Đề thi học kì 1 môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Trường THPT Kim Liên

Sở GD&ĐT Hà Nội
Trường THPT Kim Liên
Mã đề 570

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
Môn Toán – Lớp 11
Năm học 2018-2019
Thời gian làm bài: 90 phút

I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (5 điểm)
Câu 1: Một người vào của hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1
loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau và một loại đồ uống trong 3 loại
đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
A. 13 .
B. 100 .
C. 75 .
D. 25 .
Câu 2:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 12sin x  5cos x  m có nghiệm.
A. 13 .
B.Vô số.
C. 26 .
D.  27 .

Câu 3:

Cho hình chóp S . ABCD , biết AC cắt BD tại M , AB cắt CD tại O . Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng  SAB  và  SCD 

Câu 4:

A. SO .
B. SM .
C. SA
D. SC .
Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2 x trên đoạn
  
  3 ; 6  . Tính giá trị biểu thức T  M  2m .

A. T  2 .
Câu 5:

Câu 6:

B. T  1  3 .

C. T 

3
.
2

D. T 

5
.
2

Tìm tập xác định của hàm số y  tan x .



A.  \   k | k    .
2


B.  \ k | k   .



C.  \   k 2 | k    .
2


D.  \ k 2 | k   .


Cho ba điểm A 1; 2  , B  2;3 , C  6; 7  . Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ u các điểm A ,

B , C lần lượt biến thành các điểm A  2;0  , B , C  . Khẳng định nào sau đây là đúng?


A. B  3;5  .
B. C   7;5  .
C. u  3; 2 
D. u 1; 2  .
Câu 7:

Câu 8:

Câu 9:

Gieo con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện ở hai lần là
một số tự nhiên lẻ
3
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
4
4
6
2
2
Tập nghiệm của phương trình cos x 
là:
2
5
 3

 

 k 2 ,
 k 2 , k    .
A.   k 2 , k    .
B. 
4
 4


4

 3

 

 k 2 , k    .
C. 
D.   k 2 , k    .
 4

 4

1  cos x
Tìm tập xác định của hàm số y 
.
1  sin x


A.  \ k , k   .
B.  \   k 2 , k    .
2


Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

1

D.  \ k 2 , k   .

C.  .

Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC .
Xét các mệnh đề:

(I). Đường thẳng IO song song SA .
(II). Mặt phẳng  IBD  cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
(III). Giao điểm của đường thẳng AI và mặt phẳng  SBD  là trọng tâm tam giác SBD .
(IV). Giao tuyến hai mặt phẳng  IBD  và  SAC  là OI .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 4 .
B. 2 .

D. 1 .

C. 3 .
12

1

Câu 11: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3   .
x

A. 220 .
B. 220 .
C. 924 .

D. 924 .

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ?


B. y  tan x .
C. y  sin x .
A. y  sin   x  .
2


Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  :  x  1   y  2 
2

2



D. y  sin  x   .
6

 4 . Phép đối xứng trục

Ox biến đường tròn  C  thành đường tròn  C ' có phương trình là:
A.  x  1   y  2   4 .

B.  x  1   y  2   4 .

C.  x  1   y  2   4 .

D.  x  1   y  2   4 .

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 14: Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm

K sao cho BK  2 KD . Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng  IJK  . Tính tỉ số
7
.
B. 2 .
3
Câu 15: Hình nào sau đây có vô số tâm đối xứng?
A. Hình vuông.
B. Hình tròn.
A.

C.

11
.
5

C. Đường thẳng.

 
Câu 16: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng  ;   ?
2 
A. y  cos x .
B. y  tan x .
C. y  cot x .

D.

FA
.
FD

5
.
3

D. Đoạn thẳng.

D. y  sin x .

Câu 17: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên
đường thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ

3 điểm trong các điểm nói trên ?
A. 18C202  20C182 .

