Toán tử sai phân và ứng dụng vào giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ TRANG

TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

NGUYỄN THỊ TRANG

TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2019

Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học
Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS.
Trịnh Thanh Hải (ĐHKH - ĐHTN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình
và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua.
Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy
lớp Cao học Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệm đã tạo
điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và
nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia
đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá
trình học cao học và viết luận văn này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu
sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các
thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Thị Trang

i


Mục lục
Mở đầu

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Một số tính chất của toán tử sai phân . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Phương trình sai phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Phương trình sai phân phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành
cho học sinh khá, giỏi
2.1

20

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng
tổng quát

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tính tổng . . . 23

2.3

Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về bất
đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4

Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán chia hết,
phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5

Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài tổ hợp . . . . . . 34

2.6

Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về giới hạn

2.7

Một số bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

36

54

Tài liệu tham khảo

55

ii


Mở đầu
Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa,
tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử:

• Bài toán chia hết, phần nguyên;
• Bài toán đếm của giải tích tổ hợp;
• Bài toán về giới hạn hàm số;
• Bài toán về bất đẳng thức;
• Tính tổng của một dãy số;
• Xác định số hạng tổng quát của một dãy số.
Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào các dạng bài toán kể
trên, ta còn có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương
pháp sai phân vào giải các bài toán thực tiễn.
Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vào

giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào quá
trình dạy học của bản thân, Em đã lựa chọn đề tài về ứng dụng toán tử
sai phân vào giải một số bài toán sơ cấp. Luận văn có các nhiệm vụ chính
sau:

• Tìm hiểu về định nghĩa và các tính chất của toán tử sai phân;
• Đọc hiểu ý tưởng vận dụng toán tử sai phân vào giải môt số bài toán
sơ cấp được trình bày trong bài báo [5], [6].
• Sưu tầm một số bài toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mà
những bài tập đó có thể giải bằng cách vận dụng khái niệm, tính chất
của toán tử sai phân;
1


• Trình bày tường minh lời giải một số bài toán trên cơ sở vận dụng
khái niệm, tính chất của toán tử sai phân.
Ngoài ra, luận văn cũng trình bày các cách giải khác nhau của cùng một
bài toán và so sánh những phương pháp giải với lời giải khi ứng dụng tính
chất của toán tử sai phân đó người đọc có thể đưa ra nhận xét, so sánh
giữa các lời giải với nhau.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 được chúng tôi sử dụng để nhắc lại các kiến thức thường được
trình bày trong các giáo trình giảng dạy ở bậc đại học. Nội dung chương 1
được chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [4] - [7].

1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. [5]. Cho h là một số thực khác 0 và hàm f (x). Khi

f (x + h) và f (x) là các số thực, ta gọi
∆h f (x) = f (x + h) − f (x)
là sai phân bậc nhất của f tại x với bước nhảy h. Cho các hàm f, g và số
thực c, ta có

∆h (f + g) = ∆h f (x) + ∆h g(x)
và

∆h (cf (x)) = c∆h f (x).
Ký hiệu ∆0h f (x) hoặc If (x) thay cho f (x).
Với bất kỳ số nguyên n

1, chúng ta định nghĩa sai phân bậc n bởi

∆nh f (x) = ∆n (∆n−1
h f )(x).
Ví dụ

∆2h f (x) = f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x),
∆3h f (x) = f (x + 3h) − 3f (x + 2h) + 3f (x + h) − f (x).

3

Bằng quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được
n

∆nh f (x)

(−1)n−k Cnk f (x + kh),

=

(1.1)

k=0

trong đó Cn0 = 1. Với k > 0, ta có

Cnk =

n
n(n − 1)...(n − k)
=
.
k
k!

Chú ý rằng với nhiều công thức, chúng ta có thể cho n là các số thực.
Nếu h = 1 ta viết ∆ và bỏ qua chỉ số dưới h. Ví dụ, trong trường hợp
một dãy {xn }, chúng ta có ∆xn = xn+1 − xn .
Nhận xét.
(i) Cho hàm f (x), n = 0, 1, 2, ...,

n

Cnk ∆k f (x);

f (x + n) =
k=0

trong trường hợp đặc biệt, nếu ∆m f (n) là hằng số khác 0 với mỗi số
nguyên dương n thì

n

Cnk ∆k f (0).

f (n) =
k=0

(ii) Nếu P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn , với an = 0 thì với mọi x,
ta có:

∆nh P (x) = an n!hn
và

∆m
h P (x) = 0, với m > n.
Với k là một số nguyên dương cho trước. Như một hàm của x, Cxk có
các tính chất:
k
(a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1
(vì ∆Cxk = Cxk−1 ).

(b) Ta có ∆r Cxk = Cxk−r , với 0

k và ∆r Cxk = 0, với r > k .

r

k+1
(c) C1k + C2k + ... + Cnk = Cn+1
.

Tương tự (i), nếu f (x) là đa thức có bậc m thì
m

Cxk ∆k f (0).

f (x) =
k=0

4

(1.2)


1.2

Một số tính chất của toán tử sai phân

Tính chất 1.2.1. [4]. Nếu c = const thì ∆c = 0.
Chứng minh. Nếu c = const thì ∆c = c − c = 0.

Tính chất 1.2.2. [4]. Ta có ∆n (xn ) = n!hn ; ∆m (xn ) = 0(m > n).
Chứng minh. Ta có

∆(xn ) = (x + h)n − xn
= n.hxn−1 + ...
∆2 (xn ) = ∆(nxn−1 h) + ...
= n.h∆(xn−1 ) + ...n(n − 1).h2 (xn−2 ) + ...
...
∆n (xn ) = n!hn .
Từ Tính chất 1.4.2, suy ra ∆m (xn ) = 0, ∀m > n.
Tính chất 1.2.3. [4]. Nếu P (x) là đa thức bậc n ta có:

∆P (x) = P (x + h) − P (x)
n

hi (i)
.p (x).
i!

=
i=1

Tính chất 1.2.4. [4].
n

Cni ∆i f (x).

f (x + nh) =
i=0

Chứng minh. Ta có f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x).
Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được:

f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h)
= (1 + ∆)2 f (x + (n − 2)h)
= ...
= (1 + ∆)n f (x)
n

Cni ∆i f (x).

=
i=0

5


Tính chất 1.2.5. [4].
n
n

Cni (−1)i Cin f (x + (n − i)h).

∆ f (x) =
i=0

Chứng minh. Ta có

∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x)
n

(−1)i Cin (1 + ∆)n−i f (x)

=
i=0
n

(−1)i Cin f (x + (n − i)h).

=
i=0

Tính chất 1.2.6. [4]. Giả sử f ∈ C n [a; b] và (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó:

∆n f (x)
= f (n) (x + θnh); θ ∈ (0; 1).
n
h
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Với n = 1, ta có công thức
số gia hữu hạn:
f (x + h) − f (x)
= f (x + θh).
h
Giả sử công thức đúng với k = n, nghĩa là:
∆n f (x)
= f (n) (x + θnh).
n
h
Ta chứng minh công thức trên đúng với k = n + 1.
Thật vậy, ta có:

∆n+1 f (x) = ∆[∆n f (x)] = ∆[hn f (n) (x + θ nh)],
trong đó θ ∈ (0; 1).
Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f (n) (x + θ nh) ta có

∆n+1 f (x) = hn ∆(n) (x + θ nh)
= hn [f (n) (x + θ nh + h) − f (n) (x + θ nh)]
= h(n+1) f (n+1) (x + θ nh + θ”h); với (θ , θ” ∈ (0; 1)).
Đặt θ =

θ n+θ”
n+1

∈ (0; 1), ta có
∆(n+1) f (x) = f (n+1) (x + θ(n + 1)h).

6


Tính chất 1.2.7. [4]. Nếu f (x) xác định trên tập số nguyên và h = 1; kí
hiệu xk = f (k); k = 0, 1, ... thì
n

∆xi = xn+1 − x1 .
i=1

Chứng minh. Ta có:
n

∆xi = (x2 − x1 ) + (x3 − x2 ) + ... + (xn+1 − xn ) = xn+1 − x1 ,
i=1

với ∆xi = xi+1 − xi .
Vậy

n

∆xi = xn+1 − x1 .
i=1

Giả sử ∆ là toán tử sai phân D trên hàm giá trị thực. Với hàm giá trị
thực f tồn tại giới hạn:

df
f (x + h) − f (x)
= lim
.
dx h→0
h
Cho h = 1 và thay biến x bằng n ta có toán tử sai phân ∆. Như vậy
∆ có các tính chất của toán tử sai phân D.Ta xét một số tính chất thông
qua các định lý sau với D(xn ) = nxn−1 .
D(f (x)) =

n

Định lý 1.2.1. [7]. Nếu f (x) = x − = x(x − 1)...(x − n + 1) thì

∆f (x) = nx

n−1

−

.

n

Trong đó x − là kí hiệu của giai thừa dưới.
Chứng minh. Ta có

∆f (x) = f (x + 1) − f (x)
n

n

∆f (x) = (x + 1) − − (x) −
∆f (x) = (x + 1)x...(x + 1 − n + 1) − x(x − 1)...(x − n + 1)
∆f (x) = (x + 1)x...(x − n + 2) − x(x − 1)...(x − n + 1)
∆f (x) = ([x + 1] − [x − n + 1])(x(x − 1)...(x − n + 2))
∆f (x) = nx

n−1
−

Nếu f (x) = ex thì

.

df
dx

= ex . Khi đó ta có thể tìm hàm f sao cho ∆f = f .
Từ đó ta có định lý sau.
7


Định lý 1.2.2. [7]. Nếu f (x) = 2x thì ∆f (x) = ∆2x = 2x .
Chứng minh.

∆f (x) = ∆2x
∆f (x) = 2x+1 − 2x
∆f (x) = 2x (2 − 1)
∆f (x) = 2x .
Định lý 1.2.3. [7]. Nếu f (x) =

x
k

thì ∆f (x) =

x
k−1

Chứng minh. Dựa vào tính chất dương và tương tự Định lý 1.2.1 ta có
x
∆f (x) = ∆
k
k
x−
∆f (x) = ∆
k!

k
1
∆f (x) = .∆x −
k!
k−1
1
∆f (x) = .kx − .
k!
k−1
x−
∆f (x) =
(k − 1)!
x
∆f (x) =
.
k−1

1.3

Phương trình sai phân tuyến tính

Định nghĩa 1.3.1. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức
tuyến tính của sai phân các cấp dạng:

F (un , ∆un , ∆2 un , ..., ∆k un ) = 0,
trong đó ∆k un là sai phân cấp k của un , k là bậc của phương trình sai
phân.
Định nghĩa 1.3.2. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm un là
một hệ thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm un tại các điểm khác nhau.
Phương trình sai phân tuyến tính tổng quát có dạng:

a0 un+k + a1 un+k−1 + ... + ak un = fn ,
8

(1.3)


trong đó a0 , a1 , ..., ak (với a0 = 0, ak = 0) là các hệ số biểu thị bởi hằng số
cho trước hay các hàm số của n, fn là một hàm số của biến n, un là ẩn số
cần tìm.
Định nghĩa 1.3.3. [4].
+ Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
thuần nhất;
+ Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính
không thuần nhất;
+ Nếu fn ≡ 0 và a0 , a1 , ..., ak là các hằng số, a0 = 0, ak = 0 thì (1.3)
trở thành

a0 un+k + a1 un+k−1 + ... + ak un = 0.

(1.4)

Đây là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng.
+ Nếu a0 , a1 , ..., ak là các hàm số của n thì (1.3) là phương trình sai
phân tuyến tính với hệ số biến thiên.
Định nghĩa 1.3.4. [4].
+ Hàm số un thỏa mãn (1.3) là nghiệm của phương trình sai phân tuyến
tính (1.3).
+ Hàm số un thỏa mãn (1.4) được gọi là nghiệm tổng quát của phương
trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.4). Nếu với mọi tập giá trị ban đầu

u0 , u1 , ..., uk−1 ta đều xác định được duy nhất các tham số C1 , C2 , ..., Ck
để nghiệm un trở thành nghiệm riêng của (1.4), nghĩa là đồng thời thỏa
mãn (1.4) và un = ui , i = 0, k − 1.
Cấu trúc nghiệm:
Định lý 1.3.1. [4]. Nghiệm tổng quát của (1.3) là un = un + u∗n , trong đó

un là nghiệm tổng quát của (1.4), u∗n là nghiệm riêng của (1.3).
Định lý 1.3.2. [4]. Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng:

un = C1 un1 + C2 un2 + ... + Ck unk ,
trong đó un1 , un2 , ..., unk là k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.4) và C1 , C2 , ..., Ck
là các hằng số tùy ý.

9


Định lý 1.3.3. [4]. Xét phương trình đặc trưng:

a0 λk + a1 λk−1 + ... + ak = 0.

(1.5)

+ Trường hợp 1. Nếu (1.5) có k nghiệm thực khác nhau là λ1 , λ2 , ..., λk
thì hệ {λn1 , λ,2 ..., λnk } là hệ k nghiệm độc lập tuyến tính của (1.5). Khi đó
nghiệm tổng quát của (1.5) là

un = C1 λn1 + C2 λ2 + ... + Ck λnk ,
trong đó Ci , i = 1, 2, ..., k là các hằng số tùy ý.
+ Trường hợp 2. Nếu (1.5) có nghiệm thực λj bội s thì ngoài nghiệm

λnj ta bổ sung thêm s − 1 nghiệm nλnj , n2 λnj , ..., ns−1 λnj cũng là các nghiệm
độc lập tuyến tính của (1.5). Khi đó
k

s−1

Ci λni

un =

Cji ni λnj ,

+
i=1

j=i=1

trong đó Cji và Ci là các hằng số tùy ý.
+ Trường hợp 3. Nếu (1.5) có nghiệm phức

λj = r(cos ϕ + i sin ϕ), tanϕ = b/a, r = |λj | =

√

a2 + b2

thì ta lấy thêm các nghiệm rn cos nϕ, rn sin nϕ. Khi đó
k

Ci λni + rn (Cj1 cos nϕ + Cj2 sin nϕ),

un =
j=i=1

trong đó Ci , Cj1 , Cj2 (i = 1, 2, ..., k) là các hằng số tùy ý.
Phương pháp tìm nghiệm riêng
Phương pháp 1. Phương pháp chọn (hệ số bất định)
Trong một số trường hợp đặc biệt hàm của fn , ta có thể tìm u∗n một
cách đơn giản. Để xác định các tham số trong các dạng nghiệm ta dùng
phương pháp hệ số bất định.
* Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn u∗n = Qm (n).
+ và (1.5) có nghiệm λ = 1 bội s thì ta chọn u∗n = ns Qm (n).
* Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α = 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức
bậc m của n
10


+ và (1.5) có nghiệm thực khác α thì ta chọn u∗n = αn Qm (n).
+ và (1.5) có nghiệm λ = α bội s thì ta chọn u∗n = ns αn Qm (n).
* Trường hợp 3. Nếu fn = α cos nu + β sin nu, với α, β là các hằng
số thì ta chọn

u∗n = a cos nu + b sin nu.
* Trường hợp 4. Nếu fn = fn1 + fn2 + ... + fns thì ta chọn

u∗n = u∗n1 + u∗n2 + ... + u∗ns ,
trong đó u∗ni ứng với các hàm fni , i = 1, s.
Phương pháp 2. Phương pháp biến thiên hằng số Lagrenge

Nghiệm tổng quát là

un = C1 (n)un1 + C2 (n)un2 + ... + Ck (n)unk .
Phương pháp 3. Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phương
trình sai phân tuyến tính
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k

3:

un+k = a1 un+k−1 + a2 un+k−2 + ... + ak un + fn .
Trong đó a1 , a2 , ..., ak là các hệ số; un , un+1 , ..., un+k là các ẩn; u0 , u1 , ..., uk−1
là các gia trị ban đầu.
Phương trình đã cho luôn đưa được về dạng chính tắc
→
−
→
−
−
y n+1 = A→
y n + f n.
Trong đó

 


uk−1
un+k
f0
 −
0

u 
u
  →
 k−2 
 n+k−1  →
−
=

, f n =  , y 0 = 
...
 ... 
 ... 
un+1
0
u0


→
−
y n+1

và


a1

1

A=
0

 ...

0

a2
0
1
...
0

... ak−1
... 0
... 0
... ...
... 0
11


ak

0

0

... 

1


Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho

QAQ−1 = Λ. Trong đó Λ là ma trận đường chéo Gioocđan.
Thực hiện phép đổi biến
→
−
→
−
→
−
−
x n = Q→
y n, F n = Q f n,
ta có

→
−
−
x n = Λn →
x0+

n

→
−
−
−
Λn−k F k−1 , →
y n = Q−1 →
x n.

k=1

Từ đó xác định được un .
Định nghĩa 1.3.5. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:

aun+1 + bun = fn , với a, b = 0 hoặc un+1 = qun + fn , q = 0.
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất.
+ Nếu a, b hay q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính cấp 1 với hệ số hằng.
+ Nếu a, b hay q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến
tính cấp 1 với hệ số biến thiên.
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của
phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng
của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không
thuần nhất có dạng un = Cλn , với λ = −b/a hay λ = q .
Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1
không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và λ = 1 thì u∗n = Qm (n).
+ và λ = 1 thì u∗n = nQm (n).
* Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α = 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức
bậc m của n
+ và λ = α thì u∗n = αn Qm (n).
12

+ và λ = α thì u∗n = nαn Qm (n).
* Trường hợp 3. Nếu fn = α cos nu+β sin nu, α2 +β 2 = 0, u = kπ, k ∈ Z
thì ta có

u∗n = a cos nx + b sin nx.
Ví dụ 1.3.1. Giải phương trình

un+1 = 2un + n + 1, ∀n ∈ N∗ , với u1 = 1.
Giải. Xét phương trình đặc trưng λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2. Nghiệm tổng
quát của phương trình đã cho có dạng:

un = un + u∗n ,
trong đó un = C2n , u∗n = an + b.
Thay u∗n = an + b vào phương trình ban đầu ta có

a(n + 1) + b − 2(an + b) = n + 1 ⇔ −an − b + a = n + 1, ∀n ∈ N∗ .
Suy ra a = −1, b = −2. Do đó u∗n = −n − 2.
Vậy un = C2n − n − 2.
Vì u1 = 1 nên 1 = 2C − 3 ⇔ C = 2.
Vậy un = 2n+1 − n − 2.
Định nghĩa 1.3.6. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có dạng:

aun+2 + bun+1 + cun = fn , a, b, c = 0 hoặc un+2 = pun+1 + qun + fn , q = 0.
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất.
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần
nhất.
+ Nếu a, b, c hay p, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng.
+ Nếu a, b, c hay p, q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân
tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên.

Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không
thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là nghiệm tổng quát của
phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng
của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
13


Để tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
thuần nhất, ta giải phương trình đặc trưng

aλ2 + bλ + c = 0.
+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 , λ2 thì số
hạng tổng quát có dạng:

un = c1 λn1 + c2 λn2 .
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì số hạng
tổng quát có dạng:

un = (c1 + nc2 )λn .
+ Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì số hạng tổng
quát có dạng:

un = rn (c1 cos nϕ + c1 sin nϕ),
trong đó

r=

√

B

−b
A2 + B 2 , ϕ = arctan , A =
,B =
A
2a

|∆|
.
2a

Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2
không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và λ = 1 thì u∗n = Qm (n), Qm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm đơn thì u∗n = nQm (n).
+ và λ = 1 là nghiệm kép thì u∗n = n2 Qm (n).
* Trường hợp 2. Nếu fn = αn Pm (n), α = 0, m ∈ N, Pm (n) là đa thức
bậc m của n
+ và λ = α thì u∗n = αn Qm (n), Qm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N.
+ và λ = α là nghiệm đơn thì u∗n = nαn Qm (n).
+ và λ = α là nghiệm kép thì u∗n = n2 αn Qm (n).
* Trường hợp 3. Nếu fn = Pm (n) cos αn+Q (n) sin αn, với Pm (n), Q (n)
tướng ứng là các đa thức bậc m, của n. Ký hiệu k = max{m, }. Ta thấy
+ Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 không là nghiệm của phương trình
đặc trưng thì

u∗n = Tk (n) cos αn + nRk (n) sin αn.
14

+ Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 là nghiệm của phương trình đặc
trưng thì

u∗n = nTk (n) cos αn + Rk (n) sin αn.
Ví dụ 1.3.2. Giải phương trình sai phân

u = 2, u = 5.
0
1
un+2 = 5un+1 − 6un , ∀n ∈ N.
Giải. Xét phương trình đặc trưng

λ2 − 5λ + 6 = 0 ⇔ λ = 2 hoặc λ = 3.
Khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng un = c1 2n + c2 3n .
Theo giả thiết

u = 2,
0
u1 = 5.


c + c = 2,
1
2
⇔
2c1 + 3c2 = 5.


c = 1,
1

⇔
c2 = 1.

Vậy un = 2n + 3n .
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình

un+2 = un+1 − un , ∀n ∈ N,∗ u1 = u2 = 1.
Giải. Xét phương trình đặt trưng λ2 − λ + 1 = 0 có hai nghiệm phức
liên hợp

λ1,2

√
1 ± 3i
π
π
=
= cos ± i sin .
2
3
3

Suy ra

un = C1 cos

nπ
nπ
+ C2 sin
.

3
3

Theo giả thiết u1 = u2 = 1 ta có

√
3
C 1 + C
=1
1 2
2 2
√
C2 − 1 + C2 3 = 1
2

Vậy

2


C = 0
1
√
⇔
C2 = 2 3
3

√
nπ
2 3

un =
sin
.
3
3
15


Định nghĩa 1.3.7. [4]. Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 có dạng:

aun+3 + bun+2 + cun+1 + duu = fn , a, d = 0
hoặc

un+3 = pun+2 + qun+1 + kuu + fn , k = 0.
+ Nếu fn = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất.
+ Nếu fn = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần
nhất.
+ Nếu a, b, c, d hay p, q, k là các hằng số thì ta có phương trình sai phân
tuyến tính cấp 3 với hệ số hằng.
+ Nếu a, b, c, d hay p, q, k là các hàm của n thì ta có phương trình sai
phân tuyến tính cấp 3 với hệ số biến thiên.
Định nghĩa 1.3.8. [4]. Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân
tuyến tính cấp 3 không thuần nhất có dạng: un = un + u∗n , trong đó un là
nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất
và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không
thuần nhất.
Cách tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính
cấp 3 thuần nhất:
Giải phương trình đặc trưng:

aλ3 + bλ2 + cλ + d = 0.
+ Nếu phương trình đặc trưng có ba nghiệm phân biệt λ1 , λ2 , λ3 thì số
hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = c1 λn1 + c2 λn2 + c3 λn3 .
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội λ1 = λ2 = λ3 = λ thì số
hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = (c1 n2 + c2 n + c3 )λn .
+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 và λ2 = λ3 =

λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:
un = c1 λn1 + (c2 n + c3 )λn .
16


+ Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm thực λ và hai nghiệm
phức thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:

un = c1 λn + c2 cos nϕ + c3 sin nϕ.
Tìm Nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không
thuần nhất:
* Trường hợp 1. Nếu fn = Pm (n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và λ = 1 thì u∗n = Qm (n), m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm bội 1 thì u∗n = nQm (n), m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm bội 2 thì u∗n = n2 Qm (n), m ∈ N.
+ và λ = 1 là nghiệm bội 3 thì u∗n = n3 Qm (n), m ∈ N.
* Trường hợp 2. Nếu fn = vµn (hàm mũ)
+ và λ = µ thì u∗n = knµn .
+ và λ = µ là nghiệm đơn thì u∗n = kµn .

+ và λ = µ là nghiệm bội s thì u∗n = kns µn .
Ví dụ 1.3.4. Giải phương trình

un+2 = 7un+1 − 11un + 5un−1 , ∀n

2, u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3.

Giải. Xét phương trình đặc trưng

λ3 − 7λ2 + 11λ − 5 = 0 ⇔ (λ − 1)2 (λ − 5) = 0.
Phương trình này có ba nghiệm thực λ1 = λ2 = 1, λ3 = 5.
Suy ra un = c1 + c2 n + c3 .5n .
Với u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3 ta có



C1 + C3 = 0

C1 + 2C2 + 25C3 = 1



C1 + 3C2 + 125C3 = 3

⇔


1



C1 = − 16

C2 =



C3 =

3
4
1
16 .

Vậy

un =

1
3
1
+ (n − 1) + .5n−1
16 4
16

Hay

un =

1 n−1
3

1
(5
− 1) + (n − 1) + .
16
4
16
17


1.4

Phương trình sai phân phi tuyến

Định nghĩa 1.4.1. [4]. Một phương trình sai phân không tuyến tính được
gọi là phương trình sai phân phi tuyến tính.
Ví dụ 1.4.1. Ta có các phương trình sai phân phi tuyến tính sau:
pun + q
;
un+1 =
run + s

24u2n + 1, u0 = 0.

un+1 = 5un +

Định nghĩa 1.4.2. [4]. Tuyến tính hóa là sự chuyển đổi phương trình sai
phân dạng phi tuyến tính về dạng tuyến tính.
Trong nhiều trường hợp một số phương trình sai phân dạng phi tuyến
có thể thực hiện được như vậy và dạng tuyến tính là có thể giải được, nhờ
đó làm phong phú thêm ứng dụng của phương trình sai phân.

Phương pháp để đưa phương trình sai phân phi tuyến tính thành phương
trình sai phân tuyến tính:
Giả sử phương trình sai phân un = ϕ(un−1 , un−2 , ..., un−k ) là tuyến tính
hóa được với k giá trị bạn đầu u1 , u2 , ..., uk .
Khi đó cần tồn tại các hệ số a1 , a2 , ..., ak không đồng thời bằng 0 sao cho

un = a1 un−1 + a2 un−2 + ... + ak un−k .
Các giá trị uk+1 , uk+2 , ..., u2k tính trực tiếp qua k giá trị ban đầu u1 , u2 , ..., uk .
Ta có hệ phương trình:


uk+1 = a1 uk + a2 uk−1 + ... + ak u1




u
= a u a u + ... + a u
k+2

1 k+1 2 k

k 2


...





u
k+1 = a1 u2k−1 + a2 u2k−2 + ... + ak uk
Giải hệ phương trình trên ta tìm được a1 , a2 , ..., ak . Từ đó ta tìm
được un .
Sau đó chứng minh tính đúng đắn của biểu thức tuyến tính với mọi n.
Ví dụ 1.4.2. Tuyến tính hóa phương trình

u2n−1 + 2
un =
, u1 = u2 = 1, n
un−2
18

3.


Giải. Ta tìm a, b sao cho

un = aun−1 + bun−2

(1.6)

và u3 = 3, u4 = 11.
Thay vào phương trình (1.6) ta có


a + b = 3
a = 4
⇔
3a + b = 11

b = −1
Vậy un = 4un−1 − un−2 .
Ví dụ 1.4.3. Tuyến tính hóa và giải phương trình

un+1 = 5un +

24u2n + 1, u0 = 0, n ∈ N∗ .

Giải. Ta tìm a, b sao cho

un+1 = aun + bun−1

(1.7)

và u0 = 0, u1 = 1, u2 = 10, u3 = 99.
Thay vào phương trình (1.7) ta có


a = 10
a = 10
⇔
10a + b = 99
b = −1.
Do đó un = 10un−1 − un−2 .

√
Xét phương trình đặc trưng λ2 − 10λ + 1 = 0 ⇔ λ1,2 = 5 ± 2 6. Suy ra
√
√
un = C1 (5 + 2 6)n + C2 (5 − 2 6)n .

Theo giả thiết u0 = 0, u1 = 1 ta có

C + C = 0
1
2
√
√
C1 (5 + 2 5) + C2 (5 − 2 6) = 1
Vậy


C = √1
1
4 6
⇔
C2 = − √1 .
4 6

√
√
1
un = √ [(5 + 2 6)n − (5 − 2 6)n ].
4 6

19


Chương 2

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải
một số bài toán dành cho học sinh
khá, giỏi
Toán tử sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng, nó không những góp
phần giải quyết các bài toán về dãy số mà còn giúp giải một số bài toán
khác như phương trình hàm, đa thức, bất đẳng thức. Trong chương này
chúng tôi xét một số ứng dụng của toán tử sai phân vào giải một số bài
toán sơ cấp như bài toán tìm số hạng tổng quát, bài toán tính tổng, bài
toán về bất đẳng thức, bài toán chia hết, phần nguyên, bài toán tổ hợp,
bài toán về giới hạn và một số bài toán khác. Nội dung chính của chương
này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5], [6].

2.1

Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng
tổng quát

Để tìm số hạng tổng quát của dãy {un } cho trước, ta đưa dãy đã cho
về dạng phương trình sai phân tuyến tính giải được. Giải phương trình sai
phân tuyến tính này ta sẽ tìm được số hạng tổng quát cần tìm.
Bài toán 2.1.1. Cho dãy {un }: u1 cho trước, un+1 = aun + b với a, b cho
trước. Hãy xác định số hạng tổng quát un của dãy số.
Giải.
Phương pháp 1.
20


+ Nếu a = 1 thì dãy số là cấp số cộng với công sai là b nên ta có

un = u1 + (n − 1)b.

+ Nếu a = 1, ta gọi {vn } là dãy số có các số hạng thỏa mãn un = vn + c.
Thay vào hệ thức truy hồi ta có vn = avn−1 + (a − 1)c + b. Ta chọn c sao
cho (a − 1)c + b = 0 hay c = b/(1 − a). Khi đó {vn } là một cấp số nhân
với công bội q = a, số hạng đầu v1 = u1 − c. Tức là v1 = u1 − b/(1 − a).
Do đó số hạng tổng quát

b
an−1 , ∀n
1−a

vn = u1 −

2.

Suy ra

b
b
+
.
a−1
a−1
Phương pháp 2. Sử dụng toán tử sai phân và các tính chất
+ Nếu a = 1 thì
un = an−1 u1 −

n−1

uk+1 − uk = b ⇒

(uk+1 − uk ) = un − u1 = (n − 1)b.
k=1

Hay un = u1 + (n − 1)b.
+ Nếu a = 1 thì

un+1 = aun + b ⇒

un+1
un
b
=
+
.
an+1
an an+1

Đặt

vn =

un
b
⇒
v
−
v
=
.
n+1

n
an
an+1

Suy ra
n−1

n−1

(vk+1 − vk ) =
k=1

k=1

b
ak+1

=

b
1
1 − n−1 .
a(a − 1)
a

Vậy
n−1

u1
b

b
1
u1 n
un = a ( ) +
=
1
−
+
a
k+1
n−1
a
a
a(a
−
1)
a
a
k=1
n

= an−1 u1 −

b
b
+
.
a−1
a−1

Bài toán 2.1.2. Tìm {un } biết

u0 = 1, u1 = −1, un+2 = 6un+1 + 5un , n = 0, 1, ....
21