Nhập môn toán học tài chính

Nhập môn

TOÁN HỌC
TÀI CHÍNH
N H À XUẤT BẢ N KHOA HỌC V À KỸ THUẬT


TRÂN HÙNG THAO

NHẬP MÔN
TOÁN HỌC TÀI CHÍNH
(Tái bản củ sửa chữa, bô sung)

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT
HÀ NÒI - 2009


LỜI NÓI ĐẢU CHO LÀN XUÁT BẢN THỨ 2

Theo yêu cầu của nhiều bạn đọc, chúng tôi tiến hành tá i bản cuốn
sách n ày vói m ộ t s ố chỉnh sửa những sai sót cho lần xu ấ t bản trước.
Hơn nữa, ỏ lần xu ấ t bản này, trong phần đầu Chương 2 - L ý thuyết độ
chênh thị già chúng tô i đã viết lại cho dễ hiểu và chính xá c hơn.
Toán học tà i chính ngày càng được p hát triển m ạnh hơn, k ể từ lần
x u ấ t bản trước tới n a y nhiều phương pháp mới đã ra đời có tính ứng
d ụng và tính sư p h ạ m cao và có thể đưa vào các giáo trình toán học tài
chính, tuy vậy do khuôn khổ cuốn sách có hạn, hy vọng những nội
d ung đó sẽ được chúng tôi đề cập đến ở tập tiếp theo hoặc ỏ lần tái
bản sau.
Tàc giả luôn m ong nhận được các ỷ kiến đóng góp của bạn đọc đ ể
hoàn thiện hơn cho cuốn sách. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn

N hà xu ấ t bản K hoa học và Kỹ thuật đã tạo điều kiện tố t nhất đ ể cuốn
sách được tà i bản lần này.

H à Nội. th á n g 8/2009


Nhập môn Toán học tài chính

LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn sách này sẽ cung cấp cho bạn đọc những kiến thức ban đầu
về m ột s ố phương pháp toán học chính dùng trong nghiên cứu về các thị
trường tài chính, trên cơ sỏ đòi hỏi một sự hiểu biết không nhiều lắm về
toán học, trong phạm vi hai năm đầu về toán đại cương ỏ bậc đại học,
nhằm phục vụ một đối tượng rộng rãi bạn đọc: sinh viên ngành toán tài
chính, nhà kinh tế, nhà quản lý, nhà nghiên cứu toán học ứng dụng...
Thực ra, toán học dùng cho nghiên cứu về tài chinh gồm nhiều bộ môn,
nhưng trong đó, đóng một vai trò lớn là các phép vi tích phân ngẫu nhiên
và phương trình vi phân ngẫu nhién.
Với những người mới bắt đầu, nếu chỉ sa đà vào cấc chi tiết kỹ thuật
rất khó của Giải tích ngẫu nhiên thì rất chóng nản lòng, không nắm được
bản chất kinh tế-tài chinh của vấn đề, như người "thấy cây mà chẳng thấy
rừng", không biết rằng các mô hình toàn học được đặt ra ch ỉ là các công
cụ đ ể thấy rô cài rừng ấy.
Cuốn sách này muốn khắc phục những khó khàn đó cho bạn đọoNội dung được trình bày từ dễ đến hơi khó, với nhiều thí dụ dẫn giải và với
những phương tiện toán học vừa phải nhưng đủ sâu sắc để diễn đạt và giải
quyết vấn đề đặt ra. Nội dung cũng bao qồm hầu hết những mô hình toán
học vẫn gặp trong nghiên cứu về các thị trường tài chinh như: thị trường
cổ phiếu, trái phiếu, Quyền Chọn, tiền tệ, lãi suất, các loại hợp-đống, vấn
đề rủi ro tài chinh, phòng hộ và bảo hiểm. Các công cụ toán học được đưa
vào m ột cách tự nhiên và cũng đa dạng, không ch ỉ dừng lại ỏ các phương

pháp của Giải tích ngẫu nhiên.
Về tên gọi, thực ra môn học này ở nước ngoài người ta gọi là "Tài chinh
ỉoán học" (Mathematical Finance) với "toán học" được dùng như một tinh
ngữ bổ nghĩa cho "Tài chính". Còn ỏ nước ta, chúng tôi thấy tên gọi "Toán
học tài chính" hay "Toán tài chính" là chấp nhận được, vòi nội dung là
"Các phương pháp toán học dùng cho việc nghiên cứu về các thị trường
tài chính".
Trong phần Phụ lục, chúng tôi có nêu tóm tắt một số sự kiện quan
trọng (không chứng minh) của Giải tích ngẫu nhiên đ ể bạn đọc tiện tham
khảo.


LỜI nói đầu

5

Có một bảng đối chiếu thuật ngữ ỏ cuối sách, về các thuật ngữ toán
tài chinh, chúng tôi thấy còn có nhiều việc phải bàn. ơ đ â y chúng tôi chỉ
muốn nói rằng việc xây dựng thuật ngữ tiếng Việt cho những môn khoa
học còn mới mẻ ở nước ta phải được tiến hành thật nghiêm túc trên co sở
vừa mạnh dạn vừa thận trọng. Một thuật ngữ phải phản ảnh tối đa có thể
được nội dung ngữ nghĩa mà nó mang tải, nhưng phải được cấu thành trên
cơ sỏ tu từ học (rhetoric) và tôn trọng các quy tắc tạo từ Hán-Việt. Vì thế,
chẳng hạn chúng tôi không chuyển ngữ từ "arbitrage" thành "cơ lợi",
Cuốn sách này được hình thành trên cơ sỏ đúc kết kinh nghiệm của
tác giả qua một số năm làm nghiên cứu và giảng dạy môn học này tại
nước ngoài.
Nhản đây tác giả xin chân thành cám ơn các đổng nghiệp là các giáo
sư Christine Thomas (Toulouse, Pháp), Victor Goodman (Indiana, Hoa
kỳ) và Nguyễn Văn Hữu (Đại học Quốc gia Hà Nội), về những góp ỷ quan

