Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm 2012-2013 (Đề đề nghị) - Trường THCS Lý Tự Trọng

PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2012 - 2013)
Môn: TOÁN 9 (Thời gian: 150 phút)
ĐỀ ĐỀ NGHỊ
Họ và tên GV ra đề: Nguyễn Cúc
Đơn vị: Trường THCS Lý Tự Trọng
Câu I`/ (2đ)

1/ Cho P  (a 2  ab  1) 3  (b 2  3ab  1) 3  (a  b) 2 . Chứng minh rằng P chia hết cho 6
với mọi số nguyên a,b.
2/Tìm số tự nhiên n sao cho số n2 + 2n + 12 là số chính phương
Câu II/(5đ)
1/ Cho biểu thức :


x   1
2 x
P = 1 

 : 
  1
x

1
x

1
x
x


x

x

1

 

a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q = P - x nhận giả trị nguyên.
2/Cho biểu thức A = x – 2 xy + 3y - 2 x + 1. Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt
được.
Câu III/(5đ)
1/Giải phương trình: x 2  5 x  x 2  5 x  4  2
2/Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho a  b  c  1 .
Chứng minh: b  c  16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
3/Tìm x để biểu thức A  x  x  2012 có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu IV/ (3đ)
Cho hình chữ nhật ABCD, đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt các đường
thẳng AB, AD lần lượt tại E, F. Chứng minh:: BE CF  DF CE  AC EF
Câu V/ (5đ)
Cho (O; R), AB và CD là hai đường kính cố định vuông góc với nhau. M là một
điểm thuộc cung nhỏ AC, K, H lần lượt là hình chiếu của M trên CD, AB.
1/ Tính Sin 2 MBA  Sin 2 MAB  Sin 2 MCD  Sin 2 MDC
2/ Chứng minh: OK 2  AH (2 R  AH )
3/ Tìm vị trí điểm H để giá trị của P = MA.MB.MC.MD lớn nhất
.......................................