3
B.  20C183  18C20
.

C. C338 .

3
D.  C320 .C18
.

Câu 18: Xét phép vị tự tâm I với tỉ số k  3 biến ABC thành A ' B ' C ' . Hỏi diện tích A ' B ' C ' gấp
mấy lần diện tích ABC ?
A. 6 .
B. 27 .
C. 3
D. 9 .
5 

Câu 19: Số nghiệm của phương trình tan  2 x 
  3  0 trên khoảng  0;3  .
6 

A. 3 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 6 .
Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

2


Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos 2 x  sin x cos x  2sin x  cos x  2 trên khoảng


 ;5  .
2

15
21
3
A. T 
.
B. T 
.
C. T  7 .
D. T 
.
2
8
4






Câu 21: Cho phương trình cos2  x    20 cos   x   11  0 . Khi đặt t  cos   x  , phương trình

3

6

6

đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
A. t 2  20t  12  0 .

B. t 2  20t  11  0 .

C. t 2  10t  6  0 .

D. t 2  10t  5  0 .

Câu 22: Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử:
A. 720 .
B. 35 .
C. 480 .
D. 24 .
0
Câu 23: Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ,biết 
AOC  
AOF  30 . D, E lần lượt là các điểm đối

xứng với C , F qua gốc O . Nghiệm của phương trình 2 sin x  1  0 được biểu diễn trên đường
tròn lượng giác là những điểm nào?

A. Điểm C , điểm D .
C. Điểm C , điểm F .

B. Điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .

Câu 24: Biết hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển 1  4 x  là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao
n

nhiêu?
A. 24 .
B. 26 .
C. 28 .
D. 20 .
Câu 25: Một bộ đề thi Olimpic Toán lớp 11 của Trường THPT Kim Liên mà mỗi đề gồm 5 câu được
chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là
“Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít
hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi
“Tốt”.
3125
1
10
1000
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
150

71253
23751
5481
II.PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm)
Câu 1: a) Giải phương trình cos 2 x  sin 2 x  3sin 2 x  2 .
b) Một hộp đựng tám thẻ được ghi từ 1 đến 8 . Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất
để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11 .

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

3


Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  có phương trình x 2  y 2  2 x  4 y  4  0
và điểm I  2;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số k  2 biến đường tròn  C  thành đường tròn  C   .
Viết phương trình đường tròn  C   .

Câu 3:

Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
1
1
1
1
2n 1


 ... 


..
1! n  1! 3! n  3 ! 5! n  5 !
 n  1!1! n!

Câu 4:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của
SG 3
 .
SI 5
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng  ABCD  .
SA, SB, BC ; điểm G nằm giữa S và I sao cho

b) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng  MNG  .
---HẾT---

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

4


ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ 1
Môn Toán – Lớp 11
Năm học 2018-2019
Thời gian làm bài: 90 phút

Sở GD&ĐT Hà Nội
Trường THPT Kim Liên
Mã đề 570

I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (5 điểm)
Câu 1: Một người vào của hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món khác nhau, 1
loại quả tráng miệng trong 5 loại quả tráng miệng khác nhau và một loại đồ uống trong 3 loại
đồ uống khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn thực đơn?
A. 13 .
B. 100 .
C. 75 .
D. 25 .
Lời giải
Chọn C
Số cách chọn thực đơn là: 5.5.3  75 .
Câu 2:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 12sin x  5cos x  m có nghiệm.
A. 13 .
B.Vô số.
C. 26 .
D.  27 .
Lời giải
Chọn D
Phương trình 12sin x  5cos x  m có nghiệm  122  52  m 2  m 2  169  13  m  13

Mà m    m  13; 12; 11;....;12;13

Vậy có 27 số nguyên m thỏa mãn.
Câu 3:

Cho hình chóp S . ABCD , biết AC cắt BD tại M , AB cắt CD tại O . Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng  SAB  và  SCD 

A. SO .

B. SM .

C. SA

D. SC .

Lời giải
Chọn A

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

1




  O   SAB  
AB   SAB  

Ta có:
  O   SAB    SCD 
O  CD


  O   SCD  
CD   SCD  

O  AB

Lại có: S   SAB    SCD  ; S  O . Khi đó  SAB    SCD   SO
Câu 4:

Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  cos 2 x trên đoạn
  
  3 ; 6  . Tính giá trị biểu thức T  M  2m .

