Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không Compact

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học S phạm Hà Nội
-------------------------------

Ninh Văn Thu

Đa tạp phức với nhóm các tự
đẳng cấu không compact

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62.46.10.01

Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học

Hà Nội - 2010


Luận án đợc hoàn thành tại: Trờng Đại học S phạm Hà Nội

Ngời hớng dẫn khoa học: GS.TSKH. Đỗ Đức Thái

Phản biện 1: GS.TSKH. Hà Huy Khoái, Viện Toán học
Phản biện 2: GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu, Trờng Đại học KHTNĐHQGHN
Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Doãn Tuấn, Trờng Đại học S phạm Hà Nội

Luận án sẽ đợc bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp Nhà nớc họp tại
Trờng Đại học S phạm Hà Nội vào hồi ...giờ..... ngày... tháng....năm 2010

Có thể tìm hiểu luận án tại: -Th viện Quốc gia
-Th viện Trờng Đại học S phạm Hà Nội

C¸c c«ng tr×nh liªn quan ®Õn luËn ¸n

[1]. Ninh Van Thu (2009), Characterization of linearly convex domains
in Cn by their noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of
Mathematics, 37(1), pp. 67-79.
[2]. Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Geometry of domains in Cn
with noncompact automorphism groups, Vietnam Journal of
Mathematics, 37(2&3), pp. 1-12.

[3]. Do Duc Thai and Ninh Van Thu (2009), Characterization of domains
in Cn by their noncompact automorphism groups, Nagoya Mathematical
Journal, 196, pp. 135-160.

[4]. François Berteloot and Ninh Van Thu (2009), Existence of parabolic
boundary points of certain domains in Cn,
/>

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giả sử M là một đa tạp phức. Nhóm tự đẳng cấu của M (ký hiệu
bởi Aut(M )) là tập hợp các song chỉnh hình của M với phép toán hai
ngôi là hợp thành của hai tự đẳng cấu. Tôpô trên Aut(M ) là tôpô hội
tụ đều trên các tập con compact (tức là tôpô compact-mở).
Theo quan điểm của F. Klein, hình học của mỗi một lớp đối tượng
là hình học của nhóm biến đổi. Chẳng hạn Hình học Euclid là hình
học của nhóm các phép biến đổi đẳng cự, Hình học Affine là hình học
của nhóm biến đổi Affine. Vì thế, hình học của các đa tạp phức cũng

có thể xem như hình học của nhóm các tự đẳng cấu của đa tạp phức.
Có hai bài toán cơ bản khi nghiên cứu hình học của các đa tạp phức:
Bài toán 1. Tìm các tính chất hình học bất biến qua nhóm các tự
đẳng cấu.
Bài toán 2. Phân loại các đa tạp phức dựa trên nhóm các tự đẳng
cấu của chúng.
Luận án tập trung nghiên cứu Bài toán 2. Cụ thể hơn, chúng tôi
nghiên cứu mối quan hệ giữa hình học của miền trong Cn và cấu trúc
của nhóm tự đẳng cấu của nó, tức là xét xem miền được xác định bởi
nhóm tự đẳng cấu đến mức độ nào.


2

Nếu Ω là một miền bị chặn trong Cn thì Aut(Ω) là một nhóm Lie
thực. Một câu hỏi hoàn toàn tự nhiên được đặt ra là: nhóm Lie thực
nào có thể xem như nhóm tự đẳng cấu của một đa tạp phức? Năm
2004 J. Winkelmann đã chỉ ra rằng cho trước một nhóm Lie thực
compact K thì luôn luôn tồn tại miền bị chặn giả lồi chặt Ω

Cn sao

cho Aut(Ω) đẳng cấu với K. Như vậy, bài toán phân loại các miền với
nhóm tự đẳng cấu compact đã được giải quyết khá trọn vẹn.
Đối với trường hợp nhóm tự đẳng cấu không compact, các nhà toán
học đã phân loại thành công các miền bị chặn trong Cn . Còn đối với
trường hợp miền không bị chặn trong Cn , bài toán phân loại mới chỉ
được giải quyết trong một số trường hợp đặc biệt.
Tiếp tục luồng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài luận án là:
"Đa tạp phức với nhóm các tự đẳng cấu không compact".

2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là nghiên cứu bài toán phân loại các miền
không bị chặn trong Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact. Ngoài
ra, luận án còn nghiên cứu tính chất hình học địa phương của điểm
biên tụ quỹ đạo.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu
của luận án là các đa tạp phức, cụ thể là các miền trong Cn . Trong


3

luận án, tư tưởng chính xuyên suốt là xét xem với điều kiện nào của
miền thì từ tính chất địa phương suy ra tính chất toàn cục. Điều đó
cho phép chúng tôi phân loại được một số lớp miền không bị chặn
trong Cn nhờ tính không compact của nhóm tự đẳng cấu của nó.
4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết những vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng
các phương pháp nghiên cứu và kĩ thuật truyền thống của Hình học
phức, Giải tích phức, đặc biệt là kĩ thuật scaling của S. Pinchuk, đồng
thời chúng tôi cũng sáng tạo ra những kĩ thuật mới.
5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
Luận án gồm ba chương.
Chương I trình bày về đặc trưng của miền trong Cn bởi nhóm tự
đẳng cấu không compact. Kết quả chính của chương này là chứng
minh định lý sau đây.
Định lý 1.3.2. Giả sử Ω là một miền trong Cn và p∞ ∈ ∂Ω là một
điểm biên. Giả sử rằng
(a) ∂Ω là nhẵn, giả lồi trong một lân cận nào đó của điểm p∞ ∈ ∂Ω
và có kiểu 2m tại p∞ ,

(b) Hạng của dạng Levi ít nhất bằng n − 2 tại p∞ ,
(c) Tồn tại dãy {ϕp } thuộc Aut(Ω) sao cho lim ϕp (a) = p∞ với điểm


4

nào đó a ∈ Ω,
Khi đó, Ω song chỉnh hình với miền có dạng sau
MH = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +H(w1 , w¯1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0},
trong đó H là đa thức thuần nhất, bậc 2m và điều hòa dưới trên C.
Định lý trên là mở rộng các kết quả của F. Berteloot năm 1994 và kết
quả của E. Bedford và S. Pinchuk năm 1991.
Chương II dành cho việc nghiên cứu bài toán phân loại các miền lồi
tuyến tính trong Cn . Kết quả chính của chương này là.
Định lý 2.3.2. Giả sử Ω là một miền trong Cn và p∞ ∈ ∂Ω là một
điểm biên tụ quỹ đạo của Ω. Khi đó, nếu ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính địa
phương trong một lân cận của p∞ và có kiểu hữu hạn 2m tại điểm p∞
thì Ω song chỉnh hình với miền sau
D = {z ∈ Cn : Re z1 + P (z ) < 0},
trong đó P là một đa thức thực đa điều hoà dưới không suy biến bậc
nhỏ hơn hoặc bằng 2m.
Kết quả này là một mở rộng kết quả của H. Gaussier năm 1997 từ
miền lồi lên miền lồi tuyến tính.
Chương III dành cho việc giới thiệu về giả thuyết Greene-Krantz
và nghiên cứu tính chất hình học của điểm biên tụ quỹ đạo. Kết quả
chính trong chương III là.


5

Định lý 3.1.1. Giả sử Ω ⊂ C2 là một miền bị chặn giả lồi trong C2
và 0 ∈ ∂Ω. Giả sử rằng
(1) ∂Ω là nhẵn và thỏa mãn điều kiện Bell (R),
(2) Tồn tại lân cận U của điểm 0 ∈ ∂Ω sao cho
Ω ∩ U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : ρ = Re z1 + P (z2 ) + Q(z2 , Im z1 ) < 0},
trong đó P và Q thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) P là nhẵn, điều hòa dưới, dương thực sự tại tất cả các điểm
trong lân cận nào đó của gốc tọa độ trừ gốc tọa độ và hàm này
P (z2 )
= 0, ∀N ≥ 0,
triệt tiêu mọi cấp tại (0, 0), tức là: lim
z2 →0 |z2 |N
(ii) Q(z2 , Im z1 ) là hàm nhẵn và có thể viết dưới dạng Q(z2 , Im z1 ) =
|z2 |4 | Im z1 |2 R(z2 , Im z1 ) với hàm nhẵn R(z2 , Im z1 ) nào đó.
Khi đó, (0, 0) không phải là điểm tụ quỹ đạo parabolic.
Định lý trên giải quyết giả thuyết Greene-Krantz cho một lớp miền
đặc biệt trong C2 .
6. Cấu trúc luận án
Bố cục của luận án ngoài phần mở đầu và phần phụ lục gồm ba
chương được viết theo tư tưởng kế thừa. Ba chương của luận án được
viết dựa trên bốn công trình trong đó hai công trình đã được đăng và
một công trình đã được nhận đăng.


6

Chương I: Đặc trưng của miền trong Cn bởi nhóm tự đẳng cấu không
compact.
Chương II: Đặc trưng của miền lồi tuyến tính trong Cn bởi nhóm tự
đẳng cấu không compact.

Chương III: Giả thuyết Greene-Krantz.


Chương 1
Đặc trưng của miền trong Cn bởi
nhóm tự đẳng cấu không compact
1.1

Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Mệnh đề sau là một mở rộng của định lý Greene-Krantz.
∞
Mệnh đề 1.1.6. Giả sử {Ai }∞
i=1 và {Ωi }i=1 là hai dãy các miền trong

đa tạp phức M với lim Ai = A0 và lim Ωi = Ω0 trong đó A0 và Ω0 là
các miền trong M . Giả sử rằng {fi : Ai → Ωi } là một dãy các song
chỉnh hình. Giả sử thêm rằng dãy {fi : Ai → M } hội tụ đều trên các
tập con compact của A0 đến ánh xạ chỉnh hình F : A0 → M và dãy
{gi := fi−1 : Ωi → M } hội tụ đều trên các tập con compact của Ω0 đến
ánh xạ chỉnh hình G : Ω0 → M . Khi đó một trong hai khẳng định sau
là đúng.

7


8

(i) Dãy {fi } phân kỳ compact, hoặc
(ii) Tồn tại một dãy con {fij } ⊂ {fi } sao cho dãy {fij } hội tụ đều trên

các tập con compact của A0 đến song chỉnh hình F : A0 → Ω0 .
Mệnh đề 1.1.7. Giả sử Ω là một miền trong đa tạp phức M chiều n
và p∞ ∈ ∂Ω là một điểm biên. Giả sử rằng ∂Ω giả lồi và có kiểu hữu
hạn trong một lân cận nào đó của điểm biên p∞ .
(a) Giả sử D là một miền trong đa tạp phức Y chiều m. Khi đó dãy
bất kì {ϕp } ⊂ Hol(D, M ) hội tụ đều trên các tập con compact
của D đến p∞ nếu và chỉ nếu lim ϕp (a) = p∞ với a là một điểm
nào đó trong D.
(b) Hơn nữa, giả sử rằng tồn tại dãy {ϕp } ⊂ Aut(Ω) sao cho
lim ϕp (a) = p∞ với a ∈ Ω thì miền Ω là taut.
Bổ đề 1.1.8. Giả sử σ∞ là hàm điều hòa dưới lớp C 2 trên C sao cho
σ∞ (0) = 0 và

¯

C ∂∂σ∞

= +∞. Gọi {σk }k là một dãy các hàm điều

hòa dưới trên C hội tụ đều trên các tập con compact của C đến σ∞ .
Giả sử ω là một miền tùy ý trong một đa tạp phức chiều m (m ≥ 1)
và giả sử z0 là một điểm cố định trong ω. Kí hiệu {Mk } là dãy miền
trong Cn xác định bởi
Mk = {(z1 , z2 , · · · , zn ) ∈ Cn : Im z1 + σk (z2 ) + |z3 |2 + · · · + |zn |2 < 0}.
Khi đó, dãy bất kì {hk } ⊂ Hol(ω, Mk ) thỏa mãn {hk (z0 ), k ≥ 0}

M∞


9

đều chứa một dãy con nào đó hội tụ đều trên các tập con compact của
ω đến một phần tử của Hol(ω, M∞ ).

1.2

Ước lượng metric Kobayashi của miền trong
Cn

1.2.1

Hệ tọa độ đặc biệt và các đa đĩa

Trong mục này, chúng tôi sử dụng lập luận của D. Catlin trong để
nghiên cứu hệ tọa độ đặc biệt và các đa đĩa. Gọi Ω là một miền trong
Cn . Giả sử rằng biên ∂Ω nhẵn, giả lồi và có kiểu hữu hạn trong một
lân cận của điểm p∞ ∈ ∂Ω. Giả sử rằng hạng của dạng Levi ít nhất
bằng n − 2 tại p∞ . Chúng ta có thể giả sử rằng p∞ = 0 và hạng của
dạng Levi tại p∞ chính xác bằng n − 2. Gọi r là một hàm xác định
biên nhẵn của miền Ω. Chú ý rằng do ∂Ω giả lồi tại p∞ nên kiểu của
biên ∂Ω tại p∞ là một số nguyên chẵn 2m (m ≥ 1). Chúng ta có thể
∂r
giả sử rằng
(z) = 0 với tất cả z trong một lân cận U của p∞
∂zn
Mệnh đề 1.2.1 (S. Cho). Với mỗi z ∈ U và số nguyên dương chẵn
m, tồn tại song chỉnh hình Φz : Cn → Cn , z = Φ−1
z (ζ1 , · · · , ζn ) sao

10

cho
ajk (z )ζ1j ζ¯1k

r(Φ−1
z (ζ)) = r(z ) + Re ζn +
j+k≤2m
j,k>0
n−1

n−1
2

|ζα | +

+
α=2

bαjk (z )ζ1j ζ¯1k )ζα )

Re((
α=2

(1.1)

j+k≤m
j,k>0

+ O(|ζn ||ζ| + |ζ ∗ |2 |ζ| + |ζ ∗ |2 |ζ1 |m+1 + |ζ1 |2m+1 ),

trong đó ζ ∗ = (0, ζ2 , · · · , ζn−1 , 0).
Bây giờ ta sẽ định nghĩa đa đĩa quanh z . Trước hết, ta đặt
Al (z ) = max{|aj,k (z )|, j + k = l}, (2 ≤ l ≤ 2m),
Bl (z ) = max{|bαj,k (z )|, j + k = l , 2 ≤ α ≤ n − 1}, (2 ≤ l ≤ m).
(1.2)
Với mỗi số δ > 0, ta định nghĩa τ (z , δ) như sau
τ (z , δ) = min{ δ/Al (z )

1/l

1

, δ 2 /Bl (z )

1/l

, 2 ≤ l ≤ 2m, 2 ≤ l ≤ m}.
(1.3)

Đặt τ1 (z , δ) = τ (z , δ) = τ, τ2 (z , δ) = · · · = τn−1 (z , δ) = δ 1/2 ,
τn (z , δ) = δ. Bây giờ ta có thể định nghĩa đa đĩa R(z , δ) = {ζ ∈
Cn : |ζk | < τk (z , δ); k = 1, · · · , n} và giả đa đĩa Q(z , δ) = {Φ−1
z (ζ) :
ζ ∈ R(z , δ)}.


11

1.2.2

Co giãn các tọa độ

Thực hiện phép đổi tọa độ ta có thể tìm được các hàm tọa độ
z1 , · · · , zn xác định trên một lân cận nào đó U0 của p∞ sao cho
aj,k z1j z¯1k

ρ(z) = Re zn +
j+k≤2m
j,k>0
n−1

n−1

Re((bαj,k z1j z¯1k )zα )

2

|zα | +

+
α=2

α=2 j+k≤m
j,k>0

+ O(|zn ||z| + |z ∗ |2 |z| + |z ∗ |2 |z1 |m+1 + |z1 |2m+1 ),
trong đó z ∗ = (0, z2 , · · · , zn−1 , 0). Theo Mệnh đề 1.2.1, với mỗi điểm
η trong một lân cận của gốc toạ độ, tồn tại duy nhất tự đẳng cấu Φη
của Cn sao cho
aj,k (η)w1j w¯1k

ρ(Φ−1
η (w)) − ρ(η) = Re wn +
j+k≤2m
j,k>0
n−1

n−1

Re[(bαj,k (η)w1j w¯1k )wα ]

2

|wα | +

+
α=2

α=2 j+k≤m
j,k>0

+ O(|wn ||w| + |w∗ |2 |w| + |w∗ |2 |w1 |m+1 + |w1 |2m+1 ),
(1.4)
trong đó w∗ = (0, w2 , · · · , wn−1 , 0).
Bây giờ, chúng ta định nghĩa phép co giãn không đẳng hướng ∆η
bằng cách đặt
∆η (w1 , · · · , wn ) = (

wn
w1

,··· ,
),
τ1 (η, )
τn (η, )


12

trong đó τ1 (η, ) = τ (η, ), τk (η, ) =

√

(2 ≤ k ≤ n − 1) và

τn (η, ) = . Đối với mỗi η ∈ ∂Ω, ta đặt ρη (w) =

−1

−1
ρ◦Φ−1
η ◦(∆η ) (w).

Thế thì
n−1

ρη (w) = Re wn +

aj,k (η)

−1

j+k

τ (η, )

w1j w¯1k

|wα |2

+
α=2

j+k≤2m
j,k>0
n−1

Re(bαj,k (η)

+

−1/2

τ (η, )j+k w1j w¯1k wα ) + O(τ (η, )).

α=2 j+k≤m
j,k>0

(1.5)
Với mỗi η ∈ U0 , chúng tôi định nghĩa giả đa đĩa Q(η, ) bởi
−1

Q(η, ) := Φ−1
η (∆η ) (D × · · · × D)

=

Φ−1
η {|wk |

(1.6)

< τk (η, ), 1 ≤ k ≤ n},

trong đó Dr := {z ∈ C : |z| < r}. Cố định các lân cận W0 , V0 của gốc
tọa độ với W0 ⊂ V0 ⊂ U0 . Bây giờ ta định nghĩa giả metric
→
−
n
→
−
→
−
|(Φ η (η) X )k |
M (η, X ) :=
= ∆η ◦ Φ η (η) X 1
τk (η, (η))
k=1

→
−
trên U0 , trong đó chuẩn X

1

=

n
j=1 |Xj |

→
−
với X = (X1 , · · · , Xn ) ∈

Cn . Bổ đề sau đóng vai trò quan trọng trong kĩ thuật scaling.
Bổ đề 1.2.3. Tồn tại các hằng số K ≥ 1, 0 < α1 , A < 1 sao cho với
mỗi số nguyên N ≥ 1 và mỗi hàm chỉnh hình f : DN → U0 thỏa mãn
M (f (u), f (u)) ≤ A trên DN , ta có
f (0) ∈ W0 và K N −1 (f (0)) ≤ α1 ⇒ f (DN ) ⊂ Q[f (0), K N (f (0))].


13

Với bất kì dãy {ηp }p các điểm trong U0 ∩ {ρ < 0} =: U0− hội tụ
đến gốc tọa, ta kết hợp với dãy các điểm η p = (η1p , · · · , ηnp +
p

p ),

> 0 sao cho η p thuộc siêu mặt {ρ = 0}. Xét dãy các phép co giãn

∆ηpp . Thế thì ∆ηpp ◦ Φη p (ηp ) = (0, · · · , 0, −1). Bởi vì (1.5), ta thấy rằng

∆ηpp ◦ Φη p ({ρ = 0}) được cho bởi phương trình sau
n−1

n−1
2

Re(Qαη p (w1 , w¯1 )wα )+

|wα | +

Re wn + Pη p (w1 , w¯1 ) +
α=2

α=2

(1.7)

+ O(τ (η p , p )) = 0,
trong đó
Pη p (w1 , w¯1 ) :=

aj,k (η p )

−1
j+k j k
w1 w¯1 ,
p τ (η p , p )

j+k≤2m
j,k>0

Qαη p (w1 , w¯1 ) :=

bαj,k (η p )

−1/2
τ (η p , p )j+k w1j w¯1k .
p

j+k≤m
j,k>0

Sau khi trích ra dãy con nếu cần, ta có ∆ηpp ◦ Φη p (U0− ) hội tụ đến
miền sau
MP := {ˆ
ρ := Re wn + P (w1 , w¯1 ) + |w2 |2 + · · · + |wn−1 |2 < 0}, (1.8)
trong đó P (w1 , w¯1 ) là một đa thức bậc ≤ 2m không chứa các hạng tử
điều hòa.
Bổ đề 1.2.9. Miền MP là hyperbolic Brody.


14

1.2.3

Ước lượng metric Kobayashi

Định lý 1.2.11. Giả sử Ω là một miền trong Cn với biên ∂Ω nhẵn,
giả lồi, kiểu hữu hạn trong một lân cận nào đó của điểm p ∈ ∂Ω và
hạng của dạng Levi ít nhất bằng n − 2 tại p∞ . Khi đó, tồn tại một lân

cận V của p∞ sao cho:
→
−
M (η, X )

1.2.4

→
−
KΩ (η, X )

→
−
M (η, X ) với mọi η ∈ V ∩ Ω.

Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình

Trong mục này, chúng tôi chứng minh định lý sau.
Định lý 1.2.12. Giả sử Ω là một miền trong Cn với biên ∂Ω nhẵn,
giả lồi, kiểu hữu hạn trong lân cận của điểm biên (0, · · · , 0) ∈ ∂Ω và
hạng của dạng Levi ít nhất bằng n − 2 tại (0, · · · , 0). Giả sử ω là một
miền trong Ck và ϕp : ω → Ω là dãy các ánh xạ chỉnh hình sao cho
ηp := ϕp (a) hội tụ đến (0, · · · , 0) với điểm nào đó a ∈ ω. Gọi {Tp }p
là một dãy các tự đẳng cấu của Cn kết hợp với dãy (ηp )p theo phương
pháp co giãn tọa độ (nghĩa là: Tp = ∆ηpp ◦ Φη p ). Khi đó {Tp ◦ ϕp }p là
chuẩn tắc và giới hạn của nó là các ánh xạ chỉnh hình từ ω đến miền
dạng sau
MP = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +P (w1 , w¯1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0},
trong đó τ (∂Ω, 0) = 2m và P ∈ P2m .

15

1.3

Sự tồn tại mô hình thuần nhất của miền trong
Cn với nhóm tự đẳng cấu không compact

Trong mục này, chúng tôi chứng minh kết quả chính thứ nhất của
luận án.
Định lý 1.3.2. Giả sử Ω là một miền trong Cn và p∞ ∈ ∂Ω là một
điểm biên. Giả sử rằng
(a) ∂Ω là nhẵn, giả lồi trong một lân cận nào đó của điểm p∞ ∈ ∂Ω
và có kiểu 2m tại p∞ ,
(b) Hạng của dạng Levi ít nhất bằng n − 2 tại p∞ ,
(c) Tồn tại dãy {ϕp } thuộc Aut(Ω) sao cho lim ϕp (a) = p∞ với điểm
nào đó a ∈ Ω,
Khi đó, Ω song chỉnh hình với miền có dạng sau
MH = {(w1 , · · · , wn ) ∈ Cn : Re wn +H(w1 , w¯1 )+|w2 |2 +· · ·+|wn−1 |2 < 0},
trong đó H là đa thức thuần nhất, bậc 2m và điều hòa dưới trên C.


Chương 2
Đặc trưng của miền lồi tuyến tính
trong Cn bởi nhóm tự đẳng cấu
không compact
2.1

Hệ toạ độ và đa đĩa của M. Conrad

Hệ toạ độ trong Cn được ký hiệu bởi z = (z1 , z ), trong đó z1 ∈ C
và z ∈ Cn−1 . Giả sử Ω là một miền trong Cn với biên ∂Ω nhẵn, lồi
tuyến tính và có kiểu hữu hạn trong một lân cận nào đó của điểm
p∞ . Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng p∞ = 0
và kiểu của ∂Ω tại gốc tọa độ bằng 2m. Khi đó, tồn tại một lân cận
U của p∞ = 0 trong Cn sao cho Ω ∩ U là miền lồi tuyến tính và được
xác định bởi một hàm nhẵn
r(z1 , z ) = Re z1 + h(Im z1 , z ),
16


17

trong đó h là một hàm nhẵn. Chúng ta có thể giả sử rằng tồn tại một
số thực dương
với mọi −
Với mỗi

0

0

> 0 sao cho các tập mức {r(z) = } là lồi tuyến tính

< <

0.

∈ (0, 0 /2), q ∈ Ω ∩ U thoả mãn |r(q)| <

0 /2

và mỗi

véctơ đơn vị v ∈ Sn−1 := {v ∈ Cn : |v| = 1}, ta đặt
τ (q, v, ) := sup{ρ > 0 : r(q+λv)−r(q) < với λ ∈ C thoả mãn |λ| < ρ}.
Dễ dàng thấy rằng τ (q, v, ) là khoảng cách từ q đến Sq, := {r(z) =
r(q) + } dọc theo đường thẳng phức {q + λv : λ ∈ C}. Đối với mỗi
điểm q ∈ Ω ∩ U và bất kỳ hằng số dương đủ nhỏ

ta kết hợp với

(1) Một hệ toạ độ chỉnh hình (z1 , z2 , · · · , zn ) tâm tại q và bảo toàn
tính trực giao,
(2) Các điểm p1 , p2 , · · · , pn trên siêu mặt Sq, và
(3) Các số thực dương τ1 (q, ), τ2 (q, ), · · · , τn (q, ).
Các -đa đĩa và các đồng dạng của nó theo hệ số c > 0 được định
nghĩa bởi
cP (q) = {z ∈ Cn : |zk − qk | < cτk (q, ) , 1 ≤ k ≤ n}.


18

2.2

Scaling miền Ω ∩ U

Trong mục này, chúng tôi sử dụng phương pháp của H. Gaussier để
khẳng định rằng dãy miền scaling hội tụ. Giả sử rằng p∞ là điểm tụ
quỹ đạo của miền Ω trong Cn . Khi đó, tồn tại dãy các tự đẳng cấu

{hν }ν≥0 của miền Ω và tồn tại điểm q trong Ω sao cho
lim hν (q) = p∞ .

ν→∞

Để thuận tiện chúng ta sử dụng các ký hiệu như sau.
q ν = hν (q),
ν

Tương ứng với q ν và

ν,

= −r(q ν ).

ta có hệ toạ độ mới (z1ν , · · · , znν ), các số thực

dương τν,1 , · · · , τν,n và các điểm pν1 , · · · , pνn . Phép đổi toạ độ từ hệ toạ
độ chính tắc sang hệ mới (z1ν , · · · , znν ) là hợp thành của một phép tịnh
tiến Tν và một phép biến đổi Unita Aν . Hơn nữa, (Aν ◦ Tν )−1 xác định
trong một lân cận cố định của gốc toạ độ. Hàm xác định biên tương
ứng rν được xác định bởi
rν := r ◦ (Aν ◦ Tν )−1 .
Trong một lân cận cố định của z = 0 ta có thể viết
n

rν (z) = −

ν

α

aνj zj ) +

+ Re(
j=1

β

ν
Cαβ
z z + O(|z|2m+1 ),
2≤|α|+|β|≤2m


19

trong đó α = (α2 , · · · , αn ), |α| = α2 + · · · + αn và z α = z2α2 . · · · .znαn .
Ở đây, đại lượng O(|z|2m+1 ) xác định độc lập với ν.
Gọi r ◦ A là giới hạn của rν trên một lân cận compact cố định của
p∞ khi ν dần đến vô hạn, trong đó A là phép biến đổi Unita. Khi đó,
với mọi j ≤ n và với mọi đa chỉ số α và β thoã mãn 2 ≤ |α| + |β| ≤ 2m
thì tồn tại các số aj và Cαβ sao cho
ν
lim aνj = aj và lim Cαβ
= Cαβ .

ν→∞

ν→∞

Bây giờ ta xét các phép co giãn toạ độ
Λν (z) := (τν,1 z1 , · · · , τν,n zn )
và hàm số
r˜ν =

1

rν ◦ Λν .

ν

Khi đó, hàm số r˜ν có dạng sau
r˜ν (z) = −1 +

1
ν

n

aνj τν,j zj +

Re
j=1

1
ν

α

ν α+β
Cαβ
τν z z

β

2≤|α|+|β|≤2m

+ O(( ν )1/2m |z|2m+1 ),
α2 +β2
αn +βn
trong đó τνα+β = τν,2
. · · · .τν,n
.

Mệnh đề 2.2.1. Các hàm r˜ν là nhẵn và đa điều hoà dưới. Hơn nữa,
tồn tại một dãy con của dãy {˜
rν }ν hội tụ đều trên các tập con compact
của Cn đến một hàm đa điều hoà dưới nhẵn r˜ có dạng
r˜(z) = −1 + Re

bj zj + P (z ),
j≥1


20

trong đó P là đa thức đa điều hoà dưới bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2m.
Gọi Ων là ảnh của miền Ω ∩ U qua phép đổi biến Λ−1
ν ◦ Aν ◦ Tν . Mệnh

˜ = {˜
đề 2.2.1 suy ra rằng dãy miền {Ων } hội tụ đến miền D
r(z) < 0}
theo nghĩa hội tụ chuẩn tắc theo nghĩa Carathéodory.

2.3

Tính chuẩn tắc của họ ánh xạ scaling

Xét dãy ánh xạ fν từ hν−1 (Ω ∩ U ) đến Ων được cho bởi
fν = Λ−1
ν ◦ Aν ◦ Tν ◦ hν .
Nhắc lại rằng limν→∞ h−1
ν (Ω ∩ U ) = Ω và trong mục trước ta đã chỉ
˜
ra rằng limν→∞ Ων = D.
Bổ đề 2.3.1. Họ ánh xạ {fν }ν là chuẩn tắc.
Định lý sau đặc trưng cho miền lồi tuyến tính trong Cn . Đây là kết
quả chính thứ hai của luận án.
Định lý 2.3.2. Giả sử Ω là một miền trong Cn và p∞ ∈ ∂Ω là một
điểm biên tụ quỹ đạo của Ω. Khi đó, nếu ∂Ω nhẵn, lồi tuyến tính địa
phương trong một lân cận của p∞ và có kiểu hữu hạn 2m tại điểm p∞
thì Ω song chỉnh hình với miền sau
D = {z ∈ Cn : Re z1 + P (z ) < 0},
trong đó P là một đa thức thực đa điều hoà dưới không suy biến bậc
nhỏ hơn hoặc bằng 2m.


Chương 3
Giả thuyết Greene-Krantz

3.1

Một số kết quả xung quanh giả thuyết GreeneKrantz

Năm 1993, R. Greene và S. G. Krantz đưa ra giả thuyết sau.
Giả thuyết Greene-Krantz. Nếu nhóm tự đẳng cấu Aut(Ω) của
miền bị chặn, nhẵn và giả lồi Ω

Cn không compact thì điểm tụ quỹ

đạo bất kì đều có kiểu hữu hạn.
Mục đích của chương này là trình bày chứng minh định lý sau.
Định lý 3.1.1. Giả sử Ω ⊂ C2 là một miền bị chặn giả lồi trong C2
và 0 ∈ ∂Ω. Giả sử rằng
(1) ∂Ω là nhẵn và thỏa mãn điều kiện Bell (R),

21


22

(2) Tồn tại lân cận U của điểm 0 ∈ ∂Ω sao cho
Ω ∩ U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : ρ = Re z1 + P (z2 ) + Q(z2 , Im z1 ) < 0},
trong đó P và Q thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) P là nhẵn, điều hòa dưới, dương thực sự tại tất cả các điểm
trong lân cận nào đó của gốc tọa độ trừ gốc tọa độ và hàm này
P (z2 )
triệt tiêu mọi cấp tại (0, 0), tức là: lim
= 0, ∀N ≥ 0,
z2 →0 |z2 |N

(ii) Q(z2 , Im z1 ) là hàm nhẵn và có thể viết dưới dạng Q(z2 , Im z1 ) =
|z2 |4 | Im z1 |2 R(z2 , Im z1 ) với hàm nhẵn R(z2 , Im z1 ) nào đó.
Khi đó, (0, 0) không phải là điểm tụ quỹ đạo parabolic.

3.2

Sự tồn tại điểm tụ quỹ đạo parabolic

Giả Ω là một miền thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.1.1. Gọi
F = (f, g) ∈ Aut(Ω) là tự đẳng cấu sao cho F (0, 0) = (0, 0). Do điều
kiện Bell (R) của ∂Ω, ánh xạ F có thể thác triển thành hàm nhẵn xác
định cho đến tận biên của miền Ω. Gọi U là một lân cận của (0, 0).
Khi đó, tồn tại một lân cận V của (0, 0) sao cho
F (Ω ∩ V ) ⊂ Ω ∩ U.

(3.1)

Bổ đề 3.2.4. Giả sử F = (f, g) ∈ Aut(Ω). Gọi U, V là hai lân cận
của (0, 0) sao cho (3.1) đúng. Khi đó, với mọi (z1 , z2 ) ∈ V , ta có