Sự xác định đa thức vi phân các hàm phân hình qua nghịch ảnh của tập điểm (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ NA

SỰ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VI PHÂN
CÁC HÀM PHÂN HÌNH QUA NGHỊCH ẢNH
CỦA TẬP ĐIỂM

Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI

THÁI NGUYÊN - 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn "Sự xác định đa thức vi phân các
hàm phân hình qua nghịch ảnh của tập điểm" là công trình nghiên
cứu khoa học độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GSTSKH. Hà Huy Khoái. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn
này là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước
đây.
Ngoài ra, trong luận văn tôi còn sử dụng một số kết quả, nhận xét
của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.
Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm về nội dung luận văn của mình.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 03 năm 2019

Tác giả

NGUYỄN THỊ NA

XÁC NHẬN

XÁC NHẬN

CỦA KHOA CHUYÊN MÔN

CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN

GS-TSKH. HÀ HUY KHOÁI

i


Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm
chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốt
thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới GS-TSKH . Hà Huy Khoái đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành
đề tài luận văn tốt nghiệp này. Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới
thầy cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong
suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 03 năm 2019

Tác giả

NGUYỄN THỊ NA

ii

i


Mục lục

Lời mở đầu

2

1 Giả thuyết Bruck

3

1.1

Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Bài toán về xác định duy nhất đa thức vi phân . . . . . . .

13

1.3

Quan hệ số khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.4

Các hàm chia sẻ giá trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.5

Sự xác định duy nhất có tham gia của đạo hàm . . . . . .

22

1.6

Các hàm chia sẻ tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.7

Một số kết quả về giả thuyết Bruck . . . . . . . . . . . . .

25

2 Tập xác định duy nhất và số khuyết

33

2.1

Tập xác định duy nhất các hàm . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2

Tập xác định duy nhất đa thức vi phân . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

iii
ii


Lời mở đầu

Lý thuyết phân bố giá trị các hàm phân hình là một cột mốc quan
trọng của giải tích phức trong thế kỉ trước. Lý thuyết này đã phát triển mạnh
bởi nhà toán học Rolf Nevanlinna trong những năm 1920. Trong phạm vi
và tầm ảnh hưởng của mình, phép tính xấp xỉ của ông ta đã vượt trội so
với kết quả trước và ngày nay tên ông được dùng để gọi lý thuyết phân bố
giá trị các hàm phân hình.
Nền tảng của lý thuyết này chính là định lý cơ bản thứ nhất và định
lý cơ bản thứ hai. Trong đó định lý cơ bản thứ nhất nghiên cứu hàm đặc
trưng của hàm phân hình còn định lý cơ bản thứ hai nghiên cứu sâu hơn về
số khuyết của các hàm phân hình. Lý thuyết Nevanlinna có nhiều ứng dụng.
Một trong những ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna là nghiên cứu sự xác
định duy nhất của hàm phân hình. Kết quả đẹp nhất của Nevanlinna trong
lý thuyết duy nhất là định lý Năm điểm. Kế thừa những thành tựu đi trước
của Li, Yang, Rubel,Mues-Steinmets...Năm 1996 Bruck đã đề xuất ra một
giả thuyết nổi tiếng khi xét mối quan hệ giữa hàm chỉnh hình nguyên và
đạo hàm khi chia sẻ một giá trị CM. Sau đó Liu-Yang, Zhang,Lu,Li-Yang...
mở rộng kết quả của mình liên quan đến giả thuyết Bruck tới hàm phân
hình, hàm nhỏ, tới đơn thức và đa thức vi phân.
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương
Chương 1. Giả thuyết Bruck
Chương này bao gồm một số kiến thức chuẩn bị, mô tả một số kết quả
của lý thuyết Nevanlinna, khái niệm tập xác định duy nhất khi xét nghịch
ảnh của tập điểm và một số kết quả của giả thuyết Bruck.
Chương 2. Tập xác định duy nhất và số khuyết
Ở đây chúng ta tìm hiểu về tập xác định duy nhất của các hàm và
tập xác định duy nhất đa thức vi phân
Luận văn sử dụng các phương pháp kĩ thuật của lý thuyết Nevanlinna
và Giải tích phức cùng với một số phép biến đổi về đa thức một biến.
1

Luận văn có mục tiêu trình bày một số kết quả gần đây trong hướng
nghiên cứu về sự xác định của đa thức vi phân các hàm phân hình thông
qua nghịch ảnh của tập điểm là một trong những vấn đề được quan tâm
của Giải tích phức, đề tài có ý nghĩa khoa học trong ngành Giải tích phức
hẹp hơn là lý thuyết phân bố giá trị,là đề tài có tính thời sự.