C. T 

B. T  1  3 .

A. T  2 .

3
.
2

D. T 

5
.
2

Lời giải
Chọn A
Ta có: 

Câu 5:


3

x


6



2

1
1
 2 x     cos 2 x  1  M  1 , m    T  2 .
3
3
2
2

Tìm tập xác định của hàm số y  tan x .


A.  \   k | k    .
2



B.  \ k | k   .



C.  \   k 2 | k    .
2


D.  \ k 2 | k   .
Lời giải

Chọn A
Hàm số xác định khi và chỉ khi cos x  0  x 

Câu 6:


2

 k ,  k    .


Cho ba điểm A 1; 2  , B  2;3 , C  6; 7  . Giả sử qua phép tịnh tiến theo vectơ u các điểm A ,
B , C lần lượt biến thành các điểm A  2; 0  , B , C  . Khẳng định nào sau đây là đúng?


A. B  3;5  .
B. C   7;5  .
C. u  3; 2 
D. u 1; 2  .
Lời giải
Chọn B

   


Ta có AA  1;  2  mà AA  BB  CC   u  u 1;  2 

 
x   2  1
Vì BB  u   B
 B  3;1 .
 yB  3  2

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

2


Câu 7:

 
 xC   6  1
Vì CC   u  
 C   7;5  .
 yC   7  2
Gieo con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện ở hai lần là
một số tự nhiên lẻ
3
1
1
1
A. .

B. .
C. .
D. .
4
4
6
2
Lời giải
Chọn B
Số phần tử không gian mẫu: n     6.6  36

Gọi A: “Tích số chấm xuất hiện ở hai lần là một số tự nhiên lẻ”
 n  A   3.3  9

9 1
 .
36 4
2
Tập nghiệm của phương trình cos x 
là:
2
5
 3

 

 k 2 ,
 k 2 , k    .
A.   k 2 , k    .
B. 

4
4
4




 3

 

 k 2 , k    .
C. 
D.   k 2 , k    .
 4

 4

Lời giải
Chọn D
2


Ta có: cos x 
 cos x  cos  x    k 2 , k   .
2
4
4
1  cos x
Tìm tập xác định của hàm số y 

.
1  sin x


A.  \ k , k   .
B.  \   k 2 , k    .
2

C.  .
D.  \ k 2 , k   .
Xác suất của biến cố A : P  A  

Câu 8:

Câu 9:

Lời giải
Chọn B

1  cos x
0


Hàm số xác định khi  1  sin x
 1  sin x  0  sin x  1  x   k 2 .
2
1  sin x  0


Vậy D   \   k 2 , k    .

2

Câu 10: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC .
Xét các mệnh đề:

(I). Đường thẳng IO song song SA .
(II). Mặt phẳng  IBD  cắt hình chóp S . ABCD theo thiết diện là một tứ giác.
(III). Giao điểm của đường thẳng AI và mặt phẳng  SBD  là trọng tâm tam giác SBD .
(IV). Giao tuyến hai mặt phẳng  IBD  và  SAC  là OI .
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:
A. 4 .
B. 2 .
Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

C. 3 .

D. 1 .
3


Lời giải
Chọn C

+) IO là đường trung bình trong tam giác SAC nên IO // SA , do đó mệnh đề (I) đúng.
+) Mặt phẳng IBD cắt hình chóp the thiết diện là tam giác IBD , do đó mệnh đề (II) sai.
2
+) AI  SO  G vậy G là trọng tâm tam giác SAC nên SG  SO .
3
Ta thấy SO   SBD  nên IA   SBD   G , SO là đường trung tuyến SBD nên G là trọng
tâm tam giác SBD . Vậy mệnh đề (III) đúng.

+) I là điểm chung của hai mặt phẳng  SAC  và  IBD  .
AC  BD  O nên O là điểm chung của hai mặt phẳng  SAC  và  IBD  .

 IBD    SAC   OI . Vậy mệnh đề (IV) đúng.
Vậy có 3 mệnh đề đúng.
12

1

Câu 11: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  x 3   .
x

A. 220 .
B. 220 .
C. 924 .
Lời giải
Chọn A

D. 924 .

12

12
12
k
12  k
1
12  k

Ta có  x 3     C12k .  x3  .   x 1 

  C12k .  1 .x 4 k 12 .
x

k 0
k 0

Số hạng tổng quát: Tk 1  C12k .  1

12  k

.x 4 k 12 .