trọng.
Như đã nói ỏ trên, một sự trình bày tương đối có hệ thống và tương đổi
dễ hiểu các phương pháp toán học chính dùng trong nghiên cứu các thị
trường tài chính là mục đích của cuốn sách này. Một sổ vấn đề quan trọng
và mang tính chất thời sự của Toán học tài chính vòi những công cụ toán
học uyên bác là đổi tượng của một cuốn sách chuyên khảo sẽ ra đời sắp
tòi.
Tác giả cũng xin chắn thành cám ơn Nhà Xuất bản Khoa học và Kỹ
thuật đã biên tập rất chu đáo cuốn sách này và tạo nhiều điều kiện thuận
lợi để sách sớm đến tay bạn đọc.
Hy vọng cuốn sách này sẽ mang lại ít nhiều ích lợi cho các bạn đọc
cần đến Toán học tài chính trong những bước đầu tiên đi vào lĩnh vực này.
Như bao tác giả khác, chúng tôi trân trọng càm ơn bạn đọc về mọi sự góp
ỳ để sửa chữa những sai sót còn tồn tại trong cuốn sách.

Hà Nội, tháng 9 năm 2003
Trần Hùng Thao
Vié?i Toán hoc

'


MỤC LỤC
LỜI N Ó I Đ Ầ U C H O L Ầ N X U Ấ T BẢ N T H Ứ 2

3

LỜI N Ó I Đ Ầ U

5

M ỤC LỤ C

7

CH Ư Ơ NG 1. C Á C T H Ị T R Ư Ờ N G T À I C H ÍN H

23

1. Thị trường và toán h ọ c ........................................................................23
2. Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh

25

2.1. Hợp đồng cổ phiếu ký kết trước
{Forward Stock C o n tr a c t)........................................................... 26
2.2. Đầu tư để bảo h ộ ...........................................................................27
2.3. Mua bán một chiến lược đầu t ư ..................................................28
3. Cơ hội có độ chênh thị g i á ................................................................. 29
3.1. Cơ hội thứ n h ấ t ..............................................................................29
3.2. Cơ hội thứ h a i ................................................................................. 30
3.3. Phương trình không có chênh lệch g i á ..................................... 30
3.4. Đáp ứng để bảo hộ và Sự không có chênh lệch g i á ................32
4. Hợp đổng Quyền Chọn M u a .............................................................. 33
4.1. Định nghĩa....................................................................................... 33
4.2. Lời hay lỗ vào lúc đáo h ạ n ........................................................... 33
4.3. Thí dụ về hợp đồng kiểu châu  u ...............................................34
4.4. Thí dụ vé sự thực thi sớm (Hợp đồng kiểu M ỹ ) ......................35
4.5. Giá của một hợp đồng quyển lựa chọn m u a ............................35
5. Các hợp đồng Quyền Chọn B á n ........................................................ 36

5.1. Các điều kiện của hợp đồng Quyền Chọn B á n .........................37
5.2. Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn

........................................................ 37
7


Nhập môn Toán học tài chính

8

5.3. Thí dụ 1: Quyền Bán dùng để bảo h ộ .............................................38
5.4. Thí dụ 2: Thực thi s ớ m ..................................................................... 3 ')
5.5. Giá Quyền B á n .................................................................................. 3 ‘)
5.6. Bấn khống {Short S e llin g ) ............................................................... 3 ‘)
6. Định giá các "hợp đồng giao sau " ......................................................... 4 ()
6.1. Thí dụ 1 .............................................................................................. 4 0
6.2. Thí dụ 2 .......................................................................................... 41
6.3. Hợp đồng giao sau về cổ p h i ế u .................................................. 41
6.4. Định giá hợp đồng giao sau đối với cổ phiếu

.........................43

7. Thị trường trái p h i ế u ........................................................................... 43
7.1. Khái niệm c h u n g ........................................................................... 4 3
7.2. Các loại ưái p h i ế u ........................................................................45
7.3. Tỷ lệ lợi nhuận hay lợi suất (Rate o f R eturn)............................4ò
7.4. Thị trường trái phiếu Hoa k ỳ ........................................................ 4S
7.5. Lãi suất và lãi suất định tr ư ớ c .............................................. ... . 50
7.6. Đường hoa lợ i..................................................................

5

]

8. Hợp đồng giao sau vê lãi suất (Interest Rate F u tu res)............... 52
8.1. Khái niệm c h u n g .................................................. ........................ 52
8.2. Xác định giá Hợp đồng giao s a u ............................................... 5 3
8.3. Hợp đổng giao sau về Tín phiếu kho b ạ c .................................. 55
9. Trao đổi ngoại t ệ .................................................................................... 55
9.1. Đặt vấn đế

.................................................................................... 5 6

9.2. Tính t o á n ....................................................................................... 5 7
C H Ư Ơ N G 2. L Ý T H U Y Ế T Đ Ộ C H Ê N H T H Ị G IÁ
(A R B IT R A G E )
,1. Giá được xem như các quá trình ngẫu n h i é n ............................... 59
2. Thông tin và các thị t r ư ờ n g .............................................................. 60

59


Mục ìục

^

2.1. Trưòng thông tin và ơ -trư ờ n g ..................................................... 60
2.2. Luồng thông tin thị trường............................................................61
2.3. Không gian xác suất được l ọ c ..................................................... 62

