Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán 12 năm 2018-2019 có đáp án - Sở GD&ĐT Hải Phòng (Bảng không chuyên)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12
Năm học 2019 – 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/9/2019

(Đề thi gồm 01 trang)
Bài 1 (2,0 điểm)

1 3
x  x 2   m  2  x  m 2  2019. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đã
3
cho đồng biến trên khoảng  0;   .

a) Cho hàm số y 

2mx  3  2m
có đồ thị là  C  . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
x2
đường thẳng d : y  x  2 cắt  C  tại hai điểm phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường

b) Cho hàm số y 

thẳng OA và OB bằng 450.
Bài 2 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình lượng giác sau

1  2sin x  cos x 
1  2sin x 1  sin x 

3.

 x 2  3 y  2 x 2 y  2 y  2  0
b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực 
 x 2  4 x  y  1  3 2 x  1  1

Bài 3 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AB  a; AC  2a; AA '  2a 5 và góc BAC
bằng 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' .
a) Chứng minh rằng MB vuông góc với A ' M .
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  A ' BM  theo a.
Bài 4 (1,0 điểm) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0 , lấy ngẫu
nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra có mặt đúng ba chữ số khác nhau.
Bài 5 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường
kính BD . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BD và CD. Biết

A  4;6  ; đường thẳng HK

có phương trình 3 x  4 y  4  0; điểm C thuộc đường thẳng

d1 : x  y  2  0 và điểm B thuộc đường thẳng d 2 : x  2 y  2  0; điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1.
Tìm tọa độ các điểm B và C.
u1  2  1

.
Bài 6 (1,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định bởi 

1  un
, n  , n  1
un1 
2

n
Hai dãy số  vn  ,  wn  xác định như sau: vn  4 1  un  ; wn  u1.u2 .u3 ...un , n  , n  1. Tìm các giới
hạn lim vn ; lim wn .
Bài 7 (1,0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P

4a 3  3b3  2c3  3b 2 c
3

a  b  c

……………HẾT……………
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:…………………………………….. Số báo danh:………………………….…………….
Cán bộ coi thi 1:……………………………............... Cán bộ coi thi 2:……………………………………
Trang 1/1


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG

ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12
Năm học 2019 – 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN:TOÁN – BẢNG KHÔNG CHUYÊN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/9/2019

(Đáp án gồm 06 trang)

BÀI
Bài 1
(2,0 điểm)

Ý

ĐÁP ÁN

ĐIỂM

1 3
x  x 2   m  2  x  m 2  2019. Tìm điều kiện của
3
tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;   .

(1,0đ)

Cho hàm số
a

y

TXĐ: D  . ; y '  x 2  2 x  m  2

Hàm số đồng biến trên khoảng  0;    y '  0, x   0;  

0,25

 x 2  2 x  m  2  0, x   0;    m   x 2  2 x  2, x   0;  

0,25

Xét hàm số g  x    x 2  2 x  2; g '  x   2 x  2; g '  x   0  x  1

x

0
+

g ' x

1
0


0,25

3

g  x
Từ bảng biến thiên
 m  g  x  , x   0;    m  Max  g  x    m  3
x 0;  

0,25

2mx  3  2m
có đồ thị là  C  . Tìm tất cả các giá trị
x2
thực của tham số m để đường thẳng d : y  x  2 cắt  C  tại hai điểm

(1,0đ)

phân biệt A, B sao cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng
450.
Phương trình hoành độ giao điểm:
2mx  3  2m
 x  2,  x  2 
x2
 x 2  2mx  2m  1  0 ,  x  2 

0,25

Cho hàm số y 
b

x 1

 x  2m  1

m  1
 2m  1  1



d cắt  C  tại hai điểm phân biệt  
1
2m  1  2  m  

2


Gọi A 1; 1 ; B  2m  1; 2m  3  OA 1; 1 ; OB  2m  1; 2m  3
 
OA.OB  OA.OB.cos 450  2  8m2  16m  10  8m2  16m  6  0

m 

m 


3
2
1
2

Kết hợp điều kiện, ta được m 

0,25

0,25

3
1
hoặc m  .

