Tuyển tập các dạng bài tập trong đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (526.16 KB, 9 trang )
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
TUYỂN TẬP CÁC DẠNG BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 11.
Phần 1. Lượng giác:
A. Phương trình lượng giác.
1. Giải phương trình:
2. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên
3. Giải phương trình:
4. Giải phương trình:
5. Giải các phương trình sau:
a)
b)
6. Giải phương trình:
7. Giải phương trình:
8. Giải phương trình:
9. Giải phương trình:
10. Giải phương trình:
11. Giải phương trình:
12. Giải phương trình:
13. Giải phương trình:
14. Giải phương trình:
15. Giải phương trình:
16. Giải phương trình:
17. Giải phương trình:
18. Giải phương trình:
19. Giải phương trình:
20. Giải phương trình:
21. Giải phương trình:
22. Giải phương trình:
23. Giải phương trình:
24. Giải phương trình:
25. Giải phương trình:
26. Giải phương trình:
27. Giải phương trình:
28. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên khoảng
29. Giải phương trình:
30. Giải phương trình:
31. Giải phương trình:
32. Giải phương trình:
33. Giải phương trình:
34. Giải phương trình:
35. Giải phương trình:
36. Giải phương trình:
37. Giải phương trình:
38. Giải phương trình:
39. Giải phương trình:
1
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
40. Giải phương trình:
41. Giải phương trình:
42. Giải phương trình:
43. Giải phương trình:
44. Giải phương trình:
45. Giải phương trình:
46. Giải phương trình:
47. Giải phương trình:
48. Giải phương trình:
49. Giải phương trình:
50. Tính tổng các nghiệm của phương trình sau trên đoạn :
51. Giải phương trình:
52. Giải phương trình:
53. Giải phương trình:
54. Giải phương trình:
55. Giải phương trình:
56. Giải phương trình:
57. Giải phương trình:
58. Giải phương trình:
B. Hệ thức lượng trong tam giác.
1. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
2. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
.
3. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn:
Chứng minh tam giác ABC đều.
4. Cho A, B, C là các góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
.
5. Cho tam giác ABC thỏa mãn: . Tính các góc của tam giác đó khi biểu thức sau đạt
GTNN: .
6. Giả sử A, B, C, D lần lượt là số đo các góc của tứ giác lồi ABCD.
a) Chứng minh rằng:
b) Tìm GTLN của biểu thức
7. Chứng minh rằng trong tam giác ta luôn có:
8. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I và thỏa mãn: .
a) Chứng minh tam giác ABC đều.
b) Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của BC, CA,AB với đường tròn ( I). BE cắt
đường tròn ( I) tại điểm thứ hai là K. Biết và K là trung điểm BE. Tính độ dài các
cạnh của tam giác ABC.
9. Tam giác ABC có các góc thỏa mãn: .
Tìm GTNN của biểu thức .
10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: . Chứng minh tam giác ABC đều.
11. Nhận dạng tam giác biết:
a) .
b)
2
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
c)
d)
e)
f)
g)
12. Chứng minh rằng các trung tuyến của tam giác ABC vuông góc với nhau khi và chỉ
khi: .
13. Cho tam giác ABC thỏa mãn: . Chứng minh rằng các góc của tam giác lập thành một
cấp số nhân.
14. Tính số đo các góc của tam giác ABC biết .
15. Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :
Tính các góc của tam giác đó.
16. Cho tam giác ABC thỏa mãn:
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
17. Cho tam giác ABC , M là trung điểm BC và H là trực tâm.
Chứng minh rằng: .
18. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó A, B, C là các góc của tam giác ABC.
19. Tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh rằng tam giác ABC đều.
20. Cho tam giác ABC có 3 góc là A, B, C.
a) Tìm GTNN của biểu thức
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là
.
21. Chứng minh rằng với mọi tam giác ta có:
.
22. Cho tam giác ABC thỏa mãn: . Tìm GTLN của biểu thức:
.
Phần 2. Giới hạn hàm số.
