Về hai bài toán tối ưu hai cấp luận án thạc sĩ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
VŨ VĂN DỰ
VỀ HAI BÀI TOÁN TỐI ƯU
HAI CẤP
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.01.12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU
THÁI NGUYÊN - NĂM 2013
1
i
Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn iii
Mở đầu 1
1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu
hàm phân thức affine 5
1.1 Bài toán tối ưu véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Hàm phân thức affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Bài toán tối ưu véc tơ phân thức affine . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Phép tính cận đối ngẫu Lagrange để giải bài toán tối ưu trên tập
Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine . . . 13
1.4.1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp 26
2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.1 Mô tả bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.2 Bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu . . . . . . . . . . . . 37
2.2.3 Thuật toán và sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận 46
2
ii
Tài liệu tham khảo 47
3
iii
Lời cảm ơn
Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp
đỡ nghiêm túc của GS.TSKH. Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến thầy và kính chúc thầy luôn luôn mạnh khỏe.
Tôi cũng xin cảm ơn các quý thầy, cô giảng dạy tại Đại học Thái Nguyên và
tại Viện Toán học đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong
khoa học mà còn cả trong cuộc sống.
Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian
học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ. Nhờ có bố mẹ không quản gian khó, vất
vả sớm khuya nhưng vẫn tạo mọi điều kiện tốt nhất để con có được thành quả
ngày hôm nay. Xin kính tặng bản luận văn này cho Bố và Mẹ.
Thái Nguyên, tháng 6 - 2013
Người viết Luận văn
Vũ Văn Dự
4
1
Mở đầu
Bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toán bất đẳng thức biến phân là hai lớp
bài toán được nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực tế,

như: bài toán kinh tế, vật lý toán, giao thông đô thị, lý thuyết trò chơi Cả hai
lớp bài toán này cũng mới được quan tâm đến trong khoảng 50 năm trở lại đây,
do tính ứng dụng rộng rãi của nó trong đời sống kinh tế - xã hội. Tuy nhiên,
việc nghiên cứu các bài toán này lại gặp rất nhiều khó khăn, nhiều vấn đề liên
quan đến các bài toán này vẫn chưa được giải quyết.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu và bài toán bất đẳng thức biến phân có mối quan
hệ tương hỗ cho nhau. Nhiều khi việc tìm nghiệm tối ưu của bài toán tối ưu đa
mục tiêu lại quy về việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số. Cụ
thể, trong luận văn này chúng ta sẽ thấy: việc tìm điểm Pareto và Pareto yếu
của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine lại quy về việc giải bài
toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân phụ thuộc tham số. Trong
bản luận văn này, chúng ta sẽ tìm hiểu về bài toán tối ưu trên tập Pareto của
bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine và bài toán bất đẳng thức
biến phân hai cấp (viết tắt là BVI - Bilevel Variational Inequalities). Cụ thể:
Đối với bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm
phân thức affine, chúng ta sẽ tìm hiểu các kiến thức cơ bản, như: bài toán tối
ưu véc tơ phân thức affine, điểm Pareto (hay nghiệm hữu hiệu), điểm Pareto
yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu), định lý về điều kiện cần và đủ của điểm Pareto
và Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine. Đồng thời,
chúng ta cũng sẽ trình bày một thuật toán nhánh-cận để giải bài toán tối ưu
trên tập Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine (còn
gọi là Thuật toán LB).
Những nghiên cứu ban đầu về bài toán tối ưu đa mục tiêu lần đầu được giới
thiệu từ cuối thế kỷ XIX bởi nhà kinh tế học Vilfredo Federico Damaso Pareto
5
2
(1848 - 1923). Tuy nhiên tối ưu đa mục tiêu chỉ được quan tâm và có những
bước phát triển đột phá trong khoảng 40 năm trở lại đây. Bài toán tối ưu đa
mục tiêu hàm phân thức affine (viết tắt là bài toán (V P )) là sự mở rộng tự
nhiên của bài toán tối ưu véc tơ tuyến tính. Các kết quả nghiên cứu cho thấy

rằng tập Pareto của bài toán (V P ) khác biệt và phức tạp hơn nhiều so với tập
Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.
Bài toán tối ưu trên tập Pareto và tập Pareto yếu thuộc lớp bài toán tối ưu
hai cấp, lớp bài toán này lần đầu được đề xuất năm 1972 và hiện nay đang rất
được quan tâm bởi những ứng dụng rộng rãi của nó trong thực tiễn. Bài toán
tối ưu trên tập Pareto (hoặc tập Pareto yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu
phân thức affine được viết tắt là bài toán (P ) (hoặc bài toán (W P )) cũng là một
dạng của bài toán tối ưu hai cấp. Trên thực tế, trong hoạt động lao động sản
xuất cũng đòi hỏi việc giải các bài toán này. Ví dụ, một công ty sản xuất đồ
ăn nhanh có p nhà máy (được đặt tại các địa phương khác nhau), mỗi nhà máy
lại sản xuất n loại đồ ăn khác nhau. Hàm lợi nhuận f(x) của công ty phụ thuộc
vào phương án sản xuất số lượng sản phẩm x = (x
1
, x
2
, , x
n
). Công ty muốn
tìm một phương án sản xuất số lượng sản phẩm x sao cho lợi nhuận thu được
là cao nhất. Nhưng để đảm bảo chất lượng sản phẩm lại không làm hại đến môi
trường thì công ty phải tìm một phương án sản xuất số lượng sản phẩm x sao
cho tỷ số giữa chi phí trong sản xuất của mỗi nhà máy với chi phí của cả công
ty là nhỏ nhất. Vì vậy, thay vì tìm hàm cực đại f(x) trên các tập phương án
chấp nhận được, công ty phải thực hiện bài toán cực đại hàm f(x) trên tập hữu
hiệu của bài toán (V P ). Tức là, tìm phương án sản xuất số lượng sản phẩm x
sao cho thu được lợi nhuận cao nhất trên các tập phương án sản xuất thỏa mãn
yêu cầu tiết kiệm chi phí trong sản xuất những vẫn đảm bảo môi trường.
Việc nghiên cứu bài toán (P ) và bài toán (W P ) gặp rất nhiều khó khăn, bởi
vì tập nghiệm của bài toán (V P) thường không lồi, không còn là hợp của các
mặt đa diện ràng buộc và có cấu trúc phức tạp.

Đối với bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp được xét trong bản luận
văn này sẽ lần lượt tìm hiểu về: bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, các
điều kiện tồn tại nghiệm cơ bản của bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Đồng
thời, chúng ta cũng sẽ trình bày một bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập
6
3
nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu; và cũng tìm hiểu về
một thuật toán sử dụng quy tắc tìm kiếm theo tia Armijo có kết hợp phương
pháp của đạo hàm tăng cường và kỹ thuật cắt siêu phẳng để giải bài toán hai
cấp đã nói ở trên.
Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu bởi Hartman và
Stampacchia năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan
đến việc giải bài toán điều khiển tối ưu và bài toán biên của phương trình
đạo hàm riêng. Chúng ta phải kể đến sự đóng góp của các nhà toán học, như:
D. Kinderlehrer, Stampacchia, S. Facchinei, J. Pang đã có những công trình
nghiên cứu công phu liên quan đến bất đẳng thức biến phân và các ứng dụng
của nó. Ở Việt Nam, cũng có nhiều nhà nghiên cứu theo đuổi lĩnh vực này, như:
Lê Dũng Mưu, Phạm Quốc Khánh, Nguyễn Đông Yên, đã có những nghiên
cứu chuyên sâu về bất đẳng thức biến phân và xây dựng phương pháp giải cho
các bài toán bất đẳng thức biến phân.
Những năm gần đây bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước
phát triển mạnh mẽ và thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu
bởi tính ứng dụng rộng rãi của nó. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng
là xây dựng phương pháp giải. Công cụ được cho là hữu hiệu hơn cả là phương
pháp dựa vào việc tính điểm bất động. Tuy nhiên, nếu gặp phải bài toán bất
đẳng thức biến phân có tham số thì việc giải quyết nó lại không hề dễ dàng vì
phải sử dụng đến các kỹ thuật của tối ưu toàn cục. Ngay trong bản luận văn
này, chúng ta gặp phải trường hợp tương tự khi phải tìm điểm Pareto và Pareto
yếu của bài toán (V P ), ta đã đưa về việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân
có tham số. Điều này thật sự khó khăn.

Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp được xét trong bản luận văn này
là một trường hợp đặc biệt của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số.
Bài toán được xây dựng bởi một bài toán tối ưu trên tập nghiệm của một bài
toán bất đẳng thức biến phân (điều này sẽ được trình bày rõ ràng hơn trong
Mục 2.2, Chương 2). Ta cũng lưu ý rằng trong các phương pháp hiệu chỉnh như
hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề, nếu bài toán bất đẳng thức biến phân là
đơn điệu thì các bài toán con cần giải quyết cũng là đơn điệu, nhưng nếu bài
toán bất đẳng thức biến phân là giả đơn điệu thì các bài toán con cần giải quyết
7
4
lại không kế thừa được tính đơn điệu. Vấn đề được đặt ra là: Xây dựng thuật
toán để giải bài toán BVI với ràng buộc là một bất đẳng thức biến phân giả
đơn điệu trên tập nghiệm của nó. Vấn đề này đã dẫn tới việc xây dựng thuật
toán trong ([4]). Thuật toán này có thể được coi là sự kết hợp của phương pháp
đạo hàm tăng cường bằng cách sử dụng các nguyên tắc của bài toán phụ với kỹ
thuật cắt siêu phẳng.
Mục đích của luận văn này là trình bày về hai bài toán tối ưu hai cấp: bài
toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức
affine và bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp cùng các thuật toán có liên
quan để giải hai bài toán này. Qua luận văn, ta có thể thấy được cách tiếp cận
bất đẳng thức biến phân đối với bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán
tối ưu đa mục tiêu phân thức affine.
Luận văn có 2 chương:
Chương 1. Trình bày về bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine
(bài toán (V P )), bài toán tối ưu trên tập Pareto của bài toán (V P)( gọi là bài
toán (P )), bài toán tối ưu trên tập Pareto yếu của bài toán (V P )(gọi là bài toán
(W P )). Cuối cùng, trình bày về phương pháp giải bài toán (W P ) bằng phương
pháp tính cận đối ngẫu Lagrange.
Chương 2. Trình bày về bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, sự
tồn tại và duy nhất nghiệm của nó. Trình bày về bài toán (BV I) và thuật toán

để giải quyết nó. Cuối cùng trình bày một định lý để khẳng định sự hội tụ của
thuật toán.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Lê Dũng Mưu. Mặc dù, tác
giả đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là phức tạp và mới mẻ,
lại do thời gian có hạn và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh
khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn.
8
5
Chương 1
Bài toán tối ưu trên tập Pareto của
bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm
phân thức affine
Bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine, còn được gọi là bài toán tối
ưu véc tơ phân thức affine là sự mở rộng của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến
tính, nhưng lớp các bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine thực sự rộng
hơn lớp các bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. Các kết quả nghiên cứu cho
thấy rằng, tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine khác biệt
và phức tạp hơn nhiều so với tập Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến
tính. Nhiều tính chất của trường hợp tuyến tính không còn đúng cho trường hợp
phân thức affine. Nhiều vấn đề nghiên cứu cho lớp các bài toán tối ưu đa mục
tiêu phân thức affine vẫn chưa có kết quả.
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu về bài toán tối ưu véctơ hàm phân
thức affine. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm hiểu các kiến thức cơ bản, như: bài toán tối
ưu véc tơ phân thức affine, điểm Pareto (hay nghiệm hữu hiệu), điểm Pareto
yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu), định lý về điều kiện cần và đủ của điểm Pareto
và Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine. Đồng thời,
chúng ta cũng sẽ trình bày một thuật toán nhánh-cận để giải bài toán tối ưu
trên tập Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức affine (còn
gọi là Thuật toán LB). Các kiến thức ở chương này được trích dẫn từ các tài

liệu [6], [7], [8], [9], [10] và [11].
9
6
1.1 Bài toán tối ưu véc tơ
Cho D ⊂ R
n
là tập lồi, đóng, khác rỗng; K ⊂ R
p
là nón lồi, đóng. Cho
f = (f
1
, , f
p
) : D → R
p
là hàm véc tơ. Xét bài toán
min
K
{f(x) : x ∈ D} , (1.1)
trong đó "min
K
" được hiểu là cực tiểu theo nón K được định nghĩa như sau:
Định nghĩa 1.1. Ta nói x ∈ D là điểm Pareto (hay nghiệm hữu hiệu) của bài
toán (1.1) với quan hệ thứ tự cho bởi nón lồi K nếu không tồn tại x ∈ D sao cho
f(x) − f(x) ∈ K\{0}. (1.2)
Ký hiệu tập Pareto (hay tập nghiệm hữu hiệu) của (1.1) là S(f, D).
Vậy,
x ∈ S(f, D) ⇔

f(x) − K


∩ f(D) = {f (x)} .
Định nghĩa 1.2. Giả sử intK = ∅, trong đó intK là ký hiệu phần trong tôpô
của tập K. Ta nói x ∈ D là điểm Pareto yếu (hay nghiệm hữu hiệu yếu) của bài
toán (1.1) nếu không tồn tại x ∈ D sao cho
f(x) − f(x) ∈ intK. (1.3)
Ký hiệu tập Pareto yếu (hay tập nghiệm hữu hiệu yếu) của (1.1) là W S(f, D).
Vậy,
x ∈ WS(f, D) ⇔

f(x) − intK

∩ f(D) = ∅.
Nhận xét 1.1. Với
K =

y = (y
1
, , y
p
) ∈ R
p
: y
1
≥ 0, , y
p
≥ 0

thì (1.2) có nghĩa là


f
i
(x) ≤ f
i
(x), ∀i = 1, p
∃i
0
: f
i
0
(x) < f
i
0
(x);
và (1.3) có nghĩa là
f
i
(x) < f
i
(x), ∀i = 1, p .
10
7
1.2 Hàm phân thức affine
Định nghĩa 1.3. Cho X là một tập lồi đa diện trong R
n
X = {x ∈ R
n
: Mx ≤ b} ,
trong đó M ∈ R
p

× R
n
là ma trận cấp (p × n), b ∈ R
p
. Hàm số
φ(x) =
Ax + t
Bx + s
được gọi là hàm phân thức affine xác định trên tập lồi đa diện X (ở đó A và B
là các véc tơ n chiều, t và s là các số thực) nếu Bx + s = 0, ∀x ∈ X.
Nhận xét 1.2. Nếu φ xác định trên X thì mẫu số của φ cũng có dấu xác định
trên X. Không giảm tính tổng quát, từ nay về sau, nếu hàm phân thức affine φ
xác định trên X thì chúng ta sẽ giả thiết mẫu số của nó là dương trên X.
Bổ đề 1.1. (xem [7]) Giả sử hàm phân thức affine φ xác định trên tập lồi đa
diện X, khi đó
φ(y) − φ(x) =
Bx + s
By + s
∇φ(x), y − x , ∀x, y ∈ X. (1.4)
Chứng minh. Không làm giảm tính tổng quát, ta đặt z
λ
= x + λ(y − x).
Theo định nghĩa đạo hàm Fréchet, ta có
∇φ(x), y − x = lim
λ→0
φ

x + λ(y − x)

−φ(x)

λ
= lim
λ→0
1
λ

Az
λ
+ t
Bz
λ
+ s
−
Ax + t
Bx + s

= lim
λ→0
(Az
λ
+ t)(Bx + s) − (Bz
λ
+ s)(Ax + t)
λ.(Bz
λ
+ s)(Bx + s)
.
(1.5)
Biến đổi tử số trong phân thức cuối của (1.5), ta được
(Az

λ
+ t)(Bx + s) − (Bz
λ
+ s)(Ax + t)
=

A

x + λ(y − x)

+t

(Bx + s) −

B

x + λ(y − x)

+s

(Ax + t)
=

(Ax + t) + λA(y − x)

(Bx + s) −

(Bx + s) + λB(y − x)

(Ax + t)

= (Ax + t)(Bx + s) + λA(y − x)(Bx + s) − (Ax + t)(Bx + s) − λB(y − x)(Ax + t)
= λ

A(y − x)(Bx + s) − B(y − x)(Ax + t)

.
11
8
Biến đổi mẫu số trong phân thức cuối của (1.5), ta được
λ.(Bz
λ
+ s)(Bx + s) = λ.

B

x + λ(y − x)

+s

(Bx + s)
= λ.

(Bx + s) + λB(y − x)

(Bx + s)
= λ.

(Bx + s)
2
+ λB(y − x)(Bx + s)


.
Kết hợp với (1.5), ta được
∇φ(x), y − x = lim
λ→0
λ

A(y − x)(Bx + s) − B(y − x)(Ax + t)

λ.

(Bx + s)
2
+ λB(y − x)(Bx + s)

=
A(y − x)(Bx + s) − B(y − x)(Ax + t)
(Bx + s)
2
.
Do đó
Bx + s
By + s
∇φ(x), y − x
=
A(y − x)(Bx + s) − B(y − x)(Ax + t)
(Bx + s)(By + s)
=
AyBx + sAy − AxBx − sAx + AxBx − ByAx − tBy + tBx
(Bx + s)(By + s)

=
(AyBx + sAy + tBx + ts) − (AxBy + sAx + tBy + ts)
(Bx + s)(By + s)
=
(Ay + t)(Bx + s) − (Ax + t)(By + s)
(Bx + s)(By + s)
=
Ay + t
By + s
−
Ax + t
Bx + s
= φ(y) − φ(x).
Bổ đề đã được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Hàm phân thức affine là đơn điệu trên các đoạn hoặc các tia nằm
trong X.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ X, x = y, λ ∈ [0, +∞), z
λ
= x + λ(y − x).
12
9
Nếu z
λ
∈ X thì theo Bổ đề 1.1, với mọi λ

∈ [0, λ], ta có
φ(z
λ
) − φ(z
λ


) =

φ(z
λ
) − φ(x)

−

φ(z
λ

) − φ(x)

=
Bx + s
Bz
λ
+ s
∇φ(x), z
λ
− x −
Bx + s
Bz
λ

+ s
∇φ(x), z
λ


− x
= ∇φ(x), y − x

λ(Bx + s)
B

x + λ(y − x)

+s
−
λ

(Bx + s)
B

x + λ

(y − x)

+s

= ∇φ(x), y − x
(Bx + s)
2
(Bz
λ
+ s)(Bz
λ

+ s)

(λ − λ

).
Từ đó ta thấy rằng:
(i) ∇φ(x), y − x > 0 khi và chỉ khi φ(z
λ
) > φ(z
λ

) với mọi λ

∈ [0, λ),
(ii) ∇φ(x), y − x < 0 khi và chỉ khi φ(z
λ
) < φ(z
λ

) với mọi λ

∈ [0, λ),
(iii)∇φ(x), y − x = 0 khi và chỉ khi φ(z
λ
) = φ(z
λ

) với mọi λ

∈ [0, λ).
Vậy φ(x) là đơn điệu trên các đoạn hoặc tia nằm trong X. Hơn nữa, φ(x) hoặc
là đơn điệu chặt hoặc là hàm hằng trên các tia trong X.

Định nghĩa 1.4. .
(i) Hàm số φ : X → R được gọi là tựa lõm trên X, nếu
φ

(1 − λ)x + λy

≥ min

φ(x), φ(y)

∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ (0, 1).
(ii) Hàm số φ : X → R được gọi là bán tựa lõm chặt trên X, nếu φ(x) là tựa lõm
và bất đẳng thức trên là chặt khi φ(x) = φ(y).
(iii) Hàm số φ : X → R được gọi là tựa lõm chặt trên X, nếu φ(x) là tựa lõm
chặt và bất đẳng thức trên là chặt khi x = y.
Hệ quả 1.2. Nếu hàm phân thức affine φ(x) xác định trên X thì φ(x) là bán tựa
lõm chặt trên X.
Chứng minh. Giả sử x, y ∈ X, x = y, λ ∈ (0, 1). Ta xét 2 trường hợp sau:
Trường hợp 1: φ(x) = φ(y). Khi đó, theo Hệ quả 1.1, ta có
φ

(1 − λ)x + λy

= φ(x) = φ(y) = min

φ(x), φ(y)

.
13
10

Trường hợp 2: φ(x) = φ(y). Chẳng hạn φ(x) < φ(y). Cũng do Hệ quả 1.1, ta có
φ

(1 − λ)x + λy

> φ(x) = min

φ(x), φ(y)

.
Vậy hệ quả đã được chứng minh.
Nhận xét 1.3. Hàm phân thức affine chưa chắc là tựa lõm chặt trên miền xác
định của nó. Ví dụ hàm φ(x) = 0, với mọi x ∈ X.
1.3 Bài toán tối ưu véc tơ phân thức affine
Gọi X ⊂ R
n
là một tập lồi đa diện được cho bởi
X =

x ∈ R
n
: Mx ≤ b

,
trong đó M ∈ R
p
× R
n
là ma trận cấp (p × n) và b ∈ R
p

,
f
i
: R
n
→ R, i = 1, p
là p hàm phân thức affine trên X, ở đó
f
i
(x) =
A
i
x + t
i
B
i
x + s
i
với A
i
, B
i
là các véc tơ n chiều và t
i
, s
i
là các số thực. Khi đó, ta có các định
nghĩa sau:
Định nghĩa 1.5. Bài toán
min


F (x) =

f
1
(x), , f
p
(x)



x ∈ X

(V P )
(với các hàm f
1
(x), , f
p
(x) đã định nghĩa ở trên) được gọi là bài toán tối ưu véc
tơ phân thức affine (hay còn gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine)
xác định bởi hàm véc tơ F (x) =

f
1
(x), , f
p
(x)

và tập X.
Định nghĩa 1.6. Ta nói rằng một véc tơ x ∈ X là điểm Pareto của bài toán

(V P ) nếu không tồn tại y ∈ X sao cho F (y) ≤ F(x) và F (y) = F(x). Tương tự,
một véc tơ x ∈ X là điểm Pareto yếu của bài toán (V P ) nếu không tồn tại y ∈ X
sao cho F (y) < F (x).
Ký hiệu tập Pareto và tập Pareto yếu của (V P ) lần lượt là E(F, X) và
W E(F, X). Dễ thấy E(F, X) ⊆ W E(F, X).
14
11
Mệnh đề 1.1. (xem [7]) Cho x ∈ X, khi đó x ∈ E(F, X) khi và chỉ khi
Q
x
(X − x) ∩

−R
p
+
\{0}

= ∅, (1.6)
trong đó
Q
x
=














(B
1
x + s
1
)A
1
− (A
1
x + t
1
)B
1
(B
2
x + s
2
)A
2
− (A
2
x + t
2
)B
2

(B
p
x + s
p
)A
p
− (A
p
x + t
p
)B
p













là ma trận cấp (p × n) , Q
x
(X − x) =


Q
x
(y − x)


y ∈ X

và
R
p
+
=

y = (y
1
, , y
p
) ∈ R
p


y
1
≥ 0, , y
p
≥ 0

.
Chứng minh. Thật vậy, một véc tơ x ∈ E(F, X) khi và chỉ khi không tồn tại

y ∈ X sao cho F (y) ≤ F (x) và F(y) = F (x), tức là không tồn tại y ∈ X để

f
i
(y) ≤ f
i
(x), ∀i = 1, p
∃i
0
: f
i
0
(y) < f
i
0
(x).
(1.7)
Từ Bổ đề 1.1, suy ra (1.7) tương đương với

∇f
i
(x), y − x ≤ 0, ∀i = 1, p
∃i
0
: ∇f
i
0
(x), y − x < 0.
(1.8)
Ta có

∇f
i
(x), y − x =
A
i
(y − x)(B
i
x + s
i
) − B
i
(y − x)(A
i
x + t
i
)
(B
i
x + s
i
)
2
(xem chứng minh Bổ đề 1.1), do đó (1.8) tương đương với




(B
i
x + s

i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(y − x) ≤ 0, ∀i = 1, p
∃i
0
:

(B
i
0
x + s
i
0
)A
i
0
− (A
i
0
x + t
i
0

)B
i
0

(y − x) < 0.
Tức là
Q
x
(y − x) ∈ −R
p
+
và Q
x
(y − x) = 0.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
15
12
Định lí 1.1. (xem [7]) Một véc tơ x ∈ X là một điểm Pareto khi và chỉ khi tồn
tại λ > 0 (tức là λ = (λ
1
, , λ
p
) , λ
i
> 0 với mọi i = 1, , p) sao cho
λ, Q
x
(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ X. (1.9)
hay viết dưới dạng bất đẳng thức biến phân là


(Q
x
)
T
λ, y − x

≥ 0, ∀y ∈ X. (1.10)
Chứng minh. Giả sử x là điểm Pareto, đặt K = cone

Q
x
(X − x)

là nón sinh
bởi Q
x
(X − x). Do Q
x
(X − x) là tập lồi đa diện chứa điểm 0, nên ta có K là nón
lồi đa diện đóng. Nhận thấy (1.6) tương đương với
K ∩ (−R
p
+
) = {0}.
Đặt
K
+
=

z ∈ R

p
: z, v ≥ 0, ∀v ∈ K

,
ta có K
+
∩ intR
p
+
= ∅.
Thật vậy, giả sử phản chứng K
+
∩ intR
p
+
= ∅. Khi đó, theo định lý tách các tập
lồi đa diện, suy ra tồn tại ξ ∈ R
p
\{0} sao cho
ξ, u ≤ 0 ≤ ξ, z , ∀u ∈ intR
p
+
, ∀z ∈ K
+
.
Từ đó suy ra ξ ∈ (−R
p
+
) và ξ ∈ (K
+

)
+
= K.
Hay
K ∩ (−R
p
+
) = {ξ}, với ξ ∈ R
p
\{0},
mâu thuẫn, vì K ∩ (−R
p
+
) = {0}.
Lấy λ ∈ K
+
∩ intR
p
+
, ta có λ, v ≥ 0 với mọi v ∈ K. Suy ra

(Q
x
)
T
λ, y − x

= λ, Q
x
(y − x) ≥ 0.

Định lý đã được chứng minh.
Nhận xét 1.4. Bài toán

(Q
x
)
T
λ, y − x

≥ 0, ∀y ∈ X
thuộc lớp bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số. Việc nghiên cứu và đưa
ra phương pháp giải cho lớp bài toán này là một điều khó khăn. Tuy trong nội
16
13
dung của luận văn này có đề cập đến bất đẳng thức biến phân, nhưng cũng chỉ
dừng lại ở lớp bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bài toán bất đẳng
thức biến phân hai cấp với toán tử F là giả đơn điệu (sẽ được giới thiệu trong
Chương 2).
Định lí 1.2. (xem [7]) Một véc tơ x ∈ X là một điểm Pareto yếu khi và chỉ
khi tồn tại các số thực λ
i
≥ 0 và có ít nhất một λ
i
nào đó khác không với mọi
i = 1, , p sao cho
λ, Q
x
(y − x) ≥ 0, ∀y ∈ X. (1.11)
Hệ quả 1.3. (xem [7]) Giả sử y ∈ X, ký hiệu M
j

là hàng thứ j của ma trận cỡ
(p × n) của miền ràng buộc X, đặt
I(y) =

j ∈ {1, , p} : M
j
y = b
j

là tập chỉ số tích cực tại điểm y.
Khi đó y ∈ E(F, X) (hoặc y ∈ W E(F, X)) khi và chỉ khi tồn tại các số thực
λ
i
> 0 (hoặc λ
i
≥ 0 và có ít nhất một λ
i
nào đó khác không) với mọi i = 1, , p
và µ
j
≥ 0, j ∈ I(y) sao cho
p

i=1
λ
i

(B
i
y + s

i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

+

j∈I(y)
µ
j
M
j
= 0. (1.12)
Nhận xét 1.5. Chúng ta có thể tìm điểm Pareto (hoặc Pareto yếu) bằng cách
cố định λ > 0 (hoặc λ ≥ 0), khi đó nghiệm của bất phương trình (1.10) cho ta
một điểm Pareto (hoặc Pareto yếu) ứng với một λ đã chọn. Chúng ta cũng có
thể sử dụng (1.12) trong Hệ quả 1.3 để đặc trưng tập Pareto và tập Pareto yếu
của bài toán (V P ).
1.4 Phép tính cận đối ngẫu Lagrange để giải bài
toán tối ưu trên tập Pareto yếu của bài toán
tối ưu đa mục tiêu phân thức affine
1.4.1 Bài toán tối ưu trên tập Pareto
Cho bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine
min


F (x) =

f
1
(x), , f
p
(x)

| x ∈ X

, (V P )
17
14
trong đó X ⊂ R
n
là một tập lồi đa diện cho bởi
X = {x ∈ R
n
| Mx ≤ b} ,
với M ∈ R
p
× R
n
là ma trận cỡ (p × n) và b ∈ R
p
.
Chúng ta xét bài toán tối ưu trên tập Pareto và tập Pareto yếu của bài toán
(V P ). Các bài toán này lần lượt được cho dưới dạng:
min


f(x) = d
T
x| x ∈ E(F, X)

(P )
và
min

f(x) = d
T
x| x ∈ W E(F, X)

, (W P )
trong đó E(F, X) và W E(F, X) tương ứng là các tập Pareto và tập Pareto yếu
của bài toán (V P ).
Trong phần này, chúng ta gọi hàm mục tiêu của bài toán (V P) là hàm được
cho bởi:
F (x) =

A
1
x + t
1
B
1
x + s
1
, ,
A
p

x + t
p
B
p
x + s
p

,
trong đó A
i
, B
i
là các véc tơ n chiều và t
i
, s
i
là các số thực với i = 1, , p. Thông
thường, ta giả sử B
i
x + s
i
> 0, ∀x ∈ X, ∀i = 1, p. Do đó F liên tục trên X. Qua
Định nghĩa 1.6, các tập Pareto và tập Pareto yếu của bài toán (V P ) có thể lần
lượt được viết là:
E(F, X) =

x ∈ X|  ∃y ∈ X : F (y) ≤ F (x), F (y) = F (x)

,
W E(F, X) =


x ∈ X|  ∃y ∈ X : F (y) < F (x)

.
Vì X là compact nên tập Pareto yếu W E(F, X) cũng là compact. Trái lại, tập
Pareto E(F, X) nói chung không đóng cũng không mở. Vì WE(F, X) là compact
nên bài toán (W P ) luôn có lời giải tối ưu toàn cục. Trong suốt phần này, chúng
ta luôn giả sử (P ) có lời giải tối ưu toàn cục.
Trái ngược với trường hợp hàm tuyến tính, ta có thể chỉ ra được rằng các bài
toán (P ) và (W P ) có thể không đạt được nghiệm tối ưu trên đỉnh của đa diện
ràng buộc X, ngay cả khi hàm mục tiêu f(x) là tuyến tính.
Sau đây chúng ta sẽ biến đổi bài toán (P ) và bài toán (W P ). Ta nhắc lại định
lý sau đây của Malivert.
18
15
Định lí 1.3. (xem [7]) Một véc tơ x ∈ X là một điểm Pareto (hoặc điểm Pareto
yếu) khi và chỉ khi tồn tại các số thực λ
i
> 0 (hoặc λ
i
≥ 0, không bằng 0 tất cả)
với mọi i = 1, , p sao cho
p

i=1
λ
i

(B
i

x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(x − y) ≤ 0, ∀y ∈ X.
Bằng cách chia cho
p

i=1
λ
i
> 0, nên không làm giảm tính tổng quát, ta có thể
giả sử rằng
p

i=1
λ
i
= 1. Vì vậy, nếu ký hiệu
Λ
0
=


λ = (λ
1
, , λ
p
)



λ > 0,
p

i=1
λ
i
= 1

,
Λ =

λ = (λ
1
, , λ
p
)



λ ≥ 0,
p


i=1
λ
i
= 1

,
thì các tập E(F, X) và WE(F, X) có thể được viết lại như sau:
E(F, X)
=

x ∈ X


∃λ ∈ Λ
0
,
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i

x + t
i
)B
i

(x − y) ≤ 0, ∀y ∈ X

,
W E(F, X)
=

x ∈ X


∃λ ∈ Λ,
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t

i
)B
i

(x − y) ≤ 0, ∀y ∈ X

.
Do đó cả hai bài toán (P ) và (W P ) đều có thể có dạng













min

f (x) = d
T
x

với ràng buộc x ∈ X, λ ∈ Λ,
p


i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(x − y) ≤ 0, ∀y ∈ X.
(IP )
trong đó Λ = Λ
0
đối với (P ) và Λ = Λ đối với (W P ).
Đặt v
1
, , v
q
là các đỉnh của X. Khi đó, bài toán (IP ) có thể được giản lược
vì mệnh đề sau:
19
16

Mệnh đề 1.2. (xem [8]) Ta có
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(x − y) ≤ 0, ∀y ∈ X
khi và chỉ khi
p

i=1
λ
i

(B
i

x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(x − v
k
) ≤ 0, ∀k = 1, q.
Chứng minh. Vì v
1
, , v
q
∈ X nên ta chỉ cần chứng minh phần "điều kiện đủ"
của mệnh đề trên. Vì mỗi y ∈ X luôn có thể được viết thành
y =
q

k=1
γ
k
v
k
, 0 ≤ γ
k

≤ 1 và
q

k=1
γ
k
= 1,
nên ta có
q

k=1
γ
k
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B

i

(x − v
k
) ≤ 0
⇔
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i


q

k=1
γ

k

x −
q

k=1
γ
k
v
k

≤ 0
⇔
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B

i

(x − y) ≤ 0, ∀y ∈ X.
Vậy mệnh đề được chứng minh.
Để cho đơn giản, ta đặt
M(λ, x, y) =
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(x − y),
M
k
(λ, x) = M(λ, x, v
k

)
=
p

i=1
λ
i

(B
i
x + s
i
)A
i
− (A
i
x + t
i
)B
i

(x − v
k
), k = 1, q.
Theo Định lý 1.3, nếu (λ, x) ∈ (Λ×X), hoặc (λ, x) ∈ (Λ
0
×X) thì x là điểm Pareto
yếu, hoặc là điểm Pareto khi và chỉ khi
M(λ, x, y) ≤ 0, ∀y ∈ X
20

17
hoặc
M
k
(λ, x) ≤ 0, ∀k = 1, q.
Rõ ràng,
(i) M(λ, x, .) là hàm affine trên X đối với mỗi (λ, x) cố định.
(ii) Với mỗi k, hàm M
k
(λ, x) là song tuyến tính trên Λ × X.
Với mỗi đỉnh v
k
ta định nghĩa
G
k
(λ) =
p

i=1
λ
i


B
i
v
k
+ s
i


A
i
−

A
i
v
k
+ t
i

B
i

,
b
k
(λ) =
p

i=1
λ
i

s
i
A
i
− t
i

B
i

v
k
.
Ký hiệu G(λ) là ma trận cỡ (q ×n) mà hàng thứ k của nó là G
k
(λ) với k = 1, 2, , q
và b(λ) là véc tơ q chiều mà tọa độ thứ k là b
k
(λ). Giả sử rằng
X = {x ≥ 0| Gx ≤ b} .
Sau đó, bằng cách sử dụng Mệnh đề 1.2 và định nghĩa của G(λ) và b(λ), chúng
ta có thể viết lại bài toán (IP ) như sau









min{f(x) = d
T
x}
với ràng buộc Gx − b ≤ 0, x ≥ 0,
G(λ)x − b(λ) ≤ 0, λ ∈ Λ.
(P Λ)

Nhận xét 1.6. Để xác định bài toán (P Λ), chúng ta yêu cầu tất cả các đỉnh của
khối đa diện X được biết trước. Do đó, công thức xác định bài toán (P Λ) trên
được gợi ý sử dụng khi các đỉnh của X có thể tính toán dễ dàng. Một trường
hợp đặc biệt đã xuất hiện trong một vài ứng dụng, đó là tập ràng buộc X là
một đơn hình được cho bởi:
X =

x = (x
1
, , x
n
)



n

i=1
x
i
= 1, x
i
≥ 0, ∀i = 1, n

.
Rõ ràng là X có chính xác n đỉnh, các đỉnh đó là các véctơ đơn vị của R
n
.
Khác với trường hợp tuyến tính, bài toán tối ưu một hàm tuyến tính trên tập
Pareto hoặc Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức affine không

nhất thiết đạt nghiệm tối ưu tại một đỉnh của X. Do đó, ngay cả khi đã biết
tất cả các đỉnh của X, việc giải bài toán vẫn gặp khó khăn.
21
18
1.4.2 Phương pháp giải
Từ phần trước, chúng ta đã thấy rằng các bài toán tối ưu một hàm f trên
các tập Pareto (hoặc Pareto yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu phân thức
affine (V P ) có thể được trình bày như là một bài toán có ràng buộc song tuyến
tính dạng (P Λ) với Λ = Λ
0
(hoặc với Λ = Λ). Điểm khác biệt chính giữa hai bài
toán này là việc Λ là một đơn hình đơn vị, còn Λ
0
= intΛ. Vì thế mà bài toán
(P Λ) dễ xử lý hơn.
Quy hoạch song tuyến tính là một đề tài quan trọng trong quy hoạch toán
học. Một số phương pháp đã được đề xuất cho việc giải các bài toán quy hoạch
song tuyến tính. Hầu hết các phương pháp đã có đều dựa trên giả thiết rằng
thành phần song tuyến tính chỉ xuất hiện trong hàm mục tiêu. Trong chương
này, chúng ta mô tả phương pháp phân rã để giải bài toán (P Λ) với Λ = Λ, bằng
cách sử dụng cấu trúc riêng biệt của nó.
Thông thường, với ε ≥ 0 cho trước, chúng ta gọi một điểm x là một lời
giải ε-tối ưu (ε-optimal solution) của bài toán (P ) nếu x là chấp nhận được và
f(x) − f
∗
≤ ε(f(x) + 1), trong đó f
∗
là giá trị tối ưu của bài toán (P ).
Thuật toán được trình bày dưới đây là một thủ tục nhánh-cận sử dụng đối
ngẫu Lagrange và phép chia đơn hình. Không giống như các thuật toán đã được

giới thiệu bởi các nhà nghiên cứu khác, thuật toán này chỉ sử dụng quy hoạch
tuyến tính cho việc tính toán điểm cận trên và cận dưới.
Đặt
H(λ) =

G
G(λ)

, h(λ) =

b
b(λ)

trong đó H(λ) được xây dựng bằng cách thêm q hàng vào ma trận G của miền
ràng buộc X, q hàng đó chính là ma trận G(λ). Do đó, H(λ) chỉ có q hàng phụ
thuộc vào biến λ. Tương tự, h(λ) cũng chỉ có q thành phần phụ thuộc vào biến
λ. Khi đó bài toán (P Λ) có thể viết lại như sau:
















min

f(x) = d
T
x

với ràng buộc
H(λ)x − h(λ) ≤ 0,
x ≥ 0, λ ∈ Λ.
(BΛ)
22
19
Phép tính cận theo đối ngẫu Lagrange
Định nghĩa hàm ϕ : Λ → R bằng cách đặt
ϕ(λ) = min

d
T
x


H(λ)x − h(λ) ≤ 0, x ≥ 0

. (P
λ
)
Khi đó, theo mệnh đề sẽ phát biểu dưới đây (Mệnh đề 1.3) thì bài toán
min


ϕ(λ)| λ ∈ Λ

(MP )
tương ứng với các bài toán (BΛ) và (W P ). Đặt f
∗
và w
∗
tương ứng là ký hiệu
các giá trị tối ưu của bài toán (P ) và (W P ).
Mệnh đề 1.3. (xem [11]) Một điểm (λ
∗
, x
∗
) là nghiệm tối ưu của bài toán (BΛ)
khi và chỉ khi x
∗
là nghiệm tối ưu của bài toán (W P ), λ
∗
là nghiệm tối ưu của
bài toán (MP) và w
∗
= f(x
∗
) = ϕ(λ
∗
).
Chú ý rằng, một điểm chấp nhận được của bài toán (BΛ) có thể đạt được
bằng cách giải một quy hoạch tuyến tính. Thật vậy, nếu λ ∈ Λ cố định và x
λ

là
lời giải tối ưu của bài toán tuyến tính (P
λ
) thì (λ, x
λ
) là nghiệm chấp nhận được
của bài toán (BΛ) nên x
λ
là nghiệm chấp nhận được của bài toán (W P ). Do đó,
các cận trên của w
∗
được tính bằng cách giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Bởi
vì quá trình thực hiện thuật toán sẽ tìm thấy ngày càng nhiều các điểm chấp
nhận được, do đó các điểm cận trên của w
∗
có thể được cải thiện dần.
Bây giờ chúng ta tính cận dưới của w
∗
bằng cách sử dụng phương pháp đối
ngẫu Lagrange. Đặt S là một đơn hình con có thứ nguyên đầy đủ của đơn hình
Λ. Đặt V (S) là tập đỉnh của S. Xét bài toán (BΛ) hạn chế trên S sau:
















w
∗
(S) = min d
T
x
với ràng buộc
H(λ)x − h(λ) ≤ 0,
x ≥ 0, λ ∈ S.
(BS)
Đặt L(u, λ, x) là hàm Lagrange với ràng buộc H(λ)x − b(λ) của bài toán này là
L(u, λ, x) = d
T
x + u
T

H(λ)x − h(λ)

. (1.13)
Định nghĩa hàm m(u, λ) là
m(u, λ) = min
x≥0

d
T

x + u
T

H(λ)x − h(λ)

.
23
20
Từ Định lý đối ngẫu Lagrange (xem [1]), ta có
m(u, λ) ≤ ϕ(λ), ∀u ≥ 0, ∀λ ∈ S. (1.14)
Bởi vì với mỗi λ cố định, thì H(λ)x − h(λ) là hàm affine, nên theo định lý đối
ngẫu áp dụng cho quy hoạch tuyến tính ϕ(λ), ta có
sup
u≥0
m(u, λ) = ϕ(λ). (1.15)
Đặt
µ
S
(u) = min
λ∈S
m(u, λ). (1.16)
Từ (1.14) kéo theo
µ
S
(u) = min
λ∈S
m(u, λ) ≤ min
λ∈S
ϕ(λ) = w
∗

(S), ∀u ≥ 0.
Do đó
sup
u≥0
µ
S
(u) ≤ w
∗
(S).
Nên bằng cách đặt
β(S) = sup
u≥0
µ
S
(u), (1.17)
ta đạt được một cận dưới β(S) của w
∗
(S).
Hệ quả sau sẽ chỉ ra rằng cận dưới này có thể được tính bằng cách giải các
bài toán quy hoạch tuyến tính, mỗi bài được xây dựng từ một đỉnh của S.
Hệ quả 1.4. (xem [8]) Đặt λ
i
(i = 1, , p) là các đỉnh của S. Khi đó cận dưới
β(S) được tính bởi
β(S) = min
λ∈V (S)
















sup

−h
T
(λ)u

với ràng buộc
H
T
(λ
i
)u + d ≥ 0, i = 1, , p
u ≥ 0.
(LS)
Chứng minh. Từ (1.13) và (1.17) kéo theo
β(S) = sup
u≥0
µ
S

(u) = sup
u≥0
min
λ∈S
m(u, λ).
24
21
Do đó
β(S) = sup
u≥0
min
λ∈S
min
x≥0

d
T
x + u
T

H(λ)x − h(λ)


kéo theo
β(S) = sup
u≥0
min
λ∈S

min

x≥0


d
T
+ u
T
H(λ)

x − u
T
h(λ)


. (1.18)
Nếu λ ∈ S sao cho d
T
+ u
T
H(λ) ≥ 0 với mọi u ≥ 0 thì
min
x≥0

d
T
+ u
T
H(λ)

x = −∞.

Do đó, supremum trong (1.18) có thể được xác định đối với tất cả u ≥ 0, thoả
mãn
H
T
(λ)u + d
T
≥ 0, ∀λ ∈ S, (1.19)
điều này kéo theo
min
x≥0

u
T
H(λ) + d
T

x = 0.
Bởi vì

H
T
(λ)u + d
T
≥ 0, ∀λ ∈ S

⇔

H
T
(λ)u + d

T
≥ 0, ∀λ ∈ V (S)

,
cùng với (1.18) và (1.19), ta có
β(S) = sup
u≥0
min
λ∈S

−u
T
h(λ)


H
T
(λ
i
)u + d
T
≥ 0, i = 1, p

(1.20)
với λ
i
∈ V (S), i = 1, p. Theo Định lý minimax (xem [13]) ta có thể đổi supremum
cho infimum trong (1.20) để đạt được
β(S) = min
λ∈V (S)
















sup

−h
T
(λ) u

với ràng buộc
H
T
(λ
i
)u + d ≥ 0, i = 1, p,
u ≥ 0.
Hệ quả được chứng minh.
Phép chia đôi đơn hình

Tại mỗi một bước lặp k của thuật toán được mô tả sau đây, một đơn hình
con của đơn hình Λ sẽ được chia đôi theo cách mà thuật toán thực hiện sao cho
25