2.4. Lịch sử diẽn biến của giá tài s ả n ............................................... 62
2.5. Luồng thông tin tổng hợp'cúa thị trư ờ n g ...................................63
2.6. Giả thuyết thị trường hiệu q u ả ..................................................... 63
3. Các khái niệm c h u n g ........................................................................... 64
3.1. Phương án đầu t ư ........................................................................... 64
3.2. Phương án mua và b á n .................................................................. 65
3.3. Cân đối lại và Tự tài t r ợ ...............................................................65
4. Cư hội có chênh lệch thị giá và nguyên lý AAO

66

4.1. Cơ hội có độ chênh thị g i á ............................................................66
5. Nguyên lý Đáp ứng và Khái niệm thị trường đầy đủ

67

6. Định giá bằng phương pháp độ chênh thị giá

68

6.1.Quan hệ giữa nguyên lý AAO và nguyên lý đáp ứng................ 68
6.2.

Ý tưởng chính của việc định giá bằng phưcmg pháp độ chênh thị

g iá ....................................................................................................................
7. Xác suất rủi ro-trung tính hay độ đo mac-tin-gan
7.1. Định nghĩa......................

. .

71

..................................................

7.2. Chú ý ................................................................................................. ”72
7.3. Giải thích thêm về phương pháp rỉii ro trung t í n h ................... 73
C H Ư Ơ N G 3. Đ ỊN H G IÁ M Ộ T SẢ N P H Ẩ M

p h á i s in h

81

1. Định giá một Quyền Chọn và định giá một sản phẩm phái sinh
nói c h u n g ..............................................................................................
1 . 1 . Định giá theo Phưcfng pháp Lý thuyết Trò c h ơ i ..........................82
1 .2 .

Công thức tổng quát định giá theo Lý thuyết Trò chơi . . . .

85

1.3. Định giá theo các phưcmg án đầu tư đáp ứ ng................................86


Nhập môn Toán học tài chính
1.3.1. Một phươnií án đầu t ư ......................................................

S6

1.3.2. Định giá bằng giá trị kỳ vọng to á n .......................................S8
1.3.3. Xác suất định g i á ...............................................

()0

1.3.4. Phương pháp Xác su ấ t.............................................................()2
2. Sơ bộ về rủi ro tài c h í n h ......................................................................... 05
C H Ư Ơ N G 4. Đ ỊN H G IÁ Q U Y Ể N

chon

,

M Ô H ÌN H B L A C K -SC H O L E S VÀ
M Ô H ÌN H C O X -R O SS-R U B IN ST E IN
1. Mô hình B lack -S ch oles........................................
1.1. Giới thiệu mô hình và kết q u ả ...............................

99
99

99

1.2. Tại sao lại dẫn đến phương trình (3 .1 )?..................................

101

1.3. Quá trình chuyển động Brown hình h ọ c ...............................

102

1.4. Xác định các tham số của chuyển động Brown hình học . ,

102

2. Công thức Black-Scholes về giá của hợp đồng Quyền
Chọn M u a ........................................................................

105

2.1. Giá Quyền Chọn là giá trung bình đã chiết k h ấ u ................
2.2. Tính tích phân (2.7)........................................................

105

Chú ý 1: Công thức Căp đổi M u a -B á n ............................................

I ]0

Chú ý 2: Quyền Chọn Mua châu Âu sô h ó a ..................................

112

3. Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes

11

............................

3.1. Khai triển hàm V'(5', t ) ........................................................

106

1] 3

3.2. Thay thế, tính toán và bỏ qua các số hạng bậc c a o ............

113

3.3. Tìm một Phương án đáu tư (Bước 4 ) ..................................

IỊ 4

3.4/C ác điều kiện biên đối với phương trình Black-Scholes . . .

I ló

3.5. Giải phương trình Black-Scholes ............................................

116

4. Mô hình Cox-Ross-Rubinstein........................................................

117

4.1. Mô tả toán học mô hình nhị t h ứ c .........................................

118

Mục lục

*’

4.1.!. Định ngliTa.......................................................................

118

4.1.2. Diẽn biến của s ..............................................................

118

4.1.3. Xác suất ITIÌ ro trung tí n h .............................................

119

4.2. Định íỊÌá Quyền Chọn kiểuchâu  u .......................................

120

4.2.1. Định n£;hĩa và ký h iệ u .....................................................

120

4.2.2. Cây đồ thị .......................................................................

121

4.2.3. Giá quyền c h ọ n ..............................................................

121

4.3. Trường hợp các Quyền Chọn kiểu M ỹ ..................................

122

CH Ư Ơ N G 5. B Ả O H ộ G IÁ

123

1. Mử đầu: Bảo hộ giá là gì?

>23

2. Bảo hộ d e l t a .......................................................................................

124

2.1. Khái niệm mở đ ầ u ....................................................................

124

2.2. Bảo hộ và Quy hoạch đ ộ n g .....................................................

126

2.3. Chú ý .............................................................................................

127

2.4. Quy tắc Bảo hộ d e lta .................................................................

128

2.5. Thí d ụ ..........................................................................................

130

2.6. Nhược điểm của phươiig pháp Bảo hộ d e l t a .........................

131

3. Các phương pháp bảo hộ giá một chứng khoán hay một
phương án đầu t ư ..............................................................
3.1. Bảo hộ giá bằng các Quyền Chọn B á n ....................................

'32
132

3.2. Bảo hộ giá bằng các "bảo đảm lãisuất bị chận" {collars). . 132
3.3. Bảo hộ giá bằng biện pháp "mua bán cổ phần cặp đôi"
(Paired T ra d e s )...........................................................................