1. Tìm giới hạn sau:
2. Tìm giới hạn sau:
3. Tìm giới hạn sau:
4. Tìm giới hạn sau:
5. Tìm giới hạn sau:
6. Tìm giới hạn sau:
7. Tìm giới hạn sau:
8. Tìm giới hạn sau:
9. Tìm giới hạn sau:
10. Tìm giới hạn sau:
11. Tìm giới hạn sau:
12. Tìm giới hạn sau:
13. Tìm giới hạn sau:
14. Tìm giới hạn sau:
15. Tìm giới hạn sau:
16. Tìm giới hạn sau:
17. Tìm giới hạn sau:
18. Tìm giới hạn sau:
3
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
19. Tìm giới hạn sau:
20. Tìm giới hạn sau: ,
Phần 3. Dãy số và các bài toán liên quan.
1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số , biết dãy số được xác định như sau:
2. Cho dãy số được xác định bởi
Chứng minh rằng là một dãy số bị chặn.
3. Cho dãy số
a) Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số .
b) Tìm n để là số chính phương.
4. Cho dãy số có
5. Cho dãy số có
a) Chứng minh: và là dãy số tăng.
b) Tìm
6. Cho dãy số được xác định như sau;
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn và tìm .
7. Cho dãy số được xác định bởi .
Hãy tính giá trị của tổng:
8. Cho dãy số không xác định như sau:
Tính .
9. Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm công thức tổng quát của .
10. Cho dãy số có
Hãy tính giá trị của tổng:
11. Cho dãy số được xác định như sau:
Chứng minh rằng dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó.
12. Cho dãy số được xác định bởi công thức:
a) Tìm công thức tổng quát của số hạng .
b) Tính tổng:
13. Cho dãy số có
Tìm số hạng tổng quát .
14. Cho dãy số xác định bởi:
Tìm
15. Cho dãy số thỏa mãn:
Tìm .
16. Cho dãy số được xác định bởi
Tìm công thức tổng quát của
.
17. Cho dãy số được xác định bởi
Gọi là tổng của n số hạng đầu của dãy .Tìm .
18. Cho dãy số được xác định bởi
Tìm .
19. Cho dãy số được xác định bởi
Tìm giới hạn : .
4
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
20. Cho dãy số được xác định bởi .
Hãy tính giá trị .
21. Cho dãy được xác định bởi .
a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số
.
b) Chứng minh rằng số có thể biểu diễn được tổng bình phương của 3 số nguyên liên
tiếp.
22. Cho dãy số được xác định bởi .
Hãy tìm số hạng tổng quát và tìm .
23. Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm giới hạn: .
24. Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số
.
25. Cho dãy số được xác định bởi
Chứng minh rằng không đổi khi n thay đổi.
26. Cho dãy số có Tìm số hạng tổng quát của dãy số và tính giá trị của tổng: .
27. Cho dãy số được xác định bởi . Tìm công thức
28. Cho cấp số nhân, công bội q > 0 , thỏa mãn:
Tính
29. Cho dãy số được xác định bởi . Tính giới hạn sau:
30. Cho dãy số được xác định như sau: . Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và
tìm giới hạn đó.
31. Cho dãy số được xác định bởi
Tìm công thức tổng quát
.
32. Cho . Gọi là số hạng tổng quát của . Tìm .
33. Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm giới hạn: .
34. Cho dãy số được xác định như sau:
Tìm công thức tổng quát và giới hạn của dãy số đó.
35. Cho dãy số được xác định như sau:
Đặt . Tìm giới hạn: .
36. Cho dãy số được xác định bởi
Chứng minh rằng: .
37. Cho hai số thực dương a, b (a > b) và hai dãy số được xác định như sau:
Chứng minh hai dãy số có giới hạn hữu hạn và
38. Cho dãy số thỏa mãn: và với mọi n thuộc số nguyên dương. Chứng minh dãy có giới
hạn hữa hạn khi .
39. Cho dãy số được xác định bởi .
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh dãy số đã cho có giới hữu hạn và tìm giới hạn đó.
40. Cho dãy số dương thỏa mãn
Tìm giới hạn của dãy số./.
5
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
Phần 4. Quy tắc đếm, Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp– Xác suất– Nhị thức Niu tơn.