2
2

0,25


Bài 2
(2,0 điểm)

a

Giải phương trình lượng giác sau



 x   6  k 2

7

 m 2 ,
ĐK:  x 
6



 x  2  n2


1  2sin x  cos x 
1  2sin x 1  sin x 

3.

k , m, n  .

(1,0đ)

0,25

Pt  cos x  sin 2 x  3 1  sin x  2 sin 2 x 

0,25

 cos x  3 sin x  sin 2 x  3 cos 2 x

b


2

x   k





18
3
 sin   x   sin  2 x    
,k 

3
6


 x    k 2

2

2
Kết hợp điều kiện  Pt có nghiệm x    k
, k .
18
3
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực
 x 2  3 y  2 x 2 y  2 y  2  0 (1)
 2
 x  4 x  y  1  3 2 x  1  1 (2)
ĐK: y  0; x 2  4 x  y  1  0

0,25

0,25

(1,0đ)

Từ phương trình 1 ta có

x2  2  3 y  2 y  x2  2 

3y

y
2 2
1
x 2
x 2

y
 1  y  x2  2
x 2
Thay vào phương trình  2  ta có
Suy ra

2

4x  1  3 2x  1  1

u  4 x  1
Đặt 
u  0
3
v  2 x  1
Hệ phương trình đã cho trở thành
u  v  1
u  1

 2

3
u  2v  1 v  0

Bài 3
(2,0 điểm)

a

0,5

2

1

 x  2
 4 x  1  1
Ta có: 

(Thỏa mãn điều kiện)
3
y  9
 2 x  1  0

4
1 9
Vậy hệ có nghiệm  ; 
2 4
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có AB  a; AC  2a; AA '  2a 5
 bằng 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC ' .
và góc BAC
a) Chứng minh rằng MB vuông góc với A ' M .

0,25

0,25

(1,0đ)


A'

C'

B'

M
H
A
C

N

K
B

b

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC
  7 a 2  BC  a 7
 BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC .cos BAC
Trong tam giác A ' C ' M : A ' M 2  A ' C '2  C ' M 2  9a 2
Trong tam giác BAA ' : A ' B 2  AB 2  A ' A2  21a 2
Trong tam giác BCM : BM 2  BC 2  CM 2  12a 2

Ta có: A ' M 2  MB 2  A ' B 2  tam giác A ' BM vuông tại M
hay MB  A ' M .
Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  A ' BM  .

0,5

0,5
(1,0đ)

Gọi A ' M  AC  N  d  A,  A ' BM    d  A,  A ' BN  
Kẻ AK  BN , K  BN
Kẻ AH  A ' K , H  A ' K

0,5

 d  A,  A ' BN    AH
Chứng minh được CM là đường trung bình của tam giác A ' AN
 A ' M  MN và có BM  A ' N  tam giác A ' BN cân tại B
 BN  A ' B  a 21
Diện tích tam giác ABN là:
1
  1 AK .BN  AK  2 7 a
S ABN  AB. AN .sin BAN
2
2
7
1
1
1
36

a 5
Ta có:



 AH 
2
2
2
2
AH
AK
A' A
20a
3
a 5
Vậy: d  A,  A ' BM   
3
Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác
0 , lẫy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy
ra có mặt đúng ba chữ số khác nhau.
Ta có: Số phần tử của không gian mẫu  là: n     95

Bài 4
(1,0 điểm)

0,25

0,25

(1,0đ)
0,25

Gọi A là biến cố: “Trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số
khác nhau”
Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 là
C93 .
Xét các số thỏa mãn yêu cầu bài toán được tạo thành từ 3 chữ số a; b; c ở
trên. Có hai trường hợp sau xảy ra
TH1: Một chữ số có mặt 3 lần; các chữ số còn lại có mặt đúng 1 lần:
5!
Có tất cả: 3.  60 số.
3!
TH2: Hai chữ số có mặt hai lần, chữ số còn lại có mặt 1 lần:

0,25

0,25


5!
 90 số.
2!.2!
Số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n  A    60  90  .C93  12600

Có tất cả: 3.