133

3.4. Bảo hộ tương q u a n ....................................................................

133

4. Các tham sô của bảo hộ d e l t a ........................................................

135

4.1. Xác định các tham s ố .................................................................

135

4.2. Về tham số A ..............................................................................

136


Nhập môn Toán học tài chíììh

12

4.3. Vai trò của tham số gamma r ...................................................

137

4.4. Xét chung cả ba tham sô' A, r và 0 ......................................... 138
C H Ư Ơ N G 6. C Á C M Ô H ÌN H T R Á I P H IẾ U
VÀ L Ã I SU Ấ T

141

1. Lãi suất và lãi suất định trư ớ c.........................................................

141

1.1. Đường hoa lợi {Yield C u n e ) ......................................................

142

12. U&I m ii ăm hưưởc (Forward R a t e s ) ...................................... 144
2. Trái phiếu với phiếu lãi-0..................................................................

145

2.1. Lãi suất ngắn h ạ n .........................................................................

145

2.2. Lãi suất định trước và Trái phiếu lãi suất 0 .............................

146

2.3. Thực hành tính toán Lãi suất định trước /( 0 , í ) ................... 147
3. Các mô hình định giá trái phiếu

147

3.1. Chuyển đổi trái phiếu {Bond S w a p ).........................................

147

3.2. Tại sao phải định giá trái phiếu ? ......................................

148

3.3. Giá định trước {Forw’ard Price) cho các Trái phiếu
lãi suất 0 ............ ..........................................................................

Ị4 g

3.4. Độ chênh thị giá (Arbitrage)...............................................

150

4. Định giá và Bảo hộ hợp đồng chuyển đ ổ i ...................................

151

5. Lãi suất hình h ọ c ........................................................

156

5.1. Trường họfp 1 .................................................................................. ỹ(^
5.2. Tnrờng hợp 2 ........................................................
6. Các mô hình lãi s u ấ t .....................................................................

57

57

6.1. Nhằc lại quá trình định giá Quyền C h ọ n .................................... 5 7
6.2. Một mô hình định giá trái phiếu

.........................................

5H

6.3. Một trường hợp đơn g iả n ...........................................................

62

7. Mô hình Vasicek và mô hình H o-L ee............................................

68

7.1. Giới thiệu mô h ì n h .....................................................................

6^


Mục lục
7.2. Phương trình giá trái phiếu V asicek........................................

168

8. Diễn biến giá trái p h iếu ....................................................................

no

8.1. Đặt vấn đ ề ....................................................................................

170

8.2. Phưcíng trình diễn biến giá trái p h iế u .....................................

170

8.3. Đơn ^lản hóa hệ số dịch chuyển trong mô hình giá
trái k h o á n ........................................................ ...........................

171

9. Một công thức giá trái p h iếu ...........................................................

172

9.1. Đặt vấn đ ề ....................................................................................

172

9.2. Cách giải q u y ế t..........................................................................

172

9.3. Chú ý .............................................................................................

173

10. Mô hình H u ll-W h ite.......................................................................

175

10.1. Mở đ ầ u .......................................................................................

175

10.2. Công thức giá trái phiếu p .....................................................

175

10.3. Lãi suất ngắn h ạ n ....................................................................

177

u . Mô hình Heath-Jarrow-Merton (HJM)

179

11.1. Định n g h ĩa .................................................................................

179

11.2. Mệnh đ ề ....................................................................................

179

C H Ư Ơ N G 7. LÝ T H U Y Ế T R Ủ I RO TÍN D Ụ N G

183

1. Các khái niệm c h u n g .......................................................................

184

1.1. Các cam kết nợ {obligation).....................................................

184

1.2. Các biểu thức về chênh lệch lãi suất {spread o f rate) . . . .

185

2. Mô hình M e r to n .................................................................................

186

2.1. Giới thiệu mô h ì n h ....................................................................

186

2.2. Phân tích mô hình ....................................................................

186

2.3. Nhận xét và chú ý ....................................................................
3. Hệ thống định mức rủi r o ..............................................................

189


Nhập môn Toán học tài chính
4. Mô hình Jarrow-Lando-Turnbull..................................................

191

4.1. Giới t h i ệ u ..................................................................

191

4.2. Phân tích mô hình. XíchM a rk o v .................................

19?

5. Đánh giá rủi ro tín dụng bàng phương pháp VaR
(Value at R i s k ) ........................................................

]97

C H Ư Ơ N G 8. CỔ TỨC V À H IỆU Ú NG N Ụ -C Ư Ờ I

201

1. Các loại cổ t ứ c ..................................................................

9()7

2. Mô hình chia cổ t ứ c ...........................................................
2.1. Cổ tức tính theo phần trãm .....................................................

20 <

2.2. Cổ tức tính thành tiền m ặ t ..................................................

203

2.3. Cổ tức theo thời gian liên t ụ c ..................................................

20J

3. Tính liên tục của giá Quyền Chọn tại những thời điểm
trả cổ t ứ c ...........................................................................

004
204

3.1. Nhận x é t.....................................................................

3.2. Trường hợp công thức B lack-Scholes......................................:>04
4. Độ biến động và cổ t ứ c ..............................................................
4.1. Độ biến động tức thời của một cổ phiếucó chia cổ tức

'>06
. . 206

4.2. Độ biến động và cổ tức theo phần tră m .................................. 207
4.3. Độ biến động và cổ tức tính thành tiền m ặ t ......................... 208
5. Hiệu ứng N ụ -c ư ờ i..............................................................
6. Mô hình D u p ir e ...........................................................................

0 Ị(I

9 12

6.1. Mô hình ........................................................................

9]2

6.2. Vấn đề đặt r a ..............................................................

21^

6.3. Công thức D upire.....................................................................

213

7. Nụ-cười của độ biến động đôi với các Quyển Chọn chàu Âu . 214
7.1. Trường hợp Quyền Chọn Mua số hóa {Digital Calls) . . . .