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 03 năm 2019
Tác giả

NGUYỄN THỊ NA

2


Chương 1
Giả thuyết Bruck
1.1

Một số kiến thức chuẩn bị

Mục đích của chương này là mô tả một số kết quả chính của lý thuyết
Nevanlinna. Chứng minh sẽ không được trình bày đầy đủ. Tham khảo chính
cho phần này là tài liệu của Hayman ([27]). Có thể xem một tổng quan ngắn
về lý thuyết Nevanlinna qua bài báo ([14]). Cho C là mặt phẳng phức. Hàm

f được gọi là giải tích trong miền D ⊂ C nếu f (z) tồn tại hữu hạn tại mọi
điểm của D. Hàm f được gọi là giải tích tại điểm z = z0 nếu tồn tại một
lân cận của điểm z0 ở đó f là giải tích.
Điểm z = z0 ∈ C gọi là điểm không kì dị của hàm f nếu f là giải

tích tại z0 . Điểm z0 gọi là một điểm kì dị của f nếuf không giải tích tại z0 ,
nhưng mọi lân cận của z0 đều chứa ít nhất một điểm mà tại đó f giải tích.
Điểm kỳ dị z0 của f gọi là kì dị cô lập của f nếu f là xác định và giải
tích trong lân cận nào đó của z0 , trừ ra tại chính điểm đó. Nếu ngược lại,

z0 được gọi là điểm kì dị không cô lập của f .
Giả sử z = α là điểm kì dị cô lập của hàm giải tích f . Khi đó, trong
lân cận nào đó của z = α, trừ ra tại chính điểm đó, f có thể được khai triển
dưới dạng sau:
∞

∞

bn (z − α)−n .

n

an (z − α) +

f (z) =
n=0

n=1

3


Chuỗi khai triển của f theo các lũy thừa âm và không âm của z − α được
gọi là khai triển Laurent của f . Nếu đặc biệt, f là giải tích tại z = α thì

bn = 0 với n = 1, 2, 3, ... và khai triển tương ứng này gọi là khai triển Taylor
của hàm f .

∞

Trong khai triển Laurent phần
∞

an (z − α)n gọi là phần đều và phần

n=0

bn (z − α)−n gọi là phần chính. Phần chính có ba khả năng xảy ra:

n=1

i) Nếu tất cả hệ số bn = 0 thì ta gọi z = α là điểm kì dị khử được của f ,
bởi vì có thể làm cho f chỉnh hình tại z = α bằng cách định nghĩa phù
hợp giá trị của nó tại z = α.
ii) Nếu phần chính của f tại α chứa hữu hạn hệ số khác 0 thì f được gọi
là có cực điểm tại z = α. Nếu bm (m ≥ 1) là hệ số không triệt tiêu đầu
tiên trong phần chính thì α được gọi là cực điểm của f với cấp m.
iii) Nếu phần chính của f tại α chứa vô hạn hệ số khác không thì f được
gọi là điểm kì dị cốt yếu tại z = α.
Nếu f là giải tích tại z = α và a0 = a1 = ... = ak−1 = 0 và ak = 0 trong khai
∞

triển Taylor của f quanh α thì khai triển có dạng f (z) =

an (z − α)n .

n=k

Trong trường hợp này, z = α gọi là không điểm của f với bội k .
Hàm f : C → C gọi là hàm nguyên nếu nó giải tích trên toàn bộ mặt
phẳng phức. Ngoài ra f gọi là hàm phân hình trên C nếu f là giải tích trên
C, có thể trừ ra tại các điểm kì dị cô lập, mỗi điểm trong số đó đều là cực
điểm.
Mỗi hàm phân hình trong mặt phẳng phức có thể có vô số cực điểm
hoặc không điểm, hoặc a-điểm, nhưng nó chỉ có hữu hạn những điểm nói
trên trong mỗi miền xác định hữu hạn. Nếu ngược lại, sẽ tồn tại ít nhất
một điểm giới hạn của các cực điểm, hoặc của các không điểm, hoặc của các

a-điểm trong mặt phẳng hữu hạn. Nếu đó là điểm giới hạn của các không
điểm hoặc của các a-điểm, hàm sẽ đồng nhất bằng hằng số (theo định lý

4


xác định duy nhất). Nếu đó là là điểm giới hạn của các cực điểm thì điểm
đó sẽ là điểm kì dị cốt yếu.
Đối với điểm vô hạn, có hai trường hợp:
i) Điểm vô hạn là điểm chính quy hoặc cực điểm. Khi đó hàm có hữu hạn
cực điểm hoặc không điểm. Trong trường hợp này hàm gọi là hàm phân
hình hữu tỷ.
ii) Điểm vô hạn là kì dị cốt yếu. Khi đó hàm có vô số cực điểm hoặc không
điểm, hoặc a- điểm hội tụ đến điểm vô cùng. Trong trường hợp này
hàm gọi là hàm phân hình siêu việt.
Bây giờ chúng ta phát biểu công thức Poisson-Jensen ([2]) cho hàm phân
hình f trên đĩa |z| ≤ R(0 < R < ∞), là điểm khởi đầu của lý thuyết

Nevanlinna.
Định lý 1.1.1. Giả sử f (z) là hàm phân hình trong |z| ≤ R, (0 < R < ∞),

aµ (µ = 1, 2, ..., m) và bν (ν = 1, 2, ..., n) tương ứng là các không điểm và cực
điểm của f (z) trong đĩa |z| ≤ R. Nếu f (z) là giải tích khắp nơi bên trong
và trên biên của đĩa, và z = reiθ (0 ≤ r < R) là một điểm trong |z| ≤ R và

f (z) = 0, ∞ thì
2π

1
log |f (reiθ )| =
2π

R2 − r 2
log |f (Reiφ )|dφ
2
2
R − 2rRcos(θ − φ) + r

0
n

m
R2 − ¯bν reiθ
R2 − a
¯µ reiθ
+
qν log
−

,
pµ log
iθ − b )
iθ − a )
R(re
R(re
ν
µ
ν=1
µ=1

trong đó pµ là cấp của aµ và qν là cấp của bν .

