Luận văn thạc sĩ toán học tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
*
NGUYỄN THỊ THUỶ
TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH
■
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ THUỶ
TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH
■
Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Quang Huy
Hà Nội-2014
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Quang Huy người đã định hướng chọn đề tài và tận tình
hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô
giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã
động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt trong quá trình học tập để tôi hoàn
thành bản khóa luận này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Thị Thủy
LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài “Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến
tính” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với bất cứ
luận văn nào khác.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả
Nguyễn Thị Thủy
Mục lục
Bảng kí hiệu và viết tắt
Mỏ đầu
Kết luận
1
4
1 Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của bài toán tối ưu đa mục
tiêu tuyến tính 4
1.1 Các khái niêm cơ bản 4
1.2 Sư tồn tai và cấu trúc tâp nghiêm 5
2 Phương pháp đơn hình 10
2.1 Một số kết quả bổ trc

. 10
2.2 Phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính đơn trị . 16
2.3 Phương pháp đơn hình cho bài toán đa mục tiêu tuyến
tính . . . . 20
3 Đặc trưng tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm trong
bài toán tối ưu vectơ có tham số 31
Nội dung
3.1 Một số kết quả bổ trợ
3.2 Tính giả Lipschitz của ánh xa nghiêm .
4
Tài liệu tham khảo
Bảng kí hiệu và viết tắt
Tích vô hướng trong R

71
.
int(Á) Phần trong của tập A.
cl(A) Bao đóng của tập A.
co(A) Bao lồi của tập A.
cone(
Á)
Bao nón lồi của tập A.
df {x) Dưới vi phân của hàm / tại X .
R Tập hợp các số thực.
R
n
Không gian thực n chiều.
domA Miền xác định hữu hiệu của A.
gphF Đồ thị của ánh xạ F.
11-11» Chuẩn Euclid trong không gian M
n

M
T
Ma trận chuyển vị của ma trận M.
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Cho T là một không gian tôpô compact khác rỗng và L[Rn,Mm] (tương ứng
C[T, M]) là không gian các toán tử tuyến tính A : Kn —> Rm (tương ứng không
gian các ánh xạ liên tục b : T —► R) với chuẩn cho bởi
PIIL '■= ™
ax
\\Ax\\m (ll&IL
:=

rnax\b(t)\)
Ml„ = l íeT
ở đó, ||.||fc là Euclid trong với k € N.
Cho p := L[Mn,Rm] X C[T, M], trong đó p được cho bởi chuẩn
11-11 — ll-lli + ll-lloo- p := (^5^) e X C[T, M] ta xét
bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính
(LSVO)
p
: min ;4Æ , Æ G C(p),
ở đó, C(p) = {x € Mn I (B(t),x) < b(t),t G T},B :T Mn là ánh xạ liên tục, = {x =
(xi, x
m
) G Mm I Xỵ > 0 VA: = 1,m} là orthant không âm của Mm và ký hiệu là
tích vô hướng trong Mn.
Trong trường hợp T là tập hữu hạn phần tử, Naccache [24] đã thiết lập các điều
kiện đủ cho tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm Pareto của
bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tuyến tính dưới nhiễu liên tục chỉ có ở vế phải của
miền ràng buộc. Dưới nhiễu tuyến tính của tập ràng buộc và hàm mục tiêu là hàm
đồng nhất, Davidson [13] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính liên tục Lipschitz của ánh
xạ điểm cực biên tối ưu Pareto (giao của tập nghiệm Pareto và tập các điểm biên của
miền ràng buộc). Trong [10], các tác giả đã thiết lập các điều kiện đủ cho tính nửa
liên tục trên và nửa liên tục dưới của bài toán tối ưu vectơ nửa vô hạn tổng quát dưới
các nhiễu hàm của cả hàm mục tiêu và miền ràng buộc.
Gần đây, các điều kiện đủ cho tính giả Lipschitz của ánh xạ nghiệm Pareto dưới
nhiễu vế phải của các ràng buộc và nhiễu tuyến tính của hàm mục tiêu đã được trình
bày trong [11]. Một câu hỏi mở trong [11] về điều kiện đặt trên hai vectơ vô hướng
của một nghiệm vô hướng bởi hai vectơ này dường như là không cần thiết. Với mong
8
muốn tìm được câu trả lời cho câu hỏi này và tìm hiểu về lý thuyết tối ưu vectơ tuyến
tính nên tôi đã chọn đề tài: "Tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu

tuyến tính " cho nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn tại, cấu trúc
nghiệm, phương pháp đơn hình và tính ổn định của ánh xạ nghiệm trong trường hợp
đặc biệt tập T chỉ có hữu hạn phần tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về sự tồn tại, cấu trúc nghiệm, phương pháp đơn hình và tính giả
Lipschitz của ánh xạ nghiệm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Lý thuyết tối ưu vectơ tuyến tính, tối ưu có tham số, sự tồn tại nghiệm, phương
pháp giải và tính ổn định nghiệm.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong đại số tuyến tính, giải tích đa
trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu.
6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Trình bày tổng quan về tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là
sự tồn tại nghiệm, phương pháp giải và tính ổn định
nghiệm.
9
Chương 1 Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến
tính
1.1 Các khái niệm cơ bản
Trước tiên, ta định nghĩa một số tập con của Rn như sau г) М" : = { у
= ( y
u
Уп ) е Ш
п
: y i > о , Vi = 1, гг}; гг) м> : = {у = {у
и
,у

п
)
е Mn : Vi > о, V* = 1, гг};
•■лтап _ / У
=
Ы ’ - ’ У п ) е К" : 2/г > о, Vi = 1,71.
.
Зк
0 е {1, ,гс} : ì/ỉ0 < yị
ữ
.
Định nghĩa 1.1.1. Cho А с Rn, A Ỷ 0'
г) Điểm X € A được gọi là điểm hữu hiệu của A nếu Ệx e A sao cho
X < X .
Tập các điểm hữu hiệu của A ký hiệu là E(Á).
гг) Điểm X € A được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A nếu Ệx ẽ A sao
in) у
1
< у
2

cho X < X.
Tập các điểm hữu hiệu yếu của A ký hiệu là £lW"(A).
Nhận xét 1.1.1.
ỉ) X e A là điểm hữu hiệu của A
An ỘẼ — M> ) = {Æ} . гг) ж
G A là điểm hữu hiệu yếu của A
А п (х-Щ) = 0.
Cho X = {х е : Ах < b} là một đa diện lồi mà ở đó A là ma trận cấp mxn, b € Mm và
hàm vectơ / : Mn —> Mm, f(x) = f

m
(x)).
Xét bài toán:
(p) : min /(ж) (1.1)
xex
Ta định nghĩa nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (p) như sau
i) X được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (p) nếu Ệx E X sao cho f(x) < f(x).
Tập hợp các nghiệm hữu hiệu của bài toán (P) ký hiệu là S(X, /). гг) X được gọi là
nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (p) nếu Ệx G X sao cho f(x) < f(x).
Tập hợp các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (p) ký hiệu là s
w
(X, /). Nhận xét 1.1.2.
i)x&S(XJ)^f(x)GE(f(X)). гг) X G sw (X, /) ^ f(x) G Ew(f(X)).
1.2 Sự tồn tại và cấu trúc tập nghiệm
Định nghĩa 1.2.1. Cho в Ç Mn, в Ф 0, в được gọi là liên thông đoạn nếu Va, b £ B, có
hữu hạn điểm thuộc B: òo = а, &1, bi
+
1 = b
sao cho các đoạn [bị, bị
+
i\, ỉ = 0,1 chứa trong B.
Xét bài toán (p) mà ở đó / là hàm tuyến tính từ X vào Rm.
Định lý 1.2.1. Cho X là đa diện lồi trong Khi đó
i) Nếu 3x° € M
n
sao cho (ж
0
— м>) п X là tập compact khấc rỗng thì E(X) í 0. Do
đó, EW{X) Ф 0.
гг) Nếu E(x) và Ew (X) là các tập khác rỗng thì chúng là hợp của một số

mặt của X. Do đó, E(X) và Ew(X) là liên thông đoạn.
Chứng minh.
г) Ta đặt s = (x° — м>) п X.
Ta sẽ chứng minh E(S) с E(X) và E(S) 7^ 0 để dẫn đến E(X) Ỷ 0
• Lấy X e E(S), giả sử rằng X Ệ E(x). Khi đó, Эх € X sao cho
Từ (1.2), (1.4) suy ra 3x € s sao cho X < ж mâu thuẫn với ж € E(S) => E(S) С E(X).
• Xét
g S —У M
X H- g ( x ) = ^ 2 Xi , X =
i= 1
Ta có g là hàm liên tục trên s. Do s là tập compactnên theo tính chất
hàm sốliên tụctrên một tập compact thì tồn tại giá trị cực tiểu trên s.
Та со, ж G E(S). Thật vậy, nếu X Ệ E(S) thì 3x G s : X <
Ị X i < X i , i = ĩ,n
& 3 x e s : <
k 3i
ữ
€ {l, ,n} : x
iữ
< x
io
(1.6) mâu thuẫn với (1.5), dẫn đến X € E(S).
=> £(S) Ỷ 0 =* яро Ỷ 0 =* Ỷ 0.
гг) Ta biết rằng với mỗi hàm tuyến tính / trên Mn, tập các điểm cực tiểu của / trên X là một
tập đóng của X. Do đó, khẳng định đầu tiên của định lý được suy ra từ [22, Theorem 3.3].
Phần hai của định lý có thể thu được từ khẳng định đầu tiên và từ các kết quả tính liên
thông của phần tiếp theo liên quan tới các tập lồi. Cho Xị, ,x
k
tương ứng là các mặt mở
của X, đôi một không giao nhau và hợp của chúng là E(x). Lấy dị e X ị và xét các nón lồi

đóng
Ж
Tức là
3x G s sao cho: g{x) — min g(x)
X e s
ơ*(0i) = {/ G Km :Oi e S(X,/)}, ỉ =1,*
c * = { f e R m : f ( x ) > 0 Vĩ ẽ R>}
c° = {/ G ri(C*) : min {/(ж) : X e X} tồn tại}.
Ta có
С0 С ơ*(oi) u ơ*(a2) U U c * { a
k
) . (1.7)
Thật vậy, cho f £ c
ữ
, tập nghiệm ^(x, /) là một mặt đóng của X và
nó thuộc E(X). Do đó, có i sao cho Xị Ç S(X, /).
Nghĩa là, / G ơ*(aj). Bây giờ, cho a, b € E(x) mà a € Xj, b e X j
với г, j G { 1 ,

А ; } .

Та phải biểu diễn rằng có Ò0J •••) &Ỉ+1 € E(X) saocho
f
ữ = &0, b = 6/+1
(1.8)
. [ K , K + i ] Q E { X ) , r = 0 , 1 .
Từ [22, Proposition 3.2], ta có:
/0 e ơ° n ơ*(a,)
f
b

e c° n
sao cho: a G £(X, /
a
) ; b e S{X, fb).
Dễ dàng nhận thấy rằng c° là một tập lồi, do đó
[fa, h] Q c
Từ (1.7) ta có /i,€ c
ữ
sao cho
/ì = fa , fi = fb
[ỉa, h] = [/l, /2] u u [/,_!, /,]
(1.9)
[/r, /r+l] Ç c-(fl<(r))
ở đó, i(r) G { 1,k} , r = 1,1—1.
Từ (1.9) dẫn tới
f r + i ẽ c*(aj(r)) n C*(aj(r+1)) n ơ°
và dođó
[ữi(r), «»(r+i)] Q S ( x , f
r +
1)c E ( x ) (1-10)
Do /1= fa , a e S(X, /i) và do a G Dị nên DịÇ S(X, /1). Mặt
khác, ữj(!) = d ị và
[a, a
i(1)
] ç S ( X , h ) Ç £(x). (1.11)
Tương tự,
[ai(ỉ), 6] Ç S(x, /,) Ç £(x). (1.12)
Đặt b
0
= a , b

r
— ữj(r), 6/+1 = b, r = 1, l và sử dụng (1.10), (1.11), (1-12) ta được
(1.8). Dẫn tới -E(x) liên thông đoạn.
Với E
w
(X) chứng minh tương tự. □
Hệ quả 1.2.1.
г) Nếu 3y e R
m
sao cho (у - м>) П f(x) ф 0 thì E(f(x)) Ф 0. Do đó, S{X, f) Ỷ 0.
гг) -/Veit 5'(X, /) 7^ 0 , /S'
w
"(x, /) 7^ 0 Ш chúng là hợp của một số mặt của X và
do đó, chúng là các tập liên thông đoạn.
Chương 2 Phương pháp đơn hình
2.1 Một số kết quả bổ trỢ
Xét bài toán tối ưu vectơ tuyến tính
(.MOLP) Min Cx (2.1)
Ax = b
X > 0.
ở đó, c là ma trận cấp p X n gồm các hàng c£(k = 1 ,p). Tập chấp nhận được của
bài toán MOLP trong không gian Mn là
X — {x G R
n
: Ax — b, X > 0}.
Xác định bởi ma trận ràng buộc A cấp m x n v à

vectơ b € Rm. Điểm X e X được gọi là
nghiệm chấp nhận được (hay phương án chấp nhận được). Tập chấp nhận được trong
không gian mục tiêu là

Y = c x = { Cx : X <E X } .
Đặt
Xỵ = {x e X : cTkx < clx^x e X}
Giả thiết này đảm bảo rằng không có phương án chấp nhận được nào mà tất cả p mục
tiêu cùng đạt cực tiểu.
Cho A €E K>. Ta xét bài toán tối ưu tuyến tính LP(X)
min AT Cx
với
(2.2
với
Định lý 2.1.1. Cho X e X là nghiệm tối ưu của bài toán (2.2). Khi đó
1. Nếu À > 0 thì X là nghiệm hữu hiệu yếu.
2. Nếu X > 0 thì át là nghiệm hữu hiệu.
Chứng minh.
1. Giả sử rằng X G X tối ưu mạnh hơn X , nghĩa là
k= 1
^ AT Cx < XT Cx.
Mâu thuẫn với giả thiết X là nghiệm tối ưu của bài toán LP tổng trọng lượng (2.2).
Vậy X là nghiệm hữu hiệu yếu của MOLP(2.1).
n n
k
2. Giả sử X không là nghiệm hữu hiệu của M0LP(2.Ĩ). Khi đó, 3x e X sao cho
cịx < cị X ; k = l,p
và 3i G {1, ,p} sao cho
£ .
Do À > 0 nên ta có
\
k
cịx < Afc x; A; = l,p
và

A,: cĩ X < Xi c? X
Ax = b
với <
X > 0.
\ —
Bài toán tuyến tính đối ngẫu của LP(2.3) là
max b
T
u (2.4)
, A
T
u < c với
^
u e Mm.
Ta ký hiệu и := {и G Mm : А
т
и < с} là tập chấp nhận được của bài toán đối ngẫu
(2.4). Mối quan hệ giữa bài toán gốc (2.3) và bài toán đối ngẫu (2.4) được phát biểu ở
định lý 2.1.2.
Định lý 2.1.2.
1. (Đối ngẫu yếu) Cho X €E X và и €E и là các phương án chấp nhận được
của (2.3) và (2.4). Khi đó,
bT и < ст X.
2. Nếu (2.3) không bị chặn thì (2.4) không thực hiện được và ngược lại.
3. Có thể cả hai bài toán (2.3) và (2.4) đều không thực hiện được.
4. (Đối ngẫu mạnh)
Nếu cả hai bài toán (2.3) và (2.4) đều thực hiện được, nghĩa là, X Ỷ 0 và lí
7^ 0 thì
min с
т

X = max b
T
и
X Ễ X и € u
và bT ủ = ст X với bất kỳ nghiệm tối ưu X € X của (2.3) và bất kỳ nghiệm
tối ưu û G и của (2.4).
Bổ đề 2.1.1. Một nghiệm chấp nhận được x° € X là hữu hiệu nếu và chỉ nếu
bài toán tuyến tính
max e
T
z (2-5)
Ax = b С X + I z = С
x°I
X, z > 0
ở đó, eT = ( 1 , 1 ) £ M? và I là ma trận đơn vị cấp p X p, có một nghiệm
tối ưu (x, z) với Z = 0.
Chứng minh. Cho (X, z) € X X là một phương án chấp nhận được của (2.5). Khi đó, с
X + I z = с x° và do đó, z = Cx° — Cx> 0.
Nếu ót trong nghiệm tối ưu (á, z) là nghiệm hữu hiệu thì Ệx e X sao cho c X < c X
nên phải có z = 0. Mặt khác, nếuX không là hữu hiệu
thì phải có X G X sao cho: Cx < Cx
ữ
.
Nhưng khi đó tồn tại z mà có Zỵ > 0 (do z = Cx
ữ
— Cx > 0)
mâu
thuẫn với tính tối ưu của (x, 0). □
Bổ đề 2.1.2. Phương án chấp nhận được x° G X ỉà nghiệm hữu hiệu nếu và
chỉ nếu bài toán tuyến tính

min uTb + U)T Cx° (2.6)
IUTA + UJTC > 0
CƯ > e
u e Mm
có một nghiệm tối ưu (ủ, óò) với ủTb + CòT c x° = 0.
Chứng minh. Chú ý rằng (2.6) là đối ngẫu của (2.5). Do đó (x, z) là một nghiệm tối
ưu của LP(2.5) nếu và chỉ nếu LP{2.6) có nghiệm tối ưu (ủ, CJ) sao cho
eT z = ủTb + LÒT c x° = 0.
□
Với bổ đề 2.1.2 ta có thể chứng minh rằng tất cả các nghiệm hữu hiệu của
MOLP(2.1) có thể tìm được bằng việc giải LP tổng trọng (2.2). Trong chứng minh, ta
xét một nghiệm hữu hiệu x° và xây dựng một vectơ trọng thích hợp À G R> sao cho x°
là một nghiệm hữu hiệu của bài toán tổng trọng LP(A)(2.2).
Định lý 2.1.3. <Isermann (197ị)>
Một phương án chấp nhận được xữ G Xlà một nghiệm hữu hiệu của
(2.1) nếu và chỉ nếu tồn tại À e M> để
XTCx° < XTCx (2.7)
với mọi X e X .
Chứng minh.
<= ) Ta rút ra từ định lý 2.1.1 rằng một nghiệm tối ưu của LP tổng trọng với vectơ
trọng dương A ẽ là hữu hiệu.
=>• ) Cho x
ữ
€ S(X, Cx). Từ bổ đề (2.1.2) dẫn tới LP(2.Q) có nghiệm tối ưu (Û, cừ)
để
ÛT b = —ổJTCx°. (2.8)
Dễ dàng nhận thấy rằng ủ cũng là một nghiệm tối ưu của LP
min ịu
T
b : U

T
A > —ó)Tơ} (2.9)
mà ở đó (2.6) với UI = Û cố định. Do đó, một nghiệm tối ưu của bài
toán đối ngẫu của (2.9)
max {— Q)
T
Cx : Ax = &, x> o} (2.10)
là tồn tại. Do đối ngẫu yếu nên
UT b > —CJ
T
С X
với mọi phương án chấp nhận được и của (2.9) và mọi phương án chấp nhận được X của
(2.10) và ta biết rằng ủ
T
b = —Củ
T
с x° từ (2.8), từ đó mà x
ữ
là một nghiệm tối ưu
của (2.10). Ta chú ý rằng (2.10) là tương đương với
min ịôjTCx : Ax = b, X > o}
và từ miền ràng buộc của (2.6), ó) > e > 0. Do đó, x
ữ
là một nghiệm
tối ưu của LP tổng trọng (2.2) với Л = ó) là vectơ trọng. □
Liên quan đến Bổ đề 2.1.1, ta có điều kiện dưới đây cho sự tồn tại nghiệm hữu
hiệu của (2.1).
Mệnh đề 2.1.4. Cho xữ € X. Khi đó, (2.5) ỉà thực hiện được và có các phát
biểu sau
1. Nếu (X, z) là một nghiệm tối ưu của (2.5) thì X là một nghiệm hữu hiệu của

(2.1).
2. Nếu (2.5) không bị chặn thì S ( x , Cx) = 0.
2.2Phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính đơn trị
Mục đích phần này là xem xét phương pháp đơn hình cho bài toán tuyến tính
đơn trị. Nhiều thông tin và chứng minh tham khảo sách viết về bài toán tuyến tính như
[14].
Xét bài toán tối ưu tuyến tính đơn trị
min {c
T
X : Ax = b ,x > 0}
ở đó, c e Mn và A là ma trận cấp m X n. Ta giả thiết rank A = m và b > 0.
Ma trận con A
B
cấp m X m của A được gọi là ma trận cơ sở, ở đó B là tập các chỉ số cột
của A xác định Aj3, B được gọi là một cơ sở. Cho N : = { 1 , 7 7 , }

\ B là tập các chỉ
số cột phi cơ sở. Biến Xị và chỉ số i được gọi là biến cơ sở và chỉ số cơ sở nếu ỉ G B,
ngược lại là phi cơ sở. Với khái niệm cơ sở, có thể tách A, c và X thành các phần cơ sở
và phi cơ sở, sử dụng B và Aí là tập các chỉ số, nghĩa là, A = (A&, Ajự); C
T
= (Cg,
CJ) và X = (Xg, Xtf). Ta viết Ax = b dưới dạng
(AB, A„) (xỉ, = b.
Do Ag khả nghịch nên
XB = ABl (b - AMXM)-
(2.1
(2.1
Cho Xjịf = 0 trong (2.12) ta được Xß = Aß
1

b ; (Xß, 0) được gọi là nghiệm cơ sở
của LP(2.11). Nếu Xß > 0 thì nó được gọi là một nghiệm cơ sở chấp nhận được (ký
hiệu в F S). Cơ sở в cũng được gọi là cơ sở chấp nhận được.
Ta có thể tính hàm mục tiêu như sau
(cỊ, cj) (xỊ, хтя)т = C
T
B
X
B
+ cịxx
=
c
ỈAb
1&
+ (CN - c^A~lAư)xM-
Vectơ C
T
= C
T
— Cg A~
l
A được gọi là vectơ giá thu gọn. Chú ý rằng
с = (cß, Cjv) thì Cß = 0.
Cho (же, 0) là nghiệm cơ sở chấp nhận được. Từ (2.13) thấy rằng có s e Af sao cho
c
s
< 0 thì giá trị của с
т
X giảm khi x
s

tăng từ 0. Đặt à := A~
l
A và ö := Aß
1
b.
Xét (2.12) với một biến cơ sở X j , j € B, nghĩa là
x j = — Ã js x s > 0 (2-14)
ở đó, Äjs là phần tử của à ở hàng j, cột s (s G Áí). Nếu Äjs < 0
thì (2.14) đúng với bất kỳ Xg > 0. Trái lại, Xg phải được chọn sao cho
x
s
< Mj £ B. Giá trị chấp nhận được lớn nhất của x
s
trong
Ajs
nghiệm chấp nhận được là
x
s
= min : j £ B, Äjs > 0}. (2.15)
A j s
ở giá trị này, một biến cơ sở X j , j € в sẽ trở thành 0 và ngăn cản sự tăng của x
a
.
Cho r G в là một chỉ số mà giá trị nhỏ nhất trong (2.15) đạt được. Biến Xg được gọi là
biến vào, x
r
được gọi là biến ra. Cơ sở mới B' — (B\ {г}) u { s }. Xác định nghiệm cơ
sở, chấp nhận được (Xßi, 0) với giá trị mục tiêu tốt hơn (Xß, 0) miễn là bj > 0 mà
ta sẽ giả thiết cho bây giờ.
Định lý 2.2.1.

1. Nếu (2.11) thực hiện được, nghĩa là, X Ф 0 thì một nghiệm cơ sở chấp nhận
được tồn tại.
2. Nếu có thêm hàm mục tiêu CTX bị chặn dưới trên X thì tồn tại một
nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu.
3. Một nghiệm cơ sở chấp nhận được (хв, 0) là tối ưu nếu Cjự > 0.
Nếu (Xß, 0) là nghiệm tối ưu thì в được gọi là cơ sở tối ưu.
Cho В là một cơ sở và (Xß, 0) là một nghiệm cơ sở chấp nhận được của (2.11). Bắt
đầu từ cơ sở và nghiệm cơ sở chấp nhận được này, thuật toán đơn hình tìm một cơ sở tối
ưu và một nghiệm tối ưu là nghiệm cơ sở chấp nhận được.
Thuật toán 2.2.1. <Thuật toán đơn hình cho bài toán tuyến tính> Vào : Cơ
sở В và BFS(xB, 0)
Khi {г G Áí, Cị < 0} Ỷ 0
Chọn s E {i E Áí : Cj< 0}}.
Nếu Ấ. < 0 ,Vj G В dừng, LP{2.11) không bị chặn.
NgUỢc lại, chọn r G argmin {j G в : -J—, Äjs > 0}
Ajs
Cho В := (В \ г) и { s } và cập nhật à := Aß1 А ; ĩ) := Aß1 b .
Ra : Cơ sở tối ưu в và nghiệm cơ sở chấp nhận được là nghiệm tối ưu
(xB, 0).
Giả thiết rằng b
r
> 0 trong mỗi bước lặp và thuật toán kết thúc sau
hữu hạn bước lặp với một nghiệm tối ưu hoặc kết luậnrằng LP(2.11)
không bị chặn.
Mặt khác, nếu b
r
= 0, nghĩa là x
r
= 0, cơ sở mới sẽ có x
s

= 0. Thực tế, tất cả các cơ
sở xác định cùng một BFS. Các cơ sở chứa một biến có giá trị 0 được gọi là suy biến, ở
đó, thuật toán đơn hình lặp lại giữa một dãy các cơ sở suy biến mà không chấm dứt.
Quy luật để tránh điều này có thể tham khảo ở các sách viết về bài toán tuyến tính. Từ
bây giờ ta sẽ giả sử rằng LP mà ta xét là không suy biến.
Bổ đề 2.2.1. Cho LP không suy biến và cho B là một cơ sở tối ưu. Khi
đó, Cjự > 0.
Dưới đây ta sử dụng bảng ký hiệu cho thuật toán đơn hình. Một bảng đơn hình tổng