sin  cos   r � sin  cos   r � sin  cos   r
Grad Z 
ir 
i 

i
�
r
�

�

r
r
 cos  .cos  .i  sin  .sin .i 


r
F

1
x y z
2

2

2

r
r
r
.  x.ix  y.iy  z.iz 

Giải
�

� �
� �
�
x
y
z
� ��
� ��
�
��
2
2
2
2
2
2
2
2
2
� x y z � � x y z � � x y z �
� �
� �
�
DivFr  �
�
x
�
y
�
z

x.2 x
y.2 y
z.2 z
x2  y 2  z 2 
 x2  y2  z 2 
 x2  y 2  z 2 
2 x2  y 2  z 2
2 x2  y 2  z 2
2 x2  y2  z 2

x2  y 2  z 2


2x2  2 y2  2z 2
( x  y  z ). x  y  z
2

2

2

2

2

2



2

x2  y2  z 2


r
r
r
r
F  R cos  .iR  R sin  .z.i  6.z.iz

Giải

2
�
�
�
R
cos



�

R
sin

.
z
�
6.
z

.
R




1
�
DivFr  �


R� �
R
�

�
z �
�
�
1
  2 R cos   R.z.cos   6 R   2 cos   z.cos   6
R


r
r
r
r
x
x

x
F  e .sin yz.ix  z.e .cos yz.iy  y.e .cos yz.iz

Giải
�� y.e x .cos yz  � z.e x .cos yz  �r �� e x .sin yz  � y.e x .cos yz  �r
�
�
rot Fr  �

.ix  �

.iy
�
� �
�
�
y
�
z
�
z
�
x
�
� �
�
�� z.e x .cos yz  � e x .sin yz  �r
�
�


.iz
�
�
�
x
�
y
�
�
r
r
x
x
x
x
x
x
�
�
e
.cos
yz

y
.
e
.
z
.sin
yz


e
.cos
yz

z
.
e
.
y
.sin
yz
.ix   e . y.cos yz  y.e .cos yz  .i y


�
�
r
x
x
  z.e .cos yz  e .z.cos yz  .iz  0


r
r
r
r
2
F  8.ir  r.i  r .sin  .i

Giải
3
2
3
�
�
�
�
�

r
.sin

.sin

�
r
�

r
.sin .sin   � r
r





�
8



1
�
�
�
�
rot Fr  2

.ir  �

.r.i
�
�
r .sin  �
�

�
 � ��

�
r
�
� �
�
�
r
r
1
3
3

2
�
 2

r
.sin

.cos

.
i

3
r
.sin

.sin

.
i

2
r
.sin   .i �





r


�
�
r .sin 
r
r
r.sin  .cos  r

.ir  3r.sin  .i  2.i
sin 

�� r 2  � 8  �
r�
�
�

.r.sin  .i �
��
r
�
 �
�
�
�
�


7.Trong hệ tọa độ Đề các, tìm Laplace F, biết:

F  cos  x  4 y  6 z 

Giải
��� cos  x  4 y  6 z  
f  �
�
x�
�
x
�


�  sin  x  4 y  6 z  
�
x

� ��� cos  x  4 y  6 z   � ��� cos  x  4 y  6 z  
� �
� �
��
�
��
�
y
�
y
z
�
z
� �
� �

� 4sin  x  4 y  6 z   � 6sin  x  4 y  6 z  


�
y
�
z

  cos  x  4 y  6 z   16 cos  x  4 y  6 z   36 cos  x  4 y  6 z 
 53cos  x  4 y  6 z 

�
�
�
�


8.Trong hệ tọa độ cầu, tìm Laplace F, biết:
6
a
F  .sin 2 .cos 3
r

� �
�
�
�a 6
��
�a 6
��

�a 6
��
�
.sin
2

.cos
3

�
.sin
2

.cos
3

�
.sin
2

.cos
3

� �
�
�
�
��
�
��

�
��
r
r
r
1 ���2
�
�
1
��
��
��
�
�
f  2
r .sin  . �
sin  . �
. �
��
��
�
r .sin  �
�
r�
�
r
�
�

 �sin 

�

� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �1 a 6
�
a6
��
sin  . .2.cos 2 .cos 3 � ��
. .sin 2 .3.sin 3 �
6
�
�
�

a
.sin


.sin
2

.cos
3



r
sin

r
1 �
� �
�
�
 2
 �
�
r .sin  �
�
r
�

�

�
�
�

�
�
1 �
a6
a6
1 a6
 2
cos  . .2.cos 2 .cos 3  sin  . .2.cos 3.  2  .sin 2 
. .sin 2 .3.3.cos 3 �
�
r .sin  �
r
r
sin  r
�
2a 6 .cos  .cos 2 .cos 3 4a 6 .cos 3.sin 2 9a 6 .sin 2 .cos 3



r 3 .sin 
r3
r 3 .sin 2 


9. Tính thể tích vật thể F giới hạn bởi các mặt sau:
2
2
x  y  2 y, z  y  2, y  2 z  2
�x  r cos 
Chuyển sang tọa độ trụ �

�y  1  r sin 
zy 2
�z  z
�
Xác định cận 0 � �2
Hình chiếu của vật thể trên mặt Oxy là hình
tròn có bán kính bằng 1 �0 r 1
y  2z  2

Vật thể bị giới hạn dưới bởi mặt y = 2z + 2
và bị giới hạn trên bởi mặt z + y = 2
r.sin   1
 �
z 1 r.sin 
2


zy 2

2

1

1 r .sin 

0

0

r .sin  1

2

V �
dxdydz  �
d �
dr
�
�
F

2

1

�r.dz
2

1

�3 r 3 r
�
�3 3 2
�
�
d �
� .  . .sin  �d
� r  r .sin  �dr  �
2 2
2 2 2 3
�

�0
0
0�
0 �
2

y  2z  2

2

3

2

1
�3 1
�
�3
� 3
�
�  .sin  �d  �   cos  � 
4 2
2
2
�
�4
�0
0 �

Biết F giới hạn bởi z � x  y
2

zdzdydz
10. Tính I  �
�
�
F

x  y  z �2 z
2


4



z�
�
2z
z �
2





2

2

�x  r.sin  .cos 
�
�y  r.sin  .sin 
�z  r.cos 
�

Chuyển sang
hệ tọa độ cầu

1

1

2

z

2

1

x

2

y

2

Hình chiếu F lên (Oxy) là hình tròn
bán kính bằng 1

1


x �
y z 2 z
�0 r 2 cos 
2

1

I

2


2

2

d �
d
�

4

0


4




1



2

r

2 cos 

2cos

3
r
� .cos  .sin  dr
0


2

2cos

4

0

r4
 2 .� .cos  .sin 
 4

d


2


2

4

4

6
�

4.cos
�
5
 2 .�
4.cos  .sin  .d  2 . �
�

� 6
�

1 
 2 . 
12 6