Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân và điều khiển

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học s phạm hà nội

Lê văn hiện

tính ổn định của một số lớp hệ
phơng trình vi phân và điều khiển

Chuyên ngành: Phơng trình vi phân và tích phân
Mã số: 62. 46. 01. 05

Tóm tắt Luận án tiến sĩ toán học

Hà nội 2010


Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học
TS. Trịnh Tuấn Anh, Trường ĐH Sư phạm Hà Nội

Phản biện 1: GS.TSKH. Đinh Nho Hào, Viện Toán học
Phản biện 2: GS.TS. Nguyễn Hữu Dư, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH
Quốc Gia Hà Nội
Phản biện 3: TS. Trần Xuân Tiếp, Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội

Luận án được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp tại Trường
Đại học Sư phạm Hà Nội
Vào hồi 8 giờ 30 phút ngày 21 tháng 8 năm 2010

Có thể tìm hiểu luận án tại:

Thư viện Quốc gia, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội


DANH MỤC CÔNG TRÌNH SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN
1. Le Van Hien (2005), A note on the asymptotic stability of fuzzy differential
equations, Ukrainian Mathematical Journal, 57(7), pp. 904 − 911.
2. Le V. Hien and Vu N. Phat (2009), Exponential stability and stabilization of a
class of uncertain linear time-delay systems, Journal of The Franklin Institute,
346, pp. 611− 625.
3. L.V. Hien and V.N. Phat (2009), Delay feedback control in exponential
stabilization of linear time-varying systems with input delay, IMA Journal of
Mathematical Control and Information, 26, pp. 163 − 177.
4. Vu N. Phat and Le V. Hien (2009), An application of Razumikhin theorem to
exponential stability for linear non-autonomous systems with time-varying delay,
Applied Mathematics Letters, 22, pp. 1412− 1417.
5. L.V. Hien, Q.P. Ha and V.N. Phat (2009), Stability and stabilization of switched
linear dynamic systems with time delay and uncertainties, Applied Mathematics
and Computation, 210, pp. 223 − 231.
6.

Le V. Hien and Vu N. Phat (2009), Exponential stabilization for a class of hybrid
systems with mixed delays in state and control, Nonlinear Analysis: Hybrid
Systems, 3, pp. 259 − 265.

7.

Le V. Hien and Vu N. Phat (2010), Robust stabilization of linear polytopic
control systems with mixed delays, Acta Mathematica Vietnamica, 35(3), pp. x−x
(nhận đăng).

8.

Le Van Hien (2009), Exponential stability and stabilization of fuzzy time−
varying delay systems, International Journal of Systems Science (nhận đăng).


1

Mở đầu
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các hệ
ph-ơng trình vi phân, có nhiều ứng dụng trong thực tế kĩ thuật. Cùng với sự phát
triển của lý thuyết điều khiển, đến những năm 60 của thế kỉ XX, ng-ời ta bắt đầu
nghiên cứu tính ổn định của các hệ điều khiển (th-ờng gọi là tính chất ổn định hoá).
Từ đó đến nay, hai tính chất này đã trở thành một h-ớng nghiên cứu quan trọng trong
lý thuyết điều khiển hệ thống, cả về lý thuyết lẫn ứng dụng, thu hút sự quan tâm của
nhiều nhà toán học trong và ngoài n-ớc nh- J. Hale, V. Kolmanovskii, T. Yoshizawa,
V. Kharitonov, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Nguyễn Khoa Sơn, Phạm Kỳ Anh, Vũ
Ngọc Phát, Nguyễn Đình Công, Nguyễn Hữu D-,...
Hầu hết các quá trình trong thực tiễn kĩ thuật th-ờng liên quan đến độ trễ thời
gian nên lớp hệ có trễ đã thu hút đ-ợc nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong vài thập
kỉ gần đây.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án này là nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của một số
lớp hệ ph-ơng trình vi phân và điều khiển có trễ bằng ph-ơng pháp hàm Lyapunov.
3. Đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của các lớp
hệ ph-ơng trình vi phân và điều khiển sau:
Bằng ph-ơng pháp hàm Lyapunov, chúng tôi chứng minh đ-ợc một số tiêu chuẩn
ổn định cho lớp ph-ơng trình vi phân mờ dạng tổng quát x(t)

= f(t, x(t)). Đồng
thời chúng tôi thiết lập đ-ợc các điều kiện dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính
(LMIs) cho tính ổn định và ổn định hóa mũ của lớp hệ mờ Takagi-Sugeno có trễ biến
thiên:
r

x(t)

=
i=1

i ((t)) Ai x(t) + Di x(t d(t)) + Bi u(t) .

Bằng cách mở rộng hàm Lyapunov-Krasovskii kiểu Kharitonov, kết hợp với kĩ
thuật biến đổi mô hình bằng công thức Newton-Leibniz, chúng tôi thiết lập đ-ợc các
điều kiện dạng LMIs cho tính ổn định và ổn định hóa mũ cho lớp hệ tuyến tính không
chắc chắn, có trễ biến thiên:
x(t)

= [A0 + A0 (t)]x(t) + [A1 + A1 (t)]x(t d(t)) + [B + B(t)]u(t).
Điều kiện của chúng tôi không yêu cầu tính ổn định của ma trận A0 , đồng thời, sử
dụng đ-ợc ma trận A1 của số hạng trễ vào đánh giá tính ổn định của hệ.
Kết hợp cách tiếp cận bằng định lí Razumikhin với kĩ thuật biến đổi mô hình
bằng công thức Newton-Leibniz chúng tôi tìm đ-ợc điều kiện ổn định mũ cho lớp hệ
tuyến tính không dừng có trễ biến thiên dạng:
x(t)

= A(t)x(t) + A1 (t)x(t h(t))

2
và bỏ đ-ợc giả thiết hạn chế về tính khả vi của hàm trễ trong điều kiện mới của
chúng tôi.
Bằng cách xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii mới và cách tiếp cận bằng ph-ơng
trình vi phân Riccati ma trận, chúng tôi đ-a ra tiêu chuẩn ổn định hóa mũ của lớp
hệ điều khiển tuyến tính không dừng có trễ trên điều khiển:
x(t)

= A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)u(t h).
Các kết quả này mở rộng tiêu chuẩn của Chen và Zheng (2006), Yue (2004), Yue và
Han (2005), Zhang và các cộng sự (2007).
Sử dụng hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc tham số, chúng tôi thiết lập đ-ợc
các điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận cho tính ổn định hoá mũ của lớp hệ
tuyến tính đa diện có trễ hỗn hợp trên cả trạng thái và điều khiển dạng:
t

x(t)

= A0 x(t)+A1 x(t )+A2

t

x(s)ds+B0 u(t)+B1 u(tr)+B2
t

u(s)ds.
tr

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa mũ cho lớp hệ

chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn trễ biến thiên:
x(t)

= [A + A (t)]x(t) + [D + D (t)]x(t h(t)) + [B + B (t)]u(t)
và lớp hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ hỗn hợp trên cả trạng thái và điều khiển:
t

x(t)

= A x(t)+D x(th)+E

t

x(s)ds+B u(t)+C u(th)+F
tr

u(s)ds.
tr

Dựa trên các hàm Lyapunov-Krasovskii cải tiến, chúng tôi đã thiết lập đ-ợc một số
điều kiện đủ dạng bất đẳng thức ma trận cho phép thiết kế quy tắc bật dạng hình học
cho tính ổn định và ổn định hóa mũ các lớp hệ chuyển mạch nói trên.
4. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Trong luận án này chúng tôi sử dụng ph-ơng pháp hàm Lyapunov-Krasovskii.
Bằng cách cải tiến và mở rộng cấu trúc hàm Lyapunov-Krasovskii, chúng tôi thiết
lập đ-ợc các điều kiện mới cho tính ổn định và ổn định hóa của các lớp hệ ph-ơng
trình vi phân và điều khiển nói trên.
5. Kết quả đạt đ-ợc
Kết quả chính của luận án đ-ợc trình bày ở các ch-ơng 2, 3, 4 và đã đ-ợc công
bố trong 8 bài báo trên các tạp chí chuyên ngành trong và ngoài n-ớc.

6. Cấu trúc của luận án
Luận án gồm 4 ch-ơng, phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình công
bố của tác giả và danh mục tài liệu tham khảo.
Ch-ơng 1: Một số kiến thức và kết quả bổ trợ.


3
Ch-ơng 2: Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ ph-ơng trình vi phân
và điều khiển mờ.
Ch-ơng 3: Tính ổn định và ổn định hóa mũ của các hệ ph-ơng trình vi phân
tuyến tính có trễ.
Ch-ơng 4: Tính ổn định và ổn định hóa của các hệ chuyển mạch tuyến tính có
trễ.
Ch-ơng 1

Một số kiến thức và kết quả bổ trợ
Ch-ơng này trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định và ổn định
hoá của lớp hệ ph-ơng trình vi phân th-ờng, hệ ph-ơng trình vi phân có trễ, ph-ơng
trình vi phân mờ và một số bổ đề bổ trợ.
1.1. Bài toán ổn định và ổn định hoá
1.1.1. Bài toán ổn định
Xét hệ ph-ơng trình vi phân
x(t)

= f(t, x(t)), t

0,

(1.1)

Giả thiết rằng với mỗi (t0 , x0 ) R+ ì Rn , hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm
(t0 , x0 ) xác định trên [t0 , +) và f(t, 0) 0.
Định nghĩa 1.1. Nghiệm không của hệ (1.1) đ-ợc gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các
hằng số > 0, N
1 sao cho mọi nghiệm x(t; t0 , x0 ) của hệ (1.1) thỏa mãn điều
kiện
x(t; t0 , x0 )
N x0 e(tt0 ) , t t0 .
Cặp (, N ) đ-ợc gọi là các chỉ số ổn định mũ Lyapunov.
1.1.2. Ph-ơng pháp hàm Lyapunov
Định nghĩa 1.2. Hàm V : R+ ì Rn R, V (t, 0) = 0, t 0, khả vi liên tục đ-ợc
gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu:
(i) Hàm V (t, x) xác định d-ơng, tức là, V (t, x) a( x ), a K, (t, x) R+ ì Rn .
V V
(ii) Đạo hàm, V (t, x(t)) :=
+
f(t, x(t)) 0, với mọi nghiệm x(t) của (1.1).
t
x
Nếu hàm V (t, x) thoả mãn thêm các điều kiện:
(iii) b, c K : V (t, x) b( x ), (t, x) R+ ì Rn ;
(iv) V (t, x(t))
c( x(t) ), với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thì V (t, x) gọi là
hàm Lyapunov chặt của hệ (1.1).
Định lí 1.1. Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì hệ là ổn định. Hơn nữa, nếu hàm
Lyapunov là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận đều.
Định lí 1.2. Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thoả các điều kiện sau
(i) 1 , 2 > 0 : 1 x 2 V (t, x) 2 x 2 , (t, x) R+ ì Rn ,
(ii) 3 > 0 : V (t, x(t)) 23 V (t, x(t)) với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1).

4
Khi đó hệ (1.1) là ổn định mũ với các chỉ số ổn định mũ là 3 và N =

2
.
1

1.1.3. Bài toán ổn định hoá
Xét một hệ thống điều khiển đ-ợc mô tả bởi hệ ph-ơng trình vi phân
x(t)

= f t, x(t), u(t) , t

(1.4)

0.

Định nghĩa 1.3. Hệ điều khiển (1.4) gọi là ổn định hóa đ-ợc nếu tồn tại hàm
g : Rn Rm sao cho hệ ph-ơng trình vi phân (th-ờng gọi là hệ đóng)
x(t)

= f(t, x(t), g(x(t))),

t

0,

(1.6)

là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ng-ợc.
1.2. Bài toán ổn định, ổn định hoá hệ có trễ
1.2.1. Bài toán ổn định hệ có trễ
Xét hệ ph-ơng trình vi phân có trễ
x(t)

= F (t, xt ),

t

(1.8)

t0 .

Cho V : R+ ì C R là một hàm liên tục và x(t0 , ) là nghiệm của (1.8) đi qua
(t0 , ). Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.8) đ-ợc xác định bởi
1
V (t, xt (t0 , )) := lim sup V (t + h, xt+h (t0 , )) V (t, xt (t0 , )) .
h0+ h
Định nghĩa 1.4. Cho số > 0. Hệ (1.8) gọi là -ổn định mũ nếu tồn tại hằng số
N 1 sao cho mọi nghiệm x(t, ) của (1.8) thỏa mãn điều kiện
x(t, )

N e(tt0 ) ,

t

t0 .

Định lí 1.4. (Lyapunov-Krasovskii Stability Theorem) Giả sử F : R+ ì C Rn biến

mỗi tập R+ ì B (B là tập bị chặn trong C) thành tập bị chặn trong Rn và u, v, w :
R+ R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = v(0) = 0, u(s) > 0, v(s) > 0
với mọi s > 0. Nếu tồn tại một hàm khả vi liên tục V : R ì C R sao cho
u( (0) ) V (t, ) v( )
và
V (t, ) w( (0) )
thì nghiệm không của (1.8) là ổn định đều. Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì nghiệm
x = 0 là ổn định tiệm cận đều. Hơn nữa, nếu lim u(s) = thì nghiệm đó là ổn
s

định tiệm cận toàn cục đều.
Định lí 1.5. (Razumikhin Theorem) Giả sử F : R+ ì C Rn biến mỗi tập R+ ì B
(B là tập bị chặn trong C) thành tập bị chặn trong Rn ; u, v, w : R+ R+ là các
hàm đơn điệu không giảm, u(0) = v(0) = 0, u(s) > 0, v(s) > 0 với mọi s > 0 và
v(s) tăng ngặt.
Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V : R+ ì Rn R sao cho
(i) u( x ) V (t, x) v( x ), x Rn , t 0


5
(ii) V (t, x(t)) w( x(t) ) khi V (t + , x(t + )) V (t, x(t)), [h, 0]
và với mọi nghiệm x(t) của hệ (1.8) thì nghiệm không của (1.8) là ổn định đều.
Hơn nữa, nếu w(s) > 0 khi s > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu
không giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iii) V (t, x(t)) w( x(t) ) khi V (t+, x(t+)) p(V (t, x(t))), [h, 0] thì
nghiệm x = 0 của (1.8) là ổn định tiệm cận đều. Nếu giả thiết thêm, lim u(s) =
s

thì nghiệm đó là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
1.2.2. Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ trên trạng thái
x(t)

= F (t, xt , u(t)), t

0,

x(t) = (t), t [h, 0].

(1.9)

Định nghĩa 1.5. Hệ điều khiển (1.9) gọi là ổn định hóa đ-ợc nếu tồn tại hàm
g : Rn Rm sao cho hệ ph-ơng trình vi phân đóng (closed-loop system)
(1.10)

x(t)

= F (t, xt , g(x(t))),

là ổn định tiệm cận.
Định nghĩa 1.6. Cho số > 0. Hệ điều khiển (1.9) gọi là -ổn định hóa đ-ợc dạng
mũ nếu tồn tại hàm g : Rn Rm sao cho hệ đóng (1.10) là -ổn định, tức là, tồn
tại số N 1 sao cho mọi nghiệm x(t0 , ) của hệ đóng (1.10) thỏa mãn đánh giá mũ
x(t0 , )(t)

N e(tt0 ) , t

t0 .

1.3. Ph-ơng trình vi phân mờ và bài toán ổn định

1.3.1. Ph-ơng trình vi phân mờ
Xét bài toán Cauchy cho ph-ơng trình vi phân mờ sau
x(t)

= f(t, x(t)), t

t0 ,

x(t0 ) = x0 ,

(1.11)

trong đó, f : R+ ì E n E n và t0 R+ , x0 E n .
Định lí 1.6. Giả sử f C[R+ ì E n , E n ] thỏa các điều kiện sau
(i) a, b K : d[f(t, x), o]

(ii) d f(t, x), f(t, y)

a(t) 1 + d[x, o] , (t, x) R+ ì E n ,

b(t)d[x, y], (t, x), (t, y) R+ ì E n .

Khi đó, với mọi (t0 , x0 ) R+ ì E n , bài toán (1.11) có nghiệm duy nhất xác định
trên [t0 , +). Hơn nữa, nghiệm x(t, t0 , x0 ) liên tục theo điều kiện đầu (t0 , x0 ).
1.3.2. Bài toán ổn định cho ph-ơng trình vi phân mờ
Định nghĩa 1.11. Nghiệm x = o của (1.11) đ-ợc gọi là ổn định mũ toàn cục nếu tồn
tại > 0 và một hàm (t, h) > 0, đơn điệu tăng theo h 0, sao cho mọi nghiệm
x(t) = x(t; t0 , x0 ) của (1.11) thỏa mãn điều kiện
d[x(t), o]

(t0 , d[x0 , o])e(tt0 ) , t

t0 .


6
Nếu = (h) thì nghiệm x = o gọi là ổn định mũ toàn cục đều.
1.4. Một số bổ đề bổ trợ
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận) Giả sử S Rnìn là ma trận đối xứng
xác định d-ơng. Khi đó với mọi ma trận Q Rnìn , x, y Rn , ta có
QS 1 QT x, x .

2 Qy, x Sy, y

Bổ đề 1.2. Giả sử M Rnìn là ma trận đối xứng xác định d-ơng. Khi đó với mọi
số > 0 và với mọi hàm khả tích w : [0, ] Rn , ta có
T



w(s)ds



M



w(s)ds

0

w T(s)Mw(s)ds.



0

0

T
T
Bổ đề 1.3. (Bổ đề Schur) Giả sử X11 = X11
, X12 , X22 = X22
là các ma trận với
số chiều thích hợp. Khi đó các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng

(i)
(ii)

X11
T
X12

X12
<0
X22

1 T
X22 > 0, X11 + X12 X22

X12 < 0.

Bổ đề 1.4. Giả sử A, E, F, H là các ma trận bất kì với số chiều thích hợp và F thỏa
mãn điều kiện F T F I. Khi đó, với mọi số d-ơng và ma trận đối xứng xác định
d-ơng P , ta có
(i)

EF H + H T F T E T

EE T +

(ii) Nếu I HP H T > 0 thì

(A+EF H)P (A+EF H)T

1

H T H.

AP AT + EE T +AP H T ( IHP H T)1 HP AT .

(iii) Nếu P EE T > 0 thì

(A + EF H)T P 1 (A + EF E)

AT (P EE T )1 A +

1

H T H.

Bổ đề 1.6. (Nguyên lí so sánh) Giả sử g C[R2+ , R] và r(t) là nghiệm cực đại của
ph-ơng trình vi phân
u(t)

= g(t, u(t)), u(t0 ) = u0
(1.12)
xác định trên [t0 , ). Giả sử m C[R+ , R+ ] thỏa mãn
D + m(t)

g(t, m(t)), t

t0 .

Khi đó, nếu m(t0 ) u0 thì m(t) r(t), t t0 .
Bổ đề 1.7. (Integral Inequality) Giả sử g C[R2+ , R], g(t, .) là hàm đơn điệu không
giảm và r(t) là nghiệm cực đại của ph-ơng trình (1.12) xác định trên [t0 , ). Giả
sử m C[R+ , R+ ] thỏa mãn
t

m(t)

m(t0 ) +

g(s, m(s))ds, t
t0

Khi đó, nếu m(t0 )

u0 thì m(t)

r(t), t

t0 .

t0 .


7
Ch-ơng 2

Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp
hệ ph-ơng trình vi phân và điều khiển mờ
Ch-ơng này trình bày một số kết quả về tính ổn định cho lớp ph-ơng trình vi
phân mờ dạng tổng quát (mục 2.1) và tính ổn định, ổn định hóa cho lớp hệ mờ dạng
Takagi-Sugeno có trễ biến thiên (mục 2.2) dựa trên các bài báo [1, 8].
2.1. Tính ổn định nghiệm của ph-ơng trình vi phân mờ
Xét bài toán Cauchy cho ph-ơng trình vi phân mờ
x(t)

= f(t, x(t)), x(t0 ) = x0 , t

0.

(2.1)

Giả thiết rằng, với mỗi (t0 , x0 ) R+ ì E n , bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất xác
định trên [t0 , ) và f(t, o) = o.
Định lí 2.1. Giả sử tồn tại > 0 và hàm V LC thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) V (t, o) = 0, a K : V (t, x) a(d[x, o]), (t, x) R+ ì S();

(ii) g C[R2+ , R] sao cho g(t, 0) = 0 và
1
g(t, V (t, x));
D + V (t, x) = lim sup V (t + h, x + hf(t, x)) V (t, x)
h0+ h
(iii) Nghiệm u = 0 của ph-ơng trình vi phân th-ờng
u(t)

= g(t, u(t)), t0 R+ , u(t0 ) = u0 R+ ,

(2.2)

là ổn định.
Khi đó, nghiệm x = o của ph-ơng trình (2.1) là ổn định. Hơn nữa, nếu nghiệm u = 0
của (2.2) là ổn định tiệm cận thì nghiệm x = o của (2.1) là ổn định tiệm cận.
Hệ quả 2.1. Giả sử tồn tại > 0 và hàm V LC thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) a K : V (t, x) a(d[x, o]), V (t, o) = 0;
(ii) D+ V (t, x) 0, (t, x) R+ ì S().
Khi đó nghiệm x = o của ph-ơng trình (2.1) là ổn định.
Định lí 2.2. Giả sử tồn tại > 0 và hàm V LC thỏa các điều kiện sau:
(i) a, b K : a(d[x, o]) V (t, x) b(d[x, o]), (t, x) R+ ì S();
(ii) g C[R2+ , R] : g(t, 0) = 0; D + V (t, x) g(t, V (t, x)), (t, x) R+ ì S().
Khi đó, nếu nghiệm u = 0 của ph-ơng trình (2.2) là ổn định đều (ổn định tiệm cận
đều) thì nghiệm x = o của ph-ơng trình (2.1) là ổn định đều (ổn định tiệm cận đều).
Hệ quả 2.2. Với giả thiết (i) trong định lí 2.2 và giả sử tồn tại hàm (t) liên tục, không

âm, := 0 (t)dt < , sao cho D + V (t, x) (t)d[x, o], (t, x) R+ ì S().
Khi đó, nghiệm x = o của (2.1) là ổn định đều.
Định lí 2.3. Với giả thiết (i) trong định lí 2.2 và giả sử tồn tại hàm c(r) liên tục
trên [0, ), c(0) = 0, c(r) > 0, r > 0 sao cho D + V (t, x) c(d[x, o]), (t, x)

R+ ì S(). Khi đó, nghiệm x = o của (2.1) ổn định tiệm cận đều.


8
Định lí 2.4. Giả sử tồn tại > 0 sao cho hàm f(t, x) bị chặn trên R+ ì S() và
tồn tại hàm V LC thỏa mãn các điều kiện
(i) a([x, o]) V (t, x) b(t, d[x, o]), (t, x) R+ ì S(), a K, b(t, .) K;
(ii) g C[R2+ , R], V C[R+ ì S(), R+] sao cho g(t, 0) = 0, g(t, .) là hàm
đơn điệu không giảm, V (t, x) c(d[x, o]), c K và
D + V (t, x) + V (t, x) g(t, V (t, x)), (t, x) R+ ì S();
(iii) Nghiệm u = 0 của (2.2) ổn định.
Khi đó nghiệm x = o của (2.1) ổn định tiệm cận.
Định lí 2.5. Giả sử tồn tại hàm V C(R+ ì E n , R+ ) Lipschitz địa ph-ơng thỏa
mãn các điều kiện sau
(i) 1 d[x, o]

q

p

V (t, x)

2 d[x, o]
q

;

(ii) D+ V (t, x)
d-ơng.

3 d[x, o]

Khi đó, nếu >

3
thì nghiệm x = o của ph-ơng trình (2.1) là ổn định mũ toàn
2

+ 4 et , ở đó i , i = 1, 2, 3, 4, p, q, là các số

cục đều.
2.2. Tính ổn định và ổn định hóa mũ của một lớp hệ mờ dạng Takagi-Sugeno
có trễ biến thiên
Xét hệ ph-ơng trình vi phân điều khiển mờ dạng Takagi-Sugeno có trễ biến thiên
Luật Ri : Nếu 1 là Mi1 và . . . và Nếu p là Mip Thì
x(t)

= Ai x(t) + Di x(t d(t)) + Bi u(t), t R+ ,
x(t) = (t), t [h, 0].

(2.7)

Ph-ơng trình giải mờ của hệ (2.7) đ-ợc cho bởi
r

x(t)

=
i=1

i ((t)) Ai x(t) + Di x(t d(t)) + Bi u(t) , t

(2.8)

0.

Để đơn giản, ta viết i (t) thay cho i ((t)) trong phần tiếp theo. Hệ mở của (2.8)
(open system) đ-ợc cho bởi hệ
r

x(t)

=
i=1

i (t) Ai x(t) + Di x(t d(t)) , t R+ .

(2.9)

Cho số > 0. Với P, Q là các ma trận đối xứng xác định d-ơng, đặt
P
AT
P Di
i P + P Ai + Q
, N (P ) =
Mi (P, Q) =
2h
T
Di P
(1 à)e

Q
0

0
.
0

Định lí 2.6. Cho số > 0. Hệ (2.9) là -ổn định mũ nếu tồn tại các ma trận đối
xứng xác định d-ơng P, Q thỏa mãn các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau:
Mi (P, Q) + 2N (P )

0,

i = 1, 2, . . . , r.

(H1)


9
Hơn nữa, mọi nghiệm x(t, ) của (2.9) đều thỏa mãn đánh giá mũ
2
x(t, )
et , t 0,
1
trong đó 1 = min (P ), 2 = max (P ) + hmax (Q).
Xét hệ mờ T-S đa trễ (multiple delays)
r

x(t)

=

m

i (t) Ai x(t) +
i=1

k=1

Dki x(t dk (t)) , t R+ ,

(2.12)

với dk (t) là các hàm trễ, 0 dk (t) hk , dk (t) àk < 1 và h = maxk=1,...,m hk .
Cho số > 0. Với P, Q1 , . . . , Qm là các ma trận đối xứng xác định d-ơng, đặt
m

Xi =

AT
iP

+ P Ai +

Qk ,

Zi = P D1i

P D2i

. . . P Dmi ,

k=1

S = diag (1 à1 )e2h1 Q1 , . . . , (1 àm )e2hm Qm ,

Xi Zi
P 0
, N (P ) =
.
T
Zi S
0 0
Định lí 2.7. Cho số > 0. Hệ (2.12) là -ổn định mũ nếu tồn tại các ma trận đối
xứng xác định d-ơng P , Q1 , . . . , Qm thỏa mãn các bất đẳng thức ma trận sau:
Mi (P, Q1 , . . . , Qm ) =

Mi (P, Q1 , . . . , Qm ) + 2N (P )

0,

i = 1, 2, . . . , r.

(H2)

Hơn nữa, mọi nghiệm x(t, ) của (2.12) đều thỏa mãn đánh giá mũ
x(t, )


2

et , t

1

trong đó
1 = min (P ),
2 = max (P ) +

0,

m
k=1 hk max (Qk ).

Ví dụ 2.3. Xét hệ mờ T-S (2.9) với r = 2, hàm trễ d(t) = h sin2 t, các hàm liên
thuộc và các ma trận trạng thái của luật R1 và R2 đ-ợc cho bởi
1
1 (x(t)) =
, 2 (x(t)) = 1 1 (x(t)) và
1 + exp(2x1 (t))
4 0
5 0.1
0.1 0
0.5 0
A1 =
, A2 =
, D1 =
, D2 =
.
1 4
0 3

1 0.1
0.1 1
Với = 0.5, bảng d-ới đây cho độ trễ h với một số giá trị của à = h.
à
h

0
1.836

0.1
1.738

0.3
1.478

0.5
1.143

0.7
0.633

Bảng 2.1. Độ trễ h ứng với một số giá trị của à
Khi à = 0 (h = 1.836), hệ là ổn định mũ với = 0.5 và khi đó bằng các tính toán
theo định lí 2.6, nghiệm bất kì của hệ thỏa mãn
x(t, )

3.66 e0.5t , t

0.

10
Tiếp theo, chúng tôi xét bài toán ổn định hóa đối với hệ 2.8. Hàm điều khiển
ng-ợc dựa trên các luật đ-ợc biểu diễn dạng u(t) = ri=1 i (t)Ki x(t). Khi đó, hệ
đóng của hệ 2.8 đ-ợc cho bởi
r

r

x(t)

=
i=1 j=1

Ai + Bi Kj x(t) + Di x(t d(t)) , t

0.

(2.14)

Cho > 0. Với P, Q là các ma trận đối xứng xác định d-ơng và Yj là các ma
trận thực, kí hiệu
T T
ij = Ai P + P AT
i + Q + Bi Yj + Yj Bi ,
ij
Di P
Mij =
, i, j = 1, 2, . . . , r.
T

P Di (1 à)e2h Q

Định lí 2.8. Cho > 0. Hệ (2.8) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ nếu tồn tại các
ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q và các ma trận Y1 , Y2 , . . . , Yr thỏa mãn các
bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau:
(i)
(ii)

Mii + 2N (P ) 0, i = 1, 2, . . . , r,
Mij + Mji
+ 2N (P ) 0, i, j = 1, 2, . . . , r, i < j.
2

(H3)

Các ma trận đạt đ-ợc, Kj , đ-ợc cho bởi Kj = Yj P 1 , j = 1, . . . , r. Hơn nữa,
nghiệm bất kì x(t, ) của hệ đóng (2.14) thỏa mãn
x(t, )
trong đó, 1 =

1
max (P )

, 2 =

2
et , t
1

0,

1
hmax (Q)
+
2.
min (P )
min (P )

Ví dụ 2.4. Xét hệ (2.8) với r = 2, h = 0.5, 1 (x(t)) = sin2 (x2 (t)), 2 (x(t)) =
cos2 (x2 (t))
4 0
1 3
1 0.1
A1 =
, A2 =
, D1 =
,
4 1
0 5
0 5
1 0
0
D2 =
, B1 = B2 =
.
0.2 1
1
Với = 1.5, các điều kiện của định lí 2.8 thỏa với Y1 = Y2 = 0 10 và
0.0204 0.0444
0.0607 0.0415

P =
, Q=
.
0.0444 0.1479
0.0415 7.8736
Theo định lí 2.8, hệ đã cho là 1.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ. Các ma trận đạt
đ-ợc K1 , K2 đ-ợc cho bởi K1 = K2 = 421.3326 194.1061 và nghiệm bất kì
của hệ đóng t-ơng ứng thỏa mãn
x(t, )

122.9 e1.5t , t

0.


11
Ch-ơng 3

Tính ổn định và ổn định hoá mũ của các
hệ ph-ơng trình vi phân tuyến tính có trễ
Ch-ơng này trình bày một số kết quả về tính ổn định và ổn định hoá mũ của một
số lớp hệ ph-ơng trình vi phân và điều khiển tuyến tính có trễ dựa trên bài báo [2,
3, 4, 7].
3.1. Tiêu chuẩn ổn định và ổn định hoá mũ của các hệ tuyến tính không chắc
chắn có trễ biến thiên
Xét lớp hệ tuyến tính không chắc chắn có trễ biến thiên dạng
x(t)

= [A0 + A0 (t)]x(t) + [A1 + A1 (t)]x(t d(t)), t
x(t) = (t), t [h, 0],

0,

(3.1)

ở đó A0 (t) = E0 F0 (t)H0 , A1 (t) = E1 F1 (t)H1 là các đại l-ợng không chắc
chắn, thỏa mãn F0T (t)F0 (t) I, F1T (t)F1 (t) I; hàm trễ d(t) thỏa mãn điều kiện

0 d(t) h, d(t)
à < 1, t 0.

Định lí 3.1. Cho > 0. Hệ (3.1) là -ổn định mũ bền vững nếu tồn tại các ma trận
đối xứng xác định d-ơng P, P1 , P2 , Q, R và các số d-ơng 0 , 1 , 1 , 2 , 1 , 2 thỏa
các bất đẳng thức
ma trận tuyếntính sau

X
Y
Z
P 0 0
Y T J1
0 + 2 0 0 0 < 0
(H4)
T
Z
0
J2
0 0 0

T
P H0T
Q
P A0
A0 P P1 1 E0 E0T
0 > 0,
(H5)
H P
0
1 I

0
T
P
H
R
P AT
1
1
A1 P P2 2 E1 E1T
0 > 0,
(H6)
H1 P
0
2 I
trong đó
X = (A0 + A1 )P + P (A0 + A1 )T + 0 E0 E0T + 1 E1 E1T
+he2h A1 (P1 + P2 )AT
1 +(
Y = P H0T

1

P H1T , Z = h A1 P1 H1T

J1 = diag 0 I, 1 I , J2 = he2h diag

+

T
2 )E1 E1

+ hQ + he2h R,

A1 P2 H1T ,
1I

H1 P1 H1T ,

2I

H1 P2 H1T .

Hơn nữa, nghiệm bất kì x(t, ) của hệ thỏa mãn
2
x(t, )
et , t 0,
1
với = (1 à)1 , 1 = [max (P )]1 ,
1

2 = [min (P )]1 + h2 (max (Q) + 3 e2h max (R))[min (P )]2 .
2


12
Nhận xét 3.1. Cho A0 (t) = 0, A1 (t) = 0, chúng tôi nhận đ-ợc các điều kiện
ổn định mũ cho lớp hệ tuyến tính có trễ đ-ợc nghiên cứu trong Liu (2003), Mondie
và Kharitonov (2005), Kwon và Park (2006). Tuy nhiên, bằng kĩ thuật biến đổi mô
hình dựa trên công thức Newton-Leibniz và việc xây dựng hàm Lyapunov-Krasovskii
mới, các điều kiện của chúng tôi có -u điểm hơn, đã đ-a đ-ợc các số hạng trễ vào
đánh giá tính chất ổn định nghiệm của hệ. Chúng tôi minh họa tính -u việt của các
điều kiện trong định lí 3.1 thông qua một số ví dụ trong các bài báo của Liu (2003),
Kharitonov (2005), Kwon (2006).
Ví dụ 3.1.Xét hệ (3.1) với d(t) =
0.2 cos2 (2.5t),
4 1 0
2 1 0



A0 = 0 4 1 , A1 = 1
0 1 ,
1 0 1
0
1 6
E0 = E1 = I, H0 = H1 = 0.2I.
Với ví dụ này, tiêu chuẩn ổn định mũ của Liu (2003), Kharitonov (2005) không
áp dụng đ-ợc. Hơn nữa, dễ thấy rằng ma trận A0 là ma trận không ổn định. áp
dụng định lí 3.1, hệ là ổn định mũ với = 1 và nghiệm bất kì của hệ thỏa mãn đánh
giá x(t, ) 2.3 et , t R+ .

Ví dụ 3.2. Xét hệ tuyến tính với trễ hằng số (Liu 2003, Kwon và Park 2006)
(3.10)

x(t)

= A0 x(t) + A1 x(t h)

3 2
0.5 0.1
, A1 =
.
1
0
0.3
0
áp dụng định lí 3.1, so sánh độ trễ h và tốc độ mũ đ-ợc cho bởi các bảng sau:

ở đó, A0 =


Định lí 3.1
Park (2006)
Kharitonov (2005)
Liu (2003)
Bảng 3.1.

0.2
0.4
0.6
0.8

16.2
8.2
6.125
4.1
5.525
2.649
1.765
1.345
5.402
2.325
1.255
0.6001
0.758
0.2809
0.1234
0.0482
So sánh độ trễ h với một số tốc độ mũ

h
0.8
Kharitonov (2005)
0.7344
Liu (2003)
0.9367
Xu (2006)
0.9366
Định lí 3.1
0.98023
Bảng 3.2. So sánh tốc độ

1.2
1.6
0.6145
0.5202
0.3400
0.0752
0.8991
0.6990
0.98017
0.98003
mũ với một số độ trễ h

0.9
3.5
1.191
0.2522
0.0263

2.0
0.4481
0.0102
0.5494
0.97968

Mở rộng định lí 3.1 cho hệ tuyến tính không chắc chắn đa trễ
m

x(t)

= [A0 + A0 (t)]x(t) +

[Ak + Ak (t)]x(t dk (t)),

k=1

(3.11)


13
Định lí 3.2. Cho số > 0. Hệ (3.11) là -ổn định mũ bền vững nếu tồn tại các ma
trận đối xứng xác định d-ơng P, Pij , Qij và các số d-ơng i , j , ij , i = 1, 2, . . . , m,
j = 0, 1, . . . , m
thỏa các bất đẳng
thức ma
trận tuyến
tính sau
X
Y
Z
P 0 0
T
Y
J1
0 + 2 0 0 0 < 0,
(H7)
T
0 0 0
Z
0
J2

T
Qij
P Aj
P HjT
Aj P Pij ij Ej EjT
0 > 0,
(H8)
Hj P
0
ij I
m

ở đó, Si =

m

m

Pij , X =

j=0

Ai P + P

i=0

m

AT
i

i=0

m

m

hi e2hi

+

T
i Ei Ei

+ Ai Si AT
i +

i=1

i Ei EiT

+

i=0
m

hi

j e2hj Qij ,

i=1

T
],
Y = [P H0T P H1T . . . P Hm

Z=

j=0
[h1 A1 S1 H1T h2 A2 S2 H2T

T
. . . hm Am Sm Hm
],

J1 = diag 0 I, 1 I, . . . , m I ,
J2 = diag h1 e2h1 ( 1 I H1 S1 H1T ), . . . , hm e2hm (

mI

Hơn nữa, nghiệm bất kì x(t, ) của (3.11) thỏa mãn đánh giá
x(t, )
ở đó,

i = (1 ài )1 ,

3 = [min (P )]1 +

3
et , t
1

T
) .
Hm Sm Hm

0,

1 = [max (P )]1 ,
m
i=1

m
2hj
max (Qij )(hj hi
j=0 j e

+ 12 h2j ) [min (P )]2 .

Tiếp theo, chúng tôi xét bài toán ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính
không chắc chắn có trễ biến thiên sau
x(t)

= [A0 + A0 (t)]x(t) + [A1 + A1 (t)]x(t d(t)) + [B + B(t)]u(t). (3.12)
Định lí 3.3. Cho số > 0. Hệ (3.12) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ bền vững nếu
tồn tại ma trận khác không S, các ma trận đối xứng xác định d-ơng P, P1 , P2 , Q, R
và các số d-ơng 0 , 1 , 2 , 1 , 2 , 1 , 2 thỏa mãn các bất đẳng thức ma trận sau

X
Y
Z
P 0 0
Y T J1
(H9
0 + 2 0 0 0 < 0,
0 0 0
ZT
0
J2


T T
T
T T
Q
P AT
+
S
B
P
H
S
H
0
0

2


T
T
0
0
A0 P + BS P1 1 E0 E0 + E2 E2

> 0, (H10)
H0 P
0
1 I
0
H2 S
0
0
1 I




R
A1 P
H1 P

P AT
1
P2 2 E1 E1T
0

14

P H1T
0 > 0,
2 I

(H11)

ở đó, X = (A0 + A1 )P + P (A0 + A1 )T + BS + S T B T + 0 E0 E0T + 1 E1 E1T
+2 E2 E2T + he2h A1 (P1 + P2 )AT
1 +( 1+
Y = P H0T

P H1T

S T H2T ; Z = h A1 P1 H1T

J1 = diag 0 I, 1 I, 2 I ; J2 = he2h diag

T
2 )E1 E1

+ hQ + he2h R,

A1 P2 H1T ,

T
T
1 I H1 P1 H1 , 2 I H1 P2 H1

.

Hàm điều khiển ng-ợc đ-ợc cho bởi u(t) = SP 1 x(t), t R+ . Hơn nữa, nghiệm
bất kì của hệ đóng của (3.12) thỏa mãn
x(t, )

2
et , t R+ .
1

Ví dụ 3.3. Xét hệ điều khiển (3.12) với hàm trễ d(t) = 0.2 sin2 (4.5t) và các ma
trận
4 5
1 0
3
1 0
A0 =
, A1 =
,B =
, E0 = E1 = E2 =
,
3 4
1 2
2
0 1
0.2
0.2 0
.
, H2 =

H0 = H1 =
0
0 0.2
Theo định lí 3.3, hệ đã cho là 0.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ với hàm điều khiển
u(t) = 15.6193 53.7814 x(t) và nghiệm bất kì x(t, ) của hệ đóng thỏa mãn
đánh giá
x(t, )
211 e0.5t , t R+ .
3.2. Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên:
Cách tiếp cận bằng định lí Razumikhin
Xét lớp hệ tuyến tính không dừng với trễ biến thiên dạng
x(t)

= A(t)x(t) + A1 (t)x(t h(t)),
x(t) = (t),

t

0,

t [h, 0],

(3.15)

ở đó A(t), A1(t) Rnìn là các hàm ma trận liên tục và bị chặn trên [0, +); hàm
trễ h(t) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện 0 h(t) h, t 0.
Cho các số d-ơng , , . Với P BM + [0, +), kí hiệu
P (t) = P (t) + I, p = sup P (t) , a = sup A(t)AT(t) ,
tR+

a1 = sup
t 0

A1 (t)AT
1 (t)

t 0

, à(A) = sup à(A(t)), A(t) = A(t) + A1 (t),

t 0
T
A(t) + 2hA1 (t)A1 (t) + 2h1 I,

A(t) =
= 2à(A) + 2h 2 a1 + 2h1 + .
Định lí 3.4. Hệ (3.15) là ổn định mũ nếu tồn tại các số d-ơng , , sao cho
1
max{a, a1 }, và tồn tại một hàm ma trận P BM + [0, +) thỏa mãn


15
ph-ơng trình vi phân Riccati sau
P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + 2hP (t)A1 (t)AT
1 (t)P (t) + I = 0.

(3.16)

Hơn nữa, nghiệm bất kì x(t, ) của hệ thỏa mãn đánh giá mũ
p+

et , t 0, ở đó, =
.

2(p + )
Nhận xét 3.2. Từ chứng minh của định lí 3.4 ta thấy, điều kiện RDE (3.16) có thể
thay bởi điều kiện \lỏng" hơn: Tồn tại P BM + [0, +) thỏa mãn bất đẳng thức
ma trận
x(t, )

P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) + 2hP (t)A1 (t)AT
1 (t)P (t) + I

0.

Xét lớp hệ tuyến tính không chắc chắn với trễ biến thiên
x(t)

= [A + H(t)E]x(t) + [A1 + H1 (t)E1 ]x(t h(t)), t

0.

(3.20)

Hệ quả 3.1. Hệ (3.20) ổn định mũ nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định d-ơng X
và các số d-ơng , , i , i = 1, 2, 3, 4 sao cho 1 max{a, a1 }, 4 I E1 E1T > 0
và thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau

X XE T XE1T
2 hA1 E1T

X
I
0
0
0


< 0,
EX
0

I
0
0
(H12)
2



E1 X
0
0
3I
0

2 hE1 AT
0

0
0
4 I E1 E1T
1
ở đó, A = A + A1 ; = 2à(A) + 4h 2 a1 + 2h1 +
= X A + 2h1 I

T

+ A + 2h1 I X +

1;

2 + 3 + 4h 4

HH T + 4hA1 AT
1.

Hơn nữa, nghiệm bất kì x(t, ) của hệ (3.20) thỏa mãn
x(t, )
với N =

N et , t

0,

1
1
min (X) +
, =

.

2 1
(X)
+

min

Ví dụ 3.4. Xét hệ (3.20) với h(t) = 0.03 sin t nếu t I = k0 [2k, (2k + 1)],
h(t) = 0 nếu t R+ \ I và
1 1
4 1
A=
, A1 =
, H = I, E = 0.2I, E1 = 0.
0 1
0 3
Với = 0.25, = 4, 1 = 0.1, 2 = 3 = 0.5, 4 = 1.04, các điều kiện trong
0.8355 0.0977
hệ quả 3.1 đều đ-ợc thỏa mãn và X =
. Do đó, hệ (3.20) ổn
0.0977 0.9549
định mũ và nghiệm bất kì x(t, ) của hệ thỏa mãn
x(t, )

1.149 e0.0095t , t

0.

16
3.3. Tiêu chuẩn ổn định hóa mũ của các hệ tuyến tính không dừng có trễ trên
điều khiển
Xét lớp hệ điều khiển tuyến tính không dừng có trễ trên điều khiển
x(t)

= A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)u(t h)

x(0) = x0 , u(t) = (t),

t [h, 0],

t R+ ,

(3.21)

ở đó, A Rnìn , B, B1 Rnìm là các hàm ma trận liên tục, bị chặn trên [0, +).
1

Kí hiệu điều kiện đầu của hệ (3.21) bởi = (x0 , ) và = x0 2 + 2 2 .
Cho số > 0. Liên kết với hệ (3.21), xét ph-ơng trình vi phân Riccati (RDE)
P (t) + AT (t)P (t) + P (t)A(t) P (t)R(t)P (t) + 2P (t) + Q = 0,

(3.22)

1
B(t)B T (t) 2b21 I + h2 e2h A(t)AT(t) , b1 = suptR+ B1 (t) .
2
Định lí 3.5. Cho số > 0. Hệ (3.21) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ nếu tồn tại
P BM + [0, ), Q M + thỏa mãn RDE (3.22). Khi đó, hàm điều khiển ng-ợc

ổn định hóa hệ đ-ợc cho bởi
t
1 T
u(t) = B (t)P (t) x(t) +
B1 ( + h)u()d , t 0;
2
th
u(t) = (t), t [h, 0].
ứng dụng cho bài toán ổn định hóa bền vững của lớp hệ điều khiển tuyến tính
không chắc chắn có trễ trên điều khiển
ở đó, R(t) =

(3.26)

x(t)

= [A + A(t)]x(t) + [B + B(t)]u(t) + [B1 + B1 (t)]u(t h).

Hệ quả 3.2. Cho số > 0. Hệ (3.26) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ bền vững
nếu tồn tại ma trận Y , các ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q và các số d-ơng
, i , i = 1, 2, 3, sao cho I E1 QE1T > 0 và thỏa mãn bất đẳng thức ma trận sau



hAQ
hAQE1T

hQAT
e2h Q
0

0

< 0, (H13)
hE1 QAT
0
e2h (I E1 QE1T ) 0
T
0
0
J
ở đó,
= AP +P AT +2P +(B+B1 )Y +Y T (B+B1 )T +1 D1 D1T +2 D2 D2T +3 D3 D3T ,
= [Y T B1T heh D1 P E1T Y T E2T Y T E3T ], J = diag Q, I, 1I,

2 I, 3I

.

Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ đ-ợc cho bởi
t

u(t) = Y P

1

x(t) +

B1 u(s)ds .
th

Xét hệ điều khiển có trễ (Arstein 1982, Moon 2001, Yue 2004)
x(t)

= Ax(t) + Bu(t) + B1 u(t h), t R+ .

(3.29)


17
Hệ quả 3.3. Cho số > 0. Hệ (3.29) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ nếu tồn tại
ma rận Y và các ma trận đối xứng xác định d-ơng P, Q thỏa mãn bất đẳng thức



hAQ
Y T B1T
hQAT e2h Q
(H14)
0 < 0,
B1 Y
0
Q

ở đó, = AP +P AT +2P +(B +B1 )Y +Y T (B +B1 )T . Hàm điều khiển ng-ợc ổn
t

định hóa hệ đ-ợc cho bởi công thức u(t) = Y P

1

x(t) +
th

B1 u(s)ds , t R+ .

Ví dụ 3.5. Xét hệ điều khiển tuyến tính không dừng có trễ trên điều khiển sau
x(t)

= A(t)x(t) + B(t)u(t) + B1 (t)u(t 1), t R+ ,

(3.30)

với,
1 0
1
b (t) 0
; B1 (t) = et
;
; B(t) = 0
a1
0
4
0 1

2
1 + 4e2 1
4e2
a0 (t) =
; a1 =
; b0 (t) = 2 1 +

.
1 + e2t
2e2
(1 + e2t )2
Các điều kiện ổn định hóa của Chen (2006), Zhang (2007) không áp dụng đ-ợc
cho lớp các hệ không dừng này bởi vì các điều kiện của họ dẫn đến việc giải một hệ
vô hạn các LMIs dạng [A(t), B(t), B 1(t), P, Q, R] < 0, t 0. Cho đến nay vẫn
ch-a có một tiêu chuẩn hữu hiệu nào giải các LMIs không dừng.
1 + e2t 0

Ta có, h = 1 và b1 = 1. Cho = 1, khi đó P (t) =
0
1
2 0
BM + [0, ), Q =
M + thỏa mãn RDE (3.22). Theo định lí 3.5, hệ
0 2
(3.30) ổn định hóa đ-ợc dạng mũ với tốc độ mũ = 1. Hàm điều khiển ng-ợc cho
bởi
b (t)(1 + e2t ) 0
u(t) = 0
z(t), t 0.
0
2

Ta có p = 2, min (Q) = 2, à(A) = a1 , b = 2 1 + 4e2 , a2 = 4, 0 = 0.0579,
1 = 4.3996, 2 = 97.3941 và N = 176.0696. Theo định lí 3.5, nghiệm bất kì
x(t, ) của hệ đóng thỏa mãn x(t, )
176.1 et , t 0.
Ví dụ 3.6. Xét hệ điều khiển có trễ (Chen 2006, Moon 2001, Yue và Han 2005)

A(t) =

a0 (t)
1

x(t)

= (A + I)x(t) + B1 u(t 0.4),

(3.31)

0 0
1
; B1 =
.
1 5
0
Cho = 2 và = 0.5, hệ (3.31) là 0.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ. Hàm điều
khiển ng-ợc ổn định hóa hệ là u(t) = 339.6500 0.0402 z(t), t 0.
Với ví dụ này, giá trị lớn nhất max của Chen (2006) là max = 1.412; Yue và
Han (2005) là max = 0.5998 và hệ quả 3.2 là max = 2.4998.
với A =


18
Ví dụ 3.7. Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ trên điều khiển (Chen 2006, Moon
2001, Yue 2004, Yue và Han 2005):
(3.32)

x(t)

= (A + A)x(t) + B1 u(t 0.2),
0
1
0 0
0
; A =
, |q| , B1 =
.
q 0
1
1.25 3
Bảng d-ới đây cho giá trị max hệ (3.32) ổn định hóa đ-ợc

với A =

Ph-ơng pháp
D. Yue
Yue và Han
Chen và Zheng
Moon
Hệ quả 3.2

Năm
2004
2005
2006
2001
2009

Giá trị max
3.0323
9.8615
10.8485
11.6895
35.3187

3.4. Tiêu chuẩn ổn định hóa mũ của hệ tuyến tính đa diện có trễ hỗn hợp trên
cả trạng thái và điều khiển
Xét lớp hệ tuyến tính đa diện có trễ hỗn hợp trên trạng thái và điều khiển dạng
t

x(t)

= A0 x(t)+A1 x(t )+A2

t

x(s)ds+B0 u(t)+B1 u(tr)+B2
t

u(s)ds,
tr

(3.33)
ở đó, các ma trận Ak , Bk , k = 0, 1, 2, là các ma trận ch-a biết nh-ng thuộc tổ hợp
lồi
p

=

Ak (), Bk () =
i=1

p

i [Aki , Bki ], k = 0, 1, 2, i 0,

i = 1 ,
i=1

trong đó Akj , Bkj là các ma trận cho tr-ớc.
Cho số > 0. Với Pi , Qi , Ri Rnìn là các ma trận đối xứng xác định d-ơng,
S Rnìn là ma trận đối xứng nửa xác định d-ơng và Yi Rmìn , i = 1, 2, . . . , p,
là các ma trận bất kì, đặt
p

P =

p

i Pi , Q =
i=1

p

i Qi , R =

i=1
T T

Gij = B0i Yj + Yj B0i + e2r
ij = A0i Pj + Pj AT
0i + Gij +

i=1
T
B1i B1j

p

i Ri , Y =

i Yi ,
i=1

T
rB2i B2j

+
,
Qj + Rj , Hij = A1i Pj

A2i Pj

1 2
e
Rj , àIm , à = (1 + r)1 ,


ij Hij

, S = S 0 , N (Pj ) = Pj
Mi (Pj , Qj , Rj , Yj ) =
0 0
0
T
Hij
Dj
min (P ) = min {min (Pi )}, max (P ) = max {max (Pi )},

YjT ,

Dj = diag e2 Qj ,

i=1,2,...,p

i=1,2,...,p

0
,
0


19
max (Q) =

max {max (Qi )}, max (R) =

i=1,2,...,p

max (Y T Y ) =

max {max (Ri )},

i=1,2,...,p

max {max (YiT Yi )}, 1 =

1

,
max (P )
max (Q) + 12 2 max (R) + 1 + 12 r 2 max (Y T Y )
1
+
.
2 =
min (P )
[min (P )]2
i=1,2,...,p

Định lí 3.6. Cho số > 0. Hệ (3.33) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ bền vững nếu
tồn tại các ma trận Yi , i = 1, 2, . . . , p; tồn tại ma trận đối xứng nửa xác định d-ơng
S và các ma trận đối xứng xác định d-ơng Pi , Qi , Ri , i = 1, 2, . . . , p, thỏa mãn các
bất đẳng thức ma trận sau
(i) Mi (Pi , Qi , Ri , Yi ) + 2N (Pi ) < S,

(ii) Mi (Pj , Qj , Rj , Yj ) + Mj (Pi , Qi , Ri , Yi ) + 2N (Pi + Pj ) <

i = 1, . . . , p 1, j = i + 1, . . . , p.
Hơn nữa, nghiệm bất kì x(t, ) của hệ đóng t-ơng ứng thỏa mãn

x(t, )

(H15)

i = 1, 2, . . . , p,

2
et , t
1

2
S,(H16)
p1

0.

Ví dụ 3.8. Xét hệ điều khiển đa diện có trễ hỗn hợp trên trạng thái và điều khiển
(3.33) với p = 3, = 1, r = 1 và
A01 =

10
1
9
2
8
1
2 1
, A02 =
, A03 =
, A11 =

,
0
10
0 15
0 12
0 1

A12 =
A23 =

1
0

1
2 0
1 0
1
, A13 =
, A21 =
, A22 =
4
0 1
1 1
0

1
,
4

0 1

1
2
3
0
0
, B01 =
, B02 =
, B03 =
, B11 =
, B12 =
,
1 0
0
0
0
1
3
B13 =

0
1
2
1
, B21 =
, B22 =
, B23 =
.
2
1
1

3

Theo tiêu chuẩn hạng Kalman, các cặp (A 0i, B0i ) và (A0i +A1i , B0i ) không điều
khiển đ-ợc. Tuy nhiên, với = 0.5, các điều kiện (H15), (H16) đ-ợc nghiệm đúng
và do đó hệ là 0.5-ổn định hóa đ-ợc dạng mũ. Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa
hệ đ-ợc cho bởi công thức
u(t) = Y P 1 x(t) = (1 Y1 + 2 Y2 + 3 Y3 ) ì (1 P1 + 2 P2 + 3 P3 )1 x(t)
1
z1 p3 z2 p2 z2 p1 z1 p2 x(t),
=
p1 p3 p22
trong đó
z1 = 0.38471 1.16602 0.42233 , z2 = 0.11061 + 0.11272 0.10623 ,
p1 = 13.44441 + 4.75452 + 9.09873 , p2 = 0.12411 + 1.34642 0.03133 ,


20
p3 = 8.41911 + 14.01442 + 2.66043 .
2
Hơn nữa, chỉ số ổn định mũ N =
= 15.8316 và mọi nghiệm x(t, ) của
1
hệ đóng thỏa mãn
x(t, )
15.8316 e0.5t , t 0.
Ch-ơng 4

Tính ổn định và ổn định hoá của
các hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ
Ch-ơng này trình bày một số kết quả về tính ổn định và ổn định hóa mũ của một

số lớp hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ dựa trên các bài báo [5, 6].
4.1. Tính ổn định và ổn định hoá mũ của các hệ chuyển mạch tuyến tính không
chắc chắn có trễ biến thiên
Xét lớp hệ chuyển mạch tuyến tính không chắc chắn có trễ biến thiên dạng
x(t)

= A + A (t) x(t) + D + D (t) x(t h(t)), t R+ ,
x(t) = (t), t [h, 0],

(4.1)

ở đó : Rn I := {1, 2, . . . , N } là quy tắc bật, các đại l-ợng không chắc chắn
Ai (t), Di (t) thỏa mãn Ai (t) = E0i F0i (t)H0i ; Di (t) = E1i F1i (t)H1i , hàm

trễ h(t) thỏa mãn 0 h(t) h, h(t)
à < 1, t 0.

Định nghĩa 4.1. (Ulig 1979) Hệ ma trận {Li }, Li Rnìn , i = 1, 2, . . . , N, gọi là
đầy đủ chặt nếu với mọi x Rn \{0}, tồn tại i {1, 2, . . . , N } sao cho xT Li x < 0.
Cho các số > 0, h, à và P là ma trận đối xứng xác định d-ơng. Đặt
= (1 à)1 , = e2h + 2, 1 = min (P ),
N

N

max (DiTP Di )

2 = max (P ) + h
i=1

T
max (H1i
H1i ) ,

+
i=1

N

Si =

T
E0i E0i

2h

+e

T
E1i E1i
,Q

N

DiT P Di , R

=
i=1

AT

iP

T
H1i
H1i ;

=
i=1

T
H0i
H0i

Li (P) =
+ P Ai +
+ P Si P + Q + R + P.
Định lí 4.1. Cho số > 0. Hệ (4.1) là -ổn định mũ nếu tồn tại ma trận P đối
xứng xác định d-ơng sao cho hệ ma trận {Li (P)}, i = 1, 2, . . . , N là hệ đầy đủ chặt.
Hơn nữa, nghiệm bất kì x(t, ) của hệ thỏa mãn
x(t, )

2
et , t
1

0.


21
Ví dụ 4.1. Xét hệ chuyển mạch (4.1) với N = 2, hàm trễ h(t) = 0.5 sin2 t và

A1 , D1 =

20
4

1
1 1
,
6
1 1

E0i = E1i =

,

A2 , D2 =

5 1
1 1
,
1 30
3 4

1
0.2 0
, H0i = H1i =
0 0.2
0

,

0
.
1

3.3922 1.5840
.
1.5840 1.8170
Quy tắc bật đ-ợc xác định bởi (x(t)) = i khi x(t) i (P ), i = 1, 2. Khi đó mọi
nghiệm x(t, ) của hệ (4.1) thỏa mãn x(t, ) 5.2885 et , t 0.
Hệ quả 4.1. Cho số > 0. Hệ tuyến tính không chắc chắn có trễ
Với = 1 thì 0.5L1 (P)+0.5L2 (P) < 0.5I, ở đó, P =

x(t)

= [A + A(t)]x(t) + [D + D(t)]x(t h(t)), t

(4.4)

0,

là -ổn định mũ nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định d-ơng P thỏa mãn
AT P + P A + D T P D + P SP + P + M < 0,

(H17)

ở đó,
S = E0 E0T + e2h E1 E1T , M = H0T H0 + H1T H1 , = 2 + e2h .
Hơn nữa, nghiệm bất kì của hệ (4.4) thỏa mãn
2

x(t, )
et , t 0,
1
với 1 = min (P ), 2 = max (P ) + h max (D T P D) + max (H1T H1 ) .
4 1
0.1 0
,D =
, A
0.2,
0 4
4 0.1
D
0.2 và h = 0.5. áp dụng hệ quả 4.1, hệ ổn định mũ với = 0.9539 và
mọi nghiệm của hệ đều thỏa mãn x(t, )
5.9053 e0.9539t , t 0. Với ví dụ
này, tốc độ mũ giới hạn của Kharitonov (2005) là 0.476 và của Niculescu và cộng sự
(1998) là 0.095.
Xét lớp hệ điều khiển chuyển mạch tuyến tính có trễ biến thiên

Ví dụ 4.2. Xét hệ (4.4) với A =

x(t)

= A (t)x(t) + D (t)x(t h(t)) + B (t)u(t), t R+ ,

(4.6)

trong đó, A (t) = A + A (t), D (t) = D + D (t), B (t) = B + B (t).
Với P là ma trận đối xứng xác định d-ơng, kí hiệu
N

N

DiT P Di ,

Q=
i=1

T
T
T
T
H1i
H1i , Si = E0i E0i
+ E2i E2i
+ e2h E1i E1i
;

R=
i=1

1
T
T
T
T
Li (P) = AT
i P + P Ai P Bi Bi P + H0i H0i + P Bi H2i H2i Bi P
4
+P Si P + Q + R + P, i I.

22
Định lí 4.2. Cho số > 0. Hệ (4.6) là -ổn định hóa đ-ợc dạng mũ nếu tồn tại ma
trận đối xứng xác định d-ơng P thỏa mãn một trong các điều kiện sau
(i) Hệ ma trận {Li (P)} là hệ đầy đủ chặt;
N

(ii) Tồn tại các hằng số i 0 với

N
i=1 i

> 0 sao cho

i Li (P) < 0(H18).
i=1

1
Hàm điều khiển ng-ợc ổn định hóa hệ đ-ợc cho bởi u(t) = BT P x(t), t 0.
2
4.2. Tính ổn định và ổn định hoá mũ của hệ chuyển mạch tuyến tính trễ hỗn
hợp trên cả trạng thái và điều khiển
Xét lớp hệ chuyển mạch tuyến tính trễ hỗn hợp dạng
t

x(t)

= A x(t) + D x(t h) + E

x(s)ds, t

0,

(4.7)

tr

x(t) = (t), t [, 0], = max{h, r}.
Cho số > 0. Với P, Q, S, M là các ma trận đối xứng xác định d-ơng, đặt
Li = AT
i P + P Ai + 2P + Q + rS + M,
i = {x Rn : xT Li x < 0}, i I,
i1
1 = 1 , i = i \ j=1
j , i = 2, 3, . . . , N.
Định lí 4.3. Cho số > 0. Hệ (4.7) là -ổn định mũ nếu tồn tại các ma trận đối
xứng xác định d-ơng P, Q, S, M thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Hệ ma trận {Li } là hệ đầy đủ chặt;


M
P Di
P Ei
2h

T
Q
0
> 0, i I.

(H19)
(ii) Di P e
1 2r
T
Ei P
0
e
S
r
Quy tắc bật đ-ợc xác định bởi (x(t)) = i khi x(t) i . Hơn nữa, nghiệm bất
kì x(t, ) của (4.7) thỏa mãn
2
et , t
1

x(t, )

0,

1
ở đó, 1 = min (P ), 2 = max (P ) + hmax (Q) + r 2 max (S).
2
Xét hệ chuyển mạch tuyến tính có trễ hỗn hợp trên cả trạng thái và điều khiển
t

x(t)

= A x(t)+D x(t )+E

t

x(s)ds+B u(t)+C u(tr)+F
t

u(s)ds.
tr

(4.10)
Cho > 0, P, Q, R, M là các ma trận đối xứng xác định d-ơng, Yi , i I, là
các ma trận bất kì, kí hiệu