• Ở đây nếu chúng ta đếm các cực điểm hoặc không điểm theo bội của
chúng, thì chúng ta có thể bỏ pµ và qν trong biểu thức trên.

• Công thức này được suy ra từ giả thiết không có các cực điểm bν hoặc
không điểm aµ trên biên |z| = R. Định lí vẫn đúng cho trường hợp có
các không điểm và cực điểm trên |z| = R.
5


Hệ quả 1.1.1 (Công thức Possion). Giả sử rằng f (z) không có không điểm
và cực điểm trong |z| ≤ R. Khi đó nếu z = reiθ (0 ≤ r < R) thì
2π

1
log |f (reiθ )| =
2π

R2 − r 2
log |f (Reiφ )|dφ.
2
2
R − 2rRcos(θ − φ) + r

0

Định lý 1.1.2 (Định lý Jensen). Giả sử f (z) là hàm phân hình trong |z| ≤

R(0 < R < ∞) và có aµ (µ = 1, 2, ..., m) và bν (ν = 1, 2, ..., n) tương ứng là
các không điểm và cực điểm trong đĩa |z| ≤ R. Nếu f (z) là giải tích khắp
nơi bên trong và trên biên của đĩa, và f (0) = 0, ∞ thì
2π

1
log |f (0)| =
2π

m

n

|aµ |
|bν |
log |f (Re )|dφ +
log
−
log
.

R
R
µ=1
ν=1
iφ

0

Nhận xét 1.1.1. Đối với trường hợp f (z) có không điểm bậc λ hoặc cực
điểm bậc −λ tại z = 0 thì khai triển Laurent của f (z) tại gốc tọa độ là

f (z) = cλ z λ + cλ+1 z λ+1 + ..., (cλ = 0), khi đó công thức Jensen có dạng
2π

1
log |cλ | + λ log R =
2π

m

n

aµ
bν
log |f (Re )|dφ +
−
log
log
.
R

R
µ=1
ν=1
iφ

0

Đây là dạng tổng quát của công thức Jensen. Lý thuyết hàm phân hình phụ
thuộc phần lớn vào công thức này.
Rolf Nevanlinna đã phát triển một nghiên cứu có hệ thống về lý thuyết
phân bố giá trị, bằng các định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai của ông.
Cho f (z) là một hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức.
Kí hiệu n(r, a; f ) là hàm đếm các a-điểm của f (z) trong đĩa |z| < r với

a ∈ C ∪ {∞}, trong đó mỗi a-điểm được tính theo bậc của nó. Đặt
r

N (r, a; f ) =

n(t, a; f ) − n(0, a; f )
dt + n(0, a; f ) log r,
t

0

trong đó n(0, a; f ) kí hiệu bội của a-điểm của f (z) tại gốc tọa độ. Rõ ràng

n(0, a; f ) = 0 khi f (0) = a. Nếu a = ∞ thì chúng ta đặt
N (r, ∞; f ) = N (r, f )
6

Hàm N (r, a; f ) là hàm liên tục giá trị thực của r, và được gọi là hàm đếm

f tại a-điểm.
Định nghĩa 1.1.1. Cho x ≥ 0, ta định nghĩa



log x, x ≥ 1
+
log x = max{log x, 0} =


0, 0 ≤ x < 1.
Rõ ràng log x = log+ x − log+

1
với mọi x > 0.
x

Định nghĩa 1.1.2. Chúng ta định nghĩa
2π

1
m(r, ∞; f ) = m(r, f ) =
2π

log+ |f (reiθ )|dθ,
0

Gọi m(r, f ) là hàm xấp xỉ của hàm phân hình f (z). Nếu a ∈ C thì ta đặt
1
m(r, a; f ) = m(r,
). Đại lượng
f −a
2π

1
m(r, a; f ) =
2π

log+

1
dθ
|f (reiθ ) − a|

0

đo độ lệch trung bình của các giá trị của f (z) so với a khi z thay đổi trên
đĩa |z| = r. Thực tế chúng ta thấy rằng khi giá trị của f tương đối xa giá
trị a trên |z| = r, thì m(r, a; f ) là nhỏ. Mặt khác nếu giá trị của f tương
đối gần với a thì đại lượng trên là tương đối lớn.
Ngoài ra, đại lượng N (r, a; f ) là lớn hay nhỏ tùy theo f (z) − a = 0
có nhiều hay ít nghiệm trên đĩa |z| ≤ r.
Định nghĩa 1.1.3. Hàm T (r, f ) := m(r, f ) + N (r, f ) gọi là hàm đặc trưng
Nevanlinna của f .
Hàm đặc trưng đóng vai trò cốt yếu trong lý thuyết Nevanlinna. Các
bất đẳng thức sau đây là các tính chất cơ bản của hàm đặc trưng:

7


Định lý 1.1.3. Nếu fν (z)(ν = 1, 2, ..., p) là hàm phân hình trong

|z| ≤ R (0 < R < ∞), thì với 0 < r < R ta có
p

p

p

fν ) ≤

i) N (r,
ν=1

ν=1

p
ν=1

ν=1

p

fν ) ≤
ν=1

p

fν ) ≤

T (r, fν ) và T (r,
ν=1

ν=1

m(r, fν ) + log p,
ν=1

p

p

fν ) ≤

N (r, fν ),
ν=1

p

m(r, fν ) và m(r,
ν=1

p

iii) T (r,

ν=1

p

fν ) ≤

ii) m(r,

p

fν ) ≤

N (r, fν ) và N (r,

T (r, fν ) + log p.
ν=1

Ta thấy rằng do Định nghĩa 1.1.3 và Nhận xét 1.1.1, có thể viết dạng
tổng quát của công thức Jensen trong thuật ngữ hàm đặc trưng Nevanlinna,
và dạng này được gọi là công thức Jensen-Nevanlinna.
Định lý 1.1.4. Cho f (z) là hàm phân hình trong |z| ≤ R (0 < R < ∞)
với 0 < r < R. Khi đó ta có

1
T (r, ) = T (r, f ) + O(1),
f
trong đó O(1) là đại lượng giới nội phụ thuộc vào f và a nhưng không phụ
thuộc r.
Định lý 1.1.5 (Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna). Cho f (z) là
hàm phân hình khác hằng xác định trong |z| < R (0 < R ≤ ∞) và cho

a ∈ C ∪ {∞} là số phức bất kì. Với 0 < r < R ta có:
T (r,

1
) = T (r, f ) + O(1),
f −a

trong đó O(1) là đại lượng giới nội phụ thuộc vào f và a, nhưng không phụ
thuộc r.
Nhận xét 1.1.2. Định lý cơ bản thứ nhất cho ta cận trên của số không
điểm của phương trình f (z) = a, với a ∈ C ∪ {∞}.
8


Để nghiên cứu một số tính chất của các hàm đặc trưng, chúng ta phát
biểu một biểu thức khác của T (r, f ):
Định lý 1.1.6. Nếu f (z) là hàm phân hình trong |z| < R thì
2π

1
T (r, f ) =
2π

N (r, eiθ )dθ + log+ |f (0)|, 0 < r < R.
0

Biểu diễn tích phân của T (r, f ) được gọi là đồng nhất thức Henri
Cartan.
Hệ quả 1.1.2.

1
2π

2π

m(r, eiθ )dθ ≤ log 2.
0

Định nghĩa 1.1.4. Hàm y = f (z) được gọi là lồi nếu với hai điểm tuỳ
ý (x1 , f (x1 )) và (x2 , f (x2 )) trên đường cong y = f (z), đoạn thẳng nối hai
điểm này nằm bên trên cung của đường cong nối hai điểm đó, tức là với

x ∈ [x1 , x2 ], f (z) không giảm, hoặc
f (x1 )(x1 − x2 ) + f (x)(x2 − x1 ) + f (x2 )(x1 − x) < 0.
Định lý 1.1.7. Với mọi số phức a ∈ C ∪ {∞},
i) N (r, a; f ) là hàm không giảm của r và hàm lồi của log r.
ii) Ngoài ra T (r, f ) là hàm không giảm của r và hàm lồi của log r.
Tuy nhiên hàm m(r, a; f ) không nhất thiết tăng hay lồi, ví dụ:
Ví dụ 1.1.1. Ta xét

f (z) =

z
.
1 − z2

1
và r ≥ 2, mặt khác m(r, f )>0 với r = 1.
2
Dưới đây chúng tôi đưa ra một số ví dụ, một trong số đó sẽ cần thiết trong

Khi đó m(r, f ) = 0 với r ≤

phần tiếp theo.
9


P (z)
, trong đó P (z) và Q(z) là các đa thức
Q(z)
không có thừa số chung và bậc là p và q, và d = max{p, q} thì

Ví dụ 1.1.2. Nếu f (z) =

T (r, f ) = dlogr + O(1) khi r → ∞.
Ví dụ 1.1.3. Nếu g(z) =

af (z) + b
trong đó ad − bc = 0, thì
cf (z) + d

T (r, g) = T (r, f ) + O(1).
Ví dụ 1.1.4. Nếu f (z) = ez thì T (r, f ) =

r
khi r → ∞.
π

Ví dụ 1.1.5. Nếu f (z) = eP (z) trong đó P (z) là đa thức bậc p, thì

|ap |rp

T (r, f ) ∼
khi r → ∞,
π
trong đó ap là hệ số của z p trong P (z).
ez

Ví dụ 1.1.6. Nếu f (z) = e , thì T (r, f ) ∼

er
khi r → ∞.
(2π 3 r)

Định lý sau đây là đặc trưng của hàm phân hình, cho biết nó là siêu
việt hay hữu tỉ.
Định lý 1.1.8. Nếu f (z) là một hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức thì

T (r, f )
=∞
r→∞ logr
lim

Hệ quả 1.1.3. Nếu f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong mặt phẳng
phức thì f (z) là hàm hữu tỉ nếu và chỉ nếu

lim inf

r→∞

T (r, f )

< ∞.
logr

Bây giờ chúng ta nói ngắn gọn về bậc và kiểu của hàm phân hình.