Số hạng không chứa x suy ra: 4k  12  0  k  3 .
9
Vậy số hạng không chứa x là: T4  C123 .  1  220 .

Câu 12: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn trên  ?




A. y  sin   x  .
B. y  tan x .
C. y  sin x .
D. y  sin  x   .
2
6




Lời giải
Chọn A


Ta có y  sin   x   cos x là hàm số chẵn trên  (theo định nghĩa).
2

Câu 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn  C  :  x  1   y  2   4 . Phép đối xứng trục
2

2

Ox biến đường tròn  C  thành đường tròn  C ' có phương trình là:
A.  x  1   y  2   4 .
2

2

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

B.  x  1   y  2   4 .
2

2

4


C.  x  1   y  2   4 .
2

D.  x  1   y  2   4 .

2

2

2

Lời giải
Chọn B.
Đường tròn  C  có tọa độ tâm I  1;  2  , bán kính R  2
Ta có Đ Ox  I   I '  I '  1; 2 
Đ Ox  C    C '   C ' có tâm I '  1; 2  , bán kính R '  R  2 .
Phương trình đường tròn  C ' có phương trình là:  x  1   y  2   4
2

2

Câu 14: Cho tứ diện ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trên cạnh BD lấy điểm

K sao cho BK  2 KD . Gọi F là giao điểm của AD với mặt phẳng  IJK  . Tính tỉ số
A.

7
.
3

B. 2 .

C.

11
.
5

D.

FA
.
FD

5
.
3

Lời giải
Chọn B.

+ Cho AD   ACD 
Trong mặt phẳng  BCD  hai đường thẳng IK , CD không song song nên gọi E là giao điểm
của hai đường thẳng IK và CD . Khi đó E   ACD  .
+ Ta thấy  ACD    IJK   EJ
+ Trong  ACD  : EJ  AD  F . Khi đó  IJK   AD  F .

IB EC KD
EC 1
EC
.
.

. 1
 1  1.
2
IC ED KB
ED 2
ED
EC FD JA
FD
FD 1
.
.
.1  1 
 1  2.

Xét tam giác ACD , áp dụng định lí Menelaus có :
ED FA JC
FA
FA 2
FA
 2.
Vậy
FD
Xét tam giác BCD , áp dụng định lí Menelaus có :

Câu 15: Hình nào sau đây có vô số tâm đối xứng?
A. Hình vuông.
B. Hình tròn.

C. Đường thẳng.

D. Đoạn thẳng.

Lời giải
Chọn C.
Hình có vô số tâm đối xứng là: đường thẳng.

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

5


 
Câu 16: Hàm số nào sau đây đồng biến trên khoảng  ;   ?
2 
A. y  cos x .
B. y  tan x .
C. y  cot x .

D. y  sin x .

Lời giải
Chọn B
Câu 17: Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất ta lấy 20 điểm phân biệt. Trên
đường thẳng thứ hai ta lấy 18 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ
3 điểm trong các điểm nói trên ?
A. 18C202  20C182 .

3
B.  20C183  18C20
.

C. C338 .

3
D.  C320 .C18
.

Lời giải
Chọn A
Phương án 1 : Lấy 1 điểm thuộc đường thẳng thứ nhất và 2 điểm thuộc đường thẳng thứ hai,
có 20C182 cách
Phương án 2 : Lấy 1 điểm thuộc đường thẳng thứ hai và 2 điểm thuộc đường thẳng thứ nhất,
có 18C202 cách
Tổng cộng có 20C182  18C202 cách

Câu 18: Xét phép vị tự tâm I với tỉ số k  3 biến ABC thành A ' B ' C ' . Hỏi diện tích A ' B ' C ' gấp
mấy lần diện tích ABC ?
A. 6 .
B. 27 .
C. 3
D. 9 .
Lời giải
Chọn D
A ' B ' C ' đồng dạng ABC theo tỷ số đồng dạng là 3
S
 A ' B 'C '  32  9
SABC
5 