A. Quy tắc đếm – Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.
1. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được
chọn từ 8 chữ số trên, trong đó số 6 có mặt đúng 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng 1
lần.
2. Từ các chữ số 0, 2, 3, 5, 6, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một
khác nhau, trong đó hai chữ số 0 và 5 không đứng cạnh nhau.
3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 chữ cái từ bộ chữ cái MAYMAN thành một hàng sao cho
mỗi cách sắp xếp 2 chữ cái giống nhau không đứng cạnh nhau.
4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số sao cho trong mỗi số đó có một chữ số xuất hiện 2
lần, các chữ số còn lại xuất hiện không quá 1 lần.
5. Có bao nhiêu cách chia 100 cây bút chì cho 3 bạn sao cho mỗi bạn đều có ít nhất một cây
bút chì?
6. Cho tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Từ t ập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này là số lẻ và chữ số đứng vị trí thứ 3
( tính từ hàng đơn vị) chia hết cho 6?
7. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 6 chữ số khác nhau từng đôi một và nhỏ hơn 600000.
8. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi
một khác nhau và trong đó hai chữ số kề nhau không cùng là số lẻ?
9. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, mỗi số gồm 6
chữ số đôi một khác nhau mà tổng của 3 chữ số cuối nhỏ hơn tổng 3 chữ số đầu là 3 đơn
vị.
10. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp
11A, 4 học sinh lớp 11B và 3 học sinh lớp 11C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao
cho 4 học sinh được chọn không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như
vậy?
11. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số
lẻ?
12. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi
một khác nhau sao cho các chữ số 1, 2, 3 đứng kề nhau.
B. Xác suất
1. Cho lục giác đều .Viết các chữ cái vào 6 thẻ (Mỗi thẻ ghi 1 chữ cái). Lấy ngẫu nhiên
đồng thời 2 thẻ. Tính xác suất chọn được 2 thẻ sao cho đoạn thẳng nối 2 điểm ghi trên 2
thẻ đó là đường chéo của lục giác.
2. Gọi M là tập tất cả các số tự nhiên có sáu chữ số đôi một khác nhau và có dạng . Chọn
ngẫu nhiên một số từ tập M. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn, đồng thời
thỏa mãn
3. Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để viết được số có
tổng các chữ số của nó bằng 6.
4. Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ
ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Tính xác suất bất
kì 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
5. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp. Cán bộ hoit thi đưa cho mỗi thí sinh
một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có
hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì một câu hỏi, thí sinh chọn 3 phong bì trong số đó
6
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
để xác đinh câu hỏi của mình. Biết rằng bộ câu hỏi dành cho thí sinh là như nhau, Tính
xác suất để 3 câu hỏi A chọn và B chọn giống nhau.
6. Trong kì thi chọn học sinh giỏi Tỉnh năm 2016, một phòng thi có 24 em học sinh trong đó
có 12 em là học sinh của cùng một trường. Trước khi giám thị gọi thí sinh vào phòng thi,
yêu cầu các em sắp xếp ngẫu nhiên một hàng dọc. Tính xác suất để khi các em sắp xếp
hàng dọc không có hai học sinh cùng trường đứng cạnh nhau.
7. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh gồm 4 nam và 4 nữ vào 4 bàn trên một hàng ngang (mỗi bàn
có hai chổ ngồi). Tính xác suất để có đúng 2 bàn mà trong đó mỗi bàn gồm 1 nam và 1
nữ.
8. Đội tuyển học sinh giỏi tỉnh khối 11 trường THPT Lê Quảng Chí năm 20172018 có 20
bạn học sinh tham dự, trong đó có 3 bạn học sinh thi môn Hóa,2 bạn học sinh thi môn
Lý.Giáo viên phụ trách muốn chọn ngẩu nhiên ra 5 bạn học sinh làm đại diện. Tính xác
suất để 5 bạn học sinh được chọn có ít nhất 3 bạn học sinh thi môn Lý hoặc môn Hóa.
9. Chọn ngẫu nhiên ba số đôi một khác nhau từ tập hợp Tính xác suất để trong ba số được
chọn không có hai số tự nhiên liên tiếp.
10. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn nhẫu nhiên 1 số từ tập A,
tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng 1.
11. An có 3 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Bình có 4 viên bi màu đỏ, 3 viên bi màu vàng
và 5 viên bi màu xanh. Mỗi người chọn ngẫu nhiên 2 viên bi để cho người kia xem. Tính
xác suất để 4 viên bi được chọn cùng màu.
12. Gọi A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu
nhiên một số từ tập A. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 3.
13. Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của số 10800. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S,
tính xác suất để số đó chia hết cho 5.
14. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được tạo thành từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chọn ng ẫu nhiên 1 số từ tập X. Tính xác suất để số
được chọn chứa đúng 3 chữ số lẻ?
15. Một hộp chứa các số tự nhiên có 4 chữ số lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Lấy ngẫu
nhiên 1 số. Tính xác suất để số được lấy ra gồm 4 chữ số khác nhau, trong đó có chữ số
2 và 4?
16. Cho tập X các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ X, tính xác suất để số được chọn bé hơn 4653.
17. Một hộp có 15 viên bi cùng kích thước, trong đó có 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng, 6 viên bi
vàng. Người ta chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ 15 viên bi đó. Tính xác suất để 4 viên bi lấy
ra không đủ 3 màu.
18. Viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên có 6 chữ số. Tính xác suất để viết được số
có tổng các chữ số của nó bằng 6.
19. Một bàn có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chổ ngồi
cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Tính xác suất bất kỳ 2
học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường nhau.
20. Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 5
viên bi. Tính xác suất để lấy được ít nhất 3 viên bi đỏ.
C. Nhị thức Niu tơn.
1. Xét khai triển: . .
Tính
7
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
2. Cho P(x) = (1 + x + x2 + x3)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + …+ a15x15
a) Tính a0 + a1 + a2 + a3 + …+ a15
b) Tìm hệ số a10.
3. Cho khai triển đa thức .
Tính tổng: .
4. Cho khai triển: .
Hãy tìm giá trị của
5. Với n nguyên dương. Chứng minh rằng: .
6. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có:
.
7. Tìm hệ số của trong khai triển Niu – tơn của biểu thức , biết rằng là số nguyên dương
thỏa mãn đẳng thức: .
8. Chứng minh: .
Từ đó tính tổng:
9. Chứng minh
10. Cho khai triển nhị thức biết là số nguyên dương thỏa mãn Tìm số lớn nhất trong các
số
11. Tìm hệ số của trong khai triển: . Biết n là số tự nhiên thỏa mãn:
.
12. Cho n là số tự nhiên, Chứng minh đẳng thức sau:
13. Tìm hệ số của lũy thừa lớn nhất của x trong khai triển:
14. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn
Chứng minh rằng: .
15. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n khác 0 ta luôn có:
16. Xác định hệ số của trong khai triển biết
17. Tính:
18. Cho khai triển:
a) Tính tổng:
b) Chứng minh đẳng thức sau:
19. ( Hà Tĩnh 2013). Cho khai triển:
Chứng minh đẳng thức sau.
20. Tìm hệ số của trong khai triển biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn:
.
21. Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển .
8
Đặng Văn Long – THPT Lê Quảng Chí Luyện thi HSG Toán 11.
22. Cho số nguyên dương n thỏa mãn: .
Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức : .
23. Cho số nguyên dương n thỏa mãn: . Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức: .
24. Cho số nguyên dương n thỏa mãn: .
Tìm hệ số của trong khia triển thành đa thức: .
25. ( Bình Định 2017): Cho n là số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng:
.
26. ( Nghệ An: 2015). Cho số nguyên dương thỏa mãn:
.
Tìm số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu – tơn .
27. ( Vĩnh phúc 2016). Tính tổng
28. ( Hà Tĩnh 2015). Cho khai triển với n là số tự nhiên thỏa mãn:
. Tìm số lớn nhất trong các số .
29. ( Hà Tĩnh 2014). Tìm số nguyên dương n, k biết n <20 và các số theo thứ tự đó là số
hạng thứ nhất, thứ ba và thứ năm lập thành một cấp số cộng.
30.
9