215


Mục lục
7.2.

15
Trườne hợp tổng quát của một Qiiyẻ!. Chọn châu Âu . . . . 217

CH Ư Ơ NG 9. C Á C H Ợ P Đ Ổ N G KỲ

HẠN

219

1. Hợp đồng ký kết t r ư ớ c .................................................................... 219
1.1. Định nghĩa.................................................................................... 219

1.2. Diễn giải toán h ọ c .................................................................... 220
2. Hợp đồng giao s a u ..............................................................................221
2.1. Định nghĩa.................................................................................... 221
2.2. Diễn giải toán h ọ c .................................................................... 222
2.3. Hợp đổng giao sau viết trên chứng k h o á n ............................ 224

CHirơNG 10. CÁC QUYỂN CHỌN NGOẠI LAI
(E X O T IC O PT IO N S)

225

1. Ba giá trị cổ p h iế u ..............................................................................225
1.1. Các quá trình cực t r ị ................................................................. 225
1.2. Phân bố xác suất đồng thời của ba giá trị chứng khoán . . . 226
1.3. Giá của Quyền C h ọ n ................................................................. 226
2. Mò hình Kunitomo-Ikeda
2.1. Đặt vấn đề

.............................................................. 227

................................................................................. 227

2.2. Giới thiệu mô hình Quyền Chọn với rào c ả n .........................228
3. Quyền Chọn với rào cản và phưưng trình truyền nhiệt . . . .

229

5 .1 .M ô h ìn h .................................................................................... 229
3.2.

Việc chia cổ tức

3.3. Giá p giữa r và r

........................................................ 231

.................................................................... 231

3.4. Giá p giữa 0 và T ' .................................................................... 232
3.5. Giá p vào thời điểm í = 0 ........................................................ 232
4. Mô hình Quyền Chọn một rào c ả n ...............................................233
4.1. Mô h ì n h ....................................................................................... 233
4.2. Giá Quyền C h ọ n ........................................................................234


Nhập môn Toán học tài chính

16

5. Quyển Chọn Mua và Quyền Chọn Bán một rào c ả n ............... 2 Ì7
5.1. Ký h i ệ u ........................................................................................

2 '7

5.2. Tính g i á ..............................................................................

2 '9

6. Quyền Chọn "nhìn-lại" (Look-back O p tio n s ) ............................ 241
6.1. Giá thực thi thả n ổ i .....................................................................

241

6.2. Giá thực thi cô' định..................................................................... 242
C H Ư Ơ N G 11. C Á C Q U Y Ể N C H Ọ N T ổ N G H Ợ P

245

1. Quyền Chọn châu Á ........................................................................... 246
1.1. Các định n g h ĩ a ........................................................................... 246
1.2. Phép tính Trung bình-Phương s a i ............................................ 246
1.3. Định g i á ........................................................................................247
2. Quyền Chọn C om po/Q u a n t o .........................................................248
2.1. Bài toán nhiều chỉ-tệ {m ulti-currency)...................................248
2.2. Các hợp đồng giao sau C om po/Q uanto...................................249
2.3. Quyền Chọn C o m p o /Q u a n to .................................................. 250
3. Quyền Chọn trong g i ỏ ..................................................................... 252
3.1. Các định n g h ĩ a ........................................................................... 252
3.2. Tính độ biến động tiềm ẩn(implied volatility)........................253
3.3. Định g i á ........................................................................................254
C H Ư Ơ N G 12. C Á C T H Ị T R Ư Ờ N G T IỂ N T Ệ

257

1. Mở đ ầ u ................................................................................................. 258
I.ỉ. Các cơ chế buôn bán ngoại t ệ ........................................

258

1.2. Lãi suất định tnrớc {FoiM'ard R a t e s ) ......................................258

2. Hợp đồng ký kết trước về tiền t ệ .................................................. 259
2.1. Đặt vấn đề

.................................................................................

2.2. Giải quyết vấn đề

.....................................................................

259
259


Mục lục

17

3. ("ác Quyền Chọn ngoại t ệ ............................................................. 261
3.1. Các ký h i ệ u ................................................................................ 261
3.2. Các giả thiết

............................................................................. 262

3.3. Thiết lập phươníỊ trình Giá Quyền C h ọ n ...............................262
3.4. Các điều kiện b i ê n ....................................................................264
3.5. Lời giải; công thức Garman-Kohlhagen..................................264
4. Các Quyền Chọn Mua-Bán tiền tệ cạp đ ô i..................................265
4.1. Đặt tình h u ố n g ..........................................................................265
4.2. Kế hoạch mua bán Quyền C họn.............................................. 265
4.3. Tính t o á n ................................................................................... 266

4.4. Chú ý quan tr ọ n g .......................................................................267
5. Tỷ giá hôi đoái Đảm bảo và các Q u a n to ....................................267
5.1. Đặt tình h u ố n g ..........................................................................267
5.2. Tháo gỡ khó khãn.......................................................................267
6. Bảo hộ giá Trái phiếu

....................................................................268

6.1. Tinh huống và biện p h á p .......................................................... 268
6.2. Định nghĩa và chọn lự a............................................................. 269
7. Định giá hợp đồng G E R ................................................................ 270
7.1. Tinh h u ố n g ................................................................................ 270
7.2. Xử lý tình h u ố n g .......................................................................270
7.3. Dự kiến chiến lư ợ c ....................................................................271
7.4. Trở lại việc định giá Quyền-Chọn theo Black-Scholes

...

271

7.5. Tốc độ tăng trưởng của cổ phiếu tính theo V N D ................272
7.6. Giá trị trang bình của cổ phiếu và trò chơi công bằng. . . . 273
7.7. Định giá Quyền Chọn Bán GER và Quyền Chọn Mua GER 274
8. Có nên bảo hộ không và mức độ thế n à o ? .................................275

DAI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
;r^i.JNG TẨM THQN6 TIN THƯ VIÉN


Nhập môn Toán học tài chính

18

C H Ư Ơ N G 13. R Ủ I RO VÀ BẢO H lỂ M

277

1. Bài toán "T hiệt h ạ i " ........................................................................ 277
1.1. Bài toán "T h iệt hại" đổi với một công ty bảo h i ể m .............278
1.2. Xác suất thiệt hại

Prỡòứfeỉ7/ry)......................................281

2. Áp dụng phương pháp mac-tin-gan để ước lượng xác suất
thiệt hại. Định lý Cramer-Lundberg............................................ 284
2.1. Đặt lại bài t o á n ........................................................................... 284
2.2. Các giả thiết của Định lý C ram er-L undberg......................... 285
2.3. Phát biểu Định lý C ram er-L undberg......................................286
2.4. Chứng minh Định lý Cramer-Lundberg...................... ...

287

2.5. Các chú ý quan trọ n g ..................................................................290
C H Ư Ơ N G 14. C H U Ỗ I T H Ờ I G IAN T À I C H ÍN H ,
C Á C M Ô H ÌN H A R C H V À G A R C H
1. Các mô hình Gauss và Gauss có điểu kiện

295

............................... 295

1.1. Mở đ ầu ........................................................................................... 295
1.2. Mô hình Gauss có điều kiện

.................................................. 296

2. Các mô hình tuyến tín h .....................................................................299
2.1. Mô hình tự hồi quy cấp p : A R { p ) ......................................... 299
2.2. Mô hình trung bình trượt M A { q ) ............................................ 300
2.3. Mô hình tự trung bình trượt tự hồi quy cấp
(p, q) : A R M A { p , q ) ..................................................................300
3. Các mô hình phi tuyến: ARCH VÀ G A R C H ............................ 300
3.1. Mô hình tự hồi quy với phương sai có điều kiện khác nhau:
A R C H ÌP )

........................................................ ... ,

.............301

3.2. Mô hình tổng quát tự hổi quy với phương sai có điều kiện
khác nhau: G A R C H { p ,q ) ........................................................ 302
4. Mô hình độ biến động ngẫu n h i ê n ............................................... 304


Mục lục

19

C H Ư Ơ N G 15. C Á C M Ô H ÌN H Q U Y H O Ạ C H Đ Ộ N G
V À Đ IỂ U K H IỂ N N G Ẫ U N H IÊ N

1. Đặt bài toán

307

.........................................................................................307

1.1. Thí dụ mở đ ầu ............................................................................... 307
1.2. Phát biểu bài toán

......................................................................309

2. Phương trình H am ilton-Jacobi-B ellm an...................................... 314
2.1. Đặt vấn đề

.................................................................................. 314

2.2. Thủ tục nhú n g ............................................................................... 314
2.3. Thực hiện chương trình t r ê n ......................................................317
3. Xử lý phương trình H J B .................................................................. 324
3.1. Mô tả ............................................................................................... 324
3.2. Chú ý ............................................................................................... 325
4. Toán tử điều chỉnh tuyến tính

.....................................................325

5. Bài toán Chi tiêu và Đầu tư tối ư u .................................................329
5.1. Khái quát c h u n g .........................................................................329
5.2. Bài toán Chi tiêu tối iru............................................................... 331
6. Các định lý Merton về Quỹ hỗ tư ơ n g............................................ 335
6.1. Trường hợp không có tài sản không rủi r o .............................335

6.2. Trường hợp có tài sản không rủi r o ......................................... 341
PH Ụ L Ụ C

345

TÓM TẮT MỘT SỐ YẾU T ố VỂ GIẢI TÍCH NGẪU
Phần I. Quá trình ngẫu nhiên

n h iê n

346

............................................................ 347

1. Quá trình ngẫu n h iê n ............................................................................ 347
2. Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với một bộ l ọ c .............................348
3. Thời điểm Markov và thời điểm d ừ n g ................................................348
4. Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một ơ -tr ư ờ n g .............................349


Nhập môn Toán học tài chírnh

20

.........................................

34ịỌ

........................................................................

3 5 i1

7. M ac-tin -g an ..........................................................................................

35i2

8. Quá trình G a u ss....................................................................................

35i6

8.1. Định nghĩa....................................................................................

35)6

8.2. Định lý

.......................................................................................

3 5 i7

8.3. Nhận x é t .......................................................................................

3 5 i7

9. Quá trình Wiener hay chuyển động B row n.....................................

35 7

5. Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện
6. Xác suất có điều kiện

9.1. Định nghĩa I ..............................................................................

35

7

9.2. Định nghTa 2 (tương đ ư ơ n g ).....................................................

35i8

9.3. Vài tính chất quan trọng của chuyển động B row n................35;8
9.4. Các mac-tin-gan quen biết tạo thành từ VV'............................ 35i8
9.5. Đặc tnmg Lévy của chuyển động B ro w n ...............................

35'9

10. Quá trình P o is s o n ..............................................................................

35>9

10.]. Quá trình đ ế m ...........................................................................

3 5 v9

10.2. Quá trình P o is so n ......................................................................

35>9

11. Quá trình M a rk o v ........................................................................

11.1. Định n g h ĩa ...........................................................................

36i0
Ị6i0

11.2. Phương trình Chapman-Kolinogorov..................................... '36 1
•1-3. Chú ý ...........................................................................................,^6 1
Phần II. Tích phân ngẫu nhiên

......................................................... 36.'3

1. Tích phân I t ô .......................................................................................

;^(5

3

1.1. M ịic đ í c h .....................................................................................................

35 3

I Đ ị n h nọhĩa tích phân ĩ t ô .................. .....................................