10


Định nghĩa 1.1.5. Cho S(z) là một hàm tăng có giá trị thực và không âm
với 0 < r0 < r < ∞. Bậc ρ và bậc dưới λ của hàm S(z) được định nghĩa là

log+ S(z)
log+ S(z)
ρ = lim sup
và λ = lim inf
.
r→∞
r→∞
log r
log r
Từ định nghĩa, rõ ràng bậc và bậc dưới của hàm luôn luôn thỏa mãn hệ
thức 0 ≤ λ ≤ ρ ≤ ∞.
Định nghĩa 1.1.6. Nếu ρ = ∞, thì S(r) có bậc vô hạn. Nếu 0 < ρ < ∞,
chúng ta đặt c = lim sup S(r)
rρ và xét các trường hợp sau:
r→∞

i) S(r) có kiểu cực đại nếu c = ∞,
ii) S(r) có kiểu trung bình nếu 0 < c < ∞,
iii) S(r) có kiểu cực tiểu nếu c = 0,

∞

iv) S(r) có lớp hội tụ nếu
r0

S(t)
tρ+1 dt

hội tụ.

Nhận xét 1.1.3. Nếu S(r) có bậc ρ(0 < ρ < ∞) thì với mọi ε(> 0)
i) S(r) < rρ+ε với mọi r đủ lớn và
ii) S(r) > rρ−ε với dãy giá trị thực của r → ∞.
Nhận xét 1.1.4. Nếu S(r) có bậc dưới λ(0 < λ < ∞) thì với mọi ε(> 0)
i) S(r) > rλ−ε với mọi r đủ lớn và
ii) S(r) < rλ+ε với dãy giá trị của r → ∞.
∞

Định lý 1.1.9. Giả sử S(r) có bậc ρ(0 < ρ < ∞). Khi đó tích phân
r0

S(t)
tk+1 dt

hội tụ nếu k > ρ và phân kì nếu k < ρ.
Định lý 1.1.10. Nếu S(r) có bậc ρ(0 < ρ < ∞) và có lớp hội tụ thì S(r)
có kiểu cực tiểu với bậc ρ.
11

Sau đây là ví dụ chứng tỏ định lý đảo là không đúng.
Ví dụ 1.1.7. Giả sử S(r) = rλ (log r)µ , khi đó λ là bậc của S(r). Nếu chọn

0 < λ < ∞ và −1 < µ < 0 thì S(r) có kiểu cực tiểu nhưng không thuộc
lớp hội tụ.
Giả sử f (z) là hàm nguyên khác hằng. Khi đó để đặc trưng cấp tăng
của hàm và phân bố không điểm, ta xét hàm mô đun cực đại:

M (r) = M (r, f ) = max |f (z)|.
|z|=r

Định lý 1.1.11. Nếu f (z) là khác hằng và chính quy trong |z| ≤ R thì

T (r, f ) ≤ log+ M (r, f ) ≤

R+r
T (R, f ) với 0 ≤ r < R.
R−r

Từ bất đẳng thức trên ta có hệ quả sau đây.
Hệ quả 1.1.4. Nếu f (z) là hàm nguyên khác hằng thì các hàm S1 (r) =

log+ M (r, f ) và S2 (r) = T (r, f ) có cùng bậc.
Hơn nữa, nếu giá trị của bậc chung là ρ(0 < ρ < ∞), thì S1 (r) và

S2 (r) đồng thời có cùng kiểu cực tiểu, kiểu trung bình, kiểu cực đại, hoặc
có lớp hội tụ.
Tiếp theo chúng ta xác định bậc và siêu bậc của hàm phân hình.
Định nghĩa 1.1.7. Cho f (z) là hàm phân hình khác hằng trong mặt phẳng
phức mở. Hàm f (z) được gọi là có bậc ρ, kiểu cực đại, kiểu trung bình, kiểu

cực tiểu hoặc có lớp hội tụ nếu hàm đặc trưng T (r, f ) có các thuộc tính
này.
Định nghĩa 1.1.8. Siêu bậc ρ2 (f ) của hàm phân hình khác hằng f (z) được
định nghĩa bởi

ρ2 (f ) = lim sup
r→∞

12

log log T (r, f )
.
log r


Chú ý rằng, đối với một hàm nguyên f (z), chúng ta có thể lấy log+ M (r, f )
thay cho T (r, f ) trong Định nghĩa 1.1.7 do Hệ quả 1.1.4.
Định lý 1.1.12. Nếu ρf và ρg là các bậc của hàm phân hình f (z) và g(z)
tương ứng thì
i) deg(f ± g) ≤ max{ρf , ρg },
ii) deg(f g) ≤ max{ρf , ρg },

f
iii) deg( ) ≤ max{ρf , ρg }.
g
Ngoài ra có đẳng thức trong trường hợp ρf = ρg .