Câu 19: Số nghiệm của phương trình tan  2 x 

  3  0 trên khoảng  0;3  .
6 

A. 3 .
B. 8 .
C. 4 .
D. 6 .
Lời giải
Chọn D
5 
5 
5





tan  2 x 
  x  k .
  3  0  tan  2 x 
   3  2x 
6 
6 
6
3
4
2





1
22
Vì x   0;3  nên 0   k  3    k 
. k  nên k  0,1, 2,3, 4.5 .
4
2
2
4
Câu 20: Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos 2 x  sin x cos x  2sin x  cos x  2 trên khoảng


 ;5  .
2


15
21
3
A. T 
.
B. T 
.
C. T  7 .
D. T 
.
2
8
4
Lời giải

Chọn C
Ta có cos 2 x  sin x cos x  2sin x  cos x  2  cos 2 x   sin x  1 cos x  2 

 1  sin x 1  sin x  cos x  2   1  sin x  0  sin x  1  x 
Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán


2

 k 2  k   

6


5

x  2


 T  7 .
Vì x   ;5  nên 
2

 x  9

2







Câu 21: Cho phương trình cos2  x    20 cos   x   11  0 . Khi đặt t  cos   x  , phương trình
3

6

6

đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
A. t 2  20t  12  0 .

B. t 2  20t  11  0 .
C. t 2  10t  6  0 .
Lời giải

D. t 2  10t  5  0 .

Chọn C









Ta có cos2  x    20 cos   x   11  0  1-2sin 2  x    20 cos   x   11  0
3

3

6


6





 -2sin 2  x    20 cos   x   12  0
3

6







Vì  x và x  là hai góc phụ nhau nên sin  x    cos   x 
6
3
3

6




Đặt t  cos   x  , phương trình trở thành
6

2
2t  20t  12  0  t 2  10t  6  0 .
Câu 22: Tính số các chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử:
A. 720 .
B. 35 .
C. 480 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn C
Câu 23: Xét đường tròn lượng giác như hình vẽ,biết 
AOC  
AOF  300 . D, E lần lượt là các điểm đối

xứng với C , F qua gốc O . Nghiệm của phương trình 2sin x  1  0 được biểu diễn trên đường
tròn lượng giác là những điểm nào?

A. Điểm C , điểm D .
C. Điểm C , điểm F .

B. Điểm E , điểm F .
D. Điểm E , điểm D .
Lời giải

Chọn A




 x  6  k 2
1
2sin x  1  0  sin x   
k   .
2
 x  5  k 2

6
Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

7


Nhìn vào hình vẽ ta thấy điểm biểu diễn Điểm C , điểm D .
Câu 24: Biết hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển 1  4 x  là 3040 . Số tự nhiên n bằng bao
n

nhiêu?
A. 24 .

B. 26 .

C. 28 .
Lời giải

Chọn D
Ta có số hạng tổng quát trong khai triển trên là: Cnk 4k x k

D. 20 .

 n, k  ;0  k  n 

.

Hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển trên là: Cn2 42  3040  n  20 .
Câu 25: Một bộ đề thi Olimpic Toán lớp 11 của Trường THPT Kim Liên mà mỗi đề gồm 5 câu được
chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là
“Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít
hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi
“Tốt”.
3125
1
10
1000
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
150
71253
23751
5481
Lời giải
Chọn D

Ta có: n (W) = C 305 = 142506 .
Gọi A là biến cố: “đề thi lấy ra là một đề thi Tốt”
n (W) = C 52 .C 151 .C 102 + C 52 .C 152 .C 101 + C 53.C 151 .C 101 = 18750 .
P (A) =

n (A)
n (W)

=

18750
3125
.
=
142506 23751

II.PHẦN TỰ LUẬN (5 điểm)
Câu 1: a) Giải phương trình cos 2 x  sin 2 x  3sin 2 x  2 .
b) Một hộp đựng tám thẻ được ghi từ 1 đến 8 . Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ba thẻ, tính xác suất
để tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11.
Lời giải
a) Giải phương trình cos x  sin 2 x  3sin 2 x  2  cos 2 x  2sin x cos x  3sin 2 x  2  0 1
2

Xét cos x  0  sin 2 x  1 , khi đó 1  3  2  0 (vô lí)
Xét cos x  0 , chia hai vế của phương trình (1) cho cos 2 x ta được

1  1  2 tan x  3 tan 2 x  2 1  tan 2 x   0
  tan 2 x  2 tan x  3  0



 tan x  1  x    k


,k  .
4

 tan x  3
 x  arctan 3  k

b) n     C83  56
Gọi A là biến cố: “tổng các số ghi trên ba thẻ đó bằng 11”.
A  1, 2,8  ; 1,3, 7  ; 1, 4, 6  ;  2,3, 6  ;  2, 4,5 
n  A  5

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

8


P  A 
Câu 2:

n  A 5
.

n    56

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn  C  có phương trình x 2  y 2  2 x  4 y  4  0
và điểm I  2;1 . Phép vị tự tâm I tỉ số k  2 biến đường tròn  C  thành đường tròn  C   .

Viết phương trình đường tròn  C   .
Lời giải

Gọi M là tâm đường tròn  C  , ta có M 1; 2  và bán kính R  12   2   4  3.
2

Phép vị tự V I ,2  C    C   có tâm M  và bán kính R . Khi đó ta có



 x  2  2  x  0
IM   2 IM  

 M   0; 5 .
 y  1  6
 y  5
2
Bán kính R  k R  2.3  6. Vậy phương trình đường tròn  C   là x 2   y  5   36.
Câu 3:

Cho n là số nguyên dương chẵn bất kì, chứng minh
1
1
1
1
2n 1


 ... 


..
1! n  1! 3! n  3 ! 5! n  5 !
 n  1!1! n!
Lời giải
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
n!
n!
n!
n!


 ... 
 2n1
1! n  1! 3! n  3 ! 5! n  5 !
 n  1!1!

 Cn1  Cn3  Cn5  ...  Cnn1  2n1.
Thật vậy,
Xét 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x2  ...  Cnn xn với n là số nguyên dương chẵn.
n

Thay x  1 , ta có Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn1  Cnn  1  1  2n

1
 2

n

Thay x  1 , ta có Cn0  Cn1  Cn2  ...  Cnn1  Cnn  1  1  0
n

Từ (2) chuyển vế đổi dấu ta có Cn0  Cn2  ...  Cnn  Cn1  Cn3  ...  Cnn1



n 1
n

Từ (1) và (3) ta có 2 C  C  C  ...  C
1
n

3
n

5
n

2

n

(3)

 C  C  C  ...  Cnn1  2n1.
1
n

3
n

5
n

Vậy đẳng thức đã cho được chứng minh hoàn toàn.
Câu 4:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M , N , I lần lượt là trung điểm của
SG 3
 .
SI 5
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MG và mặt phẳng  ABCD  .
SA, SB, BC ; điểm G nằm giữa S và I sao cho

b) Xác định thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng  MNG  .
Lời giải

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

9


a) Xét mặt phẳng  SAI  có :
a) Ta có:
SM 1 

SM SG
SA 2 
 MG không song song với AI .



SG 3 
SA
SI

SI 5 
Gọi AI  MG   E .

 E  MG
 MG   ABCD    E .

 E  AI   ABCD 
b) Xét mặt phẳng  SBC  có:
SN 1 

SB 2  SN SG

 NG không song song với BC .

SG 3 
SB SI

SI 5 
 K  NG   MNG 
gọi NG  SC   K   
.
 K  SC   SBC 
Ta có :  MNG    SAB   MN

 MNG    SBC   NK .

Xét  SAB  có MN  AB  MN  CD .
Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

10


Ta có MN  CD, MN   MNG  , CD   SCD  và K   SCD    MNG  nên từ K kẻ đường
thẳng Kx  CD , gọi Kx  SD  L .
 KL   SCD    MNG  .

 MNG    SAD   ML .
Vậy thiết diện của hình chóp S . ABCD cắt bởi mặt phẳng

 MNG  là

hình thang

MNKL  MN  KL  .
---HẾT---

Nhóm word hóa tài liệu & đề thi toán

11