De KT HK 1 Nang cao.doc

Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ
Đề bài
Câu 1 (2 điểm)
Cho hàm số
2
2y ax bx= + +
có đồ thị là parabol (P)
a) Tìm a và b biết (P) có đỉnh là
( )
2; 2I
. Vẽ parabol (P).
b) Dựa vào (P) vẽ đồ thị hàm số
2
2y ax bx= + +
với a, b tìm đợc ở trên.
Câu 2 (1 điểm)
Tìm m để phơng trình
2 4mx x = +
có nghiệm duy nhất.
Câu 3 (2 điểm)
Giải các hệ phơng trình sau
a)
1 2
3
2 2
2 1
1
2 2
x y x y
x y x y

=

+



+ =

+

b)
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
3
15
x y x y
x y x y

=


+ + =


Câu 4 (1 điểm)
Tam giác ABC có trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm AD, N là điểm sao cho

3AC AN=
uuur uuur
. Chứng minh B, M, N thẳng hàng
Câu 5 (3 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm
( ) ( ) ( )
0; 4 , 5;6 , 3;2M N P
.
a) Chứng minh ba điểm M, N, P là ba đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi tam giác MNP.
c) Xác định toạ độ trọng tâm, trực tâm tam giác MNP.
Câu 6 (1 điểm)
Tam giác ABC có các cạnh thoả mãn
3 3 3
a b c= +
. Chứng minh tam giác ABC nhọn.
V. Đáp án và thang điểm
Câu 1
Đáp án Điểm
a) Dựa vào toạ độ đỉnh I thu đợc hệ phơng trình
4 2 4
4 0
a b
a b
+ =


+ =

Giải hệ ta đợc a=1 và b=-4
Vẽ đồ thị chính xác, cẩm thận
0,5
0,25
0,5
b) Vẽ đồ thị
2
4 2y x x= +
dựa và (P)
- Nêu cách vẽ
- Vẽ chính xác
0,25
0,5
1
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ
Câu 2
Đáp án Điểm
Cách 1
Đa về giải và biện luận hai phơng trình bậc nhất hai ẩn và suy ra:
m = 1, m = -1 phơng trình có nghiệm duy nhất

1m
phơng trình có nghiệm duy nhất khi
6 2
1 1m m

=
+
. Suy ra
1

2
m =
Kết luận: Phơng trình có nghiệm duy nhất khi
1
1; ;1
2
m





1,0
Cách 2
Biến đổi tơng đơng bằng cách bình phơng hai vế đa về phơng trình dạng
2
0ax bx c+ + =
và xét các trờng hợp a = 0 và
0a
0 để đa ra kết quả.
1,0
Câu 3
Đáp án Điểm
a) Sau khi đặt ẩn phụ
1
2
1
2
u
x y

v
x y

=

+



=



Dùng định thức hoặc dùng phơng pháp thế, cộng
đại số tìm đợc u=1; v=-1
Thay vào cách đặt tìm đợc nghiệm duy nhất của hệ là
0
1
2
x
y
=



=


1,0
b) Viết lại hệ dới dạng

( ) ( )
( ) ( )
2
2
4 3
2 15
x y x y xy
x y x y xy


+ + =



+ + =



và đặt
S x y
P xy
= +


=

Ta đợc hệ phơng trình
3
3
4 3

2 15
S SP
S SP

=


=


0,5
Giải hệ thu đợc
3
2
S
P
=


=

Từ đó ta có hệ
3
2
x y
xy
+ =


=

0,25
Giải hệ trên ta đợc
( ) ( ) ( )
{ }
; 2;1 , 1;2x y =
và kết luận nghiệm của hệ 0,25
2
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ
Câu 4
Đáp án Điểm
Ta có

( ) ( )
( )
( )
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 4
3
4
BM BA BD BA AN BD AN
BN BD AN
BN BC NC
BN
= + = + +
= +

= +
=
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
Suy ra ba điểm B, M, N thẳng hàng.
1,0
Câu 5
Đáp án Điểm
a) Tính đợc:
MN
= (- 5; 10) ;
MP
= (3; 6)
0,5
Do hai véctơ không cùng phơng nên 3 điểm M, N, P không thẳng hàng. 0,5
b) Tính đợc MN = 5
5
, NP =
4 5
; MP = 3
5
0,75
Suy ra chu vi của tam giác MNP là MN + NP + MP = 12
5
. 0,25
c) Ta có
MP
= (3; 6) và

NP
= (8; - 4) nên
MN
.
NP
= 24 - 24 = 0 0,25
Nên trực tâm H của tam giác MNP chính là điểm P (3 ; 2) 0,25
Gọi G (x ; y) thì
M N P
M N P
x x x
x
3
y y y
y
3
+ +

=



+ +

=



2
x

3
4
y
3

=




=


nên G
2 4
;
3 3


ữ

0,5
Câu 6
3
Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ
Đáp án Điểm
Từ giả thiết suy ra
a b
a c
>

>

nên góc A là góc lớn nhất trong tam giác, do đó để chứng
minh tam giác ABC nhọn ta chứng minh góc A nhọn
0,25
Cách 1
Ta có:
3 3 3
2 2 2 2 2
. .
a b c b c
a b c b c
a a a a
+
= = = + < +
(vì
a b
a c
>


>

nên
0 1,0 1
b c
a a
< < < <

)
Suy ra
2 2 2
a b c< +
nên
2 2 2
cos 0
2
b c a
A
bc
+
= >
. Do đó góc A nhọn.
Từ các chứng minh trên suy ra tam giác ABC nhọn.
0,75
Cách 2
Từ
3 3
3 3 3
1
b c
a b c
a a

= + + =
ữ ữ

Do
2 3

2 3
0 1
0
0
0 1
b b
b
a b
a a
a
a c b
c c
a
a a



>

< <
ữ ữ

> >




> >

< <
>
ữ ữ






2 2 3 3
1
b c b c
a a a a

+ > > =
ữ ữ ữ ữ


2 2 2
b c a + >
Nên
2 2 2
cos 0
2
b c a
A
bc
+
= >

. Do đó góc A nhọn.
Từ các chứng minh trên suy ra tam giác ABC nhọn.
0,75
4