SKKN: Ứng dụng định lí Vi-ét trong thực hành giải Toán cấp THCS

Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
PHẦN I: MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
Môn Toán  ở  THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệ 
thống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành 
ở bậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và 
thái độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi 
vào các lĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán 
học.
Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáo viên  
tổ  chức cho học sinh hoạt động để  chiếm lĩnh kiến thức và kỹ  năng. Mặt  
khác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành 
cho học sinh những kiến thức cơ  bản, tìm tòi đủ  cách giải bài toán để  phát 
huy tính tích cực của học sinh, mở rộng tầm suy nghĩ.
Trong vài năm trở lại đây, các trường Đại học, các trường PTTH chuyên thành 
phố... đang ra sức thi tuyển, chọn lọc học sinh  và trong các đề thi vào lớp 10 
THPT, trong các đề  thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài 
toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi­ét khá phổ  biến. Trong khi đó nội dung  
và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa  
đa dang.
Thế  nhưng đa số  học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túng  
không giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em không 
biết cách đọc thêm sách tham khảo nên không  ứng dụng hệ  thức Vi_ét để 
giải.
Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các em  
học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ  thức Vi­ét để  giải các bài toán bậc  
hai. Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ  thi tuyển. Bản thân tôi đã  
mạnh dạn làm đề tài “ ứng dụng hệ thức Vi­et trong thực hành giải toán cấp  
THCS” từ năm học 2014­2015 và đã được hội đồng khoa học ngành Giáo dục  
& đào tạo  của thành phố công nhận đạt giải C. Trong năm học 2016­2017 tôi 
tiếp tục vận dụng đề tài của mình trong quá trình công tác giảng dạy tại đơn 

vị. Tuy nhiên đối với mỗi năm học và với mỗi đói tượng học sinh thì tôi cũng  
điều chỉnh cho phù hợp với đối tượng học sinh để  đạt được hiệu quả  cao  
nhất. Đó là lý do tôi  tiếp tục chọn đề tài này: “Ứng dụng định lí Vi­ét trong  
thực hành giải Toán cấp THCS”.
Mục đích nghiên cứu:
Để  nhằm mục đích bổ  sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai có 
ứng dụng hệ thức Vi­ét cho các em học sinh THCS. Từ đó các em có thể làm 
tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi tuyển.
Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉ  bài 
toán bậc hai mà cả các dạng toán khác.
1/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Nhiệm vụ nghiên cứu:
Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú. Việc giải bài toán là một yêu cầu 
rất quan trọng đối với học sinh. Nhiệm vụ  của giáo viên phải làm cho học 
sinh nhận dạng, hiểu được bài toán, từ đó nghiên cứu tìm ra cách giải.
Để nghiên cứu đề tài này, tôi đã đề ra các nhiệm vụ sau:
Nghiên cứu các bài toán bậc hai có liên quan đến hệ thức Vi­ét , tìm phương  
pháp truyền đạt, hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức để  các em biết cách 
tìm kiếm nâng cao kiến thức cho mình.
Đề xuất thêm thời gian hợp lý để tổ chức hướng dẫn học sinh biết ứng dụng 
hệ thức Vi­ét vào các bài toán bậc hai sao cho hợp lý.
Điều tra   học sinh xem có bao nhiêu học sinh thích được học nâng cao, mở 
rộng kiến thức về  các bài toán bậc hai và có bao nhiêu học sinh có thể  tiếp  
thu, nâng cao kiến thức.
Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Nghiên cứu  học sinh  đang học lớp 9 ở trường  của trường tôi đang  công tác.  
Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi­ét, trong môn đại số  lớp 9, tìm hiểu 

các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi­ét.
Phương pháp nghiên cứu:
Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ  nghiên cứu, tôi sử  dụng các phương pháp  
nghiên cứu sau:
Phương pháp nghiên cứu tài liệu: 
Tôi đọc và chọn ra các bài toán bậc 2 có  ứng dụng hê thức Vi­ét, sắp xếp  
thành 9 nhóm ứng dụng sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Phân tích tam 
thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x­x1) ( x­x2) 
.
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  một ẩn,  tìm hệ số của phương trình 
bậc hai một ẩn số ­ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị  của 
các   biểu   thức   đối   xứng   giữa   các   nghiệm.   Xác   định   dấu   các   nghiệm   của  
phương trình bậc hai.
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào 
tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số  để  thoả  mãn một hệ  thức giữa hai 
nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi­ét trong giải toán chứng minh.
2/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi­ét giải phương trình và hệ phương trình.
Ứng dụng 8: Định lý Vi­ét với bài toán cực trị.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
Phương pháp phỏng vấn, điều tra: 
Tôi hỏi điều tra  học sinh trong lớp  sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu 
hỏi sau:

Câu 1: Em có muốn củng cố và  nâng cao kiến thức không ?
Câu 2: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi­ét  không?
Câu 3: Em có thích đọc nhiều sách tham khảo nội dung toán không ?
Câu 4: Em hãy đọc lại định lý Vi­ét. Hãy nhẩm nghiệm của các phương trình 
sau:
a/ 4321x2 + 21x – 4300 = 0
b/   x2 + 7x + 12 = 0
Câu 5: Cho phương trình: x2 – 3x + m = 0, với m là tham số, có hai nghiệm x1 , 
x2   (x1 > x2). Tính giá trị biểu thức  P = x13 x2 − x1 x23  theo m.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm:  
Sau khi sắp xếp thành 9 nhóm ứng dụng hệ thức Vi­ét, tôi đã thực hiện 
lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên. 
 

3/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn có liên quan đến đề tài
Cơ sở lý luận và thực tiễn:
Mục tiêu của giáo dục THCS theo điều 23 Luật giáo dục_là “Nhằm 
giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của giáo dục tiểu học, có 
trình độ  học vấn THCS và những hiểu biết ban đầu về  kỹ  thuật và hướng  
nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.
Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết kế 
theo hướng giảm chương tính lý thuyết hàm luân, tăng tính thực tiễn, thực  
hành bảo đảm vừa sức, khả  thi, giảm số  tiết học trên lớp, tăng thời gian tự 
học và hoạt động ngoại khóa.
Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết:

1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi­ét và ứng dụng hệ  thức Vi­ét 
để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai 
và tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1 tiết luyện tập: học sinh được làm các bài tập củng cố  tiết lý thuyết vừa  
học.
Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi­ét nhưng không có 
nhiều tiết học đi sâu khai thác các  ứng dụng của hệ  thức Vi­ét nên các em 
nắm và vận dụng hệ thức Vi­ét chưa linh hoạt. Là giáo viên ta cần phải bồi  
dưỡng và hướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này.
Thực trạng :
Thuận lợi:
Tôi đã được trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán khối 9 nhiều năm, bồi 
dưỡng học sinh giỏi lớp 9 và ôn tập, nâng cao kiến thức cho học sinh thi  
tuyển vào lớp 10 nên tôi thấy được sự cần thiết phải thực hiện đề  tài: “Ứng  
dụng hệ thức Vi­ét trong thực hành giải Toán cấp THCS”.
Tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy.
Đa số học sinh đều mong muốn được củng cố và  nâng cao kiến thức. 
Khó khăn:
Thời lượng phân bố  tiết cho phần này còn hạn chế, cụ  thể   ở  chương trình 
lớp 9 chỉ có 2 tiết ( 1 tiết lý thuyết, 1 tiết luyện tập). Do vậy chưa khai thác 
hết các ứng dụng của hệ thức Vi­ét.
Hầu hết số học sinh của trường đều có đầu vào cấp THCS  thấp so với mặt  
bằng chung của cả quận, bố mẹ  là dân lao động thuần túy phổ thông. Do đó 
các em ít được chú trọng nâng cao kiến thức.
Từ những thuận lợi và khó khăn trên, với đề tài này tôi mong giáo viên sẽ giúp 
các em có thêm kiến thức để tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển.
Thực trạng của giáo viên và học sinh của trường:
4/26

Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Hiện nay, việc dạy và học của giáo viên và học sinh trong thực tiễn ở trường 
còn có một số mặt đã đạt được và chưa đạt sau:
Những mặt đã đạt được:
Giáo viên truyền đạt nhiệt tình đủ  kiến thức trong chương trình. Học sinh 
nắm được kiến thức cơ bản và đã hoàn thành THCS ( đạt 98%).
Giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 hằng năm nhưng ít có học sinh  
tham gia thi học sinh giỏi cấp quận môn Toán.Nhà trường có tổ chức dạy phụ 
đạo cho học sinh yếu, kém. Nhờ vậy học sinh đã có nhiều tiến bộ. 
Những mặt chưa đạt:
Trường chưa tổ chức bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh các khối 6 ;  
7 ; mà mới chỉ dừng ở bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho học sinh khối 8; 9
Số  học sinh tự  học tập thêm kiến thức, tham khảo tài liệu,… để  nâng cao  
kiến thức  chưa nhiều nên số lượng học sinh giỏi Toán còn rất hạn chế.
Chương II: Giải pháp sư  phạm cần thực hiện để  giúp học 
sinh ứng dụng hệ thức Vi­ét để giải phương trình bậc hai:
Trước hết, Giáo viên dạy tiết lý thuyết  ở  trong chương trình cho học sinh  
nắm được định lý Vi­ét:
                      Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
                               có 2 nghiệm : x1 =
     Suy ra : 
x1 + x2 =

                     
x1 x2

−b + ∆
−b − ∆
; x2 =
2a

2a

−b + ∆ −b − ∆ −2b −b
+
=
=
2a
2a
2a
a

( −b + ∆ ) ( −b − ∆ ) = b
=
4a

2

(

)

2
2
− ∆ b − b − 4ac
4ac c
=
= 2 =
2
2
4a

4a
4a
a
2

Đặt S và P lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình.
           Vậy:    S = x1 + x2 =
             P = x1.x2 =

c
a

−b
a

Giáo viên soạn ra các dạng bài toán bậc hai cần  ứng dụng hệ thức Vi­ét để 
giải. Trong đề tài này tôi trình bày 9 nhóm ứng dụng sau:
Cụ thể như sau:
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Phân tích tam 
thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x­x1) ( x­x2) 
.
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  một ẩn,  tìm hệ số của phương trình 
bậc hai một ẩn số ­ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị  của 
các   biểu   thức   đối   xứng   giữa   các   nghiệm.   Xác   định   dấu   các   nghiệm   của  
phương trình bậc hai.
5/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS

Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1, x2 không phụ thuộc vào 
tham số hay tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiêm x1, x2 độc lập với tham số.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số  để  thoả  mãn một hệ  thức giữa hai 
nghiệm
Ứng dụng 6: Ứng dụng của định lý Vi­ét trong giải toán chứng minh.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi­ét giải phương trình và hệ phương trình.
Ứng dụng 8: Định lý Vi­ét với bài toán cực trị.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn.  Phân tích 
tam thức ra thừa số: ax2 + bx + c = a( x­x1) ( x­x2)
Dạng đặc biệt:
Xét phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
a/ Nếu cho x = 1 thay vào (*) , ta có : a.12 + b.1 + c = 0  hay a + b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm kia là x2 = 

c
a

b/ Nếu cho x = ­1 thay vào (*) , ta có : a.(­1)2 +b.(­1)+c = 0 hay a ­ b + c = 0
Như vậy: phương trình có một nghiệm x1 = ­1 và nghiệm kia là x2 = 
Ví dụ:
Dùng hệ thức Vi_ét  để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
a/ 2x2 + 5x + 3 = 0   (1)
b/ 3x2 + 8x ­ 11 = 0  (2)

−c
a

Giải:  
   Ta thấy:

Phương trình (1) có dạng a  ­ b + c = 0, nên có một nghiệm x1 = ­1 và nghiệm 
kia là x2 = 

−3
2

Phương trình (2) có dạng a  + b + c = 0, nên có một nghiệm x 1 = 1 và nghiệm 
kia là x2 = 

−11
3

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
a/ 35x2 ­ 37x + 2 = 0   
b/ 7x2 + 500x ­ 507 = 0  
c/ x2 ­ 49x ­ 50 = 0   
d/ 4321x2 + 21x ­ 4300 = 0  
Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm còn lại  
và chỉ ra hệ số của phương trình:
Ví dụ:  
 a/ Phương trình x2 – 2px + 5 = 0 có một nghiệm x1 = 2, tìm p và nghiệm kia.
6/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
  b/ Phương trình x2 + 5x + q = 0 có một nghiệm x1 = 5, tìm q và nghiệm kia.
  c/ Phương trình x2  – 7x +  q  = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 11. Tìm  q  và hai 
nghiệm của phương trình.
d/ Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2  –qx +50 = 0, biết phương trình 
có hai nghiệm và một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

Giải:  
a/ Ta thay x1 = 2 vào phương trình x2 – 2px + 5 = 0 , ta được:
                         4 – 4p + 5 = 0 

p=

1
4

5

5

Theo hệ thức Vi­ét :  x1. x2 = 5  suy ra: x2 =  x = 2
1
2 
b/ Ta thay x1 = 5 vào phương trình x + 5x + q = 0  , ta được:
                         25+ 25 + q = 0  q = −50
−50

−50

Theo hệ thức Vi­ét:  x1. x2 = ­50  suy ra: x2 =  x = 5 = −10
1
c/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 ­ x2 =11 và theo hệ 
thức Vi­ét:  x1+ x2 = 7  ta có hệ phương trình sau: 
x1 − x2 = 11

x1 = 9

x1 + x2 = 7

x2 = −2

Suy ra: q = x1. x2 = 9.(­2)= ­18  
d/ Vì vai trò của x1 , x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử: x1 = 2x2  và theo hệ 
thức Vi­ét:  x1. x2 = 50  ta có hệ phương trình sau: 
x1 = 2 x2
x1.x2 = 50

2 x2 2 = 50

x2 2 = 52

x2 = 5
x2 = −5

Với  x2 = 5  thì  x1 = 10  Suy ra: S = q = x1 + x2 = 5 + 10 = 15  
Với  x2 = −5  thì  x1 = −10  Suy ra: S = q = x1 + x2 = (­ 5) + (­10) = ­15  
Ứng dụng 2: Lập phương trình bậc hai  một ẩn, tìm hệ số của phương 
trình bậc hai một ẩn số ­ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.
1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1, x2
Ví dụ: 
Cho x1= 3; x2= 2 . Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên
Giải:  
Theo hệ thức Vi­ét, ta có: 

S = x1 + x2 = 5
P = x1.x2 = 6

Vậy  x1; x2  là nghiệm của phương trình có dạng: 
          x2 – Sx + P = 0   x2 – 5x + 6 = 0
Bài tập áp dụng:  Hãy lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm:
a/ x1= 8 và  x2= ­ 3
b/ x1= 3a và  x2= a
c/ x1= 36 và  x2= ­ 104
d/ x1= 1+ 2  và  x2= 1 ­  2
7/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn biểu thức chứa hai  
nghiệm của một phương trìnhcho trước
Ví dụ: 
Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1; x2 . Không 
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
y1 = x2 +

Giải:  
Theo

1
1
y2 = x1 +
 và 
x1
x2

 

hệ

thức

 

 

Vi­ét,

 

ta

S = y1 + y2 = x2 +

1
1
1 1
x +x
2 9
+ x1 + = ( x1 + x2 ) +
+
= ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + =
x1
x2
x1 x2
x1 x2
3 2

P = y1. y2 = x2 +

1
1
1
1 9
. x1 +
= x1.x2 + 1 + 1 +
= 2 +1+1+ =
x1
x2
x1 x2
2 2

 

có: 

Vậy  phương trình cần lập có dạng: 
9
2

9
2

           y 2 − Sy + P = 0 hay  y 2 − y + = 0

2 y2 − 9 y + 9 = 0

Bài tập áp dụng:  

1/ Cho phương trình 3x2  + 5x ­ 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không 
giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
1
1
y2 = x2 +
 và 
x2
x1
5
1
(Đáp số:  y 2 + y − = 0
6
2
y1 = x1 +

6 y2 + 5 y − 3 = 0 )

2/ Cho phương trình: x2 ­ 5x ­ 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Không giải 
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc hai có ẩn là y thỏa mãn: 
y1 = x14  và  y2 = x2 4  
(Đáp số:  y 2 − 727 y + 1 = 0 )
3/ Cho biết phương trình x2 ­ px + q = 0 có hai nghiệm dương x 1; x2 mà x1 < x2 . 
Hãy lập phương trình bậc hai mà các nghiệm là :  x1 ( x2 − 1)  và  x2 ( 1 − x1 )
(Đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên Lương Thế Vinh_Đồng Nai, năm học: 200­
2009)
4/ Cho phương trình: x2 ­ 2x – m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 . Hãy lập 
phương trình bậc hai có hai nghiệm y1; y2 sao cho: 
a/  y1 = x1 − 3  và  y2 = x2 − 3
b/  y1 = 2 x1 − 1  và  y2 = 2 x2 − 1
 (Đáp số:  a/  y 2 − 4 y + 3 − m 2 = 0  ; b/  y 2 − 2 y − (4m 2 − 3) = 0 )

3/Tìm hai số biết tổng và tích của chúng:
Nếu hai số  có tổng   bằng S và tích bằng P thì hai số  đó là hai nghiệm của 
phương trình : x2 – Sx + P = 0  (đk: S2 ­ 4P ≥ 0)
Ví dụ: 
8/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = ­ 3 và tích P = a.b = ­ 4.
Giải:  
Vì: S = a + b = ­ 3 và tích P = a.b = ­ 4 
Nên a, b là hai nghiệm của phương trình: x2 + 3x – 4 = 0
     giải  phương trình trên ta được x1= 1 và  x2= ­ 4
Vậy nếu a = 1   thì b = ­ 4
nếu a = ­ 4 thì b = 1
Bài tập áp dụng:  
              Tìm hai số a, b biết tổng S và tích P:
a/ S = 3     và  P = 2
b/ S = ­3    và  P = 6
c/ S = 9     và  P = 20
d/ S = 2x     và  P = x2 – y2
Bài tập nâng cao:  
              Tìm hai số a, b biết:
a/ a + b = 9     và  a2 + b2 = 41     
b/ a ­ b = 5      và  a.b = 36
c/ a2 + b2 =61  và  a.b = 30
 Hướng dẫn: 
   a/ Theo đề  bài ta dã biết tổng của hai số  a và b, vậy để  áp dụng hệ 
thức Vi­ét thì cần tìm tích của hai số a và b.
    Từ  a + b = 9

( a + b)

2

= 81

a + 2ab + b = 81
2

2

ab =

(

81 − a 2 + b 2
2

) = 20

    Suy ra:  a, b là nghiệm của phương trình có dạng:  x 2 − 9 x + 20 = 0

x1 = 4
x2 = 5

    Vậy:    Nếu a = 4   thì  b = 5
   Nếu a = 5   thì  b = 4
            b/ Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng: a + b
Cách 1: Đặt c = ­b ta có: a + c = 5 và a.c = ­36

        Suy ra:  a, c là nghiệm của phương trình có dạng:  x 2 − 5 x − 36 = 0

x1 = −4
x2 = 9

    Do đó:    Nếu a = ­ 4   thì  c = 9   nên  b = ­9
      Nếu a = 9     thì  c = ­ 4 nên  b = 4
2
2
2
2
Cách 2: Từ  ( a − b ) = ( a + b ) − 4ab ( a + b ) = ( a − b ) + 4ab = 169
                                                    

( a + b)

2

= 132

a + b = −13
a + b = 13

­   Với   a   +   b   =   ­13   và   ab   =   36,   nên   a,   b   là   nghiệm   của   phương   trình   :  
x 2 + 13 x + 36 = 0

x1 = −4
x2 = −9

Vậy a = ­ 4 thì b = ­ 9

9/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
­   Với   a   +   b   =   13   và   ab   =   36,   nên   a,   b   là   nghiệm   của   phương   trình   :  
x1 = 4

x 2 − 13 x + 36 = 0

x2 = 9

Vậy a =  4 thì b = 9
c/ Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
    Từ  a 2 + b 2 = 61

( a + b)

2

a + b = −11
a + b = 11

= a 2 + b 2 + 2ab = 61 + 2.30 = 121 = 112

­ Nếu a + b = ­11 và ab = 30 thì   a, b là hai nghiệm của phương trình :  
x1 = −5

x 2 + 11x + 30 = 0

x2 = −6

Vậy a = ­ 5 thì b = ­ 6 hay a = ­ 6 thì b = ­ 5
­ Với a + b = 11 và ab = 30, nên a, b là hai nghiệm của phương trình :  
x1 = 5

x 2 − 11x + 30 = 0

x2 = 6

Vậy a =  5 thì b = 6 hay a =  6 thì b = 5
Ứng dụng 3: Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị  
của các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm. Xác định dấu các nghiệm  
của phương trình bậc hai.
Điều quan trọng nhất đối với các bài toán dạng này là phải biết biến 
đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích 
hai nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi­ét rồi tính giá trị của biểu thức. 
 1/ Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện:  x1 +  x2  và x1. x2
Ví dụ 1:  
2
a/  x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
b/  x13 + x23 = ( x1 + x2 ) ( x12 − x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 
2

c/  x14 + x2 4 = ( x12 ) + ( x2 2 ) = ( x12 + x2 2 ) − 2 x12 x2 2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2  − 2 x12 x2 2
2

1

1

2

2

2

x +x

d/  x + x = 1x x 2
1
2
1 2
x
−
Ví dụ 2:    1 x2 = ?
2
2
Ta biến đổi  ( x1 − x2 ) = x12 − 2 x1 x2 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 4 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2
x1 − x2 =

( x1 + x2 )

2

− 4 x1 x2

Bài tập áp dụng:  
Từ các biểu thức đã biến đổi  trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
a/  x12 − x2 2 = ?   
                    ( HD  x12 − x2 2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) = ... )

b/ x13 − x23 = ?

           (HD  x13 − x23 = ( x1 − x2 ) ( x12 + x1 x2 + x2 2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2  = ... )
2

10/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
c/  x14 − x2 4 = ?   
          ( HD  x14 − x2 4 = ( x12 + x2 2 ) ( x12 − x2 2 ) = ... )
d/ x16 + x26 = ?    
           ( HD  x16 + x26 = ( x12 ) + ( x2 2 ) = ( x12 + x2 2 ) ( x14 − x12 x2 2 + x2 4 ) = ... )
3

3

e/ x16 − x26 = ?    
f/  x17 + x27 = ?    
g/ x15 + x25 = ?    
1

1

h/  x − 1 + x − 1 = ?
1
2
2/ Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
Ví dụ :  
Cho phương trình: x2 ­ 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

a/  x12 + x2 2
1

1

b/  x + x
1
2
Giải:  
Theo hệ thức Vi­ét,Ta có: 

S = x1 + x2 = 8
P = x1.x2 = 15

a/  x12 + x2 2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x2 2 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 82 − 2.15 = 34
2

1

1

x

x

1

1

1

1

x +x

8

b/  x + x = 1x x 2 = 18
1
2
1 2
Bài tập áp dụng:  
1/ Cho phương trình: x2 ­ 8x + 15 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
2
a/  ( x12 + x2 2 ) (Đáp án:  46)
34
b/  x1 + x2
(Đáp án:   )
15
2
1
2/ Cho phương trình: 8x2 ­ 72x + 64 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/  x12 + x2 2 (Đáp án:  65)
9
b/  x + x
(Đáp án:   )
8
1
2
3/ Cho phương trình: x2 ­ 14x + 29 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:

a/  x12 + x2 2 (Đáp án:  138)
14
b/  x + x
(Đáp án:   )
29
1
2
4/ Cho phương trình: 2x2 ­ 3x + 1 = 0, Không giải phương trình, hãy tính:
a/  x12 + x2 2 (Đáp án:  1)
x

x

b/  x +1 1 + x +2 1
2
1

5
6

(Đáp án:   )
11/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
1

1

c/  x + x

1
2
1− x

(Đáp án:  3)
1− x

d/  x 1 + x 2
(Đáp án:  1)
1
2
5/ Cho phương trình: x2 ­ 4 3 x + 8 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 . Không giải phương 
trình, hãy tính:
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
Q=
5 x1 x23 + 5 x13 x2

(

)

2

2
6. 4 3 − 2.8
6 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2
6 x12 + 10 x1 x2 + 6 x2 2
17
Q
=

=
=
=
(HD: 
3
3
2
2
5 x1 x2 + 5 x1 x2
80 )

5 x1 x2 ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 
5.8
4
3
−
2.8



(

)

6/ Cho phương trình: x2 ­ 3x + m = 0, với m là tham số, có 2 nghiệm x 1, x2   (x1> 
x2 ). Tính giá trị biểu thức :  A = x13 x2 − x1 x23  theo m.
(Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên của tỉnh Đồng Nai năm 2008)
3/ Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:
Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) .Hãy tìm điều kiện để phương trình 
có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm,…

Ta lập bảng xét dấu sau:
Dấu  
nghiệm
trái dấu
cùng dấu
cùng dương
cùng âm

x1 x2
m

+
­

+
­

S   =   x1  +   P = x1 x2
x2
P < 0
P > 0
S > 0
P > 0
S < 0
P > 0

Điều kiện chung


 

 
 
 

0
0
0
0

 
 
 
 

0 ; P< 0
0 ; P > 0
0 ; P > 0 ; S > 0
0 ; P > 0 ; S < 0

Ví dụ :  
Xác định tham số m sao cho phương trình: x2 – (3m + 1) x + m2 – m – 6 = 0 có 
2 nghiệm trái dấu.
Giải:  
Để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu thì: 
2

∆ 0
P<0

(

∆ = ( 3m + 1) − 4.2. m 2 − m − 6

)

0

∆ = ( m − 7)

2

0∀m

m −m−6
P = ( m − 3) ( m + 2 ) < 0
P=
<0
2
Vậy với  −2 < m < 3  thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu.
2

−2 < m < 3

Bài tập áp dụng:  
1/ Xác định tham số m sao cho phương trình: mx2 – 2(m + 2) x + 3(m ­ 2) = 0 
có 2 nghiệm cùng dấu.
12/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS

2/ Xác định tham số m sao cho phương trình: 3mx2 + 2(2m + 1) x + m = 0 có 2 
nghiệm âm.
3/ Xác định tham số m sao cho phương trình: (m ­ 1)x2 +2x + m = 0 có ít nhất 
một nghiệm không âm.
Ứng dụng 4: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1, x2 không phụ thuộc 
vào tham số  hay tìm hệ  thức liên hệ  giữa hai nghiệm x1, x2 độc lập với 
tham số.
Để làm các bài toán dạng này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
Đặt điều kiện cho tham số  để  phương trình đã cho có 2 nghiệm   x1  và x2 
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
Áp dụng hệ thức Vi­ét viết S = x1 + x2  và P = x1. x2   theo tham số.
Dùng quy tắc cộng hoặc thế  để tính tham số theo x 1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ 
thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2 .
Ví dụ 1 :  
Cho phương trình: (m ­ 1)x2  – 2mx + m ­ 4 = 0 có 2 nghiệm x1 và x2. Lập hệ 
thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho chúng không 
phụ thuộc vào m.
Giải:  
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
m −1 0
∆' 0

m 1
m 2 − ( m − 1) ( m − 4 )

0

m 1
5m − 4 0

m 1
4
m
5

2m
2
S = x1 + x2 = 2 +
(1)
m −1
m −1
Theo hệ thức Vi­ét,Ta có: 
m−4
3
P = x1.x2 =
P = x1.x2 = 1 −
(2)
m −1
m −1
2
2
Rút m từ (1), ta có:  m − 1 = x1 + x2 − 2 m − 1 = x + x − 2 (3)
1
2
3
3
Rút m từ (2), ta có:     m − 1 = 1 − x1 x2 m − 1 = 1 − x x (4)
1 2
S = x1 + x2 =

Từ (3) và (4), ta có: 
2
3
=
x1 + x2 − 2 1 − x1 x2

2 ( 1 − x1 x2 ) = 3 ( x1 + x2 − 2 )

3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 0

Ví dụ 2 :  
Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình: (m ­ 1)x2 – 2mx + m ­ 4 = 0. chứng 
minh rằng biểu thức A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 ­ 8 không phụ thuộc giá trị  của 
m.
Giải:  
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 

13/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
m −1 0
∆' 0

m 1
m 2 − ( m − 1) ( m − 4 )

0

m 1

5m − 4 0

m 1
4
m
5

2m
m −1
Theo hệ thức Vi­ét,Ta có: 
m−4
P = x1.x2 =
m −1
S = x1 + x2 =

Thay vào biểu thức A, ta có: 

2m
m−4
6m + 2m − 8 − 8(m − 1)
0
+ 2.
−8 =
=
=0
m −1
m −1
m −1
m −1
4

Vậy A = 0 với mọi  m 1  và  m
. 
5

A = 3(x1 + x2 ) + 2 x1 x2 – 8 =  3.

Do đó biểu thức A không phụ thuộc giá trị của m.

Bài tập áp dụng:  
1/ Cho phương trình: x2 – (m + 2)x + (2m ­ 1) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy lập 
hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 độc 
lập đối với m.
Hướng dẫn:
­ Tính  ta được: = (m ­ 2)2 + 4 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm 
phân biệt x1 và x2
­ Vận dụng hệ thức Vi­ét, ta biến đổi được :  2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 − 5 = 0  độc lập đối 
với m.
2/ Cho phương trình: x2 + (4m + 1) x + 2(m ­ 4) =0 có 2 nghiệm x1 và x2. Hãy 
tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 và x2 của phương trình sao cho x1 và x2 
không phụ thuộc giá trị của m. 
Hướng dẫn:
­ Tính  ta được: = 16m2 + 33 > 0 do đó phương trình đã cho có 2 nghiệm 
phân biệt x1 và x2
­ Vận dụng hệ thức Vi­ét ta biến đổi được :  2 x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 17 = 0  không phụ 
thuộc giá trị của m.
Ứng dụng 5: Tìm điều kiện của tham số  để  thoả  mãn một hệ  thức giữa  
hai nghiệm
Đặt điều kiện cho tham số  để  phương trình đã cho có 2 nghiệm   x1  và x2 
(thường là a ≠ 0 và ≥ 0).
Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Vi­ét để giải phương trình (có 

ẩn là tham số).
Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.
Ví dụ 1 :  
14/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Cho phương trình: mx2 – 6(m ­ 1) x + 9(m – 3) = 0. Tìm giá trị của tham số m  
để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:  x1 + x2 = x1 x2
Giải:  
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 
m

m −1 0
∆' 0

0

m

∆ ' = 3 ( m − 21) 
m

0

∆ ' = 9 ( m − 1)

2

− 9 ( m − 3) m 0

0

(

)

∆ ' = 9 m 2 − 2m + 1 − 9m 2 + 27 0

m 0
m −1

0

6(m − 1)
m
Theo hệ thức Vi­ét,Ta có: 
9(m − 3)
P = x1.x2 =
m
Vì   x1 + x2 = x1 x2   (giả thiết)
6(m − 1) 9( m − 3)
=
6(m − 1) = 9(m − 3) 3m = 21
Nên 
m
m
S = x1 + x2 =

m = 7  ( thỏa mãn)

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức: 
x1 + x2 = x1 x2

Ví dụ 2 :  
Cho phương trình: x2 – (2m + 1) x + m2 + 2 = 0. Tìm giá trị của tham số m để 2 
nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:  3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0
Giải:  
Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì: 

(

2
∆ ' = ∆ ' = ( 2m + 1) − 4 m + 2
2

)

Theo hệ thức Vi­ét,Ta có: 

7
4
S = x1 + x2 = 2m + 1
0

m

P = x1.x2 = m 2 + 2

Vì   3x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0   (giả thiết)

Nên  3 ( m + 2 ) − 5 ( 2m + 1) + 7 = 0
2

m = 2(TM )
4
m = ( KTM )
3

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm   x1  và x2  thỏa mãn hệ  thức: 
3 x1 x2 − 5 ( x1 + x2 ) + 7 = 0

Bài tập áp dụng:  
1/ Cho phương trình: mx2 +2 (m ­ 4)x + m + 7 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:  x1 − 2 x2 = 0
2/ Cho phương trình: x2 + (m ­ 1)x + 5m ­ 6 =0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:  4 x1 + 3x2 = 1
3/ Cho phương trình: 3x2 ­ (3m ­ 2)x – (3m + 1) = 0 .
Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:  3x1 − 5 x2 = 6
Hướng dẫn:
15/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Đối với các bài tập dạng này ta thấy có một điều khác so với bài tập ở VD1  
và VD2 ở chỗ:
+ Trong ví dụ  thì biểu thức nghiệm đã chứa sẵn tổng nghiệm   x1 + x2 và tích 
nghiệm  x1 x2  nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức Vi­ét để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như 
vậy, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi 
về  biểu thức có   chứa tổng nghiệm   x1 + x2 và tích nghiệm   x1 x2 rồi từ  đó vận 

dụng tương tự cách làm đã trình bày ở VD1 và VD2.
Bài 1: 
ĐKXĐ:  m 0; m

16
15

Theo hệ thức Vi­ét,Ta có: 

S = x1 + x2 =

m+7
P = x1.x2 =
m

Theo đề bài ta có: 
x1 − 2 x2 = 0

Suy ra: 

x1 = 2 x2

x1 + x2 = 3 x2

2 ( x1 + x2 ) = 3 x1

− ( m − 4) m
m

( 1)

2 ( x1 + x2 ) = 6 x2

x1 + x2 = 3 x2

2 ( x1 + x2 ) = 3x1

2 ( x1 + x2 ) = 9 x1 x2 ( 2 )
2

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 
m2 + 127m ­ 128 = 0 m1 = 1 ; m2 = ­128 .
Bài 2: 
ĐKXĐ: 11 − 96 m 11 + 96
Theo hệ thức Vi­ét, Ta có: 

S = x1 + x2 = 1 − m
P = x1.x2 = 5m − 6

Theo đề bài ta có:  4 x1 + 3x2 = 1
                                               

( 1)

x1 = 1 − 3 ( x1 + x2 )

x2 = 4 ( x1 + x2 ) − 1
x1 x2 = 1 − 3 ( x1 + x2 )  . 4 ( x1 + x2 ) − 1
x1 x2 = 7 ( x1 + x2 ) − 12 ( x1 + x2 ) − 1( 2 )
2

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình: 12m(m – 1) = 0

 
m=0
(TMĐK).
m =1

Bài 3: 
2
2
Vì   ∆ = ( 3m − 2 ) + 4.3 ( 3m + 1) = 9m 2 + 24m + 16 = ( 3m + 4 ) 0 với mọi số  thực m nên 
phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
3m − 2
3
( 1)
− ( 3m + 1)

S = x1 + x2 =

Theo hệ thức Vi­ét, Ta có: 
P = x1.x2 =

3

16/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Theo đề bài ta có:  3x1 − 5 x2 = 6

                                                

8 x1 = 5 ( x1 + x2 ) + 6

8 x2 = 3 ( x1 + x2 ) − 6

 

64 x1 x2 = 5 ( x1 + x2 ) + 6  . 3 ( x1 + x2 ) − 6 
64 x1 x2 = 15 ( x1 + x2 ) − 12 ( x1 + x2 ) − 36
2

Thế (1) vào (2) ta đưa về phương trình:      m ( 45m + 96 ) = 0
m=0

                                                                 

m=−

32 (TMĐK).
15

Ứng dụng 6:  định lý Vi­ét trong giải toán chứng minh.
1. Ví dụ :Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phương trình: x 2 + px + 1 = 0 và b, c 
là nghiệm của phương trình x2 + qx + 2 = 0
Chứng minh: (b ­ a)(b ­ c) = pq ­ 6.
Cách giải:
Ta có : a, b là nghiệm của phương trình: x2 + px + 1 = 0
 b, c là nghiệm của phương trình: x2 + qx + 2 = 0. 
a b -p

b c -q
Theo định lý Vi­ét ta có: 
  và 
a.b 1
b.c 2
2 
                     Do đó: (b – a)(b – c) = b + ac ­ 3
(1)
2 
pq = (­ p)(­ q) = (a + b)(b + c) = b + ac + 3
Suy ra: pq ­ 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac ­ 3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (b ­ a)(b ­ c) = pq ­ 6 (đpcm)
Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:
a + b + c = ­ 2    (1);
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn 

4
;0
3

khi biểu diễn trên trục 

số:
Cách giải:
Bình phương hai vế của (1) được: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4
Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 ­ 2): 2 = 1   bc = 1 ­ a(b + c) = 1 ­ a(­ 2 ­ a) = a 2 + 
2a + 1
Ta lại có: b + c = ­ (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phương trình :
X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0   (*)

Để (*) có nghiệm ta phải có:   = (a+2)2 ­ 4(a2+2a+1)   0   a(3a + 4)   0 
4
3

 ­     a   0
4
3

4
3

Chứng minh tương tự ta được: ­     b   0;  ­     c   0
2. Bài tập:
1.  Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0. Gọi c, d là 
hai nghiệm của phương trình: y2 + qy + 1 = 0
17/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Chứng minh hệ thức: (c­a)(a­b)(b­c)(b­d) = (p­q)2
2. Chứng minh rằng khi viết số x = () 200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số 
liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9.
Ứng dụng 7: Áp dụng định lý Vi­ét giải phương trình và hệ phương trình.
1. Ví dụ:
5 x
x 1

Ví dụ 1: Giải phương trình:     x

5 x

=6
x 1

x

Hướng dẫn: ĐKXĐ: {x R   x   ­ 1}
Đặt:

u

5
x
5
x
x
x.

x
1
x      
1

 

u

?

u.

?

5
x
5
x.
x

x
5 x
x
1
x 1
x
5 x
. x
1
x 1

Tính: u, v, rồi từ đó tính x.
Bài giải:
ĐKXĐ: {x   R   x   ­ 1}
Đặt:

u

5
x
5
x

x
x.

x
1
x (*)   
1

u

 

x.
u.

 

u

5

u.

6

u, v là nghiệm của phương trình: 
x2 ­ 5x + 6 = 0
                                                                = 25 – 24 = 1
                                                             x1 = 
u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3

Nếu:

u

3
  thì (*) trở thành: 
2

5 1
5 1
 = 3, x2 = 
 = 2
2
2

x2 ­ 2x + 3 = 0

                                                ' = 1 – 3 = ­ 2 < 0
Nếu:

u

 Phương trình vô nghiệm

2
  thì (*) trở thành: x2 ­ 3x + 2 = 0 Suy ra: x1 = 1; x2 = 2
3

Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình:

x y 11
x y yx 7
                         a) 
                                 b) 
xy 31
xy 2 x 2y 12
Bài giải :
a) x, y là nghiệm của phương trình:  X2 – 11X +31 = 0
=(­11)2 ­ 4.1.31 = 121 – 124 = ­ 3  < 0  Phương trình vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Đặt x + y = S và xy = P
S P 7
Ta có hệ: 
S.P 12
Khi đó S và P là hai nghiệm của phương trình: t2 – 7t + 12 = 0.
18/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Giải phương trình này được t = 4 và t = 3.
+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phương trình : u2 ­ 4u + 3 = 0
 u = 1 và u = 3
Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1)
+ Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phương trình: v2 – 3v + 4 = 0
Phương trình này vô nghiệm vì   = 9 ­ 16 = ­ 7 < 0
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là: (x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)
2. Bài tập:
1. Giải phương trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0
2. Giải các hệ phương trình sau:
x y 3

x y 9
                     a)  2 2
                                        b)  4 4
x y 4
x y 17
Ứng dụng 8 : Định lí Vi –ét với bài toán cực trị: 
Ví dụ 1 :  Cho phương trình: x2 + (2m ­ 1) x ­ m = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm 
của phương trình. Tìm m để: A =  x12 + x2 2 − 6 x1 x2  có giá trị nhỏ nhất.
Giải:  
Theo hệ thức VI­ ÉT,Ta có: 

S = x1 + x2 = − ( 2m − 1)
P = x1.x2 = − m

Theo đề bài ta có: 
2
2
2
A =  x12 + x2 2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = ( 2m − 1) + 8m = 4m2 − 12m + 1 = ( 2m − 3) − 8 −8  
Suy ra:  min A = −8

2m − 3 = 0

m=

3
2

Ví dụ 2 :  Cho phương trình: x2 ­ mx + m ­ 1 = 0. Gọi x 1 và x2 là các nghiệm 
của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biều thức sau:

B=

2 x1 x2
x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1)
2
1

2

Giải:  
Theo hệ thức Vi­ét , Ta có: 

S = x1 + x2 = m
P = x1.x2 = m − 1
2x x

2x x

1 2
1 2
=
Theo đề bài ta có:  B = x 2 + x 2 + 2 x x + 1 =
2
(
)
( x1 + x2 ) + 2
1
2
1 2
Cách 1: Biến đổi B bằng cách thêm, bớt như sau:

B=

(

) = 1 − ( m − 1)

m 2 + 2 − m 2 − 2m + 1
m2 + 2

Vì  ( m − 1) 2 0

( m − 1)

2

m2 + 2

2

m2 + 2

0

B 1

Vậy maxB = 1  m = 1
Với cách thêm, bớt khác ta lại có:
19/26

2 ( m − 1) + 3
m +2
2

=

2m + 1
m2 + 2


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
1 2
1
1 2
1
2
m + 2m + 2 − m 2 − 2
m + 4m + 4 − m 2 + 2
( m + 2) 1
2
2
2
2
B=
=
=
−
m2 + 2
m2 + 2
2 m2 + 2 2

(

Vì  ( m + 2 )

2

0

( m + 2)

(

2

2 m +2
2

)

)

0

(

)

(

1
1
− . Vậy  min B = −
2
2

B

)

m = −2

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc hai với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ 
tìm điều kiện cho tham số B để  phương trìnhdã sho luôn có nghiệm với mọi 
m.
2m + 1
Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0   (với ẩn là m và B là tham số)     (*)
m2 + 2
Ta có:  ∆ = 1 − B ( 2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B

   B =

Để phương trình trên (*) luôn có nghiệm với mọi m thì ≥ 0 
Hay 1 − 2 B 2 + B 0 2 B 2 − B − 1 0 ( 2 B + 1) ( B − 1) 0
2B + 1 0
B −1 0
2B + 1 0
B −1 0

Vậy:   max B = −1

B

−

1
2

B 1
1
B −
2
B 1

−

1
2

B 1

m = 1 ;  min B = −

1
2

m = −2

Bài tập áp dụng:  
1/ Cho phương trình: x2 +(4m + 1)x + 2(m – 4) =0 .

2
Tìm m để biểu thức   A = ( x1 − x2 )  có giá trị nhỏ nhất.
2/ Cho phương trình: x2   ­ 2(m ­ 1)x – 3 – m = 0 . Tìm m sao nghiệm x1 và x2 
thỏa mãn điều kiện  x12 + x2 2 10  có giá trị nhỏ nhất.
3/ Cho phương trình: x2  ­ 2(m ­ 4)x + m2 – 8 = 0 . Xác định m sao 2 nghiệm x 1 
và x2 thỏa mãn điều kiện :
a/  A = x1 + x2 − 3x1 x2  đạt giá trị lớn nhất.
b/  B = x12 + x2 2 − x1 x2  đạt giá trị nhỏ nhất.
4/ Cho phương trình: x2 ­ (m – 1)x ­ m2 + m – 2 =0 . Với giá trị nào của m để 
biểu thức   C = x12 + x2 2  đạt giá trị nhỏ nhất.
5/   Cho   phương   trình:   x2  +(m   +   1)x   +   m   =0   .   Xác   định   m   để   biểu   thức  
D = x12 + x2 2  đạt giá trị nhỏ nhất.
Ứng dụng 9: Định lí vi –ét vận dụng vào đồ thị
1. Một số kiến thức cần nhớ:
a. Tìm giao điểm các đồ thị:
Xét hàm số y = f(x) có đồ thị ( C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị ( C2)
­ Số giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ 
20/26

y
y

f ( x)
g ( x)


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
­ Tọa độ giao điểm của ( C1) và ( C2) là nghiệm của hệ trên.
b. Cho 2 điểm A( x1; y1) và B(x2; y2)
­ Độ dài đoạn thẳng AB=  ( x1 x 2 ) 2 ( y1 y 2 ) 2

1
2

1
2

­ Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ  xI =  ( x1  + x2) và yI =  ( y1  + 
y2)
c. Quỹ tích đại số: Điểm A có tọa độ x A = f(m), yA = g( m) với m là tham số.  
Quỹ tích A là đồ thị của hàm số lien hệ giữa y và xA không phụ thuộc vào m, 
với giới hạn tập xác định của các hàm số trên.
2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Cho parabol  y= x2 ( P)  và đường thẳng (d) : y = mx + 2. Tìm m để 
(d) cắt (P) tại A, B  phân biệt mà đoạn AB ngắn nhất.
Giải: y= x2 ( P)  và (d) : y = mx + 2
Xét phương trình: x2 – mx – 2 = 0( 1) luôn có hai nghiệm trái dấuvì a, c trái  
dấu.
Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1).
Ta có A( x1; mx1 +2) và B( x2; mx2 +2)
AB2 = ( x1 – x2)2 + ( mx1 – mx2)2  = ( m2 +8)( m2 +1) 
­> AB ngắn nhất = 2 2  khi m = 0
Ví dụ 2:Cho parabol ( P): y = x 2 và đường thẳng ( d) : y = 2mx – m +1( với m  
≠ 0). Tìm m sao cho (d) cắt ( P) tại hai điểm A; B phân biệt có hoành độ x 1; x2 
mà  x1 x2  = 2.
Giải: Xét x2 = 2mx – m +1 x2  ­ 2mx + m  ­ 1 = 0
'= m2 – m + 1> 0 với mọi giá trị của m.
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2.
Xét  x1 x2  = 2=> (x1+ x2)2 ­ 4 x1x2 = 4 => m2 – m = 0 => m = 0 ; m= 1
Ví dụ 3: Cho  y= x2 (P) và ( d) là đường thẳng đi qua A( 1; 2) có hệ số góc k.
a.  Chứng minh với mọi k thì ( d) luôn cắt (P) ở hai điểm phân biệt.

b. Với k = 2, chứng minh ( d)  cắt (P) ở hai điểm nhận A là trung điểm.
Giải:
a. Phương trình đường thẳng( d):  y = k( x ­1) +2 = kx – k+2
Xét x2  ­ kx + k – 2 = 0 có   = k2  ­ 4k + 8 = ( k ­2) 2 +4 > o vơi mọi k
=> luôn có hai giao điểm phân biệt B và C.
1
2

k
2

b.  Khi k = 2 có  ( x1 + x2) =   = 1 là hoành độ  của A. Mà A; B; C thẳng  
hang, nên A là trung điểm của BC.
3. Bài tập thêm:
Bài 1: Cho parabol( P): y = x 2 và đường thẳng (d) : y = mx + 1( với m là tham  
số)
a. Vẽ đồ thị của ( P) và ( d) khi m = 1
21/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
b. Chứng minh ( d ) luôn đi qua một điểm cố  định và luôn cát ( P) tại A; B 
phân biệt.
c. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 2( Với O là gốc tọa độ)
Bài 2: Cho parabol( P): y = x 2 và đường thẳng (d) : y = 2x + m( với m là tham  
số)
a. Tìm m để 2 đồ thị tiếp xúc với nhau? Tìm hoành độ tiếp điểm.
b. Tìm m để 2 đồ thị cát nhau tại hai điểm mà một  giao điểm có hoành độ là 
­1. Xác định hoành độ giao điểm còn lại.
c. Giả  sử  giao điểm của hai đồ  thị  là A và B. Tìm quỹ  tích trung điểm I của 

AB.
Bài 3: Cho parabol( P): y = x2 và đường thẳng (d) : y = 4mx + 3( với m là tham 
số)
a. Chứng minh rằng: hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt mà hoành  
độ là x1; x2.
b. Chứng minh:  T = x12 +4mx2 – 3m2 – 2 > 0 với mọi m
Bài tập tổng hợp :
1. Cho phương trình bậc hai có ẩn x : x2 ­ 2mx + 2m ­ 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Đặt A = 2( x12 + x 22 ) ­ 9x1x2. 
Chứng minh A = 8m2 ­ 18m + 9. 
Tìm m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Giải:  
a)  ∆ '   = (­m)2 ­ (2m ­ 1) = m2 ­ 2m + 1 = (m ­ 1)2   0
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Áp dụng định lý Viét: x1 + x2 = 2m, x1x2 = 2m ­ 1
 A = 2( x12 + x 22 ) ­ 9x1x2 = 2[(x1 + x2)2 ­ 2x1x2] ­ 9x1x2 
     = 2[(2m)2 ­ 2(2m ­ 1)] ­ 9(2m ­ 1)
     = 8m2 ­ 13(2m ­ 1) = 8m2 ­ 26m + 13
A = 27 <=> 8m2 ­ 26m + 13 = 27 <=> 8m2 ­ 26m ­ 14 = 0
13 − 281
8
           <=> 4m2 ­ 13m ­ 7 = 0      <=> 
13 + 281
m2 =
8
m1 =

c) Giả sử x1 = 2x2  

=> 3x2 = 2m
2
          2x2  = 2m ­ 1
(2)

(1)

Lấy (2) trừ đi (1) ta được: 2x2  ­ 3x2 = ­1  <=> 2x  ­ 3x2 + 1 = 0 
2

2
2

22/26

x2 = 1
x2 =

1
2


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
3
2
1
3
Với x2 =  => x1 = 1 => m = 
2
4

Với x2 = 1 => x1 = 2 => m = 

2. Cho phương trình: (m ­ 1)x2 + 2(m ­ 1) x ­ m = 0 có ẩn là x.
a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm.
Giải:     a)   Phương   trình   này   có   nghiệm   kép   nếu:  
m 1

( m − 1) ( 2m − 1) = 0

m −1 0
∆ ' = ( m − 1) + m ( m − 1) = 0

m 1
1
m=
2

1
2

Vậy  m =  thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =  −

2

2 ( m − 1)
b
=−
= −1

2a
2 ( m − 1)

b) Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm thì :
m −1 0
∆ ' = ( m − 1) ( 2m − 1) > 0

m >1
1
m<
   
2
0 < m <1

m
>0
m −1
2 ( m − 1)
x1 + x 2 = −
<0
m −1
x1 x 2 = −

0
1
2

3. Cho phương trình x2 ­ 4x ­ (m2 + 3m) = 0
a) Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Xác định m để x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn.
y1
y
+ 2 =3
1 − y 2 1 − y1

y1 + y2 = x1 + x2;
Giải:
a) Xét  ∆ '  = 4 + m2 + 3m =  m +

3
2

2

+

7
>0
4

Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 với mọi m
b) Ta có: x12 + x22 = 4(x1 + x2) <=> (x1 + x2)2 ­ 2x1x2 = 4(x1 + x2)
Theo định lý Viét: x1 + x2 = 4; x1x2 = ­(m2 + 3m)
=> 16 + 2(m2 + 3m) = 16 <=> m2 + 3m = 0 => 

m=0
m = −3

c) y1 + y2 = x1 + x2 = 4
Từ 

y1
y
+ 2 = 3  => y1 (1 ­ y1) + y2 (1 ­ y2) = 3(1 ­ y1) (1 ­ y2)
1 − y 2 1 − y1

<=> y1 + y2 ­(y12 + y22) = 3[1 ­ (y1 + y2) + y1y2] => y1y2 = ­3 và y1 + y2 = 4
4. Cho phương trình bậc hai: 3x2 + 4(a ­ 1) x + a2 ­ 4a + 1 = 0
23/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Xác định a để  phương trình có hai nghiệm phân biệt x1  và x2  thoả  mãn hệ 
thức: 
x1 + x 2
1
1
=
+
2
x1 x 2

Giải:
* Điều kiện cần: Tìm a để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Giả sử phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:

x1 + x 2
1

1
=
+
 <=> (x1x2 ­ 2) (x1 + x2) = 0
2
x1 x 2
4(a − 1)
Hoặc là: x1 + x2 = 0 <=>  −
 = 0 <=> a = 1
3
a = −1
a 2 − 4a + 1
Hoặc là: x1x2 = 3    <=> 
 = 2 <=> a2 ­ 4a ­ 5 = 0 <=> 
a =5
3

* Điều kiện đủ:
Nếu a = 1: Ta có phương trình 3x2 ­ 2 = 0 (thoả mãn)
Nếu a = 5: Ta có phương trình 3x2 + 16x + 2 = 0 (thoả mãn)
Nếu a = ­1: Ta có phương trình 3x2 ­ 8x + 6 = 0
Phương trình này vô nghiệm (không thoả mãn)
Vậy a = 1 và a = 5
5. Cho f(x) = x2 ­ 2 (m+2)x + 6m + 1
a) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2. Tính f(x) theo t, từ  đó tìm điều kiện đối với m để  ph ương 
trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2.
Giải:
a) Xét  ∆ '  = [­ (m+2)]2 ­ (6m + 1) = m2 ­ 2m + 3 = (m ­ 1)2 + 2 > 0 ∀ m.
b) Thay x = t + 2

f(t) = (t + 2)2 ­ 2(m + 2) (t + 2) + 6m + 1
f(t) = t2 ­ 2mt + 2m ­ 3
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2 khi và chỉ  khi ph­
ương trình 
t2 ­ 2mt + 2m ­ 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.
t1 + t 2 = 2m > 0
t1 t 2

= 2m − 3 > 0

m>

3
2

6. Giả  sử  phương trình bậc hai: x2 + ax + b  1 = 0 có hai nghiệm nguyên d ­
ương.
 Chứng minh rằng a2 + b2 là một hợp số.
Giải:  Gọi x1, x2 là hai nghiệm => x1 + x2 = ­ a; x1x2 = b + 1
Ta có: a2 + b2 = [­(x1 + x2)]2 + (x1x2 ­ 1)2
=> a2 + b2 = (x12 + x22 + 2x1x2) + (x12x22 ­ 2x1x2 + 1)
=> a2 + b2 = x12 + x22 + x12x22 + 1 = (x12 + 1) (x22 + 1) => a2 + b2 là hợp số.
7.  Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình: x2 ­ 3x + a = 0
Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phương trình t2 ­ 12t + b = 0
24/26


Ứng dụng định lí Vi­et trong thực hành giải Toán cấp THCS
Cho biết 

x 1 x 2 t1
=
= . Tính a và b.
x2
t1 t 2

Giải: Áp dụng định lý Vi­ét
x1 + x2 = 3;
t1 + t2   = 12; 

x1x2 = a
t1t2   = b

x1 x 2 t 1
=
=  => x1 = kx2, x2 = kt1, t1 = kt2
x2
t1 t 2
1
Thế vào và rút ra ta được: k2 = 
4
1
* Nếu k =   thì a = 2 và b = 32
2
1
* Nếu k = ­  thì a = ­18 và b = ­288
2

Đặt k = 

8.  Cho phương trình:  ax + bx + c = 0 (a  0)
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ  để  phương trình có 2 nghiệm   mà 
nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2.
Giải: 
* Điều kiện cần: 
Giả sử phương trình có hai nghiệm là x1, x2 thoả mãn hoặc x1 = 2x2 hoặc x2 = 
2x1
=> (x1 ­ 2x1) (x2 ­ 2x1) = 0 => x1x2 ­ 2(x12 + x22) + 4x1x2 = 0 
c
a

=> 5x1x2 ­ 2[(x1 + x2)2 ­ 2x1x2] = 0=> 9x1x2 ­ 2(x1 + x2)2 = 0 => 9.  ­ 2
=> 9ac = 2b2
* Điều kiện đủ: 
Giả sử có  9ac = 2b2
Xét  ∆  = b2 ­ 4ac = b2 ­ 

b2
 = 0 
a2

−4b
−2b
8b 2 b 2
=
 => x1 = 
 và x2 = 
 => x1 = 2x2
6a
6a

9
9

PHẦN III: KẾT LUẬN
Kết quả nghiên cứu :
­ Học sinh có những tiến bộ quan trọng trong ph ương pháp giải phương trình 
bậc hai. Biết giải các bài tập khó tương tự  như  các dạng bài tập đã biết để 
làm. Có hứng thú rõ rệt trong học toán, có tư  duy đổi mới linh hoạt. Có nhu 
cầu vươn tới tìm tòi sáng tạo ở các bài tập khó hơn nữa.
­ Đối với việc vận dụng định lý Vi­ét vào việc giải ph ương trình bậc hai một 
ẩn chỉ là một trong những chuyên đề  để  các đồng nghiệp lựa chọn ôn luyện 
cho học sinh. Mong rằng đây là một chuyên đề  quan trọng giúp cho học sinh  
vận dụng một cách khoa học sáng tạo hơn trong việc học Toán. Xây dựng cho 
25/26