Cấu tạo chất đại cương tập 1, cấu tạo nguyên tử cấu tạo phân tử

Chương

3

THUYẾT LƯỢNG TỬ PLANCK
ĐẠI CƯƠNG VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Mục tiêu
chương 3

Cần tập trung vào các vấn đề:
1. Tại sao lại xuất hiện của cơ học lượng tử. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển
(cơ học Newton) và cơ học lượng tử.
2. Tính chất chung của hệ lượng tử: Bản chất sóng - hạt. Tính khơng đồng thời
xác định hai đại lượng cơ học.
3. Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng của cơ học lượng tử áp dụng vào
hóa học.
4. Ứng dụng của cơ học lượng tử cho một số hệ lượng tử điển hình.

Một số

Thuyết Planck

Quang phổ liên tục

Sóng de Broglie

từ khố

Hiệu ứng quang điện

Quang phổ hấp thụ

Hệ thức Heisenberg

Hàm sóng

Quang phổ phát xạ

Phương trình sóng

Hằng số Planck

Bài tốn giếng thế

Phương trình Schrodinger

Năng lượng điểm khơng

Dao động điều hòa

Mức năng lượng

3.1. THUYẾT LƯỢNG TỬ PLANCK
3.1.1. Bức xạ điện tử. Đại cương về quang phổ
3.1.1.1. Bức xạ điện từ
a) Sóng điện từ
Theo thuyết sóng về ánh sáng của Maxwell thì ánh sáng (hay bức xạ nói chung) có
bản chất là sóng điện từ.
JG
JG

Trong sóng điện từ, điện trường E và từ trường H ln ln có phương vng góc
với nhau và vng góc với phương truyền của sóng điện từ (hình 3.1a).

51


E

Z

H

Hình 3.1a. Sóng điện từ

b) Bước sóng (λ)
Qng đường mà sóng điện từ lan truyền được trong một chu kỳ T (chu kỳ dao
động của điện trường hay từ trường) được gọi là bước sóng hay độ dài bước sóng λ của
sóng điện từ (hình 3.1b). Số chu kỳ trong 1 giây (s–1) gọi là tần số ν (Hz).
Ở đây c là vận tốc truyền sóng điện từ. Trong chân khơng, c = 2,997925.108 m/s
(thơng thường người ta làm trịn với giá trị là: c = 3.108 m/s).
λ

λ

Hình 3.1b. Bước sóng λ

Giữa bước sóng λ, tần số ν, chu kỳ T, tốc độ truyền sóng c có các hệ thức liên hệ:
1 –1
ν=
(s )

(3.1)
T
Đại lượng nghịch đảo của bước sóng được gọi là số sóng ν [cm–1].

ν =
λ=

1
λ
c
1
= c = cT
ν
ν

(3.2)
(3.3)

c) Dải phổ
Sóng rađio, vi sóng, bức xạ hồng ngoại (IR), ánh sáng nhìn thấy (bức xạ khả kiến)
(VIS), bức xạ tử ngoại (UV), tia X, tia γ đều là những sóng điện từ. Chúng có bản chất
giống nhau và chỉ khác nhau về độ dài của bước sóng λ.
Quan hệ giữa vùng phổ và bước sóng λ được biểu diễn trong bảng phân loại các
sóng điện từ dưới đây:

52


Vùng phổ
Tia

γ

λ: 10–2Å

Nhiễu xạ tia
X
Tia X
1Å

Phổ electron
UV. chân
không

100Å

UV

200nm

Phổ dao
động - quay

VIS
(Khả kiến)
400nm

800nm

IR

gần

IR

Phổ quay
IR xa

5mµ 25mµ

vi sóng

1mm

1m

3.1.1.2. Đại cương về quang phổ
Một cách đại cương, người ta phân biệt quang phổ phát xạ và quang phổ hấp thụ.
a) Quang phổ phát xạ
Một vật thể được đốt nóng sẽ phát ra bức xạ. Khi cho bức xạ qua một máy quang
phổ thì ta thu được quang phổ của chất đó. Quang phổ đó được gọi là quang phổ phát
xạ. Nếu chùm bức xạ được phân ly gồm những bước sóng xác định trên phổ thu được
gồm những vạch, gián đoạn λ1, λ2, λ3,... Phổ thu được gọi là phổ vạch. Nếu chùm bức
xạ được phân ly gồm tất cả các bước sóng trong một miền nào đó, phổ thu được là một
dải liên tục và do đó phổ được gọi là phổ liên tục. Trong trường hợp trung gian, phổ
gồm nhiều đám vạch nằm sít với nhau, tạo thành những băng hẹp nằm cách biệt nhau,
phổ thu được gọi là phổ đám.
Nói chung, ta thu được phổ liên tục từ vật thể rắn được đốt nóng. Nếu chất được
đốt nóng (kích thích) là chất khí ở trạng thái nguyên tử ta thu được quang phổ vạch và ở
trạng thái phân tử ta được quang phổ đám. Do đó, phổ vạch cịn được gọi là phổ nguyên
tử và phổ đám còn được gọi là phổ phân tử.

b) Quang phổ hấp thụ
Khi bức xạ liên tục từ một nguồn sáng qua một chất khí, lỏng hay rắn và sau đó
bức xạ được phân ly thành phổ thì trên nền của phổ liên tục ta sẽ quan sát thấy những
vạch hấp thụ tối (tại chỗ đó bức xạ đã bị hấp thụ). Quang phổ thu được gọi là quang phổ
hấp thụ.
Theo định luật Kirchoff (1824 -1887) thì các nguyên tử hấp thụ đúng những bức
xạ mà chúng có khả năng phát xạ. Ví dụ: khi kích thích, hơi hiđro chẳng hạn, sẽ phát ra
bức xạ ứng với bước sóng λ = 6562,78 Å (vạch Hα). Khi bức xạ liên tục qua hơi hiđro,
bức xạ đó sẽ bị hấp thụ và trên nền của phổ liên tục ta thu được 1 vạch tối ứng với bước
sóng đó.
3.1.2. Thuyết lượng tử Planck (1900)

Khi một vật thể được đốt nóng, các hạt tích điện (ion, electron,...) chuyển động dao
động làm phát ra các bức xạ tác dụng lên kính ảnh cho ta một phổ. Phổ thu được đó gọi
là phổ bức xạ nhiệt. Phân tích các kết quả thực nghiệm thu được, các nhà vật lý nhận
thấy các đường cong phân bố năng lượng E(ν) theo tần số ν có 2 điều đáng chú ý:
– Nếu nhiệt độ tăng càng cao thì năng lượng lại càng lớn và tuân thủ định luật cổ
điển Stefan-Boltzmann:
E = kT4
(3.4)
ở đây, k là hệ số tỷ lệ ; T là nhiệt độ tuyệt đối K.
53


