SKKN: Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (556.98 KB, 30 trang )
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
PHẦN I. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Lí do lí luận
Albert Einstein đã nói: “Toán học thuần túy, theo cách riêng của nó, là thi ca
của tư duy logic”. Do vậy, có rất nhiều những thắc mắc xoay quanh việc học nhiều
toán liệu có phi thực tế trong khi đời sống không cần suy nghĩ quá nhiều đến những
con số? Tuy nhiên, thực tế chứng minh rằng, mọi kiến thức liên quan đến toán học,
đều có tác dụng chung là làm cho bộ não của con người tư duy logic hơn, khoa học
hơn và sáng tạo hơn, nó giúp cho người học có khả năng suy nghĩ trừu tượng và
trong một chừng mực nhất định nào đó nó làm cho chúng ta mạnh mẽ hơn trong mọi
quyết định.
Chính vì điều này, bản thân tôi là một giáo viên vốn luôn tâm đắc trong việc
định hướng các em học tốt môn Toán, luôn tìm tòi đổi mới để giúp các em ngày
càng hoàn thiện hơn các kiến thức toán học. Mặc dù chương trình sách giáo khoa
hiện hành đã được chọn lọc những kiến thức rất cơ bản, phù hợp cho mọi đối
tượng. Tuy nhiên, không phải bất cứ dạng toán nào các em cũng có thể nắm bắt
được, trong số đó có dạng toán phương trình vô tỉ, một dạng toán phổ biến trong
các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, đề thi vào lớp 10 và thi giải toán trên máy
tính cầm tay Casio.
2. Lí do thực tiễn
Để làm tốt việc bồi dưỡng học sinh học Toán, tôi nhận thấy chỉ cung cấp cho
các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập
khó mà giáo viên phân loại cấp độ từ dễ đến khó là chưa đủ, mà chúng ta phải biết
phân chia theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng
dạng, đồng thời rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của
một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối 9, tôi nhận
thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp dạng phương trình vô tỉ và thường có
những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về phương pháp
giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa đủ điều kiện, chưa xét hết
các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững các kiến thức về phương
trình có chứa biến dưới dấu căn hay gọi là phương trình vô tỉ. Nên khi gặp bài toán
giải phương trình vô tỉ, đa số học sinh chưa phân biệt và chưa nắm được các
phương pháp giải đối với từng dạng bài tập, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải
biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức và kĩ năng phân tích biến đổi để đưa
phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.
Do đó người giáo viên cần phải biết sắp xếp các dạng toán từ dễ đến khó,
phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để
các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu
sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành
thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Trang 1
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Với những lý do trên, tôi chọn đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình
vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” với mong muốn
được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác giảng dạy cũng như bồi
dưỡng học sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý
chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả, hoàn thiện hơn.
II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài: “Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi
lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của
từng dạng bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học
sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu
quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong
học tập, phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy
giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng
tạo khi giải toán và niềm đam mê, yêu thích bộ môn. Thông qua đề tài này nhằm
cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm
cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô
gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải
được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính
sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng Toán, giúp học sinh có
những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn Toán và qua đó h ỗ trợ học sinh
học tốt các môn học khác.
PHẦN II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận của vấn đề
Dạng toán phương trình vô tỉ là dạng toán rất quan trọng trong chương đại
số 9, đây là những bài toán khó, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, thi
vào lớp 10... Các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học
sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập
luận và phát huy tối đa khả năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất
lượng dạy và học Toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp
giải cho từng kiểu loại bài tập. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần
xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán,
lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực,
độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời
khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn.
II. Thực trạng vấn đề:
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia giảng dạy c ũng như bồi
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và đã trải
nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Một
số giải pháp giải phương trình vô tỉ” và tôi cũng đạt được các thành tích trong công
tác giảng dạy cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các
bài toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập và kết quả được thống kê lại như
sau:
Trang 2
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Năm
học
Lớp
Tổng Số lượng học Số lượng học sinh
số
sinh làm được làm chưa chặt chẽ
Số lượng học
sinh không làm
được
SL
Tỷ lệ
SL
Tỷ lệ
SL
Tỷ lệ
2015
9A1
30
5
16%
11
37%
14
47%
2016
9A2
31
4
12%
13
42%
15
46%
Qua bảng thống kê trên tôi suy nghĩ tìm cách để học sinh nắm vững và giải
thành thạo các bài toán về phương trình vô tỉ thì giáo viên nên phân loại theo dạng
bài tập từ dễ đến khó, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi
dạng cần có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng.
Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp về
giải phương trình vô tỉ giành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh” .
Sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận
thấy học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập và khi gặp dạng toán phương
trình vô tỉ thì học sinh không chán nản mà đam mê phân tích nhận dạng tìm cách
giải bài toán, từ đó ngày càng rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa
học, lập luận logic và chặt chẽ.
III. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
vững.
Giải pháp 1: Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần nắm
Giải pháp 2: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập sử dụng cách
giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa
Giải pháp 3: Hướng dẫn cho học sinh hiểu các dạng bài tập giải phương
trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Vận dụng các giải pháp trên, tôi tiến hành cụ thể các bước như sau:
1. Giải pháp 1. Phân tích cho học sinh hiểu về các kiến thức cơ bản cần
nắm vững.
Các kiến thức cơ bản tổng hợp thành bảng sau, yêu cầu học sinh cần nắm
vững, cụ thể:
A (A 0)
A
A B
=
(B > 0)
B
B
A2 = A
AB = A B(A 0; B 0)
A
A
=
(A ; B > 0)
B
B
A 2 B = A B = (B 0)
(
)
(
Am B
C A mB
C
=
(A
A − B2
A B
C
A
B
=
C
A−B
) (A
0; A
B2 )
0;B 0;A B)
Trang 3
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
A B = A 2 B(A
3
0; B 0)
A (∀A R)
( A)
A B = − A 2 B(A < 0; B 0)
3
A
AB
=
(AB 0; B 0)
B
B
3
=A
3
AB = 3 A. 3 B
3
A 3A
=
(B 0)
B 3B
Các kiến thức về giá trị tuyệt đối, hằng đẳng thức, phân tích đa thức thành
nhân tử, chia đa thức cho đa thức, giải phương trình, bất trương bậc nhất một ẩn,
bất đẳng thức Cauchy...
Bên canh nh
̣
ưng yêu câu trên, hoc sinh c
̃
̀
̣
ần nhân biêt đ
̣
́ ược những dang c
̣
ơ ban
̉
cua ph
̉
ương trinh vô t
̀
ỉ, đông th
̀
ơi n
̀ ắm vững phương phap giai cu thê cho t
́
̉
̣
̉
ưng dang
̀
̣
bai t
̀ ập, cụ thể như sau:
thừa
2. Giải pháp 2. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp nâng lên lũy
2.1. Dạng 1: Phương trình vô tỉ có dạng: f (x) = m (1)
Trong đó f(x) là biểu thức chứa x và m R .
a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu
thức không âm. Nếu m < 0 thì đẳng thức không xảy ra nên phương trình vô nghiệm.
Nếu m 0 thì phương trình tồn tại vậy khi m 0 thì phương trình không cần tìm
điều kiện khi đó ta tìm cách bỏ dấu căn bậc hai rồi giải phương trình vừa tìm được.
Vậy phương trình (1) mà m < 0 kết luận phương trình vô nghiệm ta không giải, m
0 bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được.
b) Phương phap giai
́
̉
(1)
f (x) = m 2
Tiếp tục giải phương trình f(x) = m2 suy ra x rồi kết luận nghiệm của
phương trình.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: x − 5 = 3
Phân tích: Phương trình đã cho có tồn tại không? Vì sao? (Phương trình đã
cho có tồn tại vì vế trái x − 5 0 và vế phải 3 > 0). Vậy đối với dạng này không
cần tìm điều kiện.
Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc hai
bằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)
Giải
Ta có: x − 5 = 3
(
x −5
)
2
= 32
x −5 = 9
x = 9+5
x = 14
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 14
Trang 4
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Ví dụ 2. Giải phương trình:
( x − 3)
2
= 9
Phân tích: Phương trình đã cho phải là phương trình dạng 1 chưa? Nêu cách
giải.
Giải
Ta có:
2
x 2 − 6x + 9 = 81
(x
2
(
( x − 3) = 9
( x − 3)
2
)
2
= 92
x 2 − 6x 72 = 0
− 12x ) + ( 6x − 72 ) = 0
(x − 12)(x + 6) = 0
( x − 3)
2
= 81
x 2 − 12x + 6x − 72 = 0
x(x − 12) + 6(x − 12) = 0
x − 12 = 0
x+6 =0
x = 12
x = −6
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = { −6;12}
Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn
bậc hai theo kiến thức A 2 = A rồi giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đa
học)
Cách 2. Ta có:
( x − 3)
2
=9
x −3= 9
x − 3 = −9
x −3 = 9
x = 12
x = −6
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = { −6;12}
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì
phương trình dạng f (x) = m giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp
cho từng bài toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách
2 thì biểu thức dưới dấu căn viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức
nếu không thì giải theo cách 1)
Ví dụ 3: Giải phương trình 4x 2 − 4x + 1 − 6 = 0
Phân tích: Phương trình đã cho có thể đưa về dạng của phương trình ví dụ 2 trang
5 được không? (Học sinh nêu cách biến đổi phương trình đã cho về dạng
( 2x − 1)
2
= 6)
Giải
Ta có: 4x 2 − 4x + 1 − 6 = 0
2x − 1 = 6
2x − 1 = −6
2x = 7
2x = −5
( 2x − 1)
2
=6
2x − 1 = 6
7
2
−5
x=
2
x=
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S =
−5 7 
; �
2 2
Trang 5
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Ví dụ 4: 3 x 2 + 4x + 4 − 11 = 10
Phân tích: Đặt câu hỏi gợi mở như ví dụ 3 (Học sinh biến đổi phương trình đã cho
về dạng
( x + 2)
2
=7)
Giải
Ta có: 3 x 2 + 4x + 4 − 11 = 10
x+2=7
x + 2 = −7
x+2 =7
3
( x + 2)
2
= 21
( x + 2)
2
=7
x =5
x = −9
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {9; 5}
d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì tất cả các bài dạng này học sinh đều
giải được, đây là dạng cơ bản để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo
e) Các bài tập tương tự:
Câu 1. 2x − 5 = 7
Câu 2.
( x − 5)
2
Câu 3. 9x 2 − 12x + 4 = 4
Câu 4. 25 − 3 x 2 − 12x + 36 = 19
=4
2.2. Dạng 2. Phương trình vô tỉ có dạng: f (x) = g(x) (2)
Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x.
a) Phân tích: Ở dạng này yêu cầu học sinh nhận thấy vế trái là một biểu
thức không âm. Nếu g(x) < 0 thì đẳng thức không xảy ra nên phương trình (2) vô
nghiệm. Nếu g(x) 0 phương trình tồn tại. Vậy g(x) 0 là điều kiện cần và đủ
của phương trình, không cần tìm điều kiện để f(x) 0 khi đó ta tìm cách bỏ dấu
căn bậc hai rồi giải phương trình.
b) Phương phap giai
́
̉
f (x) = g(x)
g(x) 0
f (x) = g(x) 2
Tiếp tục giải bất phương trình g(x) 0 suy ra điều kiện của x và giải
phương trình f(x) = g(x)2 suy ra x xong đối chiếu điều kiện của x ở trên rồi kết luận
nghiệm của phương trình.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
( x − 3)
2
= 3− x
Phân tích: Phương trình đã cho tồn tại khi nào? ( 3 − x
x 3)
Để giải phương trình đã cho ta làm như thế nào? (Làm mất dấu căn bậc hai
bằng cách bình phương hai vế rồi giải phương trình vừa tìm được)
Giải
Trang 6
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Điều kiện: 3 x 0
Ta có:
( x − 3)
2
x 3
(
= 3− x
( x − 3)
x −3 = 3− x
x − 3 = −(3 − x) = x − 3
2
)
2
= ( 3− x)
2x = 6
0x = 0
2
( x − 3)
2
= ( 3− x)
2
x =3
∀x R
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {x R/x 3}
Giáo viên? Ngoài cách giải trên còn cách giải nào khác không? (Bỏ dấu căn
theo kiến thức A 2 = A )
Cách 2. Điều kiện: 3 x 0
Ta có:
( x − 3)
2
x 3
x −3 = 3− x
x − 3 = −(3 − x)
x −3 = 3− x
= 3− x
2x = 6
0x = 0
x =3
∀x R
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình: S = {x R/x 3}
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào thì
giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài toán. (Cách 2 giải
đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu thức dưới dấu căn
viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không thì giải theo cách
1)
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 4x 2 − 20x + 25 = 3 − 3x
Phân tích: Phân tích cách giải như ví dụ 1.
Giải
Điều kiện: 3 3x 0
3x 3
Ta có: 4x 2 − 20x + 25 = 3 − 3x
2x − 5 = 3 − 3x
5x = 8
−x = 2
2x − 5 = − ( 3 − 3x )
x 1
( 2x − 5)
2
2x − 5 = 3 − 3x
= 3 − 3x
8
5
x = −2
x=
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {2}
Ví dụ 3. Giải phương trình: x 2 − 6x + 29 = 2x + 8
Phân tích: Phương trình đã cho có đưa về phương trình giá trị tuyệt đối
không? Vì sao (Phương trình đã cho không đưa về phương trình giá trị tuyệt đối
được vì biểu thức dưới dấu căn không đưa về dạng bình phương của một biểu
thức). Nên giải theo cách bình phương hai vế.
Giải
Điều kiện: 2x + 8 0
Ta có: x 2 − 6x + 29 = 2x + 8
2x 8
(
x 4
x 2 − 6x + 29
)
2
= ( 2x + 8 )
2
Trang 7
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
x 2 − 6x + 29 = 4x 2 + 32x + 64
( 3x
2
+3x ) + ( 35x + 35 ) = 0
3x 2 +38x + 35 = 0
3x 2 +3x + 35x + 35 = 0
3x ( x + 1) + 35 ( x + 1) = 0
( x + 1) ( 3x + 35 ) = 0
x = −1
35
x=−
3
x +1 = 0
3x + 35 = 0
Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x = −1
Ví dụ 4. Giải phương trình sau: 10x 2 − 20x + 10 + x + 1 = 5x 3
Phân tích: Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 không?
(Phương trình đã cho biến đổi đưa về dạng ví dụ 3 bằng cách chuyển x + 1 sang vế
phải thu gọn xong tìm điều kiện. Nên cách giải như sau:
Giải
Ta có: 10x 2 − 20x + 10 + x + 1 = 5x 3
Điều kiện: 4x 4 0
(*)
(
4x 4
10x 2 − 20x + 10
6x 2 − 12x + 6 = 0
6 ( x − 1) = 0
)
2
x 1
= ( 4x 4 )
2
10x 2 − 20x + 10 = 16x 2 − 32x + 16
6 ( x 2 − 2x + 1) = 0
( x − 1)
2
10x 2 − 20x + 10 = 4x 4 (*)
2
=0
x −1 = 0
x =1
Kết luận: So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 1
d) Nhận xét: Khi học xong dạng này thì đa số học sinh đều làm được các bài
dạng này, đây là dạng cơ bản thứ 2 để học sinh làm nền cho các dạng tiếp theo
e) Các bài tập tương tự
Câu 1.
( 2x − 5)
2
= 2−x
Câu 2. x 2 − 8x + 16 = 2x +7
Câu 3. 2x 2 − 8x + 7 = 2x 3
Câu 4. 3x 2 + 5x +1 + 2x − 4 = 3x 2
2.3. Dạng 3. Phương trình vô tỉ dạng: f (x) = g(x) (3)
Trong đó f(x), g(x) là biểu thức chứa x.
a) Phân tích: Cả hai về của phương trình đều chưa căn bậc hai vậy để mất
căn bậc thì ta bình phương hai vế.
b) Cách giải: Phương trình dạng 3 như sau
Trang 8
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
(3)
f (x) 0
g(x) 0
f (x) = g(x)
Giải 2 bất phương trình f(x) 0 và g(x) 0 suy ra điều kiện chung của bai toán
Giải phương trình f(x) = g(x) suy ra x đối chiếu điều kiện và kết luận.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 2x − 1 = x − 1
Giải
Điều kiện: * 2x 1 0
* x 1
2x 1
x
1
2
x 1
Vậy điều kiện: x 1
Ta có: 2x − 1 = x − 1
(
2x − 1
) =(
2
x −1
)
2
2x − 1 = x − 1
x=0
Kết luận: So sánh với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là S =
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: x 2 x − 6 = x − 3
Giải
Điều kiện: * x 2 − x − 6 0
x ( x − 3) + 2 ( x − 3)
0
x −3 0
x+2 0
x 3
x −2
x −3 0
x+2 0
x 3
x −2
* x − 3 0
x 2 − 3x + 2x − 6 0
( x − 3) ( x + 2 )
(x
2
− 3x ) + ( 2x − 6 )
0
0
x 3
x −2
x 3
Vậy điều kiện bài toán là x 3
Ta có: x 2 x − 6 = x − 3
x 2 − 2x − 3 = 0
(
x 2 x − 6
x 2 − 3x + x − 3 = 0
x ( x − 3) + ( x − 3) = 0
) =(
2
(x
( x + 1) ( x − 3) = 0
2
x −3
)
2
x2 − x − 6 = x − 3
− 3x ) + ( x − 3) = 0
x +1 = 0
x −3= 0
x = −1
x =3
Kết luận: So sánh với điều kiên bài toán, nghiệm của phương trình x = 3
Trang 9
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: x 2 − 4x + 4 = 4x 2 − 12x + 9
Giải
Điều kiện: * x 2 − 4x + 4 = ( x − 2 )
2
* 4x 2 −12x + 9 = ( 2x − 3)
0(∀x
2
R)
0(∀x
R)
Vậy điều kiện bài toán ∀x R
Cách 1: Giải như ví dụ 2
Giáo viên? ví dụ trên ngoài cách giải đó còn có cánh giải nào khác không?
Cách 2
( x − 2)
Ta có: x 2 − 4x + 4 = 4x 2 − 12x + 9
x − 2 = 2x − 3
x − 2 = 2x − 3
x − 2 = − ( 2x − 3)
2
=
− x = −1
3x = 5
( 2x3)
2
x =1
5
x=
3
5
3
Kết luận: So với điều kiện, tập nghiệm của phương trình là: S = {1; }
d) Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét về hai cách giải trên? Khi nào
thì phương trình giải được theo cách 2? Từ đó chọn cách giải phù hợp cho từng bài
toán. (Cách 2 giải đơn giản hơn cách 1, để bài toán giải được theo cách 2 thì biểu
thức dưới dấu căn viếc được dưới dạng bình phương của một biểu thức nếu không
thì giải theo cách 1)
e) Các bài tập tương tự.
Câu 1. 5 x 2 + 6 x − 7 = x + 3
Câu 3. 2 x 2 + 3 x − 4 = 7 x + 2
Câu 2. −3 x + 2 = 2 x + 1
Câu 4. 2 x + 5 = x − 2
Câu 5. 7 − x 2 + x x + 5 = 3 − 2x − x 2
2.4. Dạng 4. Phương trình vô tỉ dạng: f (x) + g(x) = h(x)
Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa cùng biến x.
a) Cách giải
Ta có: f (x) + g(x) = h(x)
f (x) 0
g(x) 0
(
f (x) + g(x)
f (x) 0
g(x) 0
) =(
2
h(x)
)
2
f (x) + g(x) + 2 f (x)g(x) = h(x)
Trang 10
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
f (x) 0
g(x) 0
f (x) 0
g(x) 0
2 f (x)g(x) = h(x) − f (x) − g(x)
f (x)g(x) =
h(x) − f (x) − g(x)
∗
2
Giải phương trình * như dạng 2 phần 2.2 ( chú ý điều kiện bổ sung cho phương
trình * là h(x) f(x) g(x) ) 0). Khi suy ra nghiệm của * ta đối chiếu điều kiện ban
đâu và điều kiện bổ sung rồi kết luận. Nên cách giải như sau.
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: x + 4 − 1 − x = 1 − 2x
Phân tích: Ta thấy vế phải là số không âm, vế trái chưa xác định được
dương hay âm. Khi giải bình phương để mất căn thì được phương trình mới không
tương đương với phương trình đã cho nên phương trình mới sẽ có nghiệm ngoại
lai. Vì vậy thường sai lầm khi kết luận lấy cả nghiệm ngoại lai, Vậy giáo viên nên
hướng dẫn cho học sinh cách khắc phục sai sót này theo hai cách sau.
Cách 1. Khi giải xong thay nghiệm vào thử lại nghiệm nào không thõa mãn
thì loại, nghiệm nào thỏa mãn thì nhận. Như vậy cách này mất thời gian nhiều.
Cách 2. Biến đổi chuyển vế để cả hai vế đều cùng dương.
x + 4 − 1 − x = 1 − 2x
x + 4 = 1 − 2x + 1 − x . Nên ta có cách giải như sau.
Giải
Điều kiện:
∗1 − 2x
∗1 − x
1
2
x
0
0
x 1
Vậy điều kiện xác định x
1
2
Ta có: x + 4 − 1 − x = 1 − 2x
(
x+4
) =(
2
1 − 2x + 1 − x
dạng 2 là: 2x + 1 0
2
=
(
x
x + 4 = 1 − 2x + 1 − x + 2 ( 1 − 2x ) ( 1 − x )
−1
)
2
( 1 − 2x ) ( 1 − x ) )
4x +4x + 1 = 2x − 3x + 1
2
2
( 1 − 2x ) ( 1 − x ) (Điều kiện bổ sung của phương trình cơ bản phần 2.2
2x+1 =
( 2x+1)
)
x + 4 = 1 − 2x + 1 − x
2
2
( 2x+1)
2
2x + 7x = 0
2
= ( 1 − 2x ) ( 1 − x )
x(2x + 7) = 0
x=0
−7
x=
2
Kết luận: So sánh với điều kiện, nghiệm của phương trình là x = 0.
Trang 11
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
c) Các bài tập tương tự
Câu 1. 3x + 1 − 2 − x = 3
Câu 3. x + 1 − x − 7 + 12 − x
Câu 2. 3x + 4 − 2x + 1 = x + 3
Câu 4. x − 1 − 5x − 1 + 3x − 2
2.5. Dạng 5. Phương trình vô tỉ dạng: A + B = C + D (1)
a) Phân tích: Nếu phương trình (1) có A + B = C + D khi đó cả hai vế đều
không âm, cách giải ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện tổng A + B và vế
phải xuất hiện C + D mà A + B = C + D khử được khi đó phương trình mới về
dạng cơ bản phần 2.3 dạng 3 và cách giải theo dạng này.
Nếu phương trình (1) có A + C = B + D khi đó ta chuyển vế phương trình (1)
về dạng A − C = B − D sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ
quả vì cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới củng
có dạng 3 phần 2.3. Chú ý khi giải phương trình mới này cần thử lại nghiệm để
loại nghiệm ngoại lai.
Nếu phương trình (1) có AB = CD khi đó cả hai vế đều không âm, cách giải
ta bình phương hai vế thì vế trái xuất hiện AB vế trái và CD vế phải mà AB =
CD khử được khi đó phương trình không còn căn bậc hai và giải được.
Nếu phương trình (1) có AC = BD khi đó ta chuyển vế phương trình (1) về
dạng A − C = B − D sau đó bình phương hai vế thì được phương trình hệ quả
vì cả hai vế chưa xác định đượng dương hay âm khi đó phương trình mới khử được
AC và BD và phương trình mới không còn căn. Chú ý khi giải phương trình mới
này cần thử lại nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.
b) Cách giải
Bước 1. Điều kiện
Bước2. Giải
Ta có: A + B = C + D (nếu A + B = C + D)
A + B + 2 AB = C + D + 2 CD
AB = CD
AB = CD
x = ...
So sánh điều kiện và kết luận.
Chú ý: Các trường hợp còn lại giải tương tự.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2
Giải
Điều kiện: * x + 3 0
* 3x + 1 0
x 3
x
−1
3
* x 0
Trang 12
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
* 2x + 2 0
x 2
Vậy điều kiện: x 0
Ta có: x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2x + 2
x + 3 + 3x + 1 = 4x + 2x + 2 Ta thấy: (x + 3) + 4x = (3x + 1) + (2x + 2)
x + 3 − 4x = 2x + 2 − 3x + 1
x + 3 + 4x − 2 (x + 3)4x = 2x + 2 + 3x + 1 − 2 (2x + 2)(3x + 1) (phương trình hệ quả)
(x + 3)4x = (2x + 2)(3x + 1) (Giải tương tự như dạng 3 phần 2.3)
4x(x + 3) = (2x + 2)(3x + 1)
4x 2 + 12x = 6x 2 + 2x + 6x + 2
2 ( x − 1) = 0
2
2x 2 − 4x + 2 = 0
x −1 = 0
x =1
Vì cách biến đổi trên ta được phương trình hệ quả nên cần kiểm tra nghiệm ngoại
lai bằng cách thay x = 1 vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn
Kết luận: Nghiệm của phương trình là x = 1
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
x3 + 1
+ x +1 = x2 − x +1 + x + 3
x +3
Giải
Điều kiện: x 1
Ta có:
x3 + 1
x3 + 1
+ x + 1 = x 2 − x + 1 + x + 3 (Ta thấy
x + 3 = x + 1 x 2 − x + 1 )
x +3
x +3
x3 + 1
− x +3
x +3
2
=
(
x2 − x +1 − x +1
)
2
x3 + 1
x3 + 1
+ x +3− 2
x + 3 = x 2 + 2 − 2 x 2 − x + 1 x + 1 (phương trình hệ quả)
x +3
x +3
x3 + 1
+ x + 3 = x2 + 2
x +3
x 3 + 1 + ( x + 3) = ( x 2 + 2 ) ( x + 3)
2
2x 2 − 4x − 4 = 0
x 3 + 1 + x 2 + 6x + 9 = x 3 + 3x 2 + 2x + 6
2(x 2 − 2x − 2) = 0
x 2 − 2x − 2 = 0
x = 1− 3
x = 1+ 3
Đối chiếu điều kiện và thử lại thì nghiệm của phương trình là x = 1
3
Nhận xét: Giáo viên cho học sinh nhận xét phương trình dạng
A + B = C + D khi nào giải theo ví dụ 1 khi nào giải theo ví dụ 2? Khi giải
xong cần chú ý những gì? (khi thấy A + C = B + D giải theo ví dụ 1 còn AC = BD
Trang 13
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
giải theo ví dụ 2, giải xong cần đối chiếu điều kiện và thử lại để tránh thu nghiệm
ngoại lai)
d) Bài tập tương tự:
Câu 1. 10x + 1 + 3x − 5 = 9x + 4 + 2x − 2
Câu 2.
Câu 3. 4x + 1 + x+7 = 2 2x − 3 + 5x − 6
8x 3 − 1
x 3 − 3x 2 − x + 3
− 2x 1 = 4x 2 + 2x + 1 − 2x+3
+ x+1 = x+3 + x 2 4x +3 Câu 4.
2x + 3
x+ 3
2.6. Dạng 6. Phương trình vô tỉ dạng: 3 A + 3 B = 3 C
Trong đó A, B, C là các đa thức chứa biến x
a) Phân tích: Phương trình dạng cơ bản 3 A + 3 B = 3 C , hướng xử lý để mất
căn bậc ba là lập phương hai vế và thường sử dụng hằng đẳng thức
3
( a + b ) = a 3 + b3 + 3ab(a + b) , rồi sau đó thay thế 3 A + 3 B = 3 C vào phương trình thu
được sau khi lập phương và giải phương trình hệ quả dạng 3 f (x) = g(x)
Nên cách giải như sau.
f (x) = [ g(x) ] .
3
b) Cách giải
Điều kiện xác đinh: ∀x R
Ta có: 3 A + 3 B = 3 C
3
(
A+3B
3
) = ( C)
3
3
3
A + B + 3 3 AB
(
3
)
A + 3 B = C (Thay
A+3 B= 3C)
A + B + 3 AB C = C ( *)
3
3
3
C−A−B
ABC =
3
C−A−B
ABC =
3
3
x = ...
Vì cách biến đổi trên thì phương trình (*) là phương trình hệ quả. Vây khi
tìm được x thay vào phương trình ban đầu để kiểm tra nghiệm nào thỏa mãn thì
nhận.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1
Giải
Điều kiện: ∀x R
Ta có: 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1
(
3
) (
3
x + 1 + 3 3x + 1 =
3
x −1
)
3
x + 1 + 3x + 1 + 3 3 x + 1 3 3x + 1( 3 x + 1 + 3 3x + 1) = x − 1
4x + 2 + 3 3 x + 1 3 3x + 1( 3 x + 1 + 3 3x + 1) = x − 1
3
x + 1 3 3x + 1( 3 x + 1 + 3 3x + 1) = − ( x + 1) (Thay 3 x + 1 + 3 3x + 1 = 3 x − 1 )
3
x + 1 3 3x + 1 3 x − 1 = − ( x + 1)
3
( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1)
= − ( x + 1)
Trang 14
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) =
− ( x + 1)
( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) + ( x + 1)
( x + 1) 4x 2 = 0
3
3
=0
( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) = − ( x + 1)
3
( x + 1) ( 3x + 1) ( x − 1) + ( x + 1)
=0
2
x = −1
x=0
Thay x = 1 vào phương trình thỏa mãn nên x = 1nghiệm của phương trình.
Thay x = 0 vào phương trình thỏa mãn nên x = 0 là nghiệm của phương trình.
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = 0
d) Bài tập tương tự:
Câu 1. 3 2x − 1 + 3 x − 1 = 3 3x − 2
Câu 2. 3 x+5 + 3 x+6 = 3 2x + 11
Câu 3. 3 x+1 + 3 x+1 + 3 x + 3 = 0
3. Giải pháp 3. Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ là một hình thức đưa bài toán từ tình thế phức tạp
sang tình thế đơn giản hơn mà đã biết cách giải. Có rất nhiều cách đặt ẩn phụ khác
nhau tùy thuộc vào đặc điểm của từng phương trình mà có thể đặt một ẩn phụ, hai
ẩn phụ, ba ẩn phụ... để đưa về phương trình hoặc hệ phương trình. Sau khi đặt ẩn
phụ, ta cần tìm điều kiện cho ẩn phụ. Tùy vào mục đích của ẩn phụ mà ta đi tìm
điều kiện cho hợp lý (dễ, không gây sai sót).
Một số dạng đặt ẩn phụ cơ bản thường gặp và cách giải của từng dạng.
3.1. Dạng 1. Phương trình có dạng: a.f (x) + b n f (x) + c = 0 (1)
Trong đó f(x) là đa thức chứa biến x
a) Nhận dạng: Biểu thức chứa biến trong căn và ngoài căn có mối liên hệ.
b) Phương pháp giải:
Bước 1: Đặt điều kiện.
Bước 2: Đặt t = n f (x) (Điều kiện của t)
t n = f (x) thay vào (1) suy ra
(1)
at n + bt + c = 0
t = ... đối chiếu điều kiện
x = ... đối chiếu điều kiện
Bước 3: Kết luận nghiệm của phương trình.
c) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 3x 2 +9x+24 − 12 x 2 + 3x + 5 = 0 (2)
Phân tích: Nhận thấy t = x 2 + 3x + 5 0, thì biểu thức bên ngoại dấu căn
thức 3x 2 +9x+24 = 3( x 2 + 3x + 5 ) + 9 = 3t2 + 9 có mối liên hệ với nhau nên cách giải
như sau:
Trang 15
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Giải
Điều kiện: ∀x R
0
Đặt t = x 2 + 3x + 5 (t 0) (*)
t 2 = x 2 + 3x + 5
Thay vào (2)
3x 2 +9x+24 = 3t 2 + 9
3t 2 − 12t + 9 = 0
t = 1 (nhận)
t = 3 (nhận)
3 ( t − 1) ( t − 3) = 0
Với t = 1 thay vào (*) ta có: 12 = x 2 + 3x + 5
2
x 2 + 3x + 4 = 0 (vô lý vì x + 3x + 4
Với t = 3 thay vào (*) ta có: 32 = x 2 + 3x + 5
x 2 + 3x 4 = 0
( x − 1) ( x + 4 ) = 0
7
> 0)
4
x =1
x = −4
Kết luận: So sánh điều kiện, tập nghiệp của phương trình là: S = { 4; 1}
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 3 x +
3
2 x
= 2x +
1
− 7 (3)
2x
1 2 1
; x + 2 = 0 ta
x
x
Phân tích: Đối với bài toán có dạng thuận nghịch loại f x
đều có thể giải bằng cách đặt ẩn số phụ: t = x
1
x
t = x
2
1
x
2
= x2 +
1
x2
2 nên
cách giải bài toán trên như sau:
Giải
Điều kiện: x > 0
(3)
3
x+
Đặt t = x +
t2 = x +
1
=2 x+
2 x
1
Cauchy
2 x
1
+ 1
4x
2
1
− 7 (*)
4x
x
1
2 x
t 2 −1 = x +
= 2
1
4x
(*) 3t = 2(t2 1) 7
2t 2 − 3t − 9 = 0
( t − 3) ( 2t + 3) = 0
t = 3(nhận)
−3 (loại)
t=
2
Với t = 3, suy ra: x +
1
2 x
=3
2x − 6 x + 1 = 0
x=
8 3 7
2
Trang 16
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Kết luận: So sánh với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là: x =
8 3 7
2
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: x + 1 + x 2 − 4x + 1 = 3 x (4)
Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức ngoài căn là x + 1, biểu thức trong căn
thức có chứa x2 + 1 ta thấy hai biểu thức này không liên hệ với nhau. Nhưng nếu
1
1
, x + − 4 từ đây ta thấy hai biểu thức có
x
x
chia cả hai vế cho x > 0 được x +
liên hệ với nhau. Đặt t = x +
1
x
t 2 thì phương trình sẽ biểu diễn hết theo biến
mới t và cách giải như sau:
Giải
Điều kiện: x 0
Trường hợp 1. Với x = 0 ta thấy không là nghiệm (vì thay vào phương trình 4 không
thỏa mãn)
Trường hợp 2. Nếu x > 0, chia cả hai vế cho x > 0
(4)
x+
1
1
+ x + − 4 = 3 (5)
x
x
Đặt: t = x +
t2 = x +
1
x
Cauchy
2
x
1
=2
x
1
+2
x
t2 − 6 = x +
1
−4
x
t2 − 6 = x +
1
− 4 (thay vào phương trình 5)
x
(5) t + t 2 − 6 = 3
t 2 − 6 = 3 − t (Giải tương tự dạng cơ bản 2 phần 2.2 nâng lên
lũy thừa. Chú ý điều kiện phụ t 3)
t 2 − 6t + 9 = t 2 − 6
1
5
=
Suy ra: x +
x 2
t=
5 (nhận)
2
2x − 5 x + 2 = 0
x=4
1
x=
4
1
4
Kết luận: So với điều kiện, phương trình có 2 nghiệm là: x = ; x = 4
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: 2x 2 + 8x + 5 + 2x 2 − 4x + 5 = 6 x (4)
Phân tích: Nếu giải phương trình 4 theo phương pháp nâng lên lũy thừa thì ta
thấy lũy thừa bậc cao không triệt tiêu được và sẽ gây khó khăn cho việc giải.
Nhưng phần biến có liên hệ với khau không? Để ý phần hệ số của a, c của biểu
thức ax2 + bx + c trong hai căn thức ở vế trái đều bằng nhau là (a = 2, c = 5), nên khi
Trang 17
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
chia cả hai vế cho x > 0 thì khi đó hai biểu thức dưới dấu căn thức ở vế trái có
liên hệ với nhau. Khi đó đặt ẩn phụ để đưa bài toán về dạng cơ bản như sau.
Giải
Điều kiện: x 0
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế của
phương trình (4) cho x , ta được: (4)
2x +
5
5
+ 2x 4 + = 6
x
x
5
5
+ 8 + 2x + − 4 = 6 (*)
x
x
Đặt t = 2x +
(*)
2x + 8 +
5 Cauchy
5
2 2x = 2 10
x
x
t + 8 + t − 4 = 6 (Đây là dạng cơ bản 4 của phần 2.4)
2t + 4 + 2 t + 8 t − 4 = 36
( t + 8) ( t − 4)
= 16 − t (Điều kiện bổ sung t 16)
( t + 8 ) ( t − 4 ) = ( 16 − t )
2
36t = 288
t = 8 (TMĐK)
Với t = 8, suy ra: 2x +
5
= 8
x
2x 2 − 8x + 5 = 0
x=
4
6
2
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x =
4
6
2
d) Nhận xét: Đôi khi bài toán ban đầu chưa xuất hiện mối liên hệ giữa các
biểu thức trong căn và ngoài căn nhưng khi ta nhân hoặc chia cả hai vế cho cùng
một biểu thức khác không thì xuất hiện sự liên hệ giữa các biểu thức đó. Nên khi
làm một bài toán chúng ta cần tìm hiểu và phân tích thật kỹ để tìm ra cách giải phù
hợp đơn giản nhất.
e) Bài tập tương tự:
Câu 1. ( x + 4 ) ( x + 1) − 3 x 2 + 5x + 2 = 6
Câu 2. x 2 + 2x x −
3.2.
1
= 3x + 1
x
Dạng
Câu 3. 6x 2 + 2x + 3 3x 2 + x + 4 − 10 = 0
Câu 4. 10 x + 3 +
2.
Phương
trình
3x
− 13 x = 0
x+3
vô
tỉ
dạng:
a f (x) + b g(x) + 2ab f (x)g(x) = h(x)
Trong đó f(x), g(x), h(x) là các đa thức chứa biến x
Trang 18
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
a) Nhận dạng: Phương trình có dạng tổng tích hoặc hiệu tích
b) Cách giải
Điều kiện: f(x) 0, g(x) 0, h(x) 0
Bước 1. Đặt t = tổng hoặc hiệu f (x) , g(x) , suy ra t2 =...
Bước 2. Giải phương trình với biến mới theo t, suy ra x.
c) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 3 + x + 6 − x = 3 +
( 3 + x ) ( 6 − x ) (1)
Phân tích: Phương trình có dạng tổng tích, khi đó ta đặt t = 3 + x + 6 − x
0, suy ra t 2 =
(
)
3+ x + 6− x
2
=9+2
( 3 + x ) ( 6 − x ) đã biểu diễn biết hết theo t nên
cách giải như sau:
Giải
Điều kiện: * 3 + x 0
* 6 − x 0
−3
x
x
6
Suy ra điều kiện: −3 x 6
Đặt t = 3 + x + 6 − x
( 3 + x) ( 6 − x)
=
t2 − 9
t = 3+
2
(1)
0 , suy ra: t 2 =
(
3+ x + 6− x
)
2
= 9+2
( 3+ x) ( 6 − x)
t2 − 9
. Khi đó:
2
t − 2t − 3 = 0
2
t = −1(loại)
t = 3(nhận)
Với t = 3, suy ra: 3 + x + 6 − x = 3 (giải tương tự dạng cơ bản 4 phần 2.4)
9 =9+2
( 3+ x) ( 6 − x)
( 3+ x) ( 6 − x)
x = −3
x=6
=0
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 3; x =
6.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 − 16 (2)
Phân tích: Sau khi phân tích 2x 2 + 5x + 3 =
dạng tổng tích, nếu đặt
t2 =
(
)
( 2x + 1) ( x + 1) thì phương trình có
t = 2x + 3 + x + 1 0, suy ra
2
2x + 3 + x + 1 = 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 + 4 thì phần biến còn lại biểu diễn được hết
theo t và có lời giải như sau:
Giải
Điều kiện: x 1
Trang 19
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Đặt t = 2x + 3 + x + 1 0, suy ra t 2 =
Khi đó: (2)
t = t 2 − 20
( 2x + 3) ( x + 1)
2x + 3 + x + 1
)
2
= 3x + 2 2x 2 + 5x + 3 + 4 .
t = −4 (loại)
t = 5 (nhận)
t 2 − t − 20 = 0
Với t = 5, suy ra: 2x + 3 + x + 1 = 5
2
(
3x + 4 + 2
( 2x + 3) ( x + 1)
= 25
= 21 − 3x (điều kiện bổ sung x 7)
x =3
(nhận)
x = 143 (loại)
x 2 − 146x + 429 = 0
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3
d) Nhận xét: Đôi khi phương trình chưa có dạng tổng tích hoặc hiệu tích
như ví dụ 2 trên ta cần phân tích biểu thức dưới dấu căn thành tích để xuất hiện
dạng tổng tích hoặc hiệu tích như ví dụ 2.
e) Các bài tập tương tự
Câu 1. x + 2 + 5 − x +
( x + 2 ) ( 5 − x ) = 4 Câu 3.
Câu 2. x − 2 − x + 2 = 2 x 2 − 4 − 2x + 2
2x + 3 + 4 − x = 3x + 6 5x − 2x 2 + 12 − 23
Câu 4. 3x − 2 + x − 1 = 4x 9 + 2 3x 2 − 5x + 2
3.3. Dạng 3. Phương trình vô tỉ dạng: α. n a − f (x) + β.m b + f (x) = c
a) Cách giải:
Điều kiện: a f(x) 0, b + f(x) 0( khi m,n là các số chẳn)
Đặt
u = n a − f (x)
u n = a − f (x)
v = b + f (x)
v m = b + f (x)
m
u n + vm = a + b
αu + β v = c
u, v
x
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 5 x + 1 − 2 3 7x + 6 = 4 (1)
Phân tích: Bài toán có hai căn thức như dạng 3, nên ta giải bằng cách đặt hai
ẩn phụ là 2 căn thức, tức đặt
u = x +1
u 2 = x + 1(1)
v = 3 7x + 6
v3 = 7x + 6(2)
. Khi đó, ta cần cân bằng
hệ số trước x, tức phương trình (1) sẽ nhân 2 vế với 7 sau đó trừ (một số bài cộng)
nhằm triệt tiêu x sẽ thu được 1 phương trình mới với ẩn là u và v là 7u 2 v3 = 1. Còn
phương trình thứ 2 thay u, v vào đề bài được phương trình là: 5u 2v = 4. Khi đó
giải hệ này tìm được u, v. Suy ra x.
Giải
Điều kiện: x + 1 0
Đặt
x
−1
u = x +1 0
u2 = x +1
7u 2 = 7x + 7
v = 7x + 6
v = 7x + 6
v = 7x + 6
3
3
3
7u 2 − v3 = 1 (2)
Trang 20
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Từ phương trình (1)
5u 2v = 4 (3)
2
7u 2 − v3 = 1
5u − 2v = 4
Từ (2), (3) suy ra hệ:
25v3 − 28v 2 − 112v − 87 = 0
4 + 2v
u=
5
v=3
, suy ra:
u=2
Với
4 + 2v
7
− v3 = 1
5
4 + 2v
u=
5
(v − 3)(25v 2 + 47v + 29) = 0
4 + 2v
u=
5
x +1 = 2
3
x =3
x =3
7x + 6 = 3
v=3
(nhận)
u=2
x = 3 (nhận)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 3 x 2 − 1 + 3 x 2 + 18 = 5 (2)
Phân tích tương tự ví dụ 1.
Giải
Điều kiện: x R
Đặt:
u = 3 x2 −1
u3 = x 2 −1
v = 3 x 2 + 18
v3 = x 2 + 18
u = 5−v
v3 − u 3 = 19
u+v=5
2v3 − 15v 2 + 75v − 144 = 0
u=2
, suy ra:
v=3
3
x2 −1 = 2
x2 −1 = 2
3
x + 18 = 3
x + 18 = 3
2
x2 = 9
2
x= 3
Kết luận: So với điều kiện, phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 3, x =
3
Ví dụ 3. Giải phương trình sau: 3 3 − x
(
)
x + 2 + 1 = x + 1(3)
Phân tích: Đối với ví dụ 3 không đúng dạng 3 trên. Ta cần biến đổi khéo léo
đẳng thức để đưa về dạng: α. n a − f (x) + β.m b + f (x) = c . Nên cách giải như sau.
Giải
Điều kiện: x + 2 0
3
3− x
(
)=
x + 2 +1
x 2, suy ra: x + 2 + 1 > 0 . Khi đó:
x +1
(3)
=
x + 2 +1
x + 2 +1
cả hai vế cho số x + 2 + 1 > 0 )
3
(
)
2
x + 2 − 12
x + 2 +1
=
(
)(
x + 2 −1
)=
x + 2 +1
x + 2 +1
x + 2 − 1 (chia
3 − x = x + 2 − 1 (phương trình đã có dạng 3 phần 3.3)
Trang 21
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Đặt:
u = 3 3− x
v= x+2
3
Suy ra:
0
u3 = 3 − x
u = v −1
v2 = x + 2
u3 + v2 = 5
3− x =1
x+2 =2
3− x =1
x+2=4
u =1
(nhận)
v=2
x = 2 (nhận)
Kết luận: Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2.
c) Nhận xét: Ta thấy hình thức ở ví dụ 3 thực ra củng là dạng 3 nhưng mang
tích chất giấu mặt. Khi đó ta chỉ cần biến đổi khéo léo đẳng thức củng như sự kết
hợp tinh tế để đưa về dạng: α. n a − f (x) + β.m b + f (x) = c .
d) Các dạng bài tập tương tự
(
)
Câu 1. 2 3x+7 + 5 3 x − 6 = 4
Câu 4. 3
Câu 2. 4 3 5x − 4 + 3 10 − 9x = 5
Câu 5. 3 3 − 2x 2 3x − 2 + 1 = 3 ( 4x − 3)
(
Câu 3. 47 − 2x + 35 + 2x = 4
4
x −1 − 3
4
(
Câu 6. 3 3 3x − 2 7 +
3
2 − x + 10 = x
)
4x − 3 ) = 26 − 2x
3.4. Dạng 4. Phương trình vô tỉ dạng: a. n A 2 + b. n AB + c. n B2 = 0
a) Phương pháp giải: Có 2 cách giải như sau:
Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ u = n A , v = n B , đưa phương trình về dạng phương
trình đẳng cấp bậc hai dạng: a.u2 + b.uv + c.v2 = 0. Giải phương trình đẳng cấp kết
hợp với đề bài suy ra u, v. Suy ra x.
Cách 2. Nếu n A 0 hoặc n B 0. Chia trực tiếp 2 vế phương trình cho
lượng khác 0, n A 0 hoặc n B 0, để được phương trình bậc hai dạng:
a.
n
A
B
2
+ b. n
A
+c = 0 . Giải phương trình bậc hai này và kết hợp với phương
B
trình đã cho suy ra A, B. Suy ra x.
b) Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: 4. 3 ( x + 2 ) 2 − 7. 3 4 − x 2 + 3. 3 ( 2 − x ) 2 = 0 (1)
Phân tích: Nhận thấy 3 4 − x 2 = 3 ( 2 + x ) ( 2 − x ) nên phương trình (1) có dạng
4. 3 ( x + 2 ) − 7. 3 ( 2 + x ) ( 2 − x ) + 3. 3 ( 2 − x ) = 0 đúng dạng 4. Nên cách giải như sau:
2
2
Giải
Điều kiện: x R
Cách 1. Đặt 2 ẩn phụ đư về phương trình đẳng cấp bậc hai.
Trang 22
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
Đặt u = 3 x + 2 , v = 3 2 − x . Khi đó (1)
4u 2 − 7uv + 3v 2 = 0 (2)
Ta thấy x = 2 không là nghiệm của phương trình (1) nên xét x 2, suy ra: v = 3 2 − x
0 khi đó chia hai vế của phương trình (2) cho v2 0, ta được:
2
u
4
v
(2)
u
−7 +3= 0
v
u
=1
v
u 3
=
v 4
u=v
4u = 3v
x+2 = 2−x
Với u = v, suy ra: 3 x + 2 = 3 2 − x
x=0
64 ( x + 2 ) = 27 ( 2 − x ) x = −
Với 4u = 3v, suy ra: 4 3 x + 2 = 3 3 2 − x
74
91
Kết luận: So với điều kiên, phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0,
−74
91
Cách 2. Chia đưa phương trình về dạng bậc hai.
Ta thấy x = 2 không là nghiệm của phương trình (1) suy ra: 3 2 − x
0 khi đó chia
hai vế của phương trình (1) cho 3 ( 2 − x ) 2 0, ta được:
(1)
4.
3
x+2
2−x
2
x+2
− 7. 3
+3= 0
2−x
3
x+2
=1
2−x
3
x+2 3
=
2−x 4
x+2
=1
2−x
x + 2 27
=
2 − x 64
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0,
x=0
−74
x=
91
−74
91
Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 3 ( 2 − x ) 2 + 3 ( 7 + x ) 2 − 3 ( 7 + x ) ( 2 − x ) = 3
Phân tích: Thông thường thì học sinh nhầm lẫn giữa ví dụ này với ví dụ 1,
vì thấy vế phải không bằng 0 nên không thuộc dạng: a. n A 2 + b. n AB + c. n B2 = 0 . Đối
với dạng này ta chỉ giải theo cách 1 đặt hai ẩn phụ u, v rồi giải, nên cách giải như
sau.
Giải
Điều kiên: x R
Đặt:
u = 3 2−x
u3 = 2 − x
v = 7+x
v =7+x
3
3
u 3 + v3 = 9 . Kết hợp với đề được hệ phương trình
u 3 + v3 = 9
(u + v)(u 2 − uv + v 2 ) = 9
u + v − uv = 3
u + v − uv = 3
2
2
2
2
u+v=3
uv = 2
u =1
u=2
hoặc
v=2
v =1
Trang 23
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
u =1
Với
, suy ra:
v=2
3
2− x =1
3
7+x = 2
u=2
Với
, suy ra:
v =1
3
2−x = 2
3
7 + x =1
2 − x =1
7+x =8
x =1
2−x =8
7 + x =1
x = −6
Kết luận: Phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1, x = 6
c) Các dạng bài tập tự luyện tương tự:
Câu 1. 3 ( 2x+1) 2 + 3 3 ( 1 − 2x ) 2 = 8 3 4x 2 − 1
Câu 3. 2 3 ( 3x − 1) 2 + 3 3 ( 4x − 1) 2 = 5 3 12x 2 − 7x + 1
2
2
Câu 2. 5 4 ( 3 − x ) 2 − 7 4 ( 3 + x ) 2 − 2 4 9 − x 2 = 0 Câu 4. 3 ( 3x − 2 ) + 3 ( 11 − 3x ) + 3 ( 3x − 2 ) ( 3x − 11) = 3
3.5. Dạng 5. Phương trình vô tỉ dạng: ( mx + n ) ax 2 + bx + c = px + q
a) Cách giải: Đối với dạng nay ta có rất nhiều cách để giải. Như biến đổi
về dạng A 2 = B2 hoặc đặt một ẩn phụ, hai ẩn phụ.
b) Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình sau: ( x + 2 ) − x 2 − 2x + 3 = x + 3 (1)
Giải
Điều kiện: − x 2 − 2x + 3 0
−3 x 1
Cách 1. Đưa về dạng: A 2 = B2
A= B
2(x + 3) − 2 ( x + 2 ) − x 2 − 2x + 3 = 0 (nhân hai vế của (1) với 2 và chuyển vế)
(1)
( −x
2
− 2x + 3) − 2 ( x + 2 ) − x 2 − 2x + 3 + x 2 + 4x + 4 = 1 (biến đổi về dạng hằng đẳng
thức bình phương một hiệu)
2
− x − 2x + 3 − (x + 2)
2
− x 2 − 2x + 3 = x + 3
− x 2 − 2x + 3 = x + 1
x
(
x
(
−3
− x − 2x + 3
2
−1
− x 2 − 2x + 3
)
)
2
=1
1
− x 2 − 2x + 3 − (x + 2) = 1
− x 2 − 2x + 3 − (x + 2) = −1
(giải như dạng 2 phần 2.2)
= ( x + 3)
2
x
− x 2 − 2x + 3 = x 2 + 6x + 9
x
2
= ( x + 1)
2
−3
−1
− x 2 − 2x + 3 = x 2 + 2x + 1
x
−3
2x 2 + 8x + 6 = 0
x
−1
2x 2 + 4x 2 = 0
Trang 24
Một số giải pháp về giải phương trình vô tỉ dành cho học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Lê Đình
Chinh
x
−3
x
x 2 + 4x + 3 = 0
−1
x
x + 2x 1 = 0
2
−3
x = −1 (nhận)
x = −3 (nhận)
x −1
x = 2 −1
x = −1
x = −3
x = 2 −1
x = − 2 − 1(loai)
Kết luận: Phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = 3, x = −1 , x = 2 − 1 .
Cách 2. Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
2(x + 3) − 2 ( x + 2 ) − x 2 − 2x + 3 = 0
(1)
( −x
2
− 2x + 3) − 2 ( x + 2 ) − x 2 − 2x + 3 + x 2 + 4x + 3 = 0 (2)
Đặt t = − x 2 − 2x + 3 0
(2)
t 2 − 2 ( x + 2 ) t + x 2 + 4x + 3 = 0 (giải phương trình bậc hai theo ẩn t)
Có: ∆ 't = [ −(x + 2) ] − ( x 2 + 4x + 3) = 1
2
t = x+3
t = x +1
− x 2 − 2x + 3 = x + 3
− x 2 − 2x + 3 = x + 1
x = −1
x = −3
x = 2 −1
Cách 3. Đặt 2 ẩn phụ u, v đưa về dạng hằng đẳng thức: (u v)2 = k2 (k là
hằng số)
Đặt
u = − x − 2x + 3
2
v= x+2
0
u 2 = − x 2 − 2x + 3(1)
v 2 = x 2 + 4x + 4(2)
2uv = 2x + 6(3)
Lấy (1) + (2) (3), suy ra: ( u − v ) = 1
2
u − v =1
u − v = −1
Với u v = 1, suy ra: − x 2 − 2x + 3 − (x + 2) = 1 , giải tương tự cách 1 suy ra: x = 3, x = 1
Với u v = 1, suy ra: − x 2 − 2x + 3 − (x + 2) = −1
x = 2 −1
c) Các bài tập tương tự:
Câu 1. ( x + 3) −x 2 − 8x + 48 = 28 − x
Câu 3. ( x + 3) − x 2 − 8x +48 = x − 24
Câu 2. 2 ( x − 5 ) − x 2 + 5x 4 = 5x − 20
Câu 4. ( x + 1) 2x 2 + 7x 9 = 9x + 39
3.6. Dạng 6. Phương trình vô tỉ dạng: mx 2 + nx + p = ( ax + b ) cx 2 + dx +e = 0
(*)
Trang 25