1.2

Bài toán về xác định duy nhất đa thức vi phân

Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về Định lý cơ bản thứ hai. Để đưa ra Định
lý cơ bản thứ hai, chúng ta giới thiệu một bổ đề quan trọng, được gọi là bổ
đề về đạo hàm logarit.
Bổ đề này nói rằng, nếu f là một hàm phân hình, thì giá trị trung
f
bình tích phân của log+
trên đường tròn lớn không thể tiến ra vô hạn
f
nhanh hơn so với T (r, f ).
f
f
2
Ví dụ, nếu f (z) = ee thì
= 2z, vì vậy
→ ∞ khi r → ∞. Tuy
f
f
f
nhiên, chúng ta thấy ở đây tốc độ của log
tiến tới vô cùng là rất chậm
f
so với T (r, f ).
Bổ đề về đạo hàm logarit lần đầu tiên được chứng minh bởi R.Nevanlinna,
và là cơ sở cho chứng minh đầu tiên của ông về Định lý cơ bản thứ hai.
Định lý 1.2.1. ([2]) Giả sử rằng f (z) là một hàm phân hình khác hằng
trong |z| < R và aj (j = 1, 2, ..., q) là q số phức hữu hạn phân biệt. Khi đó
q

m(r,

j=1

1
)=
f − aj

q

m(r,
j=1

1
) + O(1) với 0 < r < R.
f − aj
13


Định lý 1.2.2. ([2]) Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng trong mặt
phẳng phức và f (0) = 0, ∞. Khi đó

m r,

f
f

<4 log+ T (R, f ) + 3 log+
+4 log+ log+

1
1

+ 4 log+ R + 2 log+
R−r
r

1
+ 10,
|f (0)|

Với 0 < r < R < ∞.
Nhận xét 1.2.1. Nếu f (0) = 0 hoặc ∞ thì chúng ta có thể viết

f (z) = z λ g(z) với λ ∈ Z nào đó và hàm phân hình g(z) nào đó, sao cho
f (z)
λ g (z)
g(0) = 0 hoặc ∞. Khi đó
= +
. Vì vậy chúng ta có thể áp
f (z)
z
g(z)
g
và từ đó nhận được bất đẳng thức tương
dụng Định lí 1.2.2 cho m r,
g
f
tự với m r,
.
f
Định lý 1.2.3. ([2]) Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong
mặt phẳng phức.

i) Nếu bậc của f (z) là hữu hạn thì m r,
ii) Nếu bậc của f (z) là vô hạn thì m r,

f
f

f
f

= O(log r) khi r → ∞,
= O(log(rT (r, f ))) khi r → ∞

và r ∈
/ E0 ,
trong đó E0 là một tập hợp có độ đo tuyến tính không lớn hơn 2.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng trên mặt
∆
phẳng phức. Một số ∆ được gọi là S(r, f ) nếu
→ 0 khi r → ∞ và
T (r, f )
r∈
/ E0 trong đó E0 là một tập hợp có độ đo tuyến tính không lớn hơn 2.
Định lý 1.2.4. ([2]) Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trên R.
i) Nếu bậc của f (z) là hữu hạn thì O(log r) = S(r, f ) khi r → ∞,
14


ii) Nếu bậc của f (z) là vô hạn thì O(log(rT (r, f ))) = S(r, f ) khi r → ∞
và r ∈
/ E0 ,

trong đó E0 là một tập hợp có độ đo tuyến tính không lớn hơn 2.
Định lý 1.2.5 (Bổ đề đạo hàm logarit). ([2]) Giả sử f (z) là hàm phân hình
khác hằng trên toàn bộ mặt phẳng phức. Khi đó

m r,

f
f

= S(r, f ) khi r → ∞ và r ∈
/ E0 ,

trong đó E0 là một tập hợp có độ đo tuyến tính không lớn hơn 2.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử f (z) là hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng
phức và l là một số tự nhiên. Khi đó

f (l)
m r,
f

= S(r, f ) khi r → ∞ và r ∈
/ E0 ,

trong đó E0 là một tập hợp có độ đo tuyến tính không lớn hơn 2.
Bây giờ chúng ta đưa ra một trong những kết quả có giá trị nhất trong
lý thuyết phân bố giá trị, cụ thể là Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna.
Định lý 1.2.6. Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong |z| < R
và aj (j = 1, 2, ..., q), là q(q ≥ 2) số phức hữu hạn phân biệt. Khi đó với

0 < r < R, ta có

q

m(r, f ) +

m r,
j=1

1
f − aj

≤ 2T (r, f ) − N1 (r) + ∆(r, f ),

trong đó

N1 (r) = N (r, 0; f ) + 2N (r, ∞; f ) − N (r, ∞; f ),
và


∆(r, f ) = m r,

f
f

q

+ m r,
j=1

15



f 
3q
+ qlog + + log2.
f − aj
δ

(1.1)


Từ các Định lí 1.2.1, 1.2.6 và Bổ đề đạo hàm logarit suy ra hệ quả
trực tiếp.
Hệ quả 1.2.2. Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong |z| < R
và aj (j = 1, 2, ..., q) là q(q ≥ 2) số phức hữu hạn phân biệt. Khi đó với

0 < r < R, ta có
q

m(r, f ) +

m r,
j=1

1
f − aj

≤ 2T (r, f ) − N1 (r) + S(r, f ).

ngoài một tập E0 của r có độ đo tuyến tính không vượt quá 2, và đại lượng

N1 (r) là giống như trong phương trình (1.1).
Để mô tả Định lý cơ bản thứ hai một cách đầy đủ, chúng ta cần giới
thiệu một vài kí hiệu.
Cho f là một hàm phân hình khác hằng trong |z| < R(≤ ∞) và

a ∈ C ∪ {∞} với 0 < r < R, chúng ta kí hiệu n
¯ (a, r; f ) là số nghiệm phân
biệt của f (z) = a trong |z| ≤ r, các nghiệm được tính một lần. Tương tự
chúng ta định nghĩa
r

N (r, a; f ) =

n
¯ (t, a; f ) − n
¯ (0, a; f )
dt + n
¯ (0, a; f ) log r,
t

1

trong đó n
¯ (0, a; f ) = 0 nếu f (0) = a và n
¯ (0, a; f ) = 1 nếu f (0) = a .
Bổ đề 1.2.1. Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong mặt phẳng
phức. Cho aj (j = 1, 2, ..., q) là các số phức phân biệt. Khi đó
q

q

1
N r,
f − aj
j=1

− N1 (r) ≤

N r,
j=1

1
f − aj

.

