slide bài tập đồ họa ( ĐHBKHN)

III- Bài toán 4
Tìm hình dạng thật của
hình


- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn
thật của tam giác ABC.

x’

B”x
B’2
A”x

B1

chiếu bằng.
Muốn vậy, vẽ đường mặt Af.
Chọn trục x’A1f1.
 Tìm A’2B’2C’2?

phẳng mặt.
Muốn vậy, chọn trục x’A’2B’2C’2.
 Tìm A’1B’1C’1?

x’’

B’x

thống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng

thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt

Π’ 2

Π1

Ví dụ : Tìm hình dạng, độ lớn thật của
tam giác
ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)
Giải:
- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ

- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ

A’1

B’1

C’1
C”x

A’2
f1

A’x
C’2

11
A1
x Ax

C’x
Bx

Cx

C1

Π1
Π2

B2
A2

12

f2
C2

Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật
của tam giác ABC

Π’
Π’ 1
2


III- Bài toán 5
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng cắt mặt phẳng

4.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

4.1.1- Sự vuông góc với các đường đồng mức

x

a) Định lý về điều kiện một góc vuông được chiếu
thành một góc vuông (Hình 2.20)
- Cho mặt phẳng П và góc xOy, x’O’y’ là hình
chiếu vuông góc của xOy lên mặt phẳng П.
- Nếu hai trong ba điều kiện sau đây được thỏa
mãn thì điều kiện còn lại được thỏa mãn:

1) xOy 90
2) x' O' y' 90
3) Ox  , Oy// 

O

O’

y

y’

x’
П
a)

Hình 2.20. Định lý về điều kiện một
góc vuông được chiếu thành một
góc vuông


b)- Chuyển sang đồ thức
- Trên đồ thức, để một góc vuông trong không gian được giữ nguyên là vuông thì
một trong hai cạnh của góc phải là đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt,
đường cạnh)

Ví dụ 2: (Hình 2.22)

Ví dụ 1: (Hình 2.21)

 bKf 90
 b1K1f1 90

 f // 1

 aIh 90
 a 2 I 2 h 2 90

 h // 2

f1
a1

b1
I1

h1
K1

x

x
I2
K2
a2

Hình 2.21. Ví dụ 1

h2

f2

b2

Hình 2.22. Ví dụ 2


Ví dụ 4: (Hình 2.24)
b f
 b1  f1

 f // 1
(b và f chéo nhau)

Ví dụ 3: (Hình 2.23)

a  h
 a2  h2

 h // 2
(a và h chéo nhau)

f1
b1

a1
h1
x

x

f2
a2

Hình 2.23. Ví dụ 3

h2

b2

Hình 2.24. Ví dụ 4


c) Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
*- Định nghĩa
Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một

mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả
các đường thẳng nằm trong mặt phẳng. (Hình 3.38.a)

l  ()  l  a  ()

a)

l

α

a

*- Định lý
b)
l
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng
b O
đó vuông góc với mặt phẳng. (Hình 3.38.b)
a
β
*- Chuyển sang đồ thức
- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau
Hình 3.38. Đường thẳng và
của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường
mặt phẳng vuông góc
mặt, đường cạnh)
- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà
cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt

nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó.


M1

4.1.2 Cách dựng đường thẳng l
vuông góc với mặt phẳng
anpha

K1
a1

a) Mặt phẳng bất kỳ cho bởi 2
đường thẳng α(a,b)

l vuông góc với mặt phẳng α khi và
chỉ khi : l1┴ f1 và l2┴ h2 ( trong
đó h là đường bằng thuộc mặt
phẳng α, f là đường mặt thuộc mặt
phẳng α)
Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l
vuông góc với mặt phẳng α(a,b)

h1

11
21

l1

31

f1

b1

l2

b2

l2

32

22

a2

f2
h2

12

M2
K2


4.1.2 Cách dựng đường thẳng l vuông góc
với mặt phẳng anpha (tiếp)
b) Mặt phẳng α là mặt phẳng chiếu (α vuông

góc với Π1 hoặc α vuông góc với Π2)
* Trường hợp α vuông góc với Π1
l vuông góc với mặt phẳng α khi và chỉ khi :
l1┴ α1 và l2// x
* Trường hợp α vuông góc với Π2
l vuông góc với mặt phẳng α khi và chỉ khi :
l2┴ α2 và l1// x
Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l vuông
góc với mặt phẳng α(α1)
Π1 l1

α1

n  x

α

l

x
l2

Π2

α1

M1

l1

l2

M2


4.1.3 Cách dựng mặt phẳng anpha
vuông góc với đường thẳng l
a) Đường thẳng l bất kỳ

h1

M1

Mặt phẳng α vuông góc với l được
xác địn bởi đường bằng h và
đường mặt f .Trong đó: f1┴ l1,
f2//x và h2┴ l2 , h1//x

l1

Ví dụ: Qua điểm M dựng mặt phẳng α
vuông góc với l

l2

f1

f2
M2
h2

4.1.3 Cách dựng mặt phẳng anpha
vuông góc với đường thẳng l (tiếp)
b) Đường thẳng l là đường đòng mức
* Trường hợp l // Π1
mặt phẳng α vuông góc với l thì α phải
vuông góc với Π1 , α1 suy biến thành
đường thẳng , α1┴ l1
* Trường hợp l // Π2
mặt phẳng α vuông góc với l thì α phải
vuông góc với Π2, α2 suy biến thành đường
thẳng , α2┴ l2
Ví dụ: Qua điểm M dựng mặt phẳng α vuông
góc với l

α1

M1

l1

l2

Π1 l1

α1

n  x

α

l

x
l2

Π2

M2


4.2- Đường thẳng cắt mặt phẳng
4.2.1 Tìm giao của hai mặt phẳng
Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng
Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.

Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24)
Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g 1 ≡ α1
- (β) là mặt phẳng chiếu bằng nên g 2 ≡ β1

g1

α1

x

β2
g2

Hình 3.24. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) , β(β2)


Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.

Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25)
Giải:

 ()  1
 g  1

 ()  1

g1

α1

- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1

β1

- (β) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1
- Ta có: g là đường thẳng chiếu đứng:
+ g1≡ α1∩ β1

x

+ g2 x

g2

Hình 3.25. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) , β(β1)


Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước.

Ví dụ 3: Cho α(α1) , β(ABC) (Hình 3.26)

C1

21

Giải:
- (α) là mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1

A1
11

- Để tìm g2 quy về bài toán đường thẳng
thuộc mặt phẳng
≡

α1

g1

B1

A2

22

Hình 3.26. Vẽ giao tuyến g của hai mặt
phẳng (α) và (β) cho trước.
Cho α(α1) ,β(ABC)

g2

C2

12

B2


4.2.2- Đường thẳng và mặt phẳng cắt nhau
Vấn đề đặt ra:
Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán:
Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và
mặt phẳng (α) .

l1
K1

Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), α(α2) . (Hình 3.33)

x

Giải:
(α) П2  K2 α2


Mà K2 l2   K 2 l2  2

 K1l1

 K(K1,K2) ≡ l ∩(α)

α2

l2

K2

Hình 3.33. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng
Cho l(l1,l2), α(α2)


Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)

Ví dụ 2: Cho l vuông góc với П1, mặt phẳng α(a,b). (Hình 3.34)
Giải:
- l П1  K1 ≡ l1
- Tìm K2 đưa về bài toán cơ bản 1
(điểm thuộc mặt phẳng)

 K2 ≡ l’2 ∩l2

b1
l’1

a1

21
K1 ≡ l1
11

x
a2

Hình 3.34. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng và mặt phẳng
Cho l П1, α(a,b)

12

b2

K2

l2

22

l’2

4.1.2 Trường hợp tổng quát

Ví dụ 3: Tìm giao của l(l1,l2) và mặt phẳng α(ABC).
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: (Hình 3.35)
+ Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l
+ Tìm giao tuyến g của (φ) và (α)
+ Lấy K ≡ l ∩ g thì K ≡ l ∩ (α)

φ
l

K

g

α

Chú ý:
Áp dụng trên đồ thức, ta chọn mặt
phẳng phụ (φ) là mặt phẳng chiếu để
dễ dàng tìm được giao tuyến phụ g
Hình 3.35. Phương pháp mặt phẳng phụ


Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l
và mặt phẳng (α)

P

(P1BC, P2BC): P1ll1 ; P1BCB1C1 ; P2l ≡ P2BC

21
A1
11≡ 11

l

≡
φ1

l1 ≡

K1

P

g1

BC
1

B1

l2

12l

A2

Trên hình chiếu đứng P1l cao hơn P1BC 
trên hình chiếu bằng P2l thấy, P2BC khuất

C1

1

Ví dụ 4: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC).
(Hình 3.36)
Giải:
- Dùng phương pháp mặt phẳng phụ
Tìm được K ≡ l ∩ (α)
* Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt
phẳng (ABC)
-Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1l,P2l) và

l

12

g2
22
C2

K2
l

BC

P 2 P2

P2lK2 thấy.
- Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l )
Trên hình chiếu bằng: 12 xa hơn 12l 
trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất 
11lK1 khuất.

B2

Hình 3.36. Ví dụ tìm giao điểm của
đường thẳng l(l1,l2) và mặt phẳng α(ABC).