Xác suất của biến cố A là: p  A  

n  A  1400


 0, 2134
n    6561

0,25

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp
đường tròn đường kính BD . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu vuông
Bài 5
(1,0 điểm)

góc của A trên các đường thẳng BD và CD. Biết A  4;6  ; đường
thẳng HK có phương trình 3 x  4 y  4  0; điểm C thuộc đường
thẳng d1 : x  y  2  0
và điểm B thuộc đường thẳng
d 2 : x  2 y  2  0; điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các
điểm B và C.

(1,0đ)

A

B

H

D
E
K

C
Gọi E  AC  HK
  HKC
.
Tứ giác AHKD nội tiếp  HAD
Tứ giác ABCD nội tiếp  
ABD  
ACD .


Tam giác ABD vuông tại A  ABD  HAD

Vậy HKC
ACD hay tam giác ECK cân tại E .
Vì tam giác ACK vuông tại K nên E là trung điểm của AC .
c 4 8c
;
Ta có C  d1  C  c;2  c   E 

2 
 2
Vì E  HK nên tìm được c  4  C  4; 2  .

0,25

0,25

K  HK : 3 x  4 y  4  0 nên gọi K  4t ;3t  1



 AK  4t  4;3t  7  ; CK (4t  4;3t  1) .

 1
 
t  5
2
Ta có: AK  CK  AK .CK  0  25t  50t  9  0  
.
t  9
 5
4 2
Vì hoành độ điểm K nhỏ hơn 1  K ( ; )
5 5
BC có phương trình: 2 x  y  10  0.
B  BC  d 2  B (6;2) .
Kết luận: B  6; 2  ; C  4; 2 

0,25

0,25


Bài 6
(1,0 điểm)

u1  2  1

.
Cho dãy số  un  xác định bởi 
1  un

u

,

n


,
n

1
 n1
2

Hai dãy số  vn  ,  wn  xác định như sau:

(1,0đ)

vn  4n 1  un  ; wn  u1.u2 .u3 ...un , n  , n  1. Tìm các giới hạn
lim vn ; lim wn .

 
Chọn    0;  sao cho cos  2  1
 2
1  cos 

 cos
Khi đó ta có u1  cos   u2 
2
2


 
( Do    0;  nên cos  0 ).
2
 2
1  cos

0,25



2  cos 
2
4

Tương tự ta sẽ có u3 

1  cos



2n 1  cos 
2
2n 1
 


Suy ra vn  4 n (1  un )  4 n 1  cos n 1   4n.2sin 2 n
2 
2


Bằng quy nạp ta chứng minh được un 

2



sin n




2
Vậy lim vn  lim  4n.2sin 2 n   lim 

2 

 n
 2







2
2
 .2  2






 cos
2
2
2




2n sin n 1 .cos n 1 .cos n  2 ...cos .cos
sin 2
2
2
2
2




2n sin n 1
2n sin n 1
2
2









sin 2
sin 2
1

  sin 2
 lim

Suy ra lim wn  lim

 
 2
2
2n sin n 1
sin n 1 

2
2

 



2n 1 
Cho các số thực dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Ta có wn  u1u2 ...un  cos

Bài 7
(1,0 điểm)

n 1

P

.cos

n2

   cos

0,25

4a 3  3b3  2c3  3b 2 c

0,25

0,25

(1,0đ)

3

a  b  c

Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 3b 2 c  2b3  c 3 , dấu “=” xảy ra  b  c.
3

Ta chứng minh: b  c

3

b  c 

4

0,25

3

(1) , b  0, c  0.


Thật vậy:
2
1  4  b3  c3   b3  3b2c  3bc 2  c3   b  c  b  c   0, b  0, c  0
Dấu “=” xảy ra  b  c.
Áp dụng các BĐT trên ta được:
3
b  c
4a 3 
a
1
3
4
, t   0;1
P
 4t 3  1  t  , với t 

3
abc
4
a  b  c
1
3
1  t  với t   0;1
4
 1
t  5
3
2
2
Có: f '  t   12t  1  t  ; f '  t   0  
4
t   1

3
Bảng biến thiên:
1
0
1
t
5
0
+
f 't 

0,25

Xét hàm số f  t   4t 3 

0,25

f t 
4
25

Từ bảng biến thiên suy ra: P  f  t  

4
.
25

b  c

Dấu “=” xảy ra   a
1  2a  b  c.

 a  b  c 5
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
khi 2a  b  c.
25

Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

0,25