Vì vậy theo Bổ đề 1.2.1, Hệ quả 1.2.2 có thể viết như sau:
Định lý 1.2.7. Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong |z| < R.
Cho a1 , a2 , ..., aq là q(q ≥ 2) số phức hữu hạn phân biệt. Khi đó với 0 < r <
16


R,
q

(q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, ∞; f ) +

N r,
j=1

1
f − aj

+ S(r, f ),

(1.2)

đúng với mọi r ∈ (0, ∞), ngoài một tập hợp có độ đo tuyến tính không lớn
hơn 2.
Từ thời điểm này, Định lý 1.2.7 sẽ được coi như là Định lý cơ bản thứ
hai.
Nhận xét 1.2.2. Định lý cơ bản thứ hai cho cận dưới của số không điểm
của phương trình f (z) = a.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử f (z) và a(z) là hai hàm phân hình trong mặt
phẳng phức. Nếu T (r, a) = S(r, f ) thì a(z) gọi là hàm nhỏ đối với f (z).
Ví dụ 1.2.1.
i) Hàm hữu tỉ là hàm nhỏ đối với hàm phân hình siêu việt.
z

ii) ez là hàm nhỏ đối với ee .
Định lý 1.2.8 (Định lý Milloux). Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác
hằng trong mặt phẳng phức và l là một số nguyên dương. Nếu ψ(z) =
l

aj (z)f (j) (z), trong đó a1 , a2 , ..., al là các hàm nhỏ của f thì

j=1

i) m r,

ψ
f

= S(r, f ) và

ii) T (r, ψ) ≤ T (r, f ) + lN (r, ∞; f ) + S(r, f ).
Bây giờ chúng ta phát biểu Định lý cơ bản thứ hai cho hàm nhỏ.
Định lý 1.2.9. Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong mặt
phẳng phức và a1 (z), a2 (z), a3 (z) là 3 hàm nhỏ phân biệt của f (z). Khi đó
3

T (r, f ) ≤

N (r, aj ; f ) + S(r, f ),
j=1

17


với mọi giá trị r dương, trừ ra một tập E có độ đo tuyến tính hữu hạn.
Năm 2001, Li-Zhang ([28]) đã chứng minh định lý sau đây :
Định lý 1.2.10. Giả sử f (z) là hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức và a1 (z), a2 (z), ..., aq (z) là q hàm nhỏ phân biệt của f (z). Khi đó
q

(q − 1)T (r, f ) < N (r, ∞; f ) +

N (r, aj ; f ) + S(r, f ),
j=1

với mọi r dương, trừ ra một tập E0 có độ đo tuyến tính hữu hạn.
Bây giờ ta nêu một trường hợp riêng về kết quả của K.Yamanoi ([15]).
Định lý 1.2.11. Giả sử f (z) là hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức, và a1 (z), a2 (z), ..., aq (z) là q hàm phân hình phân biệt với f ≡ ai . Khi
đó với ∀ε > 0, tồn tại một hằng số dương C(ε) sao cho
q

(q − 2 − ε)T (r, f ) <

q

N (r, aj ; f ) + C(ε)
j=1

T (r, aj ) + S(r, f ),
j=1

với mọi r dương, trừ ra một tập E0 có độ đo tuyến tính hữu hạn.
Định lý sau đây là hệ quả trực tiếp từ Định lý 1.2.11, nó là sự mở
rộng của Định lý 1.2.9.
Định lý 1.2.12. Giả sử f (z) là hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức và a1 (z), a2 (z), ..., aq (z) là q hàm nhỏ phân biệt đối với f . Khi đó với

∀ε > 0, tồn tại hằng số C(ε) thỏa mãn
q

(q − 2 − ε)T (r, f ) <

N (r, aj ; f ) + S(r, f ),

j=1

với mọi r dương, trừ ra một tập E0 nào đó có độ đo tuyến tính hữu hạn.
Lý thuyết phân bố giá trị có nhiều ứng dụng trong nhiều ngành toán
học. Sau đây là một vài ví dụ trong lý thuyết hàm.

18


1.3

Quan hệ số khuyết

Trong phần này đầu tiên chúng ta phát biểu một dạng yếu của Định lý cơ
bản thứ hai của Nevanlinna, và sau đó phát biểu một số hệ quả đẹp của nó.
Vì vậy chúng tôi giới thiệu một số kí hiệu.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử f (z) là một hàm phân hình khác hằng trong

|z| < R với 0 < r < R ≤ ∞ và a ∈ C ∪ {∞}, ta định nghĩa
N (r, a; f )
,
r→R
T (r, f )
N (r, a; f )
,
Θ(a, f ) =1 − lim sup
r→R
T (r, f )
N (r, a; f ) − N (r, a; f )
θ(a, f ) = lim inf

.
r→R
T (r, f )
δ(a, f ) =1 − lim sup

Các đại lượng δ(a, f ), Θ(a, f ) và θ(a, f ) được gọi lần lượt là số khuyết, chỉ
số rẽ nhánh và chỉ số bội của giá trị a đối với hàm f .