– Mặt khác, khi xét đến quan hệ giữa E(ν) và tần số ν theo biểu thức Rayleigh thì
kết quả thực nghiệm lại không phù hợp với lý thuyết
2πk BT 2
(3.5)
E(ν ) =
ν

c2
trong đó, kB là hằng số Boltzmann, c là tốc độ ánh sáng trong chân không, T là nhiệt độ
tuyệt đối K, ν là tần số bức xạ.
Rõ ràng, theo (3.5) nếu ν → 0, E(ν) → 0. Điều này hoàn toàn phù hợp với thực
nghiệm, nghĩa là các đại lượng vật lý có tính liên tục.
Tuy nhiên, khi xét ν → ∞, thì giá trị năng lượng E(ν) → ∞. Điều này lại hoàn toàn
trái với thực nghiệm. Điều khúc mắc này đã tồn tại suốt một thời gian dài mà vật lý cổ
điển bế tắc. Cũng phải nói thêm rằng hiện tượng nêu trên, trong vật lý, gọi là “sự khủng
hoảng tử ngoại”.
Để vượt qua sự bế tắc này, nhằm giải thích phổ bức xạ nhiệt, năm 1900, Max
Planck đã đưa ra thuyết lượng tử mang tên ông và được xem là bước ngoặt quan trọng
của vật lý hiện đại:
Một dao động tử, dao động với tần số ν, chỉ có thể bức xạ hay hấp thụ năng lượng
theo từng lượng nhỏ một, nguyên vẹn, từng đơn vị gián đoạn gọi là lượng tử năng lượng
ε. Lượng tử năng lượng (ε) này tỷ lệ thuận với tần số của bức xạ (ν) và được biểu diễn
bằng hệ thức sau:
ε = hν
(3.6)
–34
h = 6,625.10 Js, được gọi là hằng số Planck hay lượng tử tác dụng.
Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Planck là, lần đầu tiên, đã phát hiện ra tính
chất gián đoạn hay tính chất lượng tử hoá năng lượng của các hệ vi mô (electron,
nguyên tử, phân tử,...). Thuyết lượng tử Planck là cơ sở để giải thích hiện tượng như
hiệu ứng quang điện, hiệu ứng compton,... mà các thuyết cổ điện không giải thích được.
Bài tập minh họa 3.1:
Khi người ta đốt nóng CuCl tới 1200oC thì quan sát thấy ánh sáng màu xanh da trời
phát ra và ghi được bước sóng tương ứng là 450 nm. Hỏi trong trường hợp này, giá trị
lượng tử năng lượng bằng bao nhiêu (J) ?
Trả lời:
Phổ bức xạ nhiệt được tính theo cơng thức Planck:

E = hν.
Tần số trong trường hợp này sẽ là :
ν=

c 3.108 m / s
=
= 6, 6.1014 s −1
−9
λ 450.10 m

Vậy giá trị năng lượng :
∆E = hν = 6,626.10–34 Js × 6, 6.1014 s −1 = 4,41.10–19 J
54


3.1.3. Tính chất sóng - hạt của ánh sáng

Ánh sáng là bức xạ điện từ và có bản chất sóng. Bản chất sóng của ánh sáng được
chứng minh một cách vững chắc bằng các hiện tượng nhiễu xạ và giao thoa. Tuy vậy,
nếu coi ánh sáng chỉ có bản chất sóng (sóng điện từ) thì khơng thể giải thích được
những hiện tượng như hiệu ứng quang điện (hiện tượng bứt electron ra khỏi bề mặt kim
loại dưới tác dụng của ánh sáng) và hiệu ứng Compton (hiện tượng giảm tần số tia bức
xạ khi khuếch tán nó qua tinh thể graphit).
Để giải thích các hiện tượng trên, Einstein (1905) đã phát triển quan điểm lượng tử
của Planck và đưa ra thuyết hạt hay thuyết lượng tử ánh sáng:
Ánh sáng (hay bức xạ điện từ nói chung) là một thơng lượng các hạt vật chất, được
gọi là photon hay các lượng tử ánh sáng. Năng lượng của mỗi photon là :
ε = hν (ν - tần số của ánh sáng)
Với quan điểm ánh sáng là những hạt photon, Einstein đã giải thích thành cơng các
hiện tượng hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton.

Thật vậy, khi bề mặt kim loại (C) được chiếu sáng, mỗi photon có năng lượng hν
đủ lớn gặp bề mặt kim loại thì một phần năng lượng này (Eo = hνo) dùng để tách
electron ra khỏi nguyên tử ở bề mặt kim loại và phần năng lượng còn lại sẽ chuyển cho
electron dưới dạng động năng bay sang tấm kim loại A làm mạch điện được nối liền,
gây ra hiệu ứng quang điện (hình 3.2a). Ta có phương trình:
1
(3.7)
hν = Eo + mv2
2
Phương trình (3.7) được gọi là phương trình Einstein về hiệu ứng quang điện. Từ
phương trình (3.7) ta thấy muốn có hiệu ứng quang điện, thì năng lượng tối thiểu của
photon phải bằng Eo = hνo và được gọi là cơng thốt electron, νo được gọi là ngưỡng
quang điện.

C

A

e

hνo

hν

a)

b)

Hình 3.2. Sơ đồ thí nghiệm về hiệu ứng quang điện (a) và hiệu ứng Compton (b)

Trên cơ sở thuyết hạt về ánh sáng, ta cũng có thể giải thích dễ dàng hiệu ứng
Compton. Thật vậy, ta có thể coi va chạm giữa photon và electron như sự va chạm đàn
hồi giữa hai hòn bi (năng lượng và động năng được bảo toàn). Khi va chạm, photon và
electron được bắn theo hai phương khác nhau và một phần năng lượng hν của photon
55


được truyền cho electron dưới dạng động năng (hình 3.2b). Photon này được gọi là
photon khuếch tán, còn electron khi đó được gọi là electron giật lùi.
Như vậy, bản chất sóng của ánh sáng được khẳng định qua các hiện tượng nhiễu xạ
và giao thoa, còn bản chất hạt của ánh sáng lại được chứng minh một cách vững chắc
qua các hiệu ứng quang điện và hiệu ứng Compton. Ánh sáng có bản chất sóng - hạt
(bản chất lưỡng tính, điều mà ngày nay khoa học đã khẳng định).
Ngày nay, người ta đã biết, bản chất lưỡng tính sóng - hạt khơng chỉ là tính chất
riêng của ánh sáng mà là tính chất chung cho cả hệ hạt vi mơ.
Bài tập minh hoạ 3.2:
Khi người ta chiếu một chùm ánh sáng đơn sắc với tần số ν = 1,30.10–15 s–1 xuống
bề mặt kim loại xesi (Cs) thì thấy electron bật ra và chuyển động với động năng bằng
5,2.10–19 J. Hãy tính:
a) Bước sóng của ánh sáng tới;
b) Năng lượng ngưỡng quang điện;
c) Bước sóng bức xạ của electron bật ra khi chuyển động.
Trả lời:

a) Áp dụng biểu thức λ =
λ=

c
ν

3.108 m.s −1
1,30.1015 s −1

= 2,31.10−7 m = 231nm
b) Electron bật ra khỏi bề mặt kim loại Cs được mô tả ở trên được xem là hiệu ứng
quang điện:
hν = hν o + T
hay

hν o = hν − T = E o

Eo = 6,62.10–34.1,3.1015 – 5,2.10–19
= 3,4.10–19 J
hoặc
= 3,4.10–19: 1,6.10–19 = 2,125 eV
c) Khi electron bật ra và chuyển động thì bước sóng bức xạ được tính theo cơng thức:
hc
E o = hν o =
λo
λo =

hc 6, 62.10−34.3.108
=
Eo
3.4.10−19

= 5,8.10−7 m = 580 nm

56

3.2. ĐẠI CƯƠNG VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
3.2.1. Sóng vật chất de Broglie (1924)

Ta đã biết, ánh sáng có lưỡng tính: sóng - hạt. Giữa khối lượng m (đặc trưng cho
tính chất hạt) của photon và bước sóng λ (đặc trưng cho tính chất sóng) của sóng điện từ
có hệ thức:
h
λ=
(3.8)
mc
Năm 1924, nhà vật lý học người Pháp, de Broglie đã mở rộng quan điểm về lưỡng
tính sóng hạt cho các hạt vật chất khác, đưa ra giả thuyết về tính sóng- hạt vật chất.
Theo giả thuyết de Broglie: “Sự chuyển động của mọi vật chất có khối lượng m và tốc
độ v đều liên kết với một quá trình sóng gọi là sóng vật chất có bước sóng λ”, được xác
định theo hệ thức:
h
λ=
(3.9)
mv
h = 6,625.10–34 J.s.
Hệ thức (3.9) được gọi là hệ thức de Broglie hay phương trình cơ bản của sóng vật
chất de Broglie. Về nguyên tắc, hệ thức de Broglie được nghiệm đúng cho mọi vật thể
vi mô. Tuy vậy, đối với các vật thể vĩ mơ (viên đạn, ơ tơ, vệ tinh,...) vì có khối lượng m
lớn nên bước sóng λ của sóng liên kết tính theo hệ thức (3.9) có giá trị vơ cùng nhỏ và
do đó tính chất sóng trở nên vơ nghĩa.
Bài tập minh hoạ 3.3:
Hãy xác định độ dài bước sóng liên kết de Broglie cho hai trường hợp sau đây rồi
rút ra nhận xét cần thiết.
a) Đối với chiếc xe ô tô nặng 1 tấn, chuyển động trên đường cao tốc với tốc độ

50 km/giờ.
b) Cho một proton với mp = 1,672.10–27 kg khi chuyển động có động năng bằng
1000 eV (1eV = 1,6.10–19 J).
Trả lời:

50000 50
=
m/s
3600 3, 6

a)

50 km/giờ =

Vậy:

6, 62.10−34.3, 6
λ=
= 4, 77.10−38 m
3
10 .50

b)

T=

mv 2 (mv) 2
=
⇒ mv = 2mT
2

2m
h
h
λ=
=
mv
2mT
57


Thay số vào ta có:

λ=

6, 62.10−34
2.1, 672.10−27.103.1, 6.10−19

= 9, 05.10−13 m

Từ giá trị độ dài bước sóng λ thu được cho cả hai trường hợp đã chỉ rõ:
Đối với chiếc xe (hệ vĩ mơ), bước sóng q nhỏ nên khơng có ý nghĩa. Trái lại, giá
trị λ của proton (hệ vi mơ) nằm trong giới hạn cho phép nên nó có ý nghĩa quan trọng.
Nhiều thí nghiệm tinh vi đã được lần lượt tiến hành sau đó, xác nhận tính đúng đắn
của giả thiết de Broglie.
Thí nghiệm có ý nghĩa quyết định do
Davisson và Germer (1927) tiến hành (xem hình
3.3). Theo thí nghiệm này thì khi cho phóng chùm
electron đi qua một tinh thể niken, người ta cũng
nhận thấy có hiện tương nhiễu xạ electron xảy ra
giống như trường nhiễu xạ tia X. Kết quả thực

nghiệm cũng cho biết là bước sóng λ xác định
được hồn tồn phù hợp với trị số lý thuyết tính
theo hệ thức de Broglie.
Ngày nay, nhiễu xạ electron, nhiễu xạ
Hình 3.3. Nhiễu xạ electron
nơtron,... đã trở thành điều hiển nhiên, quen thuộc
qua tinh thể Ni
và được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu
cấu trúc các chất.
Theo giả thuyết về photon và giả thuyết de Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi
mơ vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt. Dựa vào quan điểm của vật lý cổ điển
thì điều này khơng thể hiểu được vì nó trái với nhận xét thông thường trên các vật vĩ mô
xung quanh ta. Muốn hiểu được vật lý hiện đại, cần phải thay đổi những quan niệm cũ,
phải hiểu thế giới vi mô đúng như thực tế khách quan, dù nó có khác với cách suy nghĩ
thơng thường của chúng ta.
Có thể minh hoạ bản chất lưỡng tính sóng - hạt của ánh sáng qua sơ đồ sau đây:
TÝnh chÊt sãng (hiƯn t−ỵng giao thoa, nhiễu xạ)
ánh sáng

Tính chất hạt (hiệu ứng quang ®iƯn, Compton...) m

h
λ = mc

Bài tập minh hoạ 3.4:
Kết quả đo đạc bằng thực nghiệm cho biết tia màu đỏ có bước sóng bằng 656,3 nm.
Căn cứ vào số liệu này hãy tính:

– Tần số ν , số sóng ν của tia sáng khảo sát.
– Năng lượng ε , khối lượng m, động lượng p của hạt ánh sáng (photon) nói trên.

58


Trả lời:
Chúng ta có thể áp dụng cơng thức sau:
c
3.1010
=
= 4,5711.1014 s −1
−8
λ 6563.10
1
1
ν = =
= 15237cm −1
λ 6563.10−8

ν =

Để tính năng lượng và các đại lương m và p, chúng ta sử dụng các hệ thức sau:
ε = h ν = 6,625.10–34 . 4,5711.1014 = 3,028.10–19 J
p = mc =

m=

h 6, 625.10−34
=
= 1, 009.10−27 kgm /s
−9

λ 656,3.10

p 1, 009.10−27
=
= 3,36.10−36 kg
8
c
3.10

Bài tập minh họa 3.5:
Hãy tính bước sóng liên kết de Broglie cho các trường hợp sau đây:

a) Cho hạt proton khi chuyển động chỉ bằng 15% vận tốc của ánh sáng.
b) Cho hạt electron khi chuyển động chỉ bằng 15% vận tốc của ánh sáng.
c) Cho một quả bóng nặng 150 g, chuyển động với v = 10 m/s
d) Cho biết nhận xét về kết quả thu được.
Cho: h = 6,625.10–34 Js; c = 3,00.108 m/s; mp = 1,67.10–27 kg; mp = 9,11.10–31 kg.
Trả lời:
Áp dụng hệ thức de Broglie:
h
λ=
= bước sóng liên kết vật chất, ta tính giá trị λ cho các trường hợp sau:
mv

a) 15% tốc độ ánh sáng v = 0,15.3,00.108 m/s = 4,5.107 m/s.
λ=

6,63.10−34 Js
=8,8.10−15 m = 8,8.10−6 nm
−27

7
1,67.10 kg.(4,5.10 m/s)

b) λ =

6,63.10−34 Js
=1,6.10−11 m = 1,6.10−2 nm
−31
8
9,11.10 kg.(0,15.3,00.10 m/s)

c) λ =

h
6,63.10−34 Js
= 4,4.10−34 m = 4,4.10−25 nm
=
mv 0,15 kg.10,0 m/s)

d) Bước sóng thu được ở trường hợp (c) quá nhỏ nên chúng ta khơng thể nhận thấy
(đo được) bước sóng nhỏ như thế. Vì vậy, bước sóng này khơng có ý nghĩa đối với hạt
vĩ mô.

59


3.2.2. Nguyên lý bất định Heisenberg

Một trong những hệ quả căn bản nhất của lưỡng tính sóng hạt là ngun lý bất định
được Heisenberg đưa ra năm 1927. Theo nguyên lý này:

“Toạ độ và động lượng của hạt vi mô khơng thể đồng thời có giá trị cùng xác định”
Điều đó có nghĩa là khi toạ độ có giá trị xác định thì động lượng hồn tồn bất định
hay ngược lại.
Nguyên lý bất định được biểu thị bằng một hệ thức được gọi là hệ thức bất định
Heisenberg.
h
(3.10)
∆q.∆p ≥
2π
∆q - độ bất định về toạ độ; ∆p - độ bất định về động lượng. Đối với sự chuyển động
của vi hạt trên các phương x, y, z, ta có hệ thức bất định tương ứng là:
h
∆x.∆px ≥
(3.10a)
2π
h
∆y.∆py ≥
(3.10b)
2π
h
∆z.∆pz ≥
(3.10c)
2π
Vì p = m.v → ∆p = m.∆V nên hệ thức trên cịn có thể viết:
h
∆v ≥
(3.11)
2πm
hay ta có thể viết một cách tổng quát theo phương x như sau :
=

∆v x .∆x ≥
(3.12)
m
h
trong đó: = =
- hằng số Planck rút gọn; m - khối lượng của hạt.
2π
Như vậy, nếu phép đo tọa độ càng chính xác thì phép đo tốc độ càng kém chính xác
và ngược lại.
Vì toạ độ và động lượng khơng có giá trị đồng thời xác định nên về ngun tắc,
người ta khơng thể nói đến quỹ đạo của electron mà chỉ nói đến sự phân bố mật độ xác
suất có mặt của electron trong nguyên tử.
Bài tập minh hoạ 3.6:
Giả sử một viên đạn súng săn nặng 1 g và một electron có m = 9,1.10–31 kg khi
chuyển động đều có độ bất định về vị trí là 1 Å. Hãy tính độ bất định cực tiểu về tốc độ
của chúng.
Trả lời:
Xuất phát từ biểu thức:

60


∆v x .∆x ≥

=
=
hay ∆v x =
m
m.∆x

- Đối với viên đạn súng săn:
∆v x =

1, 05.10−34
= 1, 05.10−21 m.s–1
−10
−3
10 .10

Kết quả này q bé nên khơng có ý nghĩa.
- Đối với electron:
∆v x =

1, 05.10−34
= 1,15.106 m.s–1
−31
−10
9,1.10 .10

Tốc độ bất định của electron có ý nghĩa quan trọng đối với hệ vi mô.
Bài tập minh hoạ 3.7:
Để kiểm chứng hệ thức bất định Heisenberg, người ta khảo sát sự chuyển động của
electron với giả thiết phép xác định tọa độ theo phương x của vi hạt này đạt độ chính
xác là 10–3 so với đường kính nguyên tử. Hỏi:

1. Xác định tốc độ chuyển động của electron bằng bao nhiêu.
2. Từ kết quả thu được ở câu 1 hãy cho biết nhận xét.
Cho: me = 9,1.10–31 kg; = = 1,05.10–34 Js; dnguyên tử = 10–8 cm.
Trả lời:
1. Từ số liệu đã cho ở đầu bài, ta tính giá trị của ∆x:

∆vx = 10–3.10–8 cm = 10–11 cm = 10–13 m
=
Áp dụng công thức: ∆v x =
m.∆x
Thay các giá trị bằng số vào ta có:

∆v x =

1, 05.10−34
= 1,15.109 m/s
−31
−13
9,1.10 .10

2. Từ kết quả thu được ∆x = 1,15.109 m/s > 3.108 m/s (tốc độ ánh sáng trong chân
không). Điều này chứng tỏ không thể xác định được tốc độ của electron khi đã biết tọa
độ của nó. Kết quả này, lại một lần nữa cho thấy khái niệm quỹ đạo khi electron chuyển
động là khơng có ý nghĩa.
3.2.3. Sự hình thành cơ học lượng tử

Như chúng ta đã biết, ngoài bản chất hạt, các vật thể vi mô chuyển động cịn có bản
chất sóng. Do đó, sự chuyển động của vi hạt tuân theo những định luật khác với những
định luật của cơ học cổ điển. Điều này làm xuất hiện một ngành cơ học mới áp dụng
cho các hạt vi mô.
Ngành cơ học mới này được xây dựng trên cơ sở bản chất sóng của các vi hạt và
thể hiện được những đặc tính riêng biệt của thế giới vi mơ, đặc biệt là tính lượng tử
61


(rời rạc, gián đoạn). Do đó, ngành cơ học mới này được gọi là cơ học sóng hay cơ học

lượng tử. Đó là một ngành cơ học lý thuyết, được xây dựng trên nền một hệ các tiền đề
cơ sở. Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử là phương trình do Schrodinger tìm ra
năm 1926 và được gọi là phương trình Schrodinger.
Dưới đây, ta chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ sở của cơ học lượng tử dưới dạng mơ
tả định tính và sự áp dụng lý thuyết này cho các bài toán về cấu trúc nguyên tử, phân tử
và liên kết hoá học. Cơ sở của cơ học lượng tử sẽ được trình bày chi tiết trong giáo
trình Hóa học lượng tử ở năm thứ 3 bậc đại học.
Sau đây là một số khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử:
3.2.4. Hàm sóng

Hàm sóng: “Mỗi trạng thái của một hạt (hay một hệ hạt) vi mô được đặc trưng
bằng một hàm số xác định phụ thuộc vào tọa độ và thời gian, được gọi là hàm sóng hay
hàm trạng thái ψ”.
Đối với hệ cơ lập (trường hợp duy nhất mà ta cần xét ở đây), hàm sóng chỉ là một
hàm của toạ độ |ψ2| = ψ.ψ*, ở đây ψ* là một hàm phức biểu thị xác suất tìm thấy hạt
trong một phần tử thể tích dv tại toạ độ tương ứng. Xác suất tìm thấy hạt trong tồn bộ
khơng gian phải bằng 1:

∫ψ

2

dv = 1

(3.13)

Biểu thức này được gọi là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng. Hàm sóng thoả mãn
điều kiện (3.13) là hàm đã được chuẩn hoá. Từ ý nghĩa vật lý của hàm sóng ta thấy hàm
sóng phải là:
– Đơn trị vì |ψ2| biểu thị mật độ xác suất nên ψ(q) phải là một hàm đơn trị, nếu

không, tại một tọa độ xác định ta sẽ thu được nhiều giá trị khác nhau về xác suất và như
thế sẽ khơng có ý nghĩa vật lý.
– Hữu hạn vì xác xuất là hữu hạn.
– Liên tục vì xác suất có mặt của vi hạt biến thiên một cách liên tục trong không
gian cần khảo sát.
3.2.5. Phương trình Schrodinger

Năm 1926, Schrodinger, nhà vật lý người Áo, đã thiết lập một phương trình, xác
định sự biến đổi trạng thái của hệ vật lý vi mơ theo thời gian. Đối với hệ cơ lập, hàm
sóng ψ(q) chỉ phụ thuộc vào tọa độ gọi là hàm sóng ở trạng thái dừng. Phương trình
Schrodinger có dạng:
ˆ ψ = Eψ
H
(3.14)
Ở đây: ψ(x, y, z) - hàm trạng thái của vi hạt (cô lập);
2
ˆ = − = ∇ 2 + U được gọi là toán tử Hamilton;
H
2m
E - năng lượng của vi hạt ở trạng thái ψ(x, y, z).

62


Phương trình (3.14) cịn được gọi là phương trình Schrodinger cho những trạng thái
dừng.
Đối với một hệ vi hạt, phương trình (3.14) thường được viết dưới dạng khai triển
như sau:
2m
(3.15)

∆ψ + 2 (E − U)ψ = 0
=
Ở đây: ∆ = ∇2 =

∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

- toán tử Laplace;

m - khối lượng của vi hạt;
h
- hằng số planck rút gọn;
==
2π
e2
)
r
Giải phương trình Schrodinger (3.15), ta sẽ thu được các nghiệm ψ mô tả các trạng
thái khác nhau của hạt và giá trị năng lượng E của hạt ở trạng đó.
U - thế năng (ví dụ đối với electron trong nguyên tử hiđro, U = −

3.2.6. Ứng dụng cơ học lượng tử cho một số hệ lượng tử điển hình
3.2.6.1. Hộp thế một chiều
Một trong những ví dụ đơn giản nhất về ứng dụng của cơ học lượng tử là chuyển
động của vi hạt trong hộp thế một chiều. Đó là sự chuyển động của vi hạt (ví dụ
electron) theo phương x và trong một khu vực OA = a. Trong khu vực đó thế năng U

của vi hạt khơng đổi mà để tiện lợi ta chọn làm điểm gốc và coi U = 0. Ngồi khu vực
đó, thế năng U tác dụng lên hạt tăng lên vô hạn (U = ∞), do đó hạt khơng thể vượt ra
khỏi giới hạn trên.

~
~
Ngồi giếng

~
~

U = oo

Ngồi giếng

U=0
O

a

A

x

Hình 3.4. Hộp thế một chiều

Phương trình Schrodinger (3.15) đối với trạng thái của vi hạt trong hộp thế một
chiều có dạng:
d 2 ψ (x) 2m
+ 2 Eψ (x) = 0

dx 2
=

(3.16)

với 0 ≤ x ≤ a
63


Giải phương trình (3.16), có nghĩa là tìm hàm trạng thái ψ(x) và giá trị năng lượng
E của vi hạt ở trạng thái được mơ tả bởi hàm ψ(x) đó:
h2
;
En = n
8ma 2
2

ψn(x) =

2
nπ
sin
x
a
a

Để giải cụ thể phương trình (3.16), ta tiến hành như sau:
2mE
Đặt:
ω2 = 2

=
ta có:

d 2ψ ( x)
+ ω 2ψ ( x) = 0
2
dx

(3.17)
(3.18)

Phương trình (3.18) là phương trình vi phân bậc hai, đơn giản. Nghiệm tổng qt
của phương trình này có dạng:
ψ(x) = Acosωx + Bsinωx
(3.19)
Hàm ψ(x) phải hữu hạn, đơn trị và liên tục. Ngoài ra, vì hạt khơng thể đi ra ngồi
hộp thế (ngồi độ rộng của giếng thế OA), nên ở chính thành hộp thế (tại x = 0 và x =
a) sẽ khơng có electron.
Do đó:
ψ(x)2 = 0 và ψ(x) = 0.
Vậy:
x = 0 thì ψ(0) = 0,
và từ (3.19) ta có:
0 = A.1 + 0 (vì cos0 = 1, sin0 = 0), ta có A = 0.
Hệ thức (3.19) có dạng:
ψ(x) = B.sinω.x
(3.20)
Mặt khác, x = a thì ψ(a) = 0, ta cũng có:
B sinω a = 0
Ở đây, nếu B = 0 thì ψ = 0, nghĩa là ψ2 = 0, trong hộp khơng có vi hạt và như vậy

là khơng đúng với thực tế. Do đó B ≠ 0.
Đặt x = a vào (3.20) ta có:
ψ(a) = B.sinωa
Vì B ≠ 0, nên sinωa = 0
hay:
ωa = sinnπ,
nghĩa là:
ωa = nπ với n = 1, 2, 3,...
(trị số n = 0 bị loại, vì nếu n = 0 thì ψ(a) ln ln bằng 0 và do đó ψ2 = 0, có nghĩa là
trong hộp khơng có vi hạt, vậy:
nπ
ω=
(3.21)
a
Do đó, hàm sóng thoả mãn điều kiện trên sẽ là:
nπ
ψ(x) = Bsin
x (n = 1, 2, 3,...)
(3.22)
a

64


Dựa trên ý nghĩa vật lý của ψ2 ta có thể xác định được B. Hằng số B thu được phải
sao cho tổng xác suất tìm thấy vi hạt trên toàn chiều dài giếng thế OA bằng 1, nghĩa là
nghiệm (3.22) phải thoả mãn điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng:
⎛a
nπ
nπ

2 1
B ∫ sin
xdx = B ⎜ ∫ 1 − cos 2
2 ⎜⎝ 0
a
a
0
2

a

2

Lấy tích phân này sẽ dẫn đến B =

⎞
⎟ xdx = 1
⎟
⎠

2
.
a

Do đó nghiệm (3.22) là:

ψn(x) =
Kết hợp giá trị ω =

2

nπ
sin
x
a
a

(3.23)

nπ
2mE
từ (3.21) và ω 2 = 2 từ (3.17) sẽ dẫn đến:
a
=

En = n 2

h2
8ma 2

(3.24)

Từ các hệ thức (3.23) và (3.24) ta thấy hàm sóng (hay trạng thái) và năng lượng
tương ứng của vi hạt phụ thuộc vào số nguyên n (chỉ số n ở ψ và E bao hàm ý nghĩa đó).
Ứng với n = 1, ta có:
h2
8ma 2

ψ1(x) =

2

π
sin x ,
a
a

ψ2(x) =

2
2π
h2
= 4E1
sin
x , E2 = 22
a
a
8ma 2

ψ3(x) =

2
3π
h2
= 9E1
sin x , E3 = 32
a
a
8ma 2

E1 = 12

Với n = 2:
(2.25)

Với n = 3:

...
Ta thấy, với một giá trị của n ta có một hàm sóng ψn đặc trưng cho một trạng thái
của hạt và từ đó có một sự phân bố mật độ xác suất xác định ứng với một giá trị năng
lượng E xác định.
Bài tập minh họa 3.8:
Một electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng ánh sáng
hấp thu với bước sóng 1,374.10–5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn. Hãy xác
định mức năng lương cao hơn, n mà electron cần chuyển tới, biết rằng độ rộng của
giếng thế là 10,0 nm.
Cho: h = 6,626.10–34 Js; c = 2,9979.108 m/s; mp = 9,109.10–31 kg.

65


Trả lời:
Áp dụng cơng thức tính năng lượng khi electron chuyển động trong giếng thế một
chiều, ta có thể tìm được hiệu năng lượng giữa mức cao và mức cơ bản như sau:
∆E = E n − E1 =

n 2 h 2 12 h 2
−
8mL2 8 mL2

hc (6,626.10−34 J s)(2,9979.108 m/s)
=

= 1,46.10−20 J
∆E =
−5
λ
1,374 .10 m
∆E = 1,446.10

−20

n 2 (6,626.10−34 J s) 2
J=
8(9,109.10−31 kg)(10,0. 10−9 m)2
12 (6,626.10−34 J s) 2
8(9,109.10−31 kg)(10,0. 10−9 m)2

−

1,446.10−20 J = 6,02.10−22 n 2 − 6,02.10−22
⇒ n2 =

1.506.10−20
= 25,0 ⇒ n = 5
6,02.10−22

Như vậy, mức năng lượng n mà electron cần chuyển tới có giá trị là: n = 5.
Sự phụ thuộc của hàm sóng ψn(x), mật độ xác suất ψ2(x) vào toạ độ x và các mức
năng lượng tương ứng của 3 trạng thái đầu được trình bày trên hình 3.4.
Ψ3

2

Ψ3

E

E 3 = 9E 1

Ψ2

2

Ψ2

E 2 = 4E 1

Ψ1

2

Ψ1

E1
0
Hình 3.4. Ba trạng thái đầu của hạt trong hộp thế

66


Từ hình 3.4, ta thấy, đối với những hạt vi mô, khi mà sự chuyển động của chúng
tuân theo những định luật của cơ học lượng tử thì ứng với mỗi trạng thái có một sự phân

bố xác suất của hạt xác định. Các giá trị năng lượng phụ thuộc vào số nguyên n được
gọi là số lượng tử và hợp thành một phổ rời rạc, gián đoạn.
Sự lượng tử hoá năng lượng và sự xuất hiện số lượng tử n là một hệ quả tất yếu của
việc giải phương trình Schrodinger trong trường hợp hạt chuyển động trong một khơng
gian giới hạn.
Mơ hình “hộp thế một chiều” rất đặc sắc khơng những bởi tính đơn giản, lý tưởng
của nó, mà cịn cho phép cụ thể hố về ý nghĩa cũng như cách giải một bài toán cơ học
lượng tử, mà cịn là một mơ hình rất đặc trưng cho sự chuyển động của các electron π
trong mạch hiđrocacbon không no liên hợp.
Bài tập minh hoạ 3.9:
Hãy xác định sự biến thiên năng lượng ∆E theo J, kJ.mol–1, eV và cm–1 giữa 2 mức
năng lượng nc = 2; nt = 1 cho 1 electron chuyển động trong giếng thế một chiều có chiều
rộng là 1,0 nm.
Trả lời:

h2
Năng lượng được tính theo cơng thức: E = n 8mL2 .
2

Do đó:

E=

(6, 62.10−34 ) 2
= 6,02.10–20 J.
−31
−9 2
8.9,1.10 × (1, 0.10 )

Các hệ số chuyển đổi: E(kJ/mol) =

NA
E (J)
103

1 eV = 1,6.10–19 J ; 1 cm–1 = 1,986.10–23 J
Từ các số liệu này, ta dễ dàng tính được ∆E theo các đơn vị J, kJ/mol, eV, cm–1
∆E2→1 = E2 – E1 = (4 – 1)

h2
= 3×6,02.10–20 J = 1,806.10–19 J
2
8mL

Vậy, kết quả cuối cùng thu được là:
∆E2→1 = 1,806.10–19 J = 108,72 kJ.mol–1 = 1,13 eV = 9093,6 cm–1
Bài tập minh hoạ 3.10:
Dựa vào mơ hình giếng thế một chiều, hãy xác định năng lượng ra kJ/mol của
10 electron π được giải toả đều trên toàn khung phân tử đecapentaen (C10H12), biết rằng
khoảng cách trung bình giữa 2 nguyên tử cacbon trong mạch là AC–C = 1,4 Å và

10 electron π chiếm 5 mức năng lượng ở trạng thái cơ bản. Độ dài giếng thế tính theo
cơng thức gần đúng L = (N + 1) ×AC–C, ở đây N là số nguyên tử C trong mạch.

67


Trả lời:
Phân tử đecapentaen (C10H12), có thể biểu diễn như sau:

CH2

CH

CH

CH

CH

CH

CH

CH

CH

CH2

l
Trong phân tử này có 10 nguyên tử cacbon nên độ dài giếng
thế sẽ là:

E

L = (10 + 1)A = 11×AC-C
10 electron π sẽ chiếm 5 mức năng lượng và được biểu diến
trên giản đồ năng lượng (xem hình bên).
Áp dụng cơng thức tính năng lượng:

E = n2

h2
8mL2

E

5

E

4

E

3

E

2

E

1

Thay số vào ta sẽ có:

( 6,62.10 ) × 6,02.10
+5 )
8 × 9,1× 10 (11×1,4.10 )

−34

2

2

2

E = 2(1 + 2 + 3 + 4

2

2

23

2

−31

−10

2

= 1680856 J/mol = 1680,8 kJ/mol
3.2.6.2. Mơ hình quay tử cứng
Bài toán về chuyển động quay của phân tử cho phép ta giải thích phổ quay của
phân tử.
Dưới đây, ta xét chuyển động quay của phân tử hai nguyên tử, dựa trên mơ hình
gần đúng được gọi là mơ hình quay tử cứng với trục quay cố định. Bài toán về chuyển

động quay của phân tử hai nguyên tử khối lượng m1 và m2 quanh trọng tâm O của phân
tử có thể quy về bài tốn chuyển động của một vi hạt có khối lượng µ (được gọi là khối
lượng rút gọn chuyển động trên một mặt phẳng cách tâm điểm cố định O của trục quay
một khoảng là r (hình 3.5)). Khoảng cách r được xác định như sau:
m r + m 2 r2
r = 11
m1 + m 2

r1
m1

r2
O

r µ

m2

Hình 3.5. Quay tử cứng

68

O

r
ϕ

m

Theo mơ hình trên r, θ (của hệ toạ độ cầu) khơng đổi và U = 0, nên phương trình
Schroedinger có dạng:
2µ
∆ψ + 2 Eψ = 0
(3.26)
=
Giải phương trình này sẽ dẫn đến kết quả sau:

=2
h2
E= k
= k2 2
2I
8π I
1
ψ(ϕ) =
.eikϕ
2π
2

với k = 0, 1, 2,...

Chi tiết cách giải, ta phải dùng hệ toạ độ cực, nghĩa là:
1 ∂2
∆= 2 2
r ∂ϕ

Do đó, biểu thức (3.26) có dạng:
∂ 2ψ 2µ r 2
+ 2 Eψ = 0

∂ϕ 2
=

Thay µr2 = I (mơmen qn tính) và đặt: k2 =
E = k2

(3.27)
2I
E , ta được:
=2

=2
2I

(3.28)

∂ 2ψ
+ k 2ψ = 0
2
∂ϕ

(3.29)

Nghiệm của phương trình này có dạng:
ψ(ϕ) = a.eikϕ
Giá trị a được xác định từ điều kiện chuẩn hóa với a =

(3.30)
1
.

2π

Từ yêu cầu về tính đơn trị của ψ(ϕ) nên hàm phải trở lại trạng thái ban đầu.
Do đó:
eikϕ = eik(ϕ + 2π) = eikϕ.eik.2π → eik2π = 1
Áp dụng hệ thức Euler, ta có:
eik2π = cos2πk + isin2πk = 1
(3.31)
Vế phải khơng chứa số ảo, nên isin2πk = 0 và 2πk = nπ (n - số nguyên)
n
(a)
hay
k=
2
k như vậy là những số nguyên hay bán nguyên.
Mặt khác, từ (3.31) ta có cos2πk = 1 và 2πk = 2πn (với n - số nguyên)
hay
k = n
(b)
69


Kết hợp (a) với (b), k phải là những số nguyên.
Từ (3.28) ta có:
E = k2

=2
h2
= k2 2
2I

8π I

với k = 0, 1, 2,...

(3.32)

Như vậy, năng lượng quay của phân tử chỉ nhận những giá trị rời rạc:
Eo = 0 ; E1 = 12

h2

8π 2 I

; E2 = 22

h2

8π 2 I

; ...

Ứng với những giá trị E1, E2,... trên, từ (3.30) ta có:
ψo = a ; ψ1 = a.eiϕ ; ψ2 = a.ei2ϕ; ...
Hệ số a được xác định từ điều kiện chuẩn hố của hàm sóng với a =

1
.
2π

Do đó, dạng tổng quát của hàm sóng là:

1
ψ(ϕ) =
.eikϕ
2π

(3.33)

(trong đó, k = 0, 1, 2, 3,... mô tả trạng thái của phân tử chuyển động quay).
3.2.6.3. Dao động tử điều hịa
Cũng như bài tốn về chuyển động quay, bài tốn về chuyển động dao động của
phân tử hai nguyên tử khối lượng m1, m2 có thể chuyển về bài tốn chuyển động dao
m .m
động của một khối điểm duy nhất có khối lượng rút gọn bằng µ = 1 2 (hình 3.6).
m1 + m 2
r1
m1

r2
G

re
m2

µ

Hình 3.6. Dao động điều hồ

Gọi r1, r2 là khoảng cách tức thời từ hai nguyên tử đến trọng tâm phân tử (G), re là
khoảng cách cân bằng và r là khoảng cách tức thời giữa hai nguyên tử.
Khi m1 và m2 dao động dọc theo trục liên kết hai nguyên tử, biến thiên khoảng cách

giữa chúng là x = r – re, sẽ xuất hiện một lực F ln có khuynh hướng kéo chúng về vị
trí cân bằng:
F = – kx
(3.34)
Thừa số tỷ lệ (k) gọi là hằng số lực, dấu (–) chỉ rõ lực F hướng ngược với chiều
chuyển động.
Dao động của hai nguyên tử (khối lượng m1 và m2) khỏi vị trí cân bằng tuân theo
phương trình (3.34) được gọi là dao động điều hồ, cịn hệ hai ngun tử đó được gọi là
dao động tử điều hoà.
70


Kết quả tính tốn của cơ học lượng tử cho biểu thức tính năng lượng của dao động
tử điều hồ có dạng:
1
(3.35)
E ν = hν e (ν + )
2
trong đó: ν = 0, 1, 2, 3, ... được gọi là số lượng tử dao động ;
νe - tần số dao động của dao động tử điều hồ:
νe =

1 k
.
2π µ

(3.36)

Từ (3.35), ta thấy ở trạng thái dao động thấp nhất (ν = 0), dao động tử (phân tử)
1

vẫn có năng lượng E o = hν e . Năng lượng này gọi là năng lượng điểm không. Sự tồn
2
tại của năng lượng điểm không chứng tỏ dao động của các tiểu phân vi mô không bao
giờ ngừng, ngay cả ở nhiệt độ khơng tuyệt đối.

E

n=3
n=2
n=1
n=0
0

x

Hình 3.7. Hàm sóng và mức năng lượng của dao động tử điều hòa

Bài tập minh họa 3.11:
Sử dụng mơ hình vi hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều cho hệ liên
hợp mạch hở của phân tử octatetraen với 8 electron π ở trạng thái cơ bản. Hãy:
a) Tính năng lượng tổng cộng cho hệ liên hợp π nói trên theo kJ.mol–1.
b) Xác định số sóng (cm–1) của phổ hấp thụ khi 1 electron π chuyển từ MO bị
chiếm cao nhất (HOMO) lên MO trống thấp nhất (LUMO).
Biết độ dài trung bình của liên kết C–C là 1,4 Å; me = 9,1.10–31 kg; h = 6,62.10–34J.s.

71


Trả lời:

a) Chúng ta biết En = n2

h2
cho giếng thế một chiều; a là chiều rộng giếng thế.
8ma 2

Đối với mạch liên hợp octatetraen có 8 nguyên tử cacbon, độ dài giếng thế:
a = (N + 1)AC–C
N là số lượng cacbon trong mạch.
8 electron π được phân bố trên 4 MO từ n = 1 ÷ 4.
Vậy năng lượng tổng cộng sẽ là:
Eπ = 2 (E1 + E2 + E3 + E4)

(6,62.10−34 )2 × 6,02.1023.10−3
Eπ = 2 (12+22+32+42)
8.9,1.10−31 × (9.1,4.10−10 )2
Eπ = 1,37.103 kJ.mol–1
b) MO bị chiếm cao nhất ứng với n = 4.
MO chưa bị chiếm thấp nhất ứng với n = 5
Khi electron chuyển từ E4 → E5, nghĩa là từ HOMO
lên LUMO, ta có:

E

E5
E4

∆E

LUMO

HOMO

E3
E2
E1

hc
h2
h2
2
2
= (5 – 4 )
=9
∆E = E5 – E4 =
λ
8ma 2
8ma 2
Trong trường hợp này, số sóng sẽ là:
1
∆E
h
= ν =
=9
λ
hc
8mca 2
Thay số vào biểu thức này, ta có:
ν =

