8 - 2019
Câu 1 (
).
x 3
a)
i
18 3 x x 2
6 x
m
m, (1) ,
(1) khi m 3.
.
m
b)
Câu 2 (5
x4
x3 y 1
.
x3 y xy x 2
1
a)
x2 y 2
ây truy
b)
là
Parabol ACB
u,
cu i c
cg
m
A , B trên m i tr c AA và BB
v
cao 30 m . Chi
n
A B trên n n c u b ng 200 m .
G iQ , P,
th
, C’, I , J , K
dài c a các dây cáp treo?
M
BC
a, CA b, AB
c.
b 2 c 2 cos A a c.cos C b.cos B .
minh r
b) Tìm t p h p các i
Câu 4
Tr
a)
N
M sao cho MB 2
MC 2
Ox
AN
d:y
M
Q
Cho x, y , z
x
MA2 .
Oxy , cho A(3;1), B( 1; 2) .
MB
Câu 5
thành các ph n b ng nhau. Các thanh
n: QQ , PP , HH , CC ' , II , JJ , KK g i là các
Cho tam giác ABC
Câu 3 (4
b)
n
ng n i n n c u v
dây cáp treo. Tính t
a) Ch
cao ng n nh t c a dây truy n trên c u là CC ' 5 m.
y z
x
MA
PQ
: x2
y2
2 xyz .
----------------------
P và
-------------------------
z2
4 xyz .
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 10
Năm học 2018 - 2019
Đáp án
Câu
Điểm
a) Đặt t =
3 + x + 6 − x Đk : 3 ≤ t ≤ 3 2 .
t = −1(l )
Phương trình có dạng: t 2 − 2t − 3 = 0 ⇔
t =3
Giải ra nghiệm x=-3 và x=6
1.0
1.0
1.0
b) (1) có nghiệm khi có phương trình t 2 − 2t =9 − 2m có nghiệm t ∈ 3;3 2
Xét hàm số f (t =
) t 2 − 2t với t ∈ 3;3 2 , sử dụng bảng biến thiên ta có ĐK
Câu 1
−9 + 6 2
phương trình có nghiệm 3 ≤ 9 − 2m ≤ 18 − 6 2 ⇔
≤ m ≤ 3.
2
a) Ta có: x 4 + x 2 y 2 =( x 2 − xy ) 2 + 2 x3 y. Đặt a =
x 2 − xy; b =
x 3 y.
Câu 2
1,0
6,0
1.0
1.0
1,0
a 2 + b =
1
a = 1.
Ta có hệ phương trình:
. Suy ra, a 2 − a − 2 = 0 ⇔
a = −2.
−a + b =−1
x 2 − xy =
1 x =
±1
⇔
3
y = 0
x y = 0
2 3
−2
Khi đó: 2
x + x 2 =
(v n).
x − xy =−2 ⇔
−
3
y= 3
x
x3 y = −2
1,0
1,0
( x; y ) ∈ {(1;0 ) , ( −1;0 )} .
5,0
y
B
Q
A
K
P
I
H C
5m y1
B′
Q′
P′ H ′ O
I′
J
y2
J′
y3
K′
30m
A′
x
200m
Giả sử Parabol có dạng: y = ax 2 + bx + c , a ≠ 0 .
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, khi đó parabol đi qua điểm A (100; 30 ) , và có đỉnh
30= 10000a + 100b + c
−b
1 2
C ( 0;5 ) . Suy ra: = 0
⇒ ( P) : y =
x + 5 . Đoạn AB chia
400
2a
5 = c
1,0
làm 8 phần, mỗi phần 25 m .
1,0
Khi đó, tổng độ dài của các dây cáp treo bằng OC + 2 y1 + 2 y2 + 2 y3
1
1
1
=5 + 2
.252 + 5 + 2
.502 + 5 + 2
.752 + 5 = 78, 75 ( m )
400
400
400
a 2 + b2 − c2
a 2 + c2 − b2
(b 4 − c 4 ) − a 2 (b 2 − c 2 )
− b.
=
=
VP =
a. c.
...
2ab
2ac
2bc
a)
(b 2 − c 2 )(b 2 + c 2 − a 2 )
=
= (b 2 − c 2 ).c osA.
2bc
b) Gọi D là đi xác định bởi hệ thức: DB + DC − DA =
0. Ta có:
Câu 3
1,0
1,0
MB 2 + MC 2 − MA2 = MD 2 + DB 2 + DC 2 − DA2 =
2
= MD 2 + DB 2 + DC 2 − DB + DC = ... = MD 2 − 2 AB.AC.cosA.
(
4,0
)
1,0
Nếu A tù, tập hợp các điểm M là tập ∅ .
1,0
Nếu A vuông, tập hợp các điểm M là { D} . .
(
)
Nếu A nhọn, tập hợp các điểm M là đường tròn D; 2 AB. AC.cos A .
a) N ∈Ox sao cho AN nhỏ nhất khi N là hình chiếu của A lên Ox khi N là hình
2.0
chiếu của A lên Ox.Vậy N(3;0)
b) M ∈ d : y =
x ⇒ M (m; m)
Đường thẳng AM có phương trình (m − 1) x − my − 2m =
0
AM cắt trục hoành tại P(
Câu 4
2m
;0)
m −1
1,0
Đường thẳng MB có phương trình: (m − 2) x − (m + 1) y + 3m =
0
4,0
3m
MB cắt trục tung tại Q(0;
)
m +1
Phương trình PQ:
m −1
m +1
x+
y 1(m ≠ ±1; m ≠ 0)
=
2m
3m
PQ đi qua I ( x0 ; y0 ) cố định ⇔ (3 x0 + 2 y0 − 6)m − 3 x0 + 2 y0 = 0∀m ≠ ±1;0
1,0
6
3 x + 2 y0 =
3
⇔ 0
⇔ I (1; )
0
2
−3 x0 + 2 y0 =
Áp dụng BDDT Cauchy cho 6 số dương: x 2 , y 2 , z 2 , x, y, z ta được:
x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ≥ 6 6 x3 y 3 z 3 =
6 xyz . Vì x 2 + y 2 + z 2 =
4 xyz nên ta có:
Câu 5
0,5
x + y + z ≥ 2 xyz . Dấu bằng xảy ra ⇔ x = y = z = x = y = z ⇒ x = y = z = 1 .
2
Trái với giả thiết: x 2 + y 2 + z 2 =
4 xyz .
2
2
0,5
1,0
Vậy x + y + z > 2 xyz .
Ghi chú: Học sinh làm theo các cách khác vẫn được chấm điểm theo từng bước có lời giải đúng.