Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN VĂN TẤN

NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN
DIRICHLET CHỨA TOÁN TỬ
LAPLACE PHÂN THỨ
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THÌN

THÁI NGUYÊN - 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan luận văn "Nghiệm yếu của bài toán biên
Dirichlet chứa toán tử Laplace phân thứ" là công trình nghiên cứu
khoa học độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn
Văn Thìn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả trong luận văn này là trung
thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây.
Ngoài ra, trong luận văn tôi còn sử dụng một số kết quả, nhận xét
của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc.
Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhiệm về nội dung luận văn của mình.

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Văn Tấn
Xác nhận

Xác nhận

của khoa chuyên môn

của người hướng dẫn

TS. Nguyễn Văn Thìn
i


Lời cảm ơn
Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm
chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm
Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốt
thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới TS. Nguyễn Văn Thìn đã giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành đề
tài luận văn tốt nghiệp này. Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy
cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019
Tác giả

Nguyễn Văn Tấn

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Lời mở đầu

1

1 Không gian Sobolev thứ

3

1.1

Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng chậm . . .

3

1.2

Không gian Sobolev thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Tính chất phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2

Không gian Sobolev H s (Ω) . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3

Toán tử Laplace phân thứ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.1

Hằng số C(n, s): Một vài tính chất . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier . . .

17

2 Nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet chứa toán tử Laplace
phân thứ
2.1

20

Nghiệm Mountain pass cho bài toán biên Dirichlet chứa toán
Laplace phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

20

Sự tồn tại nhiều nghiệm cho bài toán Laplace phân thứ với
độ tăng tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Kết luận

64

Tài liệu tham khảo

65
iii


Lời mở đầu
Trong thời gian gần đây, các nhà toán học dành sự quan tâm vào
nghiên cứu các toán tử không địa phương loại elliptic (bao gồm toán tử
Laplacian phân thứ) trong cả nghiên cứu toán học thuần túy và toán ứng
dụng trong thế giới thực. Các lớp toán tử này phát sinh khá tự nhiên trong
nhiều bối cảnh khác nhau như: Tối ưu hóa, toán tài chính, mặt cực tiểu, định
luận bảo toàn, cơ học lượng tử, khoa học vật liệu, sóng nước, phản ứng hóa
học của chất lỏng, động lực học dân số, động lực học về chất lỏng địa vật lý.
Toán tử Laplacian phân thứ (fractional Laplacian) cũng cung cấp một mô
hình đơn giản để mô tả các quá trình Lévy trong lý thuyết xác suất. Toán tử
Laplace phân thứ là một dạng mở rộng của toán tử Laplace, được định nghĩa
thông qua tích phân kỳ dị như sau: Với s ∈ (0, 1) và u ∈ L2 (R)n , n > 2s
hàm khi đó toán tử Laplace phân thứ (−∆)s u được định nghĩa bởi

(−∆)s u(x) = C(n, s)
Rn \B(x,ε)

u(x) − u(y)
dy,
|x − y|n+2s

trong đó

1 − cos ζ1
dζ, ζ = (ζ1 , ζ ), ζ ∈ Rn−1 .
n+2s

|ζ|

C(n, s) = 1/
Rn

Khi u là hàm trơn vô hạn với giá compact, ta có lim(∆)s u = −∆u. Hơn
s→1

nữa, ta có

−(−∆)s u(x) = C(n, s) lim

ε→0
Rn \B(x,ε)

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x ∈ Rn .
n+2s
|y|

Ngoài định nghĩa trên, toán tử Laplace phân thứ (−∆)s còn được định nghĩa
thông qua phép biến đổi Fourier [6], s-mở rộng điều hòa được giới thiệu bởi
1


Caffarelli-Silvestre [3]. Như vậy khái niệm toán tử Laplace phân thứ là một
khái niệm toán học giàu cách tiếp cận. Do đó, các bài toán nghiên cứu về
toán tử Laplace phân thứ đã nhận được sự quan tâm lớn của các nhà toán
học trên thế giới trong thời gian gần đây. Mục đích của luận văn là nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet cho toán tử Laplace

phân thứ có dạng



(−∆)s u = f (x, u) trong Ω


u

= 0 trong Rn \Ω,

trong đó Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz. Hàm phi tuyến có độ tăng dưới
∗
2n
đại lượng tới hạn Sobolev hoặc chứa số hạng |u|2s −2 u trong đó 2∗s =
n − 2s
là số mũ tới hạn Sobolev. Trong trường hợp bài toán chứa số mũ tới hạn,
∗

khó khăn gặp phải là phép nhúng X0 → L2s (Ω) liên tục, không compact.

2


Chương 1
Không gian Sobolev thứ
1.1

Biến đổi Fourier trong không gian các hàm tăng
chậm

Xét không gian Schwartz S các hàm C ∞ (Rn ) tăng chậm có tôpô xác

định bởi {pj }j∈N :

|Dα ϕ(x)|,

pj (ϕ) := sup (1 + |x|)j
x∈Rn

|α|≤j

trong đó ϕ ∈ S(Rn ). Nghĩa là, S chứa các hàm ϕ thỏa mãn

sup xα Dβ ϕ(x) < +∞, với mọi α, β ∈ Nn0 .

x∈Rn

Tôpô lồi địa phương tự nhiên trên S có tính chất: dãy {ϕ}i∈N hội tụ đến 0
trong S nếu và chỉ nếu lim xα Dβ ϕj (x) = 0 với mọi α, β ∈ Nn0 .
j→+∞

Ta định nghĩa
Fϕ(x) :=

1
(2π)n/2

e−iξ·x ϕ(ξ)dξ,
Rn

là biến đổi Fourier của hàm ϕ ∈ S và biến đổi Fourier ngược xác định bởi
F−1 ϕ(x) :=

1
(2π)n/2

eix·ξ· ϕ(ξ)dξ,
Rn

3

(1.1)


cả hai đều là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S(Rn ) vào chính nó. Hơn nữa, vì
F−1 Fϕ = FF−1 ϕ = ϕ,
là một phép đẳng cấu và phép đồng phôi của S(Rn ) lên S(Rn ).
Đặt S là tôpô đối ngẫu của S. Nếu T ∈ S , thì
FT, ϕ := T, Fϕ , ∀ϕ ∈ S,
trong đó ., . là tích đối ngẫu thông thường giữa S và S . Ta có

u ∈ L2 (Rn ) nếu và chỉ nếu Fu ∈ L2 (Rn )

(1.2)

và

u

L2 (Rn )

= Fu

L2 (Rn ) , ∀u

∈ L2 (Rn ).

(1.3)

Công thức (1.3) gọi là công thức Paranchval-Plancherel.

1.2

Không gian Sobolev thứ
Giả sử Ω là tập không trơn, mở trong không gian Euclid Rn và p ∈

[1, +∞). Cho s > 0 bất kỳ chúng ta định nghĩa không gian Sobolev thứ
W s,p (Ω) như sau.
Nếu s ≥ 1 là số nguyên dương, thì W s,p (Ω) là không gian Sobolev cổ
điển với chuẩn

u

W s,p (Ω)

Dα u

:=

Lp (Ω) , ∀u

∈ W s,p (Ω),

0≤|α|≤s

ở đây và về sau ta hiểu .

Lp (Ω)

là chuẩn thông thường trong Lp (Ω), và Dα

là α-đạo hàm riêng. Phần này tập trung vào không gian Sobolev thứ với

s∈
/ N.
Nếu s ∈ (0, 1) cố định, không gian Sobolev W s,p (Ω) được định nghĩa:

W s,p (Ω) :=

u ∈ Lp (Ω) :

|u(x) − u(y)|
n/p+s

|x − y|
4

∈ Lp (Ω × Ω) .

Nó được trang bị chuẩn

u

W s,p (Ω)

:=

|u(x) − u(y)|p
|u(x)| dx +
n+sp dxdy
Ω
Ω×Ω |x − y|
p

1/p

,

(1.4)

trong đó

|u(x) − u(y)|p
n+sp dxdy
Ω×Ω |x − y|

[u]W s,p (Ω) :=

1/p

(1.5)

là nửa chuẩn Gagliardo của u.
Nếu s > 1 và s ∈
/ N, ta có s = m + σ , trong đó m ∈ N và σ ∈ (0, 1).
Chúng ta có định nghĩa W s,p (Ω) như sau:

W s,p (Ω) := {u ∈ W m,p (Ω) : Dα u ∈ W σ,p (Ω) với bất kì α sao cho |α| = m}.
Và được trang bị chuẩn


u

W s,p (Ω)

:=  u

1/p

p
W m,p (Ω)

p

W σ,p (Ω)

Dα u

+

, ∀u ∈ W s,p (Ω).

|α|=m

Do đó, không gian W s,p (Ω) được xác định và là không gian Banach với mọi

s > 0 và
C0∞ (Rn )

.

W s,p (Rn )

= W s,p (Rn );

nghĩa là, không gian C0∞ (Rn ) trù mật trong W s,p (Rn ). Nếu Ω ⊂ Rn thì
không gian C0∞ (Ω) không trù mật trong W s,p (Ω). Do đó, W0s,p (Ω) là bao
đóng của C0∞ (Ω) đối với chuẩn .

W s,p (Ω) ;

tức là

W0s,p (Ω) := C0∞ (Ω)

.

W s,p (Ω)

;

Ta có thể xây dựng W s,p (Ω) khi s < 0. Thật vậy, với s < 0 và p ∈ (0, +∞),
ta định nghĩa

W s,p (Ω) := (W0−s,q (Ω)) ;
nghĩa là, W s,p (Ω) là không gian đối ngẫu của W0−s,q (Ω), trong đó

1/p + 1/q = 1.
5


1.2.1

Tính chất phép nhúng
Một số kết quả cơ bản của phép nhúng được phát biểu như sau:

Mệnh đề 1.2.1. Giả sử p ∈ [1, +∞) và tập mở Ω trong Rn . Khi đó, các
khẳng định sau là đúng:
(a) Nếu 0 < s ≤ s < 1, thì phép nhúng W s ,p (Ω) → W s,p (Ω) là liên tục.
Do đó, tồn tại hằng số C1 (n, s, p) ≥ 1 sao cho

u

W s,p (Ω)

≤ C1 (n, s, p) u

W s ,p (Ω) , ∀u

∈ W s ,p (Ω).

(b) Nếu 0 < s < 1 và Ω là lớp C 0,1 và biên ∂Ω bị chặn, thì phép nhúng

W 1,p (Ω) → W s,p (Ω) là liên tục. Do đó, tồn tại hằng số C2 (n, s, p) ≥ 1
sao cho u

W s,p (Ω)

≤ C2 (n, s, p) u

W 1,p (Ω) , ∀u

∈ W 1,p (Ω).

(c) Nếu s ≥ s > 1 và Ω là lớp C 0,1 , thì phép nhúng W s ,p (Ω) → W s,p (Ω)
là liên tục.
Định nghĩa 1.2.2. Với mọi s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞), tập mở Ω ⊂ Rn là
miền mở rộng cho W s,p nếu tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) sao
cho với mọi hàm u ∈ W s,p (Ω), tồn tại Eu ∈ W s,p (Rn ) sao cho Eu (x) = u(x),
Eu

W s,p (Rn )

≤C u

W s,p (Ω) , ∀x

∈ Ω.

Lưu ý mọi tập mở của lớp C 0,1 với biên bị chặn là miền mở rộng cho

W s,p (Rn ).
Định lý 1.2.3. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n. Khi đó, tồn
tại hằng số dương C := C(n, p, s) sao cho

u

p
∗
Lps (Rn )

|u(x) − u(y)|p
dxdy, ∀u ∈ W s,p (Rn ),
n+ps
|x − y|

≤
Rn ×Rn

6


pn
là số mũ tới hạn phân thứ. Vì vậy, không gian
n − sp
W s,p (Rn ) được nhúng liên tục trong Lq (Rn ) với mọi q ∈ [p, p∗s ]. Hơn nữa,

trong đó p∗s :=

phép nhúng W s,p (Rn ) → Lqloc (Rn ) là compact với mọi q ∈ [p, p∗s ).
Trong miền mở rộng, kết quả sau vẫn đúng.
Định lý 1.2.4. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n. Giả
sử Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho W s,p . Khi đó, tồn tại hằng số dương

C := C(n, p, s, Ω) sao cho
u

Lq (Ω)

W s,p (Ω) , ∀u

:= C u

∈ W s,p (Ω), ∀q ∈ [p, p∗s ],

nghĩa là, không gian W s,p (Ω) được nhúng liên tục trong Lq (Ω) với mọi q ∈

[p, p∗s ]. Ngoài ra, nếu Ω bị chặn thì không gian W s,p (Ω) được nhúng compact
trong Lq (Ω) với mọi q ∈ [1, p∗s ).
Định lý 1.2.5. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n. Khi đó, tồn
tại hằng số dương C := C(n, p, s) sao cho, với mọi u ∈ W s,p (Rn ),

u

Lq (Rn )

≤C u

W s,p (Rn ) ,

với mọi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian W s,p (Rn ) liên tục được nhúng
trong Lq (Rn ) với mọi q ∈ [p, +∞).
Đối với miền mở rộng, ta có kết quả sau:
Định lý 1.2.6. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n. Giả
sử Ω ⊂ Rn là miền mở rộng cho W s,p . Khi đó, tồn tại hằng số dương

C := C(n, p, s, Ω) sao cho, với mọi u ∈ W s,p (Ω),
u

Lq (Ω)

≤C u

W s,p (Ω)

với mọi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian W s,p (Ω) liên tục được nhúng
trong Lq (Rn ) với mọi q ∈ [p, +∞]. Ngoài ra, nếu Ω bị chặn, thì không gian

W s,p (Ω) compact được nhúng trong Lq (Ω) với mọi q ∈ [1, +∞).
7


Ký hiệu C 0,α (Ω) là không gian các hàm liên tục H¨older, với chuẩn

u

C 0,α (Ω)

:= u

L∞ (Ω)

|u(x) − u(y)|
.
|x − y|α
x,y∈Ω

+ sup
x=y

Định lý 1.2.7. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n. Cho Ω là
miền C 0,1 của Rn . Khi đó, tồn tại hằng số dương C := C(n, p, s, Ω) sao
cho, với mọi u ∈ W s,p (Ω),

u

C 0,α (Ω)

≤C u

W s,p (Ω) ,

với α = (sp − n)/p; nghĩa là, không gian W s,p (Ω) liên tục được nhúng trong

C 0,α (Ω).
Hệ quả 1.2.8. Cho s(0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n. Cho Ω là một

C 0,1 miền bị chặn của Rn . Khi đó phép nhúng
W s,p (Ω) → C 0,β (Ω)

compact với mọi β < α, với α := (sp − n)/p.
Chứng minh. Cho {uj }j∈N là dãy bị chặn trong W s,p . Từ Định lý 1.2.7 suy
ra {uj }j∈N bị chặn trong C 0,α (Ω). Do đó, tồn tại C > 0 sao cho

uj

L∞ (Ω)

|uj (x) − uj (y)|
≤ C, ∀j ∈ N.
|x − y|α
x,y∈Ω

+ sup

(1.6)

x=y

Áp dụng (1.6) và Định lý Ascoli-Arzelà ta có

uj → u∞ đều trong Ω

(1.7)

khi j → +∞, với u∞ ∈ C(Ω). Hơn nữa, từ (1.6) và (1.7) suy ra

|u∞ (x) − u∞ (y)| = lim |uj (x) − uj (y)| ≤ C|x − y|α ,
j→+∞

8

(1.8)


với mọi x, y ∈ Ω. Do đó, hàm u∞ thuộc C 0,α (Ω).
Chúng ta phải chứng minh uj → u∞ trong C 0,β (Ω) khi j → +∞, với
mọi β < α. Từ (1.7), ta có

|(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)|
→0
|x − y|β
x,y∈Ω
sup

(1.9)

x=y

khi j → +∞. Vì

uj − u∞

L∞ (Ω)

→ 0 khi j → +∞,

với mọi ε > 0, tồn tại jε ∈ N sao cho

uj − u∞

L∞ (Ω)

≤

ε ε
2 2C

β/(α−β)

, ∀j ≥ jε .

(1.10)

Vậy, từ (1.6) và (1.8) ta có

|(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| ≤ 2C|x − y|α−β |x − y|β , ∀x, y ∈ Ω.
(1.11)
Nếu 2C|x − y|α−β < ε, nên từ (1.11) cho ta

|(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| ≤ ε|x − y|β , ∀x, y ∈ Ω.

(1.12)

Ở đây, β < α.
Hơn nữa, khi 2C|x − y|α−β ≥ ε, áp dụng (1.10), với mỗi j ≥ jε , có

|(uj − u∞ )(x) − (uj − u∞ )(y)| ≤2 uj − u∞
≤ε

ε
2C

β/(α−β)

≤ε|x − y|β .
Từ (1.12), (1.13), và (1.9) đi đến điều cần chứng minh.

9

L∞ (Ω)

(1.13)


Không gian Sobolev H s (Ω)

1.2.2

Trong mục này, ta trình bày trường hợp Hilbert p = 2, nghiên cứu
mối quan hệ giữa nó với toán tử Laplacian phân thứ. Giả sử Ω là tập con
mở trong Rn và

H s (Ω) := W s,2 (Ω),
với mọi s ∈ (0, 1). Không gian Sobolev thứ là không gian Hilbert. Thật vậy,
tích trong trên H s (Ω), xác định bởi

u, v

H s (Ω)

:=

(u(x) − u(y))(v(x) − v(y))
dxdy,
|x + y|n+2s

u(x)v(x)dx +
Ω

Ω×Ω

với mọi u, v ∈ H s (Ω), trùng với chuẩn đã cho trong (1.4) khi p = 2.
Rõ ràng, với mỗi s ∈ (0, 1), ta có

H s (Rn ) := W s,2 (Rn ) = {u ∈ L2 (Rn ) : [u]W s,2 (Rn ) < +∞},

(1.14)

trong đó [·]W s,2 (Rn ) đã định nghĩa trong (1.5).
Không gian H s (Rn ) được định nghĩa theo cách khác thông qua biến
đổi Fourier. Thật vậy, ta định nghĩa




s
n
2s
2

2
n
H (R ) := u ∈ L (R ) : (1 + |ξ| )|Fu(ξ)| dx < +∞ , với mọi s > 0,


Rn

(1.15)
và H s (Rn ) :=

u∈S :

(1 + |ξ|2s )|Fu(ξ)|2 dx < +∞ , với mọi s < 0.
Rn

Tương đương giữa không gian H s (Rn ) được định nghĩa trong (1.15) và
định nghĩa thông qua chuẩn Gagliardo trong (1.14) và chứng minh với mọi

s ∈ (0, 1) trong phần tiếp theo (xem Hệ quả 1.3.6).

1.3

Toán tử Laplace phân thứ
Các phương trình không địa phương đã thu hút nhiều sự chú ý trong

những thập kỷ gần đây. Toán tử cơ bản liên quan đến vấn đề này gọi là
10


toán tử Laplacian (−∆)s phân thứ với s ∈ (0, 1). Phần này trình bày định

nghĩa toán tử này và các tính chất của nó.
Cho s ∈ (0, 1) và toán tử (−∆)s : S → L2 (Rn ) xác định bởi

(−∆)s u(x) := C(n, s) lim+
ε→0

u(x) − u(y)
dy, x ∈ Rn ,
n+2s
Rn \B(x,ε) |x − y|

(1.16)

Trong đó B(x, ε) là hình tròn tâm x ∈ Rn với bán kính ε, và C(n, s) là
hằng số dương sau:

C(n, s) :=
Rn

1 − cos ζ1
dζ
|ζ|n+2s

−1

,

(1.17)

với ζ = (ζ1 , ζ ), ζ ∈ Rn−1 .

Toán tử định nghĩa trong (1.16) là toán tử Laplace phân thứ. Thông
thường, trong định nghĩa (−∆)s , để viết gọn cho "giá trị chính", đặt

P.V.
Rn

u(x) − u(y)
dy.
n+2s
Rn \B(x,ε) |x − y|

u(x) − u(y)
dy := lim+
ε→0
|x − y|n+2s

Khi đó, ta có thể viết lại như sau

(−∆)s u(x) := C(n, s)P.V.
Rn

u(x) − u(y)
dy, x ∈ Rn ,
n+2s
|x − y|

(1.18)

Mệnh đề 1.3.1. Cho s ∈ (0, 1). Khi đó, với mọi u ∈ S, ta có

1
(−∆)s u(x) := − C(n, s)
2

Rn

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x ∈ Rn .
|y|n+2s
(1.19)

Chứng minh. Từ (1.18), ta có

(−∆)s u(x) := −C(n, s)P.V.
Rn

u(y) − u(x)
dy,
|x − y|n+2s

(1.20)

với mọi x ∈ Rn . Do đó, thay thế z = y − x vào (1.20), ta được

(−∆)s u(x) := −C(n, s)P.V.
Rn

11

u(x + z) − u(x)

dz,
|z|n+2s

(1.21)


với mọi x ∈ Rn . Mặt khác, bằng cách đặt z = −z , ta có

P.V.
Rn

u(x + z) − u(x)
dz = P.V.
|z|n+2s

Rn

u(x − z ) − u(x)
dz .
|z |n+2s

Vì vậy, sau khi trả lại z = z , ta có đẳng thức sau:

2P.V.
Rn

u(x + z) − u(x)
dz =P.V.
|z|n+2s

Rn

+P.V.
Rn

=P.V.
Rn

u(x + z) − u(x)
dz
|z|n+2s
u(x − z) − u(x)
dz
|z|n+2s
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy.
|y|n+2s
(1.22)

Cuối cùng, khai triển Taylor cấp hai ta có

D2 u L∞ (Rn )
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
≤
,
|y|n+2s
|y|n+2s−2
và vì s ∈ (0, 1), ta có

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)

∈ L1 (Rn ).
n+2s
|y|
Do đó, với mọi u ∈ S, ta có

P.V.
Rn

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy =
|y|n+2s

Rn

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy.
|y|n+2s
(1.23)

Vậy từ (1.21)-(1.23) ta suy ra (1.19). Điều phải chứng minh.
Nhận xét 1.3.2. Cho s ∈ (0, 1/2). Với mọi u ∈ S và x ∈ Rn cố định, ta có

Rn

u(x) − u(y)
dy ≤C
|x − y|n+2s

|x − y|
dy

n+2s
B(x,R) |x − y|

1
+ u L∞ (Rn )
dy
n+2s
Rn \B(x,R) |x − y|
 R

+∞
1
1
≤C 
dρ
+
dρ < +∞,
ρ2s
ρ2s+1
0

R

12


trong đó C là hằng số dương phụ thuộc vào số chiều n và L∞ -chuẩn của
hàm u. Vì thế, trong trường hợp s ∈ (0, 1/2), tích phân

Rn

u(x) − u(y)
dy,
|x − y|n+2s

không là tích phân kỳ dị gần điểm x, nên nó bỏ P.V. trong (1.18).

1.3.1

Hằng số C(n, s): Một vài tính chất
Ở phần này, ta nhắc lại một số tính chất của hằng số C(n, s).

Bổ đề 1.3.3. Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hằng số được xác định trong
(1.17) và cho A(n, s) và B(s) như sau:



1
A(n, s) :=
1


dη

2 n+2s/2
Rn−1 (1 + |η | )

nếu n = 1
nếu n ≥ 2,

và

B(s) := s(1 − s)

1 − cos t
dt.
1+2s
R |t|

Khi đó

C(n, s) =

s(1 − s)
.
A(n, s)B(s)

(1.24)

Chứng minh. Giả sử n ≥ 2 và ζ = (ζ1 , ζ ), với ζ ∈ Rn−1 . Áp dụng đổi biến

η = ζ /|ζ1 |, ta có

Rn

1 − cos(ζ1 )
dζ =
|ζ|n+2s

R

Rn−1

1 − cos(ζ1 )
1
dζ
|ζ1 |n+2s (1 + |ζ |2 /|ζ1 |2 ) n+2s
2

Rn−1

1 − cos(ζ1 )
1
n+2s dη
1+2s
|ζ1 |
(1 + |η |2 ) 2

=
R

=

A(n, s)B(s)
.
s(1 − s)

Bổ đề được chứng minh.
13

dζ1

dζ1


Nhận xét 1.3.4. Lưu ý từ (1.17) và (1.24) suy ra

C(n, s)−1 =
Rn

1 − cos(ζ1 )
dζ = A(n, s)
|ζ|n+2s

1 − cos t
dt.
1+2s
R |t|

Với n ≥ 3, gọi Sn−2 là độ đo Lebesgue của hình cầu đơn vị trong Rn−1 , ta
có

A(n, s) =
Rn−1

1
n+2s dη < Sn−2
(1 + |η 2 ) 2

π

1
+
,
4 1 + 2s

và
Rn

1
2
1 − cos t
dt
<
+
.
|t|1+2s
2(1 − s) s

Vì vậy, dễ dàng thấy

C(n, s)−1 < Sn−2

1
π
+
4 1 + 2s

2
1
+

.
2(1 − s) s

Mặt khác, ta có

−1

C(n, s)







2
1
+
< 2(1 − s) s

π
2


+

2 1 + 2s

nếu n = 1

1
2
+
2(1 − s) s

nếu n = 2.

Mệnh đề 1.3.5. Giả sử s ∈ (0, 1) và hằng số C(n, s) như (1.17). Thì, với
mọi ξ ∈ Rn , ta có

Rn

1 − cos(ξ · y)
dy = C(n, s)−1 |ξ|2s ,
n+2s
|y|

Chứng minh. Trước tiên, với η = (η1 , ..., ηn ), ta có

1 − cos ζ1
|ζ1 |2
1
≤
≤
,
|ζ|n+2s
|ζ|n+2s
|ζ|n−2+2s
gần gốc. Khi đó,
Rn

1 − cos ζ1
dζ
|ζ|n+2s

là hữu hạn và dương, theo cách chọn s.
14

(1.25)


Bây giờ chúng ta định nghĩa ánh xạ J : Rn → R như sau:

J(ξ) :=
Rn

1 − cos(ξ · y)
dy,
|y|n+2s

với mọi ξ ∈ Rn . Ta có J là phép quay bất biến, tức là

J(ξ) = J(|ξ|e1 ), ξ ∈ Rn ,

(1.26)

trong đó e1 là vectơ hướng đầu tiên trên không gian Rn .
Với n = 1, (1.26) là tầm thường vì J là hàm lẻ. Khi n ≥ 2, chúng ta
xét phép quay R mà R(|ξ|e1) = ξ , và ta gọi RT là chuyển vị của nó. Vì thế,
bằng cách thế y = RT y , ta có

J(ξ) =
Rn

=
Rn

=
Rn

1 − cos((R(|ξ|e1 )) · y)
dy,
|y|n+2s
1 − cos((|ξ|e1 ) · (RT · y))
dy
|y|n+2s
1 − cos((|ξ|e1 ) · y)
dy
|y|n+2s

=J(|ξ|e1 ),
nên (1.26) được chứng minh.
Do đó, từ (1.26), thế ζ = |ξ|y , ta được

J(ξ) =J(|ξ|e1 )
1 − cos(|ξ|y1 )
dy
|y|n+2s
Rn
1

1 − cos(ζ1 )
= n
dζ
|ξ| Rn |ζ/|ζ||n+2s
=

=C(n, s)−1 |ξ|2s ,
theo (1.17). Tóm lại, (1.25) được chứng minh.

15


Hệ quả 1.3.6. Giả sử s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hằng số như trong (1.17).
Thì, với mọi u ∈ H s (Rn ),

[u]2H s (Rn ) = 2C(n, s)−1

Rn

|ξ|2s |Fu(ξ)|2 dξ.

(1.27)

Hơn nữa, H s (Rn ) = H(Rn ).
Chứng minh. Cố định y ∈ Rn . Áp dụng đổi biến số z = x − y , và công thức
Parseval-Plancherel đã cho trong (1.3), ta có

Rn

Rn

|u(x) − u(y)|2
dx dy =
|x − y|n+2s

Rn

Rn

=

u(z + y) − u(y)
dz dy
|z|n+2s
u(z + y) − u(y) 2
dy dz
|z|n/2+s

Rn

Rn

Rn

u(z + ·) − u(·)
|z|n/2+s

Rn

2

dz
L2 (Rn )

u(z + ·) − u(·)
F F
|z|n/2+s

2

dz.
L2 (Rn )

(1.28)
Khi đó

Rn

u(z + ·) − u(·)
F
|z|n/2+2s

2

|eiξ.z − 1|2
|Fu(ξ)2 |dξ dz
dz =
n+2s
|z|
Rn

Rn
L2 (Rn )
1 − cos(ξ · z)
=2
|Fu(ξ)|2 dzdξ,
n+2s
|z|
Rn ×Rn

từ (1.25), chúng ta có thể viết

Rn

u(z + ·) − u(·)
F
|z|n/2+s

2

dz = 2C(n, s)−1
Rn

L2 (Rn )

|ξ|2s |Fu(ξ)|2 dξ.
(1.29)

Vì thế, (1.27) kéo theo (1.28) và (1.29). Cuối cùng, sự tương đương giữa các
không gian phân thứ H s (Rn ) và H s (Rn ) đến (1.2) và (1.27).
16

1.3.2

Toán tử Laplace phân thứ qua biến đổi Fourier
Ở đây, ta chứng minh các toán tử Laplace phân thứ (−∆)s là toán tử

giải được kí hiệu |ξ|2s .
Mệnh đề 1.3.7. Cho s ∈ (0, 1). Khi đó, với mọi u ∈ S,

(−∆)s u(x) = F−1 (|ξ|2s (Fu)(ξ))(x), x ∈ Rn ,
trong đó F−1 là biến đổi Fourier ngược được định nghĩa trong (1.1).
Chứng minh. Kí hiệu

1
Lu(x) := − C(n, s)
2

Rn

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x ∈ Rn ,
n+2s
|y|

trong đó C(n, s) như trong (1.17). Chúng ta cần tìm hàm S : Rn → R sao
cho
Lu = F−1 (S(Fu)).

(1.30)

Ta cần chứng minh rằng với mọi ξ ∈ Rn ,

S(ξ) = |ξ|2s .
Vì

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
∈ L1 (Rn × Rn ),
n+2s
|y|
từ kết quả của Fubini, Tonelli ta đổi tích phân theo y với biến đổi Fourier
theo x. Áp dụng biến đổi Fourier theo biến x trong (1.30), chúng thu được

S(ξ)(Fu)(ξ) =F(Lu)
1
F(u(x + y) + u(x − y) − 2u(x))
= − C(n, s)
dy
2
|y|n+2s
Rn
(1.31)
1
eiξ·y + e−iξ·y − 2
= − C(n, s)
dy(Fu)(ξ)
n+2s
n
2
|y|

R
1 − cos(ξ · y)
=C(n, s)
dy(Fu)(ξ).
|y|n+2s
Rn
17


Thế (1.25) vào (1.31), dễ thấy hàm S là dạng cần tìm. Mệnh đề được chứng
minh.
Các định nghĩa khác của toán tử Laplace phân thứ xét các hằng số
chuẩn hóa khác nhau. Hằng số C(n, s) được chọn ở đây ((1.17)) là hằng số
đảm bảo tính tương đương của định nghĩa tích phân của (−∆)s với giá trị
được đưa ra từ biến đổi Fourier. Hơn nữa, C(n, s) có các tính chất sau:

lim− (−∆)s u = −∆u

s→1

và

lim+ (−∆)s u = u

s→0

(xem [83, mệnh đề 4.4]). Ở đây, −∆ là các toán tử Laplace cổ điển.
Cuối cùng, chúng ta có thể chứng minh mối quan hệ giữa toán tử
Laplace phân thứ (−∆)s và không gian Sobolev thứ H s (Rn ).
Mệnh đề 1.3.8. Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hàm hằng như trong (1.17).

Khi đó, với mọi u ∈ H s (Rn )

[u]2H s (Rn ) = 2C(n, s)−1 (−∆)s/2 u

2
L2 (Rn ) .

(1.32)

2
L2 (Rn ) .

(1.33)

Chứng minh. Từ (1.3) kéo theo

(−∆)s/2 u

2
L2 (Rn )

= F(−∆)s/2 u

Mặt khác, từ Mệnh đề 1.3.7 ta có
F(−∆)s/2 u

2
L2 (Rn )

= |ξ|Fu

2
L2 (Rn ) .

(1.34)

Cuối cùng, từ Hệ quả 1.3.6 suy ra

|ξ|Fu

2
L2 (Rn )

1
= C(n, s) (−∆)s/2 u
2

Từ (1.33)-(1.35) ta có (1.32).
18

2
L2 (Rn ) .

(1.35)


Như hệ quả của công thức Paranchval-Plancherel, cũng như các Mệnh
đề 1.3.7 và 1.3.8 và Hệ quả 1.3.6, các chuẩn trong H s (Rn ) được cho bởi
2

u→

|u(x)| dx +
Rn

Rn ×Rn

1/2

|u(x) − u(y)|2
dxdy
|x − y|n+2s

,

1/2

(1 + |ξ| ) |Fu(ξ)| dξ
2 s

u→
Rn

2

,
1/2

2

u→

|u(x)| dx +
Rn

|ξ| |Fu(ξ)| dξ
2s

Rn

2

,

và
1/2
2

u→

s/2

|u(x)| dx + (−∆)
Rn

u

2
L2 (Rn )

,

đều tương đương. Điều này hữu ích cho việc nghiên cứu các phương trình
Schr¨odinger phân thứ.

19


Chương 2
Nghiệm yếu của bài toán biên
Dirichlet chứa toán tử Laplace phân
thứ
2.1

Nghiệm Mountain pass cho bài toán biên Dirichlet chứa toán Laplace phân thứ
Gần đây, phương trình vi tích phân chứa toán tử không địa phương

đã và đang xuất hiện trong nhiều nghiên cứu với nhiều bối cảnh khác nhau,
cả trong nghiên cứu toán thuần tuý và trong các ứng dụng thực tế cụ thể.
Trong phần này, tôi quan tâm đến sự tồn tại vô số nghiệm của bài toán sau:



−LK u − λu = f (x, u) trong Ω,
(2.1)


n
u = 0
trong R \Ω.

trong đó Ω là tập con mở, bị chặn của Rn với biên liên tục ∂Ω, n > 2s,

s ∈ (0, 1) hàm f thỏa mãn điều kiện khác nhau và LK là toán tử tích phân
được xác định bởi

LK u(x) :=
Rn

(u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)K(y)dy, x ∈ Rn ,

20

(2.2)


trong đó hạt nhân K : Rn \{0} → (0, +∞) sao cho

mK ∈ L1 (Rn ), trong đó m(x) = min{|x|2 , 1}

(2.3)

và
tồn tại θ > 0 sao cho K(x) ≥ θ|x|−(n+2s) với mọi x ∈ Rn \{0}.

(2.4)

Mô hình K cho bởi hạt nhân kỳ dị K(x) = |x|−(n+2s) , ta nhận lại toán tử
Laplace phân thứ −(−∆)s , được định nghĩa

−(−∆)s u(x) :=

Rn

u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x ∈ Rn .
n+2s
|y|

Nghiệm yếu u của Bài toán (2.1) được xác định bởi










(u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y))K(x − y)dxdy − λ u(x)ϕ(x)dx
Rn ×Rn

Ω

= f (x, u(x))ϕ(x)dx, ϕ ∈ X0 ,


Ω






 u ∈ X0 ,
(2.5)
nó là điểm tới hạn của phiếm hàm hàm năng lượng JK,λ : X0 → R được
xác định

JK,λ (u) : =

1
2

|u(x) − u(y)|2 K(x − y)dxdy
Rn ×Rn

−

λ
2

|u(x)|2 dx −
Ω

F (x, u(x))dx,

(2.6)

Ω

Trong đó hàm F là nguyên hàm của f đối với biến thứ hai, nghĩa là

t

F (x, t) =

f (x, τ )dτ.

(2.7)

0

Ở đây, không gian X0 xác định X0 := {g ∈ X : g = 0 a.e. trong Rn \Ω},
trong đó không gian hàm X là không gian tuyến tính của các hàm đo được
21