?(y4

1.3, Các tính chất quan trọng của tích phân I t ô ...........................

36.'5

2. Vi phân ngẫu nhiên Ilô và CôriE; thức I t ô .............................................. ^6(6

2.1. Vi phân I t ô ...........................................................................

;^6(6

2.2. Công thức I t ổ .............................................................................. 36(6
3. Tích phân ngẫu nhiên S tratonovich ..................................................

36^9


Mục lục

21

3.1. Khái niệm và Định n g h ĩ a ........................................................369
3.2. Biến phân bậc hai của hai quá trìnhngẫu n h iê n .................... 369
Phần III. Phương trình vi phân ngẫu n h i ê n .................................. 372
1. Sự tồn tại và duy nhất của lời g iả i.....................................................372
1.1. Định nghĩa phương trình và Lời g i ả i ..................................... 372
1.2. Định lý tồn tại và duy nhất........................................................373
1.3. Tính Markov của lời g iả i........................................................... 373
1.4. Chú ý .............................................................................................. 374
2. Phương ưình vi phân ngẫu nhiêntuyến t í n h ....................................374
2.1. Định nghĩa

.................................................................................374

2.2. Quá trình mũ ngẫu nhiên

........................................................375

2.3. Phương trình vi phân mũ ngẫu n h iê n ......................................375
2.4. Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát . .. 377
2.5. Các thí dụ quen biết về phương trinh vi phân ngẳu nhiên
tuyến t í n h ................................................................................ 377
Phần IV. Một sô yếu tô k h á c .............................................................. 380
1. Về công thức I t ô .................................................................................380
1.1. Liên hệ với vi phân toàn phầntrong Giải tích cổ điển . . . .

380

1.2. Toán tử D y n k in ...........................................................................380
1.3. Toán tử vi phân cấp hai và công thức D y n k in ......................381
1.4. Phương trình lù i...................................................................... 382
1.5. Công thức F e y m a n -K a c .......................................................383
2. Quá txình khuếch t á n ...........................................................................384
2.1. Định nghĩa.................................................................................... 384
2.2. Nhấc lại toán tử sinh cực vi và giải thích định nghĩa . . . . 385
3. Các định lý G irsan o v ...........................................................................385
3.1. Định lý Girsanov 1 .................................................................... 386
3.2. Định lý Girsanov 2 .................................................................... 386


Nhập môn Toán học tài chính

22

3.3. Định lý Girsanov 3 .................................................................... 3 8 7
4. Tiếng ồn trắ n g ........................................................... ; ......................... 3 g 8
4.1. Trường hợp rời r ạ c .....................................................................388

4.2. Trường hợp liên tục

................................................................. 388

T H U Ậ T N G Ữ Đ Ô Ì C H IẾ U A NH . V IỆ T

393

T À I L IỆ U T H A M K H Ả O

411


Chương 1

CÁC THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH

1. Thị trường và toán học
2. Cổ phiếu chứng khoán và các phái sinh
3. Cơ hội có độ chênh thị giá
4. Hợp đồng Quyền Chọn Mua
s. Hợp đồng Quyền Chọn Bán
6. Định giá hợp đồng giao sau
7. Thị trường trái phiêu
8. Hợp đồng giao sau về lãi suất
9. Trao đổi ngoại tệ

§1. Thị trường và toán học
Hầu nhu ai cũng nghe nói tới các trung tâm giao dịch chứng khoán
như New York, London và Tokyo. Các báo cáo về hoạt động buôn bán tại

các tliị trường này thường xuất hiện trên trang nhất của các tờ báo hàng
ngày và trên bản tin tức thời sự truyền hình buổi tối tại các quốc gia có
nền kinh tế thị trường, Có rất nhiều thị trường tài chính khác nữa. Mỗi
thị trường đều có một đặc trưng xác định bởi loại hàng hóa tài chính được
mang ra trao đổi.
Các thị trường tài chính quan trọng nhất là các thị trường cổ phiếu
23


Nhập môn Toán học tài chính

24

{stock market), các thị trườn.g trái phiếu (bond market), các thi íntờiiq
tiền tệ {currency market), các rhị trường hợp đồng giao sau và hợp cíổng
Quyền Chọn ựuture and option market).
Hàng hóa mua bán có thể là một tài sản cơ sở (basic equity) như; một
cổ phiếu, một trái phiếu hay một đơn vị tiền tệ. Tài sản cơ sở cũng còn
được gọi ià tài sản nguyên khởi (primitive equity) hay tài sản nền tảnq
(underlying equity). Còn các loại hàng hóa khác gọi là phái sinh tài chinh
financial derivative) hay còn gọi là tài sản phụ thuộc (contingent asset,
contingent claim) tức là các hàng hóa mà giá trị của nó rút ra được từ giá
trị của các tài sản cơ sở. Phái sinh tài chính là một đối tượng nghiồn cứu
chính của Toán học tài chính. Các Quyền Chọn, các hợp đồng kỳ han... là
những thí dụ điển hình về phái sinh tài chính.
Chương này sẽ cho nhiều thí dụ về các phái sinh tài chính. Mỗi thi' dụ
sẽ được giải thích cặn kẽ để cho bạn đọc hiểu rõ về phái sinh tài chính.
Các thí dụ này là về những hợp đồng Quyền Chọn đựa trên các cổ phiếu,
trái phiếu và tiền tệ, Ta cũng bàn về các hợp đồng giao sau ựutiires) và
Quyền Chọn hợp đồng giao sau (options on futures).

Toán học thâm nhập vào lĩnh vực này một cách nghiêrn lúc khi t;t cố
gắng liên hệ một giá phái sinh với giá của tài sản cơ bản. Các lý luận toán
học thường cho những đánh giá chính xác đến ngạc nhiên cho các giá trị
đó.
Ngày 29 tháng Ba năm 1900 đã được thừa nhận là ngày khai sinh ra
Toán học tài chinh, ngày mà Lọuis Bachelier (] 870-1946) hảo vệ thành
công luận án "Lý thuyết Đầu cơ tài chính" tại Đại học Sorbonnc (Paris),
dưới sự hướng dẫn của Henri Poincaré. Năm 2000, giới toán học lài chínli
đã tổ chức lễ 100 năm ra đời của ngành này tại Paris.
Mục đích chính của cuốn sách là cố gắng trình bày quá trình tính toáii
ra các giá phái sinh theo các giá cổ phần co bản và các khái niệm iêii
quan, theo một cách dễ hiểu nhất.


Chương 1. Cớc íhị írường tài chính

25

Chúng tôi cũng cung cấp cho bạn đọc các công cụ toán học và các kỹ
thuật để thực hiện quá trình đó.
Có 2 khái niệm tài chính đã tìmg gây nên ấn tượng mạnh suốt 2 thập
kỷ qua là;
- Tài sản đáp ứng để bảo hộ giá {Replicating equities)
- Cơ hội có độ chênh lệch thị giá (Arbitrage opportunity).
Sự kết hợp hai khái niệm đó cho ta một công cụ mạnh để định giá. Trong
Mục 2 sau đây, có niột thí dụ trong đó sự bảo hộ đầu tư và sự vắng mặt
của cơ hội chênh giá sẽ cho ta giá cuả một sản phẩm phái sinh.

§2. Cổ phiếu và các phái sinh
Một công ty cần tiền có thể bán các cổ phẩn của họ cho các nhà đầu tu.

Nhữne người này sở hữu những cổ phần hoặc những chứng từ chứng nhận
tài sán {shares or equity certificates) và có thể nhận được cổ tức {dividend)
hoặc không, phụ thuộc vào công ty đó làm ăn có lãi không và có quyết
định chia lãi cho các cổ đông hay không.
Giá của cổ phiếu công ty là gì? Giá trị đó phản ánh cách nhìn và dự
đoán của nhà đầu tư về các chi trả cổ tức, về khoản kiếm được ữong tương
lai và nguồn vốn mà công ty đó sẽ kiểm soát. Viéc kiểm soát những điểu
không chắc chắn ấy được giải quyết trong từng ngày giao dịch bởi người
mua và người bán các cổ phiếu. Những nhà đầu tư thực thi quan điểm
cúa họ bằng cách mua bán các cổ phiếu trong các thị tnrcfng bán đấu giá
{auction markets) như các trung tâm giao dịch chứng khoán New York,
London và Tokyo. Thế ngljĩa là, trong phần lớn thời gian thì giá của một
cổ phiếu được phán định bởi người nào muốn trả giá cho nó vào một ngày
định trước.
Cho trước một chứng khoán, tức là một loại cổ phiếu hoặc trái phiếu.
Khi đó, một phái sinh chứng khoán là gì? Đó là một hợp đồng đặc biệt
mà giá trị của nó tại một ngày nào đó trong tương lai phụ thuộc hoàn toàn


Nhập môn Toán học tài chính

26

vào giá trị tương lai của chứng khoán đó. Cá nhân nào hoặc hãng nào xây
dựng nên hợp đồng đó và mang bán nó đi được gọi là người viết (writer).
Cá nhân nào hoặc hãng nào mua hợp đổng đó thì được gọi là ngU('ri qiữ
{holder). Chứng khoán mà hợp đồng đó căn cứ vào để lập nên, được gọi
là một tài sản nền tảng.
Một phái sinh thì có ý nghĩa gì? Thời hạn của một hợp đồng phái sinh
là hết sức quan trọng để định giá cho nó. Trong thí dụ sau đây, ta sẽ chọn

một phái sinh với một cấu trúc đơn giản để dẻ giải thích hai khái niệm tài
chính cơ bản là đáp ứng hảo hộ một cổ phần và sự khônq có chênh lệch
thị giá. Hai khái niệm này sẽ cho ta định giá đối với phái sinh đó.
Trong Chương 9 ta sẽ giải thích kỹ về các hợp đổng kỳ hạn, nhưng ở
đây ta cần giới thiệu sơ bộ về hai dạng của loại hợp đồng này.
2.1. Hợp đồng cổ phiếu ký kết trước (Forward Stock Contract)
Giả thử có inột sự bảo đảm rằng, vào một ngày ấn định ưước irong
tương lai, một người sẽ mua một cổ phiếu với một giá đảm bảo tnrức.
Nghĩa vụ bắt buộc phải mua trong tương lai như vậy tạo thành hợp đồng
ký kết trước ựorward contract).
Các điều kiện của hợp đồng là:
• Đến một ngày ấn định trước (gọi là ngày đáo hạn = expiration date),
người giữ hợp đổng bắt buộc phải trả cho người viết hợp đồng đó một số
tiền xác định trước, gọi là giá thực thi.
^ Ngvrời v\ết họp đổng hắt buộc phải giac cổ phiếu cho người giữ hợp đồng
vào ngày đáo hạn của hợp đổng.
Hợp đồng này có thể sinh lợi cho người giữ nó vào ngày ký kết, nhưng
cũng có thể làm thiệt hại cho người ấy. Sự thu nhập phụ thuộc vào giá cổ
phiếu vào ngày đáo hạn của hợp đổng.
Lợi và thiệt vào nqày dáo hạn: