Phép tính sai phân và ứng dụng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1
1 2
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
y = f(x) R x
k
= x
0
+ kh (k ∈ N
∗
)
x
0
∈ R; h ∈ R y
k
= f(x
k
) f(x)
x = x
k
• ∆y
k
= y
k+1
− y
k
(k ∈ N

∗
)
y = f (x)
• ∆
2
y
k
= ∆y
k+1
− ∆y
k
= ∆(∆y
k
) (k ∈ N
∗
)
y = f(x)
• ∆
i
y
k
= ∆
i−1
y
k+1
− ∆
i−1
y
k
= ∆(∆

i−1
y
k
) (k ∈ N
∗
)
i y = f(x) (i = 1, 2, · · ·, n, · · ·)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
0
∆
i
y
k
=
i

s=0
(−1)
s
C
s
i
y
k+i−s
(i ∈ N
∗
).
∀i ∈ N
∗
; ∀α, β ∈ R; ∀f(x), g(x) : R → R,

∆
i
(αf (x) + βg(x)) = α∆
i
f(x) + β∆
i
g(x).
i n
n − i i < n
i = n
0 i > n
y = P
n
(x) = x
n
i < n
i = 1 ∆x
n
= (x + h)
n
−x
n
= P
n−1
(x) n −1
x i = 1
i = k < n ∆
k
x
n

= P
n−k
(x)
n − k x
∆
k+1
x
n
= ∆(∆
k
x
n
) = ∆
k
((x + h)
n
) − ∆
k
(x
n
)
= P
n−k
(x + h) − P
n−k
(x) = P
n−k−1
(x)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
n − k − 1 x i = k + 1

∀i ∈ N
∗
i = n ∆
n
(x
n
) n − n = 0 x
i > n
∆
i
(x
n
) = ∆
i−n
(∆
n
(x
n
)) = ∆
i−n
C = 0, (C = const).
∆(f
k
g
k
) = f
k
∆g
k
+ g

k+1
∆f
k
.
n

k=1
∆y
k
= y
n+1
− y
1
.
1; 3; 15; 43; 93; 171; 283; ···.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
∆y
∆
2
y
∆
3
y
3
y = an
3
+ bn
2
+ cn + d (a = 0) n
n = 0; 1; 2; 3 0
















d = 1
a + b + c + d = 3
8a + 4b + 2c + d = 15
27a + 9b + 3c + d = 43
⇔
















a = 1
b = 2
c = −1
d = 1
y
n
= n
3
+ 2n
2
− n + 1
n = 7; n = 8 y
7
= 435; y
8
= 633.
y
n
= n
3
+ 2n
2
− n + 1 + P (n) P (n)
n ∈ 0 6
∆

2
(ax
2
+ bx + c) = const ∆
2
y = const
y = ax
2
+ bx + c
S =
1
1.2.3.4
+
1
2.3.4.5
+ · · ·+
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
·
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1
k(k + 1)(k + 2)(k + 3)
=
1
3

1
k(k + 1) (k + 2)
−
1

(k + 1) (k + 2)(k + 3)

= −
1
3(k + 1)(k + 2)(k + 3)
+
1
3k(k + 1 )(k + 2)
= ∆y
k

y
k
= −
1
3k(k + 1 )(k + 2)

·
S =
1
3

1
6
−
1
(n + 1)(n + 2)(n + 3)

·
1) A

n
= sin x + sin 2x + · · · + sin nx.
2) B
n
= cos x + cos 2x + · · ·+ cos nx.
∆ cos(k −
1
2
)x = cos(k +
1
2
)x − cos(k −
1
2
)x
= −2 sin kx. sin
x
2
.
x = k2π, k ∈ Z (sin
x
2
= 0)
A
n
= 0
x = k2π, k ∈ Z (sin
x
2
= 0)

sin kx = −
∆ cos(k −
1
2
)x
2 sin
x
2
.
A
n
=
n

k=1
sin kx =
n

k=1
−
∆ cos(k −
1
2
)x
2 sin
x
2
= −
1
2 sin

x
2
n

k=1
∆ cos(k −
1
2
)x
= −
1
2 sin
x
2

cos(n +
1
2
)x − cos
x
2

=
sin
n + 1
2
x. sin
n
2
x

sin
x
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A
n
=











0 khi x = k2π, k ∈ Z
sin
n + 1
2
x. sin
n
2
x
sin
x
2

khi x = k2π, k ∈ Z.
∆ sin(k −
1
2
)x = sin(k +
1
2
)x − sin(k −
1
2
)x
= 2 cos kx. sin
x
2
.
x = k2π, k ∈ Z (sin
x
2
= 0)
B
n
= n
x = k2π, k ∈ Z (sin
x
2
= 0)
cos kx =
∆ sin(k −
1
2

)x
2 sin
x
2
.
B
n
=
n

k=1
cos kx =
1
2 sin
x
2
n

k=1
∆ sin(k −
1
2
)x
=
1
2 sin
x
2

sin(n +

1
2
)x − sin
x
2

=
cos
n + 1
2
x. sin
n
2
x
sin
x
2
.
B
n
=












n khi x = k2π, k ∈ Z
cos
n + 1
2
x. sin
n
2
x
sin
x
2
khi x = k2π, k ∈ Z.
(x
n
)
x
1
=
1
2
; x
n+1
= x
n
+ x
2
n
, ∀n ≥ 1.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
S =

2010

n=1
1
x
n
+ 1

[x] x
x
n+1
= x
n
+ x
2
n
x
n+1
− x
n
= x
2
n
≥ 0 (x
n
)
x

2
=
3
4
; x
3
=
3
4
+

3
4

2
=
21
16
> 1 ⇒ x
n
> 1, ∀n ≥ 3.
1
x
n+1
=
1
x
n
(1 + x
n

)
=
1
x
n
−
1
x
n
+ 1
1
x
n
+ 1
= −
1
x
n+1
−

−
1
x
n

= ∆

−
1
x

n

2010

n=1
1
x
n
+ 1
=
2010

n=1
∆

−
1
x
n

= −
1
x
2011
−

−
1
x
1


=
1
x
1
−
1
x
2011
= 2 −
1
x
2011
x
n
> 1, ∀n ≥ 3 1 <
2010

n=1
1
x
n
+ 1
< 2
S =

2010

n=1
1

x
n
+ 1

=

2 −
1
x
2011

= 1.
(x
n
)
x
n
= tan n. tan(n − 1), ∀n ∈ N
∗
.
α, β ∈ R
n

k=1
x
k
= α tan n + βn, ∀n ∈ N
∗
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

tan 1 = tan[n − (n − 1)] =
tan n − tan(n − 1)
1 + tan n. tan(n − 1)
⇒ tan 1 + tan 1. tan n. tan(n − 1) = tan n − tan(n − 1) = ∆ tan(n − 1)
⇒ tan n. tan(n − 1) =
∆ tan(n − 1)
tan 1
− 1.
n

k=1
x
k
=
n

k=1

∆ tan(k − 1)
tan 1
− 1

=
1
tan 1
n

k=1
∆ tan(k − 1) −
n


k=1
1 =
1
tan 1
tan n − n.
α =
1
tan 1
, β = −1
n

k=1
x
k
= α tan n + βn, ∀n ∈ N
∗
.
k
y
n
= f(n)
a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k−1

+ · · · + a
k
y
n
= g(n)
• y
n
= f(n)
• a
0
; a
1
; · · ·; a
k
(a
0
= 0; a
k
= 0) n
• g(n) n
y
n
= f(n) k
y
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
y
n
(1.1)
g(n) = 0 (1.1)

g(n) = 0 (1.1)
a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k−1
+ · · · + a
k
y
n
= 0
(1.1)
a
0
; a
1
; ···; a
k
(a
0
= 0; a
k
= 0) (1.1)
y
n
= f(n)
(1.1)

(1.1)
(1.1) (1.1)
y
∗
n
y
n
k C
1
; C
2
; · · ·; C
k
(1.2) (1.2)
y
1
; y
2
; · · ·; y
k
C
1
; C
2
; ···; C
k
y
n
(1.2)
y

n
(1.2) y
1
= y
1
; y
2
= y
2
; · · ·; y
k
= y
k
y
n
(1.1)
y
n
(1.2) y
∗
n
(1.1)
y
n
= y
n
+ y
∗
n
.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(1.2)
y
n1
; y
n2
; ···; y
nk
k
(1.2)
C
1
y
n1
+ C
2
y
n2
+ · · · + C
k
y
nk
= 0
C
1
= C
2
= ·· · = C
k
= 0.

y
n1
; y
n2
; ···; y
nk
k (1.2)
(1.2)
y
n
= C
1
y
n1
+ C
2
y
n2
+ · · ·+ C
k
y
nk
C
1
, C
2
, ··· , C
k
[5]
y

n
y
n
(1.2) ∀α, β ∈ R; αy
n
+ βy
n
(1.2)
y
n
, y
n
(1.2)
a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k−1
+ · · · + a
k
y
n
= 0
a
0
y
n+k

+ a
1
y
n+k−1
+ · · · + a
k
y
n
= 0
α(a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k−1
+ · · ·+ a
k
y
n
) + β(a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k−1
+ · · · + a

k
y
n
) = 0.
a
0
(αy
n+k
+ βy
n+k
) + a
1
(αy
n+k−1
+ βy
n+k−1
) + · · ·+ a
k
(αy
n
+ βy
n
) = 0.
αy
n
+ βy
n
(1.2)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(1.2) y

n
= C.λ
n
(C = 0, λ = 0)
y
n
= C.λ
n
(1.2)
a
0
.C.λ
n+k
+ a
1
.C.λ
n+k−1
+ · · · + a
k
.C.λ
n
= 0.
a
0
λ
k
+ a
1
λ
k−1

+ · · · + a
k
= 0.
(1.3) (1.2)
(1.1) y
n
(1.2)
y
∗
n
(1.1)
(1.3)
x
0
k, (k ∈ N
∗
)
P (x) P (x) = 0 P (x) = (x − x
0
)
k
.T (x)
T (x) T (x
0
) = 0.
(1.3) k
λ
1
; λ
2

; · · ·; λ
k
(1.2)
y
n
= C
1
λ
n
1
+ C
2
λ
n
2
+ · · · + C
k
λ
n
k
,
C
1
; C
2
; · · ·; C
k
[5]
(1.3) k
λ

j
s
(1.2)
y
n
=
j−1

i=1
C
i
λ
n
i
+

s−1

i=0
C
j+i
n
i

λ
n
j
+
k


i=j+s
C
i
λ
n
i
.
(1.2) (1.3) k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(1.3)
λ
j
= a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.2)
y
n
=
j−1

i

=1
C
i

λ
n
i

+ C
j

r
n
cos nϕ + C
j+1
r
n
sin nϕ +
k

i

=j+2
C
i

λ
n
i

.
(1.3)
λ
j
= a + bi = r(cos ϕ + i sin ϕ) s (1.2)
y
n
=
k

i


=1
i

=j
C
i

λ
n
i

+ r
n
[(A
1
+ A
2
n + · · ·A
s
n
s−1
) cos nϕ
+ (B
1
+ B
2
n + · · ·B
s
n

s−1
) sin nϕ].
(1.3)
(1.2)
(1.1)
(1.1)
a
0
y
n+k
+ a
1
y
n+k−1
+ · · · + a
k
y
n
= g(n),
a
j
∈ R; ∀j ∈ 0 k; a
0
= 0; a
k
= 0.
(1.1)
(1.1) g(n)
P
m

(n); P
l
(n); T
p
(n); R
p
(n); Q
m
(n)
n ∈ N, m, l, p ∈ N.
g(n) = P
m
(n)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(1.3) k λ
1
; λ
2
; · · ·; λ
k
1 (1.1) y
∗
n
= Q
m
(n) Q
m
(n)
m g(n)
(1.3) λ = 1 k

(1.1) y
∗
n
= n
k
Q
m
(n) Q
m
(n)
m g(n)
g(n) = P
m
(n).b
n
b
(1.3) b
(1.1) y
∗
n
= Q
m
(n)b
n
Q
m
(n) m
g(n)
(1.3) b k
(1.1) y

∗
n
= n
k
Q
m
(n)b
n
Q
m
(n) m
g(n)
g(n) = a cos nβ + b sin nβ, a, b ∈ R
(1.1) y
∗
n
= c cos nβ + d sin nβ.
g(n) = P
m
(n) cos nβ + P
l
(n) sin nβ, (β ∈ R)
p = max{m; l}.
cos β ±i sin β (i
2
= −1)
(1.3) (1.1) y
∗
n
= T

p
(n) cos nβ + R
p
(n) sin nβ.
cos β ±i sin β (i
2
= −1) s
(1.3) (1.1)
y
∗
n
= n
s
[T
p
(n) cos nβ + R
p
(n) sin nβ].
g(n) =
l

j=1
g
j
(n).
y
∗
nj
g
j

(n), j =
1, ··· , l
(1.1)
y
∗
n
=
l

j=1
y
∗
nj
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
y
n+3
− 3y
n+2
+ 3y
n+1
− y
n
= n cos n
π
2
+ 2 sin n
π
2
.

(1.5)
λ
3
− 3λ
2
+ 3λ − 1 = 0.
λ = 1 3 λ = 1 = cos
π
2
± i sin
π
2
(1.5)
y
∗
n
= (an + b) cos n
π
2
+ (cn + d) sin n
π
2
.
y
∗
n
(1.5)
a =
1
4

; b = −
1
2
; c =
1
4
; d = −
1
4
.
y
∗
n
= (
1
4
n −
1
2
) cos n
π
2
+ (
1
4
n −
1
4
) sin n
π

2
y
n+2
− y
n+1
+ y
n
= −
3
2
cos n
π
3
−
√
3
2
sin n
π
3
.
(1.6) λ
2
− λ + 1 = 0.
λ = cos
π
3
±i sin
π
3

(1.6)
y
∗
n
= n(a cos n
π
3
+ b sin n
π
3
).
y
∗
n
(1.6)
a = 1; b = 0 y
∗
n
= n cos n
π
3
y
n+2
−7y
n+1
+12y
n
= 6n−5 +2
n+1
+(11n −2 ) cos

nπ
2
+7(n +1) sin
nπ
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(1.7) λ
2
−7λ + 12 = 0.
λ = 3 λ = 4
g(n) = 6n − 5 + 2
n+1
+ (11n −2) cos
nπ
2
+ 7(n + 1) sin
nπ
2
g(n) = g
1
(n) + g
2
(n) + g
3
(n),
g
1
(n) = 6n − 5; g
2

(n) = 2
n+1
; g
3
(n) = (11n − 2) cos
nπ
2
+ 7(n + 1) sin
nπ
2
.
g
1
(n) = 6n − 5,
y
n+2
− 7y
n+1
+ 12y
n
= 6n −5. (1.7a)
λ = 3 λ = 4
(1.7a) y
∗
n1
= an + b y
∗
n1
= an + b
(1.7a) y

∗
n1
= n
g
2
(n) = 2
n+1
,
y
n+2
− 7y
n+1
+ 12y
n
= 2
n+1
, (1.7b)
(1.7b)
y
∗
n2
= 2
n
g
3
(n) = (11n −2) cos
nπ
2
+ 7(n + 1) sin
nπ

2
,
y
n+2
− 7y
n+1
+ 12y
n
= (11n −2) cos
nπ
2
+ 7(n + 1) sin
nπ
2
(1.7c)
(1.7c) y
∗
n3
= n cos
nπ
2
(1.7)
y
∗
n
= n + 2
n
+ n cos
nπ
2

