Đề thi học sinh giỏi Toán 10 (Hải Dương 2003-2004)

Sở giáo dục và đào tạo
***@***
Kỳ thi học sinh giỏi năm học 2003-2004
Môn toán lớp 10
Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề
==================
Bài I (3, 0 điểm)
Giải các phơng trình sau:
1) (4x
3
+ x - 5)
3
+ x
3
=
2
5
2) x
2
- 12[x] + 20 = 0
[x] là số nguyên lớn nhất không vợt quá x.
Bài II (2, 0 điểm)
Tìm các hàm số f(x). Thoả mãn điều kiện:
f(2004x f(0)) = 2004x
2
; với mọi xR.
Bài III (3, 5 điểm)
1) Chứng minh rằng trong một tam giác thoả mãn điều kiện:

bac
m

ac
m
cb
m
ba
222222
+
+
+
+
+
= 12R thì tam giác đó là tam giác đều.
(a; b; c là cạnh tam giác, m
a
; m
b
; m
c
là trung tuyến thứ tự thuộc
cạnh a; b; c và R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)
2) Cho tứ giác lồi ABCD và góc

BAD
=

CDA
, đờng phân giác
của góc

BCD

cắt cạnh AD tại M. Chứng minh:
Góc

BMC
= 90
0
khi và chỉ khi AB + CD = BC.
Bài IV (1, 5 điểm)
Cho a, b, c là ba số dơng và ab + bc + ca = abc.
Chứng minh:
bca
+
+
cab
+
+
abc
+

abc
+
a
+
b
+
c
_________________