Đề thi học sinh giỏi 10

Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội
Trường THPT Cổ Loa
Kì thi Olympic Toán học
Môn Toán 10
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài I ( 4 điểm)
Giải phương trình
2 2
( 3) 2 3 4 5x x x x x+ + + = + +
Bài II ( 4 điểm )
Cho (P): y = x
2
và hai điểm A, B thuộc (P) lần lượt có hoành độ là – 1
và 3. Điểm M di động trên cung nhỏ AB của (P). Chứng minh rằng S
ΔABM
≤ 8
(đơn vị diện tích).
Bài III ( 4 điểm )
Tìm a và b để hệ phương trình
2 2
2 2 2
2 2 2
4
x xy z a
x x y z b
x y z

+ =

+ =



+ + =

có nghiệm duy nhất.
Bài IV ( 4 điểm )
Cho ΔABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp ΔABC tiếp xúc với cạnh AC
và BC lần lượt tại M và P. BM cắt đường tròn nội tiếp tam giác tại điểm thứ
hai là N. Biết rằng N là trung điểm của BM và BM = 12
2
.
a)Chứng minh rằng ΔBNP đồng dạng ΔBPM.
b) Tính độ dài các cạnh của ΔABC.
Bài V ( 4 điểm )
Chứng minh rằng với x, y, z là các số thực dương thì
3
(1 )(1 )(1 ) 2(1 )
x y z x y z
y z x
xyz
+ +
+ + + ≥ +
-------------Hết--------------