9.6,62.10−34

= 17183 cm–1
8.9,1.10−31.3.108 (12,6.10−10 )2

*Bài tập minh họa tham khảo 3.12 (trích đề thi ơn luyện cho Olympic 2012 tại Mỹ):
Áp dụng mơ hình hộp thế một chiều để xác định phổ hấp thụ đối với các phân tử
thuốc nhuộm có mạch liên hợp π nối với 2 đầu mạch bằng các vịng thơm, có cơng thức
cấu tạo (xem hình vẽ ở bên đi từ trên xuống là xyanin, pinaxyanol và đicacboxyanin).
Độ dài của hộp thế được tính theo cơng thức gần đúng: L = (2k + 2)b với k - số liên kết
đôi trong mạch liên hợp π ; b = 139 pm. Từ những số liệu đã cho. Hãy:
1. Xác định công thức tổng qt để tính bước sóng.
2. Tính giá trị bước sóng λ theo nm cho 3 phân tử thuốc nhuộm nói trên.
3. Từ các kết quả tính được ở câu 2, giải thích tại sao các phân tử khảo sát lại có màu?
Cho: h = 6,626.10–34 J.s ; c = 3.108 m/s ; me = 9,11.10–31 kg.
72


N

L

H3C

N

N

L

N

CH3 CH3

CH3
Xyani

Pinaxianol

L

N
CH3

N
CH3

§icacboxyanin

Trả lời:
h2
hc
2
n 2LUMO − n HOMO
=
. Mặt khác, giả sử N là số electron π chiếm
2
λ
8mL
các obitan HOMO. Khi bị kích thích 1 trong số 2 electron π chuyển lên mức LUMO
N
nên mỗi mức sẽ có

electron π chiếm giữ. Vì vậy, hiệu số giữa 2 mức HOMO và
2
LUMO được tính như sau:

1. ∆E =

∆E =

(

h2
8mL2

)

⎡⎛ N ⎞ 2 ⎛ N ⎞ 2 ⎤
h2
hc
8cmL2
+
1
−
=
N
+
1
=
→
λ
=

⎢⎜
(
)
⎟ ⎜ ⎟ ⎥
h ( N + 1)
λ
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦ 8mL2
⎢⎣⎝ 2

2. Tính giá trị độ dài bước sóng λ theo nm
a) Cho phân tử xyanin
L = (2×1 + 2)139 = 556 pm
8 × 3.108 × 9,11.10−31 (556.10−12 ) 2
λ1 =
= 3, 40.10−7 m = 340 nm
−34
6, 626.10 (2 + 1)
b) Cho phân tử pinaxyamol
L = (2×2 + 2)139 = 834 pm
λ2 =

8 × 3.108 × 9,11.10−31 (834.10−12 ) 2
= 4,59.10−7 m = 459 nm
−34
6, 626.10 (4 + 1)

c) Cho phân tử đicacboxyanin
L = (3×2 + 2)139 = 1112 pm
λ3 =

8 × 3.108 × 9,11.10−31 (1112.10−12 ) 2
= 5,83.10−7 m = 583 nm
6, 626.10−34 (6 + 1)

3. Từ các kết quả tính được ở câu 2, ta nhận thấy giá trị đều có λ > 300 nm, nên
chúng đều có màu thuộc vùng cận UV và VIS.
73


Những điểm trọng yếu chương 3
1. Đại cương về cơ học lượng tử
a) Thuyết lượng tử Planck
Ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lượng tử năng lượng (ε) tỷ lệ thuận với
tần số của bức xạ (ν):
ε = hν
b) Sóng vật chất de Broglie
Có thể minh hoạ bản chất sóng - hạt của ánh sáng qua sơ đồ sau õy:
Tính chất sóng (hiện tợng giao thoa, nhiễu xạ)
ánh sáng

Tính chất hạt (hiệu ứng quang điện, Compton...) m

h
= mc

c) Nguyên lý bất định Heisenberg
Trong cơ học lượng tử, người ta đã thừa nhận tính chất sóng của các hạt vật chất
chuyển động thì:
“Toạ độ và động lượng của các hạt (vi mơ) khơng thể đồng thời có giá trị xác định”.
Kết luận trên được diễn tả qua hệ thức bất định Heisenberg (1927):

∆q.∆p ≥ =
d) Hàm sóng
Hàm sóng: “Mỗi trạng thái của một hạt (hay một hệ hạt) vi mô được đặc trưng
bằng một hàm xác định được gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái”.
Đối với hệ cô lập (trường hợp duy nhất mà ta cần xét ở đây) hàm sóng là một hàm
của toạ độ |ψ2| = ψ.ψ*, ở đây ψ* là một hàm phức biểu thị xác suất tìm thấy hạt trong
một phần tử thể tích dv tại toạ độ tương ứng.
e) Phương trình Schroedinger
Đối với một hệ vi hạt, phương trình Schrodinger thường được viết dưới dạng khai
triển như sau:
2m
∇2ψ + 2 (E − U)ψ = 0
=

Giải phương trình Schroedinger, ta thu được các nghiệm ψ mô tả các trạng thái
khác nhau của hệ vi hạt và giá trị năng lượng E của chúng ở trạng thái đó.
2. Ứng dụng cơ học lượng tử cho mơ hình hộp thế một chiều

Một trong những ví dụ đơn giản nhất về ứng dụng của cơ học lượng tử là chuyển
động của vi hạt trong hộp thế một chiều. Giải phương trình Schroedinger, có nghĩa là
tìm hàm trạng thái ψ(x) và giá trị năng lượng E của vi hạt:

74


ψn(x) =

2
nπ

sin
x
a
a

h2
En = n
8ma 2
2

3. Ứng dụng cơ học lượng tử cho mơ hình quay tử cứng

Bài tốn về chuyển động quay của phân tử cho phép ta giải thích phổ quay của
phân tử. Giải phương trình Schroedinger cho trường hợp này sẽ tìm được hàm trạng thái
ψ(ϕ) và giá trị năng lượng E của hệ:
1 ikϕ
.e
ψ(ϕ) =
2π
Eq = k2

=2
h2
= k2 2
2I
8π I

4. Ứng dụng cơ học lượng tử cho mơ hình dao động tử điều hịa

Năng lượng của dao động tử điều hồ có dạng:

1
E ν = hν e (ν + )
2
Ở trạng thái dao động thấp nhất (ν = 0), dao động tử (phân tử) vẫn có năng lượng:
1
E o = hν e .
2
Năng lượng này gọi là năng lượng điểm không.

Câu hỏi và bài tập
1.
2.

3.

4.
5.

Nêu một số hiện tượng để chứng tỏ ánh sáng vừa có tính chất sóng, lại vừa có tính
chất hạt.
Trình bày vắn tắt giả thiết de Broglie về lưỡng tính sóng hạt của hệ vi hạt và nội
dung của nguyên lý bất định Heisenberg. Vì sao theo cơ học lượng tử, quan niệm
electron khơng chuyển động trên quỹ đạo.
Hãy mơ tả thí nghiệm xuất hiện hiệu ứng quang điện và giải thích hiện tượng này
một cách định lượng rằng tốc độ của electron bật ra khỏi bề mặt kim loại chỉ phụ
thuộc vào tần số của ánh sáng tới v = f(ν).
Giải thích ý nghĩa của hàm sóng ψ(q, t) mơ tả trạng thái của vi hạt.
Người ta biết rằng thường sự bức xạ của vi sóng có độ dài bước sóng khoảng
1,0 cm. Căn cứ vào dữ liệu này, hãy :
a) Tính tần số và năng lượng của từng photon của bức xạ này;

75