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
au
n+1
+ bu
n
= f(n) u
n+1
= qu
n
+ f(n)
a = 0, b = 0, q = 0 f(n) n
u
n
f(n) = 0 (2.1)
au
n+1
+ bu
n
= 0 u
n+1
= qu
n
(2.1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f(n) = 0 (2.1)
(2.1)
u
n
= u

n
+ u
∗
n
u
n
(2.2)
u
∗
n
(2.1)
(2.2)
aλ + b = 0 λ.
(2.2) u
n
= C.λ
n
(2.1)
(2.1)
(2.1)
(2.1)
f(n)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f(n) = P
m
(n) m n.
λ = 1 u
∗
n
= Q

m
(n) m n
λ = 1 u
∗
n
= nQ
m
(n),
Q
m
(n)
m n
au
n+1
+ bu
n
= P
m
(n)
λ = −
b
a
= 1 ⇒ b = −a
u
∗
n
= Q
m
(n) ⇒ u
∗

n+1
= Q
m
(n + 1)
aQ
m
(n + 1) + bQ
m
(n) f(n).
λ = −
b
a
= 1 ⇒ b = −a
au
n+1
+ bu
n
= au
n+1
− au
n
=
a(u
n+1
− u
n
) = a∆u
n
= P
m

(n)
u
n
m + 1
u
∗
n
= nQ
m
(n)
f(n) = p.β
n
(p; β = 0).
λ = β u
∗
n
= d.β
n
(d ∈ R)
λ = β u
∗
n
= d.n.β
n
(d ∈ R)
au
n+1
+ bu
n
= p.β

n
(a = 0; b = 0; p = 0; β = 0)
⇔ aβ
u
n+1
β
n+1
+ b
u
n
β
n
= p
v
n
=
u
n
β
n
,
aβv
n+1
+ bv
n
= p, p 0.
(2.3) aβt + b = 0
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
t = −

b
aβ
= 1 ⇔ λ = β
v
∗
n
= d d
u
∗
n
= dβ
n
t = −
b
aβ
= 1 ⇔ λ = β
v
∗
n
= nd. u
∗
n
= dnβ
n
.
f(n) = P
m
(n).β
n
(β = 0

λ = β u
∗
n
= Q
m
(n).β
n
Q
m
(n) m
n
λ = β u
∗
n
= n.Q
m
(n).β
n
Q
m
(n)
m n
f(n) = α sin nx + β cos nx (α
2
+ β
2
= 0; x = kπ; k ∈ Z).
u
∗
n

= A sin nx + B cos nx A; B ∈ R
au
n+1
+ bu
n
= α sin nx + β cos nx.
u
∗
n
= A sin nx + B cos nx
a[A sin(n + 1)x + B cos(n + 1)x] + b[A sin nx + B cos nx] = α sin nx + β cos nx
⇔ [A(a cos x + b) − Ba sin x] sin nx + [Aa sin x + B(a cos x + b)] cos nx
= α sin nx + β cos nx.
sin nx cosnx

A(a cos x + b) − Ba sin x = α
Aa sin x + B(a cos x + b) = β
D =





a cos x + b −a sin x
a sin x a cos x + b






= a
2
+ b
2
+ 2ab cos x
x = kπ; k ∈ Z | 2ab cos x |<| 2ab | −|2ab| < 2ab cos x < |2ab|
a
2
+ b
2
≥| 2ab | D > 0
A, B
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1)f (n) = P
m
(n) sin nx + Q
l
(n) cos nx P
m
(n), Q
l
(n)
m; l n
u
∗
n
= T
p
(n) sin nx + R
p

(n) cos nx T
p
(n), R
p
(n)
p n p = max{m; l}
2)f (n) = α
n
[P
m
(n) sin nx+Q
l
(n) cos nx] P
m
(n), Q
l
(n)
m; l n
u
∗
n
= α
n
[T
p
(n) sin nx + R
p
(n) cos nx]
T
p

(n), R
p
(n)
p n p = max{m; l}
f(n) =
m

k=1
f
k
(n)
u
∗
n
u
∗
n
=
m

k=1
u
∗
nk
u
∗
nk
(2.1) f
k
(n)


u
1
= 1
u
n+1
= 3u
n
− 6n + 1
(2.4) λ = 3.
∗ u
n
= C.3
n
.
∗ f(n) = −6n + 1; λ = 3 = 1
u
∗
n
= an + b. u
∗
n
= an + b
(2.4) a = 3; b = 1 ⇒ u
∗
n
= 3n + 1.
u
n
= C.3

n
+ 3n + 1, u
1
= 1 ⇒ C = −1 (2.4)
u
n
= −3
n
+ 3n + 1.

u
1
= 8
u
n+1
= 2u
n
+ 6.2
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên