Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 9 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Thành phố Hồ Chí Minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP
THÀNH PHỐ
Khóa thi ngày 13/3/2019
Môn thi: TOÁN
——————

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề
——————
Bài 1. (4 điểm)
Cho x, y là các số thực sao cho

2 1
1
x2 y 2
− =
. Tính giá trị của biểu thức 2 + 2 .
x y
2x + y
y
x

Bài 2. (3 điểm)
Cho a, b, c là ba số thực sao cho a + b = c − 2 và ab = 2c2 − 3c + 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức P = a2 + b2
Bài 3. (3 điểm)
An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa. Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên
Hòa về Sài Gòn. Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp Bình ở địa điểm
D. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn - Biên Hòa dài 39 km

3
CD = 6 km; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng vận tốc của Cường.
4
Bài 4. (6 điểm)
Cho ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với
OC, đường thẳng này cắt AC tại D và cắt (O) tại E (E khác B). Cho biết AB = 8cm
và BC = 4 cm, tính độ dài các đoạn thẳng DE, OA và OD.
Bài 5. (4 điểm)
Hộp phô mai có dạng hình trụ, đường kính đáy 12,2 cm và chiều cao 2,4 cm.
a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp sát bên trong hộp và độ dày của giấy gói từng
miếng không đáng kể. Hỏi thể tích của một miếng phô mai là bao nhiêu?
b) Tính diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phô mai.
(Ghi kết quả gần đúng chính xác đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

– HẾT –


KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP
THÀNH PHỐ
Khóa thi ngày 13/3/2019
Môn thi: TOÁN

LỜI GIẢI
Đây là lời giải minh họa môn Toán kì thi học sinh giỏi cấp thành phố của đội ngũ giáo viên
trẻ ở trung tâm “ Star Education”.
Bài 1. Điều kiện: xy = 0; y = −2x.
2 1
1
2y − x
1

Từ giả thiết: − =
⇔
=
⇔ (2y − x)(2x + y) = xy
x y
2x + y
xy
2x + y
⇔ 4xy + 2y 2 − 2x2 − xy = xy ⇔ 2xy + 2y 2 − 2x2 = 0 ⇔ xy + y 2 − x2 = 0(∗).
y x
Vì xy = 0 nên chia phương trình (∗) cho xy, ta được: 1 + − = 0
x y
2
2
2
2
x y
x y
y
x
y2
x
⇔ − =1⇔
−
=1⇔ 2 + 2 −2=1⇔ 2 + 2 =3
y x
y x
y
x
y

x
Bài 2. Ta có: P = a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.
Dùng phương pháp thế, ta được:
P = (c − 2)2 − 2(2c2 − 3c + 1) = c2 − 4c + 4 − 4c2 + 6c − 2 = −3c2 + 2c + 2
2
2
1 1 7
1
7
2
7
2
2
= −3 c − c −
= −3 c − 2 · c · + −
= −3 c −
+ ≤ .
3
3
3 9 9
3
3
3
7
Vậy giá trị lớn nhất của P là .
3

 a + b = −5
1
3

Dấu ” = ” xảy ra ⇔ c = ⇔
2

3
 ab =
9
5
2
Hay a, b là nghiệm của phương trình X 2 − SX + P = 0 ⇔ X 2 + X + = 0
3
9
√
√


17
17
−5
−
−5
+


 a=
 a=
6
6√
√
hoặc
⇔



−5
−
−5
+
17
17
 b=
 b=
6
6
1
giờ.
12
GọivA , vB , vC (vA , vB , vC > 0) lần lượt là vận tốc của An, Bình và Cường.

 vB = 2vA
3
⇒
4v

 vC = A
3
Đặt s(s > 0) là quãng đường mà An đã đi được khi gặp Cường. Kết hợp với CD =
6km ta suy ra quãng đường mà An đã đi được khi gặp Bình là 39 − (s + 6) = 33 − s.
Theo
đề, ta có hệ phương trình:

39 − s

1
s



−
=

117 − 3s
1
s

4vA
12



 vA
−
=
vA
4vA
12
3
s + 6 33 − s
1 ⇔  s + 6 99 − 3s
1




−
=
−
=


2vA
12
vA
2vA
12

 vA
3

Bài 3. 5 phút =


12s − 351 + 9s = vA
21s − vA = 351
⇔
12s + 72 − 594 + 18s = vA
30s − vA = 522
vB = 32
⇒ vA = 48 (t/m) ⇒
vC = 64
Vậy vận tốc của An là 48 km/h; vận tốc của Bình là 32 km/h; vận tốc của Cường
là 64 km/h

⇔

Bài 4. Gọi AH là đường cao của ABC suy ra H là trung điểm của BC.
Theo định
√ tại H, ta có:
√ lí Pitago vào √ AHB vuông
2
2
2
2
AH = AB − BH = 8 − 2 = 2 15 (cm).
√
AH · BH
= 4 15 (cm2 )
Suy ra SABC =
2
√
AB · AC · BC
AB · AC · BC
AB · AC · BC
16 15
SABC =
=
⇒ OA =
(cm).
=
4R
4 · OA
4 · SABC
15
Gọi S là giao điểm của OC và BE. T là trung điểm của AC ⇒ OT ⊥AC.

Các tứ giác BOSH, OT DS nội tiếp nên:
8
= 2 (cm)
CH · CB = CD · CT (= CS · CO) = 8 ⇒ CD =
CT
Nên D là trung điểm của CT và AD = 6 cm.
Vậy BC 2 = CD · CA(= 16) nên ABC
BCD(c · g · c) nên BCD cũng cân
tại B ⇒ BC = BD = 4 (cm).
12
Lại có DBC
DAE(g · g) ⇒ BD · DE = CD · AD ⇒ DE =
= 3(cm).
BD
Ta có S là trung điểm của BE nên SE = 3, 5 (cm) ⇒ SD = 0, 5 (cm).
Áp dụng định lí Pitago vào
√ OSE vuông tại S, ta có:
√
17
15
(cm).
OS = OE 2 − SE 2 =
30
Áp dụng định lí Pitago vào
√ OSD vuông tại S, ta có:
√
2 285
OD = SD2 + OS 2 =
(cm).
15 √

√
16 15
2 285
Vì vậy: DE = 3(cm); OA =
(cm); OD =
(cm).
15
15


Bài 5.

a) Bán kính đáy của hình trụ là R = 12, 2 : 2 = 6, 1 (cm).
Nhận thấy rằng thể tích của một miếng phô mai bằng

1
thể tích của cả hộp phô
8

mai.(hình 1 và hình 2).
π · R2 · h
π · 6, 12 · 2, 4
Nên Vpiece =
=
≈ 35, 1(cm3 ).
8
8
b) Ở hình 3, ta nhận thấy rằng phần diện tích giấy gói một miếng bằng tổng của: 2 lần
diện tích quạt AED(2S2 ), 2 lần diện tích hình chữ nhật ABCD(2S1 ) và 1 lần diện
1

tích hình chữ nhật EF DC(S3 ) là hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích xung
8
quanh của cả hộp phô mai.
2 · π · 6, 12 2 · 6, 1 · 2, 4 · π
Nên Spiece = 2 · 2, 4 · 6, 1 +
+
≈ 70(cm2 ).
8
8