• Rõ ràng 0 ≤ δ(a, f ) ≤ Θ(a, f ) ≤ 1.
• Cho ε > 0 và giá trị r đủ lớn,
N (r, a; f ) − N (r, a; f ) > {θ(a, f ) − ε}T (r, f )
và

N (r, a; f ) < {1 − δ(a, f ) + ε}T (r, f ).
Từ đó

N (r, a; f ) < {1 − δ(a, f ) − θ(a, f ) + 2ε}T (r, f );
nghĩa là,

δ(a, f ) + θ(a, f ) ≤ Θ(a, f ).
Vì vậy

0 ≤ min{δ(a, f ), θ(a, f )} ≤ max{δ(a, f ), θ(a, f )} ≤ δ(a, f ) + θ(a, f )
≤Θ(a, f ) ≤ 1.
19


Định lý 1.3.1. ([2])[Dạng yếu của định lý cơ bản thứ hai] Giả sử f (z) là
hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp T = {a :

Θ(a, f ) > 0} là tập đếm được, và khi lấy tổng theo mọi giá trị của a, ta có
{δ(a, f ) + θ(a, f )} ≤
a∈T

Θ(a, f ) ≤ 2.

(1.3)

a∈T

Tiếp theo chúng ta xem xét một số định lý quan trọng của các hàm
phân hình và chỉnh hình. Đầu tiên xét Định lý cơ bản của đại số (Fundamental Theorem of Algebra- FTA): nếu f là đa thức có bậc n > 0 thì f − a
có n không điểm trong C, với a ∈ C. Tuy nhiên, mở rộng trực tiếp của FTA
là không đúng. Định lý Picard cho biết thêm rằng, các hàm nguyên có thể
nhận mỗi giá trị vô hạn lần, trong khi có thể bỏ qua một giá trị.
Định nghĩa 1.3.2. Giả sử f (z) là hàm phân hình siêu việt trong mặt phẳng
phức. Một giá trị hữu hạn a gọi là loại trừ Picard của f (z) nếu f (z) − a
không có không điểm.
Định lý 1.3.2 (Định lý nhỏ Picard). Hàm chỉnh hình khác hằng tuỳ ý có
nhiều nhất một giá trị loại trừ trong mặt phẳng phức.
Ví dụ ez loại trừ giá trị 0.
Nhận xét 1.3.1. Thực chất, Định lý cơ bản thứ hai là tổng quát hoá từ
Định lý Picard.
Định lý 1.3.3. Hàm phân hình khác hằng tuỳ ý có nhiều nhất hai giá trị
loại trừ Picard trong C.
Chẳng hạn tan z loại trừ ±i.
Định lý cuối cùng của Fermat nói rằng, với mọi n ≥ 3, không tồn tại
bộ ba số nguyên khác không (x, y, z) nào thỏa mãn xn + y n = z n . Trong
phần này chúng ta xét một dạng của định lý Fermat cho các hàm.
20

Định lý 1.3.4. Giả sử f và g là các hàm nguyên (tương ứng, phân hình
) khác hằng, thỏa mãn f n + g n = 1 với ∀z ∈ C, và giả sử n là số nguyên
không âm. Khi đó n ≤ 2 (tương ứng, 3)

1.4

Các hàm chia sẻ giá trị

Kết quả hấp dẫn nhất của Nevanlinna trong lý thuyết duy nhất là Định lý
năm điểm. Như các kết quả đẹp khác trong giải tích phức, không có phiên
bản tương ứng của định lý này trong trường hợp thực. Để phát biểu định
lý này, chúng ta giới thiệu một số kí hiệu.
Định nghĩa 1.4.1. ([7]) Giả sử f (z) và g(z) là hai hàm phân hình khác
hằng và a ∈ C ∪ {∞}. Chúng ta định nghĩa

Ef (a) = {(z, p) ∈ C × N|f (z) = a với bội p},
E f (a) = {(z, 1) ∈ C × N|f (z) = a với bội p}.
¯f (a) = E¯g (a)), ta nói rằng f và g chia sẻ
Nếu Ef (a) = Eg (a) (tương ứng, E
giá trị a kể cả bội, viết tắt là CM (tương ứng, không kể bội, viết tắt là IM)
Định lý 1.4.1 (Định lý năm điểm Nevanlinna). Giả sử f (z) và g(z) là hai
hàm phân hình khác hằng trong mặt phẳng phức và a1 , a2 , a3 , a4 , a5 là 5 giá
trị phân biệt trong mặt phẳng phức mở rộng. Nếu f và g chia sẻ aj (j = 1, 5)
IM thì f ≡ g .
Nhận xét 1.4.1. Số 5 là giá trị chặt trong định lý trên, ví dụ chúng ta nhận
xét rằng f (z) = ez và g(z) = e−z chia sẻ bốn giá trị 0, 1, −1, ∞ IM, nhưng

f ≡ g.

Định nghĩa 1.4.2. Cho m là một số nguyên dương hoặc vô cùng và a ∈
C ∪ {∞}. Qua Em) (a; f ) ta ký hiệu tập hợp tất cả các a-điểm của f với bội
21