Một số bài toán chọn lọc ứng dụng định lí Viet

Trao đổi kinh nghiệm khi ôn tập toán lớp 9
Trong quá trình ôn tập Toán cho học sinh lớp 9 tôi thờng xây dựng và thiết kế các chuyên đề
về các bài học ,về các dạng toán hay về các cách giải cho một loại toán nào đó .Trong bài viết
này xin đợc nêu lên một ví dụ ,đó là chuyên đề về hệ thức Vi-ét- một kiến thức rất cơ bản và phổ
biến trong chơng trình đại số lớp 9.
Sau khi học sinh đợc nghiên cứu các nội dung đối với hệ thức Vi- ét trong sách giáo khoa tôi
yêu cầu các em tự hệ thống hoá kiến thức cần nhớ và các loại bài tập đã học về nội dung này rồi
tổ chức cho các em thảo luận và bổ xung cho nhau cùng với sự định hớng của thày để đợc hệ
thống các kiến thức và các dạng bài tập sau:
A/ Các kiến thức cơ bản
1. Nội dung hệ thức : Nếu phơng trình bậc hai : ax
2
+bx +c = 0 có nghiệm là x
1
và x
2
thì
x
1
+ x
2
=
a
b

và x
1
. x
2
=
a

c
2. Các ứng dụng :
Phơng trình : ax
2
+bx +c = 0 có nghiệm là x
1
=1và x
2
=
a
c


a+b+c = 0
Phơng trình : ax
2
+bx +c = 0 có nghiệm là x
1
=-1và x
2
=-
a
c


a-b+c = 0
Nếu có hai số u và v mà u+v =S còn u.v =P thì hai số đó sẽ là nghiệm của phơng trình:
t
2
-St+P = 0

3. Các hệ quả (dễ dàng các em học sinh chứng minh đợc )
Cho phơng trình bậc hai : ax
2
+bx +c = 0 thì
* Phơng trình có ít nhất nghiệm dơng 0 và - b/a 0
* Phơng trình có ít nhất nghiệm âm 0 và - b/a

0
*Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu 0 và c/a> 0
*Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng 0 và c/a>0; - b/a >0
*Phơng trình có hai nghiệm cùng âm 0 và c/a> 0; - b/a <0
*Phơng trình có hai nghiệm khác dấu a.c< 0.
B/Các dạng bài tập cơ bảnvận dụng Hệ thức Vi-ét
Dạng 1: Các bài toán về thực hiện phép tính hay chứng minh giá trị của biểu thức thông qua
việc biểu diễn dới dạng tổng và tích các nghiệm của một phơng trình
a. Các ví dụ
Bài số 1 : Cho phơng trình : x
2
+3x-5 = 0 và gọi các nghiệm là x
1
và x
2
Không giải phơng trình .Hãy tính
A = x
1
2
+ x
2
2
; B =

1
1
1
1
21
+
+
+
xx
; C = x
1
- x
2
Giải(tắt) : Ta có a.c= 1.(-5)< 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2

Theo hệ thức Vi - ét ta có : x
1
+ x
2
=-3 và x
1
. x
2
=-5
Nên có A = x
1
2

+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
-2 x
1
.x
2
=(-3)
2
-2(-5) = 19
B =
1
1
1
1
21
+
+
+
xx
=
)1)(1(
11
21

12
++
+++
xx
xx
=
1.
2
2121
12
+++
++
xxxx
xx
=
1)3(5
23
++
+
=
7
1
C
2
= x
1
2
+ x
2
2

-2 x
1
.x
2
=19 -2(-5)=29 Suy ra C =
29

Bài số 2: Cho phơng trình x
2
-2(m+1)x +m- 4 = 0
1.Chứng tỏ phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
và x
2
m
2.Chứng minh biểu thức A =x
1
(1-x
2
)+ x
2
(1-x
1
) không phụ thuộc vào giá trị của m
Giải(tắt ):1. Ta có
/
=m
2
+m+5=(m+0,5)
2

+4,75> 0 m.
Nên phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
m
2.Theo hệ thức Vi - ét ta có x
1
+ x
2
=2(m+1) và x
1
. x
2
= m- 4
Khi đó A=x
1
- x
1
. x
2
+ x
2
- x
2
. x
1
= x
1
+ x

2
-2 x
1
. x
2
=2(m+1)-2(m- 4)=10
(Không phụ thuộc vào giá trị của m )
b.Nhận xét : Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc sau :
Bớc 1: Chứng minh phơng trình có nghiệm
Bớc 2: áp dụng hệ thức tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rồi tính .
Dạng 2:Giải phơng trình bậc hai
a.Ví dụ : Giải các phơng trình :
1. x
2
-(
2
+1)x+
2
= 0 2. m
2
+(
2
+1)m+
2
= 0
Giải(tắt):
1. Ta có a+b+c =1+[-(
2
+1)]+

2
= 0 .Suy ra x
1
=1và x
2
=
2

2. Ta có a-b+c =1-(
2
+1)+
2
= 0 .Suy ra m
1
=-1và m
2
=-
2

b. Nhận xét : Để giải phơng trình bậc hai ta có thể theo các bớc sau:
Bớc 1: Lần lợt nhẩm a+b+cvà a- b+c
Bớc 2: Nếu a+b+c=0 hay a- b+c = 0 thì kết luận nh trên .Còn nếu a+b+c và
a-b+c đều khác 0 thì dùng công thức nghiệm .
Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích hoặc quy đợc về dạng tổng và tích
a.Ví dụ :Hãy tìm x và y biết
1. x+y =2 và x.y =1 4 . x- y =-5 và x.y =- 4
2. x
2
+y
2

=25 và x.y =12 5 . 2x- y =8 và x.y =- 6
3. 3x+y=1 và x.y = - 4
Giải(tắt) :
1. x và y là nghiệm của phơng trình t
2
-2t+1 = 0 Ta có t =1

2
(x=1-
2
và y=1+
2
) ; (x=1+
2
và y=1-
2
)
2. x
2
+y
2
=25 và x
2
.y
2
=144 x
2
và y
2
là nghiệm của phơngtrình :t

2
-25t+144 = 0
Ta có t =16và 9 (x=3và y=4) ; (x=-3và y=- 4) ;(x=4và y=3) ; (x=-4và y=- 3).
3. 3x+y=1 và 3x.y =- 4.3=-12 3x và y là nghiệm của phơng trình: t
2
-t-12 = 0
Ta có t =-3và 4 (x=-1và y=4) ; (x= 4/3và y=- 3)
4. x+(- y) =-5 và x.(-y) =- xy =4 x và -y là nghiệm của phơng trình :t
2
+5t+4 = 0
Ta có t =-1;-4 (x=-1và y=4) ; (x=- 4 và y=1)
5.2x+(- y)=8và2x.(-y) =-2xy=-2.(-6)=122x và -y là nghiệm củaphơng trình: t
2
-8t+12 = 0
Ta có t=2và 6 (x=1và y=-6) ; (x=3 và y=-2)
b.Nhận xét : Để giải loại bài toán dạng này ta có thể làm theo các bớc sau:
Bớc 1 : Viết các biểu thức đã cho dới dạng xác định đợc tổng và tích (nếu cha có )
Bớc 2 : Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi-ét
Bớc 3 : Giải phơng trình rồi thay vào để kết luận
2
Dạng 4: Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm
a.Ví dụ : 1.Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm là x
1
=2-
3
;x
2
=2+
3
Giải :Ta có: x

1
+x
2
=2-
3
+2+
3
=4; x
1
.x
2
=(2-
3
) .(2+
3
) = 4 - (
3
)
2
=1
Suy ra: Phơng trình bậc hai nhận các nghiệm :x
1
=2-
3
;x
2
=2+
3
là x
2

- 4x+1=0
2.Cho , là các nghiệm của phơng trình x
2
- 2kx+1= 0.Hãy lập phơng trình bậc hai
có các nghiệm là :
2
+
2
và
2
.
2
Giải : Ta có : + =2k và .=1 (Theo hệ thức Vi- ét )
Suy ra
2
+
2
=(+ )
2
-2 =(2k)
2
-2.1= 4k
2
-2;
2
.
2
=(. )
2
=1

2
=1
Vậy phơng trình phải tìm là t
2
-(4k
2
-2)t+1=0
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1 : Tính tổng và tích các nghiệm mà đề bài đã cho
Bớc 2 : Lập phơng trình dựa vào ứng dụng tìm hai số của hệ thức Vi-ét
Dạng 5: Cho một phơng trìng bậc hai đã có chứa tham số .Hãy tìm giá trị của tham số để ph-
ơng trình đó có nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó,mà trong điều kiện đó có chứa biểu
thức viết đợc dới dạng tổng tích các nghiệm các nghiệm .
a.Ví dụ :
Bài 1:Tìm m để phơng trình sau có tích các nghiệm bằng 6: x
2
+(2m+1)x +m
2
+5m = 0.
Giải: Phơng trình có nghiệm 0 (2m+1)
2
- 4(m
2
+5m) 0 m

1/16
Khi đó tích các nghiệm bằng 6 m
2
+5m = 6 m=1>1/16 (loại );m =-6

1/16(thoả mãn)
Vậy m=-6 thì phơng trình sau có tích các nghiệm bằng 6
Bài2 :Tìm a để phơng trình sau có tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất : x
2
+ax + a-2 = 0.
Giải : Ta có : =a
2
- 4(a-2) = a
2
- 4a+8=(a-2)
2
+4 >0 a Suy ra phơng trình luôn có hai nghiệm
phân biệt x
1
và x
2
Khi đó tổng bình phơng các nghiệm bằng x
1
2
+ x
2
2
=(x
1
+ x
2
)
2
-2 x
1

.x
2
=
a
2
- 2(a-2)= (a-1)
2
+3 3.Vậy tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất là 3 a = 1
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm (nếu cần)
Bớc 2: áp dụng hệ thức tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 3: Biểu diễn các biểu thức đã cho theo tổng và tích các nghiệm rồi thay giá trị của tổng
và tích các nghiệm và sau đó giải theo yêu cầu củađề bài để xácđịnh giá trị củatham số Bớc
4: Đối chiếu giá trị của tham số vừa tìm đợc với điều kiện của tham số ở bớc 1 để đa ra kết
luận .
Dạng 6:So sánh nghiệm của phơng trình với một số

cho trớc
a.Ví dụ
Bài số1: Tìm m để phơng trình x
2
-2(m+2)x +m
2
+2m-3 = 0 có ít nhất một nghiệm dơng
Ta có: Phơng trình có nghiệm dơng
/
0 và -b/a0
Do đó phơng trình x
2
-2(m+2)x +m

2
+2m-3 = 0 có ít nhất một nghiệm dơng
[-(m+2)]
2
-( m
2
+2m-3) 0 m -
2
7
2(m+2) 0 m -2 m -2
Vậy m -2 thì phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm dơng
Bài 2: Tìm k để phơng trình x
2
+ax-1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
3
Đặt t = x-2 x =t +2 .Thay vào phơng trình đã cho ta đợc
(t+2)
2
+a(t+2)-1= 0 t
2
+(4+a)t+ 2a +3 = 0 (2)
Ta thấy để phơng trình đã cho có nghiệm lớn hơn 2 thì phơng trình (2) sẽ phải có nghiệm d-
ơng .Mà phơng trình (2) có nghiệm dơng 0 và - b/a 0
(4+a)
2
- 4( 2a+3) 0 a
2
+4 0
-(4+a) 0 a

- 4 a

- 4
Vậy a

- 4 thì phơng trình x
2
+ax-1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
Bài 3: Tìm k để phơng trình x
2
+(2k+1)x +k
2
=0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1
Đặt t = x-1 x = t +1 .Thay vào phơng trình đã cho ta đợc
(t+1)
2
+(2k+1)(t+1) +k
2
= 0 t
2
+(3+2k)t +k
2
+ 2k+2 = 0 (2)
Ta thấy phơng trình (2) có hai nghiệm âm 0 và c/a >0;-b/a <0
(3+2k)
2
- 4(k
2
+ 2k+2 ) 0 k -1/4
-(3+2k) < 0 k >-3/2 k -1/4

k
2
+ 2k+2 > 0 (k+1)
2
+1 > 0
Suy ra phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm k <-1/4.
Do đó phơng trình đã cho có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1 k <-1/4.
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1: Lập phơng trình mới ẩn là t đợc xác định là t =x-

bằng cáchthay x=t+

vào ph-
ơng trình đã cho
Bớc 2: So sánh nghiệm của phơng trình mới với 0 dựa vào các hệ quả của hệ thức Vi- ét
Dạng 7:Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số .
a.Ví dụ :
Bài 1:Cho phơng trình : x
2
- 2(m- 4)x +m-3 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.Hãy tìm một hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a
Giải : Theo hệ thức Vi - ét ta có : x
1
+ x
2
= 2m-2 x

1
+ x
2
= 2m-2
x
1
. x
2
= m-3 2x
1
. x
2
= 2( m-3)
Trừ hai vế tơng ứng ta đợc x
1
+ x
2

-2x
1
. x
2
= 4
Bài 2:Cho phơng trình : (m-1)x
2
- 2(m- 4)x +m-3 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.Hãy tìm một hệ

thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m
Giải : Theo hệ thức Vi - ét ta có : x
1
+ x
2
=
1
82


m
m
= 2-
1
6

m
x
1
. x
2
=
1
3


m
m
=1 -
1

2

m

x
1
+ x
2
-2 = -
1
6

m
x
1
. x
2
-1 = -
1
2

m
.
Chia 2 vế tơng ứng ta đợc

=

+
1.
2

21
21
xx
xx
-
1
6

m
:(-
1
2

m
) = 3 .Vậy hệ thức là :
=

+
1.
2
21
21
xx
xx
=3
4
b.Nhận xét :Để giải loại toán này ta có thể thực hiện theo hai bớc sau :
Bớc 1: áp dụng hệ thức tính tổng và tích các nghiệm
Bớc 2: Cộng, trừ,nhân hay chia 2 vế để khử tham số .
Sau khi cùng học sinh ôn tập 7 dạng toán cơ bản trên tôi tiếp tục yêu cầu các em tiếp tục luyện

tập với các bài tập tơng tự và nâng cao sau :
Bài 1: Cho phơng trình : x
2
-(m-1)x- m = 0
1/Giả sử phơng trình có hai nghiệm là x
1
và x
2
.Lập phơng trình bậc hai có hai nghiệm là
t
1
=1- x
1
và t
2
=1- x
2.

2/ Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn x
1
<1< x
2.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong -Tỉnh Nam Định năm 1997)
Bài 2: Tìm a để phơng trình:(a-2)x
2
- (a- 4)x -2 = 0 có nghiệm nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Bài3 :Tìm a để phơng trình sau có tổng bình phơng các nghiệm bằng 9:x
2
+2ax+a
2
- a- 1= 0.
Bài 4 :Tìm k để phơng trình 3x
2
-4x+ 2(k- 1) = 0 có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặcbằng 5
Bài 5 : Cho phơng trình : mx
2
- 2(m+1)x +m- 4 = 0 có hai nghiệm là x
1
và x
2
.Hãy tìm một hệ
thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào a
Bài 6:Tìm k để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x
4
+3(m-1)x
2
+ m+2 = 0
Bài 7 :Tìm nghiệm còn lại của phơng trình : (m
2
-5m +3)x
2
+(3m-1)x -2 =0,biết nó có một
nghiệm bằng 1
Bài 8: Tìm m để phơng trình: x
2
- 12x + m = 0 có nghiệm x

1
và x
2
thoả mãn : x
1
= x
2
2
.
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 -Tỉnh Nam Định năm 1996)
Trên đây là những nét cơ bản của khi ôn tập một chuyên đềcủa Đại số lớp 9 .Rất đón mong các
bạn trao đổi về chuyên đề trên và các chuyên đề khác trong chơng trình Toán 9 để giúp các em
học sinh đạt kết quả cao trong các kì thi cuối cấp .
Giáo viên Trờng T.H.C.S hảI vân (